unidad 3 - algebra-lineal.webs.comalgebra-lineal.webs.com/unidad3.pdf · Álgebra lineal...

ÁLGEBRA

LINEAL Ingenierías

ÁLGEBRA II LM - PM

Unidad Nº 3 Espacios Vectoriales

FCEyT - UNSE

Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lineal (Ings.) - F.C.E. y T.- UNSE

Unidad 2 1

Unidad Nº 3:

1.- ESPACIOS VECTORIALES

Definición 1

Sean A ≠∅ y K ≠∅ , * es una Ley de Composición Externa (L.C.E.) en A con operadores en K si y sólo si * es una función con dominio en el producto cartesiano K A× y toma valores en A, en símbolos

*:

( , ) *

K A A

a a

× →

α α֏

Otra forma de expresar que * es una L.C.E es: , K a A a Aα ∈ ∈ ⇒ α ∈

Definición 2

Sean V un conjunto no vacío de elementos llamados vectores, (F, +, ⋅⋅⋅⋅) un cuerpo cuyos elementos se llaman escalares y dos operaciones llamadas suma de vectores y la multiplicación por escalares (es decir multiplicación de escalar por vector) representadas por + y ⋅⋅⋅⋅ respectivamente.

La terna (V, +, ⋅⋅⋅⋅) es un espacio vectorial sobre un cuerpo (F, +, ⋅⋅⋅⋅) si y sólo si se verifican los siguientes axiomas:

V1. (V, +) es grupo abeliano, es decir:

a) ∀ u, v ∈ V ; u + v ∈ V (+ es LCI en V)

( ) ( )) , ; b u v, w V u v w u v w∀ ∈ + + = + + (+ es asociativa)

c) V V V

0 : ; 0 0V u V u u u∃ ∈ ∀ ∈ + = + = (0v es elemento neutro)

d)V

, : ( ) ( ) 0u V u V u u u u∀ ∈ ∃− ∈ + − = − + = (-u es el opuesto de u)

e) , ; u v V u v v u∀ ∈ + = + (+ es conmutativa)

V2. , ; a F u V au V∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ( ⋅⋅⋅⋅ es LCE en V con escalares en F)

V3. , , ; ( ) a F u v V a u v au av∀ ∈ ∀ ∈ + = + (⋅ es distributiva respecto a la suma de vectores)

V4. , , ; ( ) a b F u V a b u au bu∀ ∈ ∀ ∈ + = + (⋅ es distributiva respecto a la suma de escalares)

V5. , , ; ( ) ( )a b F u V a bu ab u∀ ∈ ∀ ∈ = (asociatividad de la multiplicación por escalares)

V6. ; 1 u V u u∀ ∈ = (1 es la unidad del cuerpo F)

Notas

Si (V, +, ⋅⋅⋅⋅) es un espacio vectorial sobre un cuerpo (F, +, ⋅⋅⋅⋅),

1.- Se expresa simplemente diciendo “V es un espacio vectorial definido sobre un cuerpo F” , y para simplificar la notación se escribe “VF”


Unidad 2 2

2.- Los vectores de V se suelen designar con las últimas letras del abecedario (ej. u, v, w).

3.- Los escalares del cuerpo F usualmente se designan con las primeras letras del abecedario (ej. a, b, c), o las primeras letras del alfabeto griego (ej. α, β, γ).

4.- La suma de vectores es una ley de composición interna en V, esto es

( ) vu vu,

VVV

+→×+֏

:

5.- La multiplicación por escalares es una ley de composición externa en V con escalares en el cuerpo F.

( , )

: F V V

a u au

× →⋅ ֏

A esta ley también se le denomina “producto por escalares” o “ producto de un escalar por un vector”

6.- Si bien tanto la ley de composición interna en V como la ley de composición interna en F se simbolizan con +, éstas representan operaciones diferentes en general.

