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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PACHUCA

LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL

UNIDAD IV: “ESPACIOS VECTORIALES”

ING: JAVIER BARRERA ANGELES

ALUMNO: ERIK R. MERA TOVAR

A 03 DE DICIEMBRE DEL 2012.

3° SEMESTRE

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(4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base).

BASES Y DIMENSIÓN

DEFINICIÓN Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una

base para un espacio vectorial V sii. v1, v2, . . ., vn es linealmente independienteii. v1, v2, . . ., vn genera V.

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en Rn

En Rn se define

Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz identidad e1, e2, . . ., en es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn.

EJEMPLOBase canónica para M22 que , , y

generan a M22 Si = C1 + C2 + C3 + C4 = , entonces es obvio que c1 = c2=c3=c4= 0. Así, estas matrices son linealmente independientes y forman una base para M22 .

DEFINICIÓNDimensión.- Si el espacio vectorial V tienen una base finita,

entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se llama espacio de dimensión infinita. Si V = 0 , entonces se dice que V tiene dimensión cero.

EJEMPLOLa dimensión de Rn Como n vectores linealmente

independientes en Rn constituye una base, se ve que

100..0

e1 =

010..0

e2 =

001..0

e3 =

000..1

en =, , ,.......

1 00 0

0 01 0

0 00 1

0 10 0

0 00 0

0 00 1

C1 C2

C3 C4 0 10 0

0 01 0

1 00 0

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Dim Rn = n

Cambio de base

Sea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1, u2, ...) será igual a m1u1+ m2u2 + m3u3 + ... El mismo vector, utilizando otra base B2

(de vectores unitarios v1, v2, ...) será n1v1+ n2v2 + n3v3 + ...

Supongamos que u1, u2, ... se representan en la base B2 de esta forma:

u1 = a11v1 + a21v2 + ... + an1vn

u2 = a12v1 + a22v2 + ... + an2vn

.............................................................un = a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn

Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la fórmula original nos queda:

x = m1(a11v1 + a21v2 + ... + an1vn ) +  m2(a12v1 + a22v2 + ... + an2vn) + ... 

Reordenando queda:

x = (m1a11 + m2a12 + ... + mna1n)v1 + ... + (m1an1 + m2an2 + ... + mnann)vn 

Comparando con la fórmula x = n1v1+ n2v2 + n3v3 + ... deducimos que:

n1 = m1a11 + m2a12 + ... + mna1n

n2 = m1a21 + m2a22 + ... + mna2n

.................................................................nn = m1ann + m2an2 + ... + mnann

Esto se puede expresar de forma matricial:

n1     a11 + a12 + ... + a1n       m1 n2 = a21 + a22 + ... + a2n       m2 .....    ........................................nn    a2n + an2 + ... + ann       mn 

Llamando A a la matriz de coeficientes, X' al vector en la base B2 y X al vector en la base B1 nos queda:

X' = AX 

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despejando X nos queda: X = A-1X'

Base

Un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} forma una base para V si:

i. {v1, v2, ..., vn} es linealmente independiente.

ii.{v1, v2, ..., vn} genera V.

Asi pues,

Todo conjunto de n vectores linealmente independientes enℜn es una base en ℜn

En ℜn definimos

Como los términos ei son las columnas de la matriz identidad (cuyo determinante es 1), entonces {e1, e2, ..., en} es linealmente independiente y, por tanto, constituye una base en ℜn. Esta entidad especial se llama base canónica en ℜn.

Teorema 1. Si {v1, v2, ..., vn} es una base de V y si v ∈ V, entonces existe un conjunto único de escalares c1, c2, ..., cn tales que v= c1v1, c2v2, ..., cnvn.

Teorema 2. Si {u1, u2, ..., un} y {v1, v2, ..., vn} son bases del espacio vectorial V, entonces m = n; esto es, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V poseen el mismo número de vectores.

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Dimensión

Si el espacio vectorial V posee una base finita, la dimensión de V es el número de vectores en la base, y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V = {0}, entonces V se dice que es de dimensión cero.

Notación. Se simboliza la dimensión de V como dim V.

Teorema 3. Supóngase que dim V = n. Si u1, u2, ..., um es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m ≤ n.

Teorema 4. Sea H un subespacio del espacio vectorial V de dimensión finito. Entonces H es finito-dimensional y

dim H ≤ dim V

Demostración. Sea dim V = n. Cualquier conjunto de vectores en H linealmente independiente, lo es tambien en V. Por el Teorema 3, cualquier conjunto linealmente independiente en H, cuando más, contiene n vectores. Así pues, H es de dimensión finita. Más aún, como una base en H es un conjunto linealmente independiente, se ve que dim H ≤ n.

Teorema 5. Cualesquiera n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V de dimensión n, constituyen una base.

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UNIDAD V “TRANSFORMACIONES LINEALES”

(SUBTEMAS).

5.1 Introducción a las transformaciones lineales.

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

5.3 La matriz de una transformación lineal.

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

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5.1 (Introducción a las transformaciones lineales).

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EJEMPLOS (Transformaciones)

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