6 vac y sus distribuciones

Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

Variables aleatorias continuas y

distribuciones de probabilidad


Funciones de densidad de probabilidad


Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria X es continua si sus valores posibles comprenden un solo intervalo sobre la línea de numeración (para alguna A < B, cualquier número x entre A y B es un valor posible).


Distribución de Probabilidad

Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabiliad (fdp) de X es una función f(x) tal que para dos números cualesquiera a y b con a ≤ b,

( )b

aP a X b f x dx

La gráfica de f se conoce como curva de densidad.


Función de densidad de probabilidad

la probabilidad de que X asuma un valor en el intervalo [a,b] es el área sobre este intervalo y bajo la gráfica de la funsión de densidad.

( )y f x

ba

( )P a X b


Distribución de Probabilidad

Para que f(x) sea una función valida debe stisfacer las siguientes condiciones

1. f (x) ≥ 0 con todas las x.

2.El área bajo la curva f(x) es igual a 1.

Area = 1

( )y f x


Distribución Uniforme

Una variable aleatoria continua X tiene una distribución uniforme en el intervalo [A, B] si la función de densidad de probabilidad de X es

1

; ,0 otherwise

A x Bf x A B B A


Probabilidad de una variable aleatoria continua

Si X es una variable aleatoria continua, entonces para cualquier número c, P(x = c) = 0. Para dos números cualquiera a y b siendo a < b,

( ) ( )P a X b P a X b

( )P a X b

( )P a X b


Funciones de distribución

acumulativa y valores esperados


Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa F(x) de una variable aleatoria continua X se define para todo número x como

( ) ( )x

F x P X x f y dy

Con cada x, F(x) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de x.


Utilización de F(x) para calcular probabilidades

( ) ( )P a X b F b F a

Sea X una var aleatoria continua con función de densidad f(x) y función de distribución acumulada F(x). Entonces con cualquier número a,

y para dos números a y b con a < b,

1 ( )P X a F a


Mediana

La mediana de una distribución continua es el 50th percentil, así que la mediana satisface 0.5=F(mediana). Es decir, la mitad del área bajo la curva de densidad se encuentra a la izquierda de la mediana y la mitad a la derecha de la mediana.


Valores esperados

El valor esperado o valor medio de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es

( )X E X x f x dx


Valor Esperado de alguna función h(X)

Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x) y h(x) es cualquier función de X, entonces

( )( ) ( ) ( )h XE h x h x f x dx


Varianza y Desviación estándar

La varianza de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) y valor medio es

2 2( ) ( ) ( )X V x x f x dx

2

[ ]E X

La desviación estándar es

( ).X V x


Fórmula abreviada para varianza

22( ) ( )V X E X E X


La Distribución

Normal


Distribución Normal

2 2( ) /(2 )1( )

2xf x e x

Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal con parámetros µ y σ, donde -∞<µ<∞ y σ >0, si la función de densidad de probabilidad de X es


Distribución normal estándar

2 / 21( ;0,1)

2zf z e

La distribución normal con valores de parámetro se llama distribución normal estándar. La variable aleatoria que tiene esta distribución se denotará por Z. La función de densidad de probabilidad de Z es

0 and 1

La función de distribución acumulativa de Z esz

( ) ( ) ( ;0,1)z

z P Z z f y dy


Áreas acumulativas normales estándar

0 z

Curva normal estándar

Shaded area = ( )z


Distribución normal estándar

a.

Área a la izquierda de 0.85 = 0.8023

b. P(Z > 1.32)

Sea Z la variable normal estándar. Encuentre (de la tabla)

( 0.85)P Z

1 ( 1.32) 0.0934P Z


Encuentre el área a la izquierda de 1.78 y después restele el área a la izquierda de –2.1.

= 0.9625 – 0.0179

= 0.9446

c. ( 2.1 1.78)P Z

= ( 1.78) ( 2.1)P Z P Z


= 2[P(z < Z ) – ½]

P(z < Z < –z ) = 2P(0 < Z < z)

z = 1.32

Ex. Sea Z la variable normal estándar. Encuentre z si a. P(Z < z) = 0.9278.

Vea la tabla y encuentre el valor = 0.9278 después lea alrevez para encontrar

z = 1.46.

b. P(–z < Z < z) = 0.8132

= 2P(z < Z ) – 1 = 0.8132

P(z < Z ) = 0.9066


Distribuciones normales no estándar

Si X tiene una distribución normal con media y desviación estándar , entonces

X

Z

Tiene una distribución normal estándar.


Curva Normal

68%

95%

99.7%

Porcentajes aproximados de área dentro de desviaciones estándares dadas (regla empírica).


Ex. Sea X una variable aleatoria normal con

= 0.2266

65 8065

20P X P Z

.75P Z

Find ( 65).P X 80 and 20.


Ex. Una salpullido particular surgió en los básicos de un colegio. Se ha determinado que lo que tarda en tiempo el salpullido se distribuye normalmente con

6 days and 1.5 days.

Encuentre la probabilidad de que para un estudiante elegido al azar, el salpullido le dure entre 3.75 y 9 días.


3.75 6 9 63.75 9

1.5 1.5P X P Z

1.5 2P Z

= 0.9772 – 0.0668

= 0.9104


Sea X una variable aleatoria normal basada en n ensayos con probabilidad de éxito p. Si el histograma de probabilidad binomial no es demasiado asimétrico, X tiene aproximadamente una distribución normal con

and .np npq

Aproximación de la distribución binomial

0.5( )

x npP X x

npq


Ex. En una universidad particular pequeña el porcentaje de aprobados en Algebra Intermedia es 72%. Si 500 estudiantes se inscriben en un semestre determine la probabilidad de que al menos 375 aprueben el curso.

500(.72) 360np

500(.72)(.28) 10npq

375.5 360( 375) (1.55)

10P X

= 0.9394

6 vac y sus distribuciones

Documents