TRABAJO FINAL

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FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO

Objetivos

Marco de Referencia

os conceptos de cálculo vectorial de los cuales se harán uso en el presente trabajo deben quedar

bien definidos para el buen entendimiento de la teoría de fluidos. Para ello comenzaremos por

definir lo que es un operador diferencial vectorial.

Un operador diferencial vectorial es un operador lineal que actúa sobre campos vectoriales definidos sobre

una variedad diferenciable.

Algunos ejemplos son

Operador rotacional

Operador gradiente

Operador divergencia

Operador laplaciano

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir

rotación alrededor de un punto.

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la

curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

rot F⃗ =∇×F⃗

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que

carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo

puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un

potencial (es decir, es conservativo):

∇×f=0 en Ω simplemente conexo ⇒f=∇ϕ

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un

campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene

"fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa.

L

2

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo

vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

Si div(F)<0 diremos que es un punto pozo o sumidero (compresion del fluido)

Si div(F)>0 diremos que es un punto fuente (expansion de un fluido)

Si div(F)=0 diremos que es un campo soleinoidal o incompresible (fluido incompresible)

El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un

punto genérico del dominio de ( ), indica la dirección en la cual el campo varía más

rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector gradiente. El

gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función. También puede

representarse mediante , o usando la notación . La generalización del concepto de gradiente a

campos vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.

El operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como

Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio.

Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no

mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del símbolo delta (Δ)

o nabla cuadrado ( ) para representarlo. Si , son un campo escalar y un campo vectorial

respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:

Si div (grad (f))=0 diremos que es una función armónica

Marco de Referencia

El análisis aerodinámico de un vehículo se ha venido

haciendo a través de la historia y hasta la actualidad

utilizando el tradicional túnel de viento y las técnicas de

ensayo en ruta. Este procedimiento tiene la ventaja que

estamos frente a la observación experimental, tiene como

inconvenientes el hecho de insumir un gran tiempo de

desarrollo, un esfuerzo humano importante y un costo

considerable para encontrar efectivamente lo que en

definitiva es el objetivo del diseño de un vehículo,

satisfacer la demanda del consumidor.

Sin embargo, para el diseño de cualquier vehículo dígase un avión, automóvil, hasta en la construcción de

un barco, es de suma importancia el análisis detallado de los flujos de los fluidos que están en contacto con

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la superficie del móvil ya que, de esta forma se puede mejorar las medidas de seguridad y en otros casos la

eficiencia de las maquinas.

Sabemos que los efectos viscosos quedan confinados, en flujos a altos números de Reynolds1 (especialmente

en flujos externos), dentro de la capa limite cerca de las superficies sólidas y a regiones desprendidas y

estelas que aparecen cuando hay gradiente adverso de presiones. El flujo fuera de la capa limite es,

esencialmente, no viscoso e incompresible.

Un flujo no viscoso es el flujo de un fluido ideal que se supone que no tienen viscosidad. En dinámica de

fluidos hay problemas que se pueden resolver fácilmente mediante el supuesto simplificador de un flujo no

viscoso, por lo que esta técnica nos brinda un análisis en cierto caso no tan detallado del flujo de un fluido,

pero sin embargo muy útil en el

diseño geométrico de superficies

sólidas.

Como se muestra en la figura la

teoría no viscosa debería funcionar

bien para los flujos externos de la

figura, especialmente cerca de la

parte frontal del cuerpo. Si hay

desprendimiento de la capa limite

en la parte posterior, la corriente

desprendida deflactará y modificara

las líneas de corriente no viscosas.

Para el desarrollo de dicha teoría se tendrá que recurrir a las principales ecuaciones del movimiento para

un flujo no viscoso e incompresible, que son las de continuidad y cantidad de movimiento. En el presente

trabajo, obtener dichas formulas no es nuestra prioridad por lo que no se explicaran a detalle su desarrollo.

Desarrollo

Campo de velocidad

En el instante t, la velocidad u de cada elemento fluido

centrado en (x, y, z) es una función vectorial u(x,y,z,t), que

también indicaremos en forma compacta con u( x i,t) o u(r,t)

donde r=(x,y,z). El campo de velocidad es un campo vectorial.

Un ejemplo es el campo de velocidad de un fluido que rota con

1 Número adimensional que relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, y nos

indica si un flujo es laminar o turbulento

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velocidad angular uniforme w alrededor de un eje ew. Este campo está representado en la figura

Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento

La ecuación de movimiento de un fluido expresa la Segunda Ley de Newton, esto es, que la tasa de cambio

de la cantidad de movimiento de una dada porción de fluido es igual a la resultante de las fuerzas que

actúan sobre esta porción. Existen diferentes formas, todas equivalentes, de escribir esta ley.

