UNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES

COMPETENCIA ESPECFICA A DESARROLLAR: Comprender el concepto de espacio vectorial como la estructura algebraica que generaliza y hace abstraccin de operaciones que aparecen en diferentes reas de la matemtica mediante las propiedades de adicin y multiplicacin por un escalar. Construir, utilizando el lgebra de vectores, bases de un espacio vectorial y determinar la dimensin del espacio correspondiente.

4.1 DEFINICIN DE ESPACIO VECTORIAL

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicacin por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuacin. Notacin. Si x y y estn en V y si a es un nmero real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como ax. Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser til pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cmodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definicin 1 ofrece una definicin de un espacio vectorial real. La palabra real significa que los escalares que se usan son nmeros reales. Sera igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando nmeros complejos en lugar de reales. Este libro est dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad.

Sea V un conjunto sobre el que estn definidas dos operaciones (la suma vectorial

y la multiplicacin escalar). Si los siguientes axiomas se cumplen para todo U, V y

W en V y todo escalar E y d entones V se denomina espacio vectorial.

SUMA

1._ + Cerradura bajo la adicin.

2._ + = + Propiedad conmutativa.

3._ + ( + ) = ( + ) + Propiedad asociativa.

4._ + 0 = contiene un vector cero 0 tal que para todo . Neutro

aditivo.

5._Para todo vector en , hay un vector en denotado tal que + () =

0.

MULTIPLICACIN POR ESCALAR

6._ Cerradura bajo la multiplicacin escalar.

7._ ( + ) = + Propiedad distributiva.

8._ ( + ) = + Propiedad distributiva.

9._ () = () Propiedad asociativa

10._1 = Identidad escalar.

EJEMPLOS

Problema 1: 2Demostrar que el conjunto de matrices de 2 2 en un espacio

vectorial.

= |

| = |

| = |

| = =

1._ + =

|2 34 5

| + |6 8

2 9| = |

8 112 14

|

2._ + = +

|6 8

2 9| + |

2 34 5

| = |8 112 14

|

3._( + ) + = + ( + )

|2 34 5

| + |6 8

2 9| + |

4 61 5

| = |12 173 19

|

|2 34 5

| + |10 141 14

| = |12 173 19

|

4._ + 0 =

|2 34 5

| + |0 00 0

| = |2 34 5

|

5._ + = 0

|2 34 5

| + |2 34 5

| = |0 00 0

|

6._

10 |2 34 5

| = |20 3040 50

|

7._( + ) = +

10 |8 112 14

| = |80 11020 140

|

|20 3040 50

| + |60 80

20 90| = |

80 11020 140

|

8._( + ) = ( + )

8 |2 34 5

| = |16 2432 40

|

|20 3040 50

| + |4 68 10

| = |16 2432 40

|

9._() = ()

10 |4 68 10

| = |40 6080 100

|

20 |2 34 5

| = |40 6080 100

|

10._1 =

1 |2 34 5

| = |2 34 5

|

Problema 2: Demostrar si el conjunto de nmeros impares es un espacio

vectorial.

NO ES POSIBLE

Problema 3: Demostrar si el conjunto de nmeros positivos y negativos es un

espacio vectorial.

NO CUMPLE

Problema 4: Sea 2 el conjunto de todos los polinomios de grado 2 o menor con

coeficientes reales. Comprobar si es un espacio vectorial.

() = 1 + 2 + 32 = 5 + 8 + 32

() = 1 + 2 + 32 = 3 + 2 + 62

= 8 6 22

1._ + =

2 + 10 + 92

2._ + = +

2 + 10 + 92 = 2 + 10 + 92

3._( + ) + = + ( + )

(5 + 8 + 32) + (11 4 + 42) = 6 + 4 + 72

(2 + 10 + 92) + (8 6 22) = 6 + 4 + 72

4._ + 0 =

(5 + 8 + 32) + (0 + 0 + 02) = 5 + 8 + 32

5._ + = 0

(5 + 8 + 32) + (5 8 32) = 0

6._

= 3(5 + 8 + 32) = 15 + 24 + 92

7._( + ) = + = 3

3(2 + 10 + 92) = 6 + 30 + 272

(15 + 24 + 92) + (9 + 6 + 182) = 6 + 30 + 272

8._( + ) = ( + ) = 8

11(5 + 8 + 32) = 55 + 88 + 332

(15 + 24 + 92) + (40 + 64 + 242) = 55 + 88 + 332

9._() = ()

3(40 + 64 + 242) = 120 + 192 + 722

24(5 + 8 + 32) = 120 + 192 + 722

10._1 =

1(5 + 8 + 32) = 5 + 8 + 32

SI ES UN ESPACIO VECTORIAL

Problema 5: Sea N el conjunto de nmeros enteros comprobar si es un espacio

vectorial.

