fenómenos extremos: análisis y caracterización³gico y estadístico de fenómenos extremos 2...

1

Dpt. Métodos EstadísticosUniversidad de Zaragoza

Fenómenos Extremos: Análisis y Caracterización

Jesús AbaurreaDpto. de Métodos Estadísticos

Universidad de Zaragoza

2


1 ¿Qué es un extremo climático? Algunas ideas sobre el análisis climatológico y estadístico de fenómenos extremos

2 Elementos de Teoría de Valores Extremos (EVT): Análisis de Máximos por bloques y de Excesos sobre un umbral

3 Un ejemplo: Análisis de las lluvias extremas de otoño en Tortosa

4 Análisis de extremos en un proceso estacionario: Un modelo para la sequía meteorológica

5 Análisis de extremos en un entorno no estacionario (el calentamiento global): Dos ejemplos, (i) Un análisis de Kharin y Zwiers (2005); (ii) Un modelo para los episodios de calor extremo en el centro delvalle del Ebro

Fenómenos extremos: Análisis y caracterización

3


Glosario del IPCC (2001) (http://www.grida.no/climate/ipcc_tar/wg1/518.htm)

Un episodio meteorológico extremo es un suceso raro en términos de sudistribución estadística de referencia. Normalmente, deberá ser tan raro, o más, que los percentiles 10 ó 90. Las características de las "condiciones meteorológicas extremas" varían de un lugar a otro. Ejemplo, una ola de calor, en Santander; en Zaragoza.

Un suceso climático extremo es un promedio de sucesos meteorológicos ocurridos en un intervalo temporal determinado, que resulta extremo (raro) en su distribución de referencia (la de los promedios). Ejemplo, una primavera excepcionalmente seca, en el Valle del Pas; en los Monegros.

Extremos complejos (la sequía edáfica) y simples (un episodio de lluvia intenso).

¿Qué es un extremo climático?

4


En la segunda mitad de los años 90 comienza el interés por conocer cómo están evolucionando los sucesos meteorológicos y climáticos extremos y cómo puede afectarles el posible CC.

El aumento de su frecuencia, intensidad, duración, etc., como pronostican ya algunos modelos (GCMs), puede tener impactos sociales tan importantes, o más, que los derivados del cambio en los valores medios, de ahí el interés de analizar su evolución.

Reunión de Aspen (1998) y artículos en el Bull. Amer. Meteor. Soc. (2000). Meehl, Karl, Easterling, etc.

Número monográfico de Climate Change (1999), coordinado por Karl, Nicholls y Ghazi.

Interés por los f. extremos en el contexto del Cambio Climático (CC)

5


Proyectos europeos: STARDEX, PRUDENCE, MICE / ECA / ENSEMBLES.

*Campaña ETCCDMI (CLIVAR+WMO) de cara al IPCC 4AR.

Reunión monográfica del IPCC sobre análisis de extremos (Pekín, 2002).

IPCC 4AR (2007) sección 3.8: Cambio en los sucesos extremos de Temperatura (T) y Precipitación (P); cambio en las tormentas tropicales y extra-tropicales. Análisis de la evolución de olas de calor y frío, episodios de lluvia extrema, sequías, inundaciones, ciclones tropicales, huracanes, etc.

Interés por los f. extremos en el contexto del CC

6


La gran mayoría de los estudios publicados sobre el cambio observado en los extremos climáticos no aplican técnicas de análisis específicas para datos extremos sino técnicas estándar de análisis de tendencia en series temporales “anuales”.

Cada serie resulta de la observación secuencial de un índice que, a escala local o regional, para una estación o para todo el año, resume el comportamiento de alguna característica extrema de la variable de interés, habitualmente T ó P.

(índices: Frich et al. (2002); RClimDex; STARDEX; ECA; Alexander et al. (2006)).

Ejemplos: Precipitación: Max5; Fp95; maxLRS; rCp95.Temperatura: FTn<0; maxRdT; maxRTxp90.

Análisis climatológico del cambio en los fenómenos extremos

7


Resultados observados a nivel global: Temperatura: Visión, espacialmente coherente, de la influencia del calentamiento global en los episodios extremos asociados a T (elcalentamiento es una señal muy fuerte y generalizada). Precipitación: Visión mucho menos precisa y coherente, espacialmente, sobre lo que está ocurriendo con sus extremos.

Desde el IPCC TAR (2001), la tesis dominante es que estamos asistiendo a un cambio en la precipitación, en el que la lluvia extrema evoluciona en una forma desproporcionada (extraordinaria) respecto a como lo hace la lluvia global. (Karl et al. (1998), Groisman et al. (1999, 2005))Esto se interpreta como una señal precursora (consecuencia del forzamiento ocurrido) del modo de precipitación futura: menos episodios pero más intensos, de acuerdo con algunos análisis de salidas de GCMs, Kharin&Zwiers (2005), o argumentos físicos sobre los procesos que gobiernan la precipitación, Allen&Ingram(2002).

Análisis clim. del cambio en los f. extremos

8


Algunos no lo vemos tan claro (*)

Pensemos que el nº y la magnitud de las observaciones extremas de una muestra depende de su tamaño. (Muestra de estudiantes de 1º en Santander).

Si la lluvia global, Cw, aumenta o disminuye en una región durante un periodo, ¿los episodios extremos tienen que hacerlo en la misma proporción? ¿La participación en Cw de los distintos modos de lluvia (extrema, ligera, media) tiene que mantenerse constante?

Nuestros experimentos de simulación toman como referencia 8 modos de precipitación diaria, correspondientes a distintas estaciones del año y a distintos lugares de la cuenca del Ebro, buscando la máxima variedad, y suponen un régimen estacionario (probabilísticamente invariable; no CC).

(*) Abaurrea, Asín y Cebrián (2007): “Is precipitation becoming more extreme? Some comments based on “Trends in intense precipitation in the climate record“ by Groisman et al. (2005)”. En proceso de revisión en J. Climate.

Análisis clim. del cambio en los f. extremos de precipitación

9


Is precipitation becoming more extreme? Abaurrea et al. (2007)

Modelo de precipitación en un lugar y estación del año:

Nº de días de precipitación (>=1mm): v. a. Binomial Negativa. Cantidad medida en los días de lluvia: v. a. i.i.d. Gamma desplazada.

