vectores teoria

CAPITULO III

ÁLGEBRA VECTORIAL

3.1 DEFINICION

En física y en ingeniería se trabajan con dos tipos de magnitudes, las denominadas magnitudes escalares que están perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un número seguido de la unidad correspondiente. Ejemplo: la longitud de un cuerpo es 30 cm, la masa es 2 Kg, el volumen 35 cm3, la temperatura es 30 °C, la energía es 2.5 Joules etc. y las magnitudes vectoriales, que necesitan para su definición además del número que representa a su magnitud o intensidad, de una dirección y de un sentido.Estos elementos matemáticos que pueden representar simultáneamente magnitud, dirección y sentido se denominan vectores.

En física existen muchas cantidades que necesariamente deben estar representadas por un vector para estar totalmente definidas, ejemplo: la fuerza, la velocidad, la aceleración, el desplazamiento, el campo eléctrico, el campo magnético etc.

Por consiguiente debemos aprender a realizar operaciones con los vectores.

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR

Un vector puede ser representado gráficamente por una flecha, cuya longitud corresponde a su magnitud, su dirección está dada por la línea recta que sigue la flecha y el sentido por la punta que sigue la flecha:

Línea recta que señala la dirección Sentido del B vector la longitud corresponde a la magnitud

Un vector es representado por una letra mayúscula o minúscula tales como: A, R, T, a, i, j, k, …….. en negritas

o : , , , . En el texto que vamos ha desarrollar utilizaremos la representación de

letras en negrita.La magnitud o el modulo o intensidad de un vector es representado por:

F o simplemente por F

OPERACIONES CON VECTORES

R. Luna Victoria M. 1

Algebraicamente con los vectores podemos realizar operaciones de suma, resta y producto: Las operaciones de suma y de resta pueden realizarse gráficamente, o analíticamente si se define un sistema de coordenadas en el cual están representados los vectores.

Comenzaremos realizando la representación gráfica de las operaciones de suma y de resta de vectores, para lo cual debemos graficar cada vector y definir las propiedades de dichas operaciones.

3.2 PROPIEDADES DE LOS VECTORES

IGUALDAD DE VECTORES:Dos vectores A y B se definen como iguales si tienen la misma magnitud o intensidad, la misma dirección y el mismo sentido.

A B

Se escribe el vector A es igual al vector B (A = B), si sus magnitudes son iguales (A = B), si son paralelos y están en el mismo sentido.

A B

La figura que a continuación se muestra representa a dos vectores paralelos, de la misma magnitud pero de sentidos contrarios. En este caso los vectores no son iguales y se representan analíticamente mediante la ecuación:

B = - A

A

B o - A

Al vector B se le denomina el negativo del vector A.

SUMA DE VECTORESCuando se sumen vectores debe tenerse el cuidado de que todos tengan las mismas unidades. La representación gráfica de la suma de dos vectores puede ser realizada por el método del paralelogramo o el método del polígono:

A) MÉTODO DEL PARALELOGRAMOConsideremos dos vectores cualesquiera P y Q que tienen las mismas unidades y que se encuentran en el espacio. Los vectores pueden trasladarse a un punto o origen común O y por consiguiente se encuentran en un plano como se muestra en la figura:


P S

O Q

Con los vectores P y Q construimos el paralelogramo mostrado en la figura. El vector suma de P + Q es el vector S, que se encuentra en la diagonal del paralelogramo:

S = P + Q

B) MÉTODO DEL POLÍGONO.Consideremos los mismos vectores anteriores P y Q. En el método del polígono debemos dibujar los vectores uno a continuación del otro a partir del punto O. Primero dibujemos el vector P y a continuación el vector Q como lo mostramos en la figura:

Q

P S = P + Q S

O

El vector suma S es el vector dibujado desde el punto O, donde comienza el vector P, hasta el punto final del vector Q. El vector suma o resultante S obtenido por este método es el mismo vector obtenido por el método anterior, es decir tiene la misma magnitud, dirección y sentido.

Cualquiera sea el método usada para la suma de dos vectores geométricamente podemos encontrar la magnitud del vector S si conocemos la magnitud de los vectores P y Q, y el ángulo que forman entre si. Denominemos P Y Q las magnitudes de los vectores y el ángulo que forman entre ellos, por trigonometría:

P S Q

S2 = P2 + Q2 + 2PQ Cos (1)

Ejemplo 1Usando el método gráfico encontrar el vector resultante R de los vectores representados en el plano. A D


B

C

Solución:El vector resultante de los vectores representados es dado por la operación: R = A + B + C + D

Usando el método del polígono tendríamos: B

A C R D

Si conociéramos la magnitud de cada vector y los ángulos que forman entre ellos, estaríamos en condiciones de hallar analíticamente por geometría la magnitud y dirección del vector resultante R.

RESTA O DIFERENCIA DE VECTORES

La operación de resta o diferencia entre dos vectores puede ser tratada como una operación de suma y utilizar cualquiera de los métodos desarrollados anteriormente para la suma. Consideremos dos vectores A y B como los mostrados en la figura y que se encuentran en el plano; la resta o diferencia entre ellos operacionalmente se escribe como:

D = A – B

A B

La operación diferencia dada por la ecuación anterior puede escribirse como:

D = A + (-B)

es decir el vector diferencia D puede considerarse como el resultado de una operación de suma del vector A mas el vector - B . Visto de esta manera puede emplearse cualquiera de los dos métodos de la suma; en este caso usaremos el método del polígono:

- B A


D

También podemos encontrar el vector diferencia D si trasladamos a un origen común los vectores A y B como se muestra en la figura:

D

A B

Comparando las figuras podemos ver que se ha obtenido el mismo vector diferencia D. En este caso el vector D es trazado desde la punta del vector B hasta la punta del vector A.

Si conociéramos la magnitud de los vectores A y B y el ángulo que forman entre ellos, por geometría podemos encontrar la magnitud del vector diferencia D.

D2 = A2 + B2 – 2AB Cos (2)

donde A, B y D son las magnitudes de los vectores respectivamente.

Ejemplo 2La figura muestra un conjunto de vectores en el plano. Encontrar el vector resultante de la siguiente operación: R = A – B + C – F

A B C F

Solución:La operación solicitada puede escribirse como: R = A + (– B) + C + (– F)

Usando el método del polígono para la suma tendremos:

- B

C A


- F R

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALARSi se multiplica un vector por una cantidad escalar tendremos un nuevo vector . Este nuevo vector debe ser paralelo al primero. Si el numero escalar es m y es positivo el nuevo vector es paralelo y en la misma dirección; si es negativo el nuevo vector será paralelo y en sentido contrario. En general se escribe:

R = m S

La figura muestra algunos casos de producto de un escalar por un vector: A B

2A 3B

C ½ D - ½ F

- 2 C D F

en las representaciones gráficas podemos observar: El vector 2A es dos veces mayor que el vector paralelo A donde el número 2 es el escalar; el vector ½ D es la mitad del vector paralelo D donde ½ es el escalar; el vector – 2C es el doble en magnitud que el vector C pero su sentido es contrario e indicado por el signo menos y 2 es el escalar.

3.3 COMPONENTES DE UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO.

Consideremos un vector A de magnitud o intensidad A el cual se ha ubicado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en el plano XY como se muestra en la figura:


Y

A y A, A

X A x

El vector A forma con el eje X un ángulo . El vector se proyecta sobre el eje X dando lugar a la componente A x , que es un escalar, y cuya longitud es:

A x = A Cos

de la misma manera se proyecta sobre el eje Y dando lugar a la componente A y , que es un escalar, y cuya longitud es: A y = A Sen

El triángulo rectángulo que forma el vector con sus componentes nos permite escribir:

A2 = A2x + A2

y o lo que es lo mismo A = ( A2x + A2

y )1/2

donde A es la magnitud del vector A.

Si se conocen las componentes del vector A podemos encontrar el ángulo que forma el vector con el eje X :

tg = ( A y / A x ) o = tg –1 ( A y / A x )

o con el eje Y:

tg = ( A x / A y ) o = tg –1 ( A x / A y )

Ejemplo 3La figura muestra tres vectores A, B y C, ubicados en un sistema de coordenadas cartesianas, y cuyas magnitudes son 4, 6 y 8 unidades respectivamente. Cada uno de los vectores hace con los ejes X e Y los ángulos mostrados. Encontrar las componentes de cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas.

