Entropa en (2+1) en el espacio/tiempo de de Sitter en terminos del modelo de pared(Brick Wall for dummies)

W. A. Rojas C.1, *1Departamento de Fsica, Universidad Nacional de Colombia

sede Bogota, Codigo Postal UN. 11001Colombia

A review of the article Entropy of 2+1 dimensional de de Sitter space in terms of brick wall of W. T. Kim,arXiv:[hep-th] 9810169v1 (1998) is made. We search understand the brick wall method when it is applicated toblack holes.

Keywords: brick wall, black holes, holographic principle

PACS numbers: 04.,04.20-q,04.70Bw,05.20.Gg

I. INTRODUCCION

Se presenta una revision sobre el paper Entropy of 2+1dimensional de de Sitter space in terms of brick wall [1]. Sebusca comprender los metodos empleados en la cuantizacion deun campo escalar sobre una variedad curva, mas exactamenteen el espacio-tiempo de de Sitter para una dimension (2+1)mediante la ecuacion de Klien-Gordon aplicando el metododel modelo de pared propuesto por G. tHooft [2].

Los agujeros negros surgen del colapso gravitacional deuna estrella [3], que describen regiones del espacio-tiempo endonde los campos gravitacionales son tan intensos que nadapuede escapar[3]. En mejor de los casos un agujero negroesta caracterizado por solo por tres parametros su masa M,momentum angular J y su carga Q. Lo anterior se condensa enel teorema del no pelo [3]. Fueron los trabajos de Hawking [4]y Bekenstein [5] los que dieron una descripcion termodinamicade de los agujeros negros . A los cuales se les puede caracterizarpor cuatro leyes termodinamicas de los agujeros negros [6]

1. Ley cero: La gravedad superficial es constante sobretodo el horizonte.

2. Primera ley: para dos agujeros negros estacionarios conpequenas variaciones en sus parametros M, J y Q setiene

M =

8piGA+HJ+HQ,

donde H denota la velocidad angular del horizonte deeventos.

3. Segunda Ley: el area del horizonte de un agujero negronunca decrece

A 0,la entropa de un agujero negro ha de dar cuenta de laconfiguracion de los microestados del sistema. Se debecontar con una teora de caracter estadstico-cuantico

* warojasc@unal.edu.co

que de respuesta de los estados microscopicos de laentropa de un agujero negro. Se ha de encontrar unateora cuantica de la gravedad que explique la entropaBekenstein-Hawking SBH

S =14

c3kBGh

A,

donde c es la velocidad de la luz, kB es la constante deBoltzmann, G es la constante de gravitacion universal yh es la constante de Planck reducida.

4. Tercera Ley: No es posible la temperatura del cero ab-soluto. En los agujeros negros, la gravedad superficial hace las veces de la temperatura (Recordemos que la gra-vedad superficial esta definida como =c22 d f (r)dr ).

En los sistemas termodinamicos clasicos la entropa esta re-lacionada con el logaritmo del numero de microestados com-patibles con un macroestado. En este punto surge la preguntaQue grados de libertad son los responsables de la entropaBekenstein-Hawking SBH? [3].

Despues de ver el panorama de la explicacion microscopicade los agujeros negros Fursaev nos pregunta: Existen siste-mas fsicos en el espacio-tiempo plano que sean equivalentestermodinamicamente equivalentes a los agujeros negros? [3].Inmediatamente nos contesta que la equivalencia viene dadapor la identificacion de los parametros fsicos tales como masa,temperatura...que son similares entre los sistemas fsicos en elespacio-tiempo plano y los agujeros negros. Y tal respuesta espositiva. Se pueden hallar ciertas equivalencias de al comporta-miento de un gas en un espacio tiempo (1+1) y (2+1). En estepunto es importante anotar que para los dgitos entre parentesispor ejemplo (3+1), el primer dgito hace referencia a las trescoordenadas espaciales y el segundo a la coordenada temporal.

De all surge la necesidad de parte quien hace esta revisionver como es el proceso de cuantizacion de un campo escalaren el espacio-tiempo de de Sitter en (2+1).

La Primera parte se hace un breve estudio del espacio-tiempode de Sitter a partir de una metrica para un espacio tiemposimetricamente esferico y estatico en el sentido descrito porTolman [7] para las ecuaciones de campo de Einstein con untensor momentum-energa T para un fluido perfecto quepermite deducir la metrica de de Sitter en un espacio-tiempo(3+1) que luego es acotada a (2+1)[1].

2En el segundo apartado se hace una revision sobre la accionIm para un sistema material que interactua con un campo gra-vitacional y la accion para el campo gravitacional Ig y de suscondiciones en la descripcion del problema abordado [8] .

La tercera parte hace referencia a la ecuacion de Klein-Gordon para un espacio-tiempo curvo a partir del Lagragianopropuesto [9] y su solucion bajo la aproximacion W.K.B.

En la cuarta parte se hace una caracterizacion termodinamicadel campo bosonico en el espacio-tiempo de de Sitter, en don-de bajo el concepto de un conjunto de osciladores armonicosno interactuantes se construye la energa libre de HelmholtzF . A partir de esta funcion es posible calcular la entropa S delcampo escalar cerca del horizonte bajo metodo de brick wall.En donde se halla que tal entropa es proporcional al permetrodel horizonte

s (2pil).

Lo cual es consistente con el principio holografico.Finalmente se presentan las conclusiones y perspectivas de

esta revision.En este trabajo tenemos la signatura [,+,+,+] para la

metrica y las constantes fsicas G = c = h = 1 a menos que seindique lo contrario. Los indices griegos , corren 03.

II. EL ESPACIO/TIEMPO DE DE SITTER

En este apartado, deduciremos la metrica de espacio de deSitter. Siguiendo a Tolman [7], los calculos se realizaran bajola signatura [+,,,].

Sea el elemento diferencial de linea para un espacio/tiemposimetricamente esferico y estatico

ds2 = e(r)dt2 e (r)dr2 r2d 2 r2sin2d 2, (1)

donde y son funciones de la coordenada radial r. Hemosde considerar una metrica de la forma (1), es decir funcionesde la forma e(r) y e (r) debido a que

Este tipo de funciones no cambia la signatura.

Cumplen la condicion asintotica, es decir que en el lmitecuando r , e(r) 0 y e (r) 0. Tendremos que lametrica se reduce a la Minkowski una vez sean resueltastales funciones.

