UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Teoría de juegos:Equilibrio de Nash

Rafael Salas marzo de 2006

Equilibrio de Nash

• (si*,s-i

*) es un EN en estrategias puras si y sólo si

Ui(si*,s-i

*) Ui(si,s-i*), si Si, i=1,...,n

Equilibrio de Nash: mejor respuesta

Nótese que cumple las siguientes propiedades:

(1) si* es mejor respuesta de i a la estrategia s-i. Esto es,

Ui(si*,s-i) Ui(si,s-i), si Si, dado s-i

Implica que es racionalizable: son las mejores respuestas a cualquier estrategia, conjetura o creencia, que cualquier individuo puede formarse sobre el comportamiento de los otros. No existen incentivos a desviarse unilateralmente (self-enforcing)

Equilibrio de Nash: compatibilidad

(2) las mejor respuestas (si*,s-i

*) son compatibles entre sí, que lo hace ser una situación de equilibrio sostenible.

Implica que, en equilibrio, los individuos aciertan sobre las conjeturas o creencias que se forman sobre las estrategias de los otros.

Equilibrio de Nash: concepto amplio

(3) Es un concepto más amplio que los cuatro conceptos de equilibrio anteriores: EEED, EEDD, EEIEED y EEIEDD.

Todo equilibrio anterior, si existe, es EN.Pero no al revés (por ejemplo, la batalla de los

sexos)...

Ejemplo 4: dilema de los presos

.

JUG 2

JUG 12

CA CO

CA

CO

1

0

4

2 4

0 1

Otros ejemplo : dilema de los presos

.

OligopoliosPescaArancelesCarrera armamentistaEjemplo: dilema de los presos altruistaOtros ejemplos: autobús

Ejemplo : carrera armamentista

.

JUG 2

JUG 11,5

D R

D

R

1

0

2

1,5 2

0 1

Ejemplo 1: batalla de los sexos

.

JUG 2

JUG 14

O B

O

B

1

0

-1

1 0

-1 4

Otros ejemplos : batalla de los sexos

.

Departamentos en una empresa y uso de equipo informático

Carrera armamentística modificada

Ejemplo : carrera armamentista modificada

.

JUG 2

JUG 13

D R

D

R

1

0

2

3 2

0 1

Ejemplo 5bis: ciervo-liebre

.

JUG 2

JUG 12

C L

C

L

1/2

0

1

2 1

0 1/2

Ejemplo 5: Halcón-paloma

.

JUG 2

JUG 1

2-k , 2-k

H P

H

P 2 , 2

4 , 0

0 , 4

Ejemplo 3: Preferencias idénticas

.

JUG 2

JUG 1

1 , 1

IZQ DCHA

IZQ

DCHA 1 , 1

-1 , -1

-1 , -1

Ejemplo 3 bis: Preferencias idénticas

.

JUG 2

JUG 1

2 , 2

APPLE IBM

APPLE

IBM 1 , 1

0 , 0

0 , 0

Equilibrio de Nash

(4) EL EN puede ser múltiple.

Con la eliminación de estrategias estrictamente dominadas nunca eliminamos un EN del juego (los EN asignan una probabilidad cero a usar estrategia estrictamente dominadas).

Por lo tanto, si existe un EEED ó un EEIEED (que son único), el EN es único también.

Con la eliminación de estrategias débilmente dominadas podemos eliminar algún EN del juego (en ese caso, los EN eliminados asignan una probabilidad positiva a usar estrategia estrictamente dominadas).

Pero si existe un EEDD ó un EEIEDD (que puede ser múltiple), éstos son EN necesariamente. Luego algún EN (de los que perduran a la eliminación) asigna probabilidad cero a estrategias débilmente dominadas.

Ejemplo 16: algún EN desaparece con EEIEDD

.

JUG 2

JUG 110

I M

U

D5

5

10

0 1

1 0

D

4-2

1-1

Práctica

Demostrad formalmente:

(1) Todos los EN sobreviven a la eliminación de estrategias estrictamente dominadas

(2) No ocurre lo mismo con la eliminación de estrategias débilmente dominadas

(3) Todo equilibrio por eliminación de estrategias débilmente dominadas es un equilibrio de Nash (EEIEDD implica EN)

.

Función mejor respuesta

si* es mejor respuesta de i a la estrategia s-i. Esto es,

Ui(si*,s-i) Ui(si,s-i), si Si, dado s-i

Definimos la función (corres.) mejor respuesta MRi(s-i) como:

MRi(s-i)={si* Si : Ui(si

*,s-i) Ui(si,s-i), si Si}

Equilibrio Nash

• (si*,s-i

*) es un EN si y sólo si:

si*= MRi(s-i

*) i

Ilustraciones

• Modelo de oligopolio de Cournot• Modelo de oligopolio de Bertrand• Competencia electoral• Subastas

Modelo de duopolio de Cournot

Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en

cantidades. La demanda agregada es P=a-X, donde X=X1+X2

y los costes Ci=c Xi, a y c>0.

El conjunto de estrategias es Xi [0,a].

Los pagos Bi(Xi,X-i) = PXi - Ci = {a- (Xi+X-i) }Xi - c Xi son:

Bi(Xi,X-i)/ Xi = (a-c) - 2Xi - X-i

2Bi(Xi,X-i)/ Xi2 = - 2 < 0

Modelo de duopolio Cournot

¿Cuál es la solución?...

Mejores respuestas de 1 y 2:

B1(X1,X2)/ X1 = 0 (a-c) - 2X1- X2 = 0

B2(X1,X2)/ X2 = 0 (a-c) - 2X2- X1 = 0

El EN es la solución del sistema anterior:

X1*= X2

* = (a-c)/3

Representación:

Dibujamos las funciones de mejor respuesta (funciones de reacción)

.

X1

X2

(a-c)/2

(a-c)/2

(a-c)

(a-c) R1

R2

EN

SOLUCIÓN: X1*= X2

* = (a-c)/3

No es eficiente, puesto que (desde el punto de vista de las empresas) la solución del monopolio lo es: X=(a-c)/2

X1*

X2*

Práctica

(1) Un duopolio, fijador de cantidades y maximizador de beneficios, que suministra productos homogéneos. La demanda del mercado es:

p(x)=max {0, a-x}

(a) Calcular el EN en el caso Ci=cix i , i=1,2 y donde a>c1>c2>0

(b) ¿Qué empresa produce más en equilibrio?

(c) Calcular el efecto de un una elevación del coste de 2

.

Práctica

(1’) Un duopolio, fijador de cantidades y maximizador de beneficios, que suministra productos homogéneos. La demanda del mercado es:

p(x)=max {0, 1-x}

(a) calcular el EN en el caso Ci=1/2xi , i=1,2(b) calcular el EN en el caso Ci=1/2xi -3/4 xi

2,

i=1,2

.

Práctica

(1’’) Un oligopolio de n empresas, fijador de cantidades y maximizador de beneficios, que suministra productos homogéneos. La demanda del mercado es:

p(x)=max {0, a-x}

(a) calcular el EN en el caso Ci=cxi , i=1,...,n

.

Modelo de oligopolio de Cournot

Mejores respuestas de i:

Bi(Xi,X-i)/ Xi = 0 (a-c) - 2Xi- X-i = 0

Dado que hay simetría, X1 = X2 =...= Xn. El EN es:

X1*= X2

* =...= Xn

* = (a-c)/n+1

Práctica: modelo de Bertrand

(2) Un duopolio, fijador de precios y maximizador de beneficios, que suministra productos homogéneos. La empresa que fije el precio más bajo se lleva todo el mercado. Si fijan el mismo precio, las empresas se reparte al 50% el mercado. La demanda del mercado es:

x(p)=max {0, 15-p} donde p= min{p1, p2}

y el coste es Ci=2xi , i=1,2

(a) calcular el EN en el caso p es un real entre 0 y 15.(b) calcular el EN en el caso p es un entero entre 0 y 15.

.

Bertrand precios enteros

.

2

1

0 , 0

2 3

2

3

0 , 0 0 , 0 0 , 00 , 00 , 00 , 0 0 , 00 , 0

0 , 0

0 , 00 , 0

0 , 0

0 , 0

0 , 0

0 , 0

6 , 6

11, 11

4 5 6

4567

12 , 0

0, 12

0, 22

22, 0

15, 15

18, 18

22, 0

30, 0

0, 22 0, 30

7

20, 20

36, 0

30, 0

22, 0 22, 0 22, 0 22, 0

0, 22

0, 22

0, 22

8 9

30, 0 30, 0 30, 0

36, 0 36, 0 36, 0

40, 0 40, 0 40, 00, 30

0, 30

0, 300, 30

0, 300, 30

0, 30

0, 36

0, 36

0, 360, 36

0, 360, 360, 36

21, 21

21, 21

20, 2018, 18

15, 15

22, 0 22, 0

30, 0 30, 0

36, 0 36, 0

40, 0 40, 0

10

8

91011

0, 40

0, 400, 40

0, 400, 400, 40

42, 0 42, 0 42, 0 42, 0

40, 0 40, 0 40, 0

36, 0 36, 030, 0

0, 420, 420, 42

0, 420, 42

0, 40

0, 400, 400, 40

0, 360, 360, 36

0, 300, 30 0, 22

0, 22

0, 220, 220, 22

0 , 0 0 , 0

0 , 00 , 00 , 00 , 0

0, 120, 12

0, 12

0, 12

0, 120, 12

0, 120, 12

0, 12

12 , 0 12 , 0 12 , 0 12 , 0 12 , 0 12 , 0 12 , 0 12 , 0

11 12

1213

Equilibrio de Nash: existencia

Teorema de Nash (1950) en estrategias mixtas

En todo juego en forma normal o estratégica G ={1,...,n; S1,...,Sn;U1,...,Un}

con un número de jugadores finitos y de estrategias finito en Si , i,

existe al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas.

Demostración : se basa en el teorema del punto fijo sobrecorrespondencias de buen comportamiento, Kakutani (1941).

Será enunciado más tarde, cuando generalicemos el teorema

anterior.

Estrategias mixtas

Definimos una estrategia mixta del jugador i como un vector de probabilidades pi definidas sobre todas las estrategias puras disponibles si Si.

pi* es la mejor respuesta en estrategias mixtas a la estrategia mixta p-i, si y sólo si, alcanza la mayor utilidad esperada. Esto es,

pi*Ui(pi

*,p-i) piUi(pi,p-i), pi sobre si Si, i=1,...,n; dado p-i

sobre s-i

Equilibrio de Nash en estrategias mixtas

• (pi*,p-i

*) es un EN en estrategias mixtas si y sólo si

pi*Ui(pi

*,p-i*) piUi(pi,p-i

*), pi definida sobre si Si, i=1,...,n

pi* es una mejor respuesta en estrategias mixtas del jugador i y existe compatibilidad.

Ejemplos: juego de las monedas y batalla de los sexos

El juego de las monedas

.

JUG 2

JUG 1

1 , -1

CA CR

CA

CR 1 , -1

-1 , 1

-1 , 1

El juego de las monedas

SOLUCION: subrayamos las mejores respuestas

NO HAY EQUILIBRIO DE NASH en estrategias purasDEBE EXISTIR AL MENOS UNO en estrategias mixtas .

JUG 2

JUG 1

1 , -1

CA CR

CA

CR 1 , -1

-1 , 1

-1 , 1

El juego de las monedas

Definimos la estrategia mixta del jugador 1 como (p,1-p) sobre (CR,CA) y la estrategia mixta del jugador 2 como (q,1-q) sobre (CR,CA), p y q .

Veamos la utilidad esperada del jugador 2 de adoptar CA ó CR, dada la estrategia mixta del jugador 1 como (p,1-p) sobre (CR,CA):

UECA2 = p(1)+(1-p)(-1)=2p-1

UECR2 = p(-1)+(1-p)(1)=1-2p

Veamos la utilidad esperada del jugador 1 de adoptar CA ó CR, dada la estrategia mixta del jugador 1 como (q,1-q) sobre (CR,CA):

UECA1 = q(-1)+(1-q)(1)=1-2q

UECR1 = q(1)+(1-q)(-1)=2q-1

Las dibujamos, para determinar las mejores respuestas en estrategias mixtas...

El juego de las monedas

Maximizamos la utilidad esperada en estrategias mixtas de los dos jugadores

EN VERDE RAYADA: las UE máximas (mejores respuestas) para cada estrategia mixta del contrario .

p

UE2

1/2

1

10

-1

UECR2 UECA

2

q

UE1

1/2

1

10

-1

UECA1 UECR

1

El juego de las monedas

Las correspondencias de mejores respuestas en estrategias mixtas:

R2 (p)=

R1 (p)=

p=0

p=1

p

q < 1/2

q = 1/2

q > 1/2

q=1

q=0

q

p < 1/2

p = 1/2

p > 1/2

El juego de las monedas

Dibujamos las correspondencias de mejores respuestas en estrategias mixtas

EN ROJO: las del JUG 1. EN AZUL: las del JUG 2LA SOLUCIÓN: (p*, q*)=(1/2, 1/2)Los jugadores randomizan sus estrategias al 50% y obtienen un pago de (0, 0)

.

p

q

CA,CA

CR, CRCA,CR

CR, CA

1/2

1/2

1

0

10

La batalla de los sexos

.

JUG 2

JUG 1

4 , 1

B O

B

O 1 , 4

0 , 0

-1 , -1

La batalla de los sexos

Dibujamos las correspondencias de mejores respuestas en estrategias mixtas

EN ROJO: las del JUG 1. EN AZUL: las del JUG 2SOLUCI0NES: Las dos estrategias puras más una mixta(p*, q*)=(1/6, 5/6). Los jugadores randomizan sus estrategias al 16,7% y 83,3% obtienen un pago de (0.66, 0.66) que no es eficiente

.

p

q

B,B

O,OB,O

O,B

5/6

1/6

1

0

10

Equilibrio de Nash: punto fijo de correspondencias de mejor respuesta

• Definimos la correspondencia de mejor respuesta del jugador i Ri: s si

* s S

De esta forma: si* = Ri (s) s =(si,s-i) S, tal que:

Ui(si*,s-i) = max Ui(si,s-i), si Si

• Para todo i=1,...,n; la correspondencia de mejor respuesta será: R: s s* s S

donde s*=(s1*,...,sn

*)

Equilibrio de Nash: punto fijo de correspondencias de mejor respuesta

• Definimos el equilibrio de Nash s*=(s1*,...,sn

*) comoR: s* s* o lo que es lo mismo:s* = R (s*)

• Esto es lo que se conoce como un punto fijo de la correspondencia de mejor respuesta R(s)

Ilustración: caso de una variable

En el caso de que s sea una variable. Un punto fijo sería:

.

R(s)

s

R(s*)

s*

45º

Teorema de Kakutani (1941): existencia de puntos fijos de correspondencias

• Establece las condiciones suficientes que garantizan la existencia de un punto fijo de correspondencias

• Si el conjunto S es compacto (acotado y cerrado) y convexo y R(s) es una correspondencia hemi-contínua superior y convexa para todo s, existe siempre un punto fijo (y por tanto un EN)

Ilustración: caso de una variable

Caso de S compacto y convexo y una correspondencia R(s) hemi-contínua superior, pero no convexa para todo s:

No se garantiza la existencia de un punto fijo.

.

R(s)

s

45º

Teorema de Nash: generalización

Teorema de Nash (1951) en estrategias contínuas

En todo juego en forma normal o estratégica G ={1,...,n; S1,...,Sn;U1,...,Un}donde el conjunto de estrategias es compacto y convexo y donde lasfunciones de pagos es contínua en S y cuasi-cóncava en si, existe al menos un equilibrio de Nash.

Demostración : aplicación del teorema del punto fijo sobrecorrespondencias de Kakutani (1941). Si la función de pago es contínua, R(s) es hemi-contínua superior y si la función de pagos escuasi-cóncava en si, R(s) es convexo para todo s.

Generalización : el teorema en estrategias mixtas es un caso particular, donde el conjunto de estrategias es compacto y convexo y la función de pagos lineal en si (por lo tanto, cuasi-cóncava)

Teorema de Nash: generalización

Demostración : aplicación del teorema del punto fijo sobrecorrespondencias de Kakutani (1941).

Si la función de pago es contínua, R(s) es hemi-contínua superior y si

es cuasi-cóncava en si , R(s) es convexo para todo s.

Cuasi-concavidad de función de pagos

DEF: F pagos Ui (si,s-i) cuasi-cónvava en si si y sólo si, dados cualquier s1 y s2, tales que Ui (s1,s-i) = Ui (s2,s-i) y [0,1], entonces:

Ui (s1+(1-) s2,s-i) Ui (s1,s-i) = Ui (s2,s-i)

PROPOSICIÓN: Si la función de pago es cuasi-cóncava en si , R(s) es convexo para todo s.

PRUEBA: Si R(s) es no convexa: dadas s1 y s2 Ri(s) dos

mejores respuestas de s, entonces s1+(1-) s2 Ri(s), [0,1]

Por lo que, Ui (s1+(1-) s2,s-i) < Ui (s1,s-i) = Ui (s2,s-i)

Esto contradice la cuasi-concavidad de la función de pagos en si

Práctica

(3) Dos empresas fijadoras del precio producen dos bienes sustitutos cercanos, con demandas:

x1(P1,P2)= a-P1 +bP2

x2(P1,P2)= a-P2 +bP1

(a) calcular el EN en el caso Ci=cxi , i=1,2 y b>0

.

Modelo de duopolio de Bertrand con producto diferenciado

Dos empresas que producen producto diferenciado, compiten en

precios. Los costes Ci=c Xi, a y c>0.

El conjunto de estrategias es Pi [0,), no acotado

Los pagos Bi(Pi,Pj) = PiXi - cXi = Pi(a-Pi+bPj) - Pi(a-Pi+bPj) son:

Bi(Pi,Pj)/ Pi = a+bPj-2Pi+c

2Bi(Pi,Pj)/ Pi2 = - 2 < 0

Modelo de duopolio de Bertrand con producto diferenciado

Mejores respuestas de 1 y 2:

B1(P1,P2)/ P1 = 0 P1= (a+c+bP2)/2

B2(P1,P2)/ P2 = 0 P2= (a+c+bP1)/2

El EN es la solución del sistema anterior:

P1*= P2

* = (a+c)/(2-b) existe solución sólo si 0<b<2 solución

Práctica

(4) Dos empresas fijadoras del precio producen dos bienes sustitutos cercanos, con demandas:

X1(P1,P2)= max {0, 100+ 10P22 -5P1P2}

X2(P1,P2)=max {0, 30+20P12-0,5P1P2}

(a) calcular el EN en el caso Ci=10xi , i=1,2(b) ¿se dan las condiciones suficientes que garantizan la existencia del EN?

.

Práctica

(5) Dos empresas fijadoras del precio producen dos bienes sustitutos cercanos, con demandas:

X1(P1,P2)= 10P2/P1

X2(P1,P2)= 20P1/P2

(a) calcular el EN en el caso Ci=50xi , i=1,2(b) ¿se dan las condiciones suficientes que garantizan la existencia del EN?

.

Práctica

(6) 10 pescadores faenan en una zona pesquera. Cada uno dispone de una flota gi. El número total de barcos es G=g1+...+g10..El coste por barco es constante igual a c=10. La producción pesquera viene dada por la función vi=100-2G (por barco).

(a) calcular el EN del juego y observar si se llega a una producción eficiente.

.