B Y

A


520 480 X

290

C

Solución:Componentes del vector AEste vector se encuentra en el primer cuadrante y forma con el eje +X un ángulo de 480. Sus componentes a lo largo de los ejes X e Y son:

A x = 4 Cos 480 = 2.68 unidades A y = 4 Sen 480 = 2.97 unidades

Componentes del vector BEste vector se encuentra en el segundo cuadrante y forma con el eje –X un ángulo de 520. Sus componentes a lo largo de los ejes X e Y son:

B x = - 6 Cos 520 = - 3.69 unidades B y = 6 Sen 520 = 4.73 unidades

Componentes del vector CEste vector se encuentra en el tercer cuadrante y forma con el eje – Y un ángulo de 290.Sus componentes a lo largo de los ejes X e Y son:

C x = - 8 Sen 290 = - 3.88 unidades C y = - 8 Cos 290 = - 7.00 unidades El problema muestra que las componentes de un vector son cantidades escalares que pueden ser positivas o negativas dependiendo del cuadrante en el que este ubicado el vector y sus unidades son las mismas que las que corresponde al vector.

3.4 VECTOR UNITARIO

Se define como vector unitario a aquel cuya magnitud o intensidad es la unidad y por consiguiente cualquier vector paralelo a el puede ser expresado en función del vector unitario. Tratemos de entenderlo mediante el siguiente ejemplo:Consideremos el vector unitario u y los vectores A, B y C paralelos a el. Si el vector u es unitario se debe cumplir con la siguiente condición:

u = 1


u A B C

De la figura y midiendo cada uno de los vectores podemos comprobar que el vector A contiene 4 veces al vector u, por consiguiente el vector A puede expresarse en función de u de la siguiente manera: A = 4 u

Como la magnitud de u es la unidad, el escalar o factor 4 representara la magnitud del vector A. De la misma manera podemos representar el vector B

B = 3 udonde 3 es la magnitud del vector B.En el caso del vector C, este es paralelo a u pero su sentido es contrario. Para representar al vector C en función de u, este se escribirá de la siguiente manera:

C = - 3 u

Donde debemos entender que 3 es la magnitud de C y el signo menos nos indica que la dirección de C es contraria a la del vector unitario u.

En términos generales cualquier vector puede ser representado en función de un vector unitario, tal que: P = P n

donde P es el vector cuya magnitud es P y n el vector unitario correspondiente que cumple con todas las características enunciadas anteriormente. A partir de esta ecuación si conocemos el vector P y su magnitud P podemos construir el vector unitario n mediante la relación:

n = P / P o n = P / P donde P = P

3.5 VECTORES UNITARIOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO

La figura muestra un sistema de coordenadas cartesianas en el plano. Los ejes X e Y son mutuamente perpendiculares y podemos considerar que a lo largo de estos ejes existen dos vectores unitarios. A lo largo del eje X consideremos el vector unitario i y a lo largo del eje Y el vector unitario j. Y


j A

A y X A x i

En el primer cuadrante del sistema de coordenadas se ha ubicado un vector A que hace con el eje +X un ángulo . De acuerdo a la figura el vector A puede construirse como la suma de dos vectores perpendiculares entre si y paralelos a los ejes X e Y respectivamente. A = A x + A y (1)

Podemos observar que la magnitud del vector A x es igual al valor de la componente A x

del vector A a lo largo del eje X, por consiguiente:

A x = A x i de la misma manera la magnitud del vector A y es igual al valor de la componente A y del vector A a lo largo del eje Y: A y = A y j

Reemplazando en la ecuación (1), tendremos: A = A x i + A y j (2)

La ecuación (2) representa la forma en la que podemos escribir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas en el plano, en función de sus componentes a lo largo de los ejes X e Y y de los vectores unitarios i y j correspondientes.

Si conocemos las componentes de un vector, tal como el vector A, a lo largo de los ejes X e Y, podemos representar al vector en dicho sistema de coordenadas como es dado en la ecuación (2) pero también podemos conocer la magnitud del vector: A = ( A2

x + A2y )1/2 y = tg –1 (A y / A x )

Ejemplo 4Considerando los vectores dados en el ejemplo 3, encontrar:

a) La representación de cada uno de los vectores en el sistema de coordenadas cartesianas.

En el ejemplo 3 encontramos las componentes de cada vector a lo largo de los ejes X e Y. Usando ese resultado representemos cada vector: A = 2.68 i + 2.97 j


B = - 3.69 i + 4.73 j C = - 3.88 i – 7.00 j

b) El vector resultante R = A + B + C . Reemplacemos en la ecuación cada uno de los vectores:

R = (2.68 i + 2.97 j ) + (- 3.69 i + 4.73 j ) + (- 3.88 i – 7.00 j )

factoricemos las componentes en X y las componentes en Y: R = ( 2.68 – 3.69 – 3.88 ) i + ( 2.97 + 4.73 – 7.00) j R = - 4.89 i + 0.7 j

El vector R hallado tiene como componentes R x = - 4.89 y R y = 0.7 , por consiguiente es un vector que se encuentra en el segundo cuadrante.

Y

R X

c) El ángulo que forma el vector R con el eje –X Si denominamos al ángulo que forma R con el eje –X , su valor se puede encontrar de la relación :

= tg –1 ( 0.7/ 4.89) = 8.150

d) El ángulo que forma el vector R con el eje +X

= 1800 – 8.150 = 171.850

e) Cual es la magnitud del vector R

R = ( (-4.89)2 + (0.7)2 )1/2 = 4.94 unidades

Ejemplo 5Dado los vectores: F = -3 i + 4 j , G = 2 i + 5 j y H = -4 i – 6 j . Encontrar:a) En que cuadrante están representados cada uno de los vectores y realizar un gráfico

aproximado de su posición.

El vector F se encuentra en el segundo cuadrante y su magnitud es 5.00 unidades.El vector G se encuentra en el primer cuadrante y su magnitud es 5.39 unidadesEl vector H se encuentra en el tercer cuadrante y su magnitud es 7.21 unidades


Y G F

X

H

b) El vector R = F – 2 G + HReemplazando en R los vectores dados: R = (-3 i + 4 j) – 2 (2 i + 5 j) + (-4 i – 6 j) = - 11 i – 12 j

El vector R se encuentra en el tercer cuadrante.

c) La magnitud y el ángulo que hace el vector R con el eje +X R = ( (-11)2 + (-12)2 )1/2 = 16.28 unidades = 227.490

d) El vector D = 3 F + G – 2 HReemplazando en D los vectores dados:

D = 3 (-3 i + 4 j) + (2 i + 5 j) – 2 (-4 i – 6 j) = i + 29 j

El vector D se encuentra en el primer cuadrante.e) La magnitud y el ángulo que hace el vector D con el eje +X

D = ( (1)2 + (29)2 )1/2 = 29.02 unidades = 88.020

f) El ángulo que forman entre si los vectores R y D

= 227.490 – 88.020 = 139.470

3.6 VECTOR DE POSICIÓN

Un punto queda definido en un sistema de coordenadas cartesianas en el plano si se dan las coordenadas x e y del punto. Consideremos un punto P(x,y) como el mostrado en la figura (a):

Y (a) Y (b)

. P(x,y) P


r y y X X O x O x

En la figura (a) x e y son las coordenadas del punto P y sirven para definir su posición en el plano. Entre el origen de coordenadas O y el punto P en el plano podemos trazar un vector r como el que se muestra en la figura (b).

Al vector r se le denomina “vector de posición del punto P con respecto a O”.

En la figura (b) podemos observar que la coordenada x del punto P corresponde a la componente a lo largo del eje X del vector r y la coordenada y a la componente a lo largo del eje Y. Por tanto podemos escribir el vector de posición r como: r = x i + y j (1)

en función de las coordenadas del punto P.

Por consiguiente para cualquier punto del plano en el sistema de coordenadas cartesianas podemos trazar entre el origen del sistema y el punto un vector de posición r, en el que sus componentes son las coordenadas del punto.

VECTOR DESPLAZAMIENTOConsideremos dos puntos en el plano P(x,y) y Q(x’, y’) que dan lugar a los vectores de posición r y r ‘ como se muestra en la figura.

P(x,y) D Q(x’,y’) r r ‘

Desde el punto Q al punto P podemos trazar un vector D al que vamos a denominar “vector desplazamiento”, cuyo valor puede ser encontrado por la ecuación:

D = r – r ‘ donde los vectores r y r’ son los vectores de posición de los puntos P y Q respectivamente.

r = x i + y j y r’ = x ‘ i + y ‘ j

por tanto el vector D será: D = (x – x ‘) i + (y – y ‘) j y su magnitud: D = ((x – x ‘)2 + (y – y ‘)2)1/2


Ejemplo 6Las coordenadas cartesianas de dos puntos en el plano XY son: P(2.0,-4.0) y Q(-3.0,3.0), donde las unidades son metros. Determine la distancia entre estos dos puntos.

Solución:Lamemos D al vector que va desde el punto P al punto Q: D = (-3.0 – 2.0) i + (3.0 + 4.0) j D = - 5.0 i + 7.0 jLa magnitud del vector D será la distancia entre los puntos: D = ( (-5.0)2 + (7.0)2 )1/2 = 8.6 m

Ejemplo 7Una partícula realiza tres desplazamientos consecutivos, de tal manera que su desplazamiento total es cero. El primer desplazamiento es de 8 m hacia el oeste. El segundo es de 13 m hacia el norte. Encuentre la magnitud y la dirección del tercer desplazamiento.

Solución:Si el desplazamiento total es cero significa que el punto de partida coincide con el de llegada. Gráficamente tendríamos: N

B, 13m C = ? O E

Punto de partida A, 8m y llegada S

Del gráfico podemos observar que: A + B + C = 0 , donde C es el vector que contiene la información para dar respuesta al problema. C = - A – B

Describiendo los vectores A y B en un sistema de coordenadas cartesianas tendremos:

A = - 8 i y B = 13 jLuego el vector C será:

C = 8 i – 13 j y su magnitud C = 15.26 m

Encontrando el valor del ángulo geométricamente:

= tg –1 (8 /13) = 31.610

La respuesta al problema es: la magnitud del tercer desplazamiento es de 15.26 m y su dirección es Sur – 31.610 – Este (S- 31.610- E)


Ejemplo 8Al explorar una cueva, una espeleóloga parte de la entrada y recorre las siguientes distancias. Ella va 75 m hacia el norte, 250 m hacia el este y 125 a un ángulo de 300 hacia el norte del este, y finalmente 150 m hacia el sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva.

Solución:Construyamos mediante vectores de desplazamiento el recorrido:

C Y B 300

X A D Entrada R

Con relación al sistema de coordenadas cartesianas podemos construir cada uno de los vectores. El desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva está dado por el vector R. R = A + B +C + D

Representando cada uno de los vectores en el sistema de coordenadas cartesianas tendremos: A = 75 j B = 250 i C = 108.25 i + 62.5 j D = - 150 j

los que reemplazados en la ecuación nos da el valor del vector R:

R = 358.25 i – 12.5 j

El vector R se encuentra en el cuarto cuadrante y su magnitud y dirección es:

R = 358.47 m y su dirección es 20 al sur del este

Ejemplo 9Un vector A tiene componentes x = - 8.7cm e y = 15 cm; el vector B tiene componentes x =13.2 cm e y = – 6.6 cm. Encontrar:a) Si A – B + 3 C = 0, ¿Cuáles son las componentes de C? Reemplazamos en la ecuación dada los vectores A y B.

- 8.7 i + 15 j – 13.2 i + 6.6 j + 3 C = 0 - 21.9 i + 21.6 j + 3 C = 0


C = 7.3 i – 7.2 j

Las componentes x e y del vector C son 7.3 cm y – 7.2 cm respectivamente. El vector se encuentra en el cuarto cuadrante.

b) Que ángulo hace el vector C con el eje –Y. = tg –1 (7.3/7.2) = 45.40

c) Que ángulo forman entre si los vectores A y B. Ángulo que forma el vector A con el eje +Y:

= tg –1 (8.7/15) = 30.110

Ángulo que forma el vector A con el eje +X.

