UNIDAD 5: ENTROPIA

Entropa Medida de desorden molecular o aleatoriedad molecular.

A mayor desorden mayor entropa.

La entropa de una sustancia en mas baja en la fase slida.

La entropa de un sistema se relaciona con el nmero total de estados posibles de ese sistema y es llamada probabilidad termodinmica p, que se expresa por la relacin de Boltzmann como:

S = k ln p

donde k = 1.3806 x 10-23 J/K es la constante de Boltzmann

La entropa de un sistema aumenta siempre que la aleatoriedad de un sistema aumenta.

La entropa de una sustancia pura cristalina a una temperatura de cero absoluto es CERO. TERCERA LEY DE LA TERMODINAMICA

Entropa Para aplicar la segunda ley de la termodinmica a un

proceso debemos identificar una propiedad llamada entropa.

Consideremos la mquina reversible de Carnot operando sobre un ciclo consistente en:

1. Expansin Isotrmica.

2. Expansin Adiabtica Reversible.

3. Compresin Isotrmica.

4. Compresin Adiabtica Reversible.

La cantidad es la integral cclica de la transferencia de calor dividida por la temperatura absoluta a la cual se desarrolla la transferencia de calor.

TQ

En funcin a que la temperatura es constante durante la transferencia de calor, esta integral est definida por:

Para un ciclo de Carnot:

Si denotamos esta diferencial perfecta como , donde representa una funcin escalar que depende slo del estado del sistema. Denominaremos a esta propiedad extensiva como entropa; su diferencial esta dada por:

Integrando la expresin anterior:

0L

L

H

H

T

Q

T

Q

T

Q

L

L

H

H

H

L

H

L

T

Q

T

Q

T

T

Q

Q

dS S

revT

QdS

2

1 revT

QS

Consecuencias:

La condicin de equilibrio de un sistema aislado est

caracterizada por valores de sus parmetros tales que

S es mximo

La entropa de un sistema slo puede reducirse si interacta

con otros sistemas en un proceso tal que la entropa total del

conjunto aumente (o al menos, no se reduzca).

Imposible (el calor no va de una zona de menor a

mayor T)T

QdS

Definiciones

Irreversible

Reversible

T

QdS

T

QdS

Grfico Temperatura-Entropa en un ciclo Carnot:

El rea rectangular representa la transferencia neta de calor durante el ciclo de Carnot.

El rea tambin representa el trabajo neto desarrollado por el sistema durante el ciclo.

STWQ netnet

1. La primera ley de la termodinmica, para un cambio infinitesimal reversible, para un sistema cerrado implica que :

Se obtuvo esta expresin asumiendo un proceso reversible.

Sin embargo, en funcin a que ste involucra slo propiedades del sistema, la relacin anterior se mantiene para el caso de un proceso irreversible.

2. Relacin entre cambio de entropa y cambio de entalpa:

dUPdVTdS duPdvTds

Evaluacin de la entropa en funcin de la temperatura. RelacionesTds

vdPdhTds

Entropa para un gas ideal con calores especficos

constantes

Asumiendo gas ideal:

Con:

Integrando la ecuacin anterior (asumiendo calores especficos constantes):

Integrando la ecuacin para la entalpa:

v

dvR

T

dTc

T

Pdv

T

duds v

RTPvdTcdu v

1

2

1

212 lnln

v

vR

T

Tcss v

1

2

1

212 lnln

P

PR

T

Tcss p

NOTA: En funcin a que el cambio de una propiedad es

independiente del proceso utilizado para ir desde un estado a

otro, las relaciones anteriores se mantienen para cualquier

proceso, reversible o irreversible.

Si el cambio en la entropa es cero, como en un proceso adiabtico reversible, las ecuaciones anteriores pueden ser

utilizadas para obtener:

Combinando ambas ecuaciones:

k

kk

P

P

T

T

v

v

T

T1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

k

v

v

P

P

2

1

1

2

Ejercicio 1

Aire esta contenido en un volumen rgido aislado a 20 C y

200 kPa. Una rueda de paletas insertada en el volumen realiza

720 kJ de trabajo. Si el volumen es de 2 m3, calcule el

aumento de entropa asumiendo calores especficos constantes.

S = m Cv ln (T2/T1) = 1.851 kJ/K

T2 = 504 K

m = 4.76 kg

Ejercicio 2

Despus de un proceso de combustin en un cilindro la presin

es de 1200 kPa y la temperatura es de 350 C. Los gases son

expandidos a 140 kPa con un proceso reversible adiabtico.

