Valores extremos de funciones y Teoremas Fundamentales del Clculo Diferencial.

6.2 Teoremas fundamentales del Clculo Diferencial.Contenidos:6.1 Extremos globales y locales de funciones. 6.3 Criterio de la primera derivada.

6.1 Extremos globales y locales de funciones.

Definicin: Sea f una funcin definida en un conjunto de nmeros reales S y cS:a. f(c) es el mximo de f en S si para todo xS.b. f(c) es el mnimo de f en S si para todo xS.

Los valores mximo y mnimo de f en S se llaman extremos globales o absolutos de S.extremos globalesmximomnimo

TEOREMA 1 (2 Teorema de Weierstrass)

Si f es una funcin continua en [a,b] entonces f toma sus valores extremos al menos una vez en [a,b].

El teorema proporciona una condicin suficiente para la existencia de extremos globales en un intervalo cerrado, pero no en intervalos no cerrados. Analicemos los siguientes ejemplos:

Ejemplo1a. La funcin es continua en el intervalo [0,1) pero no en el cerrado [0,1]. Se observa, en la grfica siguiente, que f(0)=1 es el mximo pero la funcin no tiene mnimo.

Grfico del ejemplo 1 (a.)Mximo de la funcinPunto de discontinuidad

Grfico del ejemplo 1 (b.)Mximo de la funcinNo existe Mnimo-

Ejemplo 2Observando el grfico podemos apreciar algunas caracteristicas:

Definicin: Sea f una funcin definida en un conjunto de nmeros reales S y cS:

Definicin: Sea f una funcin definida en un conjunto de nmeros reales S y cS:

Los valores mximo y mnimo locales se llaman extremos locales de f en S.

De la definicin se tiene que a diferencia de los extremos globales, que si existen son nicos, si los extremos locales existen no son necesariamente nicos, esto es: una funcin puede tener ms de un mximo o un mnimo local en su dominio de definicin.

Un extremo local puede ser tambin global.En la figura que a continuacin se muestra puede observarse que el mximo global es f(-1)=f(2) en el intervalo [-3,2].

Extremos locales y globalesf(-1)=f(2)f(1) mnimo local

Definicin: Sea f una funcin continua en un punto c de su dominio. Diremos que c es un punto crtico de f si:

f(c) = 0 f(c) no existe.

En el libro de texto, en la definicin de punto crtico, no se exige la condicin de continuidad la cual exigimos debido a que en los puntos que la funcin f satisface la 2 condicin puede f no ser continua.

Los puntos crticos c de f dados por la f(c) = 0, se les llama tambin puntos estacionarios de f.

De la observacin de los grficos que aparecen en las dos ltimas figuras todo parece indicar que los extremos locales de las funciones debemos encontrarlos en los puntos crticos de la funcin.

TEOREMA 2 Si f tiene un extremo local en el punto c entonces c es un punto crtico.

El teorema proporciona una condicin necesaria para la existencia de extremos locales de la funcin pero no suficiente. Un punto c del dominio de la funcin puede tener derivada nula o no existir y sin embargo c no ser un punto de extremo local de la funcin.

Ejemplo 3a. La funcin f(x)=(x-1)5 + 2 tiene derivada f(x)=5(x-1)4 luego f(1)=0 por lo que x=1 es un punto crtico pero no es punto de extremo debido a que f(1)=2 pero f(x)1.

f(1)=0 existencia de extremo local de la funcin en x=1f(x)2NO IMPLICA

La funcin f no es derivable en x=2 Pero f NO tiene extremo local en x=2

Procedimiento para obtener los extremos globales de una funcin f continua en un intervalo cerrado [a,b].

1. Obtenemos los puntos crticos c1 c2,, cn 2. Evaluamos f(c1), f(c2),, f(cn). 3. Evaluamos f(a) y f(b).

1. Encontramos todos los puntos crticos (c1, c2,..,cn ) de f en (a,b).4. Obtenemos Max{ f(c1), f(c2),, f(cn), f(a), f(b)} y Min{ f(c1), f(c2),, f(cn), f(a), f(b)}. Finalmente

Ejemplo 4Calcular los extremos globales de f(x)=x3-3x+2 en el intervalo [-2,3].

Los nicos puntos crticos se obtienen resolviendo la ecuacin:donde tenemos que x1= 1, x2= -1 son los puntos estacionarios.f (x)= 0f (x)= 3x2-3=0 x2=1

f(1)= 0 f(-1)= 4 f(-2)= 0 f(3)= 20

Max{0,4,20}= 20 Min{0,4,20}= 0 Luego el mximo global de f es f(3)= 20 y el mnimo global es f(1)= f(-2)= 0. Calculando

El mnimo global se encuentra en dos puntos, en el punto x= 1 del interior del intervalo y en x= -2 extremo del intervalo [-2,3].

6.2 Teoremas fundamentales del Clculo Diferencial.

Si f es una funcin derivable en un intervalo I, entonces los nicos puntos crticos son estacionarios y se obtienen resolviendo la ecuacin f (x)= 0.

La ecuacin f (x)= 0 puede o no tener solucin. Cundo podemos garantizar que la ecuacin f (x)= 0 tiene al menos una raz en el intervalo I??

Analicemos grficas de funciones con las siguientes caractersticas: Continua en el cerrado [a,b]. Derivable en el abierto (a,b). f(a)= f(b).

Luego en dicho punto se tiene un extremo local para la funcin por lo cual la derivada de la funcin se anula en l.

TEOREMA 3 (Teorema de Rolle)

Sea f una funcin continua en el intervalo [a,b] y derivable en (a,b) tal que f(a)= f(b). Entonces existe al menos un punto c de (a,b) tal que f (c)= 0.

(Se realiza mediante los Teoremas 1 y 2)Como f es continua en [a,b], por el Teorema 1, f alcanza su valor mnimo m y su valor mximo M en [a,b].Veamos dos casos:Demostracin:

La desigualdad M= m f(x) M implica que f(x)=m= M para todo x en [a,b].1. Si m= MEntonces f es constante en [a,b].Luego f (x)=0 para todo x en (a,b).

Por lo que existe al menos un punto crtico c y por lo tanto f (c)= 0.2. Si m< MComo f(a)= f(b) al menos uno de los extremos m o M se alcanza exclusivamente en (a,b).

Ejemplo 5La ecuacin x3- 3x+ p= 0 para todo valor de p real tiene una y solo una raz en (-1,1).Ejercicio propuestoSugerencia: Suponga que la ecuacin tiene dos races en [-1,1], sean estas y , tales que < .

Si en las hiptesis del Teorema de Rolle suprimimos la condicin f(a)= f(b), entonces la recta que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) de la curva y= f(x) ya no es horizontal y tiene pendiente m 0.

entonces se encontrar al menos un punto de la curva por el cual pasa una recta tangente paralela a la recta que pasa por (a,f(a)) y (b,f(b)).

El Teorema toma el nombre de valor medio debido al cociente: que es el valor promedio de la funcin o la variacin media de f en el intervalo [a,b]. Al punto c(a,b) donde alcanza el valor medio se le llama punto medio de f en [a,b].

Ejemplo 6Verificar que la funcinsatisface las hiptesis del Teorema del valor medio en el intervalo [-1,2]. Encuentre el punto, o los puntos medios.

La funcin f es una fraccin racional, continua y derivable para todo x -2 ,es continua en [-1,2] y derivable en (-1,2).

Aunque la ecuacin tiene dos soluciones x= -4 y x= 0 solo una, x=0, se encuentra en el intervalo (-1,2).

TEOREMA 5 Sea f una funcin continua en el intervalo [a,b] y derivable en (a,b). f (x)> 0 para todo x en (a,b) f es creciente en [a,b]. f (x)< 0 para todo x en (a,b) f es decreciente en [a,b]. f (x)= 0 para todo x en (a,b) f es constante en [a,b].

Para investigar los intervalos donde la funcin es creciente o decreciente se precisa realizar un anlisis del signo de la derivada por intervalos en el dominio de definicin de la funcin.

Este procedimiento se lleva a cabo teniendo en cuenta los sub intervalos determinados por: todos sus puntos crticos y aquellos puntos donde la funcin no est definida.

Ejemplo 7Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin:en todo su dominio.

Los puntos crticos de f son x= 0 y x= 2. Derivando

Se construye una tabla donde se analiza el signo de la derivada en los sub intervalos del dominio de f determinados por los puntos crticos y x= 1, punto donde la funcin no est definida.

: creciente : decrecientePor qu es suficiente obtener el signo en un solo punto ycon ello inferir que es el mismo signo en todoel intervalo?

Intervalo(-,0)(0,1)(1, 2)(2, )c-11/23/23f(c)3/4-3-33/4Signo de f (x)+--+Comporta-miento de f

Grficamente se tiene:++--

TEOREMA 6 (Criterio de la Primera Derivada)Sea f derivable en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en cI punto crtico de f, entonces:

Mximo local

Mnimo local

Ejemplo 8Determinar los extremos locales de

No es derivable en x=0 y en x=2

Es fcil verificar que los nicos puntos crticos son: x=1/2 anula a la derivada. x=0 la derivada no existe. x=2 la derivada no existe.

Se construye una tabla con los sub intervalos determinados :Mnimo MximoMinimo

Intervalo(-,0)(0,1/2)(1/2,2)(2,)c-11/413f (c)-51/2-13Signo f (x)- + -+

De la tabla anterior se tiene:1. En x= 0 el signo de la derivada cambia de - a +, luego f(0)= 0 es un mnino local.2. En x= 1/2 el signo de la derivada cambia de + a -, luego f(1/2)= 1/4 es un mximo local.

3. En x= 2 el signo de la derivada cambia de - a +, luego f(2)= -2 es un mnimo local.

Grfica de la funcin

Ejercicios para resolver

1. Mediante el empleo de Derive, construya la grfica de la funcin:en el intervalo [-1,3]. Observe detenidamente el grfico y responda las siguientes preguntas:

a. f es continua en [-1,3]?b. f es derivable en (-1,3)?c. Existen puntos crticos de f en (-1,3)? Determnelos.d. Existen extremos locales y globales en [-1,3]?. Determnelos.

2. Dada la funcinDetermine, si existe, el valor de a de modo que g(1) sea un extremo local.Investigue si es un mximo o un mnimo.Para el valor de a obtenido existe otro punto de extremo local adems de x=1?

3. Dadas las funciones:a.

b.Determine:a. Intervalos de crecimiento y decredimiento.b. Extremos locales.

Datos:

4. De un cierto polinomio P mnico de grado 3 se conoce que tiene 2 puntos estacionarios x=-1 y x=2 (puede tener ms de dos puntos estacionarios?). Complete la informacin que se brinda en la siguiente tabla:

Intervalo(-,-1)(-1,2)(2,)c-204f(c)12-630Crecimiento

Determine los extremos locales, y adems si se conoce que P(-1)=25/2 y que P(2)=-1 haga un grfico aproximado del polinomio P.a. Encuentre el polinomio.

5. Justifique, sin derivar, la siguiente afirmacin:La funcin f(x)= x3-x2+1 tiene al menos un punto en la curva y= f (x) por el cual pasa una tangente de pendiente m= 6 en el intervalo [-2,3]. Determine el o los puntos. Hacer un grfico ilustrativo usando Derive.

6. En una carrera de bicicletas, siendo las 9:00 am un ciclista pasa por una meta volante P a una velocidad de 42km/h. Una segunda meta volante Q distante 80 km de A, es cruzada por el mismo ciclista a una velocidad de 36 km/h a las 11:20 am.

Demostrar que en algn momento del recorrido pedale por debajo de 40km/h.

7. Emplear el teorema de Rolle para demostrar que entre dos races reales de un polinomio se encuentra una raz de su derivada.

Demuestre que un polinomio de grado tres a lo sumo tiene tres races reales.

8. Probar que en la parbola f(x)= Ax2+Bx+C, la cuerda que une los puntos M(a,f(a)) y N(b,f(b)) es paralela a la recta tangente a la curva y= f(x) en el punto x= (a+b)/2.

9. Seaa. Dibujar la grfica de f en el intervalo [0,2].

b. Verificar que satisface las hiptesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo [0,2] y encontrar todos los valores medios.c. Verificar que satisface las hiptesis del Teorema de Rolle en .

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