UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Microeconomía Superior I:Tema 7

Rafael Salas diciembre de 2004

Extensiones del modelo básico...

• Problemas de agregación• restricciones en la estructura de preferencias para la

consistencia sobre consumidores• Modelización de problemas económicos específicos

• oferta de trabajo• ahorro

• Nuevos conceptos• incertidumbre

• La incertidumbre expande la teoría del consumidor de forma interesante

Esquema...

Modelización de la incertidumbre

Axiomas

Utilidad esperada

Consumo: incertidumbre

Prima de riesgo

Incertidumbre

• Nuevos conceptos• Nuevos axiomas sobre el consumidor• Nuevas restricciones sobre la estructura

de las functiones de utilidad

Conceptos

• Estados de la naturaleza

Ejemplo

Si existe incertidumbre sobre quién gobernará en USA en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={Rep, Dem}

o quizás como:

={Rep, Dem, Ind}

Ejemplo

Si existe incertidumbre sobre quién gobernará en USA en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={Rep, Dem}

o quizás como:

={Rep, Dem, Ind}

• probabilidades p{p: p}

• consumo contingente {x: }

Un vector de consumo sobre el espacio

Un vector de consumo sobre el espacio

• ex ante antes de la realización

• ex post después de la realización

Otro ejemplo

Si existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={sol, lluvia}

o quizás como:

={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}

Otro ejemplo

Si existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:

={sol, lluvia}

o quizás como:

={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}

Distinción ex-ante/ex-post

tiempo

Momento en el que se revela el estado de la naturaleza

Momento en el que se revela el estado de la naturaleza

Las decisiones se realizan aquí

Las decisiones se realizan aquí

La visión ex-anteLa visión ex-post

En el “momento de la verdad”

La línea del tiempo

Abanico de estados posibles

Abanico de estados posibles

Sólo un estado se realiza

Sólo un estado se realiza

Un enfoque simplificado...

• El espacio de estados es finito• Se simplifica si los planes de consumos son

escalares• El consumo en el estado es x(un número real:

consumos o resultados que se obtienen en el estado )

• Un caso especial:• Tomamos el número de estados=2 = {ROJO,AZUL}

• Representación gráfica...

Espacio de los estados: #

xAZUL

xROJOO

El espacio de consumo bajo incertidumbre: 2 estados

Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados

Y0 r

esu

ltado

si

AZ

UL

oc

urr

e

resultado si ROJO ocurre

45°

Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados

Consu

mos

con

certi

dumbre

per

fecta

¿Qué podemos decir sobre las preferencias?

• Hemos expandido el espacio de bienes• Son bienes contingentes al “estado”:

• Estados finitos• Si hay un número N de estados posibles entonces...• ...en vez de n bienes tenemos n N bienes

• La teoría del consumo se puede aplicar automáticamente

• Axiomas estandar sobre las preferencias apropiados son necesarios

• Pero requieren una reintrepretaciónveamosveamos

Axiomas sobre preferencias

• Completitud• Transitividad• Continuidad• Monotonía• Dominancia estocásica• Convexidad (estricta)• Diferenciabilidad • Independencia

Para asegurar la existencia de curvas de indiferencias y la función de utilidad

Para dar forma a las curvas de indiferencia y a la función de utilidad

Preferencias

• y sus probabilidades p

• consumo contingente {x: }

Se establecen sobre:

Si entonces se establecen sobre:

(x1,x2;p1,p2)

En lo que sigue xes un número real: es como si fuera una elección sobre loterías

Completitud

pp’

xx’:

Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’).

Entonces

Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’).

Entonces:

• (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’)

• ó (x1’,x2’;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2)

• ó (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’)

Transitividad

pp’ p’’

xx’x’’:

Dados (x1,x2;p1,p2), (x1’,x2’;p1’,p2’) y (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’).