Ejemplos a) El conjunto R2 de vectores del plano cartesiano, representados por los pares ordenados de

números reales, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (R, +, ⋅). Donde la suma de vectores del plano real viene dada por

( )

2 2 2:

,

R R R

u v u v

+ × →

+֏

donde 21 1 2 2( , ), ( , ) u x y v x y R= = ∈ y 2

1 2 1 2 ( , ) def

u v x x y y R++ = + ∈ .

y el producto de un número real por un vector del plano real está definido por:

2 2 :

( , )

R R R

a u au

⋅ × →

֏

en donde, 2 2 , ( , ) ( , ) def

a R u x y R y au ax ay R∈ = ∈ = ∈ .

Interpretación geométrica de la suma y de la resta en el espacio vectorial 2RR

Geométricamente, cada par ordenado de números reales (x, y) se puede interpretar como un punto del plano cartesianoR R× , y también como un vector cuyo origen es el origen de coordenadas y su extremo el punto (x, y). Por lo tanto la suma de dos vectores 1 1 2 2( , ) y ( , )u x y v x y= = de 2R , viene definido por el

vector 1 2 1 2 = ( , )u v x x y y++ + , el cuál geométricamente representa la diagonal del

paralelogramo de lados u y v que contiene al origen de ambos vectores, como se puede observar en la Figura 1.

Con respecto a la resta de vectores, en todo grupo está definida por

u – v = u + (-v).


Unidad 2 3

En esta situación, como 1 1 2 2( , ) y ( , )u x y v x y= = , y el opuesto de v es 2 2( , )v x y− = − − , se

tiene

1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( , ) ( , ) ( , )u v u v x y x y x x y y− = + − = + − − = − −

Así, la diagonal del paralelogramo de lados u y v que une los extremos de ambos vectores, representa al vector libre u – v con origen en el extremo del vector v y extremo en el extremo del vector u, como se puede observar en la Figura 1.

Figura 1

Interpretación geométrica de producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar 2 , por un vector ( , ) a R u x y R∈ = ∈ viene dado por el vector2 ( , ) au ax ay R= ∈ .

El vector au tiene distintas características según sea el valor del escalar a. En la Tabla 1, se describe el comportamiento del vector au para los posibles valores de a.

au

a = 0 es igual al vector nulo (0,0)

a = 1 es igual al vector u

0 < a < 1 igual sentido y dirección de u, pero de menor longitud que u

a > 1 igual sentido y dirección de u, pero de mayor longitud que u

u = (1,3), v = (2, 1)


Unidad 2 4

-1 < a < 0 igual dirección, pero sentido contrario a u y menor longitud que u

a < -1 igual dirección, pero sentido contrario a u y mayor longitud que u

Tabla 1

Ejemplo Los vectores v = (2, 1), 2v = (4, 2) y 2

1− v = (-1, -

2

1 ) se pueden visualizar

geométricamente en la Figura 2

Figura 2

b) El conjunto R3 ( ){ }, , / , , x y z x y z R= ∈ de vectores del espacio, representados por los ternas

ordenadas de números reales, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (R, +, ⋅). La suma de vectores de R3 es una ley de composición interna dada por

+ : R3 × R3 → R3

(u, v) ֏ u + v

en donde 1 1 1 2 2 2( , , ) y ( , , )u x y z v x y z= = ∈ R3 y la suma de u y v está definida por

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ) ( , , )def

u v x y z x y z x x y y z z+ = + = + + +

y el producto de un escalar real por un vector de R3 es una ley de composición externa con escalares en el cuerpo de los números reales dada por

⋅⋅⋅⋅ : R x R3 → R3

(a, u) ֏ au

En donde ( , , ) u x y z= ∈ R3 y el producto de un escalar a ∈ R y el vector u está definida por


Unidad 2 5

( , , ) ( , , )def

au a x y z ax ay az= =

Nota

En la Figura 3 se muestra la representación de un vector u = (a1, b1, c1) ∈ R3

Figura 3 c) En general, para n ∈ N, el conjunto Rn de las n-uplas ordenadas de números reales es un

espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (R, +, ⋅⋅⋅⋅) con la suma de n-uplas y el producto de un número real por una n-upla. En Símbolos:

( ){ }1 2, , , / , 1, 2, ,

nR n iR R R R R a a a a R i n

n veces R= × × ×…× = … ∈ ∀ = …��

La suma de n-uplas es una ley de composición interna

+ : Rn x Rn → Rn (u, v) ֏ u + v

definida del siguiente modo,

si ( ) ( )1 2 1 2, , , , , , ,n nn nu a a a R v b b b R= … ∈ = … ∈ , se define

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , , , , , , , ,def

n n n nu v a a a b b b a b a b a b+ = … + … = + + … +

El producto de un escalar por una n-upla es una ley de composición externa

:

( , )

n nR R R

u u

⋅ × →

α α֏

definida como sigue


Unidad 2 6

si ( )1 2, , , , nR u a a a Rα ∈ = … ∈ , ( ) ( )1 2 1 2 , , , , , , def

n nu a a a a a aα =α … = α α … α

Observación

Es claro que para n = 1, RR es un espacio vectorial, es el espacio vectorial del conjunto de los reales sobre el cuerpo de los números reales. Geométricamente los vectores de este espacio vectorial se representan en la recta real.

d) El conjunto m nR × de las matrices reales que tienen m filas y n columnas es un espacio vectorial

sobre el cuerpo de los reales (R, +, ⋅⋅⋅⋅) con la suma de matrices y la multiplicación de un número real por una matriz. En símbolos:

La suma de matrices es una ley de composición interna en m nR × esto es,

:

( , )

m n m n m nR R R

A B A B

× × ×+ × →

+֏ ,

definida del siguiente modo,

si , m nij ijA a B b R× = = ∈

, def

ij ijj j

A B a b a bi i + = + = +

La multiplicación de un escalar real por una matriz es ley de composición externa

:

( , )

m n m nR R R

A A

× ×× →

α α֏

⋅

,

definida por

si , m nijR A a R× α ∈ = ∈ , se define

def

ij ijA a a α =α = α

e) Sea F un cuerpo y sea X un conjunto no vacío. Sea el conjunto FX formado por las funciones con dominio X y con valores en F, esto es

FX = {f / f : X → F}

Las siguientes operaciones definen sobre FX una estructura de espacio vectorial sobre el

cuerpo (F, +, ⋅)

Suma: ,f g∈ FX ( )( ) ( ) ( ), f g x f x g x x X⇒ + = + ∀ ∈

Producto: a F f∈ ∧ ∈ FX ( )( ) ( ) , a f x a f x x X⇒ = ∀ ∈

Es claro que la suma y el producto están bien definidos, ya que

,f g∈ FX ⇒ f g+ ∈ FX

a∈ F ∧ f ∈ FX ⇒ a f ∈ FX


Unidad 2 7

Es decir que la suma es una ley de composición interna en FX, y que el producto es ley de composición externa en FX con escalares en el cuerpo F.

Es fácil mostrar que efectivamente el conjunto FX con estas operaciones es un espacio vectorial sobre el cuerpo (F, +, ⋅)

PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F

Proposición 1

El escalar 0 ∈ F, multiplicado por cualquier vector de V es igual al vector nulo de V. En símbolos,

; 0 0Vu V u∀ ∈ =

Demostración

Sean α∈ F y u ∈ V, entonces

( 0) (1)

0 (2)

0 0 (3)

0 0 (4)

V

V

u u

u u u

u u u

u

α = α+

α = α +

α + = α +

=

Referencias: (1) El 0 es elemento neutro aditivo en el cuerpo F. (2) Por Axioma V4 de espacio vectorial. (3) El vector nulo 0V es el elemento neutro aditivo en el espacio vectorial V. (4) Vale la ley cancelativa en el grupo abeliano (V, +).

