universidad central del ecuador · 2019-02-13 · publicación de este trabajo de titulación en el...
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
CARRERA DE INGENIERÍA MATEMÁTICA
Método de volúmenes nitos de segundo orden para discretizar la
Ecuación de Richards
Trabajo de titulación, modalidad Proyecto de Investigación previo a la obtención del título de
Ingeniera Matemática
AUTORA: Loachamín Loya Nancy Elizabeth
TUTOR: Ing. Guillermo Alexis Albuja Proaño MSc.
QUITO, 2019
DERECHOS DE AUTOR
Yo, Loachamín Loya Nancy Elizabeth en calidad de autora y titular de los derechos mo-
rales y patrimoniales del trabajo de titulación Método de volúmenes nitos de segundo orden
para discretizar la Ecuación de Richards, modalidad proyecto de investigación, de conformidad
con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL DE LOS CONOCI-
MIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a favor de la Universidad Central del
Ecuador una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la obra,
con nes estrictamente académicos. Conservo a mi favor todos los derechos de autor sobre la
obra, establecidos en la normativa citada.
Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la digitalización y
publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual, de conformidad a lo dispuesto
en el Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación Superior.
La autora declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su forma
de expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la responsabilidad por
cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta causa y liberando a la Universidad de
toda responsabilidad.
Firma:..................................
Loachamín Loya Nancy Elizabeth.
Cédula: 1723957997
ii
APROBACIÓN DEL TUTOR
En mi calidad de tutor del trabajo de titulación, presentado por LOACHAMÍN LO-
YA NANCY ELIZABETH, para optar por el Grado de Ingeniera Matemática; cuyo título
es: MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS DE SEGUNDO ORDEN PARA DIS-
CRETIZAR LA ECUACIÓN DE RICHARDS, considero que dicho trabajo reúne los
requisitos y méritos sucientes para ser sometido a la presentación pública y evaluación por
parte del tribunal examinador que se designe.
En la ciudad de Quito, a los 18 días del mes junio de 2018.
........................................................
Ing. Guillermo Alexis Albuja Proaño MSc.
DOCENTE-TUTOR
C.C.: 1712454063
iii
Dedicado a
mi padre Manuel,
a mi madre Blanca
y a mi pequeña Allison.
iv
Agradecimientos
A Dios por todas las bendiciones que me ha concedido, a mis padres y hermano por su
apoyo, en especial a mi madre por su paciencia y cariño. Gracias a ellos por acompañarme,
cuidar de mi y hacer de esta meta alcanzada un maravilloso logro.
A mi tutor el Ing. Guillermo Albuja por su guía y motivación. Finalmente, a mis maestros
Miguel Yangari e Iván Naula por el tiempo tomado para la revisión este trabajo.
v
Contenido
Derechos de Autor ii
Aprobación del Tutor iii
Dedicatoria iv
Agradecimientos v
Contenido vi
Lista de guras ix
Lista de tablas x
Lista de anexos xi
Resumen xii
Abstract xiii
Introducción 1
1. Denición del problema 3
Formulación del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Especícos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
vi
CONTENIDO vii
2. Modelo matemático 5
Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Ley de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Ley de Darcy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
De la Ecuación de Richards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Volumen de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Teorema de la Divergencia de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Teorema Fundamental del Cálculo de Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Teorema de Green-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Teorema de derivación bajo el signo de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Teorema del Transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ecuación de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ecuación de Richards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Respecto del Análisis Funcional 13
Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Teorema de derivación bajo el signo de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Espacios Lebesgue Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Convergencia en los Espacios Lebesgue Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Espacio de Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Derivación en el sentido de las Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Inmersiones de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Espacios Densos en los Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Funciones con valores en Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Espacio de Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Espacios de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Existencia y Unicidad de Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4. Análisis del problema estacionario. 25
5. Discretización 42
Método de Volúmenes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Discretización espacial y temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Exactitud de los esquemas de volumen nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6. Monotonía y Precisión 49
Condiciones necesarias y sucientes para monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7. Conclusiones y Recomendaciones 60
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Anexos 62
A. Programas computacionales 62
Visualización de las soluciones del problema estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Esquemas presentados del Capítulo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Errores entre la solución aproximada y exacta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Bibliografía 73
viii
Lista de guras
2.1. Permeámetros de carga constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.1. Caso 1 con ur = −25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Caso 2 con ur = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3. Caso 3 con ur ≈ −1.73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4. Caso 4 con ur = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5. Caso 5, con ur = 1.71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6. Caso 6, con ur = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1. Esquema Explícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2. Discretización en la variable temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3. Discretización en la variable espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1. Esquema H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2. Esquema A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3. Esquema HA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4. Esquema HU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5. Esquema HMP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.6. Suma Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.7. Si −BA≥ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.8. Si −BA≤ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
ix
Lista de tablas
5.1. Coecientes de Transmisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2. Normas l2 y l∞ de error para los esquemas de Volumen Finito (5.2) with g = 2. . 48
x
Lista de anexos
Anexo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
xi
Título: Método de volúmenes nitos de segundo orden para discretizar la Ecuación de
Richards.
Autora: Loachamín Loya Nancy Elizabeth.
Tutor: Ing. Guillermo Alexis Albuja Proaño MSc.
Resumen
En el presente trabajo de investigación se emplea la Ecuación de Richards planteada en 1931, li-
geramente modicada, de la cual se obtienen soluciones explícitas para el problema estacionario.
Empleando éstas, se analiza la precisión y monotonía de algunas discretizaciones convenciona-
les que utilizan diferentes coecientes de transmisibilidad, una vez hecho esto se encuentra
una aproximación de la solución mediante el método de volúmenes nitos para la Ecuación
unidimensional modicada de Richards ; en base a la cual se formulan condiciones sucientes
y necesarias para su monotonía y precisión de segundo orden, puesto que las aproximaciones
encontradas en el problema estacionario no coinciden en la monotonía y precisión deseada.
PALABRAS CLAVE: ECUACIÓN DE RICHARDS / MÉTODO DE VOLÚMENES
FINITOS/ ECUACIÓN DIFERENCIAL/ DISCRETIZACIÓN.
xii
Title: Second order nite volume method to discretize the Richards equation.
Author: Loachamín Loya Nancy Elizabeth.
Tutor: Ing. Guillermo Alexis Albuja Proaño MSc.
Abstract
In the present research work the Richards equation proposed in 1931 is used, slightly modied,
from which explicit solutions for the stationary problem are obtained. Using these, we analyze
the precision and monotony of some conventional discretizations that use dierent coecients
of transmissibility, once this is done, we approach the solution using the nite volume met-
hod for the modied one-dimensional Richards equation; on the basis of which sucient and
necessary conditions are formulated for its monotony and precision of second order, since the
approximations found in the stationary problem do not coincide in the monotony and precision
desired.
KEYWORDS: RICHARDS EQUATION/ FINITE VOLUME METHOD/ DIFFEREN-
TIAL EQUATION/ DISCRETIZATION.
xiii
Introducción
La ecuación de Richards modela matemáticamente la inltración de agua en el suelo, en base
a esta ecuación y sin pérdida de generalidad se considera una ecuación ligeramente modicada
unidimensional para la cual se analizará el problema estacionario y se formularán condiciones
necesarias y sucientes para obtener una discretización monótona de segundo orden mediante
el método de volúmenes nitos, implementada en Matlab, esto debido a que en la literatura se
encuentran esquemas convencionales de primer orden.
Se recurre a los métodos numéricos para la obtención de soluciones para la ecuación de
Richards ya que se presenta cierta dicultad para conseguir una solución analítica. Se sabe que
se puede obtener una discretización monótona empleando un esquema upwind [7], [8] pero este
solo es de primer orden y los esquemas upwind que son de segundo orden son demasiado labo-
riosos especialmente para varias dimensiones. Es por esto que [4] nos proporciona el esquema
monótono obtenido con el método de volúmenes nitos que será parte de nuestro estudio pues
se sugiere tiene una complejidad comparable a la del esquema upwind de segundo orden.
El impacto del tema abordado en el presente trabajo es de gran importancia en el sector
ambiental y agroindustrial puesto que abarca la contaminación del suelo, contaminación del
agua de riego y consecuentemente estas afectan a los cultivos provocando pérdidas y afectando
al ámbito económico. Por ello es aconsejable este tipo de estudios ya que el modelo matemá-
tico nos permite tener una visión en diferentes escenarios, lo cual no es posible si se realizan
experimentos en laboratorios o directamente con el suelo.
La organización de este trabajo se encuentra de la siguiente manera:
En el Capítulo 1, se formula el problema y se presenta los objetivos general y especícos.
1
En el Capítulo 2, se presentan aspectos generales para la descripción del modelo matemático
a utilizarse en el presente trabajo.
En el Capítulo 3, se describen algunos conceptos importantes del Análisis Funcional y se
presenta la existencia y unicidad de la solución para la ecuación modicada de Richards.
En el Capítulo 4, se realiza al análisis del problema estacionario para la ecuación modicada
de Richards unidimensional.
En el Capítulo 5, se desarrolla la discretización y simulación en el programa Matlab de la
ecuación que es objeto de estudio en este trabajo. Se verica la exactitud de los esquemas de
volumen nito propuestos en [4].
En el Capítulo 6, se derivaran condiciones necesarias y sucientes para monotonía.
En el Capítulo 7, se detallan las conclusiones y recomendaciones del presente trabajo de
titulación.
2
Capítulo 1
Denición del problema
Formulación del problema
Problemas como el uso indiscriminado de agroquímicos y la contaminación del suelo [1] o
problemas asociados con la inltración de agua en el suelo, inuyen en el desbalance nutricio-
nal de los cultivos lo que a su vez causa una baja del rendimiento de los mismos y con ello
directamente una pérdida de la inversión; para lo cual la ecuación de Richards modela matemá-
ticamente el movimiento del agua en el suelo [2]. En base a la ecuación de Richards propuesta
en 1931 y sin pérdida de generalidad consideraremos una ecuación ligeramente modicada como
sigue:
∂u
∂t=
∂
∂x
(K(x)a (u)
(∂u
∂x+ g
)), (1.1)
donde u = u(x, t) , (x, t) ∈ [0, 2α]×[ 0,∞) para algún α > 0, K(x, t) es una función positiva
constante a trozos,
K(x, t) =
K1, si x ∈ [0, α],
K2, si x ∈ (α, 2α],
,
a(·) una función no lineal y g > 0 una constante positiva.
Para la aproximación de la solución de esta ecuación se empleará el método de volúmenes nitos
(MVF). La existencia y unicidad de soluciones y su convergencia han sido establecidas en [3]
y [4]. Una vez revisado esto, se obtendrán soluciones explícitas para el problema estacionario
3
las cuales se utilizarán para analizar la precisión y monotonía de algunas discretizaciones con-
vencionales obtenidas con el método de volúmenes nitos y diferentes opciones de coecientes
de transmisibilidad. Luego se formularán condiciones sucientes y necesarias para la monotonía
de la discretización obtenida mediante el método de volúmenes nitos.
Objetivos
General
Obtener un esquema numérico mediante la aplicación del método de volúmenes nitos de
segundo orden para la ecuación de Richards.
Especícos
1. Presentar algunas soluciones analíticas de forma cerrada para el problema estacionario
para un suelo de dos capas.
2. Discretizar la ecuación unidimensional modicada de Richards empleando el método de
volúmenes nitos.
3. Analizar la exactitud de algunas discretizaciones convencionales, obtenidas mediante el
método de volumenes nitos y diferentes opciones de coecientes de transmisibilidad,
empleando las soluciones del item 1 de este apartado.
4. Derivar condiciones necesarias y sucientes para la monotonía de la discretización.
4
Capítulo 2
Modelo matemático
Aspectos Generales
Ley de Darcy
El ingeniero Henry Darcy durante muchos años trabajó en el abastecimiento de agua a
la ciudad francesa de Dijon. Además debía diseñar ltros de arena para puricar el agua,
así que se interesó en los factores que inuían en el ujo del agua a través de los materiales
arenosos. En 1856 presentó un informe sobre su trabajo que incluía un apéndice, describiendo
sus experimentos y la obtención de la ley. Darcy utilizó unos aparatos muy similares a los que
hay en la actualidad en los laboratorios, llamados permeámetros de carga constante (Fig.2.1),
Figura 2.1: Permeámetros de carga constante.
5
donde
Q = Caudal
∆h = Diferencial de Potencial entre A y B
∆l = Distancia entre A y B
∆h
∆l= Gradiente hidráulico.
Un permeámetro es un recipiente de sección constante por el que se hace circular agua conec-
tando a uno de sus extremos un depósito elevado de nivel constante. En el otro extremo se
regula el caudal de salida mediante un grifo que en cada experimento mantiene el caudal tam-
bién constante. Finalmente, se mide la altura de la columna de agua en varios puntos (mínimo
en dos).
Darcy repitió este experimento cambiando las variables y con varios materiales porosos, y de-
dujo que el caudal que atravesaba el permeámetro era linealmente proporcional a la sección y al
gradiente hidráulico. Y que la constante de proporcionalidad era característica de cada arena o
material que llena el permeámetro.
Es decir, variando el caudal con un grifo y/o moviendo el depósito elevado, los niveles del agua
en los tubos varían. Podemos probar también con permeámetros de distintos diámetros y mi-
diendo la altura de la columna de agua en puntos más o menos próximos (diferentes ∆l).
Pues bien: cambiando todas las variables, siempre que utilicemos la misma arena, se
cumple que:
Q = K Sección∆h
∆l,
con K constante.
Si utilizamos otra arena (más gruesa o na, o mezcla de gruesa y na, etc.) y jugando de
nuevo con todas las variables, se vuelve a cumplir la ecuación anterior, pero la constante de
proporcionalidad lineal es distinta. Darcy concluyó, por tanto, que esa constante era propia y
característica de cada arena. Esta constante se llamó permeabilidad notada con K, aunque su
denominación correcta actual es conductividad hidráulica.
Como las unidades del caudal Q son m3
s, en forma dimensional sería L3
T, la sección que tiene
como unidad al m2, en forma dimensional L2, y ∆h y ∆l son longitudes, se comprueba que
las unidades de la permeabilidad K son las de una velocidad, es decir ms, lo que en forma
6
dimensional es LT, siendo L : longitud y t : tiempo.
La Ley de Darcy es la siguiente:
q = −K(dh
dl
)donde:
q =Q
sección, es decir: caudal que circula por m2 de sección.
K = conductividad hidráulica
dh
dl= gradiente hidráulico expresado en incrementos innitesimales, el signo menos se debe a
que el nivel disminuye en el sentido del ujo; es decir, que ∆h o dh son negativos y el
signo menos hace que el caudal sea positivo.
Gradiente Es el incremento de una variable entre dos puntos del espacio, en relación con la
distancia entre esos dos puntos. Si la variable considerada fuera la altitud de cada punto, el
gradiente sería la pendiente entre los dos puntos considerados.
Por ejemplo, si entre dos puntos situados a 2 metros de distancia existe una diferencia de tem-
peratura de 8 C, diremos que hay entre ellos un gradiente térmico de 4 C/metro. Cuanto
mayor sea ese gradiente térmico, mayor será el ujo de calorías de un punto a otro.
Ley de Darcy-Buckingham
Observamos que en los suelos parcialmente saturados existen dos uidos en los poros: agua
y aire y la Ley de Darcy trabaja para un solo uido, por lo que no es aplicable, en principio,
para este tipo de suelos. Las burbujas en el aire retienen el líquido impidiendo su natural
permeabilidad, razón por la cual un suelo parcialmente saturado tiene menor permeabilidad
que otro totalmente saturado.
En 1907, Buckingham propone que el grado de saturación aumenta en la misma medida en que
las burbujas de aire disminuyen en el tiempo debido a que son arrastradas por las corrientes de
agua, lo que permite concluir que la permeabilidad de un suelo parcialmente saturado aumenta
signicativamente con el paso del tiempo.
El incremento de la constante de proporcionalidad (permeabilidad) en el tipo de suelos semi-
saturados es mayor mientras que la presión del líquido va en aumento, pues esto provoca una
7
considerable disminución del volumen que las burbujas de aire ocupan. Así, en este tipo de
suelo la permeabilidad K depende de h y la ley de Darcy puede escribirse de la siguiente forma:
q = K(h)∇h
De la Ecuación de Richards
Volumen de Control
Un volumen de control es una región ja del plano o del espacio a través de la cual circula
un uido. Se considera como volumen de control a un conjunto no vacío de R3 limitado por una
supercie cerrada denominada supercie de control. Los volúmenes de control pueden ser: jos
o móviles. El uido puede entrar y salir del volumen de control y este puede sufrir deformaciones
con el tiempo.
Supondremos que el volumen de control se desplaza con la misma velocidad del uido y que
la velocidad en todo punto de la supercie del volumen de control es igual a la velocidad del
uido. Luego se obtendrá las ecuaciones diferenciales de ujo de un uido aplicando las leyes
fundamentales, empleando volúmenes de control, los que asumiremos son conjuntos medibles
en el sentido de Lebesgue.
Teorema de la Divergencia de Gauss
Sea Ω un dominio acotado de R2 con Γ su frontera, Ω = Ω∪Γ y ~F : Ω→ R2 con ~F = (f, g)
un campo vectorial denido en Ω. supongamos que ∂f∂x, ∂g
∂yson integrables en Ω, entonces se
tiene: ∫Ω
div(~F ) dx =
∫Γ
~F · ~n ds,
donde ~n es el vector normal exterior a Γ.
La integral del lado derecho es la integral de línea con respecto a la longitud de arco a lo largo
de la curva Γ. La integral del lado izquierdo es una integral doble.
Sea x0 ∈ Γ y ~n(x0) el vector exterior a Γ en x0. Sea θ ∈ [0, π] el ángulo que forman ~F (x0)
y ~n(x0), entonces ~F (x0) · ~n(x0) ≥ 0 si θ ∈[0, π
2
], en cuyo caso ~F (x0) está dirigido hacia el
exterior de Ω; ~F (x0) · ~n(x0) < 0 si θ ∈]π
2, π]con lo que ~F (x0) está dirigido hacia el interior
8
de Ω.
La integral de línea∫
Γ~F ·~n ds, representa la circulación de ~F a lo largo de Γ. Consecuentemente,∫
Ωdiv(~F ) dx representa la circulación de ~F a lo largo de Γ.
Si ~F = ∇g, entonces ∫Ω
div(~F ) dx =
∫Ω
div(∇g) dx =
∫Ω
∆ g dx
luego, ∫Ω
∆ g dx =
∫Γ
∇g · ~n ds
El término ∇g ·~n se llama derivada normal de g con respecto a la normal en Γ y se denota con∂g∂n
= ∇g · ~n.
Teorema Fundamental del Cálculo de Variaciones
Sean Ω ⊂ R2, abierto, acotado, f : Ω→ R una función integrable en Ω si∫V
f(x) dx = 0,
para todo subconjunto medible V ⊂ Ω, entonces
f = 0, ctp de Ω
donde el término ctp de Ω quiere decir en todo Ω, excepto en un conjunto de medida de Lebesgue
nula.
Teorema Green-Gauss
Sean Ω un dominio acotado de R2 con Γ su frontera, Ω = Ω ∪ Γ y ϕ : Ω → R un campo
escalar, ~F : Ω → R2 un campo vectorial con ~F = (f, g) supongamos que∂ϕ
∂xf ,
∂ϕ
∂yg son
integrables en Ω, entonces:∫Ω
ϕ div(~F ) dx+
∫Ω
·~F dx =
∫Γ
~F · ~n ds
Si ~F = ∇u, por el teorema de Green-Gauss, se tiene:∫Ω
ϕ ∆u dx+
∫Ω
·∇ϕ · ∇u dx =
∫Γ
∇u · ~n ds
o también, ∫Ω
ϕ ∆u dx+
∫Ω
·∇ϕ · ∇u dx =
∫Γ
∂u
∂nds
9
Teorema de derivación bajo el signo de integración
Sea a, b, c, d ∈ R tales que a < b, c < d, Ω = [a, b], f una función diferenciable en
[a, b] x [c, d] tal que ∂f∂t
(x, t) integrable en [a, b]. Sea g una función denida en [c, d] de la
siguiente forma:
g(t) =
∫ b
a
f(x, t) dx, t ∈ [c, d].
Entonces g′(t) existe y es de la forma:
g′(t) =d
dt
∫ b
a
f(x, t) dx =
∫ b
a
∂f
∂t(x, t) dx, t ∈ [c, d]
Si Ω ⊂ R3 tenemos:
g(t) =
∫Ω
f(x, t) dx, (x, t) ∈ Ω x [c, d]
entonces,
g′(t) =d
dt
∫ b
a
f(x, t) dx =
∫Ω
∂f
∂t(x, t) dx, (x, t) ∈ Ω x [c, d].
Teorema del Transporte de Reynolds
Sea Ω ⊂ R2 un dominio acotado de R2 con Γ su frontera de clase C1 a trozos. Sean
T1, T2 ∈ R tales que 0 ≤ T1 < T2, y
f : Ω x [T1, T2]→ R
(x, t)→ f(x, t)
una función tal que para todo punto t ∈ [T1, T2] , f(·, t), ∂f∂t
(·, t) son integrables en Ω. Para
t ∈ [T1, T2], sea Ω(t) ⊂ Ω un volumen de control y Γ(t) su frontera. Tenemos que,
d
dt
∫Ω(t)
f(x, t) dx =
∫Ω(t)
∂f
∂t(x, t) dx+
∫Γ(t)
f(x, t) ~v · ~n ds,
donde ~v es la velocidad local de Ω(t) y ~n es el vector normal exterior a Γ(t). Se supone que la
integral de línea existe.
El teorema del transporte de Reynolds tiene la siguiente interpretación física: la rapidez de
cambio de ujo en el volumen de control es igual a la rapidez de ujo que entra en el volumen
de control más el ujo en la frontera.
Por el teorema de divergencia de Gauss, se tiene:∫Γ(t)
f(x, t) ~v · ~n ds =
∫Ω(t)
div(f~v) dx
10
con lo que,
d
dt
∫Ω(t)
f(x, t) dx =
∫Ω(t)
∂f
∂t(x, t) dx+
∫Ω(t)
div(f~v) dx
=
∫Ω(t)
[∂f
∂t+ div(f~v)
]dx.
Ecuación de Continuidad
Sea Ω(t) un volumen de control que se desplaza con una velocidad v, t ∈ [T1, T2], por lo que
la densidad del uido contenido en Ω(t) es ρ(x, t) =dm(t)
dx, de donde integrando sobre Ω(t),
tenemos:
m(t) =
∫Ω(t
dm(t) =
∫Ω(t)
ρ(x, t) dx,
por el Teorema de Transporte de Reynolds, tenemos
dm(t)
dt=
∫Ω(t)
[dρ
dt+ div(ρ~v)
]dx.
Este es un sistema conservativo, por lo cual la masa del sistema no se crea, ni se destruye; es
decir que la masa permanece constante durante todo el proceso. Esto es, dm(t)dt
= 0 para todo
t ≥ 0, es decir: ∫Ω(t)
[dρ
dt+ div(ρ~v)
]dx = 0.
Como la integral anterior es válida para cualquier volumen de control, se demuestra que:
dρ
dt+ div(ρ~v) = 0, ctp de Ω x ]T1, T2[.
En lo que sigue se escribirá:dρ
dt+ div(ρ~v) = 0, sobre ΩT
donde ΩT = Ω x ]T1, T2[.
Ecuación de Richards
La Ecuación de Richards se obtiene al reemplazar la Ley de Darcy-Buckingham en la Ecua-
ción de continuidad, de lo cual se tiene:
∂u
∂t− div(K(u)∇u) = 0 sobre ΩT .
11
La Ecuación de Richards juega un papel importante en el análisis de ujos de uidos saturados
y no saturados a través de un medio poroso. El enfoque del presente trabajo es el análisis
numérico y teórico de soluciones de estado estacionario a la ecuación de Richards en medios
heterogéneos. Por tanto, sin pérdida de generalidad, consideramos una ecuación ligeramente
modicada:
Hallar una función u : ΩT → R solución de∂
∂x
(K(x)a (u)
(∂u
∂x+ g
))= 0 sobre ΩT
+ Condiciones iniciales
+ Condiciones de frontera
(2.1)
donde u = u(x, t) , (x, t)ε [0, 2α]×[ 0,∞) para algún α > 0, K(x, t) es una función positiva
constante a trozos,
K(x, t) =
K1, si xε[0, α],
K2, si xε(α, 2α],
,
a(·) una función no lineal y g > 0 una función positiva.
12
Capítulo 3
Respecto del Análisis Funcional
Espacios Normados
Denición 3.1. Una norma en un espacio vectorial real X es una función real valuada f
denida en X que satisface las siguientes condiciones:
1. f(x) ≥ 0, ∀x ∈ X y f(x) = 0⇔ x = 0
2. f(cx) =| c | f(x), x ∈ X y c ∈ R
3. f(x+ y) ≤ f(x) + f(y), ∀x, y ∈ X
Un espacio normado es un espacio vectorial X provisto de una norma. La norma será notada
como ‖ x ‖ o cuando cabe duda alguna sobre la norma, la notación ‖ x ‖X para x ∈ X.
Una sucesión (xn)n∈N en un espacio normado X es convergente a un límite x si y solo si
limn−→∞ ‖ xn − x ‖= 0 en R. Un subconjunto S de un espacio normado X se dice denso en X
si cada x ∈ X es el límite de una sucesión de elementos de S. El espacio normado X se llama
separable si posee un subconjunto denso y contable.