NO SE CUMPLE PORQUE C Y d PUEDE SER CUALQUIER NMERO.

4.2 DEFINICIN DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES. Sea W un subconjunto no vaco de un espacio vectorial V y suponga que W es en s un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin por un escalar definidas en V. Entonces se dice que W es un sub espacio de V. Existen mltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se

demostrar un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un

subconjunto de V es en realidad sub espacio de V.

Sea V un espacio vectorial y sea W un subconjunto no vaco de V, entonces W es

un subespacio de V, si solo se cumple los siguientes consideraciones.

Un subconjunto no vaco de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si

se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vaci es un sub espacio

Si U y V estn en W entonces U+V est en W.

Si U est en W y C un escalar, entonces CU est en W.

El vector cero de V est en W.

W es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en W, la

suma u + v est en W.

W es cerrado bajo la multiplicacin por escalares. Esto es, para cada u en W

y cada escalar c, el vector cu est en W.

EJEMPLOS

Problema 1: Sea V en conjunto de matrices de 2 2 sea W el conjunto de

matrices de 2 2 con nmeros positivos.

NO CUMPLE CON LA SEGUNDA.

4.3 COMBINACIN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL.

Una combinacin lineal de dos o ms vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares. Cualquier vector se puede poner como combinacin lineal de otros que tengan

distinta direccin. Sea 1, 2 Vectores en un espacio vectorial . Entonces cualquier vector de la forma.

11 + 22 + +

Donde 1, 2 son escalares se denomina una combinacin lineal de

1, 2 .

Problema 1:

Vector |

|

2 |124

| |531

| = |248

| |531

| = |777

|

Problema 2:

[

]

4 [1 1 22 2 1

] + [2 1 0

9 1 1] = [

4 4 88 8 4

] + [2 1 0

9 1 1] = [

]

Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta direccin y sus componentes no son proporcionales.

Un conjunto de vectores {v1,v2,,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:

c1v1+c2v2++ckvk=0

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Sean u1, u2, ,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene nicamente solucin trivial. Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solucin mltiple).

Si k=n. Los vectores son linealmente independientes si A es invertible.

Si k>n. Los vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es mltiplo escalar del otro. Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo ms n vectores. Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y slo si son coplanares, esto es, que estn en un mismo plano.

1. Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente. 2. Cualquier conjunto que contenga un nico vector diferente de cero, v 0, es

linealmente independiente. 3. Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1,

v2}, donde v1 0, v2 0, es linealmente dependiente si, y slo si, uno de los vectores es mltiplo escalar del otro.

4. Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.

5. Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

Se dice que los vectores 1, 2 de un espacio vectorial V generan a V,S, todo

vector en V se puede escribir como una combinacin de las mismas. Es decir para

todo Existen escalares 1, 2 tales que:

= 11 + 22 + +

4.4 BASE Y DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.

Un conjunto de vectores S={v1, v2,, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.

* S genera a V.

* S es linealmente independiente

Una base posee 2 caractersticas que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinacin lineal de los dems vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un nmero finito de vectores, entonces V es de dimensin finita. En caso contrario, V es de dimensin infinita.

En trminos generales, una base para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en l definidas.

La base es natural, estndar o cannica si los vectores v1, v2,, vn forman base para Rn. Si S={v1, v2,, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:

1. V = c1v1+ c2v2++ cnvn

2. V = k1v1+ k2v2++ knvn

Restar 2-1

0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2++(cn- kn) vn

Si S = {v1, v2,, vn} es una base de un espacio vectorial V, entonces todo vector

en V puede escribirse de una y solo una forma como combinacin lineal de

vectores en S. Para demostrar la unicidad (que en un vector dado puede representarse slo de una manera), se supone que u tiene otra representacin u=

b1v1 + b2v2++bnvn. Al restar la segunda representacin de la primera se obtiene:

u-u = (c1-b1)v1 + (c2-b2)v2 + + (cn-bn)vn = 0.

