TEORIA DE PROBABILIDADES ESTADISTICA I

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

FACULTAD DE INGENIERA INDUSTRIAL Y DE SISTEMASINGENIERA INDUSTRIAL

INGENIERA DE SISTEMAS

Dr. Ing. Luis Manrique SurezIng Nancy Ochoa SotomayorTEOREMA FUNDAMENTAL DEL CONTEOSi un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si, un segundo evento realizarse de n2 maneras diferentes, y si, un segundo evento realizarse de n3 maneras diferentes y as sucesivamente; entonces, el nmero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto n1. n2. n3PERMUTACIONESSon arreglos diferentes en que pueden ordenarse un conjunto de elementos en un orden definido.Una ordenacin de un nmero r de n objetos , r n , en un orden dado se lama permutacin r o una permutacin de los n objetos tomados de r a la vez . As mismo, una ordenacin de un conjunto de n objetos en u8n orden dado se llama una permutacin de los objetos (tomados todos a la vez)

El nmero de permutaciones de n objetos tomados de r en r se denotar por : P (n, r) nPrEl primer elemento de una permutacin r de n elementos puede escogerse de n diferentes maneras; el segundo elemento de la permutacin puede escogerse de (n-1) maneras, y as sucesivamente, el r-simo (ltimo) elemento de la permutacin r puede escogerse de n (r-1) = n r + 1 maneras

1 2 3 4 r

n P r = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-r+2) (n r +1)

n P r = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-r+2) (n r +1).

r n 0! = 1

APROXIMACIN DE STIRLING A n!

Cuando n es un valor muy grande, n! se puede aproximar mediante la frmula de Stirling; es decir:

La cual tiene un error

menor que el 1% para n > 10

Ejemplo: Calcular 35!

35! = 3535 e-35 = 1.031 x 1040PERMUTACIONES CON SUSTITUCIN

El nmero de permutaciones con sustitucin de n elementos tomados de

r en r (orden r) es:

PERMUTACIONES CON REPETICIN (particiones ordenadas)El nmero de permutaciones de n elementos, de tal manera que:

n1 son iguales, n2 son iguales,, nk son iguales y n = n1 + n2 + n3 ++ nk.

PERMUTACIN CIRCULAR

El nmero de permutaciones circulares de n elementos, tomados todos a la vez, es igual:

COMBINACIONES

Es una seleccin de un conjunto de n elementos tomados de r en r, sin tener en cuenta el orden de los elementos, convirtindose en un subconjunto de n

Ejemplo. Las combinaciones que pueden formarse con las letras A, B, C y D son:

a) De 4 en 4 : ABCD

b) De 3 en 3 : ABC , ABD , ACD, BCD

c) De 2 en 2 : AB , AC, AD , BC, BD, CD

d) De 1 en 1 : A, B, C , D

Si comparamos las combinaciones y permutaciones de 3 en 3

n=4 r=3

4P3 = 24 4C3 = 4

COMBINACIONESPERMUTACIONES

ABC ABC ACB BCA BAC CAB CBA

ABD ABD ADB BDA BAD DAB DBA

ACD ACD ADC DCA DAC CAD CDA

BCD BCD BDC CBD CDB DCB DBC

COMBINACIONES: NO le interesa el ORDEN

PERMUTACIONES: SI le interesa el ORDEN

Cada combinacin tiene 3! permutaciones

3! 4C3 = 4C3

4C3 = =

COMBINACIN CON REPETICIN

Ejemplo: Hallar el nmero de CR de las letras A, C, D y E

Tomados de 2 en 2 Tomados de 3 en 35CR2 = = 15 5CR3 = = 35AAABACADAEAAABBBCCCDDDEEE

BBBCBDDEAABAACAADAAEBBA

CCCDCEBBCBBDBBECCACCB

DDDECCDCCEDDADDBDDC

EEDDEEEAEEBEECEED

ABCABDABEACDACE

ADEBCDBDEBCECDE

Propiedades de las Combinaciones

Combinacin complementaria

r

EMBED Equation.3 =

=

PROBABILIDADES

Experimento Aleatorio Es una operacin cuyo resultado no puede predecirse con certeza; pero s, se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

E1: Lanzar un dado y observar el n de puntos que aparece en la cara superior

E2: Lanzar dos monedas y observar el nmero de caras

E3: Extraer un artculo de un lote que contiene artculos buenos y defectuosos

E4: Sacar una muestra de 10 artculos de la produccin diaria y determinar el nmero de artculos defectuosos