Espacios de Banach. Una sucesión (xn)n∈N en un espacio normado X se llama de Cauchy
si y solo si para cada ε > 0 existe un entero N = N(ε) tal que ‖ xm − xn ‖< ε siempre que
m,n ≥ N . Decimos que X es completo y un Espacio de Banach si cada sucesión de Cauchy en
X es convergente en X. Cada espacio normado X es un espacio de Banach o un subconjunto
13
denso de un espacio de Banach Y , llamado la completación de X cuyas normas satisfacen,
‖ x ‖Y =‖ x ‖X ,∀x ∈ X.
Espacios con Producto Interno y Espacios de Hilbert. Si X es un espacio vectorial,
un funcional (· | ·)X denido en X×X llamado producto interno en X, que cumple lo siguiente
para todo x, y, z ∈ X y a, b ∈ R:
1. (x | y)X = (y | x)X
2. (ax+ by | z)X = a(x | z)X + b(y | z)X
3. (x | x)X = 0⇔ x = 0
Dotado de tal funcional, X es llamado un espacio con producto interno, y el funcional
‖ x ‖X=√
(x | x)X
es una norma en X. Si X es completo bajo esta norma, entonces X se llama un espacio de
Hilbert. Si una norma proviene de un producto interno, ésta satisface la ley del paralelogramo
‖ x+ y ‖2 + ‖ x− y ‖2= 2 ‖ x ‖2 +2 ‖ y ‖2
inversamente, si una norma en X satisface la Ley del Paralelogramo entonces proviene de un
producto interno.
Aplicaciones Lineales Continuas
Sean (X, ‖ · ‖X) y (Y, ‖ · ‖Y ) dos espacios normados. Sea T una aplicación de X en Y .
1. T se dice lineal si ∀x, y ∈ X y a, b ∈ R:
T (ax+ by) = aT (x) + bT (y)
2. El conjunto ker(T ) = x ∈ X | T (x) = 0 se llama núcleo de T y el conjunto Rec(T ) =
T (x) | x ∈ X se llama recorrido de T . Si T es lineal ambos conjuntos son subespacios
vectoriales de X e Y respectivamente.
14
3. La aplicación lineal T se dice continua si
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(‖ x− y ‖X< δ ⇒‖ T (x)− T (y) ‖Y ) < ε
Si las dimensiones de X e Y son nitas, las dimensiones del ker y Rec están relacionadas
del siguiente modo:
dim(ker(T )) + dim(Rec(T )) = dim(X).
Una aplicación lineal T es inyectiva si ker(T ) = 0 y es sobreyectiva si Rec(T ) = Y . Si la
aplicación T es biyectiva se dice invertible.
Se designa con L(X, Y ) al espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales continuas de
X en Y . En tal espacio introducimos la siguiente norma para cualquier T ∈ L(X, Y ):
‖ T ‖L(X,Y )= sup‖x‖X≤1
‖ T (x) ‖Y
con lo que este espacio se transforma en un espacio normado. Si Y es un Banach, se prueba
que L(X, Y ) es Banach.
Si se toma Y = R, al espacio L(X,R) se lo nota con X∗ y se conoce como espacio Dual de X,
donde sus elementos se denominan como funcionales lineales continuos.
Teorema 3.1 (Representación de Riesz). Sea V un espacio de Hilbert y V ∗ su espacio
Dual. Entonces para cada T ∈ V ∗ existe un único ξ ∈ V tal que
T (x) = (ξ | x);∀x ∈ V
y se tiene también
‖ T ‖V ∗=‖ ξ ‖V
Para la demostración rigurosa de estos teoremas puede consultar [9].
Espacios Lebesgue Integrables
En lo que sigue se supone el lector tiene conocimiento o está familiarizado con la Medida e
Integral de Lebesgue.
15
Nota 1.- Decimos que dos funciones reales f y g denidas en Ω un abierto de Rn, son casi
todo punto (ctp) iguales si y solo si el conjunto x ∈ Ω : f(x) 6= g(x) tiene medida nula. Esta
relación es de equivalencia y es la que permite formar clases de equivalencia sobre el conjunto
de funciones real valuadas medibles denidas sobre Ω.
Se designa por L1(Ω) el espacio de las funciones reales medibles que son módulo integrables
sobre Ω. Se escribe
‖ f ‖L1=
∫Ω
| f(x) | dx.
Cuando no hay lugar a confusión se escribe L1 en lugar de L1(Ω) e∫| f | en lugar de∫
Ω| f(x) | dx.
Denición 3.2. Sea Ω un abierto de Rn y sea 1 ≤ p <∞, se dene
Lp(Ω) = f : Ω←− R :| f |p∈ L1(Ω)
y se nota
‖ f ‖Lp=
(∫Ω
| f(x) |p dx) 1
p
Se prueba que ‖ · ‖Lp es de hecho una norma sobre Lp(Ω) y con esta norma Lp(Ω) es un
espacio de Banach. Especícamente L2(Ω) es un espacio de Hilbert con producto interno
(f | g) =
∫Ω
f(x)g(x)dx
para f y g que pertenecen a L2(Ω).
Denición 3.3. Se dene
L∞(Ω) = f : Ω −→ R : f medible y ∃C tal que | f(x) |≤ C ctp en Ω
y se nota
‖ f ‖L∞= ınf C : | f(x) |≤ C ctp en Ω
de igual forma se prueba que ‖ · ‖L∞ es una norma y el espacio L∞(Ω) con esta norma es un
Banach.
16
Notación.- Sea 1 ≤ p ≤ ∞, se dice q es el exponente conjugado de p si se cumple
1
p+
1
q= 1
o a su vez, la identidad equivalente más fácil de manejar
q =p
p− 1
Teorema 3.2 (Desigualdad de Hölder). Sean f ∈ Lp y g ∈ Lq, donde q es el exponente
conjugado de p, 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces fg ∈ L1 y∫| fg |≤‖ f ‖Lp‖ g ‖Lq
Particularmente si p=2, la desigualdad de Hölder no es sino la desigualdad de Cauchy-Schwarz
‖ fg ‖L1≤‖ f ‖L2‖ g ‖L2
Nota 2.- Es conveniente resaltar una consecuencia útil de la desigualdad de Hölder. Sean
f1, f2, · · · , fk funciones tales que
fi ∈ Lpi con1
p=
1
p1
+1
p2
+ · · ·+ 1
pk≤ 1
Entonces el producto f = f1f2 · · · fk pertenece a Lp y
‖ f ‖Lp=‖ f1 ‖Lp1‖ f2 ‖Lp
2· · · ‖ fk ‖Lp
k
En particular, si f ∈ Lp(Ω) ∩ Lq(Ω) donde 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces f ∈ Lr(Ω) para todo
p ≤ r ≤ q y se verica
‖ f ‖Lr≤‖ f ‖αLp‖ f ‖1−αLq , donde
1
r=α
p+
1− αq
Convergencia en los Espacios Lebesgue Integrables
1. Convergencia Fuerte (en norma) Sea 1 ≤ p ≤ ∞. Sean ρnn∈N ⊂ Lp(Ω), ρ ∈ Lp(Ω).
Se dice que ρn −→ ρ si n −→∞ fuertemente si
‖ ρn − ρ ‖Lp−→ 0 cuando n −→∞.
2. Convergencia Débil
17
a) Sea 1 ≤ p < ∞ y q su exponente conjugado. Sean ρnn∈N ⊂ Lp(Ω), ρ ∈ Lp(Ω). Se
dice que ρn −→ ρ si n −→∞ débilmente si ∀ψ ∈ Lq(Ω)∫Ω
ρnψdx −→∫
Ω
ρψdx cuando n −→∞
b) Sea p = ∞. Sean ρnn∈N ⊂ L∞(Ω), ρ ∈ L∞(Ω). Se dice que ρn −→ ρ si n −→ ∞
débilmente si ∀ψ ∈ L1(Ω)∫Ω
ρnψdx −→∫
Ω
ρψdx cuando n −→∞
Espacio de Distribuciones
La noción de soporte de una función es conocida como el complemento del mayor abierto
sobre el que f es idéntica a cero (ó, la clausura del conjunto x ∈ Ω : f(x) 6= 0.
De esta manera se nota como C0(Ω) el conjunto de funciones que son continuas en Ω y que
tienen soporte compacto contenido en Ω. De las nociones de topología, como Ω es un abierto,
estas funciones se interpretarán como funciones que se anulan cerca de la frontera de Ω.
Ck(Ω) designa el espacio de funciones reales k veces continuamente diferenciables sobre Ω, de
esta manera se notan los siguientes conjuntos de la forma siguiente:
C∞ = ∩kCk(Ω)
Ck0 = Ck(Ω) ∩ C0(Ω)
C∞0 = C∞(Ω) ∩ C0(Ω)
Es clara la inclusión C∞(Ω) ⊂ Ck(Ω) ⊂ C(Ω) y de un poco mayor complejidad la inclusión
de éstos en los Espacios Lp(Ω), para 1 ≤ p ≤ ∞, con sus respectivas normas; resultados de
densidad de estos que ahora llamamos subespacios vectoriales se pueden encontrar en [10].
El conjunto C∞0 se lo conoce generalmente con D(Ω), donde a alguno de sus elementos se
los denomina función test.
Denición 3.4. Sea Ω un abierto de Rn. Una distribución sobre Ω es todo funcional T lineal
y continuo sobre D(Ω). El conjunto de las distribuciones sobre Ω se designa por D′(Ω).
18
Derivación en el sentido de las Distribuciones
Sea T una distribución sobre Ω ⊂ Rn. La derivada∂T
∂xien el sentido de las distribuciones
se dene de la siguiente manera:⟨∂T
∂xi, ρ
⟩= −
⟨T,
∂ρ
∂xi
⟩, ∀ρ ∈ D(Ω).
Donde la derivada de T es claramente lineal y continua sobre D(Ω), por tanto una distribución.
Considere f ∈ C1(Ω), se denota Tf a la distribución asociada a f denida como:
〈Tf , ρ〉 =
∫Ω
fρdx , ∀ρ ∈ D(Ω).
En general α denota un multi-índice y | α | denota el orden de derivación, se tiene:
〈∂αTf , ρ〉 = (−1)|α|∫
Ω
f∂αρdx
Espacios de Sobolev
Sea Ω ⊂ Rn un abierto y sea 1 ≤ p ≤ ∞.
Denición 3.5. El espacio de Sobolev W 1,p(Ω) se dene por
W 1,p(Ω) =
u ∈ Lp(Ω)
∣∣∣∣∣∣ ∃g1, g2, · · · , gn ∈ Lp(Ω) tales que∫Ωu ∂ϕ∂xi
= −∫
Ωgiϕ , ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) con i = 1, · · · , n
Se pone
H1(Ω) = W 1,2(Ω).
Para u ∈ W 1,p(Ω) se nota
∂u
∂xi= gi y ∇u =
(∂u
∂x1
,∂u
∂x2
, · · · , ∂u∂xn
).
El espacio W 1,p(Ω) está dotado de la norma
‖ u ‖W 1,p=‖ u ‖Lp +n∑i=1
‖ ∂u∂xi‖Lp
o a veces de su norma equivalente
‖ u ‖W 1,p=
(‖ u ‖pLp +
n∑i=1
‖ ∂u∂xi‖pLp
) 1p
19
El espacio H1(Ω) está dotado del siguiente producto escalar
(u | v)H1 = (u | v)L2 +n∑i=1
(∂u
∂xi| ∂u∂xi
)L2
con su norma asociada
‖ u ‖H1=
(‖ u ‖2
L2 +n∑i=1
‖ ∂u∂xi‖2L2
) 12
Algunas propiedades importantes de los espacios de Sobolev W 1,p(Ω) son las siguientes:
1. W 1,p(Ω) es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞.
2. W 1,p(Ω) es reexivo para 1 < p <∞.
3. W 1,p(Ω) es separable para 1 ≤ p <∞.
4. H1(Ω) es un espacio de Hilbert separable.
Una breve nota que es clara es que si u ∈ C1(Ω)∩Lp(Ω) y si∂u
∂xi∈ Lp(Ω) para i = 1, 2, · · · , n,
entonces u ∈ W 1,p(Ω); además las derivadas parciales en el sentido usual coinciden con las
derivadas en el sentido de W 1,p(Ω).
Inmersiones de Sobolev
Se presentan algunos resultados que relacionan a los espacios W 1,p(Ω) con Lp(Ω), según el
Teorema de Rellich- Kondrachov [10]. Sea Ω ⊂ Rn abierto acotado y de frontera Lipschitziana.
1. Si p < n, entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), ∀q ∈ [1, p∗[ donde1
p∗=
1
p− 1
n.
2. Si p = n, entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), ∀q ∈ [1,+∞[.
3. Si p > n, entonces W 1,p(Ω) ⊂ C(Ω)
Espacios Densos en los Sobolev
Denición 3.6. Sea 1 ≤ p < ∞, W 1,p0 (Ω) designa el cierre o clausura de C1
0(Ω) en W 1,p(Ω).
Se nota
H10 (Ω) = W 1,2
0 (Ω)
20
El espacio W 1,p0 (Ω) con la norma heredada por W 1,p(Ω) es un espacio de Banach separable,
reexivo si 1 < p < ∞. H10 (Ω) es un espacio de Hilbert con el producto escalar heredado de
H1(Ω).
Las funciones de W 1,p0 (Ω) a groso modo son las que se anulan sobre la frontera de Ω.
De esta manera se dene el espacio H−1(Ω) como el espacio dual de H10 (Ω), es decir es el espacio
formado por todos los funcionales lineales y continuos denidos sobre H10 (Ω).
Funciones con valores en Espacios de Banach
Espacio de Funciones Continuas
Sea V un espacio de Banach de norma ‖ · ‖V , k > 0 y 0 < T < ∞. Ck(0, T ;V ) dene el
espacio de funciones k veces continuamente diferenciables sobre [0, T ] a valores en V . Se prueba
sin dicultad que es un espacio de Banach con norma
‖ u ‖Ck(0,T ;V )= max0≤l≤k
(sup
0≤t≤T‖ dl
dtlu(t) ‖V
).
Espacios de Lebesgue
Sea 1 ≤ p ≤ ∞, denimos Lp(0, T ;V ) el espacio de funciones de ]0, T [ en V fuertemente
medibles sobre [0, T ] para la medida dt con norma
‖ u ‖Lp(0,T ;V )=
(∫ T
0
‖ u(t) ‖pV dt).
Con la norma propuesta el espacio Lp(0, T ;V ) es un espacio de Banach.
Si V es un Hilbert con producto escalar (· | ·)V , entonces Lp(0, T ;V ) es un espacio de Hilbert
con producto escalar
(u | v)Lp(0,T ;V ) =
∫ T
0
(u(t) | v(t))V dt.
Existencia y Unicidad de Solución
La Ecuación de Richards juega un papel crucial en el análisis de uidos a través de un medio
poroso. En esta sección se estudia la ecuación de Richards en un medio heterogéneo. Lo que
21
sigue fue extraído del artículo [4].
Sin pérdida de generalidad, se considera la ligeramente modicada ecuación:
∂u
∂t=
∂
∂t
(K(x)a(u)
(∂u
∂x+ g
)), (3.1)
donde u = u(x, t), (x, t) ∈ [0, 2α] × [0,∞), para algún α > 0, K(x) una función positiva
constante a trozos,
K(x) =
K1, x ∈ [0, α]
K2, x ∈]α, 2α]
y g > 0 una constante positiva. Se asume que la nolinealidad a(u) es una función Lipschitz
absolutamente continua en R que satisface la condición de elipticidad
1
1+ | u |σ≤ a(u) ≤ 1 , u ∈ R, σ > 0 (3.2)
Se empieza con el análisis de soluciones a la ecuación de evolución anterior sujeto a las condi-
ciones de Dirichlet u(0, t) = 0;
u(2α, t) = ur;(3.3)
para t ≥ 0 y la condición inicial
(x, 0) = u0(x) ∈ L2(0, 2α). (3.4)
Es claro que si K1 6= K2, el problema de contorno (3.1)-(3.4) no posee una solución clásica
o regular u ∈ C1,2([0, 2α]× [0,∞), por el salto que implica posee la derivada.
Así, es natural preguntarse por la existencia de una solución débil, para simplicar la presenta-
ción del problema utilizamos el cambio de variable ϕ(x, t) = u(x, t)+gx y el sistema se reescribe
como
∂ϕ
∂t=
∂
∂t
(K(x)a(ϕ− gx))
∂ϕ
∂x
),
ϕ(0, t) = 0
ϕ(2α, t) = ur + 2αg = ϕr,
ϕ(x, 0) = u0(x) + gx.
(3.5)
Sea ϕ0(x) =ϕr2αx y Ω = (0, 2α).
22
De acuerdo a lo propuesto en el artículo [11] en el que se encuentra una demostración más
elaborada sobre la existencia de solución, se propone lo siguiente
Denición 3.7. Se dice que el problema anterior posee una solución débil ϕ ∈ L2(0, T ;H1(Ω))
si ∫ T
0
∫ 2α
0
(ϕ(x, t)− ϕ0(x))∂v
∂t−∫ T
0
∫ 2α
0
K(x)a(ϕ− gx)∂ϕ
∂x
∂v
∂x= 0
para todo v ∈ L2(0, T ;H10 (Ω)) tal que vr ∈ L∞([0, T ]× Ω) y v(x, T ) = 0.
Para este punto de hace uso del principal resultado expuesto en [12], el lector puede acudir
a tal artículo si busca su exposición.
Teorema 3.3. Asuma que existe c > 0 tal que
a(ϕ− gx) ≥ c, , ∀x, ϕ ∈ R
Entonces la ecuación (3.5) posee una única solución débil para cualquier intervalo de tiempo
[0, T ] , T > 0.
No se puede aplicar directamente el Teorema 3.3 pues la condición (3.2) es débil en com-
paración a la propuesta por el Teorema 3.3. De esto, surge el planteamiento del la siguiente
proposición.
Proposición 3.1. Asuma que la función a(u) satisface la condición (3.2). Entonces el proble-
ma (3.5) posee una única solución débil ϕ ∈ L2(0, T ;H1(Ω)) para cualquier intervalo de tiempo
[0, T ], T > 0.
Demostración. Para esto je una constante M > 0 y dena
aM(v) =
a(v) , si | v |< M,
a(M) , si v ≥M,
a(−M) , si v ≤ −M
23
De esta manera considere el problema siguiente:
∂ϕM∂t
=∂
∂t
(K(x)aM(ϕM − gx))
∂ϕM∂x
),
ϕM(0, t) = 0
ϕM(2α, t) = ϕr,
ϕM(x, 0) = u0(x) + gx.
(3.6)
El Teorema 3.3 garantiza la existencia y unicidad de solución ϕM para (3.6). Más aún, ϕM
satisface (3.6) con lado derecho uniforme elíptico. Así, por el principio del máximo,
sup(x,t) ∈ [0,2α]×[0,T ]
| ϕM(x, t) |≤ supx| u0(x) + gx |= c0
con c0 independiente de M . Escoja M = c0 + 2α | g | +1, note que
aM(ϕM(x, t)− gx) ≡ a(ϕM(x, t)− gx) , ∀(x, t) ∈ [0, 2α]× [0, T ]
Así, ϕM(x, t) ≡ ϕ(x, t) resuelve la ecuación (3.5).
La unicidad de ϕ(x, t) se prueba usando la misma idea. Suponga ϕ1(x, t) y ϕ2(x, t) son dos
soluciones diferentes de (3.5). Entonces ϕ1(x, t) y ϕ2(x, t) son dos soluciones distintas de (3.6)
con
M = sup(x,t) ∈ [0,2α]×[0,T ]
| ϕ1(x, t) | + sup(x,t) ∈ [0,2α]×[0,T ]
| ϕ2(x, t) | +1
lo que contradice el Teorema 3.3.
24
Capítulo 4
Análisis del problema estacionario.
Buscamos soluciones para el problema estacionario de (1.1),
∂
∂x
(K(x)a (u)
(∂u
∂x+ g
))= 0
u(0) = 0
u(2α) = ur.
(4.1)
Integrando (4.1), obtenemos:
K(x)a(u)
(∂u
∂x+ g
)≡ C, (4.2)
donde C es una constante de ujo, la cual no es conocida y que está determinada únicamente
por la condición de contorno ur.
Para la evaporación el ujo es positivo y para la inltración el ujo es negativo.
Mostraremos que el valor de C es crucial para determinar la forma que toman las soluciones
del problema (4.1).
En cuanto a la elección de la no linealidad,
a(u) =1
1 + u2, (4.3)
esta no conlleva mayor complejidad pero guarda las principales características que requiere el
problema.
Vamos a suponer que los parámetros K1, K2, α y g satisfacen la siguiente condición técnica para
reducir el número de casos a considerar,
K1
(√1 +
π2
4g2α2+
1
4
)< K2 (4.4)
25
El análisis cuando (4.4) no se tiene, se puede realizar de forma análoga al caso que se realizará
a continuación.
Para ilustrar los posibles escenarios que dependen de la elección del valor de C, tomamos los
siguientes parámetros para nuestro problema, los cuales satisfacen (4.4):
K1 = 0.5, K2 = 2, g = 2 y α = 5 (4.5)
Nos es conveniente para nuestro análisis tratar a ur como una función de C. Primero veamos
el caso crítico C = 0, entonces de (4.2) tenemos:
K(x)a(u)
(∂u
∂x+ g
)= 0 (4.6)
reemplazando (4.3) en (4.6), tenemos
K(x)1
1 + u2
(∂u
∂x+ g
)= 0
como K(x) es una función positiva constante a trozos y a(u) > 0 se tiene:
∂u
∂x+ g = 0
luego,
∂u = −g∂x
integrando esta última, ∫du = −
∫gdx
u(x) = −gx
Empleando la condición de frontera,
u(2α) = −g(2α) = ur
Así,
ur = −2gα
Ahora, de (4.2) se sigue la siguiente Proposición.
Proposición 4.1. C > 0 si y solo si ur > −2gα.
26
Demostración. Primero si C > 0 entonces,
K(x)a(u)
(∂u
∂x+ g
)= C > 0
K(x)a(u)
(∂u
∂x+ g
)> 0
a(u)
(∂u
∂x+ g
)> 0
como a(u) > 0,
∂u
∂x+ g > 0
∂u
∂x> −g
du > −g dx
integrando, ∫du >
∫−g dx
u > −gx
utilizando la condición de frontera, tenemos:
u(2α) = ur > −g(2α)
ur > −2gα
Ahora, si ur > −2gα. Por la condición de frontera,
−2αg < ur = u(2α)
luego
u(x) > −gx
derivando con respecto a x,du
dx> −g
27
du
dx+ g > 0
puesto que K(x) > 0 y a(u) > 0 tenemos,
K(x)a(u)
(∂u
∂x+ g
)> 0
Por (4.2) se concluye que,
C > 0
Luego pasamos al análisis del problema cuando C 6= 0.
En este caso podemos separar variables en (4.2). Empezamos reemplazando (4.3) en (4.2):
K(x)1
1 + u2
(du
dx+ g
)= C
1
1 + u2
(du
dx+ g
)=
C
K(x)
du
dx+ g =
C(1 + u2)
K(x)
du
dx=C(1 + u2)
K(x)− g
du
dx=
C
K(x)
(1− gK(x)
C+ u2
)
dx =du
C
K(x)
(1− gK(x)
C+ u2
)
dx =K(x)
C
1
1− gK(x)
C+ u2
du (4.7)
Notamos u1 := u1(·) := u(·) cuando x ∈ [0, α] y u2 := u2(·) := u(·) cuando x ∈ [α, 2α].
Además notamos,
φ1 = 1− gK1
Cy φ2 = 1− gK2
C.
28
Con estas notaciones y (4.7), tenemos:
dx =K1
C
(1
φ1 + u21
)du1 (4.8)
y
dx =K2
C
(1
φ2 + u22
)du2 (4.9)
Entonces mostremos a detalle los casos que se consideramos de acuerdo a las condiciones antes
mencionadas.
Caso 1. Si C < 0. Para φ1 = 1− gK1
Cse tiene, φ1 > 0, pues g > 0, K1 > 0 y C < 0.
Con esto e integrando a ambos lados (4.8) tenemos,
x =K1
C
∫1
φ1 + u21
du1 =⇒ x =K1
C
(1√φ1
arctan
(u1√φ1
)+M
).
Continuando con los cálculos se obtiene,
xC
K1
=1√φ1
arctan
(u1√φ1
)+M,
de donde si se hace,
M =K1M
C
entonces, (C
K1
)(x− M
)√φ1 = arctan
(u1√φ1
),
aplicando la función tangente a ambos lados de la ecuación, se sigue,
u1 =√φ1 tan
(C(x− M)
K1
√φ1
)
Utilizando la condición de frontera u(0) = 0, se tiene,
u1(0) := u(0) =√φ1 tan
(C(0− M)
K1
√φ1
)= 0
Luego,
tan
(C(−M)
K1
√φ1
)= 0
esto implica,
M = 0
29
Así,
u1(x) =√φ1tan
(Cx
K1
√φ1
)(4.10)
Ahora para u2 partimos integrando (4.9) y para esto tenemos que φ2 = 1− gK2
C> 0, pues
g > 0, K2 > 0 y C < 0. Entonces,
x =K2
C
∫1
φ2 + u22
du2 =K2
C
(1√φ2
arctan
(u2√φ2
)+M
)Con lo que,
xC
K2
−M =1√φ2
arctan
(u2√φ2
)Si se hace M =
k2M
C, se tiene:(
C
K2
)(x− M
)√φ2 = arctan
(u2√φ2
),
esto es,
u2 =√φ2 tan
(C(x− M)
K2
√φ2
).
Como se pide continuidad de u alrededor de α se tiene que:
u1(α) = u2(α)
es decir, √φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)=√φ2 tan
(C(α− M)
K2
√φ2
),
despejando para M y aplicando la función arc tangente, se sigue,
M = α− K2
C
1√φ2
arctan
(√φ1√φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)).
De esto,
u2 =√φ2 tan
(C√φ2
K2
(x− α +
K2
C
1√φ2
arctan
(√φ1√φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)))).
Así,
u2 =√φ2 tan
(C√φ2
K2
(x− α) + arctan
(√φ1√φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)))(4.11)
Utilizando la condición de frontera u(2α) = ur se tiene,
u2(2α) := u(2α) =√φ2 tan
(C√φ2
K2
(2α− α) + arctan
(√φ1√φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
))).
30
Entonces,
ur =√φ2 tan
(C α√φ2
K2
+ arctan
(√φ1√φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)))(4.12)
Las ecuaciones (4.10) y (4.11) imponen las restricciones naturales en C: u1 y u2 no tienen
asíntotas verticales en [0, α] y [α, 2α], respectivamente, si y solo si 0 > C > C∗1 .
Con la ecuación (4.12) tenemos una correspondencia uno a uno entre C ∈ (C∗1 , 0) y ur ∈
(−∞,−2gα) por lo cual C puede ser resuelto de forma única si damos ur.
Con los parámetros (4.5), encontramos C∗1 ≈ −0.014939. Ilustramos las soluciones de este caso
con C ≈ −0.00399 correspondientes a ur = −25 en la Fig.4.1.
Figura 4.1: Caso 1 con ur = −25
Caso 2. Si 0 < C < gK1. Para φ1 = 1− gK1
Cse tiene, φ1 < 0, pues g > 0, K1 > 0 y
C < gK1.
Integrando ambos lados de (4.8) se tiene,
x =K1
C
∫1
φ1 + u21
du1 =⇒ x =K1
C
(−1√−φ1
arctanh
(u1√−φ1
)+M
).
Continuando con los cálculos se obtiene,(C
K1
)(x− K1M
C
)=−1√−φ1
arctanh
(u1√−φ1
)
Haciendo M =k1M
C, (
− C
K1
)(x− M
)√−φ1 = arctanh
(u1√−φ1
).
31
De donde despejando para u1 y aplicando tangente hiperbólica se sigue,
u1 = −√−φ1 tanh
(C(x− M)
K1
√−φ1
).
Empleando la condición de frontera u(0) = 0, se tiene,
u1(0) := u(0) = −√−φ1 tanh
(C(0− M)
K1
√−φ1
)= 0,
de esto se sigue,
tanh
(C(−M)
K1
√−φ1
)= 0⇐⇒ M = 0
Entonces,
u1(x) = −√−φ1 tanh
(Cx
K1
√−φ1
). (4.13)
Nótese que para u2(x) se tiene que φ2 = 1− gK2
C, de lo cual se tiene dos opciones:
1. Si φ2 > 0 entonces 1− gK2
C> 0 que implica 1 >
gK2
C, esto es C > gK2 como tenemos
gK1 > C entonces gK1 > C > gK2 implica K1 > K2.
2. Si φ2 < 0 entonces se tiene 1− gK2
C< 0, esto es, C < gK2 lo cual nos lleva nuevamente
a dos opciones,
a) Si K1 < K2 entonces se tiene C < gK1 < gK2
b) Si K2 < K1 se sigue C < gK2 < gK1
Pero se descartan las opciones 1 y b pues nuestros parámetros deben cumplir la condición (4.4),
es decir tenemos que φ2 < 0. Con esto e integrando (4.9), se tiene
x =K2
C
∫1
φ2 + u22
du2 =K2
C
(−1√−φ2
arctanh
(u2√−φ2
)+M
).
Reemplazando M =k2M
C, se tiene(− C
K2
)(x− M
)√−φ2 = arctanh
(u2√−φ2
),
aplicando tangente hiperbólica se tiene,
u2 = −√−φ2 tanh
(C(x− M)
K2
√−φ2
).
32
Ahora, como necesitamos la continuidad de u alrededor de α tenemos que u1(α) = u2(α), así,
−√−φ1 tanh
(Cα
K1
√−φ1
)= −
√−φ2 tanh
(C(α− M)
K2
√−φ2
)
aplicando la función arc tangente hiperbólica se tiene
arctanh
(√−φ1√−φ2
tanh
(Cα
K1
√−φ1
))=C(α− M)
K2
√−φ2,
de donde despejando para M ,
M = α− K2
C
1√−φ2
arctanh
(√−φ1√−φ2
tanh
(Cα
K1
√−φ1
)).
De esto,
u2 = −√−φ2 tanh
(C√−φ2
K2
(x− α) + arctanh
(√φ1√φ2
tanh
(Cα
K1
√−φ1
))). (4.14)
Utilizando la condición de frontera u(2α) = ur tenemos,
u2(2α) := u(2α) = −√−φ2 tanh
(C√−φ2
K2
(2α− α) + arctanh
(√φ1√φ2
tanh
(Cα
K1
√−φ1
)))Entonces,
ur = −√−φ2 tanh
(C α√−φ2
K2
+ arctanh
(√φ1√φ2
tanh
(Cα
K1
√−φ1
))). (4.15)
Al igual que en el Caso 1, la ecuación (4.15) nos proporciona una correspondencia uno a uno
entre C ∈ (0, gK1) y ur ∈ (−2αK1, ur(gK1)). Con nuestros parámetros (4.5), ur(gK1) ≈ −1.73,
y lo ilustramos en la Fig.4.2
33
Figura 4.2: Caso 2 con ur = 10
Caso 3. Si C = gK1. Entonces φ1 = 1− gK1
C= 1− gK1
gK1
= 0.
Con esto e integrando (4.8) se tiene,
x =K1
C
∫1
φ1 + u21
du1 ⇐⇒ x =K1
C
∫1
u21
du1
esto es,
xC
K1
−M = − 1
u1
⇐⇒ u1 = − K1
C(x− M).
Empleando la condición de frontera u(0) = 0. Esto es, u1(0) := u(0) = 0 que implica,
K1 = 0.
De donde,
=⇒ u1(x) = 0 (4.16)
Ahora para u2. Como C = gK1 , φ2 = 1− gk2
C= 1− gK2
gK1
= 1− K2
K1
, se tiene,
a) Si K2 < K1, φ2 > 0.
b) Si K2 > K1, φ2 < 0.
Ya que nuestros parámetros deben cumplir la condición (4.4) descartamos a), por lo tanto
se tiene φ2 < 0. Con esto e integrando (4.9) se tiene,
x =K2
C
∫1
φ2 + u22
du2 =K2
C
(−1√−φ2
arctanh
(u2√−φ2
)+M
)34
con lo que si se reemplaza M =K2M
C, se tiene,(
−√−φ2
C
K2
)(x− M
)= arctanh
(u2√−φ2
).
Aplicando tangente hiperbólica y despejando u2 se tiene,
u2 = −√−φ2 tanh
(C(x− M)
K2
√−φ2
).
Ahora, como necesitamos la continuidad de u alrededor de α tenemos que u1(α) = u2(α) así,
0 = −√−φ2 tanh
(C(α− M)
K2
√−φ2
)
Como φ < 0 y aplicando la arc tangente hiperbólica se sigue
0 =C(α− M)
K2
√−φ2
lo que implica, M = α.
Luego,
u2 = −√−φ2 tanh
(C√−φ2
K2
(x− α)
)Como además supusimos que C = gK1 se tiene de
u2 = −
√−(
1− gK2
C
)tanh
(C
K2
√−(
1− gK2
C
)(x− α)
),
que
u2(x) = −√K2
K1
− 1 tanh
(gK1
K2
√K2
K1
− 1 (x− α)
)(4.17)
Por la condición de frontera u(2α) = ur se tiene
ur = −√K2
K1
− 1 tanh
(gK1
K2
α
√K2
K1
− 1
)(4.18)
Con los parámetros (4.5) obtenemos ur ≈ −1.73. Caso ilustrado en la Fig.4.3.
Nota 1. Tenemos las siguientes integrales inmediatas:∫1
1− x2dx = arc tanh (x), | x |< 1∫
1
1− x2dx = arc coth (x), | x |> 1
35
Figura 4.3: Caso 3 con ur ≈ −1.73
Nota 2. Para los siguientes casos tomaremos en cuenta la siguiente deducción. Supongamos
φ1 > 0 esto con C > gK1. De (4.9) se sigue,
x =K2
C
∫1
φ2 + u22
du2,
ahora el caso cuando φ2 > 0 fue analizado en el Caso 1, por lo que analizaremos el caso cuando
φ2 < 0.
Si φ2 < 0 =⇒ −φ2 > 0 así,
x = −K2
C
1
−φ2
∫1
1− u22
−φ2
du2,
lo que implica,
x = −K2
C
1√−φ2
∫ 1√−φ2
1−(
u2√−φ2
)2 du2 (4.19)
por la Nota 1, se analizarán los casos
Si
∣∣∣∣ u2(x)√−φ2
∣∣∣∣ < 1. (Caso 4)
Si
∣∣∣∣ u2(x)√−φ2
∣∣∣∣ > 1. (Caso 6)
36
Adicionalmente, se requiere la continuidad de u en α es decir, u1(α) = u2(α).
Caso 4. Si C > gK1 y si
∣∣∣∣ u2(x)√−φ2
∣∣∣∣ < 1, esta última con el requerimiento de continuidad
en α se convierte en, √φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)<√−φ2. (4.20)
Para φ1 = 1− gK1
Cse tiene que φ1 > 0 y procedemos igual que en el Caso 1, obteniendo,
u1 =√φ1 tan
(Cx
K1
√φ1
)(4.21)
Ahora para u2 partimos de (4.19) tomando en cuenta la condición (4.20) y la Nota 1, se tiene,
x =K2
C
(−1√−φ2
arctanh
(u2√−φ2
)+M
),
de donde haciendo M =K2M
Cse tiene(
− C
K2
)(x− M
)√−φ2 = arctanh
(u2√−φ2
),
aplicando la función tangente hiperbólica y despejando para u2, se sigue
u2 = −√−φ2 tanh
(C(x− M)
K2
√−φ2
).
Ahora, como se necesita la continuidad de u alrededor de α tenemos que u1(α) = u2(α) así,
√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)= −
√−φ2 tanh
(C(α− M)
K2
√−φ2
)
aplicando arc tangente hiperbólica, se tiene
arctanh
( √φ1
−√−φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
))=C(α− M)
K2
√−φ2
nalmente,
M = α− K2
C
1√−φ2
arctanh
( √φ1
−√−φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)).
De esto,
u2 = −√−φ2 tanh
(C√−φ2
K2
(x− α)− arctanh
(√−φ1
φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)))(4.22)
37
Figura 4.4: Caso 4 con ur = 0
Utilizando la condición de frontera u(2α) = ur se tiene,
u2(2α) := u(2α) = −√−φ2 tanh
(C√−φ2
K2
(2α− α)− arctanh
(√−φ1
φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)))
Lo que implica,
ur = −√−φ2 tanh
(C α√−φ2
K2
− arctanh
(√−φ1
φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)))(4.23)
Con los parámetros (4.5) y la condición (4.20) tenemos C < 1.0216096; y como un argumento
anterior, existe una biyección ahora entre C ∈ (1, 1.0216096) y ur ∈ (−1.73, 1.71). Se ilustra el
resultado para C = 1.02160895 en la Fig. 4.4.
Caso 5. Si C > gK1 y tomando el caso crítico en el que
√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)=√−φ2 (4.24)
Nuevamente como C > gK1 se tiene φ1 > 0 y
u1 =√φ1 tan
(Cx
K1
√φ1
)(4.25)
38
Para u2 reemplazamos (4.24) en (4.19) y hallando la anti derivada se tiene
x = −K2
C
1√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)arctanh
u2√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)+M
dejando libre la arc tangente hiperbólica y haciendo M =
K2M
C√φ1tan(Cα
K1
√φ1)
, se tiene
−CK2
√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)(x− M
)= arctanh
u2√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
) .
Así,
u2 =√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)tanh
(−CK2
√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)(x− M
)).
Por la continuidad de u en α se requiere, u1(α) = u2(α). Esto es,
1 = tanh
(−CK2
√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)(α− M
)).
De donde se tiene,
tanh
(−CK2
√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)(α− M
))→ 1, mientras M → +∞.
