introduccion a la teoria del consumidor

Introduccina la Teora del ConsumidorDe la preferencia a la estimacin

Jhon James Mora

Cali, enero de 2002

Primera Edicin. Cali, 2002ISBN: 958-9279-53-8Derechos ReservadosHecho el depsito que establece la ley Universidad ICESI

Enero de 2002

Prohibida la reproduccin total o parcialde esta obra (Ley 23 de 1982)

DIRECCION DE INVESTIGACIONESSERIE TEXTOS UNIVERSITARIOS DE LA ICESI N 38Telfono: 5552334Apartado Areo: 25608, UnicentroEditor:E-mail: [email protected], Colombia-Sur Amrica

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A Carolina, por su paciencia.

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INTRODUCCION A LA TEORIA DEL CONSUMIDOR

ContenidoPRESENTACION ..................................................................................................................... 7INTRODUCCION ..................................................................................................................... 9

Objetivo principal del libro ................................................................................................ 10Contenido del libro ............................................................................................................ 12

1. LIMITES A LA ELECCION ............................................................................................... 131.1. El conjunto de oportunidades .............................................................................. 131.2. Restricciones tpicas ............................................................................................. 141.3. Restricciones no lineales ...................................................................................... 151.4. Mltiples restricciones .......................................................................................... 21

Bibliografa ............................................................................................................. 22

2. PREFERENCIAS INDIVIDUALES ................................................................................... 232.1. Preferencias individuales ..................................................................................... 24

2.1.1. Definicin formal ....................................................................................... 242.2. La funcin de utilidad ............................................................................................ 282.3. El problema bsico del consumidor .................................................................... 312.4. Dualidad ................................................................................................................. 332.5. Trayectorias de expansin .................................................................................... 382.6. La tasa marginal de sustitucin ............................................................................ 392.7. Elasticidad ............................................................................................................. 412.8. Algunas formas funcionales ................................................................................. 42

2.8.1. El sistema Lineal de Gasto ....................................................................... 462.8.2. La funcin de Utilidad CES ...................................................................... 492.8.3. La funcin de Utilidad Indirecta Addilog ................................................. 512.8.4. Las especificaciones Translogartmicas ................................................. 522.8.5. El sistema Casi - Ideal de Gasto AIDS .................................................... 532.8.6. El modelo de Rotterdam ........................................................................... 55

Bibliografa ................................................................................................ 56

3. LA DEMANDA DEL CONSUMIDOR ................................................................................ 583.1. Unicidad y continuidad ......................................................................................... 583.2. El excedente del consumidor y disponibilidad a pagar ..................................... 593.3. Integrabilidad de la funcin de utilidad ............................................................... 633.4. Preferencias reveladas ......................................................................................... 643.5. Agregacin ............................................................................................................ 68

Bibliografa ............................................................................................................. 72

4. SEPARABILIDAD ............................................................................................................. 744.1. Estructura de las preferencias .............................................................................. 74

4.2. Separabilidad de las preferencias ....................................................................... 764.3. Separabilidad y sustitucin intergrupal. .............................................................. 784.4. Separabilidad y aditividad. ................................................................................... 804.5. Pruebas de separabilidad .................................................................................... 81

Bibliografa ............................................................................................................. 82

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5. LA FUNCION DE PRODUCCION DE HOGARES .......................................................... 845.1. Esttica comparativa. .......................................................................................... 895.2. Anlisis de la riqueza en el mercado de bienes .............................................. 915.3. Bienes Pblicos .................................................................................................. 92

Bibliografa .......................................................................................................... 94

6. VARIABLES DEPENDIENTES DISCRETAS Y LIMITADAS ........................................... 956.1. Especificacin del modelo ................................................................................. 956.2. Formas comunes de las funciones de probabilidad ........................................ 966.3. Estimacin ................................................................................................... 996.4. Algunos modelos aplicados ............................................................................... 99

6.4.1. Domencich y MacFadden ..................................................................... 996.4.2. Lee, L.F ................................................................................................. 1016.4.3. Pencavel .............................................................................................. 101

6.5. Modelo de efectos fijos y aleatorios en datos de panel ................................. 1026.6. El modelo Logit condicionado.......................................................................... 1036.7. Modelos multinomiales ..................................................................................... 105

6.7.1. Modelos ordenados ............................................................................ 1056.7.2. Modelo Logit multinomial .................................................................... 106

6.8. Variables dependientes limitadas ................................................................... 1066.8.1. Truncamiento ....................................................................................... 1076.8.2. Censuramiento .................................................................................... 1096.8.3. Modelos Tobit ...................................................................................... 110

6.8.3.1. Modelo Tobit tipo 2: { p(y10, y2) } .................... 1126.8.3.2. Modelo Tobit tipo 3: { p(y1

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7.4. Elecciones discretas con productos diferenciados ........................................ 1607.4.1. La funcin de demanda para un continuo de consumidores ............. 1627.4.2. El consumidor representativo multinomial .......................................... 164

7.5. Anlisis de riqueza ........................................................................................... 1667.5.1. Teorema de Small y Rosen .................................................................. 167

Bibliografa ............................................................................................. 169

8. APLICACIONES DE LA TEORA DEL CONSUMIDOR A LA ELECCION DE OCIO... 1718.1. Efecto de las herencias sobre la oferta laboral .............................................. 1808.2. Restricciones no lineales y restricciones sobre las horas ............................. 1828.3. Restricciones sobre las horas trabajadas ....................................................... 1838.4. Asignacin del tiempo para dormir .................................................................. 185

8.4.1. Demanda de tiempo para dormir ......................................................... 1868.4.2. Efecto sustitucin y efecto ingreso en la demanda

de tiempo para dormir ........................................................................... 187Bibliografa ............................................................................................. 190

9. APLICACIONES DE LA TEORA DEL CONSUMIDOR AL MEDIO AMBIENTE ......... 1929.1. El mtodo de coste de viaje ............................................................................. 192

9.1.1. El uso de variables latentes .................................................................. 1939.1.2. El modelo de utilidad aleatorio ............................................................. 199

9.2. El mtodo de los precios hednicos................................................................ 2039.3. El Mtodo de la valoracin contingente ......................................................... 209

9.3.1. La funcin de gasto y la funcin de utilidad ........................................ 2109.3.2. Estimacin por mxima verosimilitud con datos de "referndum" ..... 212

Bibliografa ............................................................................................. 215

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Presentacin

Este libro, tiene su origen en el curso de Microeconometra dictado entre 1997 y 1998en la Universidad del Valle. Adicionalmente algunos captulos de la teora del consu-midor fueron expuestos durante el ao 1999 y 2000 en el curso de Economa Neoclsica(Microeconoma I) en el pregrado. El objetivo del curso consisti en revisar la teora delconsumidor y sus alcances empricos. No obstante, ante la profusa publicacin de artcu-los y la inexistente mencin de la mayora de stos en los libros de microeconoma enespaol, surgi la idea de escribir estas notas.

El libro de Deaton, A y Muellbauer, J.(1980) Economics and Consumer Behavior, Cambridge,Cambridge U. Press, consiste en el punto de partida de lo que aqu se expondr. La raznes muy simple: el libro de Deaton y Muellbauer es pionero en integrar la teora delconsumidor a los desarrollos en econometra, razn por la cual siempre ser de consultafundamental. Desarrollos posteriores a la obra de Deaton y Muellbauer, como los modelosde autoseleccin de Heckman o las aplicaciones a la teora medioambiental, han sidotratados en libros como el de Maddala (1983) o en los libros sobre medioambiente, comoel de Azqueta (1994) Valoracin econmica de la calidad ambiental, Mc Graw-Hill(Espaa) y, en pocas ocasiones, han sido tratados como el avance inevitable de laaplicacin economtrica de la teora del consumidor. Dos libros ms merecen la atencindel lector: el libro de Mas-Collel, A., Whinston, M.D y Green, J.R. (1995), MicroeconomicTheory, Oxford University Press, y el libro de Anderson, S.P., Palma, A y Thisse, J.F. (1995),Discrete choice theory of product diferentiation, MIT Press, Cambridge Mass. La impeca-ble presentacin de la teora del consumidor realizada por Mascollel et-al, hace de estelibro una invaluable fuente de consulta. Por otro lado, el libro de Anderson et-al introduceal lector en los modelos de eleccin discreta presentando una gran ayuda en el anlisisemprico.

Agradezco a los estudiantes del curso de Microeconometra, pues a ellos les debo elentusiasmo de comenzar a escribir el libro. Agradezco tambin a los profesores delDepartamento de Economa en la Universidad del Valle, ya que durante los aos que allestuve me hicieron valiosos comentarios e ideas. De igual forma, agradezco a HctorOchoa (Decano de la facultad de Economa) y a Natalia Gonzlez de la Universidad ICESIpor sus comentarios y, por supuesto, a la Universidad ICESI por brindarme el tiempo y

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el apoyo financiero para realizar las correcciones y publicar esta versin. Agradezcotambin a los monitores que durante la realizacin del libro han soportado las diferentesversiones: Eliana, R.; Adriana, G., y Liliana, S., quienes sin lugar a dudas aportaronbastante a la presentacin final del mismo. Finalmente agradezco los comentarios de unevaluador annimo. Como es usual, los errores que persisten son mi responsabilidad.

Jhon James Mora R.Departamento de Economa,Universidad ICESIe-mail: [email protected]:\\www.icesi.edu.co\~jjmora

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Introduccin

Siendo las 6 de la maana suena el reloj despertador. Usted se levanta, prepara sudesayuno, y conduce hacia el trabajo. A las 8 a.m. se encuentra en la oficina y sumejor compaero de trabajo es Linda. A eso de las 11, toma un descanso y empiezaa reflexionar sobre la maana. Se da cuenta que al preparar el desayuno, ha invertidouna gran cantidad de tiempo y que usted vive repitiendo en la oficina" mi tiempo esoro", pero al preparar el desayuno no valor lo suficiente su tiempo o si no hubiesedesayunado en una cafetera. De igual forma observa que el trfico estuvo bastantecongestionado, y que conducir produce una desutilidad que hasta el momentonunca haba considerado.