Forma integral lagrangiana (volumen material)

Sea V un volumen material rodeado por una superficie (obviamente también material) S. La cantidad de

movimiento contenida en V es

Su derivada total respecto del tiempo (derivada material) es:

De forma diferencial

El potencial de velocidad

El movimiento de los fluidos perfectos (no viscosos) se describe mediante la ecuación de Euler (cantidad de

movimiento):

Este tipo de flujos es muy importante pues en muchas situaciones de interés práctico, los efectos de la

viscosidad de los fluidos reales quedan limitados a las regiones del espacio (muchas veces pequeñas) donde

tienen lugar fuertes gradientes de la velocidad, mientras que en el grueso del flujo los efectos de la

viscosidad son despreciables y el fluido se puede suponer ideal. En las regiones materiales de flujo ideal no

se crea ni se destruye vorticosidad2, de manera que si en un dado instante ésta es nula, sigue siendo nula en

todo otro momento, es por eso que estos flujos son irrotacionales, es decir que ∇ × = u 0 en todos los puntos

del fluido. Si además el flujo es incompresible, el campo de velocidad satisface las condiciones

2 Es una magnitud física empleada en mecánica de fluidos y en el mundo meteorológico para cuantificar la rotación de un fluido.

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La irrotacionalidad del campo de velocidad implica que v deriva de un potencial de velocidad φ, esto es

𝒂 =𝝏∅

𝝏𝒙 𝒃 =

𝝏∅

𝝏𝒚 𝒄 =

𝝏∅

𝝏𝒛

Donde la función escalar ∅ es el potencial de velocidades. La ecuación de la continuidad se convierte en la

de Laplace

𝜵𝟐∅ = 𝟎

Y la de la cantidad de movimiento en la de Bernoulli

𝝏∅

𝝏𝒕+

𝒑

𝝆+

𝟏

𝟐𝒖𝟐 + 𝒈𝒛 = 𝒄𝒕𝒆

Muchos flujos de interés son esencialmente bidimensionales es decir, una de las tres coordenadas espaciales

es ignorable y la correspondiente componente de la velocidad es nula (o una constante). Los flujos planos y

los flujos con simetría axial son ejemplos de esta clase de flujos Consideremos los flujos planos. Es habitual

elegir z como la coordenada ignorable, y que el flujo se desarrolla en el plano (x, y). En estos casos es útil

introducir el concepto de la función corriente. Volvamos por un momento al caso general de un flujo

incompresible en tres dimensiones. En virtud de la incompresibilidad, podemos siempre introducir una

función vectorial A tal que:

𝒖 = 𝜵 𝑿 𝑨

En general el interés práctico de A es escaso, dado que estamos sustituyendo el campo de velocidad a

determinar por otro campo vectorial, con lo cual no se hace un progreso significativo. Pero en el caso de

los flujos planos, sí existe una ventaja, pues el campo de velocidad tiene sólo las componentes ux y uy que

además no dependen de z. Por este motivo, la única componente no nula de A es Az ≡ψ, y de acuerdo a la

ecuación de arriba se cumple que:

𝒖𝒙 =𝝏𝝍

𝝏𝒚 𝒖𝒚 = −

𝝏𝝍

𝝏𝒙

La función ψ se denomina función corriente y representa, como hemos visto, la componente perpendicular

al plano del flujo del potencial vectorial A. Cabe observar que es posible introducir la función corriente

para todos los flujos bidimensionales incompresibles (sean o no viscosos y sean o no irrotacionales), pues

basta que el flujo cumpla la condición ∇

⋅u = 0. Por el contrario, el potencial de

velocidad sólo se puede introducir para

flujos irrotacionales (que por lo tanto son

necesariamente invíscidos, barotrópicos y

gobernados por fuerzas de volumen

conservativas), pero no está limitado a

los flujos bidimensionales.

Soluciones elementales en flujos planos

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Se puede construir varios flujos potenciales de interés a partir de tres tipos de soluciones elementales.

1. Corriente uniforme

2. Fuente o sumideros

3. Torbellinos

Se pueden sumar los potenciales y las funciones de corriente de estos tres casos para generar varios

resultados útiles. Para hacer esto contamos con el principio de superposición, que es válido por que la

ecuación de Laplace es lineal. Sin embargo nuestro principal objetivo es definir los tres flujos potenciales

más importantes.

Corriente uniforme.

Una corriente de velocidad U∞ constante tiene derivadas espaciales nulas y, por tanto, satisface

idénticamente la condición de irrotacionalidad y la ecuación de continuidad. Supongamos primero que la

corriente es en la dirección del eje x, las funciones φ y ψ resultantes son:

𝒖 = 𝑼∞ =𝝏𝝍

𝝏𝒚=

𝝏∅

𝝏𝒙= 𝒄𝒕𝒆 𝒗 = 𝟎 = −

𝝏𝝍

𝝏𝒙=

𝝏∅

𝝏𝒚

Integrando, obtenemos

𝝍 = 𝑼∞𝒚 + 𝑪𝟏 ∅ = 𝑼∞𝒙 + 𝑪𝟐

Como las constantes C1 y C2 no afectan ni a las velocidades ni a las presiones, las ignoraremos

𝝍 = 𝑼∞𝒚 ∅ = 𝑼∞𝒙

Esto es útil para problemas de perfil con ángulo de ataque.3

(a) Corriente en la dirección x, (b) Corriente a un ángulo α

Fuentes o sumideros

Supongamos un tubo delgado situado en el eje z, que

estuviese perforado y emitiese transversalmente un caudal

3 Ángulo que forman la cuerda geométrica de un perfil alar con la dirección del aire incidente.

