P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de Grafos

Könisberg (AT) (Río Pregel)

Problema: ¿Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel?

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de GrafosProblema: ¿Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel?

C

A

B

D

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de GrafosProblema: ¿Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel?

C

A

B

D

vérticesaristas

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Orígenes de la Teoría de GrafosProblema: ¿Es posible, comenzando en cualquier punto de la ciudad de Konisberg, elegir un camino que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel?

C

A

B

D

vérticesaristas

El primer grafo de la historia

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Leonhard Euler

Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8 (1736), 128--140

Orígenes de la Teoría de Grafos

P RC

Orígenes de la Teoría de Grafos

Redes eléctricas (Kirchhoff, 1847)

MA

TEM

ÁTI

CA

DIS

CR

ETA

Pedro Reyes

P RC

Orígenes de la Teoría de GrafosM

ATE

MÁ

TIC

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ISC

RET

A

Pedro Reyes

Metano (CH4) Etano (C2H6) Propano (C3H8) Butano (C4H10)

Química orgánica (hidrocarburos saturados)

Isómeros químicos (Cayley, 1874)

Isómeros del C4H10

P RC

Orígenes de la Teoría de GrafosM

ATE

MÁ

TIC

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ISC

RET

A

Pedro Reyes

Coloreado de mapas:

P RC

Orígenes de la Teoría de GrafosM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

•En 1850 Francis Guthrie se interesa por el coloreado de mapas.

•El 23 de octubre de 1852, el matemático inglés Augustus de Morgan escribió a su colega Sir William R. Hamilton la siguiente carta:

“Un estudiante mío me ha pedido una respuesta sobre una cuestión de la cual yo desconocía y desconozco la solución. Él dice que cualquier mapa ha de poder colorearse con cuatro colores...’’

CONJETURA DE LOS 4 COLORES

P RC

Orígenes de la Teoría de GrafosM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

•En 1878 Arthur Cayley presentó el problema a la London Mathematical Society.

•Alfred Kempe publica el primer artículo referente a la demostración de dicha conjetura.

CONJETURA DE LOS 4 COLORES

•En 1890 Heawood encontró un error (demuestra su validez para cinco colores).

•K. Appel y W. Haken, en 1976 demostraron con ayuda de tres ordenadores el Teorema de los Cuatro Colores.

Orígenes de la Teoría de Grafos

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 1: Se pretende realizar un calendario de exámenes de las asignaturas A, B, C, D, E y F. Debemos tener en cuenta que hay alumnos que se tienen que examinar de las asignaturas

A-B, A-D, A-F, B-F, C-E, D-E y E-F

¿Es posible en estas condiciones establecer un calendario de exámenes?

E

D

A

F

C

B

F4º

E3º

B y D2º

A y C1º

AsignaturasDía

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

A

F

E

D

C

B

C y F3º

B y D2º

A y E1º

AsignaturasDía

Problema 1: Se pretende realizar un calendario de exámenes de las asignaturas A, B, C, D, E y F. Debemos tener en cuenta que hay alumnos que se tienen que examinar de las asignaturas

A-B, A-D, A-F, B-F, C-E, D-E y E-F

¿Es posible en estas condiciones establecer un calendario de exámenes?

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón 1

0

2

3

4

5

7

6

8

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón 1

0

2

3

4

5

7

6

8

Parejas:

8 con 0

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón 1

2

3

4

5

7

6

Parejas:

8 con 0

7 con 1

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón

2

3

4

56

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón

3

4

5

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

5 con 3

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ramón

4

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

5 con 3

4 es María

P RCM

ATE

MÁ

TIC

A D

ISC

RET

A

Pedro Reyes

Aplicaciones de la Teoría de Grafos

Problema 2: Ramón y María asisten a una fiesta junto con otros cuatro matrimonios. Al encontrarse algunos se saludan con un apretón de manos y otros con un beso. Al acabar la fiesta, Ramón pregunta a los asistentes a cuánta gente ha dado la mano al saludar y recibe nueve respuestas diferentes. ¿A cuantas personas ha dado la mano María?

Respuestas: 0,1,2,3,4,5,6,7,8

Asistentes: {Ramón, 0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Parejas:

8 con 0

7 con 1

6 con 2

5 con 3

4 es María

Ramón 1

0

2

3

MARÍA5

7

6

8