Al pensar en Linda, se acuerda que su madre nunca trabaj y que por el contrario hoyes muy comn encontrar que una gran parte de nuestros compaeros de trabajo sonmujeres, y entonces exclama: Definitivamente han cambiado los tiempos! Culpodra ser la explicacin de que ella trabajara?

Linda, que se da cuenta de cunto tiempo ha perdido usted en esta reflexin, comobuena economista recuerda sus primeras clases en la Universidad y repite en vozalta: "La economa es la ciencia que estudia el comportamiento humano como unarelacin entre los fines y los medios escasos que tienen usos alternativos"*. Usted,algo desconcertado por la abrupta exclamacin de Linda, le exige que ahonde en susexplicaciones. Ve, de reojo, cmo Linda realiza unos "clculos" algo complicados aprimera vista, y entonces ella responde que si usted le paga $50.000 la hora, conmucho gusto le explica el significado de aquella frase. Ms enojado que al principio,a usted le parece increble que Linda "cobre" por una simple explicacin. Entoncesdecide suspender la conversacin, continuar con el trabajo, y tal vez en la tarde pasarpor la biblioteca de la Universidad a buscar el significado de la frase de Linda. Dosdas despus de haber realizado una bsqueda amplia por la biblioteca y recordandoaquella frase "mi tiempo es oro", piensa en que de pronto habra sido mejor haberlepagado a Linda por la explicacin.

* Esta frase la usaba el profesor de Linda al entrar a clase en homenaje a Lionel Robbins [Classic Monograph, Anessay on the nature and significance of economics science, Macmillan & Co.,Ltd, London, 1932, pag 15]

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La situacin anterior es ms comn de lo que pensamos. La mayora de nuestrasdecisiones estn determinadas por la escasez de los recursos y servicios. La cuentade Linda no es otra cosa que la valoracin de su tiempo, que no es infinito: alcontrario, Linda deseara tener ms tiempo para realizar otras actividades.

En estas pginas usted encontrar una descripcin de cmo opera el proceso deasignacin cuando agentes como usted y Linda enfrentan restricciones, y cmo severifica si estas restricciones se cumplen.

Objetivo principal del libro

El objetivo principal de este libro, consiste en mostrar cmo la microeconoma puedeser aplicada a situaciones que los consumidores enfrentan cotidianamente. Paraesto, se provee al lector de las herramientas comnmente usadas por los economis-tas para explicar el comportamiento individual de los agentes. Por tal razn, se desa-rrolla el esquema formal de la microeconoma, de tal forma que podamos aproxi-marnos a la conducta de los agentes, siempre y cuando acten bajo los supuestosenunciados. Ya que este libro pretende ofrecer una introduccin bsica de la teoradel consumidor, no se demostrar rigurosamente algunos de los teoremas usados,lo cual no implica que no se desarrolle cuidadosamente como stos pueden em-plearse en las estimaciones sobre los diferentes aspectos que conciernen a laeleccin del consumidor.

Los modelos econmicos

Los modelos econmicos son representaciones abstractas de la realidad para estu-diar algn fenmeno econmico y social. Ya que no se pueden construir versionesdel mercado laboral, del mercado del ocio, etc., se acude a la representacin abs-tracta del fenmeno en cuestin*. Esta representacin no es otra cosa que un modelomatemtico, en donde, las ecuaciones desarrolladas representan caractersticas delcomportamiento de los agentes. Las ecuaciones del modelo, buscan aproximarsea las interrelaciones en la economa, y a partir, del planteamiento de las ecuacionesllegar a su estimacin. A lo largo del libro el lector deber identificar los siguienteselementos:

1. Un conjunto de supuestos, denotados como A = { A1 , ..., An } que tiene que vercon el comportamiento de una construccin terica, y que en ltimas, estnrelacionados con el mundo real. Los supuestos son proposiciones universales

* Sin embargo, el avance en la economa experimental ha permitido recrear el funcionamiento de los mercadosmostrando la distancia entre la presentacin formal, su estimacin, y el verdadero funcionamiento de stos.Aunque muchos de los resultados provenientes de la economa experimental usen pocos individuos, generalmen-te son estudiantes de ltimos semestres, no dejan de ser interesantes las conclusiones en torno a lo que todavaignoramos de la conducta de los agentes en el medioambiente social. Ser de gran utilidad, despus de conocerla teora formal, revisar el libro de Hey, J.D (1991), Experimentos en economa (1996), Fondo de Cultura Econmica(Mxico); para una introduccin al tema Montenegro, A. (1995), Introduccin a la economa experimental,Ediciones Uniandes/Ecoe, (Colombia);para una buena presentacin de la economa experimental, Douglas,D y Ch, Holt. (1993), Experimental economics, Princeton University Press.

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de la forma: todo x tiene la propiedad r. Ejemplos de tales proposiciones sern"todos los consumidores maximizarn su utilidad" o "todos los consumidores sontomadores de precios" o "todas las preferencias son separables".

2. Ya que los supuestos de comportamiento debern estar relacionados con elmundo real, un segundo elemento consistir en el conjunto de condiciones, bajolas cuales los supuestos son comprobados. Este conjunto de condiciones sedenotar como C = { C1 , ..., Cn }. Las condiciones debern incluir la forma deidentificar los efectos sobre las variables. Por ejemplo, suponga que deseamoscomprobar que un aumento en los costos de viaje a una zona recreativa disminuyela demanda por viajes a dicha zona en el ao 2001. Esto requiere primero observarlas razones por las cuales las personas viajan a dicha zona, en otras palabras,sus preferencias por una serie de actividades como navegar en vela, montar acaballo, acampar, etc. Tambin debemos observar los costos de viajar en el ao 2001incluyendo la depreciacin del automvil y los costos de oportunidad del salarioen el ao 2001. Este conjunto de condiciones especficas, sita a Juan demandan-do viajes a dicha zona en 2001.

3. El ltimo elemento consiste en los eventos E = { E1 , ..., En } que son predeciblespor la teora. La teora nos dice que el conjunto de supuestos A implica que si lascondiciones C son vlidas entonces el evento E podra ocurrir. Por ejemplo, si elcomportamiento de Juan consiste en maximizar su funcin de utilidad sujeto a larestriccin presupuestaria, lo cual se podra denotar como A, cuando las con-diciones C se mantienen, entonces la disminucin en la demanda de viajes a la zonaen cuestin, el evento E, cuando aumentan los precios del viaje, ser observado.

La estructura lgica se construye de tal forma que el conjunto de supuestos A implicaque si C es cierto, entonces E deber ser cierto. Esto es, ( A . C ) E, donde elsmbolo significa "implica". De esta forma, los supuestos A y las consecuencias Cimplican la observacin de los eventos E.

Un elemento final consiste en la forma funcional elegida. Suponga que usted deseaconsiderar la ocurrencia de un evento; para describir este evento, definiremos unavariable aleatoria Y. Asuma que la probabilidad del evento depende sobre un vectorde variables independientes x* y un vector de parmetros desconocidos . Elsubndice i denota el i-simo individuo. De esta forma, el modelo general se puedeexpresar como:

pi = p( Yi ) = G( x*i , ) ; i = 1,2,...., n.

Los Yi son distribuidos independientemente. Suponga que Yi es la probabilidad deque ocurra el evento, entonces x*i representar aquellas variables que permiten queY ocurra. Dado que el "modelo" anterior es muy general, se deber escoger algunafuncin H( x*i , ), la cual se conoce que opera sobre un vector de parmetros , yde esta forma:

p( Yi ) = F[H( x*i , )]

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Yo espero que usted pueda identificar, a lo largo del libro, la forma anterior. Y as, estasnotas habrn contribuido a mejorar su percepcin de la teora del consumidor.

Contenido del Libro

El libro se ha estructurado en nueve captulos, cubriendo desde los temas tradicio-nales que en cualquier libro de microeconoma se conoce como la teora del consu-midor, hasta aquellos temas que generalmente no se desarrollan como la funcin deproduccin de hogares, la diferenciacin de productos y la utilidad aleatoria.

En los captulos del 1 al 3 se desarrollar la teora formal del consumidor. En el primercaptulo se discute la forma de la restriccin presupuestaria haciendo nfasis en lasrestricciones no lineales que un consumidor enfrentara. En el segundo captulo seplantea formalmente la teora del consumidor y se analizan aquellas formas funcio-nales que tienen una mayor tradicin en economa.

En el captulo tercero se desarrolla el concepto de demanda del consumidor, ascomo el concepto de excedente del consumidor y la recuperacin de las preferen-cias del mismo a partir de su participacin en el mercado.

En el captulo cuarto se discute la separabilidad de las preferencias y el presupuestoen dos etapas: es de especial atencin en este captulo la hiptesis de separabilidady aditividad.

En el captulo quinto se presenta el modelo de funcin de produccin de hogares. Laimportancia de este modelo radica en la formalizacin del uso del tiempo en diferen-tes actividades, y lo que esto significa en la eleccin de ocio y trabajo.

El captulo sexto desarrolla la parte estadstica que se usar en los captulos poste-riores. En este captulo se presentan los modelos de Probabilidad Lineal, Logit, LogitOrdenado, Logit Condicionado, Probit, las diferentes modalidades del Tobit. Tam-bin se incluye una seccin sobre los contrastes de especificacin y finalmente seincluye una seccin sobre variables latentes.

El captulo sptimo presenta los modelos de utilidad discreta as como las diferentesversiones del mismo. En particular, la presentacin de las funciones de densidad serde vital importancia para el desarrollo del captulo noveno.

El captulo octavo presenta aplicaciones a la eleccin de ocio por parte del consumi-dor partiendo de las restricciones presupuestarias cuando los individuos decidenasignar su tiempo entre trabajo, ocio y otro tipo de actividades.

El captulo noveno desarrolla aplicaciones de la teora del consumidor al medioambiente.El nfasis de estos modelos radica en el clculo del excedente del consumidorcuando los bienes medioambientales entran en la funcin de utilidad.

Y, al final de cada captulo se brindar una bibliografa de referencia a ser consultada.