Así, con M → +∞ se tiene,
u2 =√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)Utilizando la condición (4.24),
=⇒ u2(x) =√−φ2 (4.26)
Con los parámetros (4.5), u2 ≡ ur ≈ 1.71, caso ilustrado en la Fig.4.5.
Caso 6. Si C < gK1 y si
∣∣∣∣ u2(x)√−φ2
∣∣∣∣ > 1, ésta última con el requerimiento de continuidad de
u en α se convierte en, √φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)>√−φ2. (4.27)
Para φ1 = 1− gK1
Cse tiene que φ1 > 0 y procedemos igual que en el Caso 1, obteniendo,
u1 =√φ1 tan
(Cx
K1
√φ1
)(4.28)
39
Figura 4.5: Caso 5, con ur = 1.71
Ahora para u2 partimos de (4.19) tomando en cuenta la condición (4.27) y la Nota 1, se
tiene
x = −K2
C
1√−φ2
∫ 1√−φ2
1−(
u2√−φ2
)2 du2
de donde despejando e integrando se tiene,
xC
K2
−M =−1√−φ2
arccoth
(u2√−φ2
)
haciendo M =K2M
C, se tiene(
− C
K2
)(x− M
)√−φ2 = arccoth
(u2√−φ2
)aplicando cotangente hiperbólica y despejando para u2, se sigue
u2 = −√−φ2 coth
(C(x− M)
K2
√−φ2
).
Ahora, como se requiere la continuidad de u alrededor de α, esto es, se tiene u1(α) = u2(α) así,
√φ1 tan
(Cα
K1
√φ1
)= −
√−φ2 coth
(C(α− M)
K2
√−φ2
)
aplicando arc cotangente hiperbólica y despejando para M , se sigue
M = α− K2
C
1√−φ2
arccoth
( √φ1
−√−φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)).
40
Figura 4.6: Caso 6, con ur = 10.
Luego, con esto
u2 = −√−φ2 coth
(C√−φ2
K2
(x− α) + arccoth
( √φ1
−√−φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
))).
Así,
u2 = −√−φ2 coth
(C√−φ2
K2
(x− α)− arccoth
(√−φ1
φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)))(4.29)
Utilizando la condición de frontera u(2α) = ur se tiene,
u2(2α) := u(2α) = −√−φ2 coth
(C√−φ2
K2
(2α− α)− arccoth
(√−φ1
φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)))
ur = −√−φ2 coth
(C α√−φ2
K2
− arccoth
(√−φ1
φ2
tan
(Cα
K1
√φ1
)))(4.30)
Las ecuaciones (4.28) y (4.29) implican que C < C∗2(K1, K2, g, α). Con los parámetros
(4.5), tenemos C∗2 = 1.0216104. Y se tiene una biyección entre C ∈ (1.0216096, 1.0216104) y
ur ∈ (1.71,+∞).
Este caso se ilustra en la Fig.4.6.
41
Capítulo 5
Discretización
Método de Volúmenes Finitos
El método de volúmenes nitos nos permite discretizar y a su vez resolver numéricamente
ecuaciones diferenciales. Es otro método utilizado al igual que diferencias nitas y elementos
nitos. La discretización que utilizan los esquemas numéricos en diferencias nitas consideran
el valor de las variables en puntos concretos de la malla espacial. En cambio, en volúmenes
nitos se construye en torno a cada punto de la malla un volumen de control que no se traslapa
con los de los puntos vecinos. Integrando la ecuación diferencial sobre cada volumen de control
nos da como resultado una forma discretizada de dicha ecuación.
El método de volúmenes nitos permite que se pueda adaptar fácilmente las discretizaciones a
dominios con formas arbitrarias, mientras que con diferencias nitas al no tener mallas unifor-
mes se obtienen esquemas muy complicados.
Una propiedad importante del Método de Volúmenes Finitos es que los principios de conserva-
ción de masa, momentum y energía, que son el fundamento de la modelación matemática para
la mecánica del continuo, son respetados por las ecuaciones obtenidas al aplicar el método de
volúmenes nitos. Este método no se limita únicamente a problemas en mecánica de uidos y
en general realiza los siguientes pasos:
Descomponer el dominio en volúmenes de control.
Formular ecuaciones integrales de conservación para cada volumen de control.
Aproximar numéricamente las integrales.
42
Figura 5.1: Esquema Explícito
Aproximar los valores de las variables en las caras y las derivadas con la información de
las variables nodales.
Ensamblar y resolver el sistema algebraico obtenido.
Los esquemas explícitos son aquellos en los que se realiza el cálculo de variables en un
determinado instante t tan solo con los valores de las variables en el instante anterior t − 1.
Cada punto del dominio espacial (o volumen nito) se calcula independientemente de los demás,
como se puede ver en la Fig.5.1.
Por otro lado, un esquema implícito evalúa las variables dependientes en el instante t + 1
a partir de los valores en puntos adyacentes al cálculo en el instante anterior t, pero también
en el instante t + 1. La resolución de un punto del espacio en un instante implica los valores
en otros puntos del espacio en el mismo instante, por lo que se debe resolver en cada paso de
tiempo un sistema de ecuaciones que engloba todas las variables en todos los puntos del espacio
en el instante t+ 1.
Los esquemas explícitos tiene un coste computacional pequeño en cada paso de tiempo pero pa-
ra ser estables es necesario trabajar con incrementos de tiempo también pequeño. Los esquemas
implícitos tienen la ventaja sobre los esquemas explícitos que son incondicionalmente estables,
aunque a veces por las condiciones iniciales puede ser difícil de conseguir. Nosotros realizaremos
un esquema de volumen nito explícito para la ecuación modicada de Richards. Este en térmi-
nos de estabilidad es más restrictivo que el esquema implícito, el cuál es más usado para resolver
la ecuación de Richards en estado estable. Sin embargo, para simplicar el análisis teórico de
la monotonía usamos el esquema explícito siempre que garanticemos su estabilidad. Dado que
43
el tamaño de la malla es, para N = 384 particiones del dominio, h =10
N − 1, el número de
Courant ν para la malla más na, satisface las condiciones sucientes para la estabilidad:
ν := max| K(x)a(u(x)) | τh2≈ 0.295 <
1
2
Entonces, el esquema numérico explícito (5.2) es estable para todo N ≤ 384.
Discretización espacial y temporal
Partimos de la ecuación unidimensional modicada de Richards:
∂u
∂t=
∂
∂x
(K(x)a (u)
(∂u
∂x+ g
))sobre [0, 2α]× [0, T ]
u(0, t) = 0
u(2α, t) = ur
u(0, x) = 0
(5.1)
Primero discretizamos la variable temporal para ello jamos M el número de divisiones en el
tiempo y denimos ht =T
Mcon lo que se obtiene tm = m · ht, con m = 0, 1, 2, . . . ,M , con esto
la discretización temporal es t0 = 0, t1, t2, . . . , tM = T, como se muestra en la siguiente gura:
Figura 5.2: Discretización en la variable temporal.
Con esta malla temporal hacemos una aproximación mediante diferencias nitas de la deri-
vada temporal∂u
∂t,
∂u
∂t=um+1 − um
ht
donde um = u(x, tm). Así, nuestro problema discretizado en la variable temporal queda,
um+1 − um
ht=
∂
∂x
(Km(x)am(u(x))
(∂um
∂x+ gm
))44
Figura 5.3: Discretización en la variable espacial
Ahora discretizamos la variable espacial para ello jamos N en número de divisiones en el espa-
cio y denimos hx =−2α
Nluego xn = x0 +n ·hx con lo que tenemos una malla tipo volúmenes
nitos que está descrita por el conjunto de nodos N = xn | n = 0, 1, 2, · · · , N − 1 = x0 =
−2α, x1, x2, · · · , xN = 0.
Integramos a ambos lados en el volumen de control(xn+ 1
2, xn+ 1
2
),
xn+ 12∫
xn− 12
um+1 − um
htdx =
xn+ 12∫
xn− 12
∂
∂x
(Km(x)am(u(x))
(∂um
∂x+ gm
))dx
Por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo y el Teorema de la Divergencia de Gauss,
um+1n − umn
hthx =
(Km(x)am(u(x))
(∂um
∂x+ gm
))∣∣∣∣xn+12
xn− 1
2
donde umn := u(xn, tm).
Notaremos K = K(x)a(u(x)) como el coeciente de transmisibilidad.
um+1n − umn
hthx = K
mxn+1
2
(∂um
n+ 12
∂x+ gm
)− Kmx
n 12
(∂um
n 12
∂x+ gm
).
El esquema de volumen nito necesita la denición de los coecientes de transmisibilidad Kmn+ 12
y Kmn− 12, los cuales son básicamente las aproximaciones del término no lineal K(x)a(u(x, tm))
para los puntos xn+ 12
:= xn +ht2y xn− 1
2:= xn−
ht2respectivamente. La elección de estas apro-
ximaciones son determinantes, ya que esto establece las propiedades que va a tener el esquema.
Para nuestro análisis se van a probar las siguientes opciones de Kmn+ 12dadas en la Tabla 5.1.
45
Nombre Símbolo Fórmula
Promedio armónico H Kmn+ 1
2= 2
K(xn)K(xn+1)a(umn+1)a(umn )
K(xn+1)a(umn+1)+K(xn)a(umn )
Promedio aritmético A Kmn+ 1
2=
K(xn+1)a(umn+1))+K(xn)a(umn )
2
Armónico en K, aritmético en a HA Kmn+ 1
2= K(xn)K(xn+1)
K(xn)+K(xn+1)(a(umn+1) + a(umn ))
Armónico en K, upwind en a HU Kmn+ 1
2= 2K(xn)K(xn+1)
K(xn)+K(xn+1)a(umn )
Armónico en K, punto medio en a HMP Kmn+ 1
2= 2K(xn)K(xn+1)
K(xn)+K(xn+1)a(
umn +umn+1
2)
Tabla 5.1: Coecientes de Transmisibilidad
Hacemos una aproximación mediante diferencias nitas de las siguientes derivadas,
∂umn+ 1
2
∂x=umn+1 − umn
hx,
∂umn− 1
2
∂x=umn − umn−1
hx
Reemplazando esto en nuestra discretización, obtenemos,
um+1n − umn
ht=
1
hx
[Kmn+ 1
2
(umn+1 − umn
hx+ gm
)− Kmn− 1
2
(umn − umn−1
hx+ gm
)]Puesto que g no depende del tiempo y reordenando los términos,
um+1n =
hthx
[Kmn+ 1
2
(umn+1 − umn
hx+ g
)− Kmn− 1
2
(umn − umn−1
hx+ g
)]+ umn (5.2)
Algoritmo computacional
DATOS DE ENTRADA: T , L = 2α ,M ,N , g , uo , uL , uT
Ht←− T
M
Hx←− L
NU = zeros(N + 1,M + 1)
u(1, :) = u0
u(L+ 1, :) = uL
u(2 : L, :) = uT
46
Para j = 2:M+1
Para i = 2:N
U(i, j) =
(Ht
Hx
)[Kmn+ 1
2
(U(i+ 1, j − 1)− U(i, j − 1)
Hx+ g
)
− Kmn− 12
(U(i, j − 1)− U(i− 1, j − 1)
Hx+ g
)]+ U(i, j − 1)
Fin del Para
Fin del Para
Observación La diferencia entre la solución numérica del problema estacionario (4.1) y la
solución numérica de la ecuación de evolución (1.1) para T = 500 es despreciable. Para vericar
esto, el esquema (5.2) ha sido probado para T = 1000 y T = 2000 en [4]. Y la diferencia entre
las soluciones obtenidas fueron demasiado pequeñas para ser detectadas en los primeros seis
dígitos signicativos.
Cabe mencionar que en el presente trabajo no fue posible realizar las pruebas con T = 1000
y T = 2000 pues se necesita una mayor capacidad de almacenamiento de la computadora
empleada, pero se hace referencia a la publicación citada anteriormente, [4].
Exactitud de los esquemas de volumen nito
Mediante la implementación del programa computacional y utilizando los parámetros (4.5),
podemos notar que cuanto mayor es el valor de g, más pronunciados son los gradientes de las
soluciones; entonces, la malla más na es necesaria para resolver el problema con precisión.
La Tabla 5.2 ilustra las normas l2 y l∞ de errores para g = 2,
‖ y ‖l∞ := max1≤i≤n
| yi | y ‖ y ‖l2 :=
(1
n
n∑i=1
y2i
) 12
donde y ∈ R es un vector de error.
Note que los esquemas HU y A son precisos únicamente para primer orden, mientras que los
esquemas HU, HA y HMP proporcionan una precisión de segundo orden. El esquema HMP
es el más preciso en ambas normas l2 y l∞.
