unidad 4 equipo5 f.m.m.c

8/12/2019 Unidad 4 Equipo5 F.M.M.C

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INTRODUCCION

El contenido de este trabajo conforma un resumen de toda la unidad cuatro locual lo conforman los siguientes temas:

4 Estado de deformacin

4.1. Descripcin del movimiento.

4.2. Descripcin matemtica de la deformacin.

4.3. Tensor de deformacin para deformaciones infinitesimales y

desplazamientos pequeos.

4.4. Deformaciones por rotacin, deformacin lineal y angular.

4.5. Deformaciones y direcciones principales.

En este reporte se describe cada uno de los temas y los subtemas de cada

unidad se pudo buscar informacin de varias fuentes bibliogrficas, la igual

que hoy en la actualidad estos tremas son bsicos la vida cotidiana de un ing.

Civil que se relaciona mucho con la aplicacin.


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28 de junio de 2014 [INEGENIERIA C IVIL 4 BC]

2 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE MEDIOS CONTUNIOS UNIDAD 5

Contenido

4.- Estado de deformacin .............................................................................................. 3

4.1.-Descripciones del movimiento. ........................................................ 3

Formulaciones Lagrangiana y euleriana .............................................................................. 3

Gradientes de deformacin y desplazamiento ................................................................... 4

4.2. Descripcin matemtica de la deformacin. ................................... 5

Definicin. ........................................................................................................................... 5

El tensor deformacin ......................................................................................................... 6

Interpretacin del tensor deformacin ............................................................................... 6

Ecuaciones de compatibilidad. ............................................................................................ 7

4.3.-El tensor de deformacin infinitesimal .......................................... 8

El tensor de deformaciones infinitesimales ........................................................................ 8

Calculo de deformaciones longitudinales ........................................................................... 8

4.4 Deformaciones por rotacin, deformacin lineal y angular ............. 9

4.5.--- Deformaciones y direcciones principales .................................. 12

Deformaciones principales ................................................................................................ 12

Calculo de deformaciones principales .............................................................................. 12

Direccin principal ............................................................................................................. 15

Calculo de direcciones principales .................................................................................... 16

4.6.- Ecuacin de compatibilidad ......................................................... 17

Ecuaciones de compatibilidad en deformaciones ............................................................. 17

Elasticidad lineal .............................................................................................................. 17

Elasticidad no-lineal.......................................................................................................... 18

Ecuaciones de compatibilidad en desplazamiento ........................................................... 18

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................................... 20CONCLUSION ................................................................................................................ 21


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4.- Estado de deformacin

4.1.-Descripciones del movimiento. Formulaciones Lagrangiana y euleriana

En la descripcin del movimiento (o desplazamiento) y deformaciones (y por lo tanto para el

clculo de tensiones) de los cuerpos, es fundamental la eleccin de un sistema de referencia para

describir el mismo. En el clculo lineal no existe distincin entre la configuracin inicial (no

deformada) y la configuracin temporal (o deformada) ya que las caractersticas geomtricas y

mecnicas son invariantes. sta es la caracterstica fundamental que diferencia el clculo lineal del

no lineal.

Desde el punto de vista de la Mecnica de Medios Continuos (MMC) un slido es un conjunto

infinito de partculas que ocupan una posicin en el espacio. Estas posiciones son variables en el

tiempo, a la posicin de todas ellas en un instante dado se le denomina configuracin.

En el desarrollo que sigue a continuacin se denotan con letras maysculas los estados referidos a

la configuracin inicial y con minsculas los referidos a la configuracin temporal (o deformada).

u Pp xi X I

Si se conociesen los vectores posicin X y x para cualquier instante, estara perfectamente definido

el movimiento del cuerpo. En Mecnica de Medios Continuos, se supone que estas funciones con

continuas y biunvocas, por la tanto, es posible escribir:


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O bien,

O de la posicin temporal (formulacin euleriana

Se podra decir que la formulacin Lagrangiana se ocupa de lo que le sucede al slido mientras que

la formulacin Euleriana se ocupa de lo que le sucede a una zona del espacio. En el caso de un

ensayo de traccin se define la deformacin como:

Esta deformacin se suele llamar deformacin ingenieril y corresponde a una descripcin