• si (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’)

• y (x1’,x2’;p1’,p2’) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’)

• Entonces: (x1,x2;p1,p2) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’)

Continuidad: implicaciones

xAZUL

xROJOO

Preferencias no cotínuas

Y0

Imponemos continuidad

huecoshuecosno huecos

no huecos

Un plan de consumo contingente Y0

E

Buscamos el punto E dada la continuidadLa renta se conoce como el equivalente de certeza de Y0

Monotonía (débil)

p

xx’:

Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2).Con x1> x1’ y x2 x2’ . Entonces:

• (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)

Monotonía

xAZUL

xROJOO

El plan de consumo contingente Y1 es preferido a Y0

Y1

Y0

Monotonía (estricta)

p

xx’:

Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2).Con x1> x1’ y x2 x2’ . Entonces:

• (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)

Dominancia estocástica

pp’

x:

Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1,x2;p1’,p2’) .Si x1>x2 y si p1’>p1 y p2’ p2 . Entonces:

• (x1,x2;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2)

Dominancia estocástica: ejemplo

• (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)

Convexidad (estricta)

p

xx’:

Dados dos arbitrarios (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2).

Para todo (x1’’, x2’’) =(t x1+(1-t) x1’, t x2+(1-t) x2’)

• (x1’’,x2’’;p1,p2) (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)

t

Convexidad

xAZUL

xROJOO

Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y0 yY1

Y0

Y1

Puntos en el interior de la línea Y0Y1 como Y2 representa una combinación de Y0 y Y1

Y2 representa un menor riesgo

Si U es estrictamene cuasicóncava Y2 es preferido estrictamente a Y0

Y2

Independencia

p

x:

La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas sobre los resultados últimos.

Dada una lotería L= (x1, L’;p1,p2),

donde L’= (x1,x2;p1’,p2’). Entonces:

(x1, L’;p1,p2) (x1,x2; p1+p2p1’, p2p2’).

Independencia: ejemplo

• Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5)

• Es indiferente a (100,50;0.75,0.25)

• Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades

Un resultado clave

• Dados los axiomas anteriores:

• ...las preferencias tienen que pertenecer a la clase de la utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern:

UE(x p pux

• donde u(xes una función cuasi-cóncava, independiente del estado

• Herstein y Milnorm (1953), Econometrica

Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM

xAZUL

xROJOO

¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º?

Una típica C.I.

Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º

pROJO– _____

pAZUL

pROJO– _____

pAZUL

Implicaciones de la función de utilidad

esperada de vNM(2)

xAZUL

xROJOO

pROJO– _____

pAZUL

pROJO– _____

pAZUL

Dado un consumo contingente

Ex

Resultado (renta) media

Y0

Y1

Y

Prolongamos la línea desde Y0 a Y hasta Y1

Por convexidad de

las preferencias:

UE(Y) UE(Y0)

un resultado útil

un resultado útil

Ex

x(AZUL)

x(ROJO)

A

M

-p(ROJ)

p(AZUL)

E

PR= Ex - la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar

el riesgo

PR= Ex - la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar

el riesgo

La prima de riesgo... De nuevo trazamos la línea desde el consumo contingente A...

La pendiente es el ratio de probabilidades

Y corta a la diagonal en...

...la renta media

Nos sirve para definir...

La prima de riesgo

u

u(x)

x1

xx2

u( x1 )

u(x2)

Ex

u(Ex)

Eu(x )

la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar el riesgo

la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar el riesgo

La prima de riesgo de nuevo dada la utilidad de dos resultados posibles

El resultado esperado y la utilidad del resultado esperado La utilidad esperada y el equivalente de certeza La prima de riesgo de nuevo

La prima de riesgo depende de...

• La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x1 y x2, dado p

• Una aproximación de PR:

2)('')(' 2

xuxu

PR

• El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión al riesgo

Práctica:

(1) Un consumidor posee una casa valorada en 25 millones de u.m.. La probabilidad de que ésta sea totalmente destruida por un incendio (en cuyo caso perdería todo su valor) es de 0,01.(a) Si las preferencias están representadas por la función de urilidad esperada u(x)=x1/2, donde x es la riqueza del consumidor al final del año, ¿aceptaría el consumidor asegurar completamente la casa por 300.000 u.m.?

(b) Suponiendo que el riesgo del incendio es el mismo para todos los consumidores,¿sería ésta una cuota de seguro aceptable para una compañía de seguros? (suponga que la compañía es neutral con respecto al riesgo).¿Cuál es la cuota máxima de seguro que está dispuesto a pagar el consumidor?¿y la cuota mínima que está dispuesto a ofrecer la compañía?¿qué relación hay entre estas cuotas, el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la lotería que representa la propiedad de la casa sin seguro?

Práctica:

(2) Un individuo tiene unas preferencias por la función de utilidad esperada u(x)= x1/2, donde x es su riqueza. Se le ofrece una lotería L=(4,9;0.2,0.8), donde las ganancias están expresadas en millones de u.m.. Determine el equivalente de certeza y la prima de riesgo para ese individuo si su riqueza inicial es 0 millones, 50 millones y 100 millones de u.m.¿Y si su función de utilidad esperada fuera u(x)=ln x? Compara y comenta los resultados. ¿Cuál es la relación entre la riqueza y el grado de aversión al riesgo?

Práctica:

(3) El propietario de un comercio valorado en 64 millones de ptas. Se enfrenta a la probabilidad del 1% de que en un año cualquiera un incendio destruya totalmente el local. Las preferencias del individuo vienen dadas por la función de utilidad U(X)=X1/2, donde X es la riqueza al final del año.

(a)Calcula la utilidad esperada del individuo y el equivalente de certeza. ¿Estaría dispuesto a vender el comercio por 60 millones de ptas.? ¿Y por 63 millones?(b)Una compañía de seguros ofrece una póliza anual que cubre todo el riesgo a una cuota de 1 millón de ptas. ¿Aceptaría la oferta?(c)Considera ahora que el individuo dispone, además del comercio, de 1 millón de ptas. en efectivo. Una empresa le ofrece un equipo de prevención de incendios que reduciría al 0,5% la probabilidad del incendio. Determine si estaría dispuesto a pagar 50.000 ptas. por el alquiler. ¿Cuál es la cantidad máxima que el individuo está dispuesto a pagar por el alquiler de dicho equipo?

Práctica:

(4) En el mercado de seguros de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos conductores (que causan un accidente al año con probabilidad 0,1 y ningún accidente, con probabilidad 0,9) y los malos conductores (que causan un accidente con probabilidad 0,2 y ningún accidente, con probabilidad 0,8). Los costes de reparación de vehículos involucrados en los accidentes (en media) es de 200.000 ptas. La proporción de buenos y malos conductores es de 2 a 1. La utilidad de los conductores, que maximizan la utilidad esperada, es igual a U(W)=W1/2 y sus riquezas iniciales son de 500.000 ptas.

(a)Calcula la cuota mínima que las compañías de seguros estarían dispuestas a ofrecer, suponiendo que son neutrales con respecto al riesgo y que no pueden distinguir entre los dos tipos de conductores.

(b)¿Qué tipo de conductores subscribiría una póliza de seguros a la cuota del apartado (a)?¿Cuáles son las cuotas máximas que cada tipo de conductor está dispuesto a pagar? Represente los árboles de decisión.

(c)Calcula la cuota de equilibrio competitivo, suponiendo que las compañías ofrecen seguros a las cuotas mínimas (y no hay gastos administrativos ni otros gastos extras) y conocen qué tipo de conductores contratan las pólizas, aunque no puedan distinguir entre los dos tipos de conductores. ¿Qué tipo de conductores contratarán pólizas en equilibrio?

Práctica:

(5) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/3.

(a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable?(b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.

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Microeconomía Superior I:Tema 7

Rafael Salas diciembre de 2004