Calcule el trabajo realizado por los gases asumiendo que

pueden ser aproximados por aire con calores especficos

constantes.

Datos: Para el aire:

k=1.4 Cv = 0.717 kJ/kg K

W = 205 kJ/kg T2 = 337 K

Entropa para un gas ideal con calores especficos

variables

P

dPR

T

dTc

T

vdP

T

dhds P

1

212 ln

2

1 P

PRdT

T

css P

T

T

dTT

cPT

T

2

112

La constante R puede ser sacada de la integral pero no

La integral depende solo de la T y podemos evaluar su magnitud de las

tablas de gas. Usando la funcin tabulada :

1

21212 ln

P

PRss

Esta expresin mas exacta es usada solo cuando se desea mayor precisin .

Regresando a la expresin

Cp=Cp(T)

As el cambio de entropa queda

Ejercicio 3:

Repita el ejercicio 1 asumiendo calores especficos variables.

KkJP

PRmSS /856.1

200

1.342ln287.0678.1222.276.4ln

1

21212

Ejercicio 4

Despus de un proceso de combustin en un cilindro la presin

es de 1200 kPa y la temperatura es de 350 C. Los gases son

expandidos a 140 kPa con un proceso reversible adiabtico.

Calcule el trabajo realizado por los gases asumiendo que

pueden ser aproximados por aire con calores especficos

variables.

W = 208.6 kJ/kg T2 = 341 K

Entropa para Sustancias tales como

Vapor, Slidos y Lquidos

fgfxsss

Para sustancias puras como vapor use Tablas del Agua

En la region de Mezclas Lquido-Vapor:

1

2lnT

Tc

TdTcs

Note que la entropa de agua lquida saturada a 0 C es arbitrariamente

igual a cero.

Para Slidos y Lquidos incompresibles dv=0 y vcpc

Ejercicio 5

Vapor esta contenido en un recipiente rigido a una presion

inicial de 100 psia y 600 F. La presion es reducida a 10

psia removiendo energia via transferencia de calor. Calcule

el cambio de entropia y la transferencia de calor.

Esquematice el proceso en un diagrama T-s.

s = -1.232 Btu/ lbm R q = -906 Btu/ lbm R

Diagrama T-s Diagrama h-s

. Diagrama de Mollier

fgfxsss

La desigualdad de Clausius

La desigualdad de Clausius

Comparando ambos ciclos: revWirrW

irrLQ

revLQ

0irrT

Q

0TQ

Aplicando primera ley

Para el ciclo irreversible:

Para todos los ciclos, reversibles o irreversibles

Esta es la desigualdad de Clausius, y es una

consecuencia de la segunda ley de la termodinmica.

Ejercicio

Se ha propuesto operar una planta de potencia de vapor simple como se muestra en la figura

siguiente. El agua es completamente vaporizada

en la caldera de modo que la transferencia de

calor QH ocurra a temperatura constante.

Cumple esta propuesta con la desigualdad de

Clausius?

Asuma que no ocurre transferencia de calor a travs de la bomba o de la turbina.

Cambio de entropa para un

proceso irreversibleConsidere un ciclo que esta compuesto de dos procesos reversibles

A y B.

Suponga que tambin regresamos del estado 2 al 1 usando un

proceso irreversible marcado como camino C.

Para el ciclo reversible tenemos que:

CprocesoBproceso

T

Q

T

Q1

2

1

2

0

1

2

2

1BprocesoAproceso

T

Q

T

Q

0

1

2

2

1CprocesoAproceso

T

Q

T

Q

Para el ciclo involucrando el proceso irreversible la desigualdad

Clausius demanda que:

Sustrayendo las ecuaciones anteriores se obtiene que:

Cambio de entropa para un

proceso irreversible

TQ

dSTQ

S

La igualdad se cumple para un proceso reversible

La desigualdad rige para un proceso irreversible.

El efecto de la irreversibilidad es aumentar la entropa del

sistema.

Para cualquier camino, representando cualquier proceso:

Principio de aumento de la

entropaEntropa y segunda ley son sinnimos en la misma forma que energa

y primera ley son sinnimos.

Consideremos un sistema aislado, un sistema que no intercambia ni

calor ni trabajo con los alrededores.