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1.

Las oportunidades de elegir una canasta de bienes son directamente observablespara cualquier consumidor, y cualquier variacin en las oportunidades deber influirdirectamente sobre la eleccin, lo cual muestra que los cambios en las eleccionesgeneralmente son debidos a la variacin en el conjunto de oportunidades.

A menudo cuando usted va a comprar algn bien, no slo encuentra el bien que deseasino que adems encuentra otros productos que le hacen reflexionar sobre los bienesque llevar. Esta situacin tan solo muestra que las condiciones sobre las cuales debeelegir han variado y, por lo tanto, que el conjunto de oportunidades ha cambiado.

1.1. El conjunto de oportunidades

El conjunto de oportunidades ms comn, se puede describir cuando los hogarestienen un ingreso Y, el cual gastan durante un perodo en m bienes, o en algunos.Dado que los bienes, o la cantidad de ellos, son positivos, a precios positivos, larestriccin puede escribirse como:

(1.1) Y ; cuando m = 2 tendremos: Y p1x1+ p2x2

Donde Y es el ingreso, pi los precios y xi las cantidades del bien i. Supongamos queexisten dos bienes, Comida (x1) y Abrigo (x2) a unos precios p1 y p2 , entonces lagrfica que ilustra el lmite al consumo de stos ser:

Lmites a la eleccin

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1.2. Restricciones tpicas

Suponga que las cantidades mnimas de los dos bienes anteriores para sobrevivir sonx1Mnimo y x2Mnimo. La eleccin estar determinada por el tringulo CDE (Grfica1.1). Dela anterior grfica, un ingreso menor a Y= p1x1Mnimo+ p2x2Mnimo no le dara oportunidadde elegir al individuo. Las restricciones pueden tomar diferentes formas: muy pocosabrigos y ms alimentos pueden ser ms necesarios que una gran cantidad de abrigos.

Suponga a continuacin, que el consumidor comienza el perodo 1 sin dinero,adems ahorra o pide prestado a una tasa de inters de cero, el ingreso se distribuyeen los perodos Y1 y Y2 y todo se gasta, entonces la restriccin presupuestaria ser:

(1.2) Y1+Y2 p1x1+ p2x2 con Y1+Y2=Y

En la anterior restriccin existe como supuesto implcito un mercado eficiente y cerocostos de transaccin.

No siempre es posible derivar directamente el conjunto de oportunidades; suponga-mos los siguientes casos:

A- El primer bien es perfectamente divisible, pero el segundo es disponible encantidades discretas.

GRFICA 1.1. Restriccin de

GRFICA 1.2. Indivisibilidades en X2.

GRFICA 1.1. Restriccin desupervivencia

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B- El pan puede ser consumido al medio da por un individuo, ya sea en Santaf deBogot o en Santiago de Cali, pero no al mismo tiempo en ambas ciudades.

1.3. Restricciones no lineales

Consideremos una economa de trueque y sea A la dotacin inicial de alimentos yvestidos. Ahora, suponga la existencia de dos grupos: el grupo de los glotones y elgrupo de los bien vestidos; el grupo de los glotones tiene comida y desea vestidosy el grupo de los bien vestidos tiene ropa y desea comida. Los dos grupos viven enuna isla y estn aislados uno del otro; dado que no existe un medio nico deintercambio, tampoco existir una razn nica de intercambio.

Como puede observar, sin un medio general de intercambio, la informacin y loscostos de transaccin evitan al grupo que desea intercambiar ropa por alimentos atravs de AC "iniciar un intercambio" con aquellos que desean cambiar alimentos porropa a travs de AB. De igual forma, sin un patrn monetario nico, la tasa deintercambio difiere en las dos direcciones, por lo tanto, los grupos tienen diferentestasas de intercambio. Una economa totalmente monetizada, donde se utilice comopatrn de intercambio el dinero, eliminar las divergencias entre dichas tasas deintercambio, lo que se puede observar a travs de la lnea discontinua BC.

GRFICA 1.4. Diferentes tasasde intercambio.

GRFICA 1.3. Imposibilidad geogrficade consumir un bien.

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La no linealidad es ms comn de lo que se piensa; por ejemplo, la existencia decobros diferenciales en las tarifas de agua: al consumir x cantidades de m3 de agua aun precio tendremos unos precios relativos entre el agua y los otros bienes, y alconsumir ms agua y pagar ms por este consumo los precios relativos cambiarn.Supongamos que existe un consumo ptimo de agua, la tarifa t* (grfica 1.5),entonces a la izquierda se paga una mayor tasa, lo que induce a consumir menosagua y ms de los otros bienes, pero no tanto.

En las elecciones de trabajo es frecuente tambin que existan no linealidades sobretodo en la eleccin de ocio o en el comportamiento intertemporal. Supongamos unindividuo que elige el nmero de horas que puede trabajar y, cada hora se paga a unatasa fija de salario w. Adicionalmente, el individuo tiene algn tipo de transferencia ,en el ingreso como herencias, premios de loteras, etc. Si T es el nmero de horasdisponibles y x0 es el ocio, la restriccin presupuestaria vendr dada por:

(1.3)

GRFICA 1.5. No linealidad en tarifas.

Otros bienes

diferentes tasas

Agua0 t*

GRFICA 1.6. No linealidaden la fuerza de trabajo.0, + w2T

p B1

B2 p

A,

T x0

x

Agua

GRFICA 1.6. No linealidaden la fuerza de trabajo.

0, + w1T p

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Observe que cuando el individuo gasta todo su dinero en los bienes y x es la cantidadde bienes que puede comprar trabajando, la restriccin (1.3) se puede escribir como:

(1.4) + wT - wx0 = px

Y cuando x sea igual a 0, y tambin sea igual a 01 entonces wT= wx0 T = x0 , por lo tanto todo el tiempo disponible se usa en ocio. Si no existe ocio,entonces +wT = px, de esta forma:

(1.5) x =

La eleccin del consumidor entre AB1 AB2, en la grfica (1.6), es la eleccin decunto el individuo decide trabajar y, por lo tanto, el desplazamiento a travs de AB1 AB2 depende de los gustos, ya que AB1 y AB2 implican diferentes salarios recibidos,distintas cantidades de los otros bienes y diferentes elecciones de ocio.

Suponga ahora que existen impuestos al ingreso como retencin en la fuente eincentivos por productividad. Despus de un cierto nmero de horas de trabajo, elindividuo tendr un mayor salario, como se puede ver en la lnea E-D de la Grfica 1.7.Sin embargo, la existencia de impuestos hace que el incremento en el tiempotrabajado no sea igual al incremento en el salario sino menor, lo cual se traduce enuna pendiente menor (- w) en la lnea C-B como se puede observar:

1. Si el individuo no tiene transferencias deber en algn momento trabajar. De esta forma, a la izquierda de A existeuna tasa de salario que lo incita a trabajar.

Aunque B tambin es posible, el individuo podra elegir C debido a que implica unmayor salario. Por otro lado, cuando se trabaja mas all de D, se deber pagarimpuestos.

Cuando las elecciones realizadas incluyen tres tipos de trabajos, cada uno condiferente hora de trabajo y salario, entonces:

GRFICA 1.7. Efecto de un impuestoen la decisin de trabajar.

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Otra forma de no linealidades es introducida cuando en el conjunto de oportunida-des, la relacin ocio-ingreso es diferente de acuerdo con el perodo en el cual stosson consumidos, veamos:

Si el consumidor desea gastar ms ingreso en el perodo 1, deber prestar a una tasade inters y pagar en el perodo 2. Cuando los consumidores no pueden conseguirdinero prestado, las elecciones se realizan en un mercado imperfecto de capitales,esto se puede observar si la restriccin presupuestaria no es ABC sino ABD. Losconsumidores en B gastan todo su ingreso. Si la situacin no es tan extrema yasumimos la existencia de la tasa de inters, esto es, el consumidor paga una mayortasa por pedir prestado, la restriccin ser menos severa y ser descrita por la lneaABE. La pendiente est determinada por el hecho de que la tasa de inters de pedirprestado ser diferente de la tasa de inters para prestar.

Uno de los ms importantes desarrollos, desde la postguerra, en la teora del consu-midor, consiste en aquellos modelos donde el hogar se ve como una funcin deproduccin, esto es, cuando la combinacin de los bienes con el ocio se hace atravs de una funcin de produccin de hogares. La funcin de produccin dehogares nos muestra la produccin de un nmero limitado de bienes bsicos con-siderados como el objeto real de la eleccin del consumidor.

GRFICA 1.8. Elecciones de trabajoy ocio a diferentes salarios.

GRFICA 1.9. Eleccin intertemporal conmercado de capital imperfecto.

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Si existen dos bienes bsicos Z1 y Z2 , su producto es limitado por el tiempo disponibleen el hogar, por la tasa de salario y por los precios del bien en el mercado. Si la funcinde produccin asigna una igual sustitucin entre tiempo y bienes de mercado comoinsumos, una restriccin tpica podr ser:

Otra forma de no linealidad se encuentra en el problema de la dieta. Supongamos unhogar que requiere de protenas(P) y caloras(C). Dado que los alimentos azcar,pescados, leche y huevos tienen protenas y caloras, la restriccin podra venirespecificada de la siguiente forma:

Si el gasto total se realiza en azcar, pescado, leche y huevos los puntos muestran loslmites a la eleccin. Los segmentos mostrarn canastas mixtas compradas, pero laeleccin no se realiza sobre los ejes {P, C} pues ellos mostrarn un 100% de protenaso un 100% de caloras.

Otro ejemplo de no linealidades proviene de los modelos que asignan una cantidaddeterminada de tiempo sobre un sitio en modelos de demanda por recreacin.

P0

GRFICA 1.11. El problema de la dieta.

GRFICA 1.10. Restriccin de presupuesto para unafuncin de produccin de hogarescon tecnologa de coeficientes fijos.

