5. vectores

8/7/2019 5. Vectores

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UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

APONTAMENTOS DE

LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA

(V. Vectores)


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REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVILVectores

APONTAMENTOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA

ndice

5. Vectores no plano e no espao.......................................................................................... 1

5.1 Introduo ........................................................................................................................... 1

5.2 Generalidades sobre vectores.............................................................................................. 2

5.3 Norma de um vector............................................................................................................ 6

5.4 Co-senos directores de um vector ....................................................................................... 95.5 Produto interno.................................................................................................................. 10

5.6 ngulo entre dois vectores ............................................................................................... 12

5.7 Projeco ortogonal .......................................................................................................... 15

5.8 Produto externo ................................................................................................................ 17

5.9 Produto misto ................................................................................................................... 27


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APONTAMENTOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA1/31

5. Vectores no plano e no espao

5.1 Introduo

Muitas grandezas fsicas, como velocidade, fora, deslocamento e impulso, para serem completamente

identificadas, precisam, alm da magnitude, da direco e do sentido. Estas grandezas so chamadas

grandezas vectoriais ou simplesmente vectores. Geometricamente, vectores so representados por

segmentos (de recta) orientados (segmentos de rectas com um sentido de percurso) no plano ou no

espao. A ponta da seta do segmento orientado chamado ponto final ou extremidade e o outro

chamado ponto inicial ou origem do segmento orientado.

Segmentos orientados com a mesma direco, mesmo sentido e mesmo comprimento representam o

mesmo vector. A direco, o sentido e o comprimento do vector so definidos como sendo a direco,

o sentido e o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam.

Este facto anlogo ao que ocorre com os nmeros racionais e as fraces. Duas fraces representam

o mesmo nmero racional se o numerador e o denominador de cada uma delas estiverem na mesma

proporo. Por exemplo, as fraces 1/ 2 , 2 / 4 e 3/ 6 representam o mesmo nmero racional. A

definio de igualdade de vectores tambm anloga igualdade de nmeros racionais. Dois nmeros

racionais /a b e /c d so iguais, quando ad bc= . Dizemos que dois vectores so iguais se possuem o

mesmo comprimento, a mesma direco e o mesmo sentido.

Como vimos, os elementos dos espaos vectoriais so designados por vectores. Em tudo o que se segue

vamos considerar o espao vectorial real (euclidiano) com n dimenses, n que representa o espao de

todos os n-uplos ordenados de nmeros reais, { }1 2( , , ..., ) : , 1, 2,...,n

n ix x x x i n= = . As definies e

os teoremas aqui apresentados podero ser generalizados a n , contudo os exemplos sero limitados a

2 ou 3 , onde os vectores tm representao geomtrica.

Os elementos de n tm duas interpretaes geomtricas. Podem ser interpretados como pontos, neste

caso consideram-se 1,..., nx x como as coordenadas do ponto, ou podem ser interpretados comovectores, neste caso 1,..., nx x so as componentes escalares do vector. Esta distino pouco

importante em termos matemticos. Vamos representar os vectores de n com uma seta por cima, por

exemplo, 1( , ..., )nv v v

, os pontos por letras maisculas e a origem por (0,0,...,0)O = =0 .


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5.2 Generalidades sobre vectores

Vamos comear por relembrar, de uma maneira sucinta, alguns conceitos sobre vectores. Para isso,

consideremos em 2 o segmento[ ]AB , como se ilustra na figura1.

Figura1 Representao de um segmento em 2

O segmento [ ]AB pode ser orientado de A para B (o sentido a considerar de A para B) ou de B para

A. Graficamente para se indicar o sentido de segmento usa-se uma seta.

Figura2 Representao de vectores em2

Definio1: A um segmento orientado [ ]AB de origem em A e extremidade em B, de que se conhece a

direco, o sentido e o comprimento, d-se o nome de vector. E representa-se por v AB

.

Obs.1: Sendo [ ]AB um segmento orientado est implcita a direco e o sentido.


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Atravs da definio conclui-se que um vector v AB

fica de totalmente definido se conhecermos:

i) o sentido, por exemplo, de A para B;

ii) a direco, entre A e B;

iii) o comprimento, a distncia entre os pontos A e B (ou seja, o comprimento do segmento [ ]AB , isto

, AB ) dada pela norma do vector e representada por v , como veremos mais adiante.

Obs.2: O vector nulo representado por 0

, uma vez que tem comprimento nulo. Note-se que 0

no

tem direco (no est associada qualquer direco).

O vector livre, no sentido que no tem posio fixa, ao contrrio do ponto e do segmento orientado.

Por exemplo, o vector v AB

pode ser representado por um segmento orientado com origem no ponto

A. Mas, poderia ser representado por um segmento orientado cujo ponto inicial poderia estar em

qualquer outro lugar, deste que tenha a mesma orientao e comprimento.

Figura3 Representao de vectores em 2

Todos os vectores da figura3 representam o mesmo vector, com excepo do vector 4v

, que apesar de

ter a mesma direco, tem sentido e comprimento diferentes dos demais.

Definio2: Vectores com a mesma direco dizem-se vectores colineares.

Definio3: Vectores com a mesma direco, o mesmo sentido e o mesmo comprimento, dizem-se

vectores equipolentes.


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Como se pretende determinar um vector pelo seu comprimento, direco e sentido, os vectores

equipolentes so considerados iguais mesmo que estejam situados em posies diferentes. Se u

e v

so equipolentes ento u v

.

Como ilustra a figura2, considerando um ponto A e um vector v

aplicado em A (a origem). Somando a

A o vector v , obtm-se o ponto B, extremidade do segmento orientado [ ]AB , e escreve-se

A v B v B A+ = =

. Assim, representa-se um vector pela diferena entre os pontos extremidade e

origem, ou seja, v AB B A= =

. Ao somarmos ao ponto A o vector v

obtm-se, como vimos, o ponto

B, dizendo-se que se efectuo uma translao, segundo a direco de v

.

Damos, agora, um significado geomtrico multiplicao escalar, adio e subtraco de vectores.

Definio4: Sejam u

e v

vectores quaisquer de n , a sua soma 1 1 2 2

( , ,..., )n n

u v u v u v u v+ = + + +

.

Sejam 1 2( , )u u u=

e 1 2( , )v v v=

dois vectores de 2 . Tendo em conta a definio4, a soma destes

vectores 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )w u v u u v v u v u v= + = + = + +

, representada geometricamente na figura4.

Figura4 Adio de vectores em 2

A figura ilustra que, se u

e v

so dois vectores quaisquer, ento a sua soma determinada da maneira

que se segue: Colocar o vector v

de maneira a que o seu ponto inicial coincida com a extremidade de

u . O vector w u v= + representado pela seta que vai do ponto inicial de u ao ponto final de v .

A extremidade de w

est localizado 1u unidades horizontais e 2u unidades verticais a partir da

extremidade de v

. Geometricamente, a extremidade de w

est localizada na extremidade de u

, se u

sofrer uma translao paralela a ele prprio de tal forma que a sua origem coincida com a extremidade

de v

. Assim, pode interpretar-se w como sendo a diagonal do paralelogramo com lados u e v .


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Definio5: Sejam u

e v

dois vectores quaisquer de n a diferena entre u

e v

( )u v u v = +

.

Para se interpretar geometricamente a diferena entre dois vectores, considera-se 2,u v

. Pela

definio5, 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( , ) ( , ) ( , )w u v u v u u v v u v u v= = + = + =

, ver figura5.

Figura5 Subtraco de vectores em 2

Note-se que as componentes de w

so a diferena entre as componentes de u

e v

. O vector w

tem o

comprimento e a direco de um vector que aponta a partir da extremidade de v

para a extremidade de

u

, como se ilustra na figura5. Por outras palavras, pode interpretar-se w

geometricamente, pela

translao de um vector desenhado a partir da extremidade de v

para a extremidade de u

paralelo a si

prprio at que a sua origem esteja na origem do referencial.

A discusso apresentada em cima, pode levar-nos a pensar no vector que vai da extremidade de v

extremidade de u , como sendo u v

, e no apenas uma translao paralela de u v . De facto,

conveniente e til pensar-se em termos de translaes paralelas de um dado vector, isto , vectores que

tm a mesma direco e comprimentos, mas com as suas origem fora da origem do referencial, como

representando o mesmo vector, mas desenhados em diferentes partes do espao.

Definio6: Sejam 1( ,..., )nu u u

um vector de n diferente de zero e \{0} . Define-se

multiplicao escalar como sendo 1 2( , ,..., )n

nu u u u =

. Define-se 0u =

se 0 ou 0u

.

Tambm neste caso, considerando 2u

e \{0} , temos 1 2 1 2( , ) ( , )u u u u u = =

. O vector

u

chamado um escalar mltiplo de u

, tem a mesma direco de u

, mas | | vezes o seu

comprimento. Caso 0> os dois vectores tm o mesmo sentido, caso 0< os vectores tm sentidos

opostos. Vectores escalares mltiplos uns dos outros como so paralelos, forma um conjunto

linearmente dependente.


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Figura6 Multiplicao escalar de um vector em 2

Caso 1 = , tem-se u u =

, o vector simtrico de u

, que tem a mesma direco e o mesmo

comprimento de u

, mas sentido contrrio.

Sejam u

e v

dois vectores com a mesma direco, sempre possvel determinar um escalar , tal

que u v=

(designada por condio de colinearidade de dois vectores). Como vimos, u

e v

tm a

mesma direco; e o mesmo sentido ou sentido contrrio caso o escalar seja positivo ou negativo.

Definio7: Os vectores u

e v

dizem-se paralelos se u v=

ou v u=

para algum escalar 0 .

Obs.3: Um vector pode ser representado em notao matricial como uma matriz linha ou coluna.

Como 2 e 3 so espaos vectoriais, os seus elementos verificam os axiomas dos espaos vectoriais.

Por exemplo, a figura4, ilustra que w u v v u= + = +

, a soma de vectores comutativa.

5.3 Norma de um vector

O comprimento de um vector u

definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos

orientados que o representam, chamado de norma de u

e representa-se por u

.

Definio8: Seja 1( ,..., )nu u u=

um vector de n , define-se norma euclidiana de u

como sendo o

escalar 2 21 ... nu u u= + +

. Equivalentemente, u AB B A= =

.

Obs.4: H uma infinidade de normas que podemos definir em n . A norma euclidiana motivada pela

frmula do comprimento de um vectorno plano, que se pode deduzir atravs do teorema de Pitgoras.


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Para noes geomtricas a mais natural, por isso, no mbito desta disciplina, consideramos apenas a

norma euclidiana. Esta generaliza o conceito de mdulo em . Um espao ao qual associamos uma

norma, designa-se por espao normado.

Exemplo1: Pelo teorema de Pitgoras, verificamos que o comprimento do vector

21 2( , ) (1, 3)u u u= =

2 21 2( , ) (1, 3) 1 ( 3) 10u u u= = = + =

. Este valor corresponde

distncia de (0,0)O = ao ponto (1, 3)A = , ou ao comprimento do segmento [ ]OA , 10OA .

Intuitivamente, pelo que foi apresentado, definir uma norma euclidiana em n , permite-nos sempre,

definir uma distncia (o reciproco no verdadeiro). De facto, sejam 1 1 1 1( , , )P x y z e 2 2 2 2( , , )P x y z

pontos de 3 , sabemos que a distncia entre eles 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( )d P P x x y y z z= + + . Por

outro lado, sendo 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1( , , )u PP P P x x y y z z= = =

, pela definio de norma, vem

2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )PP P P x x y y z z= = + +

, ou seja, 1 2 1 2( , )d P P P P=

a distncia entre os

pontos 1P e 2P igual norma do vector por eles definido, 1 2P P

.

Como concluso, pelo que foi apresentado, uma vez que, os elementos de 2 e 3 , podem ser

considerados vectores ou pontos, salientam-se duas situaes: Se considerarmos pontos, a norma 1 2 2 1( , )d P P P P= representa a distncia entre dois pontos;

Para vectores, a norma 1 2 2 1( , )d P P P P= corresponder ao comprimento do vector definido por

1P e 2P , 1 2 2 1P P P P=

.

Por outro lado, efectuando uma translao do vector de maneira a que tenha origem na origem do

referencial, 2 1 3 3( , )v P P P d O P= = =

(a norma de 3P representa a distncia deste ponto origem),

onde 3 2 1P P P= , ou seja, o comprimento do vector 1 2v P P= numericamente igual ao comprimento

de um vector equipolente a v

com origem na origem do referencial.

Vamos apresentar, sem demonstrao, algumas propriedades da norma euclidiana.


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Teorema1: Seja 1 2( , ,..., )nu u u u=

e 1 2( , ,..., )nv v v v=

dois vectores de n , 0 (0,0,...,0)=

o vector nulo

e (um escalar), ento:

(i) 0u

(mais precisamente 0u >

sse 0u

e 0u =

sse 0u =

);

(ii) u u =

;

(iii) u v u v+ + , , nu v ;

(iv) u v u v

, , nu v

;

(v) uv u v=

, , nu v

;

(vi)uu

v v=

, ,n

u v

com 0v

;

(vii)nn

u u= n

u

, n ;

(viii) u u =

, nu

, .

A propriedade (iii) conhecida como desigualdade triangular pois generaliza o resultado da geometriaeuclidiana que diz que a soma dos comprimentos de dois lados de um tringulo sempre maior ou

igual ao comprimento do outro lado. Pensando em termos de vectores de 2 , ao considerar um vector

u

, com a sua origem na origem do referencial, e um vector v

, com a sua origem na extremidade de u

,

como dois lados de um tringulo, ver figura4, ento o lado que sobra dado por u v+

, verificando-se a

desigualdade triangular. A igualdade atingida quando u v=

ou v u=

, com 0 > .

Figura7 Versor de um vector de 2 , vers( )v v v=

Um vector com norma igual a 1 diz-se um vector unitrio ( 1v v=

um vector unitrio).

Normalizar um vector dividi-lo pela sua norma. Ao vector resultante d-se o nome de versor. Seja por

exemplo, v

, com 1v

, ento vers( )v

vv

=

e vers( ) 1v =

(claro que, se 1v =

, ento ver( )v v=

).


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Definio9: Dado um vector v

define-se versor de v

, como sendo o vector unitrio com a mesma

direco e sentido de v

. Portanto,vers ( ) vers ( )v

v v vv

= =

com1

v = .

Da propriedade (viii), onde se v que a norma da multiplicao de um escalar por u

o produto entre o

mdulo do escalar e a norma de u

, se 0u

, ento1 1

vers ( ) 1uu

u u uu u uu

= = = = =

, e

u

u

tem uma distncia unitria a partir da origem, o que confirma o facto do versor ter comprimento 1.

5.4 Co-senos directores de um vector

A figura8 ilustra que a direco de um vector especificada pelo ngulo que este faz com o eixo

das abcissas (eixo horizontal) ou pelo ngulo que este faz com o eixo das ordenadas (eixo vertical).

Figura8 Co-senos directores de um vector em 2

Tendo em conta que o comprimento do vector e v

v

, da figura8, vem 1cos sinv

v = = e

2cos sinv

v= = . Assim, apesar de nem cos ou cos , s por si determinarem a direco do

vector, juntos determinam completamente essa direco, so designados por co-senos directores de v

.

Deste modo, a direco do vector v

em 2 pode ser determinada por 1 2(cos ,cos ) ,v v

uv v

= =

.

Portanto, pelo que foi dito, as componentes do vector u

, os cosenos directores, so os cosenos dosngulos entre v

e os eixos coordenados (entre os vectores da base cannica, porqu?). No espao

vectorial 3 , os co-senos directores do vector 1 2 3( , , )v v v v=

so os co-senos dos ngulos entre v

e

cada um dos trs vectores unitrios 1 2,e e

e 3e

que definem a base cannica de 3 . Assim, o co-seno do

ngulo entre o vector v

eie

cos ii i

vu

v = = , 1,2,3i = , e, analogamente a

2 , a direco de um


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vector no nulo de 3 especificada por 31 2, ,vv v

uv v v

=

. A interpretao deste resultado tornar-se-

mais clara quando se falar de ngulos em 2 e 3 .

Obs.5: Repare-se que se1

cosn i ii

u e=

= , 1u , e que os cosenos directores coincidem com as

componentes do versor do vector no normalizado v

(tm a mesma direco de v

).

Exemplo2: O vector 1 2( , ) (1, 3)v v v= =

de 2 tem comprimento 10 1v =

e direco

especificada por ( )31 110 10 10, (1, 3)u= =

, repare-se que ( ) ( )

2 22 2 3 1 911 2 10 10 10

1u u u += + = + = =

,

ou seja, u

um vector unitrio, uma vez que o seu comprimento igual unidade.

5.5 Produto internoou escalar

Em 2 e 3 as noes habituais de ngulo e distncia podem ser apresentados custa do chamado

produto interno. Comecemos por considerar dois vectores de 2 para deduzirmos a expresso do

produto interno, para depois a generalizarmos a n . Suponha-se 1 2( , )u u u=

e 1 2( , )v v v=

dois vectores

de2

, diferentes do vector nulo. Sejam e os ngulos entre u

e v

e a parte positiva do eixohorizontal (das abcissas), respectivamente, medidos na direco contrria dos ponteiros do relgio

(directa). Supondo ainda que > , seja = . Ento, o ngulo entre u

e v

medido na

direco contrria dos ponteiros do relgio, como ilustra a figura9.

Figura9 ngulo entre dois vectores de 2


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Em particular, se u

e v

forem vectores no nulos de um espao bi-dimensional ou tri-dimensional, e

assumindo que esses vectores tem a mesma origem. Quando se refere ao ngulo entre u

e v

, queremos

dizer o ngulo determinado por u

e v

que satisfaa 0 (o ngulo entre dois vectores

definido como sendo o ngulo mais pequeno entre eles).

A partir da frmula de subtraco para o co-seno vem

1 1 2 2 1 1 2 2cos cos( ) cos cos sin sin cosu v u v u v u v

u v u v u v

+= = + = + = ,

uma vez que

1cosu

u = , 1cos

v

v = , 2sin

u

u = e 2sin

v

v = .

Analogamente, se 1 2 3( , , )u u u u=

e 1 2 3( , , )v v v v=

forem dois vectores de 3 , diferentes do vector nulo

e se for o ngulo positivo mais pequeno entre u

e v

, ento 1 1 2 2 3 3cosu v u v u v

u v

+ += .

Generalizando, sejam 1 2 3( , ,..., )u u u u=

e 1 2( , ,..., )nv v v v=

dois vectores de n , diferentes do vector

nulo e se for o ngulo positivo mais pequeno entre u

e v

, ento 1 1 2 2...

cos n nu v u v u v

u v

+ + += .

Definio10: Sejam u

e v

dois vectores de um espao vectorial Equalquer, define-se produto interno

entre estes dois vectores por | cosu v u v u v = = , onde o ngulo entre os vectores u e v .

Quando os vectores so dados em termos das suas componentes no conhecemos directamente o

ngulo entre eles. Por isso, precisamos de encontrar uma forma de calcular o produto interno que no

necessite do ngulo entre os vectores.

Caso u

e v

sejam dois vectores de n , uma vez que, 1 1 2 2...

cos n nu v u v u v

u v

+ + += , o produto interno

entre estes vectores 1 1 2 2cos ... n nu v u v u v u v u v = = + + +

(porqu?).

Obs.6: Escrevendou

e v

como matrizes coluna, U e V , respectivamente, vem T Tu v U V V U = =

.

Note-se que o produto interno entre dois vectores de n um escalar (um nmero que pertence a ) e

no um vector. Por este motivo, ao produto interno tambm se d o nome de produto escalar.

Principalmente na literatura inglesa pode aparecer a designao ,u v

.


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No teorema seguinte apresentam-se algumas propriedades, sem demonstrao, do produto interno.

Teorema2: Para quaisquer vectores u

, v

e w

de n e um escalar :

i) | |u v v u=

(comutatividade);

ii) ( ) | ( | )u v u v =

(associatividade);

iii) | ( ) | |u v w u v u w+ = +

(distributividade);

iv)2

| 0u u u=

;

v) | 0u u =

sse 0u =

;

vi) |u v u v

(desigualdade de Cauchy-Schwarz);

vii)2 21 1

4 4|u v u v u v= +

;

Obs.7: Evite o erro seguinte: | |u v u w v w= = . O correcto

| | | | 0 | ( ) 0 ( )u v u w u v u w u v w u v w= = =

.

Exemplo3: Para se obter um contra-exemplo, relativamente ltima observao, considere-se

(1,0,0)u =

, (4,2,1)v =

e (4,1,1)w =

vectores de 3 , temos | 4 |u v u w= =

apesar de v w

.

Obs.8: Como foi referido, anorma euclidiana a mais usada em n , uma das razes disso, o facto

de estar associada a um produto interno 2|v v v= |v v v= , nv , de facto,

2 2 21 2 1 2 1 2| ( , ,..., ) | ( , ,..., ) ...n n nv v v v v v v v v v v= = + + +

2 2 21 2| ... nv v v v v v = + + + =

.

5.3 ngulo entre dois vectores de 2 e 3

A definio de produto interno permitir-nos definir ngulos entre dois vectores quaisquer no nulos.

Vamos definir o ngulo entre dois vectores de 2 e 3 .

Tendo em conta que|

cosu v

u v =

, e, uma vez que, a desigualdade de Cauchy-Schwarz garante que

|1 1

u v

u v

(porqu?) para quaisquer vectores no nulos u

e v

de n , ou seja, 1 cos 1 .

Pode ento enunciar-se a seguinte definio.


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Definio11: Sejam u

e v

vectores no nulos de 2 ou 3 , ento o ngulo entre u

e v

o nmero

|arccos

u v

u v

=

, 0 .

Exemplo4: Clculo dongulo entre a diagonal de um cubo e uma das suas arestas.

Resoluo: Seja k o comprimento de cada aresta, vamos considerar as seguintes coordenadas,

1 ( ,0,0)v k=

, 2 (0, ,0)v k=

e 3 (0,0, )v k=

, como se ilustra na figura10.

Figura10 Cubo com arestas de comprimento k

Uma diagonal do cubo representada pelo vector 1 2 3( , , )u k k k v v v= = + +

. O co-seno do ngulo entre

u

e 2v

2

2 2 2

22 2 2

| | 1cos

33

v u v e k

v u v e k k = = = =

. Assim, ( )33arccos 54,74 = .

Seja o ngulo entre u

e v

, recorde-se que 0 . Portanto, se u

e v

forem vectores, no nulos

de 2 ou 3 , com | 0u v =

, ento pela defino11, o ngulo entre u

e v

arccos(0)2

= = , ou seja,

os vectores so perpendiculares, tambm designados por ortogonais. O que motiva a seguinte definio.

Definio12: Os vectores u

e v

de 2 ou 3 , dizem-se perpendiculares, u v

, sse | 0u v =

.

Exerccio1: Mostre que 1 2 1 2| ( 3 ) | (2 3 ) 7u v e e e e= + =

.

Se dois vectores u

e v

forem perpendiculares (ortogonais) ento qualquer escalar mltiplo de um

deles, u

ou v

, perpendicular ao outro, v

ou u

, respectivamente


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uma conveno conveniente na matemtica no restringir esta definio de ortogonalidade a vectores

no nulos. Uma vez que, resulta da definio que 0

ortogonal a qualquer vector de n , pois

0 | 0u =

. Para alm disso, 0

o nico vector de n que tem esta propriedade.

Teorema3: Sejam u

e v

vectores no nulos de um espao bi-dimensional ou tri-dimensional, seja ( 0 ) o ngulo entre eles, ento:

(i) agudo ( 0 90 < ) sse | 0u v >

;

(ii) obtuso ( 90 180< ) sse | 0u v <

;

(iii) recto sse ( 90 = ) | 0u v =

.

Como sabemos, dois vectores so paralelos quando um deles for um escalar mltiplo no nulo do outro.

A partir da demonstrao da desigualdade de Cauchy-Schawrz, quando u

e v

so paralelos, ento

|u v u v=

(porqu?). Assim, se for o ngulo entre u

e v

,|

cos 1u v

u v = =

, donde, 0 = ou

= , ou seja, u

e v

apontam na mesma direco ou apontam em direces opostas (tm o mesmo

sentido ou sentidos opostos).

Exemplo5: Os vectores (1, 3)u =

e ( 2,6)v =

so paralelos uma vez que1

2u v=

( 12= ). Note-

se que | 20u v = e 10 40 20u v = = , |u v u v= . Resulta que o ngulo entre u e v = ,

ou seja, estes vectores tm a mesma direco mas sentidos opostos (apontam em direces opostas).

Dois resultados importantes sobre tringulos em 2 e 3 so a desigualdade triangular e o teorema de

Pitgoras, vamos ver de que maneira esto relacionados.

A desigualdade triangular foi apresentada como sendo a propriedade (iii) da norma euclidiana

(teorema1), cite-se, se u

e v

forem vectores de

n

, ento u v u v+ +

. Vamos demonstraresta desigualdade visando a obteno do teorema de Pitgoras. Utilizando a obs.8 vem

2 2 2( ) | ( ) | 2( | ) | 2( | )u v u v u v u u u v v v u u v v+ = + + = + + = + +

e, uma vez que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, |u v u v

, resulta


17/33



( )22 2 2

2u v u u v v u v u v u v+ + + = + + +

.

Donde2 2 2

u v u v+ = +

sse | 0u v =

(porqu?), isto , sse u v

. Resultando o seguinte teorema.

Teorema4 (teorema de Pitgoras): Os vectoresu

e v

de

n

so ortogonais sse

2 2 2

u v u v+ = +

.

Obs9.: O teorema4 generaliza o teorema de Pitgoras a n .

Teorema5: Vectores 1 ,...,n

nv v

no nulos e ortogonais dois a dois forma um conjunto L.I..

Definio13: Seja S um subespao de n . Uma base de Vconstituda por vectores ortogonais dois a

dois diz-se uma base ortogonal de V. Uma base ortogonal cujos vectores tm norma 1 diz-se uma base

ortonormada de V.

Uma condio necessria e suficiente para que os vectores 1 2, ,..., nv v v

de n constituam uma base

ortonormada que

se|

sei ji j

v vi j

1, ==

0,

o que garante que os vectores so unitrios, ortogonais dois a dois e formam um conjunto L.I..

Exemplo6:1) A base cannica de n uma base ortonormada;

2) As bases {(2,0),(0,3)} e {(2,1),(3, 6)} so bases ortogonais de 2 , mas no so ortonormadas.

5.7 Projeco ortogonal

Em muitas aplicaes de interesse decompor um vector v

na soma (combinao linear) de dois

termos, um paralelo e outro perpendicular a determinado vector u

. Se v

e u

estiverem posicionados

de maneira a que os seus pontos iniciais coincidam num ponto P , podemos decompor o vector v

daseguinte maneira (ver figura11): Traar uma perpendicular a partir da extremidade de v

at u

, e

construir o vector 1w

com ponto inicial em P e extremidade na interseco desta perpendicular com

u

. Por outro lado, sabemos que 2 1w v w=

. Como ilustra a figura11, os vectores 1w

e 2w

so,

paralelo e perpendicular a u

, respectivamente, e 1 2 1 1( )w w w v w v+ = + =

.


18/33



Figura11 Projeco ortogonal

O vector 1w

chamado a projeco ortogonal de v

em u

ou vector componente de v

ao longo de u

e

representado por 1 projuw v=

. O vector 2w

chamado vector componente de v

ortogonal a u

. Como

2 1w v w=

, vem 2 projuw v v=

. O teorema6 fornece frmulas para se calcular estas duas igualdades.

Teorema6: Se v

e u

so vectores de 2 ou 3 e se 0u

, ento:

i) 1 2|

projuv u

w v uu

= =

, vector componente de v

ao longo de u

;

ii) 2 2|

proju

v uw v v v u

u= =

, vector componente de v

ortogonal a u

.

Obs.10:

(i)A projeco ortogonal de um vector v sobre um vector u no depende da norma de u , ou seja, para

qualquer 0 > , proj proju uv v =

.

(ii) Dados trs vectores u

, v

e w

, tais que 0w

, ento proj ( ) proj projw w w

u v u v+ = +

.

Exemplo7: Sejam ( 1,2,1)v =

e (1, 1, 2)u =

. Calcule a projeco ortogonal de v

em u

e o vector

componente de v

ortogonal a u

.

Resoluo:

i) A projeco ortogonal de v

em u

562 2| ( 1,2,1) | (1, 1, 2)proj (1, 1, 2) (1, 1, 2)

(1, 1, 2)u

v uv u

u

= = =

.

ii) O vector componente de v

ortogonal a u

5 16 6proj ( 1,2,1) (1, 1, 2) ( 1,7, 4)uv v = + =

. Claro

que, proj ( proj )u uv v v

, de facto, 1 1 16 6 6( 1, 7, 4) | ( 5, 5,10) (5 35 40) 0 = + = .


19/33



Uma frmula para o comprimento da projeco ortogonal de v

ao longo de u

pode ser obtido

escrevendo 1 2 2 2| | | | | | | |

proj proju uv u v u v u v u

w v u u u vuu u u

= = = = =

. Considerando o

ngulo entre v

e u

, ento | cosv u v u =

, donde proj | cos |u v v =

. A interpretao geomtrica

deste resultado ilustrada pelafigura12.

Figura12 Interpretao da projeco ortogonal

Exemplo8: Sejam (2, 1,3)v =

e (4, 1,2)u =

. Encontre dois vectores 1w

e 2w

tais que 1 2v w w= +

,

1w

paralelo a u

e 2w

perpendicular a u

.

Resoluo: Como | 15u v =

e2

21u =

, vem

15 20 5 101 21 7 7 72

|proj ( )(4, 1,2) ( , , )u v uw v uu

= = = =

e20 5 10 6 2 11

2 1 7 7 7 7 7 7(2, 1,3) ( , , ) ( , , )w v w= = .

5.8 Produto externo ou produto vectorial entre dois vectores de 3

Em muitas aplicaes de vectores de 3 a problemas de engenharia, geometria e fsica,..., tem

interesse construir um vector que perpendicular a dois vectores dados. Como foi visto, no existe uma

generalizao para se definir o operador multiplicao de vectores em n , onde o produto resultante

seja um vector da mesma dimenso. Vamos definir um tipo de multiplicao entre dois vectores, cujoresultado um vector (chamado produto externo ou vectorial), apenas com aplicao em 3 .

Deduo da expresso cartesiana do produto externo. Sejam 1 2 3( , , )u u u u=

e 1 2 3( , , )v v v v=

dois

vectores de 3 , no paralelos. Queremos encontrar um terceiro vector 1 2 3( , , )w w w w=

perpendicular a

u

e v

. Como estamos a supor que u

e v

forma um conjunto linearmente independente (porqu?), a


20/33



direco do vector procurado univocamente determinado por u

e v

. Assim, como se pretende-se que

| 0w u =

e | 0w v =

, temos que resolver as equaes

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

0

0

u w u w u w

v w v w v w

+ + =

+ + =

em ordem a 1 2,w w e 3w . Como { , }u v linearmente independente a matriz do sistema

1 2 3

1 2 3

u u uA

v v v

=

tem caracterstica 2, portanto, existe um determinante principal de ordem 2 (maior determinante

diferente de zero que se pode extrair da matriz da matriz). Suponhamos que

1 22

1 2

0u u

v v

= ,

assim, vamos considerar como principais as incgnitas 1w e 2w e como livre a varivel 3w (poderiam

ser outras). Como no h determinantes caractersticos e existem incgnitas no principais o sistema

possvel e indeterminado (tem mais incgnitas do que equaes). Pelo que foi dito

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

0

0

u w u w u w u w u w u w

v w v w v w v w v w v w

+ + = + =

+ + = + = ,

a matriz ampliada do sistema [ | ]A B , onde 1 2 1 2 2 11 2

| |u u

A A u v u vv v

= =

e 3 3

3 3

u wB

v w

=

, portanto

3 3 21 3 2 2 3 3

3 3 2

| | ( )u w u

A u v u v wv w v

= = +

e 1 3 32 1 3 3 1 3

1 3 3

| | ( )u u w

A u v u v wv v w

= = +

.

Vindo, pela regra de Cramer, 3 2 2 3 3111 2 2 1

( )| |

| |

u v u v wAw

A u v u v

+= =

e 1 3 3 1 322

1 2 2 1

( )| |

| |

u v u v wAw

A u v u v

+= =

, como

3w , faamos 3 1 2 2 1| |w A u v u v= = , resultando

3 21 3 2 2 3

3 2

u uw u v u v

v v

= + =

e 1 32 1 3 3 1

1 3

u uw u v u v

v v

= + =

.

O processo de obteno das componentes do vector 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )w u v u v u v u v u v u v=

no

nico. Define-se w

como sendo o produto externo ou vectorial entre u

e v

, relembre-se que este

vector ortogonal a u

e v

, por hiptese.


21/33



Definio14: Sejam 1 2 3( , , )u u u u=

e 1 2 3( , , )v v v v=

vectores de 3 , define-se produto externo entre u

e v

ao vector, 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )u v u v u v u v u v u v u v u v = =

.

Como mnemnica para a expressou v

, pode usar-se o determinante simblico que passamos adeduzir. Como sabemos, os vectores da base cannica, 1 (1,0,0)e =

, 2 (0,1,0)e =

e 3 (0,0,1)e =

so

vectores unitrios (de norma igual um) e paralelos aos eixos coordenados. Todo o vector 1 2 3( , , )v v v v=

de 3 pode ser escrito como combinao linear de 1 2,e e

e 3e

, pois

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ,0,0) (0, ,0) (0,0, ) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)v v v v v v v v e v e v e= + + = + + = + +

.

Portanto, 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )v v v v v e v e v e= = + +

e 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )u u u u u e u e u e= = + +

, do mesmo modo

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3( , , ) ( ) ( ) ( )u v u v u v u v u v u v u v u v u v e u v u v e u v u v e = = + +

,

que equivalente a

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 1 3 1 2

u u u u u uu v e e e

v v v v v v = +

.

Resultado obtido como consequncia da aplicao do teorema de Laplace primeira linha do seguinte

determinante

1 2 3

1 2 3

1 2 3

e e eu v u u u

v v v

=

.

Obs.11: No se trata de um verdadeiro determinante, j que na primeira linha temos os vectores 1e

, 2e

e 3e

da base cannica de 3 e no nmeros.

Outra maneira de determinar as componentes de u v

atravs da matriz 1 2 3

1 2 3 (2 3)

u u uA

v v v

=

.

1 componente do produto externo obtida do determinante que resulta de A suprimindo a 1 coluna;

2 componente obtida do determinante que resulta de A suprimindo a 2 coluna afectado do sinal

negativo;

3 componente obtida do determinante que resulta de A suprimindo a 3 coluna.


22/33



Existe uma diferena importante entre o produto interno e o produto externo de dois vectores de 3 .

Enquanto o primeiro um escalar, o produto externo (vectorial) um vector. No teorema seguinte,

do-se algumas relaes importantes (sem demonstrao) entre o produto interno e o produto externo.

Teorema7 (Relaes envolvendo o produto interno e o externo): Sejam u

, v

e w

vectores de

3

:(i) | ( ) 0u u v =

, ( u v

ortogonal a u

, u v u

).

(ii) | ( ) 0v u v =

, (u v

ortogonal a v

, u v v

).

(iii)2 2 2 2( | )u v u v u v =

(identidade de Lagrange).

(iv) ( ) ( | ) ( | )u v w u w v u v w =

.

(v) ( ) ( | ) ( | )u v w u w v v w u =

.

Obs.12: As propriedades (i) e (ii) significam, que w u v=

perpendicular ao plano formado pelosvectores envolventes u

e v

.

Exemplo9: Calcule o produto externo entre (1,2,3)u =

e (1, 1,1)v =

.

Resoluo: Tendo em conta a definio de produto externo, vem

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , ) (2 3,3 1, 1 2) (5,2, 3)w u v u v u v u v u v u v u v= = = + =

.

Note-se que, | ( ) (1, 2,3) | (5, 2, 3) 5 4 9 0u u v = = + =

e | ( ) (1, 1,1) | (5, 2, 3) 5 2 3 0v u v = = =

,

o que mostra que ( )u u v

e ( )v u v

. tambm de interesse verificar que

( 3 2,1 2, 2 1) ( 5, 2,3) ( )v u u v = + = =

,

o que se verifica para todos os vectores u

e v

de 3 .

Relativamente aos vectores da base cannica de 3 , a partir da definio de produto externo podemos

obter as seguintes relaes:

1 2 3e e e =

e 2 1 3e e e =

; 2 3 1e e e =

e 3 2 1e e e =

; 3 1 2e e e =

e 1 3 2e e e =

,

isto , o produto externo entre dois vectores da base cannica d o outro vector ou o seu simtrico.

Tem-se, ainda, que 1 1 0e e =

, 2 2 0e e =

e 3 3 0e e =

, uma vez que os vectores so colineares entre si.

Tendo por base, os resultados do produto externo entre os vectores da base cannica, apresentam-se,

sem demonstrao, algumas propriedades do produto externo.


23/33



Teorema8: Para quaisquer vectores u

, v

e w

de 3 e um nmero real . Tem-se

(i) ( )u v v u =

(o produto externo no comutativo, anti-comutativo).

(ii) ( ) ( ) ( )u v w u v u w + = +

e ( ) ( ) ( )u v w u w v w+ = +

(o produto externo distributivo em

relao soma de vectores).

(iii) ( ) ( ) ( )u v u v u v = = .

(iv) 0 0 0u u = =

.

(v) 0u u =

, ou, 0u v u v v u = = =

.

Obs.13: A propriedade (v) diz que dois vectores u

e v

de 3 so paralelos sse 0u v =

.

Exemplo10: Seja (1,2,3)u =

, (1, 1,1)v =

e (1,1,1)w =

, Verifique que ( ) ( ) ( )u v v w v u w + +

.

Resoluo: Tendo em conta o exemplo anterior, (5,2, 3)u v =

, uma vez que

1 2 3

1 31 1 1 2 2 ( 2,0,2)

1 1 1

e e e

v w e e = = + =

,

obtemos ( ) ( ) (5, 2, 3) ( 2, 0, 2) (3, 2, 1)u v v w + = + =

. Por outro lado, como,

( ) (1, 1,1) (2,3,4) ( 7, 2,5)v u w + = =

,

sai, ( ) ( ) ( )u v v w v u w + +

, basta ter em conta a propriedade (ii) do produto externo. O correcto

( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v v w u v w v u w v + = =

, ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v v w v u v w v u w + = + = +

.

Obs.14: Ateno que u v u w v w = =

no verdade (exerccio!).

Como o produto externo um vector, orientado em determinada direco, tem um sentido, e um

comprimento. A figura13 ilustra o produto externo, u v

, entre dois vectores quaisquer u

e v

de 3 .

Figura13 Representao geomtrica do produto externo


24/33



Relativamente direco, vimos que u v

perpendicular aos vectores u

e v

. Quanto ao sentido, a

partir da visualizao da figura13 possvel imaginar uma regra para determinar o sentido do produto

externo, designada por regra da mo direita. O sentido de u v

o do polegar quando se curva os

dedos da mo direita no sentido em que se faz rodar o 1 vector (neste caso o u

) para coincidir como o

2 (neste caso o v ), segundo o menor ngulo, , entre estes (pratique esta regra com os vectores da

base cannica).

Figura14 Sentido do produto externo u v

, regra da mo direita

Quanto ao comprimento do vector produto externo, seja o ngulo entre u

e v

. Da identidade de

Lagrange resulta

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2( | ) ( cos ) (1 cos ) sin .u v u v u v u v u v u v u v = = = =

Tem-se, portanto

2 2 2 2senu v u v =

,

desembaraando de quadrados, e, tendo em conta que sin 0 , uma vez que por definio de ngulo

entre dois vectores, 0 , tem-se o seguinte resultado.

Teorema9: Se for um ngulo entre dois vectores u

, v

de 3 , ento senu v u v =

.

Obs.15: Ateno que senu v u v =

no faz sentido, uma vez que u v

um vector (produto

vectorial) e senu v

um nmero real (escalar).

Tendo em conta o que foi dito, podemos enunciar a seguinte definio:


25/33



Definio15: Sejam u

e v

dois vectores de 3 . Definimos o produto externo u v

, como sendo o

vector com as seguintes caractersticas:

(i) Tem direco perpendicular a u

e v

;

(ii) Tem o sentido dado pela regra da mo direita.

(iii) Tem comprimento senu v u v = .

As trs propriedades da definio15 determinam completamente o vector u v

. As propriedades (i) e

(ii) determinam a orientao, enquanto (iii) o comprimento. Como as propriedades de u v

dependem

apenas do comprimento e posio relativa de u

e v

e no do sistema de coordenadas utilizado, o

vector u v

permanecer inalterado se introduzirmos um diferente sistema de coordenadas. Este

resultado importante quando se trabalha com diferentes sistemas de coordenadas ao mesmo tempo.

Pelo que foi dito, dados dois vectores u e v , sempre possvel determinar a orientao de u v . Para

se identificar completamente u v

, geometricamente, necessitamos apenas saber o seu comprimento.

Interpretao geomtrica do produto externo. O teorema9 tem vrias consequncias interessantes.

Uma delas a interpretao geomtrica da norma de u v

. Se desenharmos um paralelogramo com

lados adjacentes u

e v

, figura15, a altura do paralelogramo sinh v =

(pois sin hv

= ), onde

o ngulo entre u

e v

. Repare-se que, neste caso os vectores { , }u v

L.I., pois 0u v

.

Figura 15 A altura do paralelogramo sinh v =

Deste modo, como a rea de um paralelogramo dada pelo produto entre os comprimentos da base e da

altura, igual a sinA u v =

, e pelo teorema9 sinu v u v A = =

.


26/33



Teorema10: Sejam u

e v

dois vectores de 3 . Ento a rea do paralelogramo com lados adjacentes

u

e v

numericamente igual norma de u v

, A u v=

.

Figura16 Paralelogramo de lados adjacentes u

e v

Corolrio1 Sejam u

e v

dois vectores de 3 . Ento a rea do tringulo com lados adjacentes u

e v

numericamente igual a1

2A u v=

.

Exemplo11: Calcule a rea do paralelogramo definido pelos vectores (1,1,1)u =

, ( 1, 1,2)v =

.

Resoluo: Como vimos pelo teorema10 a rea do paralelogramo definido por u

e v

numericamente

igual ao comprimento de u v .

Como (3, 3,0)u v =

, a rea do paralelogramo pedido (3, 3,0) 3 2A u v= = =

. Repare-se

que | (1,1,1) | ( 1, 1,2) 0u v = =

, ou seja, os vectores so perpendiculares e 2sin 1 = = . Logo,

usando a frmula sin (1,1,1) ( 1, 1,2) 3 6 3 2A u v u v u v= = = = = =

.

O paralelogramo definido pelos vectores (1,1,1)u =

( 1, 1,2)v =

um rectngulo definido em 3 .

A rea do tringulo rectngulo definido pelos vectores u

e v

31

2 2 2A u v= =

.

Intuitivamente, resulta que, se | 0u v =

, o paralelogramo definido por u

e v

um rectngulo ou um

quadrado e A u v u v= =

, por outro lado, o tringulo definido por estes vectores rectngulo e

1 12 2A u v u v= =

.


27/33



Exemplo12: Calcule a rea de um paralelogramo definido em 2 utilizando o produto externo.

Resoluo: Considere-se um paralelogramo P no plano com vrtices em (1,1) , (3,2) , (4,4) e (2,3) ,

representado na figura17.

Figura17 Paralelogramo com vrtices (1,1) , (3,2) , (4,4) e (2,3)

Dois lados adjacentes so dados pelos vectores, de (1,1) a (3,2) , isto , (3,2) (1,1) (2,1)u = =

, e de

(1,1) a (2,3) , isto , (2,3) (1,1) (1, 2)v = =

. Como, estamos a trabalhar com dois vectores de 2 , e

no de 3 , no se pode calcular o seu produto externo. Consideramos os vectores (2,1,0)w =

e

(1,2,0)r=

que representam lados adjacentes do mesmo paralelogramo estendido a 3 . Assim a rea

de P dado por (0,0,4 1) (0,0,3) 3w r = = =

.

O exemplo12 motiva o seguinte resultado que serve como interpretao geomtrica para os

determinantes 2 2 . Considere-se um paralelogramo definido em 2 pelos vectores 1 2( , )u u u=

e

1 2( , )v v v=

. Pelo teorema10 rea de um paralelogramo definido em 3 A u v=

. Como, estamos

a trabalhar com dois vectores de 2 , e no de 3 , para calcular o produto externo consideramos os

vectores 1 2( , ,0)u u u=

e 1 2( , , 0)v v v=

que representam lados adjacentes do mesmo paralelogramo

estendido a 3 . O produto externo, usando determinantes, 1 2 3

1 21 2 3

1 21 2

0

0

e e e u uu v u u e

v vv v

= =

,

donde 1 2 1 231 2 1 2

u u u uA u v e abs

v v v v= = =

, uma vez que 3 1e =

.


28/33



Teorema11: Sejam u

e v

vectores de 2 e M a matriz ( 2 2 ) cujas colunas (ou linhas) so as

componentes de u

e v

. Ento, a rea de um paralelogramo definido em 2 | det( ) |A M=

.

Exemplo13: Calcule a rea de um paralelogramo definido em 2 com vrtices (1,1) , (3,2) , (4,4) e

(2,3) utilizando um determinante de ordem 2.Resoluo: Pelo exemplo12, dois lados adjacentes do paralelogramo so dados pelos vectores

(2,1)u =

e (1, 2)v =

(porqu?), logo a rea do paralelogramo 2 1

31 2

A = = .

Teorema12: Se os vectores u

e v

de 3 formam um conjunto linearmente independente, o

determinante da matriz (3 3 ) cujas colunas (ou linhas) so u

, v

e u v

, respectivamente, positivo.

Obs.16: Esta quantidade no nula porque o conjunto dos vectores linearmente independente.

Definio16: Sejam u

, v

e 3w

vectores L.I., representados por segmentos orientados a partir da

origem. Dizemos que estes trs vectores (por esta ordem) formam um triedro directo se a rotao mais

curta do vector u

que o leva a sobrepor-se ao vector v

feita, para um observador com os ps na

origem e a cabea na extremidade de w

no sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio (ver figura18).

Figura18 Triedro directo

Obs.17: Os vectores1

e

,2

e

e3

e

da base cannica de 3 formam um triedro directo.

Teorema13: Se { , }u v

um conjunto L.I., os vectores u

, v

e u v 3

formam um triedro directo.

Obs.18: Prova-se que, se u

e v

forem ortogonais com norma unitria, ento u

, v

e u v

constituem

uma base ortonormada.


29/33



5.9 Produto misto em 3

Pode estender-se os resultados do teorema10para se calcular o volume de um paraleleppedo em 3 .

Suponha-se u

, v

e w

asarestas adjacentes do paraleleppedo P, como se ilustra na figura19.Sabemos

que o volume Vde P igual ao produto da rea da base, u v

, pela altura correspondente de P, ouseja, pelo comprimento da projeco de w

em u v

(porque u v

perpendicular a u

e a v

).

Figura19 Paraleleppedo com arestas adjacentes u

, v

e w

Como

proj |u vu v

w wu v

=

tem-se

| | ( )u v

V u v w w u vu v

= =

.

Definio17: Dados trs vectores u

, v

e w

de 3 , aplicados num ponto A (vrtice do paraleleppedo

definido pelos trs vectores), a quantidade | ( )w u v

(que um escalar) denomina-se por produtomisto de u

, v

e w

(por esta ordem), e, o seu mdulo numericamente igual ao volume do

paraleleppedo definido por esses vectores.

Obs.19: No h necessidade de parnteses na expresso | ( )w u v

(escalar), pois a nica forma de

entende-la como o produto interno de w

(vector) por u v

(vector); no faz sentido pensar em

produto externo de v

(vector) por |w u

(escalar).


30/33



Obs.20: Sendo, o volume do paraleleppedo com arestas u

, v

e w

dado por | ( )V w u v=

, o produto

misto pode ser negativo ou positivo:

i) | ( ) 0w u v >

, quando w

faz um ngulo agudo com u v

.

ii) | ( ) 0w u v <

, quando w

faz um ngulo obtuso com u v

.

Vamos deduzir a expresso cartesiana do produto misto em 3 (sistema ortonormado). Como sabemos

os vectores de 3 podem ser escritos como combinao linear dos vectores da base cannica, ou seja,

1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )u u u u u e u e u e= = + +

, 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )v v v v v e v e v e= = + +

e 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )w w w w w e w e w e= = + +

,

assim,

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3( , , ) ( ) ( ) ( )u v u v u v u v u v u v u v u v u v e u v u v e u v u v e = = + +

.

Ento o produto misto pode ser escrito como

[ ]1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3

1 2 3

2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3 1 2 3

1 2 3

| ( ) ( ) | ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,

w u v w e w e w e u v u v e u v u v e u v u v e

u u u

u v u v w u v u v w u v u v w v v v

w w w

= + + + + =

= + + =

ou seja,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

| ( )

u u u

w u v v v v

w w w

= .

Tendo em conta esta igualdade, podemos interpretar geometricamente um determinante de ordem 3,

como sendo numericamente igual ao volume de um paraleleppedo, determinado pelos vectores que

constituem as suas linhas.

Teorema14: Sejam u

, v

e w

vectores de 3 , e A a matriz (3 3 ) cujas colunas (ou linhas) so u

, v

e w

. Ento, o volume do paraleleppedo determinando por u

, v

e w

igual a | det( ) |A .

Obs.21: Atendendo definio de produto interno temos | ( ) ( ) cosw u v w u v =

, onde o

ngulo formado por w

e ( )u v

.


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Exemplo14: Calcule o volume de um paraleleppedo cujas as arestas so definidas pelos vectores

(1,4,1)u =

, ( 3,1,1)v =

e (0,1,5)w =

.

Resoluo: O paraleleppedo P cujas arestas so definidas pelos vectores (1,4,1)u =

, ( 3,1,1)v =

e

(0,1,5)w =

apresentado na figura20. O mdulo do produto misto , numericamente igual ao volume

do paraleleppedo cujas arestas so definidas pelos vectores u , v e w .

Figura20 Paraleleppedo com arestas (1, 4,1)u =

, ( 3,1,1)v =

e (0,1,5)w =

Como (4 1, 3 1,1 12) (3, 4,13)u v = + =

, | | ( ) | | (0,1,5) | (3, 4,13) | | 0 4 65 | 61V w u v= = = + =

, o

volume de P 61. Ou, atravs do clculo do determinante1 3 04 1 1 | det( ) | 61

1 1 5

A V A

= = =

.

Por outro lado, a frmula | ( )V w u v=

permite verificar se trs vectores pertencem ao mesmo plano.

Uma vez que trs vectores que no estejam no mesmo plano determinam um paraleleppedo com

volume positivo, ento | ( ) 0V w u v= =

se e s se u

, v

e w

estiverem no mesmo plano.

Teorema15: Se os vectores 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )u u u u v v v v= =

e 1 2 3( , , )w w w w=

tiverem os mesmo pontos

iniciais, ento, pertencem ao mesmo plano (so complanares, paralelos a um mesmo plano) se e s se

1 2 3

1 2 3

1 2 3

| ( ) 0

w w w

w u v u u u

v v v

= =

.


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Apresentamos de seguida, sem demonstrao, algumas propriedades do produto misto.

Teorema16: Sejam u

, v

e w

vectores de 3 . Ento

(i) Pela comutatividade do produto interno, tem-se | ( ) ( ) |w u v u v w =

.

(ii) o produto misto nulo, quando um dos vectores for nulo, quando os trs vectores foremcomplanares, ou quando dois vectores forem colineares (paralelos).

| ( ) 0w u v =

, se 0 0 0u v w= = =

, quando um dos vectores for nulo;

| ( ) 0w u v =

, se 0u v u v= =

, quando dois vectores forem colineares ( u v

);

| ( ) 0w u v =

, se ,u v

e w

forem complanares.

(podemos dizer que | ( ) 0w u v =

sse o conjunto { , , }u v w

for linearmente dependente).

(iii) | ( ) 0w u v >

, se, e s se, ( , , )u v w

uma base directa de 3 , ou seja, se, e s se ,u v

e w

satisfazem a regra da mo direita.

(iv) | ( ) 0w u v <

, se, e s se, ( , , )u v w

uma base inversa de 3 .

(v) O produto misto no se altera por permutao circular dos trs vectores, ou seja,

( ) ( ) ( )| | |w u v u v w v w u = =

(uma vez que, os determinantes que representam estes produtos

so iguais se trocarmos duas filas).

(vi) | ( ) | ( ) | ( ) | ( )w u v w v u u w v v u w = = =

, o produto misto alternado, isto , trocando a

posio relativa de dois vectores o produto misto muda de sinal; (o produto misto muda de sinal,

mantendo o valor absoluto, quando se trocam dois dos seus vectores).

(vii) | ( ) ( ) |w u v w u v =

, o produto misto no se altera quando se trocam entre si os sinais de

produto vectorial e de produto interno, mantendo a posio dos vectores.

(viii) | ( )w u v

no se altera se a um factor se adiciona uma combinao linear dos outros dois (por

exemplo, | ( ) | ( ( ))w u v w u v u w = + +

).

(ix) | ( )w u v

trilinear, isto ,

1 2 1 2 1 2| (( ) ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( )w u u v w u v w u v w u v w u v + = + = +

,

1 2 1 2 1 2| ( ( )) | ( ) | ( ) | ( ) | ( )w u v v w u v w u v w u v w u v + = + = +

e

1 2 1 2( ) | ( ) | ( ) | ( )w w u v w u v w u v + = +

.


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Obs.22: As propriedades (v) e (vi) acima podem ser memorizadas observando-se a figura21.

Considerando o produto misto de u

, v

e w

, por esta ordem, | ( )w u v

, seguindo as setas, obteremos o

sinal de +. Considerando o produto misto em sentido contrrio ao das setas, obteremos o sinal de .

Qualquer produto num mesmo sentido o oposto do produto em sentido contrrio, por exemplo,

| ( ) | ( )u v w v u w =

.

Figura21 Produto misto

5. vectores

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