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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

ESCUELA DE INGENIERIA QUIMICA

“

CALCULO DE LA DISTRIBUCION DE TEMPERATURAS, FLUJO DE CALOR Y

EFICIENCIA EN UN ASPA DE TURBINA EXPUESTA A GASES DE

COMBUSTIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE VOLUMEN DE CONTROL”

AUTORES

BR. COLORADO JAUREGUI CONSUELO ELIZABETH.

Br. HURTADO BOLAÑOS FLAVIA PAOLA

ASESOR

Msc. ING. GUILLERMO EVANGELISTA BENITES

TRUJILLO – PERU

2007

TTEESSIISS

PPAARRAA OOBBTTEENNEERR EELL TTIITTUULLOO DDEE

IINNGGEENNIIEERROO QQUUIIMMIICCOO

Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/

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Presentación

Señores Miembros del Jurado:

En mérito a lo dispuesto por el Reglamento de Grados y Títulos de la Escuela de Ingeniería

Química de la Universidad Nacional de Trujillo, cumplimos con someter a vuestro ilustrado

criterio la Tesis intitulada: “CALCULO DE LA DISTRIBUCION DE

TEMPERATURAS, FLUJO DE CALOR Y EFICIENCIA EN UN ASPA DE

TURBINA EXPUESTA A GASES DE COMBUSTIÓN MEDIANTE EL

MÉTODO DE VOLUMEN DE CONTROL”, para su evaluación y dictamen

respectivo, a efecto de obtener el Titulo Profesional de Ingeniero Químico .

El presente trabajo, ha sido efectuado considerando las exigencias metodológicas de la

Facultad de Ingeniería Química y tiene como objetivo Desarrollar un programa

computacional (software) de fácil manejo, aplicable tanto en el ámbito académico como

profesional, facilitando a los usuarios que disponen de fundamentos teóricos en

transferencia de calor y permitir un análisis rápido y efectivo del comportamiento de las

principales variables involucradas.

Nuestro reconocimiento a Ustedes, y en su persona a todos los profesores que han

contribuido con sus conocimientos y experiencias durante esta etapa de formación

profesional.

Trujillo, 24 de Abril del 2007



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Jurado Examinador

Ms. Presidente

Ms. Miembro Ms. Secretario



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Dedicatoria

A nuestros profesores de facultad de Ingeniería Química por los conocimientos y experiencias impartidas a lo largo de mi formación académica

A mis queridos padres Maruja y Pedro que me dieron su apoyo y amor para poder culminar con éxito este trabajo

A mis querida madre Isabel que me dio su apoyo y amor para poder culminar con éxito este trabajo



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Agradecimiento

Nuestro agradecimiento al Ms. Msc. Guillermo Evangelista Benites, Profesor de

la Escuela de Ingeniería Química y Asesor de esta Tesis por su orientación y

acertadas sugerencias.

Un agradecimiento anticipado a nuestros jurados por sus

recomendaciones con el fin de mejorar este trabajo que le dedicamos tiempo y

esfuerzo.



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Resumen

La velocidad de la conducción de calor en una dirección específica es proporcional

al gradiente de temperatura, el cual es el cambio en la temperatura por unidad de longitud

en esa dirección. En general la conducción del calor en un medio es tridimensional y

depende del tiempo. Es decir ),,,( tzyxTT y la temperatura en un medio varía con la

posición así como con el tiempo. Se dice que la conducción de calor en un medio es estable

cuando la temperatura no varía con el tiempo, y es no estable o transitoria cuando sí varía.

Asimismo se dice que la conducción del calor en un medio es unidimensional cuando la

conducción se realiza significativamente sólo en una dirección y es despreciable en las otras

dos dimensiones

En el presente trabajo de investigación se presenta el método del volumen de

control para resolver problemas de transferencia de calor por conducción unidimensional y

en estado estable. Deduciendo las ecuaciones diferenciales que rigen la conducción de calor

en un aspa de turbina, después de una discusión de las condiciones de frontera se presenta

la formulación de los problemas de conducción de calor y sus soluciones.

El auge de excelentes lenguajes de programación y la disponibilidad cada vez mayor

de máquinas computadoras de alta velocidad, ha propiciado que las técnicas de resolución

de problemas de transferencia de calor se hayan simplificado.

La importancia del calculo de la velocidad de la transferencia de calor y el perfil de

temperatura en el diseño de aspas de turbinas y construcción de las mismas es tan grande

que muchas empresas han intentado poner a punto un sistema de computador para hacer el

trabajo de diseño; por lo que, la aplicación del software interactivo “aspa”, permite hacer el

análisis de estos parámetros de diseño.



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Abstract

The speed of the heat conduction in a specific direction is proportional to the temperature

gradient, which is the change in the temperature by unit of length in that direction. In

general the conduction of the heat in means is three-dimensional and depends on the time.

It is to say and the temperature in means varies with time with the position as well as. One

says that the heat conduction in means is stable when the temperature does not vary with

time, and is nonstable or transitory when yes it varies. Also one says that the conduction of

the heat in means is unidimensional when the conduction is made significantly only in a

direction and is despicable in the other two dimensions In the present work of investigation

appears the method of the volume of control to solve problems of heat transference by

unidimensional conduction and in stable state. Deducing the equations differentials that

govern the heat conduction in a turbine vane, after a discussion of the conditions of border

it presents/displays the formulation of the problems of heat conduction and its solutions.

The height of excellent programming languages and the availability every greater time of

machines computers of high speed, has caused that the techniques of resolution of

problems of heat transference have been simplified. The importance of I calculate of the

speed of the heat transference and the profile of temperature in the design of vanes of

turbines and construction of the same ones is so great that many companies have tried to

complete a computer system to make the work of design; reason why, the application of

interactive software "reels", allows to make the analysis of these parameters of design



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CONTENIDO Carátula i

Presentación ii

Jurado Examinador iii

Dedicatoria iv

Agradecimiento v

Resumen vi

Abstract vii

Contenido viii

Lista de Tablas x

Lista de figuras x

Lista de Gráficos x

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

1.1. Realidad Problemática, justificación e importancia del trabajo

1.2. Problema

1.3. Hipótesis

1.4. Objetivos

1.5. Fundamento Teórico

1.5.1. Conducción en estado estable unidimensional

1.5.1.1. Ecuación de diferencia

1.5.1.2. Condiciones limitantes

1.5.1.3. Métodos de solución

CAPITULO II

MATERIALES Y METODOS

2.1. Material de estudio

2.2. Métodos y Técnica

2.2.1. Población

2.2.2. Muestra

2.2.3. Variables

2.2.4. Procedimiento

1

1

6

6

6

7

7

7

14

19

24

24

25

25

25



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CAPITULO III

RESULTADOS

CAPITULO IV

DISCUCIÓN

CAPITULO V

CONCLUCIONES

CAPITULO VI

RECOMENDACIONES

CAPITULO VII

REFERNCIAS BIBLIOGRAFICAS

ANEXOS

Programa Principal

Presentación

Resultados

26

27

52

55

56

60

63

66



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Lista de Tablas

Tabla 1.1. Coeficiente de matriz para estado estable Unidimensional

18

Tabla 4.1. Razón de transferencia de Calor y Eficiencia

54

Lista de figuras

Figura 1.1 Volumen de control para conducción Unidimensional

7

Figura 1.2 Limite de Volumen de Control para Control Unidimensional

15

Figura 1.3 Diagrama de Flujo para la Solución Iterativa de un Problema de

Conducción en estado estable Unidimensional

22 Figura 3.1 Vista Frontal y Corte Transversal del Aspa

28

Lista de Graficas

Gráfica Nro.1 Pantalla de Presentación

32

Grafica Nro.2 Pantalla de Ingreso de Datos

33

Gráfica Nro.3 Pantalla de Resultados

34

Gráfica Nro.4 Distribución de Temperaturas

35

Gráfica Nro.5 Opción para Ejecutar Nuevamente el software “Aspa”