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Suponga que un consumidor elige viajar a un lugar, x, y una canasta de bienes Z. Encada viaje se consume t, donde t es el tiempo sobre el lugar:

(1.6) Y = xcx + xtct + czZ

Sea Y el ingreso monetario, Cx el costo del viaje, ct los gastos en el lugar por unidadde tiempo (t en horas) y cZ el precio de la canasta Z. Asumiendo que exista la siguienterestriccin de tiempo:

(1.7) T* = xx + xt + Z

Donde T* es el tiempo disponible por consumir una serie de actividades, es eltiempo gastado en consumir Z y x es el tiempo de viaje por cada paseo. Si T*, x, ty son medidas en las mismas unidades (horas, das, aos, etc.) y T es el tiempodisponible para trabajar o consumir:

(1.8) T* = T - h

Donde h es el tiempo usado en trabajar. El agente elige la cantidad de tiempo paratrabajar si h es endgeno. Cuando el agente elige una determinada cantidad detiempo para trabajar los ingresos sern:

(1.9) wh = w(T - T*) w(T - xx - xt - Z)

(1.10) y0 + wh = xcx + xtct + cZZ

Siendo y0 un ingreso exgeno, por ejemplo transferencias, herencias, loteras, etc.Reacomodando trminos:

(1.11) y0 + w(T - xx - xt - Z) = xcx + xtct + cZZ

(1.12) y0 + wT = xcx + xxw + xtct + wxt + cZZ + wZ

(1.13) y0 + wT = x(cx + xw) + xt(ct + w) + Z(cZ + w)

Si hacemos px = cx + xw , pt = ct + w y pz = cZ + w, entonces:

(1.14) y0 + wT = x(px + ptt) + pzZ

Los ingresos totales se pueden asumir dados y deduciendo a los ingresos totales elconsumo de la canasta Z, y0 + wT - pzZ, lo que queda ser lo que se gasta enconsumir x unidades de viaje. Haciendo y0 + wT - pzZ = c1 tendremos:

(1.15) c1 = xpx + xptt

(1.16) c1 = x + x

pt t px px

ICESI21


(1.17)

Por lo tanto, la restriccin presupuestaria no ser lineal en el precio de x, px. Haciendopx = 1 se obtiene:

(1.18)

En la Grfica 1.12 la solucin interior resulta de la interseccin de la restriccinpresupuestaria con la curva de indiferencia 1. Si no existe ninguna restriccin sobrela funcin de utilidad, la solucin ser c1 con la curva de indiferencia 2, lo que seconoce como solucin de esquina. Cuando existe dbil complementariedad, t = 0 y/x = 0, en el punto c1 el individuo gastar xpx entonces podra moverse a yahorrar dinero sin haber reducido su utilidad, de esta forma c1 nunca sera elegido. As,cuando existe dbil complementariedad, soluciones como y sern relevantes.

En resumen, la existencia de no linealidades en la restriccin presupuestaria es muycomn y estas no linealidades producirn variaciones diferentes en el conjunto deoportunidades de eleccin de los agentes, afectando as las elecciones realizadaspor stos.

1.4. Mltiples restricciones

En algunas situaciones el consumidor no se enfrenta a una sola restriccin, sino amltiples restricciones, por lo cual podra estar racionado en un conjunto de bienes.Suponga un individuo que deber realizar una serie de elecciones entre una serie debienes como deportes, ocio, educacin, etc., a las que denominaremos xi . De igualforma, el consumir una unidad (i) requiere una cantidad de tiempo i=1,2,.,n. Porlo cual las restricciones para el consumidor sern:

{

+=

GRFICA 1.12. No linealidad en lademanda por recreacin.

ICESI22

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(1.19)

Donde Y es el ingreso del individuo, ti el tiempo dedicado a la actividad (i) y T el tiempototal disponible.

Bibliografa

DEATON, A. (1989). El consumo, Alianza Editorial.DEATON, A. y MUELLBAUER, J. (1980). Economics and consumer behavior, Cambridge, Cambridge

University Press, Quinta edicin(1989).MACCONELL, K.E. (1992). "On site time in the demand for recreation", American journal of

agricultural economics, November, pp.918-25.

ICESI23


2. Esto significa que deber cumplir el teorema de aciclicidad: Si para un entero finito n, x1>x2, x2>x3, x3>x4,..,xn-1 >xn entonces xn x1 (Kreps 1995).

Un elemento fundamental en la teora microeconmica consiste en cmo los indivi-duos realizan sus decisiones y cmo seleccionan alternativas de un conjunto dispo-nibles de las mismas. La teora postula que cada individuo ordena las alternativas deacuerdo con su preferencia relativa. De esta forma, cuando el individuo realiza unaeleccin, ste selecciona la alternativa con aquello que ms tiene de todo lo posible.En este captulo se desarrollar el marco terico asociado con el concepto depreferencia.

2.1. Preferencias individuales

Asuma la existencia de n alternativas, stas pueden contener n bienes que usted puedeposeer, n posibles candidatos por los cuales votar, n empleos a optar, etc. En general,cuando hay n alternativas en algn orden que desea, usted podr expresar un ordende preferencias por las mismas. Cuando algunas alternativas tienen el mismo nivel ensu lista, usted tendr indiferencia entre las mismas. Existen dos propiedades importan-tes en su lista: Primera, es posible comparar dos alternativas diciendo cul de las doses mayor; de esta forma, una es ms preferida que la otra, o cuando ella tiene el mismonivel. Segunda, dada la naturaleza de las preferencias sta no es cclica2, es decir, sila primera alternativa es mayor que la segunda, y tambin mayor que la tercera,entonces la primera alternativa es mayor que la tercera. Ahora, usted puede establecerun orden, y si solamente algunas de las alternativas son posibles, entonces podrseleccionar aquella alternativa que ms prefiera. Un orden ms general se establecepara un infinito nmero de elementos y aun cuando la lista con dicho orden seacomplicada, el ordenamiento se mantiene.

2.Preferencias individuales

ICESI24

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2.1.1 Definicin Formal

Sea X el conjunto de alternativas consideradas por un individuo; el conjunto X puedeser un conjunto finito de alternativas o representar el conjunto de canastas de bienesdisponibles. Una relacin binaria sobre X, es una relacin R de X a X, con el conjuntode pares ordenados (x , q) donde x X y q X. Los pares en la relacin de R se dicenque satisfacen esta relacin. Una relacin de preferencia es un caso especial y seescribe x q s (x , q) X X satisface esta relacin. S x q entonces se dice quex es preferido a q. Esta relacin puede entenderse en el sentido dbil como "al menoses tan bueno como" ms que en el sentido de "es mejor que". De igual forma, unarelacin estricta de preferencias se define como x q x q pero no q x, y se lee x es preferido a q. La relacin se conoce como indiferencia y se define porx ~ q x q y q x y se lee x es indiferente a q. En orden a cualificar la relacinde preferencias, la relacin deber satisfacer las siguientes propiedades funda-mentales:

2.1.1.1. Reflexibidad

Para todo x X, x x. Este supuesto nos dice que la canasta x, en el sentido dbil,es preferida a s misma, es decir, que al menos es tan buena como ella misma.

2.1.1.2. Completitud

Para todos los elementos x, q en X se cumple que x q q x o ambos. Estesupuesto simplemente nos dice que dos canastas pueden ser comparadas.

2.1.1.3. Transitividad

Para todo x , q y z en X, si x q y q z entonces x z. La propiedad de transitividadplantea la coherencia en las elecciones.

Las propiedades 2.1.1.1 a 2.1.1.3 definen un conjunto de eleccin preordenado.

Preferencias sobre

Las relaciones de preferencias se usan para caracterizar los deseos de los consumi-dores, por varias combinaciones de bienes. Los bienes son indexados de 1 hasta m.Una canasta de bienes es una coleccin de varias cantidades de esos m bienes, y lacantidad de cada bien en una canasta es un nmero real positivo. Tambin podemosver una canasta como la representacin de un vector m-dimensional de nmeros nonegativos, comnmente se asume que los bienes son divisibles. Tomemos X = como el ortante no negativo de , en este conjunto una relacin de preferencia enel caso de dos dimensiones puede verse de la siguiente forma:

ICESI25


2.1.1.4. Continuidad

Una relacin de preferencias sobre X= se dice que es continua s para cada x

X los conjuntos { y X | y x } y { y X | x y } son cerrados. Esto es, para algunacanasta x defina A(x) como el conjunto donde x es "al menos tan bueno como y " yB(x) "no existe un mejor conjunto que x ", as:

(2.1) A(x)= { y X | y x } y B(x) = { y X | x y }

Donde A(x) y B(x) son cerrados dado que contienen sus propios lmites para X en elconjunto de eleccin. A A(x) se le denomina el conjunto superior y a B(x) el conjuntoinferior. De lo anterior, se deduce que:

(2.2) A(x) ={ y X | y x } y B(x) = { y X | x y }

Sern abiertos. Se podr observar entonces que (2.1) y (2.2) se utilizan para evitarconductas discontinuas.

Y, para un orden de preferencias , la interseccin entre los conjuntos superior einferior, para algn x, definir el conjunto de indiferencia I(x) = { y X | y ~ x } el cuales cerrado. Con respecto a la Grfica 2.1 la continuidad asegura que los puntos

sobre la frontera de (X) = {y X | y x} sean equivalentes al elemento x. Observe,sin embargo, que la continuidad no asegura la posibilidad de que la superficie de lacurva de indiferencia pueda contener conjuntos cerrados. Por ejemplo, en el conjun-to de preferencias lexicogrficas:

GRFICA 2.1. Preferencias en dos

dimensiones.

ICESI26

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El orden de preferencias lexicogrficas no es continuo. Como se puede observar en el casode dos dimensiones, considrese un conjunto cuyo contorno superior corresponda al

elemento x = (1,1), esto es, el conjunto de elementos q x cuya grfica es (2.2),claramente no es cerrado debido a que la frontera del conjunto por abajo (1,1) no estcontenida en el conjunto. Por ejemplo (1,) < (1,1) y de igual forma (1,1) (1,1).

2.1.1.5. Insaciabilidad

Una relacin de preferencia sobre X se dice que no es saciada s para todo x Xexiste un q X siendo q x.

