unidad iv distribuciones de vac

Ing. Orlando F. Ochoa Ch. C.I.V. N 12.326 DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS

ING. ORLANDO F. OCHOA CH. Pgina 1 UBA - ESTADISTICA II - 2012

UNIDAD IV: DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS

Distribucin Normal. Caractersticas. Propiedades. Parmetros. Importancia.

La Distribucin Normal como lmite de otras distribuciones. Distribucin

Normal Tipificada. Curva. Caractersticas. Parmetros. Ventajas de su uso.

Variable Tipificada Z. Relacin con la Variable X. Uso de las Tablas. Ajuste

de una normal. Relacin de la Distribucin Normal con la Binomial.

Distribucin Exponencial, Identificacin.

4.1. Definiciones previas:

Variable continua:

Una variable aleatoria se define continua cuando el conjunto de valores

que puede tomar es un infinito continuo, es decir, puede tomar cualquier

valor en un intervalo, (XR).

Funcin de probabilidad, f(X):

La funcin de probabilidad de una variable aleatoria es una funcin que

asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad

de que dicho suceso ocurra. La distribucin de probabilidad est definida

sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el

rango de valores de la variable aleatoria.

Funcin de distribucin de probabilidades de una variable continua:

Es aquella distribucin que puede tomar cualquiera de los infinitos valores

existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la

distribucin de probabilidad es la integral de la funcin de densidad, por lo

que tenemos entonces que:

4.2. Distribucin normal:

4.2.1. Definicin:

La distribucin normal o distribucin de Gauss es una de las distribuciones

de probabilidad de variables continuas que aparece con ms frecuencia en



fenmenos reales, frente a otros tipos de distribuciones como las

asimtricas o la exponencial.

La distribucin normal fue reconocida por primera vez por el francs

Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss

(1777-1855) elabor desarrollos ms profundos y formul la ecuacin de la

curva; de ah que tambin se la conozca, ms comnmente, como la

"campana de Gauss".

4.2.2. Caractersticas:

La curva normal tiene las siguientes caractersticas:

La moda que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su

mximo, ocurre en el valor igual a la media aritmtica,( = ).

La curva es simtrica alrededor de su eje vertical donde se tiene la

media.

La curva tiene sus puntos de inflexin en x igual a la media aritmtica

mas menos su desviacin estndar, es cncava hacia abajo si X es

mayor que su media aritmtica menos la desviacin estndar o si x es

menor que su media aritmtica ms su desviacin estndar, y es

cncava hacia arriba en cualquier otro punto.

La curva normal se acerca al eje horizontal en forma asinttica en

cualquiera de las dos direcciones, alejndose de la media.

El rea total bajo la curva y arriba del eje horizontal es igual a 1.

4.2.3. Parmetros:

Media ():

= = .

Varianza (2) y desviacin tpica ():

=

=

De acuerdo a sus parmetros, se dice la distribucin es N(,)



4.2.4. Funcin de densidad:

=

4.2.5. Funcin de distribucin:

=

4.2.6. Grfica:

4.2.7. Importancia:

La importancia de esta distribucin radica en que permite modelar

numerosos fenmenos naturales, sociales y psicolgicos. Mientras que los

mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenmenos son

desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en

ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo

que cada observacin se obtiene como la suma de unas pocas causas

independientes.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenmenos naturales que

siguen el modelo de la normal son:

caracteres morfolgicos de individuos como la estatura; caracteres fisiolgicos como el efecto de un frmaco; caracteres sociolgicos como el consumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos; caracteres psicolgicos como el cociente intelectual; nivel de ruido en telecomunicaciones; errores cometidos al medir ciertas magnitudes, etc.



4.3. Distribucin normal tipificada:

No existe una sola distribucin de probabilidad normal, sino una familia de

ellas. Como sabemos, cada una de las distribuciones puede tener una media

() o una desviacin estndar distinta (). Por tanto, el nmero de

distribuciones normales es ilimitado y sera imposible proporcionar una tabla

de probabilidades para cada combinacin de y .

