UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Microeconomía Superior II:Optimización (1)

Rafael Salas

Esquema...

Producción

Optimización

Mercados

La empresa:

Estática comparativa

Tendremos que plantear y resolver un problema estándar de optimización

Hagamos una lista de sus componentes

... Y resolvámoslo

El problema de la optimización

Objetivos

Restricciones

Método

La optimización

-Maximización de beneficios

-Tecnológicas y económicas

-Primal -Dual

La función objetivo

…y sobre cantidades…

zi •cantidad del input i•cantidad del outputY

Usamos información sobre precios..

wi •precio del input i

•Precio del outputP

…para construir la función objetivoCómo se haceCómo se hace

La función objetivo

Ingresos: •Restamos C de I:

Coste de los inputs:

wi zi m i=1

P Y

wi zi m i=1

P Y – Beneficios:

•para los m inputs

Esquema...

Problema primal

Optimización:

Problema dual

Optimización: el problema primal

...sujeto a la restricción tecnológica...

•No podemos tener valores de output o inputs negativos

Elegimos Y y z que maximizan:

Y F(z)

wi zi m i=1

:= P Y –

...y a restricciones obvias:

• Podríamos escribirlo: zZ(Y)

Y 0 z 0

Método de optimización

L (... )

L (... ) = 0 z

2L (... ) z2

z* = …

Planteamos el Lagrangiano

Establecemos las condiciones de primer orden (CPO) c. necesaria

Verificamos las conditiones de segundo orden

Usamos las CPO para caracterizar la solución

Si F es diferenciable…

c. suficiente

El equilibrio de la empresa

Obtención de la elección óptima Y, z que resuelve el siguiente problema optimizador:

Max (Y,z)=PY- wi zi

s.a: Y F (z)

En el caso de dos bienes m=2, obtención de Y, z1 , z2 que

solucione:

Max (Y, z1 , z2 )=PY- w1 z1 - w2 z2

s.a: Y F ( z1 , z2 )

donde P, w1 y w 2 son parámetros conocidos

Con signo =Con signo =

El equilibrio de la empresa: derivación análitica

Solución:

/ z1 = 0 P Y/z1 = w1

/ z2 = 0 P Y/z2 = w2

P Pmg z1 = w1

P Pmg z2 = w2

z1

Y

F(z)

Y* y z1* óptimos Y* y z1* óptimos

Oferta de producto y demanda de factores

Pmgz1 = w1/P Pmgz1 = w1/P

z1*

Y*

El equilibrio de la empresa: derivación análitica (2)

Solución:

Pmg z1 w1

Pmg z2 w2

RMSTRMST

A

z1*

z2*

z 2* /

z 1*

Demanda de factores

isocuanta por Y*

isocuanta por Y*

(Y*)

Demanda de factores

z1* y z2

* óptimosz1* y z2

* óptimos

z1

z2

A

A'

Pmgz1/Pmgz2=w1/w2Pmgz1/Pmgz2=w1/w2

z 2* /

z 1*

z1*

z2*

Las funciones de oferta de producto y demanda de factores

El equilibrio de la empresa nos va a servir para estudiar las respuestas óptimas de la empresa ante variaciones en los precios

Se trata de efectuar ejercicios de estática comparativa y observar las distintas situaciones de equilibrio ante condiciones cambiantes

Toda esta información se trasmite a través de las funciones de oferta de producto y demanda de factores:

Y* = Ys (P,w1 ,...,wm )

z1* = z1d (P,w1 ,...,wm )

... ... ...

zm* = zmd (P,w1 ,...,wm )

función de los preciosfunción de los precios

Las funciones de oferta de producto y demanda de factores

La f. de oferta es no decreciente en el precio P

La f. de demanda de factores es no creciente en sus precios

Homogéneas de grado 0 en P y w

Las funciones de oferta de producto y demanda de factores

Las funciones de beneficios

Si introducimos Ys (P,w1 ,w2 ), z1d (P,w1 ,w2 ) y z2

d

(P,w1 ,w2 ) en la definición de los beneficios obtenemos la función de beneficios:

(P,w1 ,w2 ) = P Ys (P,w1 ,w2 ) - w1z1d (P,w1 ,w2 ) -w2 z2

d

(P,w1 ,w2 )

Indica el máximo beneficio obtenible con los precios del sistema (es análogo a la f. indirecta de utilidad en el problema primal del consumidor)

La f. de beneficios es no decreciente en el precio del producto P

La f. de beneficios es no creciente en los precios deos factores

Homogéneas de grado 1 en P y w

Lema de Hotelling...

Las funciones de beneficios

Lema de Hotelling:

(P,w1 ,w2 ) PYs(P,w1 ,w2 )

(P,w1 ,w2 ) w1z1d(P,w1 ,w2 )

(P,w1 ,w2 ) w2z2d(P,w1 ,w2 )

Las funciones de beneficios

Práctica

Calcula la demanda de factores, la oferta de producto y la función de beneficios de:

Y= z1

z2

Y= (z1

+ z2

Comprueba el lema de Hotelling

.

Práctica

Calcula la demanda de factores, la oferta de producto y la función de producción dada la función de beneficios:

Π=p2 (1/4z1+1/z2 )

.

Hemos hecho uso de las CPO (de tangencia) en todo el análisis.

No obstante

o…algunas veces llegamos a resultados ambiguos

o…otras veces el resultados está indefinido

Una advertencia

Por lo tanto es conveniente comprobar si este método es el apropiado

Probablemente debamos usar otro método para encontrar el óptimo

Veremos ejemplos en el problema dual…

Esquema...

Problema primal

Optimización:

Problema dual

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Rafael Salas