Proposición 2

Cualquier escalar del cuerpo F multiplicado por el vector nulo de V es igual al vector nulo de V. En símbolos,

F ; 0 0V V∀ α ∈ α =

Demostración

Sean α∈ F y 0V ∈ V, entonces

( 0 ) (1)

0 (2)

0 0 (3)

0 0 (4)

V

V

V V

V V

u u

u u

u u

α = α +

α = α +α

α + = α +α

= α

Referencias: (1) El vector nulo 0V es elemento neutro aditivo en el espacio vectorial V. (2) Por axioma V3 de espacios vectoriales. (3) El vector nulo 0V es el elemento neutro aditivo en V. (4) Vale la ley cancelativa en el grupo abeliano (V, +)


Unidad 2 8

Proposición 3

Cualesquiera sean α∈ F y u ∈ V, se verifica ( ) ( ) ( )u u u−α =α − =− α

Demostración

i) Sean α∈ F y u ∈ V, entonces

α u ∈ V, luego por ser ( V, +) un grupo se tiene - (α u) ∈ V y se verifica

α u + [- (α u)] = [- (α u)] + α u = 0V (I)

Además

α u + (-α) u )1(

= (α + (-α)) u )2(

= 0 u )3(

= 0V (II)

De (I) y (II) resulta

α u + (-α) u = α u + [- (α u)]

y por la ley cancelativa en el grupo ( V, +) es,

(-α) u = - (α u)

Referencias: (1) Por el axioma V4 de espacio vectorial. (2) En el grupo abeliano (F,+), un elemento más su opuesto es igual al escalar cero. (3) Por Proposición 1.

ii) Sean α∈ F y u ∈ V, entonces

α u ∈ V, luego por ser ( V, +) un grupo se tiene - (α u) ∈ V y se verifica

α u + [- (α u)] = [- (α u)] + α u = 0V (I)

Además

α u + α (- u) )1(

= α (u + (- u)) )2(

= α 0V )3(

= 0V (II)

De (I) y (II) resulta

α u + α (-u) = α u + [- (α u)]

Y por la ley cancelativa en el grupo ( V, +) es,

α (-u) = - (α u)

Referencias: (1) Por axioma V3 de espacio vectorial. (2) En el grupo abeliano (V,+): un elemento más su opuesto es igual al vector nulo. (3) Por Proposición 2.

Proposición 4

Cualquiera sea u∈ V se verifica (-1) u = - u Demostración

Por proposición 3, si se toma α = - 1 se tiene (-1) u = - (1 u) = - u


Unidad 2 9

Proposición 5

Cualesquiera sean α∈ F y u ∈ V, se verifica que

0 0 0V Vu uα = ⇒ α= ∨ =

Demostración

Sean α∈ F y u ∈ V tales que 0 0Vuα = ∧ α ≠ , entonces

1 1 1

(1) (2) (3) (4) 0 ( ) 0 ( ) 0 1 0 0V V V V Vu u u u u− − −α = ⇒ α α =α ⇒ α α = ⇒ = ⇒ =

Referencias:

(1) Ya que 0≠α , existe α -1. Se multiplica en ambos miembros por α -1 (2) Por axioma V5 de espacio vectorial y por Proposición 2. (3) En el grupo abeliano (F-{0}, ⋅), cada elemento por su inverso es igual a la unidad (4) Por axioma V6 de espacio vectorial

Proposición 6

Cualesquiera sean α∈ F y u, v ∈ V, se verifica que ( ) u v u vα − =α −α .

Demostración

Sean α∈ F y u, v ∈ V, entonces

(1) (2) (3) (4) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) u v u v u v u v u vα − = α + − = α +α − = α + − α = α −α

Referencias: (1) Por definición de resta de vectores (2) Por axioma V3 de espacio vectorial (3) Por Proposición 3 (4) Por definición de resta de vectores

2. - SUBESPACIOS VECTORIALES Definición 1 Sea VF un espacio vectorial y sea S un subconjunto no vacío de V (S V S⊂ ∧ ≠∅ ). S es un subespacio vectorial de V si y sólo si S con la ley de composición interna + y la ley de composición externa ⋅ definidas en V pero restringidas a S es un espacio vectorial. Ejemplos

Sea el espacio vectorial R2R. Son subespacios vectoriales de R2:

� Los conjuntos {(0,0)} y R2.