Espacio muestral: S,

Es la reunin o conjunto de todos los posibles resultados del experimento

Ejemplo: Para los experimentos anteriores

Evento o SucesoEs una particin o subconjunto del espacio muestral

Ejemplo:

A1: {Resultado sea Par} = {2, 4,6}

A2: {por lo menos una cara} = {cs, sc, cc} A3: {Artculo defectuoso} = {2, 4,6} A4: {Como mnimo dos artculos defectuosos} = {2, 3, 4,}PROBABILIDAD

Si un evento puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables y si n de ellas tiene caracterstica E; entonces, la probabilidad de ocurrencia de E es:

p (E) =

Hay una relacin natural entre Teora de Probabilidades y teora de Conjuntos. Podemos observar por ejemplo:

CONJUNTO UNIVERSALESPACIO MUESTRAL

SUBCONJUNTOEVENTO

Entonces se puede dar la definicin utilizando estos trminos:

La probabilidad de ocurrencia del evento A, es igual al nmero de muestras posibles que puede suceder A sobre el nmero de elementos del espacio muestral

p(A) =

AXIOMAS DE PROBABILIDAD1.- Axioma de Positividad (No Negatividad)

0 p 1

2.- Axioma de Certeza p (S) = 1

3.- Axioma de Uniones

i) E1 U E2 U E3 U...U Ek =

ii) E1 E2 E3 ... Ek =

propiedadesDe los 3 axiomas se deducen las siguientes propiedades:

1.- La probabilidad del conjunto nulo o vaco es igual a cero

Se sabe que: A U = A

p (A U )= p (A) p (A) + p () = p (A) p () = 02.- La probabilidad del complemento de A, es igual a uno menos la probabilidad del evento A

S

A U = S p (A) + p () = p (S)

p () = p (S) p (A) p ( ) = 1 p (A)

3.-Si A y B son 2 sucesos cualesquiera, entonces:

A B A B

+

Se puede observar que A-B y B son disjuntos

P (A-B) + P (B) = P (AUB) P (A-B) = P (A) P (AB)P (AUB) = [P (A) P (AB)] + P (B) P (AUB) = P (A) + P (B) P (A B)

4.- Sean los eventos A, B y C

5.- Sean los eventos A1, A2, A3,..., An

p = - + - +

(-1)n+1

6.- Si A B P(A) P (B)

B

P (B) = P(A) + P(B-A)

Donde p (B-A) 0

P (B) P(A) 0 P(A) P (B)

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad condicional de que el evento B ocurra, sabiendo que el evento A ha ocurrido, es:

A ha ocurrido

P (B / A)

B incgnita

TEOREMA DE LA MULTIPLICACIN

De la probabilidad condicional P (B/A) =, se tiene:

P(A B) = P(A). P (B/A)

La probabilidad simultnea de A y B es igual al producto de la probabilidad de A, y la probabilidad de B dado que ha sucedido A

Igualmente: P(A B) = P (B). P(A/B)

Generalizando:

P (B) = P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2) + + P (An). P (B/An)

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Dos eventos son mutuamente excluyentes, s y slo s:

SDonde AB = (A y B no pueden suceder simultneamente)

EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de A no afecta (no condiciona, no influencia) a la ocurrencia de B, si:

P (B/A) = P (B)

P (A B) > 0

TEOREMA DE BAYES

Supongamos que hay n eventos: A1, A2, A3,..., Ak y

a) S = = A1U A2U A3U... U Anb) A1 A2 A3 ... Ak = = 0

P(AK / B)=

P ( AK / B ) =

EXAMEN FINALProfesor: Dr. Ing. Luis Manrique Surez

1.- Se distribuyen al azar 9 fichas diferentes en 4 cajas que estn ordenadas linealmente y cada caja tiene capacidad para almacenar 200 fichas. Cul es la probabilidad de que una de las cajas quede vaca y otra tenga 5 fichas?

2.- En un estante hay 8 libros: 1 de Estadstica, 2 de Fsica, 3 de Matemtica y 2 de Qumica. Se extraen 5 libros al azar. Cul es la probabilidad de encontrar una pareja de libros de la misma materia?