47
Esquema Norma N = 24 N = 36 N = 48 N = 96 Precisión
H l2 1.2 x 10−2 3.37 x 10−3 8.72 x 10−4 2.19 x 10−4 2
l∞ 8.11 x 10−2 3.15 x 10−2 1.03 x 10−2 3.03 x 10−3 2
A l2 3.87 x 10−2 1.95 x 10−2 9.57 x 10−3 4.69 x 10−3 1
l∞ 2.39 x 10−1 1.47 x 10−1 8.28 x 10−2 4.39 x 10−2 1
HA l2 5.97 x 10−3 1.73 x 10−3 4.85 x 10−4 1.29 x 10−4 2
l∞ 3.59 x 10−2 1.15 x 10−2 3.22 x 10−3 9.01 x 10−4 2
HU l2 4.81 x 10−2 2.60 x 10−2 1.38 x 10−2 7.16 x 10−3 1
l∞ 1.49 x 10−1 8.76 x 10−2 4.87 x 10−2 2.60 x 10−2 1
HMP l2 3.71 x 10−3 1.08 x 10−3 2.77 x 10−4 6.93 x 10−5 2
l∞ 2.06 x 10−2 8.21 x 10−3 2.63 x 10−3 7.60 x 10−4 2
Tabla 5.2: Normas l2 y l∞ de error para los esquemas de Volumen Finito (5.2) with g = 2.
48
Capítulo 6
Monotonía y Precisión
La pérdida de monotonía se ilustra en las Figuras 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 y 6.5.
Figura 6.1: Esquema H.
49
Figura 6.2: Esquema A.
Figura 6.3: Esquema HA.
50
Figura 6.4: Esquema HU.
Figura 6.5: Esquema HMP.
Adicionalmente, vemos que los gradientes empinados están resueltos con relativa precisión
por los esquemas A,HA, y HMP en una malla de 36 puntos. La resolución con el esquema H
51
requiere 48 puntos.
El esquema upwind (HU), tiene únicamente precisión de primer orden, mientras que los esque-
mas H, HA, y HMP proporcionan precisión de segundo orden. Como se puede notar para
algunas mallas se resuelve el problema de monotonía pero la precisión de estos es de primer
orden.
En la siguiente sección se desarrolla un criterio que nos permita formular un esquema de
volumen nito monótono adaptado.
Condiciones necesarias y sucientes para monotonía
Obtendremos condiciones sucientes y necesarias para obtener una solución discreta monó-
tona del problema estacionario (4.1) en el intervalo [0, α]. El análisis para el intervalo [α, 2α] se
realiza análogamente.
En lo que sigue, asumimos que la no linealidad a(u) ∈ C1(R) y es una función no creciente de
u, es decirda
du≤ 0.
Se puede obtener en el caso general una condición técnicamente más complicada. Cabe men-
cionar que en la mayoría de casos a(·) es no creciente, por ejemplo,
a(u) =
1
1 + u2, si u > 0,
1, si u ≤ 0.
Al discretizar (1.1) obtuvimos (5.2). Ahora, la discretización de volumen nito para el problema
estacionario es:
Kn+ 12
(un+1 − un
hx+ g
)− Kn− 1
2
(un − un−1
hx+ g
)= 0
de donde,1
hx
[Kn+ 1
2(un+1 − un + g hx)− Kn− 1
2(un − un−1 + g hx)
]= 0
esto es,
Kn+ 12
(un+1 − un + g hx) = Kn− 12
(un − un−1 + g hx) (6.1)
Buscamos Kn+ 12y Kn− 1
2en [0, α] de la siguiente manera:
Kn+ 12
= K(x) a(u(x))∣∣∣xn+ 1
2
52
Trabajando en [0, α] tenemos:
Kn+ 12
= K1 a(u(x))∣∣∣xn+ 1
2
Para cada xn vamos a tener un valor de a(u(xn)), como se muestra en la Figura 6.6 e introdu-
cimos la siguiente notación: a(u(xn)) := an , a(u(xn−1)) := an+1 y a(u(xn−1)) := an−1.
Figura 6.6: Suma Convexa
Entonces,
Kn+ 12
= K1 (λ an + (1− λ) an+1) con λ ε [0, 1], (6.2)
y
Kn− 12
= K1 (λ an−1 − (1− λ) an) con λ ε [0, 1]. (6.3)
Denición 6.1. La discretización (6.1) es llamada monótona en el intervalo [0, α] si alguna
solución discreta que satisface (6.1) tiene la siguiente propiedad:
min un−1, un+1 ≤ un ≤ máx un−1, un+1. (6.4)
Proposición 6.1. La discretización (6.1) con Kn+ 12
y Kn− 12dados por (6.2) y (6.3) es monó-
tona para cualquier malla de tamaño h si y solo si λ = 1.
Demostración. La condición (6.4) es equivalente a dos condiciones:
Si un−1 ≤ un ⇒ un ≤ un+1 (6.5)
Si un−1 ≥ un ⇒ un ≥ un+1. (6.6)
53
Primera Parte
Supongamos que un−1 ≤ un. Entonces, de (6.3) tenemos,
Kn− 12
(un − un−1 + g hx) = K1 (λ an−1 + (1− λ) an)(un − un−1 + ghx)
= K1 (λ (an−1 − an) + an) (un − un−1 + ghx).
Como,
un−1 ≤ un =⇒ a(un−1) ≥ a(un) pues a es no creciente
=⇒ an−1 ≥ an
=⇒ an−1 − an ≥ 0
con esto podemos escribir,
K1 (λ (an−1 − an) + an) (un − un−1 + ghx) ≥ K1an (un − un−1 + ghx).
Además como un−1 ≤ un ⇒ 0 ≤ un − un−1, se tiene,
K1an(un − un−1 + ghx) ≥ K1 an g hx.
Es decir,
K1 (λ (an−1 − an) + an)(un − un−1 + ghx) ≥ K1 an g hx. (6.7)
De (6.1) y (6.7) tenemos,
Kn− 12(un+1 − un + ghx) ≥ K1 an g hx
=⇒ K1 (λ an + (1− λ) an+1)(un+1 − un + ghx) ≥ K1 an g hx
=⇒ K1 (λ (an − an+1) + an+1)(un+1 − un + ghx) ≥ K1 an g hx. (6.8)
Caso 1. Si λ = 1
Tenemos,
K1 (an − an+1 + an+1)(un+1 − un + ghx) ≥ K1 an g hx
=⇒ K1 an(un+1 − un) ≥ 0
54
de donde,
un+1 ≥ un
Caso 2. Si 0 < λ < 1.
Por el Teorema del Valor Medio se tiene,
a(un+1)− a(un) =da
du(θn)(un+1 − un), θn ε [un, un+1]
a(un+1) =da
du(θn)(un+1 − un) + a(un)
an+1 =da
du(θn)(un+1 − un) + an
Así de (6.7) se sigue,
K1
[λ
(an −
da
du(θn)(un+1 − un)− an
)+da
du(θn)(un+1 − un)
+an] (un+1 − un + ghx) ≥ K1 an g hx.
Entonces,
K1
[(1− λ)
(da
du(θn)(un+1 − un)
)+ an
](un+1 − un + ghx) ≥ K1anghx
Llamemos Q = (1−λ )da
du(θn)(un+1−un) + an, entonces de K1Q(un+1−un + ghx) ≥ K1anghx,
se tiene,
K1Q(un+1 − un) +K1 Q g hx ≥ K1 an g hx
Reemplazando Q en el segundo sumando,
K1Q (un+1 − un) +K1
[(1− λ)
(da
du(θn)(un+1 − un)
)+ an
]g hx ≥ K1 an g hx,
esto es,
K1 Q (un+1 − un) +K1 (1− λ)da
du(θn)(un+1 − un) g hx ≥ 0.
Llamemos u = un+1 − un y reemplazando Q
K1
[(1− λ)
da
du(θn) u+ an
]u+K1 (1− λ)
da
du(θn) u g hx ≥ 0,
que implica,
K1(1− λ)da
du(θn) u2 + u
(K1 an +K1 (1− λ)g hx
da
du(θn)
)≥ 0
55
Notemos,
A = K1(1− λ)da
du(θn)
y
B = K1an +K1(1− λ)g hxda
du(θn)
Con lo anterior se obtiene,
Au2 + Bu ≥ 0
Si A = 0 implica B u ≥ 0
Como se quiere u ≥ 0 entonces se debe tener B ≥ 0. Es decir,
K1(1− λ)da
du(θn) g hx +K1 an ≥ 0.
Si A 6= 0, analizamos lo siguiente.
Como a es no creciente entoncesda
du≤ 0 además K1 > 0 , (1− λ) > 0 con esto
K1 (1− λ)da
du(θn) ≤ 0 es decir A < 0.
Las raíces de Au2 + Bu ≥ 0 serían, u(A u + B) = 0 que equivale a u = 0 ó la raíz
u =−BA
.
De la última raíz tenemos dos opciones:
• Si −BA≥ 0 =⇒ u ε [0, −B
A] Ver Figura 6.7
• Si −BA≤ 0 =⇒ u ε [−B
A, 0], ver Figura 6.8.
Descartamos la segunda opción pues queremos u ≥ 0 es decir (un+1 − un) ≥ 0
entonces−BA≥ 0, como A < 0 implica que B ≥ 0.
Es decir,
K1 an +K1 (1− λ)g hxda
du(θn) ≥ 0. (6.9)
56
Figura 6.7: Si −BA≥ 0.
Figura 6.8: Si −BA≤ 0.
Así, sin perdida de generalidad asumimos K1 = 1. Entonces, (6.9) toma la forma:
an + (1− λ)g hxda
du((θn) ≥ 0
Recuperando la notación establecida anteriormente tenemos,
a(un) + (1− λ)g hxda
du((θn) ≥ 0 (6.10)
Además se tiene u ∈ [0, −BA
], esto es:
u ∈
0, − an
(1− λ)da
du(θn)
− g hx
.57
Que implica,
0 ≤ u ≤ − an
(1− λ)da
du(θn)
− g hx
La misma que con la notación establecida es,
0 ≤ u ≤ − a(un)
(1− λ)da
du(θn)
− g hx. (6.11)
Asuma ahora que un−1 ≥ un. Repitiendo los cálculos hechos anteriormente, podemos concluir
como antes que si λ = 1, (6.6) se mantiene para algún hx.
Si λ < 1, llegamos a una desigualdad similar,
K1(1− λ)da
du(θn) u2 + u
(K1 an +K1 (1− λ)g hx
da
du(θn)
)≤ 0.
Si∂a(θn)
∂u= 0, la desigualdad (6.6) se mantiene.
De lo contrario, se puede garantizar que (6.6) se mantiene si:
a(un) + (1− λ)∂a(θn)
∂ug hx ≥ 0;
| un+1 − un |≤ −a(un)
(1− λ)∂a(θn)
∂u
.
(6.12)
Corolario 6.1. La condición (6.10) es la condición necesaria para que la discretización sea
monótona. Las condiciones (6.12) son las condiciones sucientes para que la discretización sea
monótona.
Las condiciones (6.12) permiten desarrollar un esquema de volumen nito adaptado para (1.1).
Que se construye como sigue:
En la práctica, para cada n = 1, · · · , N − 1,con λ = 12promedio artimético y θn = un para
n− 1, n y n+ 1 se verican las condiciones (6.12).
Lo cual nos lleva a considerar los siguientes cuatro casos.
1. Si las condiciones (6.12) se mantienen para n− 1, n y n+ 1 tomar
Kn+ 12
=K(xn)K(xn+1)
K(xn) +K(xn+1)(a(un+1) + a(un)),
Kn− 12
=K(xn)K(xn−1)
K(xn) +K(xn−1)(a(un−1) + a(un)).
58
2. Si las condiciones (6.12) fallan para n− 1 pero se mantienen para n y n+ 1 tomar
Kn+ 12
=K(xn)K(xn+1)
K(xn) +K(xn+1)(a(un+1) + a(un)),
Kn− 12
= 2K(xn)K(xn−1)
K(xn) +K(xn−1)(a(un−1).
3. Si las condiciones (6.12) se mantienen para n− 1 y n pero falla para n− 1 tomar
Kn+ 12
= 2K(xn)K(xn+1)
K(xn) +K(xn+1)a(un)),
Kn− 12
=K(xn)K(xn−1)
K(xn) +K(xn−1)(a(un−1) + a(un)).
4. En todas las otras posibilidades tomar
Kn+ 12
= 2K(xn)K(xn+1)
K(xn) +K(xn+1)a(un),
Kn− 12
=K(xn)K(xn−1)
K(xn) +K(xn−1)a(un−1).
59
Capítulo 7
Conclusiones y Recomendaciones
Conclusiones
En el análisis del problema estacionario, la ilustración de los posibles escenarios dependen
de la elección del valor de la constante de ujo C.
Puesto que el esquema explícito es más restrictivo en términos de estabilidad, se puede
garantizar la misma para la malla más na, N=384.
Las aproximaciones del término no lineal de la ecuación modicada de Richards, pasan
a ser los coecientes de transmisibilidad, los cuales son determinantes para establecer las
propiedades que va a tener cada esquema.
