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UNIDAD I: MATRICES

Vectores en el plano

Un vector, , es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (extremo).Un

vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Todo vector se compone de un módulo, una dirección y un sentido.

Dirección de un vector

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido de un vector

El sentido del vector 𝐴𝐵 es que va del origen A al extremo B.

Módulo de un vector

El módulo del vector 𝑨𝑩 longitud del segmento AB, se representa por 𝑨𝑩 .

El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

𝒖 = (𝑢1, 𝑢2) 𝒖 = 𝑢12 + 𝑢2

2

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos 𝑨𝑩

𝑨 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 𝑩 𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 𝑨𝑩 = 𝑥2−𝑥1 2 + 𝑦2−𝑦1 2

Calcular el módulo del vector:

Ejemplo Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector 𝑣 = (k, 3) es 5.

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Concepto de matriz. Elemento y orden de una matriz.

Definición. Se llama matriz del tipo mxn a un conjunto de m.n números dispuestos en m filas y n columnas

columna

fila = A

Se escribirá A= (aij)

Se llama orden, tipo, o dimensión de una matriz, al tamaño mxn.

Ejemplo : A =es una matriz de orden 2x4, es decir, tiene dos filas y cuatro columnas.

Ejemplo. En un curso de 30 alumnos se han realizado cuatro evaluaciones, por lo tanto existen cuatro

notas por cada alumno y los resultados se pueden disponen mediante una matriz:

Evaluaciones

Alumnos

Dos matrices A y B , de Mmxn , son iguales si aij = bij para todo los i,j.

2. Tipos de matrices

Definiciones. La matriz se llama:

Matriz fila, si tiene sólo una fila.

Matriz columna, si tiene sólo una columna.

Matriz nula, O, si todos sus elementos son 0.

Matriz traspuesta de A y se designa A’ o At, a la que se obtiene cambiando filas por columnas.

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Ejemplo Calcula la matriz traspuesta de

A = At =

Matriz cuadrada, si tiene el mismo nº de filas que de columnas.

Si tiene n filas se dirá, simplemente, de orden n (en vez de nxn).

Los elementos aii (i=1,2...,n) forman la diagonal principal de la matriz

Matriz diagonal la que todos sus elementos, excepto los de la diagonal principal, valen cero. Es decir aij= 0,

En particular, si todos los elementos de la diagonal son 1, se la llama matriz identidad, I, o unidad.

Ejemplo. Escribe la matriz identidad de orden 5.

Matriz triangular

,

superior si todos los elementos situados debajo de la diagonal principal son 0.

Análogamente se define triangular inferior.

Ejemplo 3. La matriz es triangular superior.

Matriz simétrica, si coincide con su transpuesta, es decir aij = aji.

Ejemplo . La matiz identidad es una matriz simétrica.

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3. Operaciones con matrices.

I) Suma de matrices.

Sean A= (aij) y B = (bij) dos matrices de orden mxn. Se define la matriz suma de A y B como la matriz

de orden mxn dada por:

La suma de matrices, así definida, es una operación interna en el conjunto de las matrices de oren mxn, Mm,n ,

verificándose además las siguientes:

Propiedades. Asociativa, conmutativa, elemento neutro (la matriz O), y elemento opuesto.

II) Producto de una matriz por un número

Se define el producto de la matriz A = (aij) por el número real k así:

Propiedades. 1) (k + m ) A = kA + mA

2) (km) A = k(mA)

3) k (A +B) = kA + kB

4) 1.A = A

Consecuencia: El conjunto de las matrices mxn con las operaciones suma y producto por escalares es

un espacio vectorial.

Producto de matrices

Sean las matrices A y B llamaremos producto de matrices A y B, en ese orden, a la matriz C cuyo elemento

genérico Cij es la suma de los productos de la fila i de A por los correspondientes elementos de la columna j de

B, o sea : C = A . B en donde: Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j +..........+aip . bpj

Dadas las matrices

A + B = ( aij + bij )

k.A = ( kaij)

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Sea

Calcule A2

Ejemplos

, , ,

Calcular

a. 2(B + C) y 3B + 7C

b. A (B + C) y AB + AC

Observación: Para que dos matrices, A y B, se puedan multiplicar tiene que ocurrir que el número de

columnas de A sea igual al de filas de B

Propiedades. 1) Asociativa, es decir A(BC) = (AB)C

2) (A +B ) C = AB +BC y A(B +C) = AB +AC

Notas:

1) El producto de matrices, en general, no es conmutativo.

Ejemplo. =,

=

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2) El producto de matrices tiene divisores de cero, es decir, podemos encontrar dos matrices no nulas

cuyo producto sea la matriz nula.

Ejemplo 5. =

Ejemplo. Sean A = , B = , C = .

a) Calcula A B. ¿se puede verificar A.B = B.A? , razona la respuesta.

b) Calcula A.(B.C) y (A.B)C.

Sistemas de Ecuaciones Lineales :

Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar

las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se

interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras

geométricas en el plano o en el espacio).

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma

tradicional así :

un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas,

donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema,

los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema,

las incógnitas xj son las variables del sistema,

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y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las

incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.

Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :

Dode :

Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema,

y la designamos por A.

Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.

Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos independientes.

y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del

sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir

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Clasificación :Atendiendo a sus soluciones :

Atendiendo a sus términos independientes :

Eliminación de Gauss-Jordan

Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan

1. Ir a la columna no cero extrema izquierda 2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga

3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él

4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los

renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón) 5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e

introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes

Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido

al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno

al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada

reducida

Ejemplo Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas

ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga

las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.

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Intercambiar de posición dos ecuaciones

Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos

como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.

En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda

y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4

veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando

1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la matriz aumentada.

Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:

Primero:

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Después,

Por último.

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

Que representa la ecuación: 0x + 0y + 0z = 1, es decir, 0 = 1 que no tiene solución.

EJEMPLOS Resolver el siguiente sistema:

2 3 3

2 1

4 2

x y z

x y z

x y

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Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

x + 2y + 3z = 1

4x + 5y + 6z= −2

7x + 8y + 10z = 5

Inversa de una matriz: propiedades y cálculo. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1

y que verifica: 1 1A A A A I

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1

,

seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad

izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. 2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la

mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho

será la matriz inversa: A-1

.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

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La matriz inversa de A es

Ejemplo Halle la inversa de

1 2 3

2 5 3

1 0 8

A

1 2 3 : 1 0 0

2 5 3 : 0 1 0

1 0 8 : 0 0 1

A

Calcula la matriz inversa de :

DETERMINANTES

Conocimiento previo: Adjuntos

Definición:

Sea entonces

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Siendo el adjunto del elemento

Entonces el determinante de A es

Ejemplo Si

Recordando cómo se calculan los adjuntos (determinante del menor complementario, multiplicado por “-1”

cuando la suma de sub-índices de la posición del elemento es impar):

Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:

Calcule el determinante de

109

435

012

571

123

102

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Un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

Ejemplo

\

Ejemplos

150

121

023

105

123

714

Propiedades de los determinantes

1 . |At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2 . |A |=0 Si:

Posee dos l íneas iguales

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Todos los elementos de una l ínea son nulos.

Los elementos de una l ínea son combinación l ineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3 . Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal

principal .

4 . Si en un determinante se cambian entre sí dos l íneas paralelas su determinante cambia

de signo.

5 . Si a los elementos de una l ínea se le suman los elementos de otra paralela

mult ipl icados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

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6 . Si se mul t ipl ica un determinante por un número real , queda mult iplicado por dicho

número cualquier l ínea, pero sólo una.

7 . Si todos los elementos de una f i la o columna están formados por dos sumandos, dicho

determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8 . |A ·B| =|A| · |B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes

Encuentra A si

5023

3201

6150

4032

A

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Matriz inversa. Cálculo y aplicaciones

Matriz adjunta

Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.