3.- La urna I tiene 3 fichas Azules y 3 fichas Blancas

La urna II tiene 2 fichas Azules y 4 fichas Blancas. Se lanzan dos monedas y si caen 2 sellos, se saca una ficha de la urna I; de lo contrario se saca una ficha de la urna II.

Si la ficha extrada resulta ser blanca Cul es la probabilidad de que la ficha extrada provenga de la urna I?

4.- En una playa de estacionamiento hay 8 espacios para aparcar

De cuntas maneras pueden aparcar si 4 de ellos deben estar juntos y otros 2 en los extremos?

5.- Se tiene las letras de la palabra M I S S I S S I P P I y de colocan en algn orden.

Determinar la probabilidad de que las letras (es) se encuentren en los extremos, y la M y las P deben estar juntas.

Estadstica y Probabilidades

P = S=

Universidad Nacional Federico Villarreal

Facultad de Ingeniera industrial y de Sistemas

ESTADsTICA I

Dr. Ing. Luis Manrique Surez Ing. Nancy Ochoa Sotomayor

--------------------------------------------------------------------------------------------------------38 PROBLEMAS- PROBB - ENUNCIADO1.- Ocho parejas de casados se encuentran en una reunin. Si se escogen aleatoriamente 8 personas y sea X el nmero de parejas de casados. Hallar la probabilidad de X

2.- Se tienen 3 cajas de diferentes colores y se distribuyen en ellas al azar 5 fichas. Si se distribuyen 3 fichas en la primera caja, se sacan 2 fichas de la urna I (3 Rojas y 5 Negras); en cualquier otra distribucin se sacan 2 fichas de la urna II (3 Rojas, 2 Negras y 3 Verdes). Sabiendo que las fichas extradas son de colores iguales. Cul es la probabilidad que hayan sido negras o rojas?

3.- Se tienen las letras de la palabra NATAHA NATTHAN y se arreglan en un orden determinado. Cul es la probabilidad de que las letras A se ubiquen en los extremos y las N y H no deben estar juntos Nota: S = 13 P 5, 3, 3, 2

4.- En una bolsa que contiene 2 monedas de un sol, 3 monedas de 2 soles y 4 monedas de 5 soles. Se extrae sucesivamente una moneda hasta obtener la moneda de mxima denominacin (5 soles). Calcular la probabilidad de encontrar el xito deseado (moneda de 5 soles) al realizar como mximo 3 extracciones.

5.-Se mezclan las letras de la palabra P A R R A M P A M y luego se arreglan en algn orden. Cul es la probabilidad de que:

a) La letra M se encuentre entre dos vocales?

b) Las letras A estn en los extremos y las letras R no estn juntas?

6.- Se distribuyen al azar 10 fichas entre 4 cajas. Cul es la probabilidad de que:

a) Dos cajas tengan 5 fichas cada una

b) La primera caja tenga 2 fichas y otra caja (cualquiera) tenga 3 fichas (dejar indicado, hacer el planteamiento)7.- El 5% de las unidades producidas en una fbrica se encuentran defectuosas, cuando el proceso de fabricacin se encuentra bajo control. La probabilidad de encontrar un artculo defectuoso es de 0.075 y la probabilidad de que el proceso est bajo control, sabiendo que se obtuvo un artculo defectuoso es 0.60. Si se escoge aleatoriamente un artculo, se pide determinar la probabilidad de:

a) Encontrar un artculo no defectuoso, sabiendo que el proceso no est bajo control

b) Si un artculo no est defectuoso. Cul es la probabilidad de que el proceso no est bajo control?

8.- En una fiesta de 4 hombres y 8 mujeres se divide al azar en 4 grupos de 3 personas cada uno. Calcular la probabilidad de que en cada grupo haya un hombre

9.- Cinco bolas distribuidas aleatoriamente 3 cajas designadas por A, B y C

Calcular la probabilidad

a) De que la caja A o B estn vacas b) Dos cajas no estn vacas

10.- Una urna contiene 3 bolas rojas y X blancas. Se saca una bola de la urna y se reemplaza por una de otro color, se saca de la urna una segunda bola. Sabiendo que la probabilidad de que la segunda bola sea roja es 34 / 100. se pide la probabilidad de la primera bola extrada sea roja

11.-Si el experimento aleatorio consiste en disponer los dgitos del 1 al 9 uno a continuacin de otro. Calcular la probabilidad de que el 5 aparezca antes del 6- Sin repeticin.