Definamos el Tensor momentum-energa T para un fluidoperfecto de la forma [7]

T = (00+P0)dx

dsdx

dsgP0, (2)

donde 00 es densidad del fluido, P0 es la presion que ejerceel fluido, dx

ds ydxds son la cuadrivelocidades, g

es el tensormetrico asociado a (1). Tal que T satisface las ecuacionesde campo de Einstein con constante cosmologica

R 12Rg +g =8piT , (3)

las cuales se pueden reescribir como

R 12

Rg +g =8piT , (4)

donde R es el tensor de Ricci, el cual esta definido comoR = R = g

R y R es el escalar de Ricci el cual estadefinido como R = g R .

De lo anterior se obtiene (El calculo explcito del sistemade ecuaciones dado en por (5), (6) y (7) se realizo a partir delpaquete informatico GRTensorM Version 1.2 for Mathematica3.x) el cual se puede apreciar en el apendice A [10]

e[

r+

1r2

] 1

r2+= 8piP0, (5)

e[

2

4+ 2

4+

2r

]+= 8piP0, (6)

e[

r+

1r2

]+

1r2= 8pi00, (7)

dP0dr

=(00+P00

2

) . (8)

Con = d (r)dr y = d(r)dr . En tales condiciones considera-

mos un fluido perfecto en el cual el valor de la presion es lamisma. De (8) tenemos que entonces

dP0dr

= 0, (9)

por lo que (9) se reduce a [7](00+P00

2

) = 0. (10)

Para (10),tenemos tres posibilidades [7]

1. Que los terminos = 0 y 00+P0 = 0

2. Que el termino = 0, posibilidad que conduce al uni-verso estatico de Einstein.

3. Finalmente que el termino 00+P0 = 0 que nos conduceal espacio/tiempo de de Sitter.

Sumando (5) y (7)

e

r+

e

r= 0

r+

r= 0

= . (11)

3En el caso que la densidad del fluido 00 sea independiente dela presion P0, podremos integrar (6)

e[

r+

1r2

]+

1r2= 8pi00

que es igual a

reddr e = (8pi00+)r21,

sea = 8pi00+ y multiplicando por 1re

ddr r

21+ ere

= 0. (12)

Cuya solucion es

(r) =Ln[

r r33 cr

]. (13)

Tomando exponencial a ambos lados tenemos

e (r) = 1 r2

3(8pi00+) cr . (14)

En este punto es conveniente elegir c = 0 y r = l por conve-niencia [7]

1l2=

8pi00+3

. (15)

De acuerdo a (13) se halla que la metrica descrita en (1) sepuede escribir como

ds2 =(

1 r2

l2

)dt2 1

1 r2l2dr2 r2d 2 r2sin2d 2.

(16)Que corresponde a una de las formas en que se puede escribirla metrica del espacio-tiempo de de Sitter, dado que para elartculo que se esta desarrollando para la clase corresponde auna geometra (2+1), (16) se reduce a

ds2 =(

1 r2

l2

)dt2 1

1 r2l2dr2 r2d 2. (17)

Cuyo tensor metrico asociado g es

g =

g(r) 0 00 1g(r) 00 0 r2

, (18)donde tenemos que g(r) = 1 r2l2 , el determinante del tensormetrico lo denotaremos como g =r2 y la raz

g = r (19)El calculo de escalar de Ricci para la metrica (17) corres-

ponde fue [10]

R = 6l2

(20)

El espacio-tiempo de de Sitter posee una curvatura constantepositiva, homogenea e isotropica. Juega un rol importante paraentender los primeros estadios del universo, mas precisamentelas propiedades de la inflacion, pues se cree que el universoen epocas tempranas de la inflacion la geometra del universoera muy cercana al espacio-tiempo de de Sitter. En donde sepresume que los valores de la energa del vaco o la constan-te cosmologica eran muy grandes dentro una fase tarda delespacio-tiempo de de Sitter. Pero un tiempo despues la energadel vaco empieza a decrecer y el universo hace una transi-cion a una geometra tipo FRW. Tal transicion fue acompanadapor una gran generacion de entropa, que se le suele llamarReheating [11]. Se puede obtener el espacio-tiempo de de Sit-ter como una solucion de las ecuaciones de Friedmann con unaconstante cosmologica positiva > 0, que corresponde a unadensidad de energa del vacio positiva y una presion negativa[12]. Notese que el horizonte esta ubicado en [13]

rH = l.

III. LA ACCION [8]

La accion Im para un sistema material que interactua con uncampo gravitacional es de la forma

Im = gLm( , ,g)d4x, (21)

donde esta asociado a cualquier forma de materia, sus de-rivadas y el tensor metrico g , la raz del tensor metricog y del cuadrivolumen d4x.

El siguiente paso es adicionar la accion para el campo gravi-tacional Ig(Tal que la accion total es IT = Im+ Ig). Esta acciondebe ser funcion del tensor metrico g , de sus primeras ysegundas derivadas

Ig = gLg(g ,g)d4x, (22)

la llave se encuentra en un invariante escalar que solo dependadel tensor metrico, de las primeras derivadas de este y que sealineal en sus segundas derivadas. El tensor de Riemann Res la clave que nos permite construir un invariante generalque sea covariante que cumpla las condiciones para la acciondel campo gravitacional. El escalar de Ricci R cumple conlas condiciones antes mencionadas. As podemos adicionar untermino constante al lagrangiano y multiplicar por otro [8]

Lg =1

16pik(R2). (23)

Donde k = G y es la constante cosmologica. As, las cosasla accion queda escrita como

I =1

16piG

g(R2)d4x. (24)Una completa discusion sobre la accion se puede hallar en lareferencia [2].

En un espacio-tiempo (2+1) tendremos

I =1

16piG

g(R2)d3x. (25)

4IV. LA ECUACION DE KLEIN-GORDON EN ELESPACIO-TIEMPO DE DE SITTER

Consideremos el principio variacional tal que

S =

Ld4x

conduce a

S = 0,

y en donde la densidad lagrangiana es el actor principal siaplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange[14]

L =12g[g +m2] . (26)

donde (t,~x) es un campo escalar definido sobre todos lospuntos del espacio-tiempo [14, 15].

De (26) se llega a la ecuacion de Klein-Gordon (Ver elApendice B)

1g[gg]+m2 = 0, (27)

(1g

[gg ] +m2) = 0. (28)Definimos el operador DAlembertiano como

= 1g[gg] . (29)

Por lo que la ecuacion de Klein-Gordon se puede escribircomo [

m2] = 0.

V. SOLUCION DE LA ECUACION DE KLEIN-GORDON

Para un campo escalar sin masa m = 0, la ecuacion (28) sereduce a

1g[gg]= 0. (30)

Dado que estamos en un espacio-tiempo (2+1), los indicesgriegos y corren 02. En tales condiciones (30) toma laforma

1g0[gg000]+

1g1[gg111]+ 1g2 [gg222]= 0, (31)

de acuerdo al tensor metrico dado en (18) tenemos que g(r) =1 r2l2 , el determinante del tensor metrico lo denotaremos comog = r2 y la raz del determinante g = r. Por lo anteriortenemos que (31) se reduce a

1g(r)

2 t2

+1r r

[rg(r)

r

]+

1r2 2 2

= 0. (32)

De la Relatividad Especial se define el operador como[16]

=[

] =

[ 2

x022

] = 0, (33)

donde es el tensor metrico para el espacio-tiempo deMinkowski en (2+1) escrito en coordenadas cartesianas

=

1 0 00 1 00 0 1

. (34)Tenemos que (33) corresponde a una ecuacion de onda. En elcaso que g = , se llega a que (30) se reduce a (33) [16].

Para una ecuacion de onda en coordenadas esfericas, lasolucion mas general posible es de la forma [17]

(t,r, ,) =

l=0

l

m=l

[Alrl +Blr(l+1)

]

REm(r)

Pml (cos)eim

Y ml ( ,)

eiEtT (t)

,

(35)donde se tiene que REm(r) es la funcion radial de la ecuacionde onda, Y ml ( ,) son los armonicos esfericos que se puedendescomponer de la forma

Y ml ( ,) = Pml (cos)e

im , (36)

donde Pml (cos) corresponde a los polinomios de Legendrepara el angulo polar y eim para el angulo azimutal [17].

Dado que el espacio-tiempo considerado es (2+1), podemoshacer el termino en (35) Pml (cos) = 1, entonces la solucionde (32) es de la forma [1]

(t,r,) = eiEteimREm(r). (37)

que se resuelve a traves de separacion de variables y donde mes el numero azimutal cuantico del campo escalar [1, 15]. Enel Apendice C, se calculan las derivadas de (33) respecto t, r y . Por lo anterior la ecuacion radial de onda es

1rg(r)

r [rg(r)rREm(r)]+1

g2(r)

[E2 m

2g(r)r2

]REm(r) = 0,

(38)donde el numero radial de onda es de la forma

k2(r,m,E) =1

g2(r)

[E2 m

2g(r)r2

]. (39)

5VI. LA APROXIMACION W.K.B.

La ecuacion de (38) conduce a ecuacion diferencial[15](cuya deduccion se puede ver en el Apendice D)

d2QEm(r)dr2

+ k2(r,m,E)QEm(r) = 0, (40)

donde hemos de suponer que k2(r,m,E) varia suavemente ypodremos emplear la aproximacion W.K.B. [18]

QEm(r) = ei(r) (41)

y sus derivadas

dQEm(r)dr

= iei(r) (r), (42)

d2QEm(r)dr2

=ei(r) 2(r)+ iei(r) (r). (43)

Reemplazando en (40) se halla que

i (r) 2(r)+ k2(r,m,E) = 0. (44)

Mathews plantea que (r) es pequena, podemos escribir

2(r) = k2(r,m,E)

d(r)dr

=

k2(r,m,E).

La cual podemos integrar

(r) =

k(r,m,E)dr. (45)

Bajo la condicion que

(r)12

2kkk k2 . (46)

Calculando la segunda derivada de (r)

(r) =k. (47)

Sustituyendo este valor en (44), se tiene

2(r) = k2 ik, (48)

tomando la solucion positiva y completando cuadrado allado derecho de (48)

2(r) = k2+ ik+i2k2

4k2 i

2k2

4k2(49)

2(r) =(

k+ik

2k

)2 i

2k2

4k2. (50)

Con una aproximacion a primer orden el ultimo termino de(50) se puede despreciar

2(r) =(

k+ik

2k

)2. (51)

Reescribiendo (51)

d(r)dr

=(

k+ik

2k

). (52)

Aplicando separacion de variables e integrandod =

(k+

ik

2k

)dr (53)

=

kdr+i2

Ln |k| . (54)

Por lo anterior es posible reexpresar (41) como

QEm(r) = e

kdr+ i2 Ln|k| (55)

QEm(r) = ei

kdrei22 Ln|k|, (56)

reduciendo terminos [1, 2, 15]

QEm(r) =1k

[C+ei

kdr +Cei

kdr]

(57)

donde C+ y C son constantes arbitrarias [18].De acuerdo a lo anterior, el numero total N de soluciones de

onda con energa E es[1, 2, 15] rHL

k(r,m,E)dr = pinr(m,E). (58)

Bajo las condiciones de contorno del modelo de tHooft setiene

= 0 r = L

r = rH ,En este punto es importante seguir a tHooft [2], pues la

cantidad que Kim hallo en (58) es el numero clasico de mo-dos (eingenmodes) del campo escalar en la vecindad de unagujero negro. De tal suerte que ahora debemos determinar laspropiedades termodinamicas del sistema tales como la entropa[1, 2].

6Fue el trabajo de Hawking de 1975, el que demostro quela temperatura de un agujero negro es diferente de cero. Lacreacion de partculas surgen del proceso de contraccion gra-vitacional de la estrella y es inherente a la presencia de unhorizonte de eventos. As un agujero negro emite radiaciontermica que posee un espectro planckiano [4] y cuya tempera-tura esta dada por [4, 21]

TH =h2pi

,

donde h es constante de Planck reducida y es la gravedadsuperficial.

Para estudiar la termodinamica de campos cuanticos calien-tes, se rodea un objeto gravitacional (estrella o agujero negro)con una superficie perfectamente reflejante de radio L0. Seconsidera que la metrica fuera del objeto gravitacional tiene laforma

ds2 =g(r)dt2+ dr2

g(r)+ r2d 2. (59)

Figura 1. Objeto gravitacional rodeado por dos superficies reflejantespara el espacio-tiempo de Schwarzschild.