Lo contrario a dicha afirmacin es la existencia de un elemento x0 en X que sea preferidoa otro elemento. Tal elemento se denominar "punto de felicidad" y se puede observaren la siguiente grfica:

Existen otras propiedades relacionadas con la insaciabilidad, a saber:

2.1.1.5.1. Insaciabilidad local

Una relacin de preferencia sobre X = satisface la insaciabilidad local s para

algn x en X y algn > 0 existe algn q en X con tal que

GRFICA 2.3. Puntos de felicidad.

GRFICA 2.2. Preferencias lexicogr-ficas: Se salta de estrictamente peoren x a estrictamente mejor en y.

ICESI27


q x (3). Esto significa, que para alguna canasta x, existen canastas cercanas que sonestrictamente preferidas a x, lo cual podra entenderse siempre que es posiblemejorar aunque slo se introduzcan pequeas variaciones en la canasta de bienes.

2.1.1.5.2. Fuerte monotonicidad

Una relacin de preferencia sobre X= es fuertemente montona sx X, q X y q x, q x implica que q x. La fuerte monotonicidad implicainsaciabilidad local. Si una cesta de bienes contiene como mnimo la misma cantidadde bienes que otra y ms de alguno de ellos, esta cesta es estrictamente mejor quela otra, lo cual significa suponer que los bienes son buenos, pues si uno de ellos fueseun mal, como la contaminacin o la basura, no se cumplira este supuesto. Entrminos generales, esta propiedad se conoce tambin como que "los bienes sonbuenos".

2.1.1.5.3. Homotecia

Una relacin de preferencias montonas sobre X= es homottica si todos losconjuntos de indiferencia estn relacionados por un rayo de expansin proporcional,esto es, si x ~ q entonces x ~ q para algn 0; veamos:

2.1.1.6. Convexidad

Una relacin de preferencia sobre X= es convexa si dado algn x, q y z enX tal que x q, x z , q z entonces para todo , 0<

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2.2. La funcin de utilidad

Si la ordenacin de preferencias es completa, transitiva, reflexiva y continua, entonceslas preferencias se pueden representar a travs de una funcin de utilidad continua. Lafuncin de utilidad, u, es una funcin con valores reales, definida sobre el conjunto X,de tal forma que el orden de las preferencias sobre X se preserva por la magnitud deu. De esta forma, una funcin de utilidad tiene la propiedad de que dados dos

elementos x y q en X se cumple que u(q) u(x) s y solo s q x.

No todas las relaciones de preferencias pueden ser representadas por funciones deutilidad, pero si la relacin de preferencias es continua sobre entonces stapuede ser representada por una funcin de utilidad. Por lo tanto, s las preferenciasson reflexivas, transitivas, completas y continuas, u(x) representa dichas preferen-cias y deber cumplirse: Primero, u(x) es estrictamente creciente s y slo s laspreferencias son montonas. Segundo, u(x) es cuasiconcava s y solo s las preferen-cias son convexas y tercero u(x) es estrictamente cuasiconcava s y solo s laspreferencias son estrictamente convexas4.

2.2.1. Invarianza de la funcin de utilidad

Sea un orden de preferencias continuo tal que u(x) es una funcin de utilidad querepresente a stas. Si f() es una funcin estrictamente creciente de una variable

4. Una funcin f: D R es cuasicncava si x1 y x2 en D : f( xt ) min [f(x1), f(x2)] t [ 0,1 ]

GRFICA 2.5. Conjuntos convexos y no convexos.

ICESI29


singular, y f(u(x)) es la funcin compuesta y esta es una transformacin montonapositiva de u(x), entonces esta tambin representa una funcin de utilidad. De loanterior se deduce:

1) Que u(x1,x2) represente significa que u(x1,x2) > u(q1,q2) (x1,x2) (q1,q2)

2) f() es una transformacin montona de u(x1,x2) > u(q1,q2) f(u(x1,x2)) >f(u(q1,q2))

3) De (2) se observa que f(u(x1,x2)) >f(u(q1,q2)) (x1,x2) (q1,q2)

PROPOSICIN 2.1

Si una relacin de preferencia es representada por una funcin de utilidad sobre ,entonces una funcin de la forma v(x) = (u(x)), donde es estrictamente crecienteen el rango de v sobre u, ser tambin una funcin que represente la misma relacinde preferencia. Si y u son continuas entonces v tambin es continua. Esto sededuce de (1),(2) y (3).

La invarianza en la funcin de utilidad deber incluir como requisitos adicionales:mantener la invarianza en la descripcin, la invarianza en el procedimiento y lainvarianza en el contexto5.

2.2.1.1. Invarianza en la descripcin

Este requisito requiere que las preferencias entre las opciones no dependan de la formaen la cual ellas son presentadas. De esta forma, dos descripciones del mismo problemadebern llevar a la misma eleccin [Arrow (1982), Tversky y Kahneman (1986)].Tversky y Kahneman (1986) proveen el siguiente ejemplo, que viola esta propiedad.

Problema 3. (126 individuos participaron en el experimento): Asuma que usted seenriquece en $300 ms que hoy, y debe realizar una eleccin entre:

5. Ver tambin la descripcin de Kreps (1995) sobre el encuadramiento (framing).

GRFICA 2.5. Transformacin montona de u.

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A) Una ganancia segura de $100 (72% de los individuos eligieron esta opcin).B) 50% de oportunidad de ganar $200 y 50% de oportunidad de no ganar nada

(28% de los individuos eligieron esta opcin).

Problema 4. (128 individuos participaron en el experimento): Asuma que usted seenriquece en $500 ms que hoy, y debe realizar una eleccin entre:A) Una prdida segura de $100 (36% de los individuos eligieron esta opcin).B) 50% de oportunidad de no perder nada y 50% de oportunidad de perder $200

(64% de los individuos eligieron esta opcin).

Dado que los dos problemas son idnticos, la variacin en la descripcin tiene ungran efecto en las preferencias.

2.2.1.2. Invarianza en el procedimiento

Esta propiedad requiere que los mtodos de "extraer" las preferencias mantengan elmismo orden en ellas, entonces dos procedimientos diferentes debern mantener elmismo orden en las preferencias. Este fenmeno est asociado directamente a laexistencia de inversin en las preferencias descrito inicialmente por Sarah Lichtensteiny Paul Slovicv y ampliado por Tversky y Kahneman. Considere un individuo que tienela oportunidad de jugar dos loteras representadas en la grfica siguiente:6

6. Esta versin de la inversin en las preferencias es tomada de Plott,Ch.R (1996).

LOTERA A LOTERA B

La lotera A da un pago de $4 con una gran certeza y un pago de $0 con una pequeaprobabilidad. La lotera B da un pago de $16 con una probabilidad de un 30% y unpago de $0 con una probabilidad de 70%. La lotera A es llamada P-Bet debido a quela probabilidad de ganar es muy grande y la lotera B es llamada $-Bet debido a quela cantidad a ganar es muy grande. Cuando los individuos son preguntados por su

P-Bet

$0

$4

$-Bet

$0$16

ICESI31


eleccin la mayora elige A. Sin embargo, cuando se les pregunta cunto pagaranpor el derecho a jugar las loteras, el mismo individuo deseara pagar ms por el derechoa jugar la lotera B. De esta forma, la inconsistencia en el comportamiento es evidente,mostrando asimetra en el procedimiento. [Ver tambin Tversky (1996) y McFadden(1999)].

2.2.1.3. Invarianza en el contexto

El ltimo requisito consiste en la invarianza en el contexto, definido por el conjunto deopciones bajo consideracin. De acuerdo con Tversky (1996) uno de los supuestosbsicos en una eleccin racional consiste en que cada alternativa tiene una utilidad quedepende solamente de esa alternativa. Esto significa que una opcin no preferida, nopuede preferirse si se adicionan nuevas alternativas al conjunto de eleccin. Lo contrariomostrara que no existe invarianza en el contexto. Esta hiptesis implica que si no existeinvarianza, la 'parte del mercado' de x podra incrementarse al adicionar a {x,y} unatercera alternativa z que es claramente inferior a x pero no a y. Un ejemplo sobre laviolacin de este supuesto, es provisto por los autores anteriores: A un grupo de 106encuestados se les ofreci elegir entre $6 y un bolgrafo Cross, el porcentaje queseleccion el bolgrafo fue del 36% y el resto prefiri el dinero. A un segundo grupo de115 encuestados se les ofreci elegir tres opciones: $6, el bolgrafo Cross y un bolgrafomenos atractivo; el 2% eligi el bolgrafo menos atractivo, mientras el porcentaje queeligi el Cross aumento del 36% al 46%.

2.3. El problema bsico del consumidorDeberemos ahora introducir los precios en nuestro modelo bsico. Cualquier consu-midor ha experimentado que sus deseos de elegir m bienes se ven frustrados cuandodecide ir al mercado, a un centro comercial, etc. Dicha frustracin no es ms que laconfirmacin de que aun cuando se tienen preferencias por los bienes, stas por ssolas no bastan, esto es, existen restricciones como la cantidad de dinero queposeemos en nuestros bolsillos para comprar dichos bienes. De una manera msformal, asumamos que existen m bienes, los cuales son infinitamente divisibles.

Un consumidor selecciona una canasta que contiene dichos bienes descritos por elm vector en X = (x1,x2,,xm) donde xi , i=1,..,m, representa la cantidad del bien i. Laspreferencias del consumidor, sobre varias posibles canastas, se representa por la

relacin de preferencias sobre .

Asociado a cada bien i existe un precio, medido en alguna unidad monetaria pi 0,de tal forma que el costo de elegir xi ser pi xi. El costo total de elegir la canasta

X = (x1,x2,,xm) ser = p X. Asumiremos por simplicidad, que el consumi-dor tiene un presupuesto de y unidades monetarias.

As, la eleccin del consumidor es restringida a la restriccin de presupuesto:

ICESI32

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Por lo tanto, el consumidor elegir una canasta determinada de acuerdo a la siguienterestriccin:

(2.3) y

Esta situacin se representa en la Grfica 2.6, donde la restriccin de presupuesto sedefine como el rea sombreada debajo de la recta pi . xi = y. Como se podr observar,la diagonal de esta regin ser perpendicular al vector de precios p. Si el presupuestocambia, digamos aumenta, dicha regin tambin aumentar desplazndose a laderecha y, de lo contrario, a la izquierda. Para cualquier consumidor la restriccin(2.3) le indica que tanto U0 como U1 son asequibles mientras U2 no.

Cmo se deber elegir entre U0 y U1? Para resolver dicho interrogante se usar elsupuesto 2.1.1.5.1 por lo cual la desigualdad se convertir en igualdad y, entoncesla canasta ptima ser X* con la curva de indiferencia U1. Mas-Collel, Whinston yGreen (1995) definen esta solucin de la siguiente forma: la demanda Walrasianax(p,y) satisface la ley de Walras, s para cada p >> 0 e y > 0 se cumple quep . x = y x X (p,y), esto es, el consumidor gasta totalmente su riqueza. De maneraformal, diremos que el problema bsico del consumidor, dados unos precios p y, unpresupuesto y, consistir en solucionar:

(2.4)

S p es estrictamente positivo (>>) y u( . ) es continua, el problema de maximizacinde la utilidad tiene una solucin.

GRFICA 2.6. Eleccin del consumidor.

=

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2.3.1. Restricciones mltiples

Suponga una funcin de utilidad continua y cuasi-cncava. Cada gi(x) esconvexa y X es un conjunto convexo. Suponga tambin que existe algn xX congi(x) < 0 i=1,2,.., s. Si x* es una solucin existe una serie de 1, 2,..,s positivos,pero no todos iguales a cero, tal que x* es una solucin al problema:

(2.4.1)

As, el problema 1.12 del captulo 1 podra escribirse como

(2.4.2)

Como podr observarse tiempo consiste en una clara interpretacin del valor deltiempo; este ser el valor por medio del cual una unidad de tiempo, por ejemplo unahora, puede ser convertida en dinero.

2.4. Dualidad

Uno de los aspectos importantes en la teora del consumidor, consiste en la dualidad.La dualidad es una de las "herramientas" ms usadas en la estimacin de modelos.Bsicamente la dualidad expresa la relacin entre los bienes por un lado y los preciospor el otro. De esta forma, el consumidor podr elegir entre maximizar la funcin deutilidad sujeto a la restriccin de presupuesto o, minimizar su gasto en una serie debienes siempre y cuando, la funcin de utilidad permanezca constante. El problemase plantea como:

(2.5)

(2.6)

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De la solucin al problema (2.5) se obtienen las demandas marshallianas, mientras dela solucin a (2.6) se obtienen las demandas Hicksianas o demandas compensadas.Las funciones Hicksianas satisfacen la cantidad de bienes x a los precios p cuando lautilidad permanece constante, de ah su nombre:

(2.6.1) Xi = gi (y,p) = hi (u,p)

(2.6.2) u = v(x1,,xm) = v[g1(y,p),g2(y,p),..,gm(y,p)] = v (y,p)

(2.6.3) x = = C(u,p)

Donde v (y,p) es la funcin indirecta de utilidad o el mximo sostenible de utilidaddados los precios y el ingreso:

(2.6.4) v (y,p) = [v(x); px= y]

Y la funcin C(u,p) es el mnimo gasto que mantiene la utilidad constante, dado losprecios p, y claramente es una solucin al problema dual:

(2.6.5) C(u,p) = [ px= ; u(x) = v]

La funcin de gasto y la funcin indirecta de utilidad estn ntimamente relacionadas,pues a partir de invertir C(u,p) = x se encuentra u en funcin de x y p. Similarmentela inversin de u = v (y,p) nos lleva directamente a x = C(u,p). Esto se puede observarmejor en el siguiente esquema:

=

=

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2.4.1. Propiedades de la funcin indirecta de utilidad

Entre las propiedades usuales de la funcin indirecta de utilidad, tenemos

1) Es homognea de grado cero en (p,y), esto es, v( tp, ty)= v(p,y) t >0.2) No es creciente en p y es estrictamente creciente en y.

3) Es cuasi convexa con respecto a p, esto es el conjunto {p: v(p,y) c} es convexopara cada y > 0 y algn c.

4) La derivada de la funcin indirecta de utilidad con respecto a los precios e ingresose conoce tambin como la Identidad de Roy y es una forma conveniente derecuperar la demanda Marshalliana,

(2.7) xim = gi (y,p) = v =

5) Es continua en p e y.

2.4.2. Propiedades de la funcin de gasto

Entre las propiedades usuales de la funcin de gasto, se encuentran:

1) La funcin de gasto es homognea de grado uno en precios, formalmente paraalgn escalar >0 : C(u, p) = C(u,p). Esto es, si los precios se doblan sedeber desembolsar dos veces ms cantidad de dinero para estar en la mismacurva de indiferencia.

2) La funcin de gasto es creciente en m, no decreciente en p y creciente en almenos un precio. Esto se deriva del axioma de insaciabilidad ya que dados unosprecios, el consumidor tiene que gastar ms para estar mejor, debido a que unincremento en precios requiere ms cantidad de dinero para permanecer mejor.

3) La funcin de gasto es cncava en precios. Cuando el precio de un bien cambia,mientras los otros precios y la utilidad permanecen constantes, la concavidadimplica que el costo aumenta no ms que linealmente, esto es esencial, porque elconsumidor minimiza sus gastos reacomodando sus compras en orden a tomar lasventajas de la estructura de precios. Es decir,

(2.8) C(u,p) C(u,p) ; 0 1

La estricta concavidad se mantiene, si en (2.8) se reemplaza por >. Supongamoslos siguientes bienes y precios:

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xi pi xi pi1 2 4 8

2 4 5 20

3 6 4.5 27

Y definamos p3 como p1+ (1-)p2 y si es igual a 0.5 entonces p3=4.5. Entonces,

C(u,p1) = x1p1= 8 x3p1= 24C(u,p2) = x2p2= 20 x3p2= 30

Se deber demostrar que C(u, p1+ (1- )p2) [C(u, p1)]+ (1- )[C(u, p2)]. S C(u,p1+ (1-)p2)= C(u,p3)= x3p3 = 27 y dado que [C(u, p1)] = 0.5*8 y (1-)[C(u,p2)]=10:

C(u, p1+ (1-)p2) [C(u, p1)]+ (1-)[C(u, p2)] ya que 27 >14.

4) La funcin de gasto es continua en p y la primera y la segunda derivada conrespecto a los precios existe.

5) Cuando ellas existan, las derivadas parciales de las funciones de gasto conrespecto a los precios sern las funciones de demandas Hicksianas:

(2.9)

La anterior propiedad se conoce tambin como el Lema de Sheppard.

2.4.3. Propiedades de las funcionesde demandas Marshallianas y Hicksianas

Como se ha encontrado anteriormente, de la solucin a (2.5) se obtiene la demandaMarshalliana mientras de la solucin a (2.6) se obtiene la demanda Hicksiana. Ahoraderivaremos algunas de las propiedades para dichas demandas.

2.4.3.1. Adicin

El valor total de las demandas Hicksianas y Marshallianas sern los gastos totales:

(2.10) = = y

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2.4.3.2. Homogeneidad

Las demandas Hicksianas son homogneas de grado cero en precios; las deman-das Marshallianas en el gasto total y en los precios tambin lo son, esto es, para algnescalar > 0, se cumple:

(2.11) hi (u, p) = hi (u, p)= gi (y, p) = gi (y, p)

2.4.3.3. Simetra

Las derivadas transversales de los precios, en las demandas Hicksianas son simtricas:

(2.12)

Para todo i j. Esta propiedad adems se deriva del teorema de Young.

2.4.3.4. Negatividad

La matriz de n n formada de los elementos de es semidefinida negativa,

(2.13) i j ij 0

Si es proporcional a p, la desigualdad llegar a ser una igualdad, y la forma

cuadrtica (2.13) ser cero. El resultado anterior se mantiene en tanto es la

matriz de segundas derivadas de la funcin de gasto, que es una funcin cncava y

semidefinida negativa. Por conveniencia se reemplaza por sij y se conoce como

la matriz de sustitucin o la matriz de Slutzky, donde los elementos diagonales dedicha matriz sern no positivos para todo i,

(2.14) sii 0

De esta forma, un incremento en precios con la utilidad constante deber produciruna mayor demanda para aquel bien o aquellos que permanecen sin cambiar. Laexpresin (2.14) podra considerarse tambin como la famosa "ley de la demanda".Por supuesto, (2.14) nos muestra una funcin de demanda compensada, pero adiferencia de la visin tradicional de la demanda (2.14) proviene de la funcin de

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gasto, la cual es cncava aunque las preferencias sean o no convexas. La propiedadde negatividad no nos dice nada acerca de las curvas de indiferencia y, por supuestosi stas fueran cncavas al origen dichas demandas mostraran soluciones de esqui-na, las cuales no son explicadas por (2.14).

De esta forma, las propiedades bsicas de las curvas de demanda son la adicin, lahomogeneidad de grado cero en precios e ingreso. Por lo tanto, sern simtricas lasrespuestas en precios y formarn una matriz semidefinida negativa. Si la simetra ynegatividad son comprobables entonces es posible observar la matriz de sustitucinde Slutzky. Al derivar la Hicksiana con respecto a pj y usando el lema de Sheppardencontraremos:

(2.15) sij = =

Donde el ltimo trmino es la derivada de los precios no compensados con respectoa pj . El trmino compensado se refiere a la cantidad de veces xj (la derivada del

mnimo costo con respecto a pj) que (el gasto total derivado de xi) deber ser

adicionado. Cada una de las magnitudes de (2.15) en principio pueden ser observa-das directamente variando a x y p. La ecuacin (2.15) se descompone entonces en

el efecto sustitucin del cambio en precios y en el efecto ingreso . Un sij

positivo slo puede ocurrir en el caso de un bien inferior, por ejemplo bienes giffen,ya que todos los bienes giffen son inferiores pero lo contrario no es cierto. Los bienesgiffen son muy raros y slo se citan casos excepcionales como la papa, ya que siaumenta su precio su demanda no disminuir. La matriz de sustitucin tiene unafuncin importante en clasificar los bienes: si los bienes i y j son complementariossij es negativo y si los bienes i y j son sustitutos sij es positivo.