� Toda recta que contiene al origen. Por ejemplo:

� El eje OX, que viene representado analíticamente por

{ }20 ( , ) / 0S X x y R y→

= = ∈ =


Unidad 2 10

� El eje OY, que viene representado analíticamente por { }20 ( , ) / 0T Y x y R x→

= = ∈ =

� La primera bisectriz, que está representada analíticamente por

{ }xyRyxH =∈= /),( 2

Proposición 1

Sea VF un espacio vectorial y sea S un subconjunto no vacío de V. Son condiciones necesarias y suficientes para que S sea un subespacio vectorial de V, que S sea cerrado para suma de vectores y para el producto por escalares. En símbolos

∈⇒∈∧∈∈+⇒∈

⇔SuSuF

SvuSvu

ii

iVS

,

)

)

αα≺

Demostración

⇒) Las condiciones son necesarias.

) ,

)

i u v S u v SS V

ii F u S u S

∈ ⇒ + ∈⇒ α ∈ ∧ ∈ ⇒α ∈

≺

Por hipótesis S es subespacio vectorial de V, entonces por Definición1 resulta que S es un espacio vectorial. Por lo tanto

1) la suma es ley de composición interna en S, es decir que se verifica i).

2) el producto por escalares es ley de composición externa en S con escalares en F, por lo tanto se verifica ii ).

⇐) Las condiciones son suficientes.

Hipótesis

espacio vectorial

) ,

)

V

S V

S

i u v S u v S

ii F u S u S

⊂ ≠∅ ∈ ⇒ + ∈ α ∈ ∧ ∈ ⇒α ∈

Notas

1.- Si S es un subespacio vectorial de V, se denotará VS≺ .

2.- Si S es un subespacio vectorial de V, los conjuntos { }v0 y V son subespacios vectoriales

triviales de VF.


Unidad 2 11

1)

2)

3) ( , )

4) , ; :

5) , , ; ( )

6) , , ; ( )

7) , , ; ( ) ( )

8)

S V

S

S es grupo abeliano

a F u S au STesis S V

a F u v S a u v au av

a b F u S a b u au bu

a b F u S a bu ab u

⊂

≠∅

+

∀ ∈ ∀ ∈ ∈≡

∀ ∈ ∀ ∈ + = +

∀ ∈ ∀ ∈ + = +

∀ ∈ ∀ ∈ =

∀

≺

; 1 u S u u

∈ =

En efecto

1) S ⊂ V, por hipótesis

2) S ≠ ∅ , por hipótesis

3) (S, +) es grupo abeliano. En efecto

� La condición i) nos indica que + es ley de composición interna en S.

� + es asociativa, ya que se verifica por herencia puesto que S ⊂ V.

� 0V S∃ ∈ : ; 0 0V Vu S u u u∀ ∈ + = + =

En efecto, por hipótesis ii)

F u S u Sα ∈ ∧ ∈ ⇒α ∈ ,

entonces para 0α = ∧ u S∈ se tiene

Prop1 de Esp Vect

0 0Vu S S∈ ⇒ ∈ .

� V ; : ( ) ( ) 0u S u S u u u u∀ ∈ ∃− ∈ + − = − + =

Por hipótesis ii )

F u S u Sα ∈ ∧ ∈ ⇒α ∈

Luego tomando 1α=− ∧ u S∈ , resulta

Prop 4 EspVect

( 1) u S u S− ∈ ⇒ − ∈ .

� + es conmutativa en S. Se verifica por herencia, pues S ⊂ V.

4), 5), 6), 7) y 8) se verifican por herencia, pues S ⊂ V.

Q.E.D.

OPERACIONES CON SUBESPACIOS VECTORIALES Proposición 2 Sea VF un espacio vectorial y sean 1S , 2S dos subespacios vectoriales de V entonces 1 2S S∩ es

también un subespacio vectorial de V.


Unidad 2 12

Demostración

Por definición,

{ } 1 2 1 2 / def

S S v V v S v S∩ = ∈ ∈ ∧ ∈

Este conjunto es un subespacio vectorial de V, en efecto,

1. 1 2S S V∩ ⊂ por definición de 1 2S S∩ .

2. 1 2S S∩ ≠∅ , ya que:

111 2

22

0 0

0 V

VV

SS VS S

SS V

∈⇒ ⇒ ∈ ∩∈⇒

≺

≺

3.

11 2 2, u v S S u v S S∈ ∩ ⇒ + ∈ ∩

En efecto,

1 2 1 2(1) (2)

, , , u v S S u v S u v S∈ ∩ ⇒ ∈ ∧ ∈ ⇒

1 2 1 2

(2) (3) u v S u v S u v S S⇒ + ∈ ∧ + ∈ ⇒ + ∈ ∩

Referencias: Complete el alumno (1) (2) (3)

4.

2 11 2 F u S S u S Sα ∈ ∧ ∈ ∩ ⇒α ∈ ∩

1 2 1 2

(1) (2)

1 2 1 2(2) (3)

F u S S F u S u S

u S u S u S S

α ∈ ∧ ∈ ∩ ⇒ α ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ⇒

⇒α ∈ ∧ α ∈ ⇒ α ∈ ∩

Referencias: Complete el alumno (1) (2) (3) Luego por 1., 2., 3., y 4. se tiene que 1 2S S∩ es un subespacio vectorial de V.

Q.E.D.

Proposición 3

Sea VF un espacio vectorial y sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales de V. Entonces la suma de S1 y S2 es también un subespacio de V. En símbolos,

VSSVSVS ≺≺≺ 2121 +⇒∧

Demostración

Se define { }1 2 1 2 1 1 2 2 / , def

S S v V v v v v S v S+ = ∈ = + ∈ ∧ ∈


Unidad 2 13

Es decir, el conjunto S1 + S2 está formado por todos los vectores de V que se pueden descomponer como suma de dos vectores 1 1v S∈ y 2 2v S∈ .

1. VSS ⊂+ 21 por definición de 1 2S S+

2. ∅≠+ 21 SS , pues 2121 0 000 0 0 SSSS vvvvvv +∈⇒+=∧∈∧∈

3. 2121, SSvuSSvu +∈+⇒+∈

En efecto

212121, vvvuuuSSvu +=∧+=⇒+∈ con 222111 ,, SvuSvu ∈∧∈ ⇒

)()( 2121 vvuuvu +++=+⇒ , con 222111 ,, SvuSvu ∈∧∈ ⇒

)()( 2211 vuvuvu +++=+⇒ , con 222111 SvuSvu ∈+∧∈+ 21 SSvu +∈+⇒

4. 2121 SSuSSuF +∈⇒+∈∧∈ αα

En efecto,

22112121

22112121

con , )(

con , ,

SuSuuuuuu

SuSuuuuFSSuF

∈∧∈+=+=⇒

⇒∈∧∈+=∧∈⇒+∈∈αααααα

αα

Luego 21 SSu +∈α

De 1., 2., 3. y 4. se tiene que S1+S2 es un subespacio vectorial de V.

Q.E.D.

Observación:

La unión de subespacios vectoriales en general no es un subespacio vectorial.

Contraejemplo:

Sea el espacio vectorial R2R , y sean los subespacios vectoriales

( ){ }21 , /S x y R y x= ∈ = y ( ){ }2

2 , / 0S x y R y= ∈ = ,

entonces la unión de estos dos subespacios es el conjunto

( ){ }21 2 , / 0S S x y R y x y∪ = ∈ = ∨ =

Es claro que,

− 2

21 RSS ⊂∪ , por definición de 21 SS ∪

− ