valores-extremos

aValores extremos de funciones de dos

variables

MAESTRANTE DANIEL SAENZ CONTRERAS

PUNTO CRITICO

Dada una función de dos variables la cual tiene sus primeras derivadas parciales . Un punto del dominio D , se denomina punto critico o estacionario si ambas derivadas se anulan en

dicho punto.

Es decir, es un punto critico si se cumple que

.


(𝑥0 , 𝑦0 )

𝜕 𝑓𝜕 𝑥

=0

𝜕 𝑓𝜕 𝑦

=0(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓 (𝑥0 , 𝑦 0))


Ejemplo.

Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=−𝑥3+4 𝑥𝑦−2 𝑦2+1

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=4+𝑥3+𝑦 3−3𝑥𝑦


MATRIZ HESSIANA.

Sea una función de dos variables, cuyas segundas derivadas existen, se denomina Matriz Hessiana o simplemente el Hessiano de la función al determinante

𝐻 (𝑥 , 𝑦 )=|𝑓 𝑥𝑥 𝑓 𝑥𝑦

𝑓 𝑦𝑥 𝑓 𝑦𝑦|


MATRIZ HESSIANA.

Sea una función de tres variables, cuyas segundas derivadas existen, se denomina Matriz Hessiana o simplemente el Hessiano de la función al determinante

𝐻 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )=|𝑓 𝑥𝑥 𝑓 𝑥𝑦 𝑓 𝑥𝑧𝑓 𝑦𝑥 𝑓 𝑦𝑦 𝑓 𝑦𝑧

𝑓 𝑧𝑥 𝑓 𝑧𝑦 𝑓 𝑧𝑧|


Ejemplo, Determine el Hessiano de la función

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥3+2𝑥2 𝑦2+3 𝑥3

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥2 𝑦3+4 𝑒2 𝑥𝑦+4 𝑥−2 𝑦

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥2 𝑦3 𝑧 2+4 𝑥+4 𝑦−2 𝑧


Ejemplo. Evaluar el Hessiano de la función en los puntos críticos

𝐴 ¿ 𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=4+𝑥3+𝑦3−3 𝑥𝑦

𝐵 ¿ 𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥4−3𝑥2 𝑦+3 𝑦− 𝑦 3


Sea una función de dos variables , un punto en el dominio de la función

A) Si para todo ( x , y ) en un entorno abierto que contiene se dice que f tiene un mínimo relativo en

(𝒙𝟎 ,𝒚 𝟎 )


B) Si para todo ( x , y ) en un entorno abierto que contiene se dice que f tiene un máximo relativo en

(𝑥0 , 𝑦0 )


a

C) Si alrededor del punto para todo ( x , y ) en un entorno abierto que contiene se dice que f tiene un punto de silla en


(𝑥0 , 𝑦0 )


CALCULO DE VALORES EXTREMOS

1. Buscamos los valores críticos

2. Buscamos las segundas derivadas

3. Evaluamos las segundas derivadas en los valores críticos

4. Calculamos el Hessiano en los puntos críticos

5. Decidimos los valores extremos de acuerdo a los siguientes criterios


La función presenta en el punto critico ( a , b) un

Mínimo Relativo. Si se cumple que

𝑓 𝑥𝑥 (𝑎 ,𝑏)>0 , 𝑦 𝐻 (𝑎 .𝑏)>0

Máximo Relativo. Si se cumple que

𝑓 𝑥𝑥 (𝑎 ,𝑏)<0 , 𝑦 𝐻 (𝑎 .𝑏)>0


La función presenta en el punto critico (a , b) un

𝐻 (𝑎 .𝑏)<0

El método no decide , si se cumple que

Punto de Silla. Si se cumple que

𝐻 (𝑎 .𝑏)=0


CLASIFICA LOS VALORES EXTREMOS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES


1¿ f ( x , y )= xy−2x+ y

2¿ f (x , y )=8−2 xy+4 y −𝑥2−4 𝑦2

3¿ f ( x , y )=𝑥2+𝑦2+4 xy+8

4¿ f ( x , y )=𝑥3+𝑦3−3 xy

5¿ f ( x , y )=𝑥4+𝑦 4−2 (𝑥− 𝑦 )2

Para funciones de tres variables


a


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