En la Figura 1. se aprecia un objeto gravitacional que puedeser una estrella o un agujero negro para el espacio-tiempode Schwarzschild, rodeado por dos superficies reflejantes, laprimera a una distancia delante del radio gravitacional R0 yla otra a una distancia L muy grande. Estamos interesados enver el comportamiento termodinamico del campo escalar cercadel radio, pues es all donde la curvatura espacio-temporal esmuy alta.

En este espacio (entre R y L ) se introducen una coleccionde campos cuanticos que alcanzan cierta temperatura T agrandes distancias para un observador asintoticamente lejano yen equilibrio termico.

La temperatura local para un observador cercano al horizonteT (r) esta dada por la ley Tolman [7, 22]

T (r) =Tg(r)

. (60)

En el caso que T = TH , donde TH es la temperatura de laradiacion Hawking y esta definida como [1]

H =1

2pil, (61)

donde H = 1TH . As las cosas para un observador cercano alhorizonte, se tendra que las longitudes de onda de la radiacionson muy pequenas en comparacion con otras cantidades talescomo el tamano del contenedor o la curvatura espacio-tiempo.

De acuerdo a (39), el numero de onda radial nr es estricta-mente positivo, cuando y L estan en el rango del ultravioleta,se esta buscando una aproximacion de altas energas pues > 0y 0 L R0 . Luego dentro de este rango, la energa E espositiva y el numero de onda k dado por (39), es real [1]. Porlo tendremos una buena aproximacion a la estadstica clasica[22].

VII. CARACTERIZACION TERMODINAMICA DECAMPO BOSONICO EN EL ESPACIO-TIEMPO DE DE

SITTER (2+1)

En este apartado caracterizaremos termodinamicamente elcampo escalar . De tal forma que seguiremos el tratamientoofrecido por Kapusta [23] y Feynman [24].

A. Funcion de particion para un gas no interactuante

Primero empecemos por considerar un conjunto de partcu-las en una caja de arista L. Tal que podemos despreciar susinteracciones entre s, ademas que las funciones de onda delas partculas desaparecen en la superficie de la caja. Tal quetenemos un numero entero de de longitudes de onda en laarista de la caja

x =2LJx

y =2LJy

z =2LJz,

donde Ji son numeros positivos, en tales condiciones el mo-mentum de una partcula es

Px =piJxL.

Por lo que la energa total del sistema es H = i Hi. Luego lafuncion de particion de todos los modos es el producto de lasfunciones de particion de cada modo

Z = Tre [HN] =j

Tre [H jN j ] (62)

Z =j

Z j =j

11 e () , (63)

donde tenemos que es el inverso de la temperatura T , lafrecuencia y el potencial qumico, que para el caso es nulo.

7B. Osciladores armonicos no interactuantes [24]

Sea un sistema de osciladores armonicos lineales en equi-librio termico. La funcion de particion Z, la energa libre delHelmholtz F y la energa promedio del sistema, se puedendeterminar a partir de esta hipotesis:

Los osciladores no interactuan entre ellos y solo lo hacencon el bano termico: cada oscilador es independiente y pode-mos determinar Fi, que corresponde a la energa libre de cadauno de ellos de acuerdo

F =M

i

Fi, (64)

donde M corresponde al numero total de osciladores. Por otrolado tenemos que la funcion de particion es

Zi =i

eEi =i

ei(n+12 ), (65)

donde Ei = i(n+ 12 ) y son las posibles energas que puedentomar los osciladores. As, tenemos que (65) converge a

Zi =ei/2

1 ei . (66)

Como estamos trabajando en unidades naturales es posibleescribir = E y multiplicar (66) por 1

1eE

Zi =

[eEi/2

1 eEi

][1

1 eEi]=

eEi/2

(1 eEi)2 . (67)

De otro lado la energa por oscilador es de la forma

Fi = 1 Ln |Zi| , (68)

de acuerdo a (67)

Fi =Ei2+

1

Ln1 eEi . (69)

Por (64), la energa total de los osciladores armonicos es

F =i

Fi =i

[Ei2+

1

Ln1 eEi ] . (70)

Feynman sostiene que se puede en (70) despreciar el terminoEi2 , pues conduce a energa infinita cuando hay infinitos modos

de oscilacion dentro de una cavidad [24]. Por lo anterior F sepuede aproximar a

F i

1

Ln1 eEi . (71)

Dado que tenemos una enorme cantidad de modos, la sumacontenida en (71) se puede aproximar a una integral [1, 2, 22,24]. Por lo que (71) se convierte en

F 1pi

Ln1 eE dg(E), (72)

donde se ha introducido el factor g(E), el cual esta relacionadocon el numero de modos que tiene el campo escalar . El cualanalizaremos en seguida.

Dentro de una cavidad tipo cuerpo negro, el numero demodos es

dN = dnxdnydnz,

donde dni es numero de modos en cada una de las tres direccio-nes cartesianas posibles. Este mismo numero dN es equivalentea uno escrito en coordenadas esfericas

dN = dnrdn .

Que para nr esta determinado por (58) y corresponde al numerode modos en la direccion radial. Para componente angular, setiene que el sistema esta en una geometra (2+1), en dondeel angulo polar es constante de acuerdo a la solucion (37),entonces el numero total de modos es

dN = dnrdn .

El numero de modos para la direccion angular azimutal esproporcional al numero cuantico azimutal m

dn = dm.

De lo anterior tenemos que el numero total de modos del campoescalar cerca del horizonte es de la forma

piN =pinrdm =

pik(r,m,E)dr

dm = g(E), (73)

hemos multiplicado (73) por pi para que las funciones de ondatengan nodos en los extremos [2].