Dos cuestiones de interés: En un régimen de precipitación estacionario,

(i) ¿cómo es el cambio relativo en los índices extremos en relación con el cambio observado en la precipitación total, Cw, o la frecuencia, Fw?

(ii) ¿es probable obtener “respuestas desproporcionadas” en los sucesos extremos cuando cambia Cw? Estudio de 6 casos analizados por Groisman et al. (2005).


10


Abaurrea et al. (2007)

El primer experimento utiliza tres umbrales extremos, p90, p95 y p99

y cinco índices:

de Frecuencia (absoluta) Fp-- y (relativa) rFp-- = Fp--/Fwde Cantidad (absoluta) Cp-- y (relativa) rCp-- = Cp--/Cwde Intensidad media Ip-- = Cp--/Fp--

Cw es la cantidad de precipitación acumulada en cada estación y Fw la frecuencia de días con precipitación (>=1mm).

Para cada uno de los 8 modelos, se simulan 100 trayectorias de 100 años de longitud. En cada una de ellas se calcula el cambio (*) en elíndice extremo (eje Y) y el cambio (*) en Cw o Fw (eje X).

(*) Variación en un intervalo de 100 años expresada como % del nivel medio de la variable en la serie.


11


-30 -10 10 30

-60

-20

020

4060

Tortosa-au, Fp95


-30 -10 10 30

-60

-20

020

4060

rCp95


Frecuencia de días con una precipitación mayor que el nivel p95 de referencia: El cambio es mayor que el correspondiente a Cw(desproporción).

Participación en Cw de los episodios mayores que el nivel p95 de referencia: el cambio es del mismo orden que el de Cw.

*Cada gráfica resume un diagrama Y/X de 100 puntos

12


Index vs Cw slope Minimum Median Maximum Fp90 1.270 1.455 1.680 Fp95 1.450 1.770 1.910 Fp99 1.700 2.165 3.060 rFp90 0.500 0.950 1.150 rFp95 0.690 1.105 1.590 rFp99 0.700 1.785 2.920 Cp90 1.330 1.675 1.790 Cp95 1.470 1.880 2.190 Cp99 1.680 2.170 3.120 rCp90 0.430 0.865 1.040 rCp95 0.650 1.065 1.580 rCp99 0.660 1.595 2.830 Ip90 0.000 0.100 0.390 Ip95 0.000 0.090 0.320 Ip99 -0.160 0.005 0.210

Abaurrea et al. (2007)Índices absolutos (rojo): •Cambio desproporcionado respecto al de Cw. La desproporción aumenta con el umbral.

Índices relativos (azul): •En media, cambio del mismo orden que el de Cw en p90 y p95; mayor en p99.

Índices de intensidad:•Estabilidad; insensibilidad al efecto del cambio en Cw.

•*800 pendientes calculadas en trayectorias de 100 años


13


Análisis de 6 regiones-periodos estudiadas por Groisman et al. (2005)

ΔCw ΔCp95 ΔCp99 ΔrCp95 ΔrCp99 ΔFp95USA 1910-99

6% 17% 25% 10% 19% 15%

USA 1970-99

12% 46% 72%

British Columbia, S 55ºN 1910-01

14.5% 32%

Alaska, S 62ºN 1950-02

20.5% 36%

Norte Rusia Europea 1936-97

17% 26% 25%

Antigua URSS Eur., S 60ºN 1936-97

24% 30% 40%


14



Experimento 2:

De las 6 regiones estudiadas por Groisman et al. (2005), los resultados observados en 5 de ellas son verosímiles (fáciles de obtener) con un proceso de precipitación que se mantiene estacionario (no CC).

En la sexta, USA(1970-99), las tasas de crecimiento observadas en las propiedades extremas no son probables con el modelo de simulación estacionario. Esto, a nuestro juicio, no se debe al carácter extraordinario de lo observado, sino a las dificultades del modelo de simulación para generar trayectoriascorreladas, en el breve periodo, sólo 30 años, de este ejemplo particular.

.


15


Conclusiones:En nuestra opinión, con los análisis y evidencias disponibles no es

prudente afirmar que el proceso de precipitación se ha vuelto más extremo durante la segunda mitad del siglo XX. Buena parte de los territorios analizados han experimentado un cambio hacia un régimen más húmedo, ver Alexander et al. (2006), lo que explicaría, de acuerdo con el resultado de nuestras simulaciones, la “respuesta amplificada” observada en los episodios extremos, sin necesidad de que la precipitación se haya vuelto más extrema.

Deben hacerse más y mejores análisis, -Con mejores herramientas: técnicas específicas para valores extremos (EVT); utilizando los índices de intensidad media, poco usados.-Usando extremos “no muy extremos” (ver Tabla, máx en p99). -Utilizando mejores bases de datos (costoso control de calidad).


16


Características de un problema de extremos

Las observaciones extremas son, por definición, escasas. En un problema típico de extremos, se suelen requerir “estimaciones fiables” de niveles extremos (de retorno), que se encuentran bastante más allá del máximo o mínimo muestral observados.

Ejemplo: Se va a construir un espigón protector en el puerto de Suances. Se dispone de 20 años de datos de altura de olas (máxima altura diaria) y se quiere diseñar un espigón que proteja el puerto del peor temporal en 100 años.

¡Necesidad de extrapolar! (algo prohibido en Estadística: regresión)

Hipótesis: proceso estacionario.

Análisis estadístico de fenómenos extremos

17


Características de un problema de extremosSi ajusto una distribución al conjunto de datos de la muestra (estrategia

habitual), los datos centrales de ésta, que son mayoría, van a gobernar la selección del modelo y la estimación de los parámetros. Puedo llegar a obtener varios modelos, que ajusten bien la gran mayoría de los datos, y que produzcan estimaciones en las colas extremas sensiblemente distintas.

Si el interés se limita exclusivamente a la cola de la distribución, ¿por quécomprometer el ajuste en esa zona tratando de ajustar simultáneamente los datos centrales?

(Siempre nos referiremos a máximos; con mínimos es algo análogo Min (X1, …, Xn) = - Max (-X1, …, -Xn) )

Análisis estadístico de fenómenos extremos

18


La teoría de valores extremos (EVT) es la parte de la Estadística que trata específicamente de este problema de extrapolación, utilizando procedimientos que se basan en resultados con soporte científico.