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uniforme a lo largo de su longitud. Mirando a lo largo del eje z, veríamos un flujo radial como se muestra

esquemáticamente en la figura. En flujo estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie

cilíndrica de radio r, cualquiera y longitud b es constante.

𝑸 = 𝒗𝒓(𝟐𝝅𝒓𝒃) = 𝒄𝒕𝒆 = (𝟐𝝅𝒃𝒎) ó 𝒗𝒓,𝒇𝒖𝒆𝒏𝒕𝒆 =𝒎

𝒓

Donde m es una constante. Si m es positivo tenemos una línea de fuentes o fuente bidimensional y un

sumidero bidimensional si m es negativo. Obviamente las líneas de corriente de la fuente apuntan hacia

afuera como se muestra en la figura, y la velocidad tangencial vϴ=0. Podemos obtener φ y ψ en

coordenadas polares.

𝒗𝒓 =𝒎

𝒓=

𝟏

𝒓

𝝏𝝍

𝝏𝜽=

𝝏∅

𝝏𝒓 𝒗𝜽 = 𝟎 = −

𝝏𝝍

𝝏𝒓=

𝟏

𝒓

𝝏∅

𝝏𝜽

Integrando, obtenemos

Línea de fuentes o sumideros: 𝝍 = 𝒎𝜽 ∅ = 𝒎 𝒍𝒏𝒓 las cuales tienen una forma más simple que las

cartesianas.

Torbellino bidimensional

Supongamos ahora que invertimos los papeles de φ y ψ en la ecuación 𝜓 = 𝑚𝜃 ∅ = 𝑚 𝑙𝑛 𝑟 tendremos

𝝍 = −𝑲 𝒍𝒏 𝒓 ∅ = 𝑲𝜽

Derivando cualquiera de ellas se obtiene la velocidad

𝒗𝒓 = 𝟎 𝒗𝜽 =𝑲

𝒓

Es un flujo circulatorio puro con una velocidad tangencial que disminuye como 1/r. Esta tiene una

singularidad en el origen, donde la velocidad es infinita y φ y ψ no están definidas. De nuevo el núcleo del

torbellino debe estar oculto en el interior de un cuerpo. La intensidad del torbellino K tiene las mismas

dimensiones que la intensidad m de la fuente, esto es, velocidad por longitud.

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Conclusiones

Este trabajo demuestra la importancia del cálculo vectorial en la carrera de mecánica, principalmente en

mecánica de fluidos, aunque no solo se limita en mecánica sino tiene diversas aplicaciones en la mayoría

de las ramas de la ingeniería, ya que nos facilita problemas comunes en la vida cotidiana.

En lo que concierne al tema desarrollado, la mecánica de fluidos es una ciencia un tanto compleja y

abstracta que tienen una gran importancia en el mundo físico, y para poder comprenderla se requiere una

serie de conocimientos previos y puntuales sobre matemáticas, en este caso hicimos uso de los conceptos de

cálculo vectorial para explicar de un manera muy somera una técnica para el análisis detallado de los

flujos, el cual dichos análisis son importantes en el diseño de diversas piezas sólidas, desde un vehículo,

bombas, hélices, turbinas, hasta en el construcción de rascacielos, ya que todas ellas se presentan en

continuo contacto con un fluido, ya se liquidó o gaseoso; si no se considerasen dichos análisis y cálculos,

los efectos serian catastróficos para los individuos. Sin embargo, algunos de los elementos a diseñar, el

flujo de un fluido no provoca efectos considerables por lo que se hace uso de la técnica de cierto modo más

sencilla para el análisis de flujos incompresibles no viscosos, donde un flujo no viscoso es el flujo de un

fluido ideal que se supone que no tienen viscosidad.

Como conclusión final, cabe mencionar que se cumplieron los objetivos planteados, que me ayudaron a

conocer más sobre lo que más adelante me espera en mi carrera, también me enriqueció en cuanto a ver las

cosas de otra perspectiva, en tener un buen entendimiento interdisciplinario y relacionar todas las materias

para que al final se concentren diversas herramientas que me ayudaran a solucionar cualquier problema

que se me presente durante mi vida profesional.

Blibliografia y mesografia

Frank M. White. (1979). Mecánica de fluidos. USA: McGraw-Hill.

Facultad de Ciencias Exactas. (2011). Flujos Potenciales. 2014, de Universidad Nacional del Centro

de la Provincia de Buenos Aires Sitio web:

http://users.exa.unicen.edu.ar/~jdiez/files/mec_cont/apuntes/6FlujosPotenciales.pdf

Facultad de Ciencias Exactas. (2011). Flujos Ideales. 2014, de Universidad Nacional del Centro de

la Provincia de Buenos Aires Sitio web:

http://users.exa.unicen.edu.ar/~jdiez/files/mec_cont/apuntes/5FlujosIdeales.pdf