12.- Se distribuyen aleatoriamente r bolas diferentes entre N celdas. Calcular la probabilidad de que una celda determinada contenga n bolas

13.- Se tienen los 8 dgitos del 1 al 8, unos a continuacin de otro. Calcular la probabilidad de que el nmero formado sea mltiplo de 4 Sin repeticin

14.- Juan tiene 10 amigos. De cuntas maneras puede invitar a 4 de ellos a una reunin si 2 de ellos no se pueden ver y no asisten juntos

15.- Se lanzan 6 dados aire y caen en una mesa. De cuntas maneras pueden hacer dos cincos (o que aparezca 2 veces el nmeros 5)

16.- Se va a seleccionar un comit de 5 personas a partir de un grupo de 8 personas, denotados por P, Q, R, S, T, U, V y W. Cul es la probabilidad de que no sean seleccionados T, U y W?17.- En una urna que contiene 7 fichas rojas y 3 fichas verdes, se revolotean y se van sacando las fichas una por una. Cul es la probabilidad de que las 7 fichas rojas no salgan unas a continuacin de otra?18.- De una baraja normal de 52 cartas, se retiran 5 (cinco)espadas

Hallar la probabilidad de obtener un diez (10) en la siguiente extraccin

19.-La urna I tiene 5 fichas blancas, 4 negras y x rojas. La urna II tiene 3 fichas blancas, 4 negras y 5 rojas. Se tira un dado. Si sale 5 6 se sacan 2 fichas de la urna II, de lo contrario se sacan 2 fichas de la urna II. Si la probabilidad de que sean de igual color 4es 0.29033. Cul es la probabilidad de que las 2 fichas sean de color negro?

20.- Se lanzan 3 dados normales. Si la suma es seis (6). Halar la probabilidad de sacar por lo menos un As

21.- De una baraja normal de 52 cartas, se extraen 7 cartas. Calcular la probabilidad de obtener

a) Dos parejas y otros diferentes b) Una trica (tres cartas iguales) y otros diferentes c) 3 parejas d) 2 tricas

22.- Desde la costa (de un faro) se envan seales a un barco, con 2 3 luces. Para ello se cuenta con un pentgono con 3 luces en cada vrtice: Blanco, Azul y Verde. En cada vrtice no puede haber encendido ms que una luz. Cul es la probabilidad de que un barco determinado reciba seales de un solo color?

23.- Dos jugadores igualmente fuertes juegan tenis, donde cualquiera puede ganar. Qu es ms probable ganar: uno de dos partidos o dos de cuatro partidos?

24.- De una baraja normal de 52 cartas, se extraen 2 cartas que resultan ser:

a) 2 negras b) una espada y un basto o trbol y luego se extraen 5 cartas ms. Calcular la probabilidad de que sean rojas y adems formen:

a) Una pareja b) Dos parejas25.- Los siguientes nmeros representan los sueldos de un grupo de empleados (en unidades monetarias): 63.2, 34.8, 54.6, 72.4, 85.0 y 44.0. Calcular la probabilidad de que al escoger dos de estas personas al azar, ambas tengan un sueldo comprendido entre - S y + S

26.- Durante un periodo determinado, el 80% aument el valor de mercado de las acciones comunes en circulacin en una industria, que incluye solamente 10 compaas. Si un inversionista escoge 2 de esas acciones al azar. Cul es la probabilidad de que ambas hayan experimentado un aumento en su valor de mercado durante ese periodo?

27.- La proporcin general de artculos defectuoso en un proceso continuo de produccin es 0.10 Cul es la probabilidad de que (a) de dos artculos elegidos al azar ninguno tenga defectos (b) Dos artculos escogidos al azar tengan defectos D (c) Cuando menos uno de los 2 artculos escogidos al azar no tenga defectos ?

28.-Un analista de una empresa manufacturera estima que la probabilidad de que una Empresa competitiva tenga planes para comenzar a fabricar equipo nuevo en los prximos 3 aos es de 0.30 y de 0.70 la de que la empresa no tenga tales planes. Si la empresa de la competencia si tiene esos planes, definitivamente se construira una nueva instalacin fabril. Si la empresa de la competencia no tiene esos planes, existe an una probabilidad de 60% de que se construya la nueva instalacin fabril por otras razones

a) Al utilizar E para la decisin de participar en el campo del equipo nuevo y F para la adicin de una nueva instalacin fabril, ilustre los eventos posibles mediante un diagrama de rbol

b) Suponga que se observa que la empresa de la competencia, de hecho ha comenzado a trabajar en la nueva fbrica. Con esta informacin. Cul es la probabilidad de que la empresa haya decidido ingresar al campo del nuevo equipo?