Lagrangiana del problema. Por el contrario, si se realiza un enfoque Euleriano del mismo surge el

concepto de deformacin real como:

Gradientes de deformacin y desplazamientoConsidrese dos puntos infinitamente prximos de un slido sometido a un estado de

deformacin. Las proyecciones de un elemento diferencial de la configuracin deformada en

funcin de la configuracin inicial son:

que se puede expresar matricialmente como:

Donde F es la matriz jacobiana de la transformacin. Esta matriz se denomina gradiente de

deformacin y transforma vectores en el entorno de un punto de la configuracin de referencia a

la configuracin temporal,


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Sustituyendo las anteriores se tiene:

Por lo que la ecuacin se puede escribir:

De donde se deduce que el tensor gradiente de deformacin se puede descomponer en suma de

dos:

F:I+D

4.2. Descripcin matemtica de la deformacin.

Definicin.Una deformacin de un cuerpo elstico K, es una transformacin TD: TD:KK'R3 P TD(P) = P'

(siendo K' el slido deformado) que cumple: (i) TD es una aplicacin biyectiva, es decir, que tiene

inversa. (ii) TD y su inversa son de clase C(1), es decir, ambas son diferenciables y sus derivadas

primeras son continuas.

Nota: De toda aplicacin que satisface (i) y (ii) se dice que es un difeomorfismo. La condicin (ii)asegura que ciertas condiciones de regularidad en la forma en que puede deformarse un cuerpo,

que siempre se dan en los slidos reales. Adems dicha condicin excluye del tratamiento a cierto

tipo de "deformaciones" fsicamente no razonables o aquellas que implican fractura o prdida de

continuidad del material.

Por otra parte, la deformacin tambin puede quedar especificada por el campo vectorial de

corrimientos u = (ux, uy, uz) R3 definido por:

u(P) = TD(P) - P (con P = (x, y, z)K ).


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El tensor deformacinSean P y Q dos puntos del slido elstico K antes de deformar y sean P' = TD(P) y Q' = TD(Q) los

correspondientes puntos de K'. Consideremos ahora coordenadas sobre K y K' (= slido despus de

la deformacin). Si las coordenadas de todos estos puntos vienen dadas por:

P = (x, y, z) K Q = (x + Dx, y+ Dy, z+ Dz) K P' = (x', y', z') K' Q' = (x' + Dx', y' +Dy', z'+Dz') K'

Las distancias entre P y Q antes y despus de la deformacin sern entonces: Introduciendo ahora

el vector de corrimiento u = (ux, uy, uz), se tiene que ui = x'i - xi y por tanto Fui = Dio - Di, por lo

que:

DL'2 = (Dx+Dux)2 + (Dy+Duy)2 +(Dz+Duz)2

DL'2 = (Dx2+ Dy2+Dz2) + 2(DxDux+ DyDuy DzDuz) + (Dux2+ Duy2 Duz2)

Despus de ciertas manipulaciones algebraicas llegamos a una ecuacin que relaciona ambasdistancias: dividiendo por DL2, y pasando al lmite, se obtiene la ecuacin fundamental del tensor

deformacin.

Interpretacin del tensor deformacinConsideremos una base en la que el tensor deformacin es diagonal. En el caso de pequeas

deformaciones y utilizando la frmula de Taylor:

(1+ x ) r = 1 + rx + ...

Podemos escribir para la deformacin en, deformacin en la direccin n: si en particular tomamos

(nx, ny, nz) = (1,0,0) tenemos que e = exx. Por tanto la interpretacin del tensor deformacin es la

siguiente: (en una base diagonal dada) la deformacin principal eii representa el alargamiento en

la direccin i. As en el entorno de un punto las longitudes en direccin i se alargan tendremos eii >

0, mientras que si se encogen tendremos eii < 0.


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Ecuaciones de compatibilidad.Para que un tensor deformacin del tipo DCL sea aceptable, deber derivar de un campo de

desplazamientos bien definido. Para que esto suceda deben satisfacerse las siguientes ecuaciones

de compatibilidad:

Dichas ecuaciones son las condiciones de integrabilidad para poder garantizar que DCL puede

integrarse para dar lugar a un campo de desplazamientos (ux, uy, uz). Puede comprobarse que

dichas ecuaciones de compatibilidad se satisfacen idnticamente si existe un campo

desplazamientos (ux, uy, uz) tal que:

En el caso general, es decir, considerando un tensor deformacin DL no lineal de Landau, las

ecuaciones de compatibilidad adoptan una forma ms complicada:

(1+ x ) r = 1 + rx + ...

Estas ecuaciones de compatibilidad para el tensor no lineal de Landau son no lineales y de difcilaplicacin. Sin embargo, su linealizacin alrededor de sus soluciones coincide con las ecuaciones

de compatibilidad para el tensor lineal de Cauchy-Lagrange. En la prctica nos conformaremos con

comprobar que se satisfacen las ecuaciones linealizadas, es decir, las ecuaciones de compatibilidad

para el tensor lineal de Cauchy-Lagrange.


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4.3.-El tensor de deformacin infinitesimal

El problema que pretendemos resolver en esta seccin es el siguiente: dado un campo de

desplazamientos u: R3, cules son las deformaciones y en todos lospuntos y todas lasdirecciones posibles? Este es el problema central de la cinemtica de los cuerpos deformables.

Para calcular las deformaciones en cualquier punto ser necesario determinar la forma local del

campo de desplazamientos alrededor de dicho punto. Como siempre en teora de campos, esta

informacin la recoge el gradiente:

Dado un campo de desplazamientos u : R3 se define el tensor gradientede desplazamientos

como aquel que verifica.

El tensor de deformaciones infinitesimalesCuando calculemos deformaciones comprobaremos que estas solo dependen de la parte

simtrica de u y a este objeto lo denominaremos el tensor de deformacin, y juega un papel

central en el modelo del solido deformable.Dado un campo de desplazamientos u : , definimos la

deformacin infinitesimal D como el campo de tensores simtricos.

La parte de que no est asociada a la deformacin infinitesimal D, es decir la parte hemisimetrica

del tensor, si que est asociada al movimiento local y recibe la siguiente definicin:

La parte hemisimetrica de u(P) es el campo tensorial de giro infinitesimal : Como es un tensor

hemisimetrico tiene un vector axial asociado , llamado el vector de giro infinitesimal. Este campo

vectorial satisface adems.

Calculo de deformaciones longitudinalesPara obtener una expresin que nos permita obtener el valor de ex en funcin de u y sus

gradientes, sustituimos el desarrollo de Taylor del campo de desplazamiento en la expresin. Sea

el vector unitario en la direccin en la que queremos.

Calcular la deformacin longitudinal. Entonces, La expresin para la deformacin longitudinal es

una funcin no lineal. Sin embargo, si las deformaciones son pequeas podemos aproximar. , Y

utilizando un desarrollo de Taylor para la funcin obtener finalmente: Se define la deformacin

longitudinal infinitesimal en un punto P y una direccin cualquiera como el escalar.


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4.4 Deformaciones por rotacin deformacin lineal y angular

Los cuerpos se deforman debido a la accin de las fuerzas aplicadas. Para conocer la deformacin

de un cuerpo es preciso conocer primero la deformacin de uno cualquiera de los paraleleppedoselementales que lo forman. Veremos a continuacin cmo la deformacin de un paraleleppedo

elemental se puede descomponer e cuatro partes:

Una traslacin que lleva el origen del paraleleppedo del punto O al punto O

Una rotacin del paraleleppedo alrededor de un eje que pasa por O

Unas deformaciones angulares simtricas de los ngulos que forman las aristasdel paraleleppedo, inicialmente a 90


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Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dos acciones: en una primera

accin hacemos girar las aristas el mismo ngulo, lo que denominaremos deformacin angular

simtrica, que sera la media aritmtica de las dos, o sea: 3 y en la segunda accin completamos

la deformacin angular inicial, con lo cual la arista OA habra que girarla 1 ms en sentido antihorario y la arista OB restarla 1, sea, girarla 1 en sentido horario. sta accin sera una rotacin.

Deformaciones angulares (/2): se consideran positivas cuando impliquen un

giro en sentido horario. Negativas en caso contrario


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Calculo de deformaciones y /2 en una direccin OD cualquiera

A partir de las componentes del estado de deformaciones plano en un punto

/2), la circunferencia de Mohr, tal y como se ha

indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio. De lo que se trata ahora es de

poder conocer grficamente las deformaciones

definida por su vector unitario: uD(cos , sen ).

Mediante este procedimiento las deformaciones en la direccin OD sern pues:

Deformacin longitudinal: = OH = OC + CH = OC + CD.cos

2 = DH = CD.sen (los valores de OC centro y CD radio, se obtendrn

de la circunferencia de Mohr).


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4.5.--- Deformaciones y direcciones principales Deformaciones principales

De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un slido, relativas a las infinitas

direcciones OD que se puedan considerar, habr unas que tengan los valores mximo y mnimo a

las que se denominar: deformaciones principales. A las direcciones correspondientes en la que

eso ocurre, se las denominar: direcciones principales. Ocurrir pues igual que con las tensiones,

que en las direcciones principales se cumplir que: / 2 = 0 y por tanto: =.

Puede demostrarse que fijado un punto de un slido deformable, toda deformacin fsicamente

admisible puede aproximarse localmente por tres alargamientos (o acortamientos) i segn

direcciones perpendiculares, el valor de estos alargamientos i puede determinarse resolviendo

para cada punto la siguiente ecuacin:

Calculo de deformaciones principalesPara obtener el valor de las deformaciones principales, recodemos que si i es el valor deuna de ellas; por ser ti = 0 resultar de acuerdo a:


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Para que el sistema homogneo de dos ecuaciones con dos incgnitas admita solucionesdistintas de la trivial (sen i = cos i = 0), la que no representa solucin para el problemafsico planteado, puesto que no cumple la ecuacin de condicin

sen 2 i + cos2 i =1


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Para ubicar las direcciones principales, bastar con plantear la nulidad del deformacinespecfica transversal:

Si la ecuacin XVI se satisface para i = I, tambin lo hara para 2I + = 2II

Por lo tanto II = I + /2

Es decir, que existen en el plano (x-y) dos direcciones ortogonales entre s para las cuales tr

resulta nula. Resulta claro que ambas direcciones resultan tambin normales al eje z (tercera

direccin principal)

Las ecuaciones correspondientes para calcular las Deformaciones Principales, se obtendrn, por lo

dicho antes, haciendo los cambios:

Y quedarn las ecuaciones:


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Direccin principalDada una magnitud fsica de tipo tensorial T se plantea el problema matemtico de buscar los

vectores no nulos v que cumplan la ecuacin:

Dicho problema constituye un problema matemtico de vectores propios, donde los auto valores

(o valores principales) son valores del parmetro para los que existe solucin y cada una de las

rectas generadas por un vector v se llama direccin principal. El significado fsico tanto de los

valores y direcciones principales vara segn la magnitud tensorial considerada. En los siguientes

apartados se explica el significado e importancia de valores y direcciones principales para algunas

magnitudes tensoriales importantes.

En fsica e ingeniera, una direccin principal se refiere a una recta de puntos formada porvectores propios de alguna magnitud fsica de tipo tensorial.

Los dos ejemplos ms notorios son las direcciones principales de inercia, usualmente llamadas ejesprincip les de inerci y las direcciones princip les de tensin y deform cin de un slidodeformable.

Este artculo resume las propiedades matemticas de las direcciones principales y elsignificado fsico de las mismas en diferentes los contextos.


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Calculo de direcciones principales

Pues bien, haciendo nuevamente los cambios:

Obtendremos las Direcciones Principales correspondientes a las Deformaciones Principales y

sern:


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4.6.- Ecuacin de compatibilidadUna ecuacin de compatibilidad es una ecuacin adicional a un problema mecnico de equilibrio

necesario para asegurar que la solucin buscada es compatible con las condiciones de contorno o

para poder asegurar la integrabilidad del campo de deformaciones.

Ecuaciones de compatibilidad en deformacionesEn el planteamiento del problema elstico, las ecuaciones de compatibilidad son ecuaciones que si

se cumplen garantizan la existencia de un campo de desplazamientos compatible con las

deformaciones calculadas. En otras palabras, las ecuaciones de compatibilidad son las condiciones

necesarias de integrabilidad para el campo de desplazamientos en trminos de las componentes

del tensor deformacin.

Elasticidad linealEn elasticidad lineal una deformacin ser fsicamente posible si es compatible con un

determinado campo de desplazamientos Ues decir si se cumplen las siguientes relaciones para lascomponentes del tensor deformacin:

Normalmente las componentes del campo de desplazamiento son desconocidas por lo que

necesitamos una relacin expresable slo en trminos de las componentes del tensor

deformacin. La expresin buscada es precisamente:

Estas ltimas relaciones son precisamente las que se conocen como ecuaciones de compatibilidad

de la elasticidad lineal.


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Elasticidad no linealEn teora de la elasticidad no lineal la relacin entre el vector de desplazamientos y las

componentes del tensor tensin son no lineales y substancialmente ms complicadas:

Por lo que las ecuaciones de compatibilidad en elasticidad no lineal tambin son no-lineales:

Donde los smbolos de Christoffel vienen dados por:

La ecuacin (2) se puede reinterpretar en trminos de geometra diferencial, si consideramos que

el slido se deforma sobre un espacio eucldeo una vez deformado las coordenadas materiales

dejarn de ser cartesianas y la medicin de distancias requerir el uso de un tensor mtrico de la

forma:

Ecuaciones de compatibilidad en desplazamientoCon frecuencia, en problemas mecnicos o de resistencia de materiales hiperestticos el clculo

de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a partir de las condiciones de equilibrio. En

ese caso, las ecuaciones de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto que la

situacin fsica real s presenta una solucin unvoca, es decir, las piezas mecnicas toman valores

de tensin concretos y las reacciones reales tienen valores totalmente determinados, concluimos

que las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas con algn otro tipo de informacin

adicional que haga que el problema sea determinado.


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Por ejemplo en la figura (Fig. 1) se muestra un problema unidimensional consistente en la

aplicacin de una fuerza en un punto intermedio empotrado en sus extremos. En este caso, el

problema es estticamente indeterminado o hiperesttico el anlisis de fuerzas lleva a una nica

ecuacin para las dos reacciones incgnitas existentes:

En este caso P es una fuerza conocida. Para poder determinar las reacciones observamos que la

parte izquierda (entre RA y P) est fraccionada y por tanto se estirar, mientras que la parte

derecha (entre P y RB) est comprimida y por tanto se encoger. Puesto que la pieza es un nico

slido deformable el estiramiento de parte izquierda compensar exactamente el estiramiento de

la parte derecha, de lo contrario la pieza se rompera. Por tanto estiramiento y acortamientodeben ser compatibles, sa es precisamente la condicin de compatibilidad adicional que resuelve

el problema:

Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos mtodos, por ejemplo usando losteoremas de Castigliano o usando la ecuacin de la curva elstica. Si el problema es

suficientemente sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la ecuacin de

compatibilidad directamente.1

1

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9j

YXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQ

http://www.iit.upcomillas.es/~carnicero/Resistencia/Descripcion_de_%20movimiento.pdf

http://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/deformaciones.pdf
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQhttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQhttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQhttp://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/deformaciones.pdfhttp://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/deformaciones.pdfhttp://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/deformaciones.pdfhttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQhttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQ


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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFp

bnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMz

I0YQ

http://www.iit.upcomillas.es/~carnicero/Resistencia/Descripcion_de_%20mo

vimiento.pdf

http://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/

deformaciones.pdf
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQhttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQhttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQhttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQhttp://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/deformaciones.pdfhttp://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/deformaciones.pdfhttp://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/deformaciones.pdfhttp://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/deformaciones.pdfhttp://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/mec_del_solido/teoricos/deformaciones.pdfhttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQhttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQhttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxhbGVqYW5kcm9jYXN0aWxsb25tZWRpb3N8Z3g6NWYwY2Y2OTcyMzExMzI0YQ


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CONCLUSION

Con este reporte nos dimos la tarea de adquirir nuevos

conocimientos por el cual era desconocido para nosotros. Gracias

a esta investigacin sabremos cual y en donde ser su aplicacin

de cada uno de los temas, as mismo esta unidad es una relacin

con la materia de dinmica que tambin se relacionan cada uno

de ellos.

As es como hemos concluido con el reporte de esta unidad que

se obtuvo informacin de varias fuentes bibliogrficas que se

obtuvieron de internet de libros entre otros

unidad 4 equipo5 f.m.m.c

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