= + 900 = 120.110

Ángulo que forma el vector B con el eje +X

’ = tg –1 (6.6/13.2) = 26.570

Ángulo entre los vectores A y B :

= + ’ = 120.110 + 26.570 = 146.680

d) La magnitud del vector suma A + B S = A + B = 4.5 i + 8.4 j S = 9.53 cm

e) La magnitud del vector diferencia A – B D = A – B = - 21.9 i + 21.6 j D = 30.76 cm

Ejemplo 10Una partícula realiza tres desplazamientos consecutivos. El primero es hacia el este y tiene una magnitud de 25 m. El segundo es hacia el norte y tiene una magnitud de 42 m. Si el desplazamiento resultante tiene una magnitud de 38 m y está dirigido a un ángulo de 300 al noreste, ¿cuál es la magnitud y la dirección del tercer desplazamiento?.

Solución:Dibujemos aproximadamente los desplazamientos de la partícula considerándolos como vectores A, B y C y el desplazamiento resultante como R:

Y C


X R B A + B + C = R 300

A

Representemos cada uno de los vectores en relación con un sistema de coordenadas cartesianas XY: A = 25 i B = 42 j R = 19 i + 33 j Reemplazando en la ecuación: 25 i + 42 j + C = 19 i + 33 j C = - 6 i – 9 j

El tercer desplazamiento tiene una longitud de 10.82 m y su dirección es: 33.70 suroeste o S - 33.70 – O

.3.7 COMPONENTES DE UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADAS EN EL ESPACIO.

Hasta ahora hemos representado a los vectores ubicados en un plano usando un sistema de coordenadas cartesianas en el que los dos ejes escogidos son mutuamente perpendiculares. Si necesitamos representar al vector en el espacio debemos escoger un sistema de coordenadas cartesiano con tres ejes, los que deben ser entre si mutuamente perpendiculares a los que denominaremos X, Y y Z como se muestra en la figura.

Z P(x,y,z) z z O y Y x x X y

Cada par de ejes forma un plano, así tenemos los planos XY, YZ y ZX. Para fijar un punto en el espacio debemos dar las coordenadas correspondientes a cada uno de los ejes; por ejemplo el punto P(3,4,5) significa que la coordenada tomada sobre el eje X es 3, sobre el eje Y es 4 y sobre el eje Z es 5. En general cualquier punto P(x,y,z) puede ser ubicado si conocemos los valores correspondientes a x, y ,z.

Si entre el punto O (origen del sistema de coordenadas) y el punto P trazamos la recta OP, la longitud de esta la podemos encontrar por geometría igual a:

OP = (x2 + y2 + z2)1/2 (1)

donde x es la proyección de la recta OP sobre el eje X, y la proyección sobre el eje Y, z la proyección sobre el eje Z. La recta OP forma con cada uno de los ejes ángulos a los que denominaremos: con el eje X, con el eje Y, con el eje Z.


P P P

O X O Y O Z x y z

Por geometría podemos ver que:

x = OP Cos y = OP Cos z = OP Cos

los cuales reemplazados en la ecuación (1) nos da la siguiente relación entre los ángulos: Cos2 + Cos2 + Cos2 = 1 (2)

Si consideramos que entre el punto O y el punto P trazamos un vector A, este vector estará representado en el espacio en el sistema de coordenadas cartesiano XYZ; de la misma manera que la recta OP y tendrá el vector A componentes a lo largo de los ejes X, Y y Z a los que denominaremos :

A x A y A z

Si A es la magnitud del vector A entonces:

A x = A Cos A y = A Cos A z = A Cos

Z

A z

k A

A y Y j i A x

X

Si consideramos que a lo largo de cada uno de los ejes existen vectores unitarios i, j y k como se muestran en la figura, a lo largo de cada uno de los ejes podemos construir los vectores A x , A y y A z los cuales son mutuamente perpendiculares y cuyas magnitudes son respectivamente A x , A y y A z

Z

A

Y A x A z

A y


X

Siendo: A x = A x i A y = A y j A z = A z k

con estos vectores podemos construir el vector A como la suma de los vectores componentes como se muestra en la figura

A = A x + A y + A z

A = A x i + A y j + A z k (3)

De esta manera hemos representado un vector en un sistema de coordenadas cartesiano en el espacio o en función de los vectores unitarios i, j y k.La magnitud del vector A se encuentra de la ecuación:

A = (A 2

x + A2y + A2

z)1/2 (4)

VECTOR DE POSICIÓNDado un punto del espacio de coordenadas P(x,y,z), podemos trazar el vector de posición r del punto P con respecto al origen del sistema de coordenadas, tal que:

r = x i + y j + z k

donde x, y , z son las componentes del vector r a lo largo de cada uno de los ejes respectivamente.