Áreas de aplicación: Medio Ambiente, Hidrología, Oceanografía, Finanzas, Seguros, Fiabilidad, Climatología.

EVT: Una metodología para el análisis de Extremos

19


Distribución del máximo de un conjunto de variables i.i.d.

Dada una serie X1, X2, . . . , Xn de v. a. i.i.d. con f. de distribución F, la distribución del máximo de la muestra Mn = máx{X1, X2, . . . , Xn} es:

P(Mn ≤ x) = Fn(x)

Es un resultado poco útil si F es desconocida. Sugiere la posibilidad, análogamente al Teorema Central del Límite, de encontrar una distribución de Mn, para valores grandes de n, que se aproxime a un modelo que no dependa fuertemente de la forma de F.


20


Distribución del máximo de un conjunto de variables i.i.d.Teorema (Tippet, Fisher, 1928): Si existen constantes an> 0 y bn, tales que

para alguna función de distribución G, no degenerada, entonces G es de uno de estos tres tipos

Gumbel:

Fréchet:

Weibull (neg)

(*) Puedo sustituir x por el esquema más general ((x-b)/a); a > 0.


21



Se pueden unificar estos tres tipos de distribución bajo un solo modelo, la distribución Valor Extremo generalizada, GEV(µ, σ, ξ)

donde x+= max (x, 0) y σ > 0. µ es un parámetro de localización, σ un parámetro de escala y ξ un parámetro de forma.

La distribución GEV engloba a los tres tipos de distribución vistos antes:- con ξ → 0, VE0 o Gumbel, GEV(0, 1, 0)- con ξ > 0: VE1 o Fréchet, GEV(1, α-1, α-1)- con ξ < 0, VE2 o Weibull negativa, GEV(-1, α-1, -α-1)


22


Distribución del máximo de un conjunto de variables i.i.d.Aplicación de este resultadoDispongo de 20 años de datos de la ola diaria más alta en Suances que, supongamos, son valores i.i.d., es decir, tengo una muestra aleatoria de 7300 observaciones.

Si en ella hago bloques de 50 datos, tendré de una muestra aleatoria de tamaño 146 para estimar los 3 parámetros de la distribución GEV.

Si con bloques de tamaño 50, la aproximación de la muestra de máximos por GEV (un resultado asintótico) no es adecuada y, para lograrla, necesito tomar bloques de tamaño 200 (300), la muestra de estimación se reduce a 36 (24) observaciones.

Problema: Encontrar un equilibrio entre Sesgo y Varianza. ¡Validar el modelo!


23



Problema de esta aproximación:

Ineficiente uso de la información muestral; en cada bloque aprovecho un único dato, su máximo, cuando puede haber otras observaciones útiles, datos que son más extremos que algunos máximos de bloque, que no utilizo.

¿Qué hacer?

-Considerar los r > 1 mayores estadísticos en cada bloque.

-Considerar todas las observaciones que superan un umbral elevado(análisis EOT).


24


Análisis EOT (POT) (excess (peak) over threshold)

Sea X1, X2, . . . una sucesión de v. a. i.i.d. con f. de distribución F.Consideremos todas las observaciones Xi cuyo valor excedaun umbral extremo, u, fijado

Precipitación diaria 2002-03 en Tortosa; excesos sobre 20 mm. (Notar la tendencia a agruparse de los días con precipitación, en particular, de las lluvias importantes)

Index

D99

81A

730657584511438365292219146731

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

2020


25


Análisis EOTCada observación que excede el umbral u elegido, Xi, se caracteriza por el par (ti , Xui ) i = 1, ..., n, donde

ti = instante en el que se produce el i-ésimo excesoXui = el exceso sobre el umbral u: Xi-u


Index

D99

81A

668605542479416353290227164101

90

80

70

60

50

40

30

20 2020

t1t2t3 t11t12

Xu2Xu9

26


Análisis EOT: Distribución de los excesos

Si se conoce la función de distribución, F, de X, la distribución del exceso Xu es inmediata

Como éste no es el caso en la práctica , buscaremos, como hicimos con el máximo, la distribución asintótica de este exceso, que aplicaremos cuando el umbral u sea suficientemente extremo.


27


Análisis EOT: Distribución de los excesos

Si la distribución límite del máximo es GEV, la distribución límite del exceso Xu es una distribución Pareto generalizada (GP), con igual parámetro de forma, ξ, que la GEV y con parámetro de escala, σu . Su función de distribución es:

para x > 0; donde σu= σ + ξ (u − μ)

Como la distribución GEV, la GP engloba tres tipos de distribución: Pareto, si ξ > 0; Beta, si ξ < 0; Exponencial si ξ = 0.


28


Periodo y nivel de retornoLos resultados de un análisis de extremos se dan, frecuentemente, en términos del nivel de retorno correspondiente a un periodo de tiempo (100 años para calcular las características del espigón de Suances) o del periodo de retorno correspondiente a un cierto nivel de la variable X, una ola de 13 metros, por ejemplo.

Periodo de retorno del nivel x: tiempo medio de espera hasta que el nivel x sea excedido de nuevo.

Nivel de retorno correspondiente al periodo T: nivel para el que el tiempo medio de espera entre excesos sucesivos es T.


29


Periodo y nivel de retorno

En el modelo GEV, tomando bloques de datos que correspondan a unperiodo de 1 año de observación, el nivel de retorno de 100 años es el cuantil 0.99 de la distribución GEV ajustada. Si el bloque corresponde a un bienio, el mismo nivel de retorno será el cuantil 0.98 de la correspondiente distribución GEV.Si el bloque corresponde a un semestre, el nivel de retorno de 100 años será el cuantil 0.995.

El nivel de retorno correspondiente al periodo 1/p x (duración del bloque) es el cuantil 1-p de la distribución GEV ajustada.


30


Validación del modelo

La validez de la extrapolación que se hace en la aplicación práctica de los modelos GEV o GP es imposible de comprobar PERO, antes de extrapolar, siempre se debe verificar que la aproximación hecha en el proceso de modelización es válida:

-Que el tamaño de bloque elegido es suficiente para asegurar la proximidad de la muestra de máximos al modelo GEV.-Que el umbral elegido es suficientemente extremo para que la aproximación de la muestra de excesos a la distribución GP es aceptable.

Herramientas: Gráficos: QQ y PP, Histograma vs F. de densidad; Test de bondad de ajuste.


31


Ejemplo: Precipitación de otoño en Tortosa (1941-2003). Precipitación diaria (> = 1mm) y precipitación máxima anual

n MediaDesv. típ. Mín p25 p50 p75 p90 p95 p98 p99 Máx

D9981A(>=1mm) 872 14,58 21,00 1,00 2,60 6,30 17,10 37,97 58,63 85,12 99,20 188,90

Máximo anual 63 62,23 35,86 8,40 35,10 50,90 84,10 113,76 123,54 185,43 188,90 188,90

Data

Freq

uenc

y

1801501209060300

300

250

200

150

100

50

0

VariableD9981A(>=1)Maximo

Histogram of D9981A(>=1); Maximo

Data

Freq

uenc

y

1801501209060300

40

30

20

10

0

VariableD9981A(>=1)Maximo

Ejemplo: Análisis EVT de la lluvia de otoño en Tortosa

32


Precipitación diaria de otoño en Tortosa (1941-2003)

Dat

a

MaximoD9981A(>=1)

200

150

100

50

0

Casi un 75% de los máximos anuales están entre estos datos atípicos de la distribución de la precipitación diaria


33


Análisis de máximosModelo GEV para el máximo anual (otoño): bloques de tamaño 91

muestra de tamaño 63Estimación máximo-verosímil de los parámetrosParámetro Estimación Error estándarμ: 45.01419 3.37213σ: 23.58862 2.60382ξ: 0.13750 0.10280

Intervalo de confianza al 95%,aproximado, del parámetro ξ

(-0.04621, 0.35477)

Se puede considerar que ξ es 0 (modelo Gumbel) -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-335

-325

-315

-305

Shape Parameter

Pro

file

Log-

likel

ihoo

d


34


Análisis de máximos

Validación del modelo GEV anual: QQ plot modelo Gumbel; Incorrelación de la serie de máximos.

Maximum anual

Perc

ent

200150100500

99

98

97

95

90

80

70605040302010

1

0,1

Loc

0,115

46,82Scale 25,07N 63AD 0,606P-Value

Probability Plot of Maximum anualLargest Extreme Value - 95% CI


Lag

Aut

ocor

rela

tion

16151413121110987654321

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

Autocorrelation Function for Maximo(with 5% significance limits for the autocorrelations)

35


Análisis de máximosModelo GEV con bloques bienales (2 otoños): bloques de tamaño 182

muestra de tamaño 31Estimación máximo-verosímil de los parámetros

Parámetro Estimación Error estándarμ: 62.836 5.945*σ: 28.340 4.535*ξ: 0.071 0.168*

Intervalo de confianza al 95%,aproximado, del parámetro ξ

(-0.2003, 0.4611)*Notar el incremento del error estándar de las estimaciones


36


Análisis de máximos

Validación del modelo GEV bienal: QQ plot Gumbel

Maximo-2AÑOS

Perc

ent

250200150100500

98

97

95

90

80

70

6050403020

10

1

Loc

>0,250

63,91Scale 29,19N 31AD 0,303P-Value

Probability Plot of Maximo-2AÑOSLargest Extreme Value - 95% CI


37


Análisis de máximosComparación de los resultados obtenidos con los dos modelos GEV (Gumbel). Valor máximo de la muestra (63 años): 188.9 mm (16-9-1943)

Máximo 1 año Máximo 2 años Percentil (mm) Percentil (mm)

0.50 56.008 74.609 0.75 78.055 100.278 0.90 103.237 129.598 0.95 121.283 150.610 0.99 162.146 198.188 0.995 179.586 218.495

Máximo 1 año Máximo 2 años Periodo retorno (años) nivel retorno (mm) nivel retorno (mm)

50 (0.98) 144.642 (0.96) 157.275 100 (0.99) 162.146 (0.98) 177.808 200 (0.995) 179.586 (0.99) 198.188 500 (0.998) 202.595 (0.996) 225.023


38


Análisis de los excesos sobre un umbral. Determinación del umbral extremo para que sea válida la aproximación GP.

De nuevo, la decisión plantea un compromiso entre el tamaño de muestra resultante (precisión estimadores) y el riesgo de que la distribución de los excesos observados no se aproxime debidamente a la distribución GP (sesgo). Necesidad de Validación.

El gráfico de la vida media restante, E(X-u/X>u), debeser lineal en u a partir delumbral u0 para el que la aproximación GP es adecuada. Atención a la lectura del final del gráfico; inestabilidaddebido a la escasez de datos. exceso_u65

exceso_u60

exceso_u55

exceso_u50

exceso_u45

exceso_u40

exceso_u35

exceso_u30

exceso_u25

exceso_u20

exceso_u15

exceso_u10

exceso_u1

30.00

25.00

20.00

15.00

Med

iaEjemplo: Análisis EVT de la lluvia de otoño en Tortosa

39


Análisis de excesos:Excesos sobre 45 mm: 62 observaciones, 56 efectivas (independientes)

Estimación máximo-verosímil de los parámetros:Escala σ: 33.209 (s. e. 5.995)Forma ξ: -0.066 (s. e. 0.122)

Intervalo de confianza aprox. al 95%, para ξ (-0.261, 0.249)

Como dice la teoría, el parámetro de forma se puede considerar 0 (Exponencial)

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-258

-256

-254

-252

-250

Shape Parameter

Pro

file

Log-

likel

ihoo

d


40


Análisis de excesos

Validación del modelo GP: QQplot exponencial

exceso45menos45

Perc

ent

1000,0100,010,01,00,1

99,9

99

90807060504030

20

10

5

3

2

1

Mean 31,18N 56AD 0,341P-Value 0,749

Probability Plot of exceso45menos45Exponential - 95% CI


41


Análisis de excesos

Precipitación de otoño en Tortosa: Excesos sobre 45 mm

Calculo del nivel de retorno para T años (modelo Exponencial)

rT= u + σ log(T ny xu)

Donde u = umbral seleccionado: 45 mmT = periodo para calcular el nivel de retorno: 50, 100, 200, 500 añosny = nº de observaciones por año: 91 díasxu = probabilidad de que una observación exceda el umbral u: 56/63x91


42


Recapitulación

Comparación de los niveles de retorno obtenidos con 2 modelos de máximos, Gumbel anual y bienal, y 2 de excesos, Exponencial y GP(σ, ξ)

GEV Máximo 1 añoLocal.: 46.82 Escala: 25.07

Forma: 0

GEV Máximo 2 años Local.: 63.91 Escala: 29.19

Forma: 0

GP Escala: 31.18

Forma: 0

GP Escala: 33.21

Forma:-0.0658

Periodo retorno (años)

nivel retorno (mm)

nivel retorno (mm)

nivel retorno (mm)

nivel retorno (mm)

50 144.642 157.275 163.305 156.507 100 162.146 177.808 184.917 174.038 200 179.586 198.188 206.530 190.787 500 202.595 225.023 235.099 211.788


43


Análisis de extremos en un proceso estacionario

Hasta ahora, los modelos presentados, GEV y GP, suponen que el proceso de base es una sucesión de v. a. i.i.d., una hipótesis poco realista para la mayoría de aplicaciones: no es razonable ni en Suances ni en Tortosa.

La generalización natural de una sucesión de variables i.i.d. en un problema de extrapolación, es una sucesión estacionaria. En los procesos estocásticos estacionarios puede existir una estructura de dependencia entre las variables, entre las que están próximas por ejemplo, pero es obligado que esa estructura de dependencia se mantenga homogénea, constante, sin alteraciones en el tiempo:

X1 debe tener la misma distribución que X201, que X2001, ...; las v. a. deben ser idénticamente distribuidas.(X1, X2) la misma distribución conjunta que (X49, X50) , (X999, X1000), …(X1, X5, X20) la misma distribución conjunta que (X56, X60, X75) , …

44



Los dos modelos que hemos visto, GEV y GP, siguen siendo válidos para sucesiones estacionarias, siempre que éstas tengan una dependencia a largo plazo limitada. Hay que asegurar que los grupos de observaciones extremas separados temporalmente entre sí, se hacen cada vez más independientes según la separación y el nivel aumentan (Independencia Asintótica de los Máximos).

Diferencias prácticas con respecto a la independencia: Las observaciones extremas, como consecuencia de la dependencia a corto plazo, tienden a aparecer en grupos (clusters); recordemos los datos de lluvia de Tortosa.

45



¿Qué hacer?

Identificar los clusters independientes de datos extremos que hay en la serie observada, aplicando alguna regla de separación (declustering).

Identificar el máximo exceso dentro de cada cluster (el pico, POT, de los hidrólogos).

Ajustar la distribución GP a la muestra de excesos máximos (de picos).

46


Modelo para el proceso de sequías meteorológicas

Abaurrea y Cebrián (2002), Clim. Res.Cebrián y Abaurrea (2006), J. Hydrometeorology

Objetivos: Establecer un modelo que permita describir las propiedades de la sequía y estimar las características de la sequía más grave en un periodo dado.

La sequía es un fenómeno extremo complejo que tiene muchas facetas diferentes: meteorológica, hidrológica, edáfica, socio-económica.

Sin embargo, mediante el uso de índices adecuados, por ejemplo,sequía edáfica índice de Palmer,

un extremo que depende de múltiples variables se convierte en un extremo simple: basta evaluar la situación del índice respecto de un umbral.

47


Definición operativa de sequía meteorológica

La sequía meteorológica se refiere a la escasez de precipitación, como siempre en relación a su distribución de referencia, en una región, durante un periodo de tiempo.

Ese periodo de tiempo puede ser variable, dependiendo del usuario y el aspecto de la sequía que se analice: un periodo de tres meses en cierta época del año puede ser crítico para un agricultor de secano, mientras que, para un sistema de suministro urbano o de riego, un periodo de sequía de duración inferior a 1 año, puede ser poco preocupante.


48


Def. oper. de sequía meteorológica. Señal de precipitación a emplear

El Standard Precipitation Index (SPI), introducido por McKee et al. (1993), es una señal bastante usada. Considera la precipitación acumulada en distintos periodos de tiempo, originalmente en 3, 6, 9 meses, 1, 2 y 4 años y construye las series temporales, de intervalo mensual habitualmente, cuyo dato es la precipitación acumulada en cada uno de esos periodos.

Luego transforma cada serie de precipitación a una escala N(0,1), mediante la transformación Φ-1(F(X)), donde:F es la f. de distribución de la lluvia acumulada que estemos considerandoΦ es la f. de distribución de una v. a. N(0,1)


49


Definición operativa de sequía meteorológica basada en el SPI

Según sus autores, el SPI define una sequía severa mientras se mantiene negativo y si alcanza la intensidad -1.5 (cuantil 0.0668). Una sequía extrema es una excursión negativa del SPI en la que se alcanza el umbral -2 (cuantil 0.0228).

El SPI es una herramienta útil porque: permite monitorizar sequías de distinto tipo, cambiando el periodo de acumulación de la precipitación; permite la comparación inmediata del estado de la sequía en puntos de características climáticas muy diferentes.

A veces se usa mal porque se considera (sin comprobarlo), no importa el intervalo empleado y el lugar donde se aplique, que la distribución F que mejor ajusta los datos es siempre la Gamma, lo que no es cierto.


50


Definición operativa de sequía meteorológica

Alternativa, más simple, al SPI

En nuestra definición utilizaremos una señal muy próxima al SPI, algo más simple. En vez de transformar la señal de lluvia acumulada a una escala N(0,1) lo haremos a una escala de percentiles (cuantiles).

Esto puede hacerse empíricamente, sobre la propia serie observada, si ésta es muy larga, lo que es frecuente en un estudio de sequías, o ajustando un modelo de probabilidad a los datos y empleando la función de distribución. La ventaja sobre el SPI es que no requiere ajustar ningún modelo.


51


Definición operativa de sequía meteorológica. Episodio seco

Un episodio seco se define como una racha de observaciones consecutivas en las que la señal de precipitación s(t) está por debajo de un umbral extremo U1(t) (el percentil 10 por ejemplo).

Consideraremos un periodo de acumulación de la precipitación de 1 año, por lo que no habrá estacionalidad en la señal s(t) y el umbral de definición será constante.


52


Definición operativa de sequía meteorológica. Definición de sequía

Los episodios secos, dado el carácter del proceso base y la señal utilizada, tienden a formar grupos con intervalos de separación pequeños entre ellos. Una sequía estará formada por uno o varios episodios secos próximos, que constituyen un cluster.

Sequía = Cluster de episodios secos próximos (relacionados)

Según esta definición, dentro de un periodo de sequía puede haber épocas en las que la señal s(t) se encuentre por encima del umbral de definición. El estado debe ser seco, aunque algo más suave, y no debe suponer una recuperación del estado hídrico de normalidad.


53


Definición operativa de sequía meteorológica. Identificación de los episodios de sequía

Dada la serie temporal de la señal de precipitación y el umbral extremo seleccionado, la sucesión de episodios secos observados resulta aparente. Para obtener las sequías ocurridas hay que realizar un proceso de identificación de los diferentes clusters (declustering).

Consideramos que dos episodios secos pertenecen al mismo cluster si:i) El intervalo de tiempo entre ellos es menor o igual que un valor, Tc, que

determinamos aplicando un método de Ferro y Segers (2003).ii) La señal s(t) en los intervalos de separación entre episodios secos no

alcanza un valor normal (de recuperación) de la precipitación, (percentil 30).

A cada sequía se le asigna una posición (punto de ocurrencia), aquél donde s(t) alcanza su valor mínimo (máxima intensidad de la sequía).


54


Definición operativa. Caracterización de la gravedad de la sequía

La gravedad de cada episodio se caracteriza por un vector de tres variables:

- duración, L, - intensidad máxima observada, IM , máximo exceso sobre el umbral- déficit acumulado, D,respecto a un valor de lluvia normal, U2, que tomamos igual a p30


55


Modelo para el proceso de sequías: Un proceso de Poisson cluster marcadoEstamos en un marco POT, en un proceso que no es i.i.d. pero síestacionario (a priori). Seleccionando un umbral suficientemente extremo, la muestra de los excesos máximos por cluster, los valores de IM, se aproximarán a una muestra aleatoria con distribución GP.

La EVT admite una aproximación en términos de procesos estocásticos de tipo puntual (modelos para la distribución de puntos en un espacio). De acuerdo con ella, si el umbral U1 es extremoEl proceso de ocurrencia de clusters (sequías) converge a un proceso de Poisson homogéneo, si el proceso de base es estacionario.Cada sequía tiene un perfil complejo, caracterizado por el nº de episodios secos que la componen, su duración, posición, los diferentes excesos observados, etc. Las características que definen esos perfiles son variables i.i.d., por lo que la muestra del vector tridimensional que caracteriza la gravedad de cada sequía, (L, IM, D), el proceso de marcas, es una muestra aleatoria.


56


Aplicación

El proceso de ajuste del modelo a una serie observada constará de dosfases:

1) Estimación del modelo de ocurrencia y verificación de que, efectivamente, tiene un carácter Poisson (esto constituye un control de la adecuación del umbral U1 elegido).

2) Estimación del proceso de marcas (L, IM, D). Selección de la distribución más adecuada para cada variable y estimación de sus parámetros en la muestra correspondiente.


57


Aplicación

Estudio del proceso de sequía meteorológica en 5 series de precipitación de la Península Ibérica, elegidas entre las más prolongadas y de mayor calidad, González Rouco et al. (2001):

Burgos, Daroca, Huesca, Madrid, Murcia.

Las series comienzan en 1901 (excepto Daroca, 1910) y terminan en 1994 (excepto Daroca y Huesca, 1998).


58


AplicaciónResultados del ajuste del proceso de ocurrenciaLa tabla muestra el umbral, en 10-1 mm, utilizado en cada lugar y el número de sequías en el periodo de observación, así como algunos controles de validación del modelo.


59


Resultados del ajuste del proceso de ocurrenciaControl del carácter Poisson homogéneo del proceso de sequías: Análisis del carácter exponencial de las distancias entre ocurrencias. Todas las series verifican ese carácter con el umbral p10, excepto Madrid, donde es necesario tomar p6 como umbral. Gráfica: QQ plot exponencial de los intervalos de recurrencia entre sequías en Madrid, con umbral p6.


60


Resultados del ajuste del proceso de ocurrenciaControl del carácter Poisson homogéneo del proceso de sequías:Controles de independencia, aleatoriedad y homogeneidad de la sucesión de intervalos entre sequías: Los contrastes no rechazan estas hipótesis.


61


Resultados del ajuste del procesoLos procesos de sequía definidos con el umbral p10 en Huesca, Daroca, Burgos y Murcia y con p6 en Madrid, son procesos de Poisson cluster marcados; sólo Madrid da indicios de estacionalidad en la variable Longitud (duración).La tabla muestra un resumen de los resultados que producen los modelos de ocurrencia ajustados: tasa de ocurrencia, λ, tiempo de recurrencia entre sequías, Rt, y número de ocurrencias esperado en 100 años, con sus correspondientes intervalos de confianza al 95%.


62


Resultados del ajuste del proceso de marcas

Selección de las distribuciones más adecuadas:

- L, longitud, Exponencial (desplazada 1) - D, déficit, Gamma- IM, intensidad máxima, GP

La tabla muestra los parámetros estimados, la media, los percentiles 50 y 90 y el nivel de retorno en 100 años de estas variables que miden la gravedad de los episodios, con sus intervalos de confianza al 95%.


63


Análisis de extremos en un entorno no estacionario

La EVT no puede extenderse a procesos no estacionarios; no hay teoremas probabilísticos en los que apoyarse, válidos en el contexto amplio necesario para abarcar las formas de no estacionaridad que aparecen en los procesos reales.

Lo que puede hacerse es utilizar los modelos clásicos, GEV y POT, haciendo que sus parámetros dependan del tiempo o de covariablesadecuadas; por ejemplo:

GEV(μ(t), σ(t), ξs(t)); μ(t) = β0 + β1t o μ(t) = β0 + SOI(t)σ(t) = exp(γ0 + γ1t)ξs(t) = distinto y constante en cada estación del año

Estos modelos pueden estimarse utilizando el procedimiento de máxima verosimilitud (MLE).

Veamos, brevemente, dos ejemplos de modelización en este marco.

64


Kharin y Zwiers (2005), J. Climate. Analizan los cambios proyectados en los máximos anuales de las temperaturas máxima y mínima diarias, Tx y Tn, y de la precipitación medida en 24 horas, en simulaciones del modelo CGCM2, en los escenarios IS92a, SRES A2 y B2 (con 3 trayectorias de en cada caso), en el periodo 1990-2100.

Estiman los valores de retorno, para 10, 20 y 50 años, de los máximos anuales a partir de una distribución GEV con los parámetros de localización, escala y forma, dependientes del tiempo.

Para cada escenario y punto de rejilla, realizan una estimación máximo verosímil, utilizando diferentes intervalos móviles de 51 años centrados en cada año del periodo 2014-2076. De este modo obtienen una visión de cómo se produce el cambio en la distribución de los máximos anuales de Tx Tn y P, en los escenarios considerados.


65


Kharin y Zwiers (2005), J. Climate.Modelo propuesto: Los parámetros de la distribución GEV varían con el tiempo: linealmente los de localización y forma; mediante un modelo loglineal el parámetro de escala.


66


Kharin y Zwiers (2005), J. Climate. Resultados bajo el escenario A2.Evolución de los parámetros en los modelos GEV para los máximos anuales de Tx y P:-El parámetro de forma (……) es constante en Tx y decrece en P.-Tx: El parámetro de localización (___) experimenta un gran cambio y el de escala (- - - -) permanece estable. Desplazamiento de la distribución.- P: El parámetro de escala tiene una pendiente comparable al de posición.


67


Kharin y Zwiers (2005), J. Climate. Resultados bajo el escenario A2.Cambios en la distribución GEV que modela la precipitación extrema.

Gráfica: Funciones de densidad GEV para los años 2000 y 2090. Las flechas señalan los niveles de retorno de 20 años en ambos modelos; la diferencia entre ellos es mayor que la que se observa entre las dos modas.


68


Kharin y Zwiers (2005), J. Climate. Cambio en la precipitación.

Gráfica: Cambios proyectados en la precipitación máxima anual en los tres escenarios, a través de los valores de retorno para 10, 20 y 50 años. Mayor cambio en las precipitaciones extremas que en la precipitación media anual, línea discontinua común.


69


Abaurrea, Asín, Cebrián, Centelles (2007), Global and Planetary Change

Objetivos: Modelar el proceso (ocurrencia y gravedad) de los episodios de ola de

calor observados en el intervalo 1951-2004 en el centro del valle del Ebro y representar sus características principales: evolución temporal, estacionalidad, etc.

Analizar, con la ayuda del modelo, el cambio observado en esos fenómenos extremos en la segunda mitad del siglo XX.

Combinando el modelo estadístico con la salida de un GCM, HadCM3, generar proyecciones para el comportamiento futuro de estos episodios, en un escenario de cambio climático SRES-A2.


70


Evolución del valor medio de Tx y Tn en Verano, JJA, y por mesesParalelismo de Tx y Tn. Crecimiento concentrado en los periodos 1975-90 y 1996-2004.Desigual comportamiento de Jn, Jl y Ag en el periodo 1975-2004:Incremento máximo en Jn, 5ºC, frente a 2ºC en Jl y Ag, que desde 1990 se estabilizan. Convergencia de Jn, Jl y Ag en los últimos 15 años.

51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 01 04

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

Year

Tx (Huesca)

Tx (Zaragoza)

Tn (Zaragoza)

Tn (Huesca)


51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 01 04

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

Year

Tx

Tn

June

June

July

July

August

August

71


Definición utilizada de ola de calor

Racha de días consecutivos cuya Tx supera el percentil 95 calculado en su distribución en los días de Jn-Jl-Ag del periodo 1971-2000,

umbral: 37ºC en Zaragoza y 35.8ºC en Huesca.

Características de gravedad del episodio:

Longitud, LIntensidad máxima, IX, máximo valor del exceso sobre el umbralIntensidad media, IM, exceso medio


72


Modelo: Proceso de Poisson no homogéneo (NHPP) marcadoEl marco es el de un modelo POT no estacionario; como consecuencia del proceso de calentamiento, la estacionalidad, etc., la probabilidad de observar un exceso sobre el umbral extremo, así como el tamaño de dicho exceso, cambian con el tiempo.

La ocurrencia de olas de calor viene descrita por un proceso NHPP definido en R+ (que representa el tiempo), con tasa de ocurrencia variable en cada instante t, λ(t).

Un NHPP en R+, de tasa λ(t), es un proceso puntual de incrementos independientes, tal que N(A), el número de puntos (olas de calor) que ocurren en el conjunto A, sigue una distribución de Poisson de valor medio:


73


Modelo: Proceso NHPP marcado

Si llamamos Nt al número de ocurrencias en el intervalo [0, t] y si A es el intervalo (t, t+h],

N(A) = Nt+h-Nt

es la variable aleatoria, con distribución Poisson, que cuenta el número de olas ocurridas en ese intervalo de tiempo. Su valor medio es la integral de la tasa λ(t) a lo largo de (t, t+h].

La tasa de ocurrencia λ(t) puede ser función de distintas variables predictoras; se define con un enlace logarítmico para que no sea negativa:

log(λ(t)) = β0 + β1 cos(2πt) + β2 sin(2πt) +f 1(variables de temperatura; βi ) +f 2(cos(2πt) variables de temperatura; βj ) +f 3(sen(2πt) variables de temperatura; βk )


74


Modelo de ocurrencia ajustado en Zaragoza Expresión y gráfica de la tasa λ(t) ajustada,


75


Modelo de marcasLa gravedad de cada ola se describe por un vector aleatorio de tres

componentes (L, IX, IM); los vectores correspondientes a olas distintas se consideran independientes.

Longitud: Distribución binomial negativa con valor medio dependiente de covariables.

Intensidades máxima y media: Distribución Pareto generalizadaParámetro de forma constante, distinto en cada mes, J-J-A.Parámetro de escala dependiente de covariables.


76


Modelo de marcas ajustado en Zaragoza

Severity variables Distribution Parameters

Length Negative binomial

μ (t) = exp(-8.5+0.025 Txm31) N = 2

Mean intensity Generalized Pareto

Shape ξ = -0.127 Scale σ = 13.981

Maximum intensity

Generalized Pareto

Shape ξ = -0.280 Scale σ = 12.357

Longitud:Efecto significativo de la temperatura a través de Txm31

Ausencia de términos estacionales: Similar duración en todas las épocas.(No se ha considerado, poranómala, la duración de la olade Agosto de 2003)

Intensidad máxima y media:Parámetros constantes.