2.5. Trayectorias de expansin

Usualmente la funcin de demanda cambia ante un cambio en precios o ingreso; estecambio puede observarse en trminos de la esttica comparativa: Suponga que losprecios estn fijos pero el ingreso del consumidor lentamente se incrementa, entoncesa partir de la coleccin de puntos resultantes se podra trazar una trayectoria en elortante no negativo que se denomina trayectoria de expansin del ingreso. Estatrayectoria puede ser proyectada en un plano definido por dos bienes, mostrandodicha trayectoria la expansin del ingreso relativo a estos dos bienes de la siguienteforma:

ICESI39


Como podr observarse, la grfica (2.7.a) muestra un conjunto de bienes normales:el consumo de los bienes x1 y x2 se incrementa cuando el ingreso se incrementa. Enla grfica (2.7.b) el bien x2 es un bien inferior, esto es, el consumo cae en tanto elingreso aumenta. Cuando la demanda de un bien se grafica como una funcin delingreso, el resultado se conoce como la curva de Engel para dicho bien. Deberadems observarse que en el caso de que las preferencias sean homotticas, secumple que u(tx)= tu(x) t > 0, entonces, la trayectoria de expansin y la curva deEngel ser una lnea de trazo continuo como en la grfica (2.7.c).

2.6. La tasa marginal de sustitucin

Considere la curva de indiferencia u(x1,x2) = u1 cuya representacin viene dada porla grfica (2.6) para algn valor fijo de u. Esta curva puede ser pensada como lafuncin x2(x1). De dichas curvas se define la tasa marginal de sustitucin del bien 2por el bien 1 como:

GRFICAS 2.7.a 2-7.b. Trayectorias de expansin. GRFICA 2.7.c. Curva de Engel.

GRFICA 2.7.d. Puntos de felicidad yrestricciones presupuestarias Bi.

GRFICA 2.7.e. Curva de Engel.

Y

X1

X1

ICESI40

JHON JAMES MORA

(2.16) TMS21=

La tasa marginal de sustitucin es la pendiente de la curva de indiferencia, y susentido econmico no es otro que la cantidad que se est dispuesto a renunciar delconsumo del bien 1 por consumir unidades adicionales del bien 2, por esta razn latasa marginal de sustitucin definida de la anterior forma decrece cuando x1 crece.Si nosotros diferenciamos u(x1,x2) =U1 con respecto a x1, se encuentra:

(2.17)

De igual forma, la solucin al problema bsico del consumidor nos muestra:

(2.18)

Donde (2.18) es la tasa de sustitucin econmica del bien 2 por el bien 1, y sta esla pendiente de la lnea de restriccin presupuestaria:

Se asume que la solucin anterior ocurre en un punto x con x > 0, esto es posibleincluso para uno o ms componentes de x que sean cero, tal es el caso de lassoluciones de esquina como en (2.9), veamos:

GRFICA 2.8. Tasa marginal

de sustitucin.

ICESI41


La grfica anterior en el caso de dos dimensiones nos muestra que si la solucin ocurre

en el punto x1 > 0 y x2 = 0 la TMS21 > , este resultado se extiende a dimensiones

mayores.

2.7. Elasticidad

Cuando se discute la sensibilidad de la demanda del consumidor ante cambios envariables como el precio o el ingreso, se puede medir directamente dicha sensibili-dad, a travs de la elasticidad, por ejemplo, x/y en el caso de la sensibilidad en elingreso. Una de las desventajas de esta medida, es la dependencia sobre las unida-des usadas. Es comn usar la elasticidad ingreso de la demanda:

(2.19)

As (2.19) es el porcentaje de cambio en la demanda ante un cambio porcentual en elingreso. Como un resultado adicional, se deber observar que la elasticidad ingreso

promedio deber ser unitaria, esto es: k11+ ... + kjj= 1 donde k j= es la

proporcin del ingreso gastado en la bien j.

La elasticidad precio de la demanda del bien x vendr definida por:

x2

GRFICA 2.9. Solucin de esquina.

u

ICESI42

JHON JAMES MORA

(2.19)

2.8. Algunas formas funcionalesEn esta seccin se desarrollar primero un ejemplo usual de maximizacin y luego sediscutirn algunas formas funcionales tradicionales en la demanda. Suponga unconsumidor, cuya funcin de utilidad viene definida por u(x1,x2 ) = x12 +x22. Larestriccin presupuestaria viene dada por p1x1+p2x2 = Y. Para solucionar este proble-ma se usar el Lagrangiano y deduciremos las condiciones de primer orden. Elproblema se plantea como:

Max u(x1,x2 ) = x12 +x22

Sujeto a p1x1+p2x2 = Y

l = x1 2 + x2 2 - ( p1x1 + p2x2 - Y )

(2.20)

(2.21)

(2.22)

Cul es el significado econmico del multiplicador Lagrangiano ? Se puedeobservar que el multiplicador es la razn de cambio del mximo (o mnimo) valor dela funcin objetivo con respecto a un cambio paramtrico en el valor de la restriccin.Supongamos, que la funcin objetivo para un individuo est determinada por eltrabajo y el ocio, sujeta a la restriccin del tiempo en algn nivel k: S un incrementoadicional del tiempo, ocurriese en k unidades, el ingreso se incrementara en y* *k. En otras palabras, * ser el valor marginal del tiempo o el costo de oportuni-dad del mismo, y en una economa competitiva, las empresas estaran dispuestas apagar * por cada incremento en el tiempo, esto significa que * podra ser vistocomo el precio de reserva del tiempo, es decir el salario de reserva.

ICESI43


Despejando (2.20) y (2.21) e igualando obtenemos,

(2.23)

Sustituyendo (2.23) en (2.22):

(2.24)

De donde se deduce que la demanda Marshalliana viene determinada por:

(2.25)

De igual forma, reemplazando esta solucin en (2.22), la demanda del bien x1 ser:

(2.26)

La funcin indirecta de utilidad se encuentra reemplazando (2.25) y (2.26) en lafuncin de utilidad:

(2.27)

A partir de (2.27) se puede usar la identidad de Roy, entonces:

(2.28)

(2.29)

ICESI44

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De donde se deduce:

(2.30)

De esta forma, la demanda ser:

(2.31)

De acuerdo con la dualidad, el problema tambin se puede plantear como:

Min p1x1+p2x2 Sujeto a u(x1,x2 ) = x12 +x22 = u0

As, el Lagrangiano es:

l = p1x1 + p2x2 + ( x12 + x12 - u 0)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

Despejando (2.32) y (2.33) e igualando:

(2.35)

Sustituyendo (2.35) en (2.34) se obtiene:

(2.36)

De donde se deduce que la demanda Hicksiana viene determinada por:

ICESI45


(2.37)

Usando el Lema de Sheppard:

(2.38) C(u,p1,p2)

Por lo cual,

(2.39) y

Veamos otro ejemplo. Considere la siguiente funcin de utilidad y la restriccinpresupuestaria:

(2.20.1) U(x1,x2) = x1x2(1-)

(2.20.2) p1 x1+ p2x2 = y

Para solucionar el problema del consumidor, tendremos:

(2.20.3) = x1x2(1-) -( p1 x1+ p2x2- y)

(2.20.4) = 0 (2.20.5)

ICESI46

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(2.20.6)

Igualando (2.20.3) y(2.20.4) se encuentra que:

(2.20.5)

Sustituyendo en (2.20.6) se obtienen las siguientes demandas Marshallianas:

(2.20.6)

(2.20.7)

La funcin indirecta de utilidad, V (p1,p2,y),ser:

(2.20.8) V(p1,p2,y) =

2.8.1. El sistema Lineal de Gasto

El sistema lineal de gasto (LES) es una generalizacin de la funcin de utilidad Cobb-Douglas. Fue desarrollado por Klein y Rubin (1947-48) y Samuelson (1947-48).Investigado empricamente por Stone (1954) y Geary (1950), por lo cual se le da elnombre Stone-Geary. El sistema lineal de gasto es bsicamente una Cobb-Douglastrasladada en el origen al punto (B1 ,B2), en el cuadrante positivo:

(2.40)

(2.41) por la proposicin 2.1

Supongamos la restriccin:

(2.42)

ICESI47


Entonces el problema de maximizar (2.41) sujeto a (2.42) se resuelve con el Lagrangiano:

(2.43)

(2.44) (2.45)

(2.46)

Igualando (2.44) y (2.45) tendremos:

;

Sustituyendo en (2.46)las demandas marshalianas sern:

S

ICESI48

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(2.47)

(2.48)

Las ecuaciones (2.47) y (2.48) son las demandas Marshallianas. Escribiendo lasfunciones de demanda en forma de gasto:

(2.49)

(2.50)

De esta forma, el gasto en cada bien XiPi es lineal en precios e ingreso. El LESdescribe a unos consumidores comprando primero las cantidades de subsistenciade cada bien ( Bi ) y, dividiendo lo que queda del gasto, entre los bienes, enproporciones fijas (1, 2) . El gasto marginal en cada bien es constante y el LES tieneuna curva de Engel lineal que no es homottica, ya que todas las lneas de ingreso-gasto pasan a travs del punto Bi

Howe, Pollack y Wales(1979) estiman un LES usando los siguientes bienes: alimentos,ropa, abrigos y miscelneos denominados por f, c, s y m respectivamente; los datosfueron tomados del consumo en Estados Unidos entre 1929 y 1975 excluyendo losaos de guerra(1942-1945), el resultado obtenido fue:

GRFICA 2.8. Sendas de expansinpara una LES no homottica.