Matriz inversa

La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1

y que verifica:

Solamente tienen inversa las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de

Propiedades de la matriz inversa

(A · B)-1

= B-1

· A-1

(A-1

)-1

= A

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(k · A)-1

= k-1

· A-1

(A t)

-1 = (A

-1)

t

Ejemplo: cálculo de la inversa de la matriz:

Para calcular la inversa, primero calculamos el determinante:

Después calculamos cada uno de los adjuntos :

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2 0

1

x y

x y

3 5 2

4 3 1

x y

x y

Ejemplo Calcule la inversa de

Regla de Cramer para sistemas de dos ecuaciones y dos variables Dado el sistema :

entonces:

Nota: El determinante D es el determinante de la matriz coeficiente. Si D es diferente de cero, entonces el

sistema tiene exactamente una solución. Por otro lado, si D = 0, entonces el sistema tiene infinito número de

soluciones o ninguna solución.

Ejemplo para discusión: Resuelve el siguiente sistema:

Nota: La regla de Cramer no se puede usar para resolver sistemas donde el número de variables no sea igual al

número de ecuaciones.

Ejercicio de práctica: Resuelve el siguiente sistema:

a x a y k

a x a y kcon D

a a

a a

11 12 1

21 22 2

11 12

21 22

0

,

x

k a

k a

Dy y

a k

a k

D

1 12

2 22

11 1

21 2.

Página 20 de 25

x y

y z

x z

2

3 4

3

Regla de Cramer para sistemas de tres ecuaciones y tres variables Dado el sistema:

entonces:

.

E jemplo

Ejemplo para discusión: Resuelve el siguiente sistema:

a x a y a z k

a x a y a z k

a x a y a z k

con D

a a a

a a a

a a a

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

,

x

k a a

k a a

k a a

Dy

a k a

a k a

a k a

Dz

a a k

a a k

a a k

D

1 12 13

2 22 23

3 32 33

11 1 13

21 2 23

31 3 33

11 12 1

21 22 2

31 32 3

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x y z

x y z

x y z

4

2 8

2 3

Ejercicio de práctica: Resuelve el siguiente sistema:

EJERCICIOS

1. Dadas y

(a)Describir los vectores filas y los vectores columnas de y

(b)Hallar , ,

2.En cada uno de los siguientes casos determinar y

(a)

(b)

3.Calcule los productos matriciales y

4. Para las matrices

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Verifique directamente la distributividad a la derecha

(A+B)C=AC+BC

¿Se cumple la distributividad a la izquierda para estas tres matrices? Justi que.

5.Dadas y

(a)Verifique que y

.Dadas las matrices en

Determinar a) 2A+3B + 2C b) AB c) BC

7.Calcular los siguientes determinante:

a) b) c)

8.Calcule los siguientes determinantes usando propiedades:

a) b) c)

9.Calcular el determinante de las siguientes matrices:

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10.Verificar que los siguientes determinantes son nulos:

Dadas las matrices y Hallar de manera que

11 Dadas las matrices

Y

Verifique que y

12. Una matriz se dice idempotente si y sólo si

(a)Pruebe que B es idempotente

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13. Calcule por el método de la adjunta la inversa de las siguientes matrices regulares:

14) Calcula la 1A de

343

215

321

A

15) Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientes matrices.

1)

010

101

011

2)

112

201

121

3)

511

832

521

4)

471

642

853

5)

356

344

122

6)

201

243

121

16. En los siguientes ejercicios encuentra la determinante de la matriz después de introducir ceros como en el

ejemplo anterior.

1)

131

102

013

2)

114

021

403

3)

270

123

345

4)

526

315

620

5)

452

963

322

6)

242

635

583

7)

3021

5310

4102

2213

8)

0212

6134

0502

4023

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17. Utiliza la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas.

1)

42

543

yx

yx 2)

82

232

yx

yx 3)

2473

1652

yx

yx 4)

2473

1652

yx

yx

5)

473

1354

x

yx 6)

82

232

yx

yx

6

12

732

0

zyx

zyx

zyx

7

22

13

42

zyx

zyx

zyx

8

12223

52

184

zyx

zyx

zyx

9

024

522

2

zyx

zyx

zyx

10

3

22

145

zy

yx

zyx