77



El proceso NHPP en R+ puede transformarse en un proceso de Poissonhomogéneo con tasa λ(t) = 1 constante. Esto lo hace fácil de validar ya que los intervalos entre ocurrencias sucesivas (transformadas)

di= ti*- ti-1* deben ser v. a. i.i.d. Exponenciales de parámetro 1.

El modelo de ocurrencia ajustado puede chequearse analizando el carácter Exponencial de esa muestra de intervalos en el proceso transformado (testKS, QQplot,...). Alternativamente, se puede chequear el carácter uniforme (0, 1) de las variables –log(di).

El proceso de marcas también es fácil de validar; las observaciones de cada variable, L, IX, IM, deben constituir una muestra aleatoria de una distribución especificada.


78



Proceso NHPP: QQplot uniforme (0, 1) QQ plot GP de IX

con banda de confianza al 95%


79


Conclusiones sobre el proceso de olas de calor en el centro del valle del EbroEl modelo NHPP marcado es un modelo satisfactorio para ese proceso.

El proceso de calentamiento global está incrementando la frecuencia y duración de las olas de calor observadas. Hasta ahora, no hay signos de unaalteración significativa en la intensidad, media y máxima, de los episodios. El efecto de la temperatura en la ocurrencia se recoge a través de una media móvil de la variable Tx, de periodo 31 días, que hace innecesario introduciruna señal de evolución a largo plazo. En la duración de las olas tambiéninfluye esa señal “local” de temperatura.

No hay signos de estacionalidad en la duración de los episodios, sí en suocurrencia, donde se observa que la estacionalidad ha cambiado en el periodo analizado (términos de interacción significativos) comoconsecuencia del modo en que ha ocurrido el calentamiento.


80


Conclusiones Se han realizado muchos análisis sobre la evolución de sucesos extremos climáticos utilizando metodología no idónea. Algunas de las conclusiones genéricas que se han extraído, en particular al analizar episodios de lluvia extrema, deben, a nuestro juicio, ser puestas en cuarentena a la espera de realizar mejores análisis sobre bases de datos más depuradas.

Las técnicas de análisis que propone la EVT, mucho menos difundidas en la Climatología que en otros campos de aplicación, son una alternativa a los métodos más genéricos e inespecíficos utilizados. He tratado de mostrar que es posible adaptar los modelos clásicos de la EVT a las situaciones de dependencia y no estacionaridad que se dan al analizar problemas que interesan en relación con el cambio climático.

Se deben validar siempre las hipótesis de los modelos estadísticos queusamos en la investigación.

Fenómenos Extremos: Análisis y Caracterización (fin)

81


Referencias Dos textos de introducción a la modelización y análisis de datos extremosS. Coles (2001): An introduction to statistical modeling of extreme values. Springer.J. Heffernan & J. Tawn (2003): Extreme value theory. Lancaster University. http://www.maths.lancs.ac.uk/~currie/CourseNotes/evt.lancaster.pdf

Software para el análisis de extremos en R:La página para extraer R: http://cran.r-project.org/El paquete extRemes: http://cran.rproject.org/doc/packages/extRemes.pdfUn tutorial sobre extRemes de E. Gilleland y R. W. Katzhttp://www.isse.ucar.edu/extremevalues/tutorial/

Más información sobre software para el análisis de extremos en:A. Stephenson & E. Gilleland (2006): Software for the analysis of extreme events: The current state and future directions. Extremes 8: 87-109. Se puede obtener en: http://www.isse.ucar.edu/extremevalues/exsoft.pdf


82


Referencias citadas

Abaurrea, J. & Cebrián, A.C. (2002): Drought analysis based on a cluster Poisson model: Distribution of the most severe drought. Clim. Research, 22, 227-235.

Abaurrea, J., Asín, J., Cebrián, A.C. & Centelles, A. (2007): Modeling and projecting extreme hot events in the central Ebro valley, a continental-Mediterranean area. Global and Planetary Change, 57, 43-58.

Alexander, L.V. y 23 coautores. (2006): Global observed changes in daily climateextremes of temperature and precipitation. J. Geophys. Res. 111, D05109, doi:10.1029/2005JD006290.

Allen, M.R. & Ingram, W.J. (2002): Constraints on future changes in climate and thehydrologic cycle. Nature, 419, 224-232.

Cebrián, A.C. & Abaurrea, J. (2006): Drought analysis based on a marked cluster Poisson model. J. Hydrometeorology 7, 713-723.

Ferro, C.A.T. & Segers, J. (2003): Inference for clusters of extreme values. J.R.S.S. Series B, 65, 545-556.


83


Referencias citadas (cont)

Frich, P., Alexander, L.V., Della Marta, P., Gleason, B., Haylock, M., Klein Tank, A.M.G., & Peterson, T. (2002): Observed coherent changes in climaticextremes during the second half of the twentieth century. Clim. Research 19, 193-212.

González-Rouco, F., Jiménez, J.L., Quesada, V. & Valero, F. (2001): Quality Control and Homogenization of Monthly Precipitation Data in the Southwest of Europe. J. Climate, 14, 964-978.

Groisman, P.Y. y 13 coautores. (1999): Changes in probability of heavyprecipitation: Important indicators of climatic change. Climatic Change, 42, 243-283.

Groisman, P.Y., Knight, R.W., Easterling, D.R., Karl, T.R., Hegerl, G.C. & Razuvaev, V.N. (2005): Trends in intense precipitation in the climate record. J. Climate, 18, 1326-1350.

IPCC 4AR Informe Working Group I (2007): http://ipcc-wg1.ucar.edu/wg1/wg1-report.html


84


Referencias citadas (cont)

Karl, T.R. & Knight R.W. (1998): Secular trends of precipitation amount, frequencyand intensity in the United States. Bull. Amer. Meteorol. Soc., 79, 231-241.

Kharin, V.V. & Zwiers, F.W. (2005): Estimating extremes in transient climatechange simulations. J. Climate, 18, 1156-1173.

McKee, T.B., Doesken, N.J. & Kleist, J. (1993). The relationship of droughtfrequency and duration to time scales. Preprints 8th Conference on AppliedClimatology, pp. 179-184, Anaheim, California.


fenómenos extremos: análisis y caracterización³gico y estadístico de fenómenos extremos 2...

Documents