35

Gráfica Nro.6 Pantalla de Resultados (Temperatura de la pared Troot =600 ºC)

36

Gráfica Nro.7 Distribución de Temperaturas (Temperatura de la pared Troot

=600 ºC)

37 Gráfica Nro.8 Pantalla de Resultados (Temperatura de la pared Troot =700 ºC)

38

Gráfica Nro.9 Distribución de Temperaturas(Temperatura de la pared Troot

=700 ºC)

39 Gráfica Nro.10 Pantalla de Resultados (Temperatura del gas de combustión

Tinf =1000 ºC)

40 Gráfica Nro.11 Distribución de Temperaturas (Temperatura del gas de

41



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combustión Tinf =1000 ºC) Gráfica Nro.12 Pantalla de Resultados(Temperatura del gas de combustión Tinf

=110 ºC)

42 Gráfica Nro.13 Distribución de Temperaturas (Temperatura del gas de

combustión Tinf =110 ºC)

43 Gráfica Nro.14 Pantalla de Resultados (Longitud de Aspa , L = 0.10 m)

44

Gráfica Nro.15 Distribución de Temperaturas (Longitud del aspa L = 0.10 m )

45

Grafica Nro.16 Pantalla de resultados ( Longitud del aspa L=0.15 m)

46

Grafica Nro.17 Distribución de Temperaturas (Longitud del aspa, L=0.15)

47

Grafica Nro.18 Pantalla de Resultados (Numero de nodos N=12)

48

Grafica Nro.19 Distribución de Temperaturas (Numero de nodos N=12)

49

Grafica Nro.20 Pantalla de resultados ( Numero de nodos N=18)

50

Grafica Nro.21 Distribución de temperaturas (Numero de nodos N=18)

51



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Cálculo de la Distribución de Temperaturas, Flujo de Calor y Eficiencia en un Aspa de Turbina expuesta a Gases de

Combustión mediante el Método del Volumen de Control

Br. Colorado Jáuregui Consuelo Elizabeth Br. Hurtado Bolaños Flavia Paola - 1 -

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

1.1 Realidad problemática, justificación e importancia del trabajo.

Con base en las ecuaciones que describen la transferencia de calor por

conducción y las soluciones analíticas para los diversos tipos de problemas de

conducción, en general son posibles para los problemas relativamente simples. No

obstante, estas soluciones desempeñan una importante función para el análisis de la

transferencia de calor porque proporcionan una percepción de la naturaleza interior

de problemas complejos que pueden simplificarse utilizando ciertas suposiciones.

Sin embargo, muchos problemas prácticos implican geometrías y

condiciones de frontera complejas, o propiedades variables que no es posible

resolver de manera analítica. En general, estos problemas se resuelven mediante

métodos de análisis numérico. Además de proporcionar un método de solución

para estos problemas más complejos, el análisis numérico suele ser más eficiente en



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términos del tiempo necesario para llegar a la solución; también tiene la ventaja de

facilitar el cambio de los parámetros, lo que permite que un ingeniero determine el

comportamiento de un sistema térmico o que optimice un sistema térmico con

mucha mayor facilidad.

Los métodos de solución analítica resuelven las ecuaciones diferenciales,

proporcionando una solución para cada punto del espacio y tiempo dentro de los

límites del problema. Por el contrario, los métodos numéricos proporcionan

soluciones solamente para puntos discretos dentro de los límites del problema y

ofrecen una aproximación de la solución exacta. Sin embargo, al ocuparse de la

solución para un número finito de puntos discretos, el método se simplifica, al

resolver ahora un sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas, en vez de la

ecuación diferencial. La solución de ecuaciones simultáneas es una tarea ideal para

las computadoras.

Además de reemplazar la ecuación diferencial con un sistema de ecuaciones

algebraicas, proceso llamado discretización, existen otras consideraciones importantes

para una solución numérica completa. En primer lugar, deben discretizarse las

condiciones limitantes o iniciales especificadas para el problema. En segundo lugar,

debe tenerse en cuenta que, como aproximación de la solución exacta, el método

numérico introduce errores en la solución, por ello se debe saber como calcular y

reducir al mínimo estos errores. Por ultimo, en algunas condiciones el método

numérico puede tener una solución que oscila en tiempo o en espacio, por lo que

resulta necesario conocer como evitar esos problemas de estabilidad.



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Existen varios métodos para discretizar las ecuaciones diferenciales de

conducción de calor. Entre ellos se cuentan los de la diferencia finita, el elemento

finito y el volumen de control; cada uno tiene sus ventajas y desventajas. Para el

presente proyecto, se ha elegido utilizar el método del volumen de control. Este

método considera el balance de energía en un volumen pequeño finito que está

dentro de los límites del problema.

El método del volumen de control determina la ecuación de diferencia

considerando directamente a la conse2rvación de la energía. El método del

volumen de control reduce al mínimo las matemáticas complejas y por tanto

promueve una mejor comprensión física del problema (Kreith y Bohn, 2001).

El uso de los métodos numéricos para resolver problemas de transferencia

de calor, resulta de la complejidad de las soluciones asociadas a los problemas

prácticos de ingeniería. Con frecuencia, las soluciones analíticas son imposibles. Los

factores que conducen al uso de los métodos numéricos son la geometría compleja,

condiciones de la frontera no uniformes, condiciones de la frontera que dependen

del tiempo, y las propiedades que dependen de la temperatura. Ejemplos de

geometría compleja se encuentran en las paletas de una turbina, los cilindros de una

máquina de combustión interna, y la estructura de soporte para una línea de tubería

que transporta fluidos calientes. Los coeficientes convectivos de transferencia de

calor, involucrados en las condiciones en la frontera para problemas de conducción,

varían en general con la posición y en problemas de conducción natural pueden

llegar a depender hasta de la diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido.

Cuando se presentan grandes cambios de temperatura dentro de un cuerpo dado,



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usualmente la conductividad térmica no es constante y más bien se espera que varíe

significativamente dentro del cuerpo.

En algunos casos, es posible conseguir soluciones analíticas, en principio,

pero puede ser mucho más difícil la mecánica que se requiere para obtener la

solución, que la tarea requerida para resolver el problema numéricamente. Por

ejemplo, en el caso de un cuerpo compuesto por varias capas de materiales que

experimentan un proceso de transferencia de calor transitorio, resulta relativamente

fácil establecer las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la solución es

extremadamente compleja, debido a que se hace necesario tratar con ecuaciones

diferenciales parciales simultáneas.

En todos los casos como el antes mencionado, y en muchos otros, si uno

está equipado con los principios fundamentales de conducción de calor, y con

cierto conocimiento de métodos numéricos y programación de computadoras, se

obtendrá con éxito la solución requerida.

En los métodos exactos de análisis, se busca una función matemática que

depende de las variables espaciales (x, y, z) y del tiempo (t), que nos dará un valor

de la temperatura (o flujo de calor unitario) en cada punto de un cuerpo y en cada

tiempo dado. En los métodos numéricos, se dirige la atención sobre un número

finito de puntos discretos dentro del cuerpo dado y sobre su superficie (Karlekar y

Desmond, 1995).

Muchos problemas sencillos de conducción estacionaria o transitoria se

pueden resolver en forma analítica, pero las soluciones de problemas más



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complejos se deben obtener numéricamente. Los métodos numéricos son de

particular utilidad cuando la forma del sólido es irregular, cuando las propiedades

térmicas dependen de la temperatura o de la posición, y cuando las condiciones de

contorno no son lineales. Entre los métodos numéricos más comunes se

encuentran el método de diferencias finitas, el método de elementos finitos y

el método de elementos de contorno. El método de diferencias finitas fue el

primer método numérico que se usó extensamente para la conducción de calor, y

conserva su popularidad, no porque sea superior a otros métodos para la

conducción de calor, sino porque es más fácil de aplicar y porque también es el

método de solución numérica más útil en problemas de convección (Mills, 1995).

Justificación e Importancia del Trabajo

Aún cuando todavía las soluciones analíticas constituyen patrones útiles

para verificar la exactitud, en algunos de los casos, de los métodos de solución

numérica, sin embargo, los métodos numéricos se han perfeccionado mucho con la

llegada de las modernas computadoras de alta velocidad desde los años sesenta. En

nuestra actualidad existen en el mercado cantidad de programas versátiles pudiendo

usarse para resolver gran variedad de problemas de conducción sin exigir al usuario

un conocimiento detallado de los métodos numéricos necesarios, situación que

enfatiza nuestra dependencia tecnológica y económica de países que ostentan la

tecnología de punta.

Nuestra Facultad de Ingeniería Química cuenta con un Laboratorio de

Simulación de Procesos, cuyas computadoras Pentium IV nos permiten ensayar

soluciones a problemas de cálculo de distribución de temperatura en sistemas



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unidimensionales en estado no estacionario, que más allá de adquirir y usar una

tecnología, podemos crearla para nuestras necesidades e intereses de la Universidad.

1.2 Problema

¿Es posible calcular la distribución de temperaturas, flujo de calor y

eficiencia en un aspa de turbina expuesta a gases de combustión mediante el

método del volumen de control?

1.3 Hipótesis

El desarrollo de un algoritmo secuencial de cálculos para calcular la

distribución de temperaturas, flujo de calor y eficiencia en un aspa de turbina

expuesta a gases de combustión es posible haciendo uso del método del volumen

de control.

1.4 Objetivos

a) Desarrollar un programa computacional (software) de fácil manejo, aplicable

tanto en el ámbito académico como profesional.

b) Proporcionar una herramienta computacional que asista a usuarios que

disponen de fundamentos teóricos en transferencia de calor.

c) Eliminar la necesidad de desarrollar tediosas secuencias de cálculo manual

permitiendo centrar la atención en aspectos básicos de diseño.



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d) Permitir un análisis rápido y efectivo del comportamiento de las principales

variables involucradas.

1.5 Fundamento Teórico

1.5.1 Conducción en estado estable unidimensional

1.5.1.1 Ecuación de diferencia

Primero se considerará la conducción estacionaria con generación de calor

en el dominio 0 x L. Para aplicar el método del volumen de control, primero el

dominio se divide en N-1 segmentos iguales con x = L/(N-1) de ancho, como se

muestra en la figura 1.1. Con esta adaptación, es posible identificar los límites de

cada segmento con:

xi = (i -1) x, i = 1, 2,…, N

Figura 1.1 Volumen de control para conducción unidimensional.



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Las posiciones xi se denominan nodos, y a los valores 1 y N, nodos de

frontera. Entonces es posible identificar la temperatura en cada nodo como T(xi)

o, abreviada, Ti. Ahora, se centra una losa de espesor x en uno de los nodos

interiores (vea la parte sombreada de la Fig. 1.1). Como se está considerando una

conducción unidimensional, es posible tomar una longitud unitaria en las

direcciones y y z de esta losa. Luego las dimensiones de esta losa son x de

1 por 1, y de este modo resulta el volumen de control.

Considerando en este volumen de control un balance de energía como el que

se desarrolló en la ecuación (1.1):

control devolumen

el haciacalor de

conducción derazón

+

control de volumen

delinterior elen calor de

generación derazón

=

control de volumen del

afuera haciacalor de


(1.1)

Se elimina el término de almacenamiento de energía de la ecuación (1.1)

porque en este caso sólo se busca el comportamiento estacionario o de estado

estable. El primer término del lado izquierdo de la ecuación (1.1) se escribe de

acuerdo con la siguiente ecuación, donde el gradiente de temperatura se evalúa en

la cara izquierda del volumen de control.

izquierdadx

dTkcontroldevolumenelhaciacalordeconduccióndeRazón

El objetivo final es determinar los valores Ti en todos los puntos nodales. No

existe un especial interés por la distribución de temperaturas entre los nodos; por

ello, es razonable suponer que la temperatura varía linealmente entre los nodos.



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Con esta suposición, el gradiente de temperatura en la cara izquierda del volumen

de control es exactamente:

x

TT

dx

dT ii

izquierda

1

Si se cuenta con la razón volumétrica de generación de calor, )(.

xqG ,

entonces el segundo término del lado izquierdo de la ecuación (1.1) es xxq iG )(.

o, en forma abreviada, .

, xq iG . En este caso, se supone que la razón de generación

de calor es constante para todo el volumen de control. Por último, el término del

lado derecho de la ecuación (1.1) es:

derechadx

dTkcontroldevolumendelfuerahaciacalordeconduccióndeRazón

Con argumentos similares a los que se utilizaron para determinar izquierdadx

dT

es posible escribir:

x

TT

dx

dT ii

derecha

1

En función de las temperaturas nodales, ahora es posible escribir el balance

de energía del volumen de control como:

x

TTkxq

x

TTk ii

iG

ii

1

,

.1



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Reordenando, se tiene

iGiii qk

xTTT ,

2

11 2

(1.2)

En el tratamiento anterior, el calor conducido hacia adentro de la cara

izquierda se encuentra en el lado izquierdo de la ecuación de balance de energía,

mientras que el calor conducido hacia afuera de la cara derecha se encuentra a la

derecha de la misma. Se siguió esta convención por congruencia con la ecuación

(1.1). De hecho, la elección de la dirección del flujo de calor en los límites del

volumen de control es arbitraria en tanto se tenga en cuenta correctamente dentro

la ecuación de balance de energía. Para el término “razón de generación de calor

hacia afuera del volumen de control” en la ecuación (1.1) se podría escribir

también:

control de volumen del

fuera haciacalor de


control devolumen

del dentro haciacalor

de generación derazón

derechadx

dTk

Entonces, el balance de energía en el volumen de control sería:

0,

.

11

xqx

TTk

x

TTk

iG

iiii

lo que equivale a la ecuación (1.2). Esta formulación resulta más sencilla de

recordar porque todos los términos de conducción pueden considerarse positivos

cuando el flujo de calor es hacia adentro del volumen de control. En tal caso, los

términos de conducción siempre estarán del mismo lado de la ecuación. Además

serán proporcionales a la temperatura nodal Ti restada de la temperatura del nodo

exactamente afuera de la superficie en cuestión.



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La ecuación (1.2) se conoce como ecuación de diferencia, y representa el balance

de energía para un volumen de control finito con un ancho x.

Sin generación de calor la ecuación (1.2) se vuelve:

02 11 iii TTT (1.3)

Por consiguiente: si no hay generación de calor, la temperatura en cada nodo

es simplemente el promedio de sus vecinos.

Si la conductividad térmica k varía con la temperatura y por tanto con x; por

ejemplo, xTkk , se tiene que modificar la evaluación de los términos en la

ecuación (1.1) usando un método sugerido por Patankar (13). La conductividad

apropiada para el flujo de calor en la cara izquierda del volumen de control es

1

12

ii

iiizquierda

kk

kkk

De igual modo, en la cara derecha se utiliza

1

12

ii

iiderecha

kk

kkk

¿Cómo se elige el tamaño del volumen de control x? En general, un valor

más pequeño de x dará una solución más precisa, para una computadora

necesitará más tiempo pana realizar los cálculos necesarios para determinar la



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solución. En esencia, x se reduce cuando la distribución de temperatura a la

manera de puntos puede representar con más precisión una distribución de

temperatura no lineal. Es posible que se requiera hacer un cálculo mediante ensayo

y error, para determinar la precisión deseable para un tiempo de cómputo

razonable; es usual que se realice una serie de cálculos con valores de x cada vez

más pequeños, hasta que en algún punto, una reducción adicional de x no

produzca un cambio significativo en la solución; en ese momento ya no es

necesario reducir x más allá de este valor.

En algunas situaciones, es útil permitir que la separación de los nodos, x,

varíe a lo largo de todo el dominio espacial del problema. Un ejemplo de esta

situación ocurre cuando se impone un alto flujo de calor en un límite y cerca de

éste se espera un enorme gradiente temperaturas. Cerca de la superficie se

utilizarán valores pequeños de x de modo que el gradiente de temperatura grande

pueda representarse con precisión. Lejos de este límite donde el gradiente de

temperaturas es pequeño x se podría hacer más grande porque el gradiente de

temperatura pequeño puede representarse con precisión con un x grande. Esta

técnica permite utilizar el número mínimo de nodos para lograr una precisión

conveniente; sin utilizar tiempo o memoria de computadora excesivos.

Con anterioridad se mencionó que una ventaja del método de volumen de

control es que la energía se conserva, sin importar el tamaño del volumen de

control. Esta característica hace que sea conveniente comenzar con un reticulado

más o menos espacioso; es decir relativamente pocos volúmenes de control, para

desarrollar la solución numérica. De este, modo las corridas del programa



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necesarias para depurar el problema se ejecutan con rapidez y no consumen mucha

memoria. Cuando el programa se depura, es posible utilizar entonces una retícula

más fina pues determinar la solución con la precisión deseada.

Una última consideración es el error de redondeo. Como la computadora

trabaja con un número dado de dígitos, en cada operación matemática se efectúa

cierto redondeo de la solución. A medida que se incrementa el numero de

operaciones matemáticas necesarias para producir una solución numérica, se

acumulan los errores de redondeo y; en algunas circunstancias, afectan

adversamente la solución.

Sin importar si el problema considerado es el estado estable o transitorio,

unidimensional, bidimensional, cartesiano o cilíndrico, primero se determinará la

forma del volumen de control apropiada. En seguida se determinarán todos los

flujos de calor hacia adentro y hacia afuera de todos los límites del volumen de

control y escribirá la ecuación del balance de energía. En los problemas

estacionarios, la suma de todos los flujos de calor que se introducen al volumen de

control más el calor generado en su interior debe ser igual a la suma de los flujos

de calor que salen de él. En los problemas en estado transitorio, la diferencia entre

el flujo de calor de entrada y salida del volumen de control más el calor generado

en su interior debe ser igual a la razón en la que el volumen de control almacena

energía.



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1.5.1.2 Condiciones limitantes

Para completar el planteo del problema, se deben incorporar condiciones

limitantes para el método del volumen de control. Existen tres condiciones de

frontera siguientes: i) temperatura superficial especificada, ii) flujo térmico

superficial especificado y iii) convección superficial especificada. Se desea

incorporar cada una de estas condiciones al método del volumen de control.

La más simple de estas condiciones limitantes es la temperatura superficial

especificada por la cual

NN TxTTxT 11 (1.4)

donde T1 y TN son las temperaturas superficiales especificadas para los

límites izquierdo y derecho, respectivamente. La condición limitante para la

temperatura superficial especificada se ilustra en la figura 1.2(a). Es muy sencillo

establecer esta condición de frontera, porque simplemente se asignan las

temperaturas dadas a los nodos límite. No es necesario elaborar un balance de

energía en un nodo superficial donde la temperatura se prescribe para resolver el

problema. No obstante, en los problemas donde se prescribe la temperatura

superficial, con frecuencia resulta necesario determinar el flujo de calor en dicho

limite, situación que requiere un balance de energía como se describe a

continuación.

Si la condición limitante consiste en un flujo de calor especificado hacia

adentro del límite, 1"q , se puede calcular la temperatura en dicho límite en función

del flujo considerando un balance de energía para el volumen de control que se



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i=2 i+1 i -1 Ii=N i=N-1 i

x=L x=0

i=1

1q

∆x/2

(b)

i=2 i+1 i -1 Ii=N i=N-1 i

x=L x=0

i=1

T,h

∆x/2

(c)

extiende de x = 0 a x = x/2, como se muestran en la figura 1.2 (b). Observe que

la longitud de este volumen de control es igual a la mitad de los volúmenes

internos. Utilizando de nuevo la ecuación (1.1) se tiene:

x

TTk

xqq

G

12

1,

.''

12

(1.5)

Figura 1.2 Límite de volumen de control para conducción unidimensional (a)

condición limitante de temperatura especificada; (b) condición limitante de flujo de calor especificado; (c) condición de frontera para convección superficial especificada

i=2 i+1 i -1 Ii=N i=N-1 i

x=L x=0

i=1

1T

∆x/2

(a)



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Despejando T1 se tiene:

21.

"

121

xqq

k

xTT G

La ecuación (1.5) también puede emplearse para determinar flujo térmico

superficial en aquellos problemas donde se especifico la temperatura en el límite.

En este caso, se conocen tanto las temperaturas T1 y T2 como el término de

generación de calor y se puede entonces calcular el flujo.

Para una superficie aislada 01''q , y se obtiene

k

xqTT

G2

2

1,

.

21

Por último, si en la cara izquierda se especifica la convección superficial,

aplicando la ecuación (1.1) al volumen de control mostrado en la figura 1.2(c) se

obtiene

x

TTk

xqTTh

iG

12

,

.

12

(1.6)

donde T es la temperatura ambiente del fluido en contacto con su cara izquierda y

h es el coeficiente de transferencia de calor por convección. Despejando T1 en la

ecuación (1.6), se obtiene:



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k

xh

xqTh

k

xT

TG

1

21,

.

2

1 (1.7)

Observe que si el coeficiente de transferencia de calor es muy grande, T1

tiende a T como se esperaba. Si el coeficiente de transferencia de calor es muy

pequeño, se tiene una condición de superficie aislada, como se esperaba.

Con los tres tipos de condiciones limitantes, la temperatura superficial

puede expresarse tanto en función del flujo térmico conocido, como de las

condiciones de convección conocidas ( h y T) y de la temperatura nodal T2. Es

decir, las tres condiciones de frontera pueden ser escritas como:

12111 dTbTa (1.8)

Para la condición de temperatura superficial especificada;

1111 01 Tdba

Para la condición de flujo térmico especificado:

2"11

1,

.

1111

xqq

k

xdba

G

Para la condición de convección superficial especificada:



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k

xh

xqTh

k

xd

k

xhba

G

1

2

1

11

1,

.

111

De manera semejante, las condiciones en el límite derecho se podrían escribir

como:

NNNNN dTcTa 1 (1.9)

En la tabla 1.1 se encuentran los coeficientes NNN dyca , .

Tabla 1.1 Coeficientes de matriz para conducción en estado estable unidimensional

Ec.(1.11)

ai bi ci di

I=1, temperatura superficial especificada 1 0 0 Ti

i=1, flujo térmico específico 1 1 0

21.

."

1

xqq

k

xG

i = 1, convección superficial especificada

1

1

11

k

xh 0

k

xh

xqTh

k

xG

1

1.

.

1.1

1

2

1< i< N 2 1 1

iGq

k

x.

.2

i = N, temperatura superficial especificada 1 0 0 TN

i = N, flujo térmico especificado 1 0 1

2.

." x

qqk

xNGN

i = N, convección superficial especificada

1 0

1

1

k

xhN

k

xh

xqTh

k

x

N

NGNN

1

2.

.

.



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Nota: ''

Aq es el flujo hacia adentro de la superficie A.