Para resolver este problema, se utiliza un solo miembro de la familia de

distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviacin estndar 1

que es la que se conoce como distribucin estndar normal, de forma que

todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estndar, restando

la media de cada observacin y dividiendo por la desviacin estndar.

4.3.1. Tipificar una variable.

Se denomina tipificar o estandarizar una variable aleatoria X, al proceso

mediante el cual se transforma la variable X en otra variable Z la cual

expresa las distancias o desvos de la variable X con respecto a la media

en unidades de desviacin tpica .

Sea Xi el valor de la variable y la media de la distribucin, los desvos

d con respecto a la media sern:

= , expresando stos desvos en unidades de desviacin se tiene:

=



Tipificacin de la Variable

En el grfico anterior se aprecia que la distribucin tiene media , con

desviacin tpica y la variable X toma los valores X1 = y X2 = +

, de acuerdo a esto, la variable tipificada Z ser:

=

=

=

=

=

=

+

=

=

4.3.2. Caractersticas:

No depende de ningn parmetro

Su media, = 0, su varianza, 2 = 1 y su desviacin tpica, =1

La curva Y = f(X) es simtrica con respecto al eje Y.

Tiene un mximo en el eje Y.

Tiene dos puntos de inflexin, en Z = - 1 y Z = 1.

4.3.3. Parmetros:

Media = 0

Varianza 2 = 1

Desviacin tpica =1

De acuerdo a sus parmetros, se dice que esta distribucin es N(0,1)



4.3.4. Funcin de densidad:

=

4.3.5. Funcin de distribucin:

=

4.3.6. Grfica:

Ordenadas de la curva normal tipificada: (Ver Anexo)

reas bajo la curva normal tipificada: (Ver Anexo)



4.3.7. Uso de tablas:

Cuando la probabilidad pedida es menor o igual a un nmero

positivo:

Ejemplo:

( , )

En este caso la probabilidad se encuentra directamente en las tablas,

como indica el siguiente grfico, la probabilidad de ocurrencia del evento

es el rea sombreada, y el valor para el rea se determina de la forma

siguiente:

- En la 1 columna buscamos el valor de las unidades y las dcimas, (0,4)

- En la 1 fila el valor de las centsimas, (0,05)

- Segn la tabla de reas bajo la curva Normal

, = ,

Probabilidad de un valor mayor a un nmero positivo Ejemplo:

P(Z > 1,24)

- El rea solicitada es el rea bajo la curva ubicada a la derecha del

valor 1,24.



- Se determina en la tabla el rea correspondiente al valor 1,24 que es el rea de la curva a la izquierda de ese valor, (0,8925)

- Como el rea total bajo la curva es igual a 1, el rea solicitada es igual uno menos el rea indicada en las tablas, (1,0000 0,925 = 0,1075)

Probabilidad de un valor negativo: Ejemplo:

P(Z - 0,72)

- El rea solicitada es el sector comprendido en el intervalo

, 0,72

- Como la curva es simtrica con respecto al eje Y, P(Z - 0,72) = P (Z + 0,72 )

- Se determina P(Z + 0,72 ) igual que en caso anterior:

Como el rea total bajo la curva es igual a 1, el rea solicitada es igual uno menos el rea indicada en las tablas,

P(Z + 0,72) = 1 - P(Z < + 0,72) = 1 - 0,7642 = 0,2358

P(Z - 0,72 ) = P(Z + 0,72)= 1 - P (P < + 0,72) = 1 - 0,7642 = 0,2358



Probabilidad entre dos valores positivos: Ejemplo:

P(0,5 Z 1,76)

- Se leen directamente en la tabla la P(Z 1,76) = 0,9608 y la P(Z 0,5) = 0,6915.

- El rea solicitada es: P(Z 1,76) - P(Z 0,5) = 0,9608 - 0,6915 = 0,2693

Probabilidad entre dos valores negativos:

Ejemplo:

P(- 1,76 Z - 0,5)

- Por simetra cambiamos los dos valores negativos a positivos y

calculamos sus probabilidades.

- P(- 1,76 Z - 0,5) = P(0,5 z 1,76) = 0,9608 - 0,6915 = 0,2693



Probabilidad entre un valor positivo y uno negativo: Ejemplo:

P(- 0,53 Z 2,46)

- P(- 0,53 Z 2,46) = P(Z 2,46) - P(Z - 0,53)

- P(Z - 0,53) = P(Z 0,53 ) = 1 - P(Z < 0, 53)= 1 - 0,7019 = 0,2981

- P(- 0,53 Z 2,46) = P( Z 2,46) - P(Z - 0,53 ) = 0,9931 - 0,2981 = 0,695

Manejo de la tabla de forma inversa:

Se presentan los casos en los cuales se conoce la probabilidad de

ocurrencia de un evento o suceso y se quiere determinar el valor de la

variable que acumula esa probabilidad.

Ejemplo:

- Hallar el valor de Z para que: < = ,

Se busca en el Anexo N 2, el valor 0,7019 el cual corresponde al

valor Z de la primera columna a 0,5 y al valor de la primera fila a

0,03, por lo tanto el valor buscado de Z = 0,53.

- Hallar el valor de Z para que: < = ,

Se busca en el Anexo N 2, el valor 0,8997 el cual corresponde al

valor Z de la primera columna a 1,2 y al valor de la primera fila a

0,08, por lo tanto el valor buscado de Z = 1,28.



4.4. Ajuste de una normal:

Procedimiento:

a) Se determina la media y la desviacin tpica de la distribucin.

= = .

=

.

b) Se determinan los centros de clase de los diferentes intervalos de la

distribucin de frecuencias (Xi)

= +

c) Se tipifican los centros de clase (Zi) de acuerdo a la frmula:

=

d) Se determinan las ordenadas (Yi) correspondientes a cada centro de

clase tipificado (Anexo N 1: Ordenadas de la curva normal tipificada)

e) Se calcula la constante K (factor de proporcionalidad), de acuerdo a la

frmula:

=.

donde: Ic = Intervalo de clase

f) Clculo de las frecuencias tericas o calculadas (FT) mediante el uso de

la frmula:

FT = Yi x K

g) Bondad del ajuste:

Aplicacin de la prueba Ji cuadrado o Chi cudrado



- Frmulas:

=

Mtodo Directo

=

Mtodo Abreviado

- Grados de libertad:

Distribucin Normal: G de L () = k 3 donde k = N de clases

- Nivel de probabilidad y nivel de significacin:

Nivel de probabilidad, p = 0,95 y por lo tanto el nivel de significacin

ser: = 0,05.

Ejemplo:

La siguiente Distribucin de Frecuencias representa los gastos (Bsx1.000)

ocurridos en un determinado perodo en un departamento de una empresa.

Intervalos de clases Gastos

(Bsx1.000)

Frecuencias (Fi) N de das

500 799,99 7

800 1.099,99 20

1.100 1.399,99 40

1.400 1.699,99 9

1.700 2.000 4

Fi = 80

Se desea ajustar la distribucin anterior a una distribucin normal.



Determinacin de la media aritmtica() y la desviacin tpica () de

las observaciones:

= = .

=

.

Intervalos

Centros

de Clase

(Xi)

Frec.

Observ.

(Fi)

Fi x Xi

Xi - X

(Xi - X )2

Fi (Xi - X )2

500 799,99 650 7 4.550 - 536,25 287.564,06 2.012.948,40

800 1.099,99 950 20 19.000 - 236,25 55.814,06 1.116.281,20

1.100 1.399,99 1.250 40 50.000 63,75 4.064,10 162.564,00

1.400 1.699,99 1.550 9 13.950 363,75 132.314,10 1.190.826,90

1.700 2.000 1.850 4 7.400 663,75 440.564,06 1.762.256,20

TOTALES 80 94.900 6.244.876,7

= .

=

.

= . , .

= .

=

..,

= .

Se determinan los centros de clase tipificados (Zi) y las ordenadas de

la curva normal (Yi):

=

Para hallar el valor de la ordenada (Yi), se entra en el Anexo N 1:

Ordenadas de la curva normal tipificada con el valor de Zi

Z1 = (650 1186)/270 = - 1,98 segn la Tabla de Ordenadas: Y1 = 0,0562

Z2 = - 0,87 Y2 = 0,2732

Z3 = 0,23 Y3 = 0,3885

Z4 = 1,34 Y4 = 0,1626

Z5 = 2,45 Y5 = 0,0198



Clculo de la constante de proporcionalidad K

La constante K, se determina como funcin del intervalo de clase (Ic), el

nmero de observaciones (N = fi) y la desviacin tpica, mediante la

frmula:

=.

=

.

= ,

Clculo las frecuencias tericas (Ft):

Ft = Yi x K

Ft1 = Y1 x K = 0,0562 x 89 = 5

Ft2 = Y2 x K = 0,2732 x 89 = 24

Ft3 = Y3 x K = 0,3885 x 89 = 35

Ft4 = Y4 x K = 0,1626 x 89 = 14

Ft5 = Y5 x K = 0,0198 x 89 = 2

Ft = 80

Siempre hay que tener presente que Fi = Ft

Bondad del ajuste:

Frecuencias

Observadas (Fi)

Frecuencias

Tericas (Ft)

Fi2

Fi2/Ft

7 5 49 9,80

20 24 400 16,66

40 35 1.600 45,71

9 14 81 5,78

4 2 16 8,00

Fi = 80 Ft = 80 Fi2/Ft = 85,95

Xc2 = 85,95 80 = 5,95



Segn la Tabla correspondiente para:

Grados de libertad: = 5 3 = 2

Nivel de probabilidad p = 0,95

Se tiene que Xt2 = 5,99 y como Xc

2 < Xt2 se acepta el ajuste como bueno

para ese nivel de significacin = 0,05.

Grfico:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 500 1000 1500 2000

Fi - FT

Gastos (Bsx1000)

AJUSTE A UNA DISTRIBUCION NORMAL

Fi

FT



4.5. Relacin de la Distribucin Normal con la Binomial:

Una distribucin binomial B(n,p) se puede aproximar por una distribucin

normal, siempre que n sea grande y p no est muy prxima a 0 o a 1. La

aproximacin consiste en utilizar una distribucin normal con la misma media

y desviacin tpica que la distribucin binomial.

En la prctica se utiliza la aproximacin cuando :

;

En cuyo caso :

(, ) ( = , =

Y tipificando la variable se obtiene la normal estndar correspondiente:

=

(, )

Ejemplo:

El 2% de los tornillos fabricados por una mquina son defectuosos. Si

tenemos un lote de 2.000 tornillos, Cul es la probabilidad de que haya

menos de 50 defectuosos?

- Distribucin Binomial: los tornillos son defectuosos o no defectuosos

- Datos: P = 0,02,Q = 0,98, n = 2.000 por lo tanto: B(n,P) B(2.000,002)

- Clculo de la media () y la desviacin tpica de la distribucin normal:

= = ., =

= = . , ., = ,

- Tipificar la variable:

=

=

, = ,

- Probabilidad:

Segn Tabla Anexo N2: P(X



4.6. Distribucin exponencial:

Es una distribucin de probabilidad continua con un parmetro > 0; si una

variable aleatoria continua X es distribuida segn la distribucin

exponencial, su funcin de densidad es:

() = .

Se aplica a variables como las llegadas de automviles a un servicio de

lavado de autos, los tiempos requeridos para cargar un camin, las

distancias entre dos averas en una carretera, etc.