29.- La urna I tiene 5 fichas blancas, 4 negras y 6 rojas. La urna II tiene 3 fichas blancas ,4 negras y 5 rojas. Se tira un dado, si sale uno o dos, se sacan 2 fichas de la urna I, de lo contrario se sacan 2 fichas de la urna II. Cul es la probabilidad de que sea:

a) De igual color b) De diferentes colores

Si las 2 fichas sacadas son de diferentes colores. Cul es la probabilidad de que :

c) Sean blanca y negra d) La primera blanca y la segunda negra

e) La primera haya sido blanca f) La segunda haya sido roja

30.-La probabilidad de que la construccin de una casa termine a tiempo es 17/20, la probabilidad que no haya huelga es 3/4, la probabilidad de que la construccin termine a tiempo, dado que no hubo huelga es 14/15, la probabilidad de que haya huelga y no se termine a tiempo la construccin es 1/10. Encontrar:

a) La probabilidad que la construccin termine a tiempo y no haya huelga (b) La probabilidad que no haya huelga dado que la construccin termin a tiempo (c) La probabilidad que la construccin no termine a tiempo, dado que hubo huelga (d) La probabilidad que la construccin termine a tiempo, dado que hubo huelga (e) La probabilidad que haya habido huelga, dado que la construccin no se termin a tiempo

31.- Hallar la probabilidad de que el circuito no falle (pase la corriente de I a F) siendo 0.30 la probabilidad de falla de cualquiera de los 6 componentes del circuito.

32.- Considere el segmento siguiente de un circuito elctrico con tres relevadores. La corriente pasa de I a F si por lo menos hay una trayectoria cerrada cuando los relevadores se cierran. Sin embargo los relevadores podran no trabajar bien. Suponer que cierran en forma correcta solo con una probabilidad de 0.90 cuando se acciona en el switch y que trabajan en forma independiente uno del otro. Sea A el evento que denota que la corriente pasa de I a F cuando los relevadores se cierran

a) Calcular p(A)

b) Calcular la probabilidad de que el relevador 1 cierre en forma correcta, dado que se sabe que la corriente pasa de I a F33.- Una compaa compra neumticos de dos proveedores 1 y 2. El proveedor 1 tiene un antecedente de suministrar llantas con 10% de defectos; en tanto que el proveedor 2 tiene una tasa de slo el 5 % de defectos. Supngase que el 40% de las existencias actuales vinieron del proveedor 1. Si se toma una llanta de esa existencia y se ve que est defectuosa. Quin de los 2 proveedores tiene mayor probabilidad de haber surtido el neumtico defectuoso?

34.- Se lanzan 2 monedas. Si aparece por lo menos una cara. Se extraen 2 fichas aleatoriamente de la urna I que contiene 2 fichas rojas y 3 verdes; de lo contrario, se extraen 2 fichas de la urna II que contiene 3 rojas y 2 verdes.

a) Cul es la probabilidad de obtener 2 fichas de igual color?

b) Si se han obtenido 2 fichas de diferentes colores. Cul es la probabilidad de que en las monedas hayan aparecido 2 caras?

35.- La probabilidad de producir un artculo defectuoso es de 0.07, suponga que se verifica uno a uno hasta obtener 4 artculos defectuosos. Cul es la probabilidad de que sean necesarios verificar ms de 6 artculos? Dejar planteado

36.- Una caja contiene 2 focos de 25 w, 3 de 50 y 4 de 100. (La marca y dems distintivos fueron borrados totalmente). Se prueba sucesivamente un foco, hasta conseguir la mejor iluminacin. Hallar la frmula para representar al nmero de extracciones que hay que realizar

37.-De una baraja normal de 52 cartas, se extraen aleatoriamente 6 cartas. De cuntas maneras se pueden extraer 2 parejas y 2 que no forman pareja? Ejemplo: 7799AQ, QQJJAK,