VECTOR DESPLAZAMIENTOSi tomamos dos puntos del espacio P(x,y,z) y Q(x’,y’,z’) , entre dichos puntos podemos construir el vector desplazamiento D que va desde el punto Q al punto P y cuyo valor es:

D = (x – x’) i + (y – y’) j + (z – z’) k y cuya magnitud es: D = ( (x –x’)2 + (y – y’)2 + (z – z’)2 )1/2

Ejemplo 18Se tienen dos vectores A = -2 i + j –3 k y B = 5 i + 3 j –2 k . Encontrar:a) Un tercer vector C tal que 3 A + 2 B – C = 0Reemplazando en la ecuación los valores de los vectores A y B tendremos:

-6 i + 3 j – 9 k + 10 i + 6 j – 4 k – C = 0

C = 4 i + 9 j – 13 k

b) ¿Cuales son las magnitudes de A, B y C?

A = 3.74 B = 6.16 C = 16.31


3.8 PRODUCTO DE VECTORES

En el álgebra vectorial existen dos tipos de producto entre vectores, el llamado producto escalar y el producto vectorial.

PRODUCTO ESCALAR.La operación producto escalar entre dos vectores está definido por la ecuación:

A . B = A B Cos (1)

donde A y B son dos vectores cualquiera y A y B sus magnitudes. El ángulo es el que existe entre los vectores si son trasladados a un origen común O, como se muestra en la figura: A

B O

La ecuación (1) muestra un conjunto de propiedades del producto escalar:

a) El resultado de la operación producto escalar es un escalar.b) El producto escalar es una operación conmutativa: A . B = B . Ac) Si = 900 o los vectores son perpendiculares entre si A . B = 0d) Si = 00 o los vectores son paralelos en el mismo sentido A . B = A Be) Si = 1800 o los vectores son paralelos pero de sentido contrario A . B = - A B

De la figura podemos observar que : la proyección de A sobre B es igual a A Cos es decir: la proyección de A sobre B es igual a (A . B)/ A

Si los vectores A y B están representados en un sistema de coordenadas cartesianas, estos pueden escribirse en función de los vectores unitarios i , j y k de la siguiente manera:

A = A x i + A y j + A z k B = B x i + B y j + B z k

Si los multiplicamos escalarmente tendremos:

A . B = A x B x + A y B y + A z B z (2)

En la que se ha utilizado las propiedades del producto escalar, tal como:

i . i = j . j = k . k = 1

i . j = j . i = j . k = k . j = k . i = i . k = 0


Ejemplo 19Se tienen los vectores A = - 3 i + 4 j + 2 k y B = 2 i – 5 j + 4 k . Encontrar:a) La magnitud de cada uno de los vectores:

A = 5.39 B = 6.71

b) El producto escalar A . B Utilizando el resultado obtenido en la ecuación (2) tendremos:

A . B = - 6 – 20 + 8 = - 18c) El ángulo que forman entre si los vectores A y B .Según la ecuación (1) A . B = A B Cos Despejando el Cos tendremos:

Cos = (A . B) / A B Cos = - 18 / ( 5.39x6.71)

= 119.850

d) El ángulo que forma el vector A con el eje X.A lo largo del eje X se encuentra el vector unitario i, por tanto debemos encontrar el ángulo entre el vector A y el vector i. A . i = - 3 A = 5.39 i = 1

De acuerdo a la ecuación (1)

Cos = (A . i) / A

= 123.820

Ejemplo 20Se tienen los siguientes tres puntos del espacio. P(-2,3,-2) , Q(1,-1,4) y R(0.-3,0) los cuales forman un triángulo. Encontrar:a) La longitud de cada lado del triángulo.La figura muestra los tres puntos que se encuentran necesariamente sobre un plano.