1.5.1.3 Métodos De Solución

La ecuación de diferencia, se puede escribir utilizando la notación utilizada

con anterioridad en las ecuaciones de condición limitante:

NidTcTbTa iiiiiii 1,11 (1.10)

donde

iGiiii qk

xdcba ,

2

112

Como 01 Nbc , la ecuación (1.10) representa la ecuación de diferencia

de todos los nodos, incluidos los de frontera.

Todo el conjunto de ecuaciones de diferencia simultáneas puede expresarse

en notación matricial como sigue:

N

N

N

N

NN

NNn

d

d

d

d

T

T

T

T

ac

bac

bac

ba

1

2

1

1

2

1

111

222

11

(1.11)



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Los espacios en blanco dentro de la matriz representan ceros. Ahora la

ecuación (1.11) se escribe como

AT =D

e invirtiendo la matriz A, la solución para el vector de temperatura T es:

T =A-1D

Puesto que se conocen todos los coeficientes de la matriz iiii dycba ,, , el

problema se reduce a determinar el inverso de una matriz con coeficientes

conocidos, tarea fácil de realizar con una computadora. Por ejemplo, la mayoría de

los programas de hoja de cálculo para computadoras personales incorporan

inversión y multiplicación de matrices, lo que resuelve muchos problemas de

manera satisfactoria. Los coeficientes de la matriz A y el vector D de la ecuación

(1.11), se resumen en la tabla 1.1 para las tres condiciones limitantes y para los

nodos interiores.

Para un problema con un gran número de nodos, el uso de una hoja de

cálculo puede no ser práctico ni eficiente. En esos casos, se puede aprovechar una

característica especial de la matriz A. Como puede verse en la ecuación (1.11), cada

fila de la matriz tiene cuando mucho tres elementos diferentes de cero, y por esta

razón A se llama matriz tridiagonal. Se han desarrollado métodos especiales que

son muy eficientes para resolver problemas tridiagonales.

Si no se dispone de un programa de inversión de matrices es posible usar

un método de solución alternativo llamado iteración. En este método se inicia con

una suposición inicial de la distribución de temperatura completa para el problema.

Esta suposición se denota con el superíndice cero, es decir, i.e., Ti(0). Esta

distribución de temperaturas se utiliza en el lado derecho de las ecuaciones (1.8),



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(1.9) y (1.10). El lado izquierdo de cada una de estas ecuaciones dará entonces una

estimación revisada de la distribución de temperaturas. La ecuación (1.8) da la

temperatura revisada en el límite izquierdo, T1. La ecuación (1.9) da la temperatura

revisada en el límite derecho, TN. La ecuación (1.10) da la temperatura revisada en

todos los nodos interiores. Esta distribución de temperaturas se designa como Ti(1),

puesto que es la primera revisión de la suposición inicial. Con esto se completa la

primera iteración. Luego se inserta la distribución de temperatura revisada en el

lado derecho de las mismas ecuaciones para producir la siguiente revisión, Ti(2).

Este procedimiento se repite hasta que la distribución de temperaturas deja de

cambiar significativamente entre las iteraciones. La figura 1.3 muestra el

procedimiento por medio de un diagrama de flujo.

El método iterativo mostrado en la figura 1.3 se llama iteración de Jacobi.

Una inspección cuidadosa del procedimiento muestra que una vez que se calcula la

primera temperatura T1(1), se consigue una temperatura nodal actualizada que,

cuando se calcula T1(0), puede usarse en lugar de T2

(1) en el lado derecho de la

ecuación (1.10).

22

1

12

0

32

1

2 / adTcTbT

La ecuación para T3(1) puede ahora utilizar los valores actualizados T1

(1) y T2(1)

en lugar de T1(0) y T2

(0). Esta observación se generaliza para cualquier iteración p: la

ecuación para Ti(p) puede usar Tj

(p) con j < i y Tj(p-1) con j > i. Como se están

utilizando temperaturas nodales actualizadas tan pronto como están disponibles, la

convergencia es más rápida. Esta versión mejorada de la iteración de Jacobi se

llama iteración de Gauss-Seidel.



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Figura 1.3 Diagrama de flujo para la solución iterativa de un problema de conducción en estado estable unidimensional

Es obvio que mientas mejor sea la primera suposición, Ti(0) más rápidamente

convergerá en la solución. En general se puede hacer una primera suposición

razonablemente buena con base en las condiciones de frontera.

Se hace p = 0

Haga una suposición inicial para la

distribución de temperaturas.

Cálculo

)p(

i TT 1≤ i ≤ N

Se incrementa P

P = P + 1

Se calcula )p(

iT con la ecuación 3.7

11

)1(

21

)(

1 /)(b adTTpp

Se calcula )p(

iT con la ecuación 3.9

1

)1(

1 i

)1(

1i1 /)c adiTT(bT p

i

p

i

p

1< i< N

Se calcula P

NT con la ecuación 3.8

NN

P

N

P

N adTT /)(C 1

1N

Se verifica si hay convergencia

?"|"|¿ 1 PequeñaTTEs P

i

P

i

Terminada

SI

NO



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Cuando se utiliza uno u otro método iterativo, la distribución de

temperaturas convergerán en la solución correcta si se cumple una condición: se

debe especificar la temperatura de por lo menos un nodo límite o se debe

especificar una condición limitante tipo convección con una temperatura del fluido

ambiente dada en por lo menos un nodo límite; entonces los límites restantes

pueden tener cualquier tipo de condición limitante. Esta restricción es razonable

puesto que las ecuaciones de diferencia, por si mismas, no pueden establecer una

temperatura absoluta en cada nodo; sólo pueden establecer diferencias de

temperatura relativas entre los nodos. Especificando por lo menos una

temperatura límite o una temperatura de fluido ambiente para la condición de

convección, se puede limitar la temperatura absoluta del problema.

El método para manejar la conductividad térmica variable produce

coeficientes di que dependen de la temperatura en un nodo y los nodos

circundantes. Por lo tanto, para este tipo de problema se debe usar un

procedimiento de solución iterativo. Se debe hacer una suposición inicial a la

distribución de temperatura, Ti, que permita determinar di. Se puede determinar

entonces una distribución de temperaturas actualizada con el método descrito en

los párrafos anteriores. Se utiliza esta distribución de temperaturas actualizada para

revisar los di y el procedimiento se repite hasta que la distribución de temperaturas

deja de cambiar.



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CAPÍTULO II

MATERIAL Y MÉTODOS

La presente investigación, se realizó en el Laboratorio de Simulación y

Control de Procesos, en la Sección de Operaciones Unitarias y en la oficina del

asesor, de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional de Trujillo.

2.1 Material de estudio

a. Software desarrollado “aspa” codificado en el lenguaje de programación

Matlab.

b. Computadora Pentium IV

Velocidad del procesador : 2.8 GHz

Memoria RAM : 256 Mb



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Capacidad del Disco Duro : 80 Gb

c. Impresora hp deskjet 3420

2.2 Métodos y técnicas

2.2.1 Población

La población a quienes podemos generalizar los resultados son para

aspas de turbina expuestas a gases de combustión mediante el método del

volumen de control.

2.2.2 Muestra

Para efectos de aplicar el software “aspa” y discutir las soluciones

numéricas para problemas de cálculo de la distribución de temperaturas,

flujo de calor y eficiencia en un aspa de turbina expuesta a gases de

combustión mediante el método del volumen de control mediante un

programa computacional, se considera un aspa de turbina de 5 cm de

largo, con área de sección transversal A = 4,5 cm2 y perímetro P = 12 cm,

está hecha de una aleación rica (k = 25 W/m.K). La temperatura del

punto de fijación del aspa es de 500 °C y está expuesta a gases de

combustión a 900 °C. El coeficiente de transferencia de calor entre la

superficie del aspa y los gases de combustión es de 500 W/m2.K.

2.2.3 Variables:

Dependientes: Distribución de temperatura, flujo de calor y eficiencia.

Independientes: Gases de combustión.