Funcin de distribucin:

() = < 0

Parmetros:

- Valor esperado o media:

=

=

=

- Varianza:

=

- Grfico:



Ejemplos:

Se sabe que el tiempo de espera una persona que llama a un centro de

atencin al pblico para ser atendido por un asesor es una variable

aleatoria exponencial con = 5 minutos. Encuentre la probabilidad de que

una persona que llame al azar en un momento dado tenga que esperar:

a. A lo sumo 5 minutos

b. Por lo menos 10 minutos

c. Entre 3 y 10 minutos

Solucin:

() =

=

. =

() = =

a. A lo sumo 5 minutos:

< 5 = () =

= = , = ,

b. Por lo menos 10 minutos:

> 10 = () =

= = ,

c. Entre 3 y 10 minutos:

< < = () () =

= . = ,



4.7. Ejercicios:

4.7.1. Dada una distribucin normal con media de 56,3 y una desviacin tpica de

11,5, encontrar las calificaciones estndar equivalentes para las siguientes

calificaciones:

a) 44 b) 22,5 c) 68,4

d) 19,8 e) 56,3 f) 69

4.7.2. Hallar la proporcin de rea bajo la curva normal entre la media y las

siguientes calificaciones Z:

a) 1,64

b) 2,58

c) 0,25

d) 3,09

e) 1,65

f) 1,96

4.7.3. Hallar las siguientes reas bajo la curva normal

a) Entre Z = 0 y Z = 0,83 b) Entre Z = 0 y Z = - 1,02 c) Entre Z = - 0,50 y Z = 1,12 d) Entre Z = - 1,54 y Z = 2,28 e) Entre Z = 0 y Z = 2,8 f) Para Z 1,45 g) Para Z - 1,45 h) Entre Z 2,80 y Z 1,50 i) Entre Z - 1,50 y Z -2,80

j) P( - 1,26 Z 2,05) k) Hallar la P(Z 1,85) l) Hallar la P(Z - 1,85) m) A la izquierda de Z = 0,63 n) A la derecha de Z = - 0,12 o) A la izquierda de Z = - 2,44

y a la derecha de Z = 1,25 p) Entre Z 2,00 y Z - 2,00

4.7.4. Los salarios de 65 tcnicos de la Industria Petrolera se distribuyen

normalmente con una media de 2.300 Bs/mes y una desviacin tpica de

150 Bs/mes. Se desea conocer:

a. Hallar la probabilidad de que un Tcnico dentro de esa industria obtenga un salario inferior a Bs. 2.400,00 mensuales.

b. Determinar la probabilidad de que un Tcnico obtenga un salario superior a Bs. 2.500,00 mensuales.

c. Determinar el nmero de Tcnicos que se espera dentro de esa industria, obtengan salarios comprendidos entre Bs. 2.000,00 y Bs. 2.500,00 mensuales.

d. Determinar la probabilidad de que un Tcnico obtenga un salario comprendido entre Bs. 2.200,00 y 2.450,00.



4.7.5. A continuacin se dan las calificaciones del estudiante Jacinto Parra, y la

media y la desviacin tpica en cada una de las tres pruebas efectuadas a

2.500 estudiantes:

PRUEBA MEDIA DESV. ESTANDAR CALIF. DE PARRA

Aritmtica 74,5 12,6 73

Castellano 46,6 8,3 69

Historia 47,2 4,8 55

a. Convertir cada calificacin de las pruebas de Parra en calificaciones

estndar.

b. En cual de las pruebas obtuvo una mejor posicin?, en cual la peor?

c. Cuntos estudiantes sobrepasaron la calificacin que Parra obtuvo en

Historia y Aritmtica?

4.7.6. La siguiente distribucin corresponde a los sueldos percibidos por los

empleados de una Empresa.

Sueldos (Bsx100)

(Xi)

Frecuencias Observadas

(Fi)

35 44,99 3

45 54,99 12

55 64,99 15

65 74,99 20

75 84,99 15

85 94,99 12

95 105 3

Se pide ajustar la distribucin anterior a una Distribucin Normal y

establecer la bondad del ajuste.

4.7.7. Una determinada fabrica envasa sus productos en unidades cuyo peso

promedio es de 614 gramos, con una desviacin de 25 gramos. Para el



control de calidad, se ha establecido un mnimo en el peso de 610 gramos y

un mximo de 618 gramos. Se desea saber Qu porcentaje de la

produccin total de sta Empresa cumple tales exigencias del control de

calidad?

4.7.8. Los escurrimientos observados en un ro en millones de m3 durante 34

aos presentan la siguiente distribucin de frecuencias:

Valor medio de clase (Xi) Frecuencias observadas (Fi)

2 1

3 3

4 5

5 6

6 5

7 4

8 3

9 3

10 2

11 1

12 1

Se pide ajustar la distribucin anterior a una Distribucin Normal y

establecer la bondad del ajuste.



4.8. Anexos:

Anexo N 1:

ORDENADAS DE LA CURVA NORMAL TIPIFICADA

Z Y Z Y Z Y Z Y Z Y

0,00 0,3989 0,82 0,2850 1,64 0,1040 2,46 0,0194 3,28 0,0018

0,02 0,3989 0,84 0,2803 1,66 0,1006 2,48 0,0184 3,3 0,0017

0,04 0,3986 0,86 0,2756 1,68 0,0973 2,5 0,0175 3,32 0,0016

0,06 0,3982 0,88 0,2709 1,7 0,0940 2,52 0,0167 3,34 0,0015

0,08 0,3977 0,9 0,2661 1,72 0,0909 2,54 0,0158 3,36 0,0014

0,1 0,3970 0,92 0,2613 1,74 0,0878 2,56 0,0151 3,38 0,0013

0,12 0,3961 0,94 0,2565 1,76 0,0848 2,58 0,0143 3,4 0,0012

0,14 0,3951 0,96 0,2516 1,78 0,0818 2,6 0,0136 3,42 0,0012

0,16 0,3939 0,98 0,2468 1,8 0,0790 2,62 0,0129 3,44 0,0011

0,18 0,3925 1 0,2420 1,82 0,0761 2,64 0,0122 3,46 0,0010

0,20 0,3910 1,02 0,2371 1,84 0,0734 2,66 0,0116 3,48 0,0009

0,22 0,3894 1,04 0,2323 1,86 0,0707 2,68 0,0110 3,5 0,0009

0,24 0,3876 1,06 0,2275 1,88 0,0681 2,7 0,0104 3,52 0,0008

0,26 0,3857 1,08 0,2227 1,9 0,0656 2,72 0,0099 3,54 0,0008

0,28 0,3836 1,1 0,2179 1,92 0,0632 2,74 0,0093 3,56 0,0007

0,3 0,3814 1,12 0,2131 1,94 0,0608 2,76 0,0088 3,58 0,0007

0,32 0,3790 1,14 0,2083 1,96 0,0584 2,78 0,0084 3,6 0,0006

0,34 0,3765 1,16 0,2036 1,98 0,0562 2,8 0,0079 3,62 0,0006

0,36 0,3739 1,18 0,1989 2 0,0540 2,82 0,0075 3,64 0,0005

0,38 0,3712 1,2 0,1942 2,02 0,0519 2,84 0,0071 3,66 0,0005

0,40 0,3683 1,22 0,1895 2,04 0,0498 2,86 0,0067 3,68 0,0005

0,42 0,3653 1,24 0,1849 2,06 0,0478 2,88 0,0063 3,7 0,0004

0,44 0,3621 1,26 0,1804 2,08 0,0459 2,9 0,0060 3,72 0,0004

0,46 0,3589 1,28 0,1758 2,1 0,0440 2,92 0,0056 3,74 0,0004

0,48 0,3555 1,3 0,1714 2,12 0,0422 2,94 0,0053 3,76 0,0003

0,5 0,3521 1,32 0,1669 2,14 0,0404 2,96 0,0050 3,78 0,0003

0,52 0,3485 1,34 0,1626 2,16 0,0387 2,98 0,0047 3,8 0,0003

0,54 0,3448 1,36 0,1582 2,18 0,0371 3 0,0044 3,82 0,0003

0,56 0,3410 1,38 0,1539 2,2 0,0355 3,02 0,0042 3,84 0,0003

0,58 0,3372 1,4 0,1497 2,22 0,0339 3,04 0,0039 3,86 0,0002

0,60 0,3332 1,42 0,1456 2,24 0,0325 3,06 0,0037 3,88 0,0002

0,62 0,3292 1,44 0,1415 2,26 0,0310 3,08 0,0035 3,9 0,0002

0,64 0,3251 1,46 0,1374 2,28 0,0297 3,1 0,0033 3,92 0,0002

0,66 0,3209 1,48 0,1334 2,3 0,0283 3,12 0,0031 3,94 0,0002

0,68 0,3166 1,5 0,1295 2,32 0,0270 3,14 0,0029 3,96 0,0002

0,7 0,3123 1,52 0,1257 2,34 0,0258 3,16 0,0027 3,98 0,0001

0,72 0,3079 1,54 0,1219 2,36 0,0246 3,18 0,0025 4 0,0001

0,74 0,3034 1,56 0,1182 2,38 0,0235 3,2 0,0024 0,76 0,2989 1,58 0,1145 2,4 0,0224 3,22 0,0022 0,78 0,2943 1,6 0,1109 2,42 0,0213 3,24 0,0021 0,80 0,2897 1,62 0,1074 2,44 0,0203 3,26 0,0020



Anexo N 2:

AREAS BAJO LA CURVA NORMAL TIPIFICADA N(0,1)

Los valores de la tabla normal representan el rea bajo la curva normal hasta un valor positivo de z.



Anexo N 3:

Tabla de la distribucin JI-cuadrado o Chi-cuadrado, ():

Probabilidad de un valor superior - Alfa () Grados libertad

0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

1 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 2 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60 3 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84 4 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86 5 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75 6 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 7 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28 8 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95 9 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59 10 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19 11 17,28 19,68 21,92 24,73 26,76 12 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30 13 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 14 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32 15 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80 16 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 17 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72 18 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16 19 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58 20 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00 21 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40 22 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80 23 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18 24 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56 25 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93 26 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29 27 36,74 40,11 43,19 46,96 49,65 28 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99 29 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34 30 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67 40 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77 50 63,17 67,50 71,42 76,15 79,49 60 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95 70 85,53 90,53 95,02 100,43 104,21 80 96,58 101,88 106,63 112,33 116,32 90 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30

100 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17



Anexo N 4:

Distribucin uniforme continua Tomado de: http://cienciasempresariales.info/distribucion-uniforme-continua/

Es la ms sencilla de las distribuciones continuas, surge al considerar una

variable aleatoria que toma valores equiprobables en un intervalo finito. Su

nombre se debe al hecho de que la densidad de probabilidad de esta

variable aleatoria es uniforme sobre todo su intervalo de definicin.

La distribucin uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro

de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.

Diremos que una variable aleatoria sigue una distribucin uniforme en un

intervalo , con si la probabilidad de que la variable

aleatoria tome un valor en cualquier subintervalo es proporcional a la

longitud del subintervalo.

La funcin de densidad es:

Abreviadamente esta distribucin la indicaremos por:

- Caractersticas:

Funcin de distribucin:

Media y Varianza



4.9. Bibliografa:

Anderson, D., Sweeney D., Williams T. Estadstica para

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Ed. CENGAGE - Learning.

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http://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/7939/La%20distribucion%2

0Normal.pdf

unidad iv distribuciones de vac

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