La integracion por partes de (72) es

Fpi =1

Ln1 eE dg(E)= g(E)Ln 1 eE g(E)

eE 1dE.(74)

Consideremos el primer termino del lado derecho de (74),el cual podemos expandir una serie de taylor

Ln1 eE = (Ln | |+Ln |E|)+ E

2+ 2E2

24+ . . . ,

que en una aproximacion a primer orden

Ln1 eE Ln |E|+ E

2. (75)

De lo anterior tenemos que (74) se transforma a

Fpi =g(E)

(Ln |E|+ E

2

) 1

g(E)eE 1dE. (76)

En el caso que el termino

g(E)

(Ln |E|+ E

2

) 1

g(E)eE 1dE,

(76) se puede aproximar a

Fpi g(E)

eE 1dE. (77)

8Por (73), (77) se transforma a

Fpi = 1

eE 1dEpinrdm, (78)

donde nr esta dado por (58)

F = 1

eE 1dE

dm

k(r,E,m)dr (79)

y el numero de onda k es determinado por (39)

F =

0

1eE 1dE

rHL

drg(r)

E2 m

2g(r)r2

dm.

(80)En el Apendice E se resuelve la integral de la parte angular

que esta contenida en (80)

E2 m

2g(r)r2

dm =rE2

2

g(r)

(pi2

). (81)

De acuerdo a (81), (80) se transforma a

F =

0

1eE 1dE

rHL

drg(r)

rE2

2

g(r)

(pi2

). (82)

Reacomodando terminos en (82)

F =(pi

2

) 0

E2

eE 1dE rH

L

rg(r)3/2

dr. (83)

donde el termino g(r) = 1 r2l2Realizando las correspondientes integraciones en (83)

F =pi2

( [3] 3

)(l3

l2 (rH )2 l

3

l2L2

). (84)

Donde [x] corresponde a la funcion Zeta de Riemann, la cualesta definida como [25]

[3] =1

(x)

0

ux1

eu1du

cuando x > 1. Numericamente [3] = 1,20206.

C. La entropa del campo escalar

Una vez determinada la energa libre de Helmholtz podemoscalcular la entropa del campo escalar a temperatura Hawkingdada por (61)

S = 2F

=3pi [3]

2 2

(l3

l2 (rH )2 l

3

l2L2

).

(85).

La entropa S evaluada a la temperatura Hawking = 2pil

S|=2pil =3pi [3]2(2pil)2

(l3

l2 (rH )2 l

3

l2L2

), (86)

reduciendo terminos semejantes

S|=2pil =3pi [3]l3

2(4pi2l2)

(1

l2 (rH )2 1

l2L2

), (87)

multiplicando por 4/4

S|=2pil =(

44

)(3pi [3]

8pi2

)(l

l2 (rH )2 l

l2L2

).

(88)En este punto Kim realiza el siguiente cambio de variable

[1]

S|=2pil = 4pi3 [3]32pi2

a

(l

l2 (rH )2 l

l2L2

), (89)

por que (89) se expresa como

S = 4pia

(l

l2 (rH )2 l

l2L2

). (90)

De lo anterior se permite afirmar que la entropa se comportacomo

S 1.

Que corresponde a una divergencia ultravioleta de la entropacuando 0.

Por otro lado, la distancia espacial se define como [26]

dl2 = dxdx ,

donde es el tensor metrico espacial,

=( 1

g(r) 00 r2

). (91)

En el caso de la coordenada radial r, la distancia queda deter-minada como

dl2 = d2 = 11(dx1)2,

d =1g(r)

dr =1

1 r2l2dr,

d =

rHrH

11 r2l2

dr,

9integrando

= l[ArcSin

( rl

)]rHrH

,

evaluando entre los lmites establecidos

= l[

ArcSin( rH

l

)ArcSin

(rH

l

)]. (92)

En este punto Kim hace la aproximacion rH = l por lo tanto(92) se reduce a

= l[pi2ArcSin

(l

l

)]. (93)

Despejando de (93)

= l[

1Sin(pi2

l

)]= l[

1Cos(l

)]. (94)

Reemplazando (94) en (90) y donde se ha aprovechado elhecho que L = 0 y rH = l, se encuentra que la entropa es de laforma

S = 4pia

ll2 l2Cos2 ( l )

S = 4pia

[1

Sin(

l

) 1] . (95)Si definimos

Sin(l

)=

aa+ l

,

reemplazando en (95), tendremos que la entropa se transformaa

S = 4pia

[1a

a+l1]. (96)

Simplificando terminos

S = 4pil. (97)

Por lo que la entropa se puede escribir como

S = 2(2pil) = 2(2pir+). (98)

Finalmente se determina que la entropa del campo escalar cerca del horizonte es proporcional al permetro del mismo.

S (2pir+). (99)

VIII. CONCLUSIONES

Una de los aspectos mas interesantes de esta revision escomprender el metodo de Brick Wall para agujeros negros.

G. tHooft en su artculo propone un metodo interesantede estudiar campos cuanticos cerca del horizonte en dondelos efectos gravitaciones son intensos [2]. Tal metodo ha sidoempleado ampliamente en varios escenarios gravitacionalescomo el de Schwarzschild, teora de cuerdas, medida de laperdida de informacion en cosmologa cuantica.

Este artculo ha sido citado 701 veces en artcu-los de caracter cientfico (de acuerdo a la web:http://adsabs.harvard.edu/abs/1985NuPhB.256..727T,consultado May 2014).

La idea que la materia ordinaria tambien pueda exhibir unaentropa proporcional al area cuando en la descripcion ter-modinamica se incorpora la gravedad es consistente con elprincipio holografico. Tesis que fue por primera vez expresadapor tHooft y Susskind en 1993.

La idea del Pricipio Holograficoque la maxima entropa posible depende del area de la

superficie que delimita el volumen y no de este...Si un sistematridimensional completo puede ser descrito plenamente poruna teora fsica definida solo en su contorno bidimencional seespera que el contenido de informacion del sistema no excedadel contenido de la descripcion limitada al contorno.

IX. PERSPECTIVAS

Dentro del marco de esta revision, surgen las siguientesinquietudes, que han de ser clarificadas tanto como conceptualcomo procedimiental:

Cuales son estados de vaco cerca del horizonte, puestales estados de vaco son el origen de las partculas quepercibe un observador cerca del horizonte?

Como se extiende que metodo a un espacio-tiempo(3+1)?

Existen otros metodos diferentes al de brick wall parahacer termodinamica cerca del horizonte?

Probar el caracter termico de un agujero negro.

ACKNOWLEDGMENTS

Deseo agradecer este trabajo de revision al Profesor RobelArenas, a la Profesora Karen Fonseca, a mis companeros declase de Mecanica Cuantica Avanzada por sus valiosos comen-tarios y observaciones en el desarrollo de esta revision.