Para tal sistema la primera ley demanda que U2=U1 y

S 0

S = 0 Proceso Reversible

S > 0 Proceso Irreversible

Principio de Aumento de la Entropa

0alred

Ssist

Suniv

S

Considerando un sistema mas grande incluyendo tanto el sistema

bajo consideracin y sus alrededores, a menudo referido como el

universo, se tiene:

La igualdad aplica a un proceso reversible (ideal)

La desigualdad aplica a un proceso irreversible (real)

Ejercicio

Dos kilogramos de vapor sobrecalentado a 400 C y 600 kPa es

enfriado a presin constante transfiriendo calor desde un cilindro

hasta que el vapor es completamente condensado. Los alrededores

estn a 25 C. Determine el cambio neto de entropa del universo

debido a este proceso.

S univ = 5.9 kJ/K >0

La segunda ley aplicada a

un volumen de control

42.60

salrededorelos

deentropa

deCambio

sistemaal

entraqueEntropa

sistemadel

saleque

Entropa

controlde

volumen

delentropa

deCambio

01122

alred

alred

T

QsmsmvcS

Si dividimos la ecuacin anterior por t y se

utilizan puntos para sealar las velocidades:

01122alred

alred

vcT

QsmsmS

La igualdad esta asociada con un proceso reversible.

La desigualdad esta asociada con las irreversibilidades

Para un proceso con flujo estacionario la

entropa del volumen de control se

mantiene constante con el tiempo.

012

alred

alred

T

Qssm

Para un proceso adiabtico de flujo estacionario,

la entropa tambin aumenta desde la entrada a la

salida debido a las irreversibilidades:

12ss

Para el proceso adiabtico reversible la entropa de

entrada y la entropa de salida son iguales, o sea es un

proceso isoentrpico.

Velocidad de Produccin de Entropa

Esta velocidad de produccin es cero para procesosreversibles y positiva para procesos irreversibles.

alred

alredvcprod T

QsmsmSS

1122

EjercicioUn precalentador es usado para precalentar

agua en un ciclo de potencia como se muestra

en la figura. El vapor sobrecalentado est a una

temperatura de 250 C y el agua que entra esta

subenfriada a 45 C. Todas las presiones son

600kPa. Calcule la velocidad de produccin de

entropa.

Sprod = 0.630 kW/K

Eficiencia de equipos Se define como la razn entre el

rendimiento real del dispositivo y el

rendimiento ideal del mismo.

El rendimiento ideal es a menudoasociado con un proceso isoentrpico.

Por ejemplo, la eficiencia de unaturbina puede ser:

s

aT w

w

donde wa es el trabajo (especfico) real y

ws es el trabajo (especfico) asociado con un

proceso isoentrpico.

Para un difusor podramos usar elaumento en la presin y para una

tobera el aumento en la energa

cintica.

Para un compresor el trabajo realrequerido es mayor que el trabajo ideal

requerido para un proceso

isoentrpico.

Compresores y Bombas

a

sC w

w

Las eficiencias anteriores son tambin

llamadas eficiencias adiabticas dado

que cada eficiencia esta basada en un

proceso adiabtico.

Ejercicio

Vapor sobrecalentado entra a una turbina a 140 psia y 1000 F y sale a 2 psia. Si el flujo msico es de 4 lbm/s, determine la potencia de salida si el proceso es asumido ser reversible y adiabtico. Dibuje el proceso en un diagrama T-s.

W = 1748 Btu/s o 2473 hp

Ejercicio

La Turbina del ejemplo anterior tiene una

eficiencia del 80%. Determine la temperatura

a la salida. Dibuje el proceso en un diagrama

T-s.

T2 = 271 F

Ejercicio (Schaum, pag. 174, prob. 8.7)

Para el ciclo regenerativo mostrado en la figura

Determine la eficiencia trmica, el flujo msico de

vapor y la razn de calor rechazado a calor agregado.

Desprecie el trabajo de las bombas.

= 0.448 o 44.8% m 7= 15.59 kg/s

QC / QB = 0.522

Ejercicio (Schaums, pag. 176, prob.8.10)

La turbina de un ciclo Rankine operando entre 4 MPa y 10kPa

es 84% eficiente. Si el vapor es recalentado a 400 kPa y 400 C,

determine la eficiencia del ciclo. La mxima temperatura es

600 C. Calcule adems el flujo msico del agua de

enfriamiento del condensador si esta aumenta en 10 C cuando

pasa a travs del condensador cuando el flujo msico de vapor

en el ciclo es de 10kg/s.

=0.339 o 33.9% m = 583 kg/s