38.- Si se escogen 4 personas al azar, de 6 parejas de casados. De cuntas maneras se puede escoger: a) Ninguna b) Una c) Dos parejas23 PROBLEMAS DE SEPARATA - PROBABILIDADES 1.- Un dado normal se lanza 5 veces.- Determinar la probabilidad de que:

a.- En cada lanzamiento produzca un resultado diferente

b.- Aparezcan 2 nmeros iguales y el resto diferentes

c.- Las 6 caras iguales Rpta: a.-) 0.015 b.-) 0.015 c.-) 1/6-52.- Se toman 3 muestras aleatorias independientes, sobre los dgitos 0, 1,2,....9. Determinar la probabilidad de que el mismo dgito aparezca ms de una vez en las 3 muestras. Rpta. 0.280

3.- Si se distribuyen aleatoriamente 4 bolas en 4 cajas. Determinar la probabilidad de que

a) cada caja contenga exactamente una bola

b) la primera caja tenga 2 bolas Rpta: a) 0.09375 b) 0.214.- Se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas cul es la probabilidad de que una caja determinada contenga K bolas.

5.- En un estante hay 12 pares de libros (Anlisis Matemtico I y II, Estadstica I y II, Fsica I y II, Qumica I Y II,.....). Si se seleccionan aleatoriamente 6 libros. Calcular la probabilidad de que formen

a) ninguna

b) una

c) dos

d) tres parejas de libros Rpta: a) 0.4394 b) 0.4707 c) 0.0883 d) 0.0016

6.- De una baraja normal se sacan 6 cartas en forma aleatoria. El nmero de maneras que pueda suceder es 52C6 = 20358,520. Indicar todos los resultados posibles y calcular la probabilidad de cada uno.

Ejemplo:

Un par y 4 diferentes.............AA2345

Un par y un tro..................AA2225

Un par y 4 iguales................AA2222

6 cartas diferentes...............A23456

etc...............................etc.

7.- En una clase hay 12 estudiantes De cuntas maneras los 12 estudiantes pueden presentar 3 pruebas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes? Rpta: 34650

8.- De cuntas maneras 12 estudiantes pueden repartirse en 3 equipos A, B, C, de suerte que cada equipo conste de 4 estudiantes Rpta: 5775

9.- Se tienen las letras de la palabra

i) AMARRARAS ii) LLANTALLA

Se colocan en algn orden Cul es la probabilidad de que

a) Las R y las A no queden juntas

b) Las R y las A deben estar en los extremos

Rpta: a) En bloque (AAAA) (RRR) 0.995

En cualquier orden 0.250 b) 1/63010.- Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.

a) Cuntas maneras de escoger tiene?

b) Cuntas maneras, si las 3 primeras preguntas son obligatorias?

c) Cuntas, si tiene que contestar por lo menos 4 de las 5 primeras?

Rpta: a) 45 b) 21 c) 35

11.- Dos personas tiran una moneda 4 veces cada uno. Calcular la probabilidad de que obtengan igual cantidad de caras Rpta 0.27

12.- Una urna contiene 16 fichas de las cuales 12 son blancas y 4 negras. Se extrae una muestra de tamao 4 con reemplazo. Calcular la probabilidad de que la muestra contenga exactamente 3 fichas blancas Rpta: 3/1024 13.- Un caballero entra a una tienda que tiene en exhibicin 12 corbatas diferentes, a saber: 5 de tipo italiano, 4 de tipo ingls, y 3 de tipo nacional Cuntas compras diferentes puede hacer, si desea llevar como mnimo una corbata del tipo italiano y una del tipo ingls? Rpta: 3720

14.- En una biblioteca hay 8 libros de geometra, 14 de lgebra, 10 de Fsica y 5 de Qumica. De cuntas maneras puede un estudiante seleccionar 4 libros de manera que haya por lo menos un libro de?a) Geometra b).- lgebra c) Fsica d) Qumica

Rpta: a) 1, 585,080 b) 1,372.560 c) 1, 163,880 d) 722,040

15.- Un operario inspecciona alternativamente los productos A y B hasta encontrar el primer defectuoso. La probabilidad de encontrar el primer artculo defectuoso A

p(A) es igual a 0.10 y la del segundo artculo es p (B) = 0.15

Calcular la probabilidad de encontrar el primer artculo defectuoso en el cuarto artculo inspeccionado. Rpta: 0.414816.- Una caja I contiene 8 fichas rojas y 7 fichas blancas. Otra caja II, tiene 7 fichas rojas y 8 fichas blancas. Se sacan 2 fichas de la caja I en forma sucesiva y sin reposicin colocndolos en la caja II y luego de verifica que son de:

a) Diferentes colores b) igual colorSe seleccionan 2 fichas de la Caja II Cul es la probabilidad de que ambas fichas sean del mismo color? Rpta: a) 8/17 b) 81/13617.- En una dependencia pblica el 20% de los hombres y el 10% de las mujeres estn aptos para jubilarse. El 70% de los empleados son hombres. Si se presentan dos solicitudes de jubilacin y cumplen con los requisitos Cul es la probabilidad de que una de las solicitudes sea de un hombre y la otra de mujer? Rpta: 0.17