Apendice A: Como instalar y ejecutar GRTensor enMathematica 4.0

El paquete GRTensor , corresponde a un software encamina-do a la definicion y calculo de tensores en cualquier rango en

10

cualquier tipo de dimension. El archivo descargado desde lapagina de los autores posee una gran variedad de ejemplos ydocumentacion para su manejo y asimilacion. GRTensor exis-ten versiones se pueden correr sobre plataforma Linux, IOS oWindows.

El presente ejemplo fue desarrollado en la clase de Galaxiasy Cosmologa del Profesor Alexis Larranaga en Observato-rio Astronomico Nacional (OAN) de la Universidad Nacional(UN) en el primer semestre de 2008. Como ejemplo para elmanejo del paquete que se describira a continuacion.

Una vez se ha descargado el paquete de la pagina del progra-mador, podemos descomprimirla y esta se instala por defectoen el disco duro C, el siguiente paso es copiar el paquete enla carpeta de ExtraPackages de Mathematica, siguiendo laruta

C:/ProgramFiles/Wolfram Research/Mathematica/4.0/AddOns/ExtraPackages/grii/metrics/.

Hecho lo anterior, abrimos la carpeta grii en su nueva loca-cion (Mathematica 4.0), ubicamos el archivo options, este pasoes importante debido a que el indicara al programa en dondeencontrar el tensor metrico g a cargar, debemos cambiar

C:/ProgramFiles /Wolfram Re-search/Mathematica/3.0/AddOns/ExtraPackages/grii/metrics/

porC:/ProgramFiles/Wolfram Re-

search/Mathematica/4.0/AddOns/ExtraPackages/grii/metrics/.Esto le permitira al paquete entender sobre que version

de Mathematica se esta corriendo. Si no se hace el programasencillamente no encuentra la ruta para cargar el tensor metrico.El siguiente paso es abrir Mathematica y digitar

11

Figura 4. Cuadro de dialogo de GRTensor cuando se ha cargado unametrica

Con el comando grcalc[Chr[dn,dn,up]] hallamos los sim-bolos de Chrsitoffel de segundo orden , los podemos veren pantalla con grdisplay[Chr[dn,dn,up]].

En el caso de un tensor mixto como por ejemplo el deRiemann R , usaremos [up,dn,dn,dn]. Si deseamos calcularalgun tipo de tensor por ejemplo el de Ricci, R la instrucciongrcalc[R[dn,dn]] lo realiza. En la Figura 4 y 5 permite ver loanterior

Si necesitamos extraer la componente de un tensor dado, lainstruccion grcomponent[tensor,coordenada,coordenada]nos lo permite hacer. La Figura 6 nos muestra como extraer uncomponente para el tensor de Ricci (Rtt )

Calculemos el tensor de Einstein, Gcon grcalc[G[dn,dn]]. Y con la instrucciongrmap[Simplify,G[dn,dn]] lo que hacemos es aplicarla funcion Simplify de Mathematica a cada una de las compo-nentes del tensor de Einstein. Tal como aparece en la Figura7. Consideremos las ecuaciones de campo en el vacio conconstante cosmologica (), es decir G +g = 0.

Con la instruccion

grcomponet[G[dn,dn], t, t]+

grcomponet [g[dn,dn],{t, t, ]hacemos que el programa extraiga las componente temporal

del tensor de Einstein. Nuestro siguiente paso es resolver laecuacion diferencial de la componente temporal (t, t) del tensorde Einstein con constante cosmologica, Gtt +gtt = 0. Lainstruccion que permite realizar lo anterior es

DSolve [grcomponet[G[dn,dn], t, t]+

Figura 5. Entrada y salida para el comando grcalc[tensor], para elejemplo g , R , R .

Figura 6. Entrada y salida para el comando grdisplay[R[dn,dn]], semuestra solo una de las componentes del tensor de Ricci R

grcomponet [g[dn,dn], t, t,] == 0,a,rPara la Figura 8, tenemos que la solucion de la ecuacion

diferencial Gtt con constante cosmologica. La solucion incluyeun termino 1 que corresponde a la primera coordenada queincluimos en nuestro archivo de tensores (metrics); es decir r,ademas de una constante de integracion C[1], si consideramos

12

Figura 7. Componente Rtt del tensor de Ricci.

Figura 8. El comando grmap aplicado a las componentes del tensorde Einstein G .

que esta constante es igual a 2M tendremos que la soluciona(r) es

a(r) =r

r r33 2M(A2)

El siguiente paso es resolver la ecuacion diferencial de la com-ponente radial del tensor de Einstein, Grr+rr = 0; de manerasimilar a como lo hicimos con la componente Gtt

En la Figura 9, se muestra la solucion de la ecuacion dife-rencial de la componente Grr. La cual se puede escribir de laforma

b(r) =6M3r+ r3

rC[1] (A3)

Donde la constante C[1] de (3) es distinta a la obtenida en (2).Si escalamos esta constante de forma que C[1] = 1, tendremosque (3) se reduce a

b(r) =6M3r+ r3

r(A4)

De tal manera que (2) y (4) corresponde a las funciones incogni-ta de la metrica que nos propusimos resolver. Por lo tantoestamos listos para escribir forma final del tensor metrico g

Figura 9. Solucion de la ecuacion diferencial de la componente tem-poral del tensor de Einstein.

Figura 10. Solucion de la ecuacion diferencial de la componente radialde tensor de Einstein.

La Figura 10, muestra la forma final de las componentes deltensor metrico. Si hacemos que la constante cosmologa seaigual a cero, = 0. As las cosas las componentes del tensormetrico son de la forma

Pero cual es la metrica que hemos obtenido? Despues desimplificar y acomodar terminos

ds2 =(

1 2Mr

)dt2+

(1 2M

r

)1dr2+ r2d2, (A5)

donde d2 = r2d 2+r2sin2d 2, hallamos la metrica de Sch-warzschild, que corresponde a la primera solucion de las ecua-ciones de campo de Einstein para un agujero negro de masaM no rotante sin carga. En las Figuras 11 y 12 se muestranlas formas finales del tensor metrico g y de la metrica deSchwarzschild.

Apendice B: La ecuacion de Klein-Gordon

En esta seccion deduce la ecuacion de Klein-Gordon. Con-siderese la densidad lagrangiana[14]

L =12g

[g

x

x

+m2]. (B1)

13

Figura 11. Forma final del tensor metrico g con constante cos-mologica , una vez se ha hallado las funciones a(r) y b(r).

La variacion de la accion es S = 0 lo que conduce a lasecuaciones de Euler-Lagrange

L x

L(

x

)= 0, (B2)

as, las cosas tenemos

L

=gm2

y tambien

L ()

=12gg .

Por lo que ahora podemos calcular

x

[L

(

)]= x

(1

2gg

).

Tenemos que

12[gg]+gm2 = 0. (B3)

Figura 12. Forma final del tensor metrico g sin constante cosmologi-ca .

La cual se puede reescribir como

1g[gg]+m2 = 0. (B4)

La naturaleza de la ecuacion de Klein-Gordon es describir uncampo escalar libre sin espn, tal como podra ser el campoHiggs. La funcion de onda acaso se podra interpretar comola densidad de un campo bosonico, que servira para caracteri-zar el estado fsico del vacio o del espacio-tiempo. La solucionde la ecuacion (30) correspondera a un desarrollo de tipo ondasplanas[20]. En este punto hemos de entender que la funcion NO corresponde a una densidad de probabilidad tal comoocurren en la ecuacion de Schrodinger dado que tal densidadde probabilidad puede tomar valores negativos. Ademas quela solucion contendra valores negativos de energa. Y por lotanto como ya dijimos antes debe ser interpretada como unaecuacion de campo que ha de ser cuantizado.

Apendice C: Solucion de la ecuacion de Klein-Gordon para elespacio-tiempo de de Sitter (2+1) por el metodo de separacion

de variables [17]

En este Apendice hemos de considerar una solucion para laecuacion (32). Tal solucion debe tener en cuenta su simetraesferica cuya solucion es de hecho parecida a las que se puedenhallar en los textos clasico de electrodinamica por ejemplo

14

Figura 13. Forma final del elemento de lnea ds2 sin constante cos-mologica.

cuando se resuelve la ecuacion de Laplace (2 = 0) o laecuacion de onda (2 =

2 t2 ) [17].

(t,r,) = eiEteimREm(r), (C1)

al aplicar el metodo de separacion de variables debemos teneren cuenta las derivadas parciales de la funcion (t,r,) [17].Calculemos primero con respecto a la coordenada temporal

t

= eiEteimREm(r)(iE)

2 t2

=eiEteimREm(r)(E2).

Para la coordenada angular tendremos que la derivada parciales

2 t2

=eiEteimREm(r)(m2).

Y para la coordenada radial es

r

= eiEteimdREm(r)

dr.

As la cosas, podemos reemplazar las derivadas del campoescalar en (32) y hallamos la ecuacion radial de onda [1]

1rg(r)

r [rg(r)rREm(r)]+1

g2(r)

[E2 m

2g(r)r2

]REm(r) = 0.

(C2)

Apendice D: Aproximacion de la ecuacion (38) a la ecuacion (40)

Si definimos la funcion REm(r) en la siguiente forma[15]

REm(r) =QEm(r)

r2g(r), (D1)

donde g(r) = 1 r2l2 . De lo anterior la ecuacion (38)

1rg(r)

r [rg(r)rREm(r)]+1

g2(r)

[E2 m

2g(r)r2

]REm(r) = 0,

(D2)se transforma a

24

r2(

1 r2l2)

QEm(r)

l4(

1 r2l2)4 + 3

r2(

1 r2l2)

QEm(r)

r4(

1 r2l2)4

15

r2(

1 r2l2)

QEm(r)

l2r2(

1 r2l2)4 12r

2

r2(

1 r2l2)

QEm(r)

l6(

1 r2l2)4

12

r2(

1 r2l2)

QEm(r)

l4(

1 r2l2)3 2

r2(

1 r2l2)

QEm(r)

r4(

1 r2l2)3 +

12

r2(

1 r2l2)

QEm(r)

l2r2(

1 r2l2)3 + k

2

r2(

1 r2l2)

QEm(r)

r2(

1 r2l2)

2

r2(

1 r2l2)(QEm)

(r)

r3(

1 r2l2)3 + 6

r2(

1 r2l2)(QEm)

(r)

l2r(

1 r2l2)3

4r

r2(

1 r2l2)(QEm)

(r)

l4(

1 r2l2)3 +

r2(

1 r2l2)(QEm)

(r)

r3(

1 r2l2)2

3

r2(

1 r2l2)(QEm)

(r)

l2r(

1 r2l2)2

r2(

1 r2l2)(QEm)

(r)

l2(

1 r2l2)2 +

r2(

1 r2l2)(QEm)

(r)

r2(

1 r2l2)2 = 0. (D3)

15

Expandiendo terminos y simplificando (D3)

(2k2l2r4+ k2r6+ l4 (1+ k2r2))QEm(r)(l2r+ r3)2

r2 r4l2

+r(l2 r2)2 ((QEm) (r)+ r (QEm(r)) (r))

(l2r+ r3)2

r2 r4l2= 0. (D4)

Expandiendo desarrollando los productos indicados

l4QEm(r)+ k2l4r2QEm(r)2k2l2r4QEm(r)+

k2r6QEm(r)l4r (QEm) (r)+2l2r3 (QEm) (r)r5 (QEm) (r)+

l4r2 (QEm) (r)2l2r4 (QEm) (r)+r6 (QEm) (r) = 0. (D5)

Dividiendo por 1r6 a (D5) hallamos que

k2QEm(r)+l4QEm(r)

r6+

k2l4QEm(r)r4

2k2l2QEm(r)

r2

l4 (QEm) (r)

r5+

2l2 (QEm) (r)

r3 (QEm)

(r)r

+(QEm) (r)+

l4 (QEm) (r)

r4 2l

2 (QEm) (r)

r2= 0. (D6)

Con una aproximacion a orden cero en 1r , por lo que pode-mos despreciar los demas terminos de orden superior

(QEm) (r)+ k2QEm(r) = 0 (D7)

Apendice E: Calculo de la integral respecto a la parte angular(80)

En este Apendice se calcula la integral respecto a la parteangular contenida en la ecuacion (80), cual fue realizada enMathematica 7.0 for students

E2 m

2g(r)r2

dm =rE2

2

g(r)ArcTan

mg(r)r

E2 m2g(r)r2

+12

m

E2 m

2g(r)r2

. (E1)

Si suponemos una expansion en una serie Taylor de la funcionArcTan(x) para cuando x 1, de la cual se puede ver una

completa descripcion en Mathematical HandBook of formulasand tables de M. Spiegel [25]

ArcTan(x) =pi2 1

x+

13x3 1

5x5+ . . . ,

por lo que la funcion ArcTan(x) se puede aproximar a ordencero

ArcTan(x) pi2. (E2)

Procemos de la misma manera con el siguiente termino conte-nido en el lado derecho de (E1)

12

m

E2 m

2g(r)r2

=Em2 Eg(r)

4r2E2m3+ . . . . (E3)

De acuerdo a lo anterior con una aproximacion a orden cerotenemos la integral (E1) se expresa

E2 m2g(r)r2

dm =rE2

2

g(r)

(pi2

)(E4)

Apendice F: Caractersticas del espacio de de Sitter

En este apendice mostraremos algunas de las propiedadesgeometricas de espacio-tiempo de de Sitter bajo la signatura[+++].

Consideremos una metrica de de Sitter en coordenadas estati-cas en (3+1) (t,r, ,) dado por la ecuacion (16) y se llamancoordenadas estaticas pues la metrica no depende de maneraexplcita del tiempo

ds2 =(1 r2

l2)dt2+

1

(1 r2l2 )dr2+ r2d 2 r2sin2d .

(F1)En el caso que r = l se tiene el horizonte cosmologico y lametrica diverge. Lo cual es un concepto importante en cos-mologa, ya que cuando r = l corresponde a un horizonte dekilling pues la norma del vector de killing t desaparece en estevalor [27]. Esto es una consecuencia que el espacio-tiempo dede Sitter se esta expandiendo mucho mas rapido que los even-tos que ocurren. Por lo que para un observador en r = 0 hayeventos que no podra verlos pues estan mas alla del horizonte[27].

Adicional a lo antes mencionado tenemos que la constantecosmologica descrita en la seccion II se puede generalizarpara D dimensiones de la forma

=(d2)(d1)

2l2, (F2)

en el caso de d = 4, es decir una geometra (3+1)

4 =3l2, (F3)

y para (2+1)

3 =1l2, (F4)

16

que es el caso que estamos estudiando. Se estima que la cons-tante cosmologica tiene un valor experimental de

1052m2,

de sistema internacional de unidades. En unidades naturales

10122

(Fuente Wikipedia).Se pueden obtener un conjunto de transformaciones para las

coordenadas estaticas que permitan llevar la metrica (16) a unaforma equivalente que permita estudiar sus propiedades

ds2 =dx20+n

i=1

dx2i

ds2M =dx20+dx21+dx22+dx23+dx24, (F5)que corresponde una metrica minkowskiana en 5 dimensiones.

De hecho Ripken en su tesis lo hace as [28], el cual loreproducimos aqu por efectos de completes. Sean las transfor-maciones de la forma

x0 =

l2 r2sinh( t

l

)

x1 =

l2 r2cosh( t

l

)x1 = rcos() , (F6)

x3 = rsin()cos()

x4 = rsin()sin() .

S calculamos las derivadas totales del sistema de transforma-ciones dado en F6 se obtiene

dx0 =

l2 r2cosh[ tl ]l

dt+rsinh

[ tl

]

l2 r2 dr

dx1 =rcosh

[ tl

]

l2 r2 dr

l2 r2sinh[ tl ]l

dt

dx2 = cos[ ]dr rsin[ ]d (F7)

dx3 = rcos[ ]cos[]d + cos[ ]Sin[ ]dr rsin[ ]sin[ ]d

dx4 = rcos[ ]sin[ ]d + rcos[ ]sin[ ]d + sin[ ]sin[ ]dr,

que al ser reemplazadas en F5 se obtiene

ds2 =l2

l2 r2 dr2 l

2

l2 r2 dt2+

2r2

l2 r2 dtr4

l2 (l2 r2)dt2+

l2r2

l2 r2 d2 r

4

l2 r2 +d2

l2r2

2(l2 r2)d2 r

4

2(l2 r2)d2

l2r2cos[2 ]2(l2 r2) d

2+r4cos[2 ]2(l2 r2)d

2. (F8)

Despues de simplificar terminos se obtiene la metrica de deSitter en coordenadas estaticas (16)

ds2 =(1 r2

l2)dt2+

1

(1 r2l2 )dr2+ r2d 2 r2sin2d .

De lo anterior tenemos que el conjunto de transformacionesdado en F6, que permite llevar la metrica F5 a la forma 16.El espacio de De Sitter puede incrustarse en el espacio deMinkowski de cinco dimensiones como la hipersuperficie dadapor

x20+ x21+ x22+ x23+ x24+ x25 = l2, (F9)la cual es equivalente a

x20

l2+

x21l2+

x22l2+

x23l2+

x24l2= 1, (F10)

y corresponde a la superficie de un hiperboloide de una hoja en5 dimensiones. Ademas si tenemos en cuenta que la distancia lesta determinada por F2, luego F10 se reescribe en terminosde la constante cosmologica

x20+ x21+ x22+ x23+ x24+ x25 =(d2)(d1)

2. (F11)

Consideremos las coordenadas x3 = x4 = 0 lo que hace queel problema se reduzca a una geometra (2+1), que es la queestamos estudiando. Luego la constante cosmologica toma elvalor dado por F4 y F11 se puede reescribir como

x20+ x21+ x22 = , (F12)que es igual a

t2+ x2+ y2 = . (F13)Con la parametrizacion x = rcos() y y = rsin() se obtiene

t2 = r2. (F14)La Figura 14 se observan las trazas (cortes) verticales un

hiperboloide de una hoja generado a partir de la ecuacion F14para una constante cosmologica normalizada, el tiempo correverticalmente y el eje horizontal a las coordenadas xi. Lastrazas horizontales corresponden a circunferencias de radio l.

17

-10 -5 5 10r

-10

-5

5

10

t

Figura 14. Trazas (cortes) verticales un hiperboloide de una hoja, eltiempo corre verticalmente y el eje horizontal a las coordenadas xi

-10

-5

0

5

10

x

-10

-5

0

5

10

y

-10

-5

0

5

10

t

Figura 15.

BIBLIOGRAFIA

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