ICESI49


Parmetro Valor Desviacin Estndar

f 0.38 0.022c 0.24 0.015s 0.17 0.02m 0.21

Los i {f,c,s,m} son las partes asignadas del presupuesto marginalmente y stas sonnecesariamente independientes de los precios, del gasto y del consumo pasado. Larestriccin implcita como se puede observar, consiste en i4 =1, debido a que nose puede gastar ms de lo que se tiene en cada bien, y no tiene sentido gastar menos.De igual forma, para 1975 Howe et-al encontraron unos valores i {f,c,s,m} de 0.32,0.12, 0.36 y 0.20 respectivamente.

La concavidad en la funcin de gasto se satisface por el hecho de que los i sonpositivos y xi no es menor que i pi Bi ya que xi Bi i. Si dichas restricciones no semantienen, la funcin de gasto no es cncava. Deaton y Muelbauer(1981) indicanque si observamos la cantidad i pi i sta nos muestra que no existen efectos desustitucin y entonces se deber pensar en el LES como una funcin de utilidad

"comprada" a un precio constante por unidad . De igual forma, los spueden ser pensados como la media geomtrica de los precios y, de esta forma,como un ndice de precios que representa el "costo marginal de vida".

Para obtener un indicador "real" de riqueza, deberemos partir de que s los Bi repre-sentan los requisitos de subsistencia, solamente Y - i pi Bi es lo que queda paraasignarse en forma discrecional, y s deflactamos lo que queda por la media geomtricaponderada de los precios i, entonces obtendremos dicho indicador.

2.8.2. La funcin de Utilidad CES

La funcin de utilidad CES surge como una analoga directa a la teora de la produc-cin (Arrow et-al 1961) y tiene la forma:

(2.51) u(x1,x2 ) =(1 x1 +2 x2)1/ con 1

Maximizando (2.51) sujeto a la restriccin de presupuesto:

(2.52)

Y utilizando las condiciones de primer orden derivadas de usar el Lagrangianoobtenemos:

(2.53)

ICESI50

JHON JAMES MORA

(2.54)

(2.55)

Igualando (2.53) y (2.54) se obtiene:

(2.56)

De donde la elasticidad de sustitucin vendr dada por:

(2.57)

Entre mayor sea el valor del parmetro mayor ser el grado de sustitucin entre losbienes. Observe que s = 0 la CES ser una Cobb-Douglas y cuando seruna Leontief. Las funciones de demandas Marshallianas correspondientes a la CESsern:

(2.58) Y

De donde,

(2.59)

Dado que las preferencias representadas por la funcin de utilidad CES son homotticas,las funciones de demandas marshallianas son lineales en el Ingreso. Para encontrar la

funcin de utilidad indirecta, se sustituye (2.59) en (2.55) y dado que

obtenemos la funcin indirecta de utilidad:

y

ICESI51


(2.60)

La funcin de gasto se obtiene directamente invirtiendo la funcin indirecta de utilidad:

(2.61)

2.8.3. La funcin de Utilidad Indirecta Addilog

Como se ha podido observar en los ejercicios anteriores, es posible derivar las funcionesde demanda de los bienes a travs de maximizar la utilidad, sujeta a la restriccin degasto. Sin embargo, la solucin no siempre es estimable. La teora de la dualidad sugiereque una alternativa es especificar una funcin indirecta de utilidad, una funcin que es nodecreciente en el ingreso, no decreciente y cuasi convexa en precios, continua yhomognea de grado cero en precios e ingreso. De esta forma, a partir de la funcin deutilidad indirecta que corresponda a algn tipo de preferencias del consumidor puederecuperarse la demanda con la identidad de Roy. Una forma funcional es la funcin"addilog" de utilidad indirecta introducida por Houthakker (1965):

(2.62) V(p1,p2,Y) =

Las funciones de demandas obtenidas de una "addilog" usando la identidad de Roysern:

(2.63)

Si nosotros dividimos x1Y por x2Y y tomamos logaritmos, el resultado es una logartmicalineal en el ingreso y en los precios relativos de x1 , x2:

ICESI52

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(2.64)

2.8.4. Las especificaciones Translogartmicas

La funcin de utilidad translogartmica proviene de Christensen, Jorgenson y Lau(1971,1975). Esta ha sido la forma funcional ms usada en anlisis empricos dedemanda. Una de las ventajas de la translogartmica es su forma funcional flexible,ya que puede ser aproximada de una funcin de segundo orden por Taylor a unafuncin de utilidad indirecta arbitraria. La especificacin translogartmica bsicaviene dada por:

(2.65)

Las restricciones tericas nos indican que por adicin y por simetra

kj=jk k y j. Cuando sea ms conveniente trabajar con las ecuaciones de gasto quecon las ecuaciones de demanda, entonces se usarn las especificacionestranslogartmicas:

(2.66)

La especificacin translogartmica puede denotarse tambin como:

(2.67)

Las ecuaciones de gasto se pueden obtener a travs de la diferenciacin logartmicade (2.67) y se escriben:

ICESI53


(2.68)

Un caso especial de la translogartmica es la translogartmica homottica, la cual seobtiene a travs de imponer las siguientes restricciones:

(2.69) jkj = 0 , k = 1,,nque se conocen como restricciones de Homogeneidad. Dadas estas n restricciones,la funcin de utilidad indirecta y las ecuaciones de gasto sern:

(2.70)

(2.80)

La ecuacin (2.80) muestra que las partes del gasto son independientes del ingreso,lo cual confirma que las preferencias son homotticas. Observe tambin que lafuncin indirecta de utilidad (2.79) puede ser invertida para obtener una funcin degasto translogartmica homottica:

(2.81)

La funcin de gasto (2.81) se usa frecuentemente en estudios empricos sobrefunciones de produccin, ya que si se interpreta Y* como el costo total, entonces lasecuaciones de intensidades factoriales se obtienen a travs del Lema de Sheppard.

2.8.5. El sistema Casi - Ideal de Gasto AIDS

El sistema de ecuaciones de demanda puede ser derivado a partir de la funcin degasto. Suponiendo que ste es continuo y no-decreciente precios y utilidad, yadems cncavo y homogneo de grado cero, entonces:

(2.82)

ICESI54

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Usando el Lema de Sheppard, las ecuaciones de gasto sern:

(2.83)

Donde

Deaton y Muellbauer arguyen que p puede ser considerado como un ndice deprecios y que puede ser aproximado por jxipiLogpi . Dada esta aproximacin, elsistema de ecuaciones de demanda sern lineales en el logaritmo de precios eingreso real.

El sistema AIDS (Almost Ideal Demand Sistem) cumple las restricciones de adicin,homogeneidad y simetra. Para satisfacer las condiciones de negatividad se requiereque la matriz de Slutzky sea semidefinida negativa:

(2.84) cij= ij +i j Log (Y/ p) - xipi ij + xjpj xipiDonde es el producto de kronecker7 que ser igual a 1 s i=j y 0 de lo contrario.Los resultados ms importantes del AIDS consisten en que (2.84) es lineal y puedeser estimado por mnimos cuadrados ordinarios. Las restricciones sobre y ase-guran que p sea lineal, aunque en muchas estimaciones p pueda resultar colineal, sise usa algn ndice de precios se elimina dicho problema. Los s del AIDS determi-nan cundo los bienes son de lujo o necesarios: si i > 0 el gasto (xipi ) se incrementacon x, por lo cual, el bien i ser de lujo, de forma similar i < 0 el bien i ser necesario.Los ij miden el cambio en la i- sima parte del gasto siguiendo un cambio propor-cional en pj con (Y/ P) permaneciendo constante.

7. S A es(mn) y B es (pq) entonces se dice que el producto de Kronecker A B = {bij A }mp,nq

ICESI55


2.8.6. El modelo de Rotterdam

Propuesto inicialmente por Theil(1965) y Barten(1966). Este modelo es parecido alStone-Geary, slo que en lugar de trabajar con los niveles de los logaritmos se usanlas diferencias de los mismos, esto es, diferenciando (2.51) se obtiene:

(2.85)

Se supone en (2.85) que las elasticidades ei y eij permanecen constantes. Usandola descomposicin de Slutzky y obteniendo eij = eij*- ei xipi donde eij* es la elasticidadcruzada de los precios:

(2.86)

Las restricciones se efectan tambin sobre las ecuaciones de gasto, de esta forma:

(2.87)

Donde,

(2.88) Log = Log x - kxkpkLogpk = kxkpkLogxk

(2.89) bi= xipiei= pi

(2.90) cij = xipiei*=

Y, sij es el ( i , j) trmino de la matriz de sustitucin de Slutzky. Observe que (2.88) esun ndice que representa el cambio proporcional en el gasto total real, mientras que(2.90) representa la demanda Hicksiana y (2.89) es la propensin marginal a gastaren el i- simo bien.

La propiedad de adicin requiere que las propensiones marginales a gastar en cadabien sumen uno y que el efecto neto de un cambio de precio en el presupuesto seacero. Algunas pruebas sobre homogeneidad en (2.88) han sido propuestas porBarten (1969) y Deaton (1974). Ver adems Deaton et-al (pag. 71-73).

ICESI56

JHON JAMES MORA

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ICESI58

JHON JAMES MORA

La demanda representa la cantidad que un consumidor desea comprar de una seriede bienes, ya sea expresada como una funcin de los precios y el ingreso o como unafuncin de la utilidad y de los precios.

Debemos partir de que el comportamiento del consumidor es racional. Si las decisio-nes que toma el consumidor contradicen los supuestos, entonces el consumidor esconsiderado irracional. De hecho, un estudio en sicticos crnicos realizado en unainstitucin mental en New York (USA) encontr que aquellas personas a quien lasociedad considera como "irracionales" siguen la famosa ley de la demanda: "com-pran menos cuando aumentan los precios" (Battalio et-al 1973).

Obviamente la discusin sobre "el comportamiento racional" es ms profunda de lo quese considera aqu, ya que no necesariamente se necesita estar en una institucin mentalpara caracterizar a un individuo como "irracional", o que comprar menos cuando aumen-tan los precios, ratifique el comportamiento maximizador de los individuos8.

3.1. Unicidad y continuidad

La demanda que corresponde a un vector de precios e ingreso podra no ser nica,como se observa en la grfica (3.1); all existen dos soluciones xA y xB correspondien-tes a la restriccin d

introduccion a la teoria del consumidor

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