Sin embargo como S es linealmente independiente, entonces la nica solucin de esta ecuacin es la trivial,

c1-b1=0 c2-b2=0, , cn-bn=0.

Se llama dimensin de un espacio vectorial V al nmero de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).

La dimensin de Rn con las operaciones normales es n.

La dimensin de Pn con las operaciones normales es n+1.

La dimensin de Mm,n con las operaciones normales es mn.

Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede

demostrar que la dimensin de W es finita y que la dimensin de W es menor o

igual que n.

Sea A una matriz m x n.

El espacio rengln de A es el subespacio de Rn generado por los vectores rengln de A.

El espacio columna de A es el subespacio de Rn generado por los vectores columna de A.

Estos dos comparten muchas propiedades, pero debido al conocimiento que se tiene sobre las operaciones elementales en los renglones se empieza por considerar el espacio rengln de una matriz. Cabe recordar que dos matrices son equivalentes por renglones si una puede obtenerse a partir de la otra al aplicar operaciones elementales en los renglones. El siguiente teorema establece que las matrices equivalentes por renglones tienen el mismo espacio rengln.

Si una matriz A es equivalente por renglones a una matriz B que est en forma escalonada, entonces los vectores rengln de B diferentes de cero forman una base del espacio rengln de A.

La dimensin del espacio rengln (o columna) de una matriz A se llama rango de A y se denota por rango (A).

4.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES.

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operacin que asigna a cada par de vectores u y v en V un nmero real . Un producto interior sobre V es una funcin que asocia un nmero real u, v con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

i. (v, v) 0

ii. (v, v) = 0 si y slo si v = 0.

iii, (u, v +w) = (u, v) + (u, w)

iv. (u + v, w) = (u, w) + (v, w)

v. (u, v) = (v, u)

vi. (u, v) = (u, v)

vii. (u, v) = (u, v)

El producto interior euclidiano es solo uno ms de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notacin.

u v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)

u, v = producto interno general para espacio vectorial V.

1. 0, v = v, 0 = 0

2. u + v, w = u, w + v, w

3. u, cv = cu, v.

Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

4.6 BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACIN DE GRAM-SCHMIDT.

Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, adems cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal.

1. Sea B = {v1, v2, . . ., vn} una base de un espacio V con producto interno

2. Sea B= {w1, w2, . . ., wn} donde wi est dado por:

=

= < , >

< , >

= < , >

< , >

< , >

< , >

Entonces B es una base ortogonal de V.

3. Sea ui= wi w1 entonces el conjunto B={ u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal de V.

1) Encontrar la norma del Vector. Tenindose U1 U2 y U3, se encuentra la

norma de cada uno. Suponiendo que U1=(0,1,0) por lo tanto la |||| =

02 + 12 + 01 = 1.

2) Normalizar U1, U2, U3. Usando el mismo vector U=(0,1,0). 1 =1

||||=

0,1,0

1= 1.

3) Mostrar si S=(V1,V2,V3) son ortogonales =0. Utilizando .

4) Obtener ||1|| y comparar que es igual a 1.

Llegamos a la conclusin de la unidad 4 Espacios Vectoriales de la materia Algebra Lineal. Despus de este curso podemos decir que: Comprendemos el concepto de espacio vectorial y lo definimos como un conjunto de objetos denominados vectores. Ejemplificamos conjuntos de vectores que cumplen con los diez axiomas de espacio vectorial. Establecemos analoga entre los espacios y subespacios vectoriales con la notacin de conjunto de vectores son o no subespacios vectoriales de un espacio vectorial.

Escribimos vectores como combinacin lineal de otros. Determinamos si un conjunto de vectores es linealmente independiente. Utilizamos los conceptos de matrices y determinantes para determinar la independencia lineal de un conjunto de vectores. Identificamos cuando es que un conjunto genera un espacio vectorial. Determinamos si un conjunto de vectores forma una base para un espacio vectorial. Graficamos el espacio de solucin de un sistema de ecuaciones lineales y establecimos la relacin entre la grfica y la dimensin del espacio de solucin. Encontramos la matriz de cambio de la base cannica a otra base y la matriz de cambio de una base no cannica a otra cualquiera. Comprobamos la ortonormalidad de una base. Utilizamos el proceso de ortormalizacin de Gram-Schmidt. Tambin utilizamos software matemtico para encontrar la matriz de transformacin y realizar el proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt.