trabajo calculo vectorial 2er corte

Universidad de Cartagena

Integrantes:

Ivan David Zabaleta

Francisco Montero

Daniela Oliver

Cristian Peralta

Docente:

Daniel Puerta

Taller de

Calculo Vectorial

2015

TALLER DE SUPERFICIES En los siguientes ejercicios dibuje el cilindro cuya ecuación es:

1. 4 x2+9 y2=36

2. y=|z|

3. z=2 x2

4. y=cosh x

5. z=sin y

6. x2−z2=4

Nota: No grafico la ecuación 6.(Argumenta Cristian)

7. z2=4 y2

8. z=cosh y

9. y2−x2=4

10.z=e− x

En los siguientes ejercicios identifique y trace la grafica de la superficie cuadrica:12.36 x2− y2+9 z2=144

Dividiendo toda la expresión entre 144, obtenemos:

x2

4− y2

144+ z2

16=1

Intersectos:

Con el eje x: (y=0, z=0) (-2, 0, 0), (2, 0, 0)

Con el eje y: (x=0, z=0) No hay intersecto

Con el eje z: (x=0, y=0) (0, 0, -4), (0, 0, 4)

Trazas:

En el plano xy: z=0, x2

4− y2

144=1 Hipérbola

En el plano yz: x=0, →− y2

144+ z2

16=1 Hipérbola

En el plano xz: y=0, x2

4+ z2

16=1 Elipse

Secciones transversales:

z=k entonces x2

4− y2

144=1− k2

16

Hipérbolas, { si|k|=16→x2− y12

=0 x2+ y12

=0 Rectas

si|k|<16→ eje transverso es paraleloal eje xsi|k|>16→ ejetransverso es paralelo al eje y

y=k entonces x2

4+ z2

16=1+ k2

144Elipses cuyos semiejes aumentan a medida que |k|>12

x=k entonces− y2

144+ z2

16=1− k 2

4

Hipérbolas,{ si|k|=4→− y12

+ z4=0 y

12+ z4=0 rectas

si|k|<4→ eje transversoes paralelo al eje ysi|k|>16→ ejetransverso es paralelo al eje z

GRAFICAHiperboloide elíptico de una hoja

13. y2+5 z2=x2

Intersectos:

Con el eje x: (z=0; y=0) → (0, 0,0)

Con el eje y: (x=0; z=0) → (0, 0,0)

Con el eje z: (x=0; y=0) → (0, 0,0)

Trazas:

En el plano xy: (z=0) → y²=x² → y²-x²=0 → (y-x)=0 (y+x)=0 Rectas.

En el plano xz: (y=0) → 5z²=x² → 5z²-x²=0 → (5z-x)=0 (5z+x)=0 Rectas.

En el plano yz: (x=0) →y²+5z²=0 → z=0 y=0 Punto (0, 0,0)


z=k → y²- x² =-5z² Hipérbolas con eje transverso paralelo al x.

y=k → 5z²- x² =-k² Hipérbolas con eje transverso paralelo al x.

x=k → y²+5z²=k² Elipses cuyos semiejes aumentan a medida que |k| aumenta.

GRAFICA

Cono elíptico:

14.−4 x2+16 y2=144

Dividiendo la expresión entre 144

−x2

36+ y2

9=z →− x2

36+ y2

9− z1=0

Intersectos:

Con el eje x: (y=0, z=0) (0, 0, 0)

Con el eje y: (x=0, z=0) (0, 0, 0)

Con el eje z: (x=0, y=0) (0, 0, 0)

Trazas:

En el plano xy: z=0, −x2

36+ y2

9=0→− x

6+ y3=0 x

6+ y3=0 Rectas

En el plano yz: x=0, →y2

9= z1

Parábola que abre hacia el eje z+

En el plano xz: y=0, −x2

36= z1

→x2

36=−z1 Parábola eje focal en el eje z-


z=k entonces y2

9− x2

36= k1

Si k>0 existen hipérbolas con eje transverso paralelo al eje

y

x=k entonces y2

9= z1+ k2

36Parábola con eje focal paralelo al eje z.

y=k entonces −x2

36= z1− k2

9→

x2

36=−z1

+ k 2

9 Parábolas que abren hacia abajo con eje

focal paralelo al eje z-

GRAFICAParaboloide hiperbólico:

15.x2− y2−z2=4


x2

4− y2

4− z2

4=1

Intersectos:

Con el eje x: (y=0, z=0) (2, 0, 0), (-2, 0, 0)

Con el eje y: No hay Intersectos

Con el eje z: No hay Intersectos

Trazas:

En el plano xy: (z=0) → x2

4− y2

4=1 Hipérbola

En el plano yz: (x=0) → − y2

4− z2

4=1 Ninguna

En el plano xz: (y=0) → x2

4− z2

4=1 Hipérbola


Z=k →x2

4− y2

4=1− k 2

4 Hipérbolas con eje transverso paralelo al eje x

Y=k x2

4− z2

4=1− k2


X=k → − y2

4− z2

4=1− k2

4→

y2

4+ z2

4=−1+ k2

4

{ si|k|=0→ No h ay imagensi|k|<4→ No hay imagen

si|k|>4→ Elipses cuyossemiejes aumentan amedida que|k|>4

GRAFICAHiperboloide elíptico de dos hojas:

16.x2=2 y+4 z

Cilindro

17.9 x2+36 y2+4 z2=36


x2

4+ y2

1+ z2

9=1

Intersectos:

Con el eje x: (y=0, z=0) (4, 0, 0)

Con el eje y: (x=0, z=0) (0, 1, 0)

Con el eje z: (x=0, y=0) (0, 0, 9)

Trazas:

En el plano xy: z=0, 9 x2+36x2=36 recta

En el plano yz: x=0, → 4 x2+4z2=36 recta

En el plano xz: y=0, 36 y2+4z2=36 recta

GRAFICAElipsoide:

18. y=4 x2−z2

Paraboloide hiperbólico

19.x2− y2−z2=4


x2

4− y2

4− z2

4=1

Intersectos:

Con el eje x: (y=0, z=0) (2, 0, 0), (-2, 0, 0)

Con el eje y: No hay Intersectos

Con el eje z: No hay Intersectos

Trazas:

En el plano xy: (z=0) → x2

4− y2

4=1 Hipérbola

En el plano yz: (x=0) → − y2

4− z2

4=1 Ninguna

En el plano xz: (y=0) → x2

4− z2

4=1 Hipérbola


Z=k →x2

4− y2

4=1− k 2


Y=k x2

4− z2

4=1− k2


X=k → − y2

4− z2

4=1− k2

4→

y2

4+ z2

4=−1+ k2

4

{ si|k|=0→ No h ay imagensi|k|<4→ No hay imagen

si|k|>4→ Elipses cuyossemiejes aumentan amedida que|k|>4

GRAFICAHiperboloide elíptico de dos hojas

Grafique los siguientes planos20.5 x+2 y+z=10

Interfectos En el eje x→(2,0,0) En el eje y →(0 ,5 ,0) En el eje z→(0 ,0 ,10)

Trazas Plano xy :5x+2 y=10 Plano xz :5x+z=10 Plano yz :2 y+z=10

GRAFICA

21.3 x+2 z=9

Interfectos En el eje x→(3 ,0,0) En el eje y →no intersecta aleje y

En el eje z→(0 ,0 ,92)

Trazas Plano xy :3x=9 Plano xz :2 z=9 Plano yz :3 x+2 z=9

GRAFICA

22.– y−3 z+6=0

Interfectos En el eje x→ no intersecta al eje x En el eje y →(0 ,6 ,0) En el eje z→(0 ,0 ,2)

Trazas Plano xy : y=6 Plano xz : z=2 Plano yz :− y−3 z=−6

GRAFICA

23.Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el origen y perpendicular a la recta 14

( x−10 )=13

y=12

z en la intersecciónTeniendo en cuenta que las ecuaciones paramétricas de la recta dad son

x=10+4 t y=3 t z=2 t

Tenemos como vector normal N=¿4 ,3 ,2>¿ ahora, trazamos un

vector director el origen O(0 ,0 ,0) hasta el punto P<10+4 t ,3 t ,2 t>¿

OP=¿10+4 t−0 ,3 t−0 ,2 t−0≥¿10+4 t ,3 t ,2 t>¿

Ahora hacemos producto punto entre el vector director y el vector director OP para hallar t:¿4 ,3 ,2>∙<10+4 t ,3 t ,2 t≥0

40+16 t+9t +4 t=0

29 t=−40

t=−4029

Ahora que conocemos t, la remplazamos en las ecuaciones paramétricas de la recta dad para conocer el punto ( x , y , z ) x=10+4(−4029 )→10+(−16029 )=13029

y=3 (−4029 )=−12029

z=2(−4029 )=−8029

V D=¿ 13029

,−12029

,−8029

≥ 1290

<13 ,−12 ,−8>¿

Sabiendo que esta recta pasa por el origen tenemos las ecuaciones: Paramétricas Y simétricas

x=13 ty=−12tz=−8 t

x13

= y−12

= z−8

24.Si l1 es la recta que pasa por A (1 ,2 ,7 ) y B (−2 ,3 ,−4 ) y l2 es la recta que pasa por C (2 ,−1,4 ) y D (5 ,7 ,−3 ). Demuestre que l1 y l2 son rectas cruzadas.Para demostrar que estas rectas son oblicuas debemos demostrar que no son paralelas, ni se intersectan hallando las ecuaciones paramétricas.

l1=V D1=(−2 ,3 ,−4 )−(1,2 ,7 )=←3 ,1 ,−11>¿

x1=1−3 t

y1=2+t

z1=7−11 t

l2=V D2=(5 ,7 ,−3 )−(2 ,−1 ,4 )=¿3 ,8 ,−7>¿

x2=2+3 s

y2=8 s−1

z2=4−7 s

Puesto que sus vectores directores no son proporcionales, no son paralelos.Ahora, para demostrar que no se intersectan hallamos s y t igualando x , y , z de cada recta, así:x1=x2→1−3 t=2+3 s →t=−1−3 s

3→ t=

−1−3( 278 )3

→ t=−4112

y1= y2→2+t=8 s−1→2+(−1−3 s3 )=8 s−1→

6−1−3 s3

=8 s−1→5−3 s=24 s−3→8=27 s→ s=278

z1=z2→7−11 t=4−7 s →7−11(−4112 )=4−7( 278 )→7+ 45112

=4−1898

→53512

≠−1598

Estas rectas no se intersectan, por tanto son oblicuas.25.Demuestre que la rectas

l1:2 x− y+z+3=0 , x+ y+2 z+3=0

l2: x− y−z−1=0 ,3 x−z−7=0

Son rectas cruzadas y hallar la distancia más corta entre ellas.Hallamos el vector director y un punto en ambas rectas.

V D1=|i j k2 −1 11 1 2|=−3 i−3 j+3 k

Punto P, sea x=0→− y+z=−3y+2 z=−3

y+2 (−3+ y )=−3

y−6+2 y=−3

3 y=3

y=1

z=−3+1

z=−2

El punto es P (0 ,1,−2 )

V D2=|i j k1 −1 −13 0 −1|=i−2 j+3k

Punto Q, sea x=0→− y−z=1−z=7

z=−7

7−1= y

y=6

El punto es Q (0 ,6 ,−7 )

Ecuaciones paramétricas l1:

x=−3 ty=1−3 tz=3 t−2

l2:x=s

y=6−2 sz=3 s−7

Vamos que los vectores directores no son paralelos, ahora veamos si intersectan −3 t=s → s=5

3

1−3 t=6−2 s→ t=−59

3 t−2=3 s−7→3(−59 )−2=3( 53 )−7→−57−2=−2

No intersectan de modo que son oblicuas Y por lo tanto la distancia más corta entre ellas está dada por

D=|PQ ∙ (V D1×V D2 )|

‖V D1×V D2‖

PQ=(0 ,6 ,−7 )−(0 ,1 ,−2 ) → PQ=¿0 ,5 ,−5>¿

V D1× V D 2=| i j k−3 −3 31 −2 3|=−3i+12 j+9k →←1 ,4 ,3>¿

D=¿¿

D=|5|√26

=0,98≈1

26.Hallar las distancia más corta entre las dos rectas que se cruzan x−12

= y+21

= z−31

Y x+2−3

= y−21

= z+12

D=|PQ ∙ (V D1×V D2 )|

‖V D1×V D2‖

PQ=(−2 ,2 ,−1 )−(1 ,−2 ,3 )=←3 ,4 ,−4>¿

V D1× V D 2=| i j k2 1 1

−3 −1 2|=3 i−7 j+k

D=|←3 ,4 ,−4> ∙<3 ,−7 ,1|

√(3 )2+ (−7 )2+(1 )2=

|−41|√59

=5.34

trabajo calculo vectorial 2er corte

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