18.- Una urna contiene cierto nmero de bolas blancas y una negra. La urna II contiene 2 bolas blancas y 2 negras y la urna III contiene 3 bolas blancas. Se escoge una urna al azar y de ella se extrae una bola, que resulta ser blanca. Si la probabilidad de que dicha bola, provenga de la urna II es 4/9 Determinar Cuntas bolas blancas hay en la urna I? Rpta: 3

19.- Las probabilidades de que 3 tubos se quemen son respectivamente 0.20, 0.30 y 0.40. Las probabilidades de que un aparato funciones, si uno, dos o tres tubos se quemen son: 0.20, 0.60 y 0.90 respectivamente. Hallar la probabilidad de que el aparato funciones. Rpta: 0.199220.- En una bolsa que contiene 2 monedas de s/ 1 sol, 3 monedas de s/. 2 soles y 4 monedas de s/. 5soles. Se extrae sucesivamente una moneda hasta obtener la moneda de mxima denominacin (5 soles). Calcular la probabilidad de encontrar el xito deseado (moneda de 5 soles) al realizar como mximo 3 extracciones. Rpta: 37/42

21.- La probabilidad de encontrar un artculo defectuoso es de 0.07, suponga que se verifica uno a uno hasta obtener 4 artculos defectuosos. Cul es la probabilidad de que sean necesarios verificar ms de 6 artculos?

(Dejar indicado, hacer el planteamiento)

22.-Se lanzan 2 monedas. Si aparece por lo menos una cara. Se extraen 2 fichas aleatoriamente de la urna I que contiene 2 fichas rojas y 3 verdes; de lo contrario, se extraen 2 fichas de la urna II que contienen 3 rojas y 2 verdes.

a) Cul es la probabilidad de obtener dos fichas de igual color?

b) Si se han obtenido dos fichas de diferentes colores Cul es la probabilidad de que en las monedas hayan aparecido 2 caras?Rpta: a) 2/5 b) 1/4

23.- Las unidades producidas en una empresa que se encuentra defectuosa es del 5%, cuando el proceso de fabricacin se encuentra bajo control. La probabilidad de encontrar un artculo defectuoso es de 0.075 y la probabilidad de que el proceso est bajo control, sabiendo que se obtuvo un artculo defectuoso es 0.60. Si se escoge aleatoriamente un artculo, se pide determinar la probabilidad de:

a) Encontrar un artculo no defectuoso, sabiendo que el proceso no est bajo control. Rpta: 0.70b) Si un artculo no es defectuoso. Cul es la probabilidad de que el proceso no est bajo control? Rpta: 0.076N-r+1

n-3

n-2

n-1

n

n P r = EMBED Equation.3

n! EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 nn e-n

n P r = n r

n!

n P n1,n2,,nk = ---------- --------------

n1! n2! nk!

P = (n 1)!

NCr = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3

CR = EMBED Equation.3

p EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3

p ( EMBED Equation.3 ) = 0

p ( EMBED Equation.3 ) = 1 p(A)

A EMBED Equation.3

P (AUB) = P (A) + P (B) P (A B)

AB

AB

A-B

P (AUBUC) = P (A) + P (B) + P(C) P (AB) P (BC) P (AC) + P (ABC)

B-A

A

P (BA) = EMBED Equation.3 , P(A) > 0

P (B) = EMBED Equation.3 P (Ai). P (B/Ai)

A B

P (AUB) = P (A) + P (B)

P (AB) = P (A). P (B)

Para cualquier evento B EMBED Equation.3 S

Donde:

1 K n

i = 1, 2,3,, n

P = EMBED Equation.3

SS CS SC CC p = 1/4 q = 3/4

P= EMBED Equation.3

P (I / B) = EMBED Equation.3

PAGE 14Dr. Ing. Luis Manrique Surez Ing Nancy Ochoa Sotomayor FIIS-UNFV

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