El esquema upwind HU posee únicamente precisión de primer orden, mientras que los
esquemas H, HA y HMP poseen una precisión de segundo orden.
Las condiciones necesarias la monotonía del esquema adaptado se derivan directamente
del análisis de la proposición de monotonía de la discretización.
60
Recomendaciones
Se recomienda tener acceso a un computador con mayor capacidad de almacenamiento y
que permita realizar mayor cantidad de iteraciones en la simulación.
Realizar el estudio de la ecuación modicada de Richards, planteada en este trabajo, en
dos dimensiones para poder conocer la inltración del uido también de manera horizon-
tal.
Realizar el estudio de la ecuación planteada utilizando una no linealidad diferente, la cual
conserve las principales características que requiere el problema.
61
Anexo A
Programas computacionales
Programa computacional realizado en Matlab para
visualizar las soluciones del problema estacionario
analizado en el Capítulo 4.
%Graficas soluciones exactas ec. de Richards
clc
clear on
k1 = 0.5;
k2 = 2;
alpha = 5;
g = 2; %tambien se hace con g=10
C=input('Ingrese el valor de C: ');
%ur=input('Ingrese el valor de u_r: ');
%cýlculos
phi1 = 1-(g*k1)/C;
phi2 = 1-(g*k2)/C;
62
%Casos
if C<0 %primer caso
figure
fplot(@(x)sqrt(phi1)*tan((C*x/k1)*sqrt(phi1)),[0 5])
hold on
fplot(@(x)sqrt(phi2)*tan((C*(x-alpha)/k2)*sqrt(phi2)+ atan
(sqrt(phi1/phi2)*tan(((C*alpha)/k1)*sqrt(phi1)))),[5 10])
%ur =sqrt(phi2)*tan(((C*alpha)/k2)*sqrt(phi2)+ atan
(sqrt(phi1/phi2)*tan(((C*alpha)/k1)*sqrt(phi1))))
disp('Primer caso')
%-0.00399
else
if (0<C) && (C<g*k1) %segundo caso
figure
fplot(@(x)-sqrt(-phi1)*tanh((C*x)/k1*sqrt(-phi1)),[0 5])
hold on
fplot(@(x)-sqrt(-phi2)*tanh((C*(x-alpha)/k2)*sqrt(-phi2)
+ atanh(sqrt(phi1/phi2)*tanh(((C*alpha)/k1)*sqrt(-phi1)))),[5 10])
disp('Segundo caso')
%0.03
end
if (C==g*k1) %tercer caso
figure
fplot(@(x)0*x,[0 5])
hold on
fplot(@(x)-sqrt((k2/k1)-1)*tanh(((g*k1)/k2)
63
*(x-alpha)*sqrt((k2/k1)-1)),[5 10])
disp('Tercer caso')
%1
end
if (C>g*k1)
figure
fplot(@(x) sqrt(phi1)*tan(((C*x)/k1)*sqrt(phi1)),[0 5])
if sqrt(phi1)*tan((C*alpha/k1)*sqrt(phi1))<sqrt(-phi2) %cuarto caso
hold on
fplot(@(x)-sqrt(-phi2)*tanh((C*(x-alpha)/k2)*sqrt(-phi2)
-atanh(sqrt(-phi1/phi2)*tan(((C*alpha)/k1)*sqrt(phi1))))
,[5 10])
disp('Cuarto caso')
%1.021609698295954715
%5.0048181859258593640049639361
%1.02160895
end
if round(sqrt(phi1)*tan((C*alpha/k1)*sqrt(phi1))
-(sqrt(-phi2)),3)==0 %quinto caso no es tan facil caer en este caso
%porque C parece ser irracional
hold on
fplot(@(x)sqrt(-phi2)+(0*x),[5 10])
%con C=1.0216096 sigue en el cuarto caso
disp('Quinto caso')
end
if (round((sqrt(phi1)*tan((C*alpha/k1)*sqrt(phi1))),6)
>round((sqrt(-phi2)),6)) %sexto caso
64
hold on
fplot(@(x)-sqrt(-phi2)*coth((C*(x-alpha)/k2)
*sqrt(-phi2)- acoth(sqrt(-phi1/phi2)
*tan(((C*alpha)/k1)*sqrt(phi1)))),[5 10])
disp('Sexto caso')
%1.021610225
end
end
end
Programa computacional realizado en Matlab para simular
los esquemas presentados en el Capítulo 5.
% ESQUEMA DE VOLUMEN FINITO PARA LA EC. DE RICHARDS varios valores del paso
clc
clear on
a = 0; %Limite inferior del intervalo
b =10; %Limite superior intervalo: profundidad
n=[24 36 48]; %Numero de particiones del intervalo
T=500; %Limite superior del tiempo
ur=0; %condicion al final del intervalo u(2alpha,t)=ur
Ht=[0.1 0.02 0.009]; %valor de paso en el tiempo
%tomar en cuenta que M=T/Ht
y debe ser entero y se utiliza floor
A = inline('1/(1+u^2)') ;%a(u) no linealidad
65
g = 10; %funcion g que toma los valores 2 y 10
u0 = 0; %condicion al inicio del intervalo
ut = 0;%condicion al tiempo 0
%%
color = zeros(3);
color(1,:) = [1 0 0];
color(2,:) = [0 1 0];
color(3,:) = [0 0 1];
for k = 1:3
N = n(k);
Hx = (b-a)/N;
x = a:Hx:b;% cada uno de los nodos en el espacio
%Ht = T/M;
M = floor(T/Ht(k)); %Numero de particiones en el espacio, floor obtiene
la parte entera de la division
U = zeros(N+1,M+1); %U matriz donde cada columna representa un tiempo,
los elementos de la columna forman la aproximacion
de la funcion a encontrar
U(1,:) = u0;
U(N+1,:) = ur;
U(:,1) = ut;
for j = 2:M+1
66
for i = 2:N
%U(i,j) = (Ht(k)/Hx)*(par(x(i),x(i+1),A(U(i+1,j-1)),A(U(i,j-1)))
*(((U(i+1,j-1)-U(i,j-1))/Hx) + g)- par(x(i),x(i-1),A(U(i,j-1)),
A(U(i-1,j-1)))*(((U(i,j-1)-U(i-1,j-1))/Hx)+g))+U(i,j-1);
U(i,j) =(Ht(k)/Hx)*(par(x(i),x(i+1),A((U(i+1,j-1)+U(i,j-1))/2),1)
*(((U(i+1,j-1)-U(i,j-1))/Hx)+ g)-par(x(i),x(i-1),A((U(i,j-1)
+U(i-1,j-1))/2),1)*(((U(i,j-1)-U(i-1,j-1))/Hx)+g))+U(i,j-1);
% Activar para HMP
end
j
end
plot(x,U(:,M+1),'color',color(k,:));
grid on
hold on
%U
end
% fplot(@(x) sqrt(1-1/1.02160895)*tan(((1.02160895*x)/0.5)
*sqrt(1-1/1.02160895)),[0 5],'c')
% hold on
% fplot(@(x)(-sqrt(-1+4/1.02160895)*tanh(0.510804475*(x-5)
*sqrt(-1+4/1.02160895)-atanh(sqrt(0.02160895/2.97839105)
*tan(10*1.02160895*sqrt(1-1/1.02160895))))),[5 10],'c')
legend('24 puntos','36 puntos','48 puntos','location','northwest')
% ESQUEMA DE VOLUMEN FINITO PARA LA EC. DE RICHARDS
67
clc
clear on
a = 0; %Limite inferior del intervalo
b =10; %Limite superior intervalo: profundidad
N =36; %Numero de particiones del intervalo
T=500; %Limite superior del tiempo
ur=0; %condicion al final del intervalo u(2alpha,t)=ur
Ht=0.01; %valor de paso en el tiempo %tomar en cuenta que M=T/Ht
y debe ser entero
A = inline('1/(1+u^2)') ;%a(u) no linealidad
g = 2; %funcion g que toma los valores 2 y 10
u0 = 0; %condicion al inicio del intervalo
ut = 0;%condicion al tiempo 0
%%
%Ht = T/M;
M = floor(T/Ht); %Numero de particiones en el espacio
Hx = (b-a)/N;
x = a:Hx:b;% cada uno de los nodos en el espacio
U = zeros(N+1,M+1); %U matriz donde cada columna representa un tiempo,
los elementos de la columna forman la aproximacion
de la funcion a encontrar
U(1,:) = u0;
U(N+1,:) = ur;
U(:,1) = ut;
68
for j = 2:M+1
for i = 2:N
U(i,j) = (Ht/Hx)*(par(x(i),x(i+1),A(U(i+1,j-1)),A(U(i,j-1)))
*(((U(i+1,j-1)-U(i,j-1))/Hx) + g)- par(x(i),x(i-1),A(U(i,j-1)),
A(U(i-1,j-1)))*(((U(i,j-1)-U(i-1,j-1))/Hx)+g))+U(i,j-1);
%U(i,j) =(Ht/Hx)*(par(x(i),x(i+1),A((U(i+1,j-1)+U(i,j-1))/2),1)
*(((U(i+1,j-1)-U(i,j-1))/Hx)+ g)-par(x(i),x(i-1),A((U(i,j-1)
+U(i-1,j-1))/2),1)*(((U(i,j-1)-U(i-1,j-1))/Hx)+g))+U(i,j-1);
% Activar para HMP
end
j
end
%U
plot(x,U(:,M+1),'g');
hold on
grid on
fplot(@(q)(sqrt(1-1/1.02160895)*tan(((1.02160895*q)/0.5)
*sqrt(1-1/1.02160895))),[0 5],'c');
hold on;
fplot(@(p)(-sqrt(-1+4/1.02160895)*tanh(0.510804475*(p-5)
*sqrt(-1+4/1.02160895)-atanh(sqrt(0.02160895/2.97839105)
*tan(10*1.02160895*sqrt(1-1/1.02160895))))),[5 10],'c');
hold on;
%FUNCIONES AUXILIARES PARA ESQUEMA DE VOLUMEN FINITO
function Q = par(x1,x2,a1,a2)
%Q = 2*(valor(x1)*valor(x2)*a1*a2)/(valor(x2)*a2+valor(x1)*a1);
69
%Promedio armonico: H
%Q = ((valor(x1)*a1)+(valor(x2)*a2))/2; %Promedio aritmà c©tico: A
%Q = (((valor(x1)*valor(x2))/(valor(x1)+valor(x2)))*(a1+a2));
%Armonico en K, aritmetico en a: HA
Q = 2*valor(x1)*valor(x2)*a1/(valor(x1)+valor(x2));
%armonico en k, upwind en a: HU
%Q = 2*valor(x1)*valor(x2)*a1*a2/(valor(x1)+valor(x2));
%armonico en k, punto medio en a: HMP cambiar en programa principal
end
%para HMP cambiar en programa principal a1=a((1+2)/2) y a2=1
function D = valor(f)
if (0<=f) && (f<=5)
D = 0.5;
else
D = 2;
end
end
Programa computacional para calcular los errores entre la
solución aproximada y la exacta.
%Calculo de la precision entre los esquemas aproximados y la solucion
%exacta
70
clc
clear on
format short
f1 = sqrt(1-1/1.02160895)*tan(((1.02160895*x)/0.5)*sqrt(1-1/1.02160895));
f2 = (-sqrt(-1+4/1.02160895)*tanh(0.510804475*(x-5)*sqrt(-1+4/1.02160895)
-atanh(sqrt(0.02160895/2.97839105)*tan(10*1.02160895*sqrt(1-1/1.02160895)))));
%f1 y f2 son vectores que poseen los resultados de evaluar cada elemento
del vector x(nodos) ej: f1(i)= sqrt(1-1/1.02160895)*tan(((1.02160895
*x(i))/0.5)*sqrt(1-1/1.02160895))
%vector E soluciones unificadas de la funcion exacta (son dos funciones)
E = zeros(N+1,1);
for p = 1:N+1
if x(p)<=5
E(p) = f1(p);
else
E(p) = f2(p);
end
end
%Calculo del Error Cuadratico norma l_2
suma = 0;
for h = 2:N
suma = suma + ((E(h)-U(h,M+1))/U(h,M+1))^2;
end
71
EC = ((1/(N+1))*suma)^(1/2) %error cuadratico
%Calculo del Error Relativo Maximo norma l_infinito
ER = zeros(N+1,1);
for g = 2:N
ER(g) = abs((E(g)-U(g,M+1))/U(g,M+1));
end
ERM = 100*max(ER) %Error Relativo Maximo
%Calculo del Error Relativo norma l_1
sum = 0;
for d = 2:N
sum = sum + ((E(d)-U(d,M+1))/U(d,M+1));
end
ER = 100*((1/(N+1))*sum)
72
Bibliografía
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scheme for strongly degenerate parabolic equations modelling the settling of suspensions in
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tions, Journal of Dierential Equations 131, 1996.
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