Q c a R

b P


Entre los puntos P y Q podemos construir el vector a y entre P y R el vector b y entre Q y R el vector c : a = (1 + 2) i + (-1 – 3) j + (4 + 2) k a = 3 i – 4 j + 6 k b = (0 + 2) i + (-3 – 3) j + (0 + 2) k b = 2 i – 6 j + 2 k c = (0 – 1) i + (-3 + 1) j + (0 – 4) k c = - 1 i – 2 j – 4 k a partir de los vectores podemos encontrar la longitud de cada lado del triángulo: a = 7.81 b = 6.63 c = 4.58

b) Los ángulos internos del triángulo.El valor del ángulo entre a y b = 35.80

El valor del ángulo entre b y c = 86.220

El valor del ángulo entre a y c = 1800 - (35.80 + 86.220) = 57.980

PROBLEMAS PARA RESOLVER

Problema 1Un caminante sale del punto A y recorre 25 Km en la dirección N-300-O hasta el punto B. Sale de B y recorre 25 Km hasta C en la dirección Este. Sale de C y recorre 50 Km al Sur hasta el punto D y desde ahí 25 Km al Este hasta el punto E.

a) Que distancia o cual es el desplazamiento entre A y E.b) En que dirección se encuentra el punto E respecto de A.

Problema 2La figura muestra tres vectores A, B y C en el plano XY. Encontrar:


Y

B, 30 A, 25

200 300 X

450

C, 15

a) Representar cada uno de los vectores en función de los vectores unitarios i y jb) Encontrar el vector resultante S = A + B + C y su ubicación en el plano.c) El ángulo que forma el vector S con el eje +X.d) Encontrar el vector R = 2A – B + 3C y su ubicación en el plano.e) El ángulo que forma el vector R con el eje +X .f) El ángulo que forman entre si los vectores R y S.g) La magnitud del vector D = R – S.

Problema 3 Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas. La primera de 50 N y hace un ángulo de 650 con la horizontal y la segunda de 30 N haciendo un ángulo de 200 con la horizontal. Encontrar:

a) La magnitud de la fuerza resultante.b) El ángulo que hace la fuerza resultante con la horizontal.

Problema 4En el plano XY se encuentran los puntos A(-3,2)m, B(4,7)m y C(5,-6), encontrar:

a) Los vectores de posición de cada uno de los puntos.b) La distancia AB, BC y CA.c) Los ángulos internos del triángulo ABC.d) El área del triángulo.

Problema 5En el primer cuadrante de un sistema de coordenadas XY se encuentra un vector A de 9 m de longitud que hace con el eje +Y un ángulo de 350. En el segundo cuadrante un vector B de 12 m de longitud que hace con el eje – X un ángulo de 270 y en el cuarto cuadrante un vector C de 15 m de longitud que hace con el eje – Y un ángulo de 360. Encontrar:

a) La representación en dicho sistema de coordenadas a cada vector.b) El vector resultante.c) El ángulo que forman los vectores P = A - B y Q = B - C.

Problema 6La figura 1 muestra un rectángulo cuyos lados miden 3 m y 5 m y la figura 2 un triángulo equilátero de 25 cm de lado. Encontrar:


Y Y Fig. 1 F

A B Fig. 2 3

O 5 C O G

a) El vector AB, OB, AC y BCb) El ángulo que forman los vectores OB y CBc) El ángulo que forman las diagonales OB y ACd) El vector OF y FGe) El ángulo que forman los vectores OG y FG.

Problema 7Se tienen los puntos del espacio P(2,3,4), Q(-1,5,-3), R(0,2,-1) y S(1,0,1) encontrar:

a) Los vectores de posición correspondientes a cada punto.b) Los vectores PQ y RS y el valor de sus magnitudes.c) El vector resultante de la suma de los vectores PQ + RS + PS y el valor de su

magnitud.d) La longitud de PQRS.

BIBLIOGRAFÍA.

Beatriz Alvarenga-Antonio Máximo. Física General. 3ra Edición. Harla 1993 Jerry D. Wilson. Física. 2da Edición. Prentice Hall. Frank J. Blatt, Física 3ra Edición, Prentice may Nilo Figueroa, Física Básica y medio ambiente, 2001 F. Bueche, Fundamentos de Física. McGraw Hill


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