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2.2.4 Procedimiento:

La ecuación de diferencia, se puede escribir utilizando la notación

utilizada con anterioridad en las ecuaciones de condición limitante:

NidTcTbTa iiiiiii 1,11

Donde

iGiiii qk

xdcba ,

2

112

Como 01 Nbc , la ecuación anterior representa la ecuación de

diferencia de todos los nodos, incluidos los de frontera.

Todo el conjunto de ecuaciones de diferencia simultáneas puede

expresarse en notación matricial como sigue:

N

N

N

N

NN

NNn

d

d

d

d

T

T

T

T

ac

bac

bac

ba

1

2

1

1

2

1

111

222

11

Los espacios en blanco dentro de la matriz representan ceros. Ahora la

ecuación anterior se escribe como

AT =D



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e invirtiendo la matriz A, la solución para el vector de temperatura T es:

T =A-1D

CAPÍTULO III

RESULTADOS

Los resultados que a continuación se presentan corresponden al problema

3.14, página 224 del texto Principios de Transferencia de Calor de Kreith-Bohn

(2001).

“Considere un aspa de turbina de 5 cm de largo, con área de sección

transversal A = 4,5 cm2 y perímetro P = 12 cm, está hecha de una aleación rica

(k = 25 W/m.K). La temperatura del punto de fijación del aspa es de 500 °C y está

expuesta a gases de combustión a 900 °C. El coeficiente de transferencia de calor

entre la superficie del aspa y los gases de combustión es de 500W/m2.K. Con la red

nodal mostrada en la figura adjunta: (a) Determine la distribución de temperaturas

en el aspa, la razón de transferencia de calor hacia el aspa, y la eficiencia de ésta y



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(b) Compare la eficiencia del aspa calculada numéricamente con la calculada por

medio del método exacto”.

Figura 3.1 Vista frontal y corte transversal del aspa

Solución:

Un aspa de turbina expuesta a gases de combustión. Deben determinarse la

distribución de temperaturas, la razón de transferencia de calor y la eficiencia.

Hipótesis

1. La transferencia de calor es estable, ya que no cambia con el tiempo.

2. La transferencia de calor es unidimensional puesto que es despreciable en la

dirección y y z .

3. La conductividad térmica es constante

4. No hay generación de calor.



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Propiedades

La conductividad térmica se da como k= 25 W/m.ºC

El coeficiente de transferencia de calor por convección se da como h = 500 W/m2.ºC

Análisis:

Para el arreglo de nodos y volumen de control mostrado en la figura, tenemos

1

6,..,2,11

N

LxNiixxi

Para el volumen de control en i = 1, tenemos una temperatura específica, por lo

tanto

rootTT 1

Para volúmenes interiores de control, i = 2, 3, 4, 5, un balance de energía nos da

011

i

iii TThxPx

TiT

x

TTkA

Escribiendo esto en la forma tridiagonal

T

Ak

hxPTT

Ak

hxPT iIi

2

11

2

2

Para el volumen de control en el nodo i = N, un balance de energía da



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02

1

Ax

PTThx

TTkA N

NN

En la forma tridiagonal esto se convierte

TA

xP

kA

xhTA

xP

kA

xhT NN

221 1

Reemplazando los coeficientes de la matriz A en la ecuación 1.11, tenemos

rootTdcba 1111 001

5,4,3,211222

iTkA

hxPdcb

kA

hxPa iiii

T

xP

kA

xhdcbA

xP

kA

xha NNNN 2

210

21

La matriz obtenida se invierte y se multiplica por el vector D para dar el

vector solución T, de temperaturas.

Para la transferencia desde el aspa es dado por la pérdida de calor del

primer volumen del control.

2112

TTx

kATTP

xhQ fin



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Para determinar la eficiencia se tiene que calcular la razón máxima

de transferencia de calor

TTAPLhQ rootmáx

La eficiencia del aspa es por lo tanto

máxQ

Q

Aplicando el método exacto usando la ecuación del caso 4 de la tabla 2.1,

página 99 del libro Principios de Transferencia de Calor Kreith – Bohn (9)

mLsenhmkhmL

mLmkhmLsenhMQ

/cosh

cosh/

donde:

kA

hpm ; TThPkAM root



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Gráfica Nº 1: Pantalla de presentación



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Gráfica Nº 2: Pantalla de ingreso de datos



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Gráfica Nº 3: Pantalla de resultados



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Gráfica Nº 4: Distribución de Temperaturas

Gráfica Nº 5: Opción para ejecutar nuevamente el software “aspa”



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Gráfica Nº 6: Pantalla de resultados (Temperatura de la pared, Troot = 600 ºC)



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Gráfica Nº 7: Distribución de Temperaturas (Temperatura de la pared, Troot = 600 ºC)



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Gráfica Nº 8: Pantalla de resultados (Temperatura de la pared, Troot = 700 ºC)



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Gráfica Nº 9: Distribución de Temperaturas (Temperatura de la pared, Troot = 700 ºC)



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Gráfica Nº 10: Pantalla de resultados (Temperatura del gas de combustión, Tinf = 1000 ºC)



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Gráfica Nº 11: Distribución de Temperaturas (Temperatura del gas de combustión, Tinf = 1000 ºC)



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Gráfica Nº 12: Pantalla de resultados (Temperatura del gas de combustión, Tinf = 1100 ºC)



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Gráfica Nº 13: Distribución de Temperaturas (Temperatura del gas de combustión, Tinf = 1100 ºC)



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Gráfica Nº 14: Pantalla de resultados (Longitud del aspa, L =0,10 m)



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Gráfica Nº 15: Distribución de Temperaturas (Longitud del aspa, L =0,10 m)



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Gráfica Nº 16: Pantalla de resultados (Longitud del aspa, L =0,15 m)



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Gráfica Nº 17: Distribución de Temperaturas (Longitud del aspa, L =0,15 m)



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Gráfica Nº 18: Pantalla de resultados (Número de nodos, N = 12)



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Gráfica Nº 19: Distribución de Temperaturas (Número de nodos, N = 12)



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Gráfica Nº 20: Pantalla de resultados (Número de nodos, N = 18)



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Gráfica Nº 21: Distribución de Temperaturas (Número de nodos, N = 18)



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CAPÍTULO IV

DISCUSIÓN

El programa computacional interactivo “aspa”, codificado en el lenguaje de

programación Matlab 7.0, permite calcular la distribución de temperaturas, flujo de

calor y eficiencia en un aspa de turbina expuesta a gases de combustión mediante el

método del Volumen de Control.

Al programa “aspa” se le debe suministrar los siguientes datos:

o Temperatura de la pared, ºC

o Temperatura del gas de combustión, ºC

o Longitud del aspa, m

o Área del aspa, m

o Perímetro del aspa, m

o Coeficiente de transferencia de calor por convección, W/m2.ºC

o Coeficiente de transferencia de calor por conducción, W/m.ºC

o Número de nodos

Se hicieron 9 corridas del software “aspa” para diferentes valores de

temperatura de la pared, temperatura del gas de combustión, longitud del aspa y

número de nodos cuyos resultados nos permiten afirmar que:

1. De los resultados presentados en las Gráficas Nº 3, 6 y 8, se observa que al

incrementar la temperatura de la pared hay una variación en la distribución de

temperaturas y se aprecia una disminución del 25% en la razón de



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transferencia de calor para el primer caso y 50% para el segundo caso. Además

no influye en la eficiencia.


incrementar la temperatura del gas recombustión hay una variación en la

distribución de temperaturas y se aprecia un incremento del 25% en la razón

de transferencia de calor para el primer caso y 50% para el segundo caso.

Además no influye en la eficiencia.


incrementar la longitud del aspa hay una variación en la distribución de

temperaturas y se aprecia un incremento del 16,42% en la razón de

transferencia de calor para el primer caso y 39,46% para el segundo caso.

Además se aprecia una disminución del 39,67% en la eficiencia para el primer

caso y 51,25% para el segundo caso.


incrementar el número de nodos hay una variación en la distribución de

temperaturas y se aprecia una disminución del 4,77% en la razón de

transferencia de calor para el primer caso y 5,51% para el segundo caso.

Además se aprecia una disminución del 4,77% en la eficiencia para el primer

caso y 5,51% para el segundo caso.

5. De los resultados obtenidos por el software “aspa” y presentados en la gráfica

Nº 3, y los reportados por Frank Kreith & Mark S. Bohn(9), hay una

pequeñísima variación de razón de transferencia de calor:



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Tabla Nº 1 Razón de transferencia de calor en el aspa y eficiencia.

Libro de Kreith-Bohn Software “aspa” Porcentaje de variación

Q = 349,5 Watts Q = 349,533 Watts 0,01%

= 0,271 = 0,27095 0,02%



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CAPÍTULO V

CONCLUSIONES

1. Después de analizar los resultados de la Tabla Nº 1, vemos que los datos que

se reportan en el libro de Kreith - Bohn y los obtenidos con el programa

computacional interactivo (software) “aspa” son bastante confiables. El

porcentaje de error es menor al 0.1%.

2. Este software nos permitirá calcular la distribución de temperaturas, flujo de

calor y eficiencia en un aspa de turbina expuesta a gases de combustión

mediante el método del volumen de control cuando se conocen las

temperaturas y la descripción del sistema.



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CAPÍTULO VI

RECOMENDACIONES

1. Para tesis futuras se recomienda ampliar este software para utilizar diferentes

condiciones de frontera como radiación y/o flujo específico de calor y sus

posibles combinaciones.

2. También extender el programa para el caso de que se usen otro sistema de

unidades diferente al internacional.



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CAPÍTULO VII

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Çengel, Yunus A. 2004. Transferencia de calor. McGraw-Hill/Interamericana

Editores, S. A. de C. V. México.

2. Akay, T. J. 1999. Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería. Editorial

Limusa, S. A. de C. V. México.

3. Cutlip, M. B. and M., Shacham. 1999. Problem Solving in Chemical

Engineering with Numerical Methods. Prentice-Hall Inc. USA.

4. Chapra, S. C. y R. P. Canales. 2003. Métodos Numéricos para Ingenieros. 4ª.

Edición. México.

5. Geankoplis, C. J. 1998. Procesos de Transporte y Operaciones Unitarias. 3ª.

Edición. Compañía Editorial Continental, S. A. de C. V. México.

6. Holman, J. P. 1998. Transferencia de Calor. 8ª. Edición. McGraw-Hill /

Interamericana. España.

7. Incropera, F. P. y D. P., de Witt. 1999. Fundamentos de Transferencia de

Calor. 4ª. Edición. Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A. México.

8. Karlekar, B. V. y R. M., 1994 Transferencia de Calor. 2a. Edición . McGraw-

Hill / Interamericana de México, S.A. de C.V. México.

9. Kreith, F. y M., Bohn. 2001. Principios de Transferencia de Calor. 6ª.

Edición. Thomson Editores S. A. de C. V. México.

10. Mathews, J. and K., Fink. 1999. Numerical Methods Using Matlab. Prentice-

Hall, Inc. USA.

11. Mills, A. F. 1995. Transferencia de Calor. Addison-Wesley Iberoamericana,

S. A. / Times Mirror de España, S. A. – Irwin. España.

12. Nieves, A. y F. Domínguez. 2005. Métodos Numéricos Aplicados a la

Ingeniería. Segunda edición. CECSA. México.

13. Patankar, S. V. 1980. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Hemisphere

Publishing Corp., Washington, D. C. USA.



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ANEXOS

PROGRAMA PRINCIPAL

%

clear, clc

commandwindow

% PRESENTACIÓN

F =(presentacion);

waitfor(F)

format short



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global L Troot Tinf L A P h K N T Qfin Qmax Qfin2 E E2

% INGRESO DE DATOS VARIABLES

box_title='Ingrese los datos';

entries = {'Temperatura de la pared (ºC)','Temperatura del

gas de combustión (ºC)', 'Longitud del aspa (m)','Área del

aspa (m^2)',...

'Perímetro del aspa (m)','Coeficiente de convección

(W/m^2.K)','Coeficiente de conducción (W/m.K)'...

'Número de nodos'};

z = inputdlg(entries, box_title);

Troot = str2num(z{1});

Tinf = str2num(z{2});

L = str2num(z{3});

A = str2num(z{4});

P = str2num(z{5});

H2 = str2num(z{6});

K = str2num(z{7});

N = str2num(z{8});

default = z ;

for i=1:length(z)

while length(z{i}) == 0

dato = entries{i};

h=msgbox(['Porfavor ingrese el valor de '

dato],'Error','warn');

waitfor(h)

z = inputdlg(entries, box_title,1,default);



L = str2num(z{3});

A = str2num(z{4});

P = str2num(z{5});

h = str2num(z{6});

K = str2num(z{7});

N = str2num(z{8});

default = z;

end

end

while Troot == Tinf

temp = num2str(Tinf);

h=msgbox(['Por favor la temperatura de la pared y

la del gas no deben ser iguales ( ' temp ' ºC

)'],'Error','warn');

waitfor(h)

z = inputdlg(entries, box_title,1,default);2



L = str2num(z{3});

A = str2num(z{4});

P = str2num(z{5});



Bibliot

eca d

e Ing

enier

ía Quím

ica




h = str2num(z{6});

K = str2num(z{7});

N = str2num(z{8});

default = z;

end

Dx = L/(N-1);

T(1)= Troot;

% Formando la diagonal

C(1,1) = 1;

C(N,N) = 1+h*Dx*((P*Dx/2)+A)/(K*A);

D(1) = Troot;

D(N) = h*Dx*Tinf*((P*Dx/2+A))/(K*A);

for i =2:(N-1)

C(i,i) = 2+P*Dx^2*h/(K*A);

D(i) = P*Dx^2*h*Tinf/(K*A);

end

C(1,2) = 0;

for i = 2:(N-1)

C(i,(i+1)) = -1;

end

for i = 2:N

C(i,(i-1))=-1;

end

T = inv(C)*D';

% Cálculo del calor transferido

Qfin = h*Dx*P*(T(1)-Tinf)/2+K*A*(T(1)-T(2))/Dx;

% Cálculo del calor máximo transferido

Qmax = h*(P*L + A)*(Troot - Tinf);

% Cálculo de la eficiencia

E = Qfin/Qmax;

% Empleando el método exacto

m = sqrt((h*P)/(K*A));

mL = m*L;

M = sqrt(h*P*K*A)*(Troot-Tinf);2

% Calor transferido por el método exacto



Bibliot

eca d

e Ing

enier

ía Quím

ica




Qfin2 = M;

% Cálculo de la eficiencia por el método exacto

E2 = Qfin2/Qmax;

% Impresión de resultados

H = (resultados);

waitfor(H)

PRESENTACIÓN

function varargout = presentacion(varargin)

% PRESENTACION M-file for presentacion.fig

% PRESENTACION, by itself, creates a new PRESENTACION

or raises the existing

% singleton*.

%

% H = PRESENTACION returns the handle to a new

PRESENTACION or the handle to

% the existing singleton*.



Bibliot

eca d

e Ing

enier

ía Quím

ica




%

%

PRESENTACION('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...)

calls the local

% function named CALLBACK in PRESENTACION.M with the

given input arguments.

%

% PRESENTACION('Property','Value',...) creates a new

PRESENTACION or raises the

% existing singleton*. Starting from the left,

property value pairs are

% applied to the GUI before

presentacion_OpeningFunction gets called. An

% unrecognized property name or invalid value makes

property application

% stop. All inputs are passed to

presentacion_OpeningFcn via varargin.

%

% *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI

allows only one

% instance to run (singleton)".

%

% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

% Copyright 2002-2003 The MathWorks, Inc.

% Edit the above text to modify the response to help

presentacion

% Last Modified by GUIDE v2.5 16-Sep-2006 18:43:56

% Begin initialization code - DO NOT EDIT

gui_Singleton = 1;

gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...

'gui_Singleton', gui_Singleton, ...

'gui_OpeningFcn',

@presentacion_OpeningFcn, ...

'gui_OutputFcn',

@presentacion_OutputFcn, ...

'gui_LayoutFcn', [] , ...

'gui_Callback', []);

if nargin && ischar(varargin{1})

gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});

end

if nargout

[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State,

varargin{:});

else

gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});

end



Bibliot

eca d

e Ing

enier

ía Quím

ica




% End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before presentacion is made visible.

function presentacion_OpeningFcn(hObject, eventdata,

handles, varargin)

% This function has no output args, see OutputFcn.

% hObject handle to figure

% eventdata reserved - to be defined in a future version

of MATLAB

% handles structure with handles and user data (see

GUIDATA)

% varargin command line arguments to presentacion (see

VARARGIN)

% Choose default command line output for presentacion

handles.output = hObject;

axes(handles.axes1)

UNT=imread('UNT.jpg'); % Load image data

image(UNT); % Display image

axis off

axes(handles.axes3)

quimica=imread('logo.jpg'); % Load image data

image(quimica); % Display image

axis off

axes(handles.axes4)

aleta=imread('aleta.bmp'); % Load image data

image(aleta); % Display image

axis off

% Update handles structure

guidata(hObject, handles);

% UIWAIT makes presentacion wait for user response (see

UIRESUME)

% uiwait(handles.figure1);

% --- Outputs from this function are returned to the

command line.

function varargout = presentacion_OutputFcn(hObject,

eventdata, handles)

% varargout cell array for returning output args (see

VARARGOUT);



of MATLAB


GUIDATA)



Bibliot

eca d

e Ing

enier

ía Quím

ica




% Get default command line output from handles structure

varargout{1} = handles.output;

% --- Executes on button press in pushbutton1.

function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)

close

% hObject handle to pushbutton1 (see GCBO)


of MATLAB


GUIDATA)

RESULTADOS

function varargout = resultados(varargin)

% RESULTADOS M-file for resultados.fig

% RESULTADOS, by itself, creates a new RESULTADOS or

raises the existing

% singleton*.

%

% H = RESULTADOS returns the handle to a new

RESULTADOS or the handle to



Bibliot

eca d

e Ing

enier

ía Quím

ica




% the existing singleton*.

%

% RESULTADOS('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...)

calls the local

% function named CALLBACK in RESULTADOS.M with the

given input arguments.

%

% RESULTADOS('Property','Value',...) creates a new

RESULTADOS or raises the

% existing singleton*. Starting from the left,

property value pairs are

% applied to the GUI before resultados_OpeningFunction

gets called. An

% unrecognized property name or invalid value makes

property application

% stop. All inputs are passed to

resultados_OpeningFcn via varargin.

%

% *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI

allows only one

% instance to run (singleton)".

%

% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

% Copyright 2002-2003 The MathWorks, Inc.

% Edit the above text to modify the response to help

resultados

% Last Modified by GUIDE v2.5 11-Jan-2007 19:45:23

% Begin initialization code - DO NOT EDIT

gui_Singleton = 1;

gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...

'gui_Singleton', gui_Singleton, ...

'gui_OpeningFcn',

@resultados_OpeningFcn, ...

'gui_OutputFcn', @resultados_OutputFcn,

...

'gui_LayoutFcn', [] , ...

'gui_Callback', []);

if nargin && ischar(varargin{1})

gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});

end

if nargout

[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State,

varargin{:});

else

gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});

end



Bibliot

eca d

e Ing

enier

ía Quím

ica




% End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before resultados is made visible.

function resultados_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles,

varargin)

% This function has no output args, see OutputFcn.



of MATLAB


GUIDATA)

% varargin command line arguments to resultados (see

VARARGIN)

% Choose default command line output for resultados

handles.output = hObject;

% Update handles structure

guidata(hObject, handles);

% UIWAIT makes resultados wait for user response (see

UIRESUME)

% uiwait(handles.figure1);

global L Troot Tinf L A P h K N T Qfin Qmax Qfin2 E E2 Nds

Nds = 1:N;

set(handles.text20,'String',Troot);

set(handles.text23,'String',Tinf);

set(handles.text26,'String',L);

set(handles.text29,'String',A);

set(handles.text32,'String',P);

set(handles.text35,'String',h);

set(handles.text38,'String',K);

set(handles.text41,'String',N);

set(handles.text4,'String',Qfin);

set(handles.text7,'String',E);

set(handles.text10,'String',Qfin2);

set(handles.text13,'String',E2);

Tr='Valores de T ºC';

for i=1:length(T)

Tr=strcat(Tr,'|',num2str(T(i)));

end

set(handles.listbox2,'string',Tr);

Nd='Nodos';

for i=1:length(Nds)

Nd=strcat(Nd,'|',num2str(Nds(i)));

end



Bibliot

eca d

e Ing

enier

ía Quím

ica




set(handles.listbox3,'string',Nd);

% --- Outputs from this function are returned to the

command line.

function varargout = resultados_OutputFcn(hObject,

eventdata, handles)

% varargout cell array for returning output args (see

VARARGOUT);



of MATLAB


GUIDATA)

% Get default command line output from handles structure

varargout{1} = handles.output;

% --- Executes on selection change in listbox2.

function listbox2_Callback(hObject, eventdata, handles)

% hObject handle to listbox2 (see GCBO)


of MATLAB


GUIDATA)

% Hints: contents = get(hObject,'String') returns listbox2

contents as cell array

% contents{get(hObject,'Value')} returns selected

item from listbox2

% --- Executes during object creation, after setting all

properties.

function listbox2_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)



of MATLAB

% handles empty - handles not created until after all

CreateFcns called

% Hint: listbox controls usually have a white background on

Windows.

% See ISPC and COMPUTER.

if ispc

set(hObject,'BackgroundColor','white');

else

set(hObject,'BackgroundColor',get(0,'defaultUicontrolBackgr

oundColor'));



Bibliot

eca d

e Ing

enier

ía Quím

ica




end

% --- Executes on selection change in listbox3.

function listbox3_Callback(hObject, eventdata, handles)



of MATLAB


GUIDATA)

% Hints: contents = get(hObject,'String') returns listbox3

contents as cell array

% contents{get(hObject,'Value')} returns selected

item from listbox3

% --- Executes during object creation, after setting all

properties.

function listbox3_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)



of MATLAB

% handles empty - handles not created until after all

CreateFcns called

% Hint: listbox controls usually have a white background on

Windows.

% See ISPC and COMPUTER.

if ispc

set(hObject,'BackgroundColor','white');

else

set(hObject,'BackgroundColor',get(0,'defaultUicontrolBackgr

oundColor'));

end



global Nds T

figure(1)

plot(Nds,T)

grid on

title('Temperatura (ºC) vs. Nodos')

xlabel('Nodos')

ylabel('Temperatura (ºC)')



Bibliot

eca d

e Ing

enier

ía Quím

ica






of MATLAB


GUIDATA)



opcion=questdlg('¿Desea Ingresar nuevamente los

datos?','Transferencia de calor',...

'Yes','No','cancel','cancel');

switch opcion;

case 'No';

close all

case 'Yes';

close all

aspa

case 'cancel';

% close

end % switch



of MATLAB


GUIDATA)



Bibliot

eca d

e Ing

enier

ía Quím

ica

universidad nacional de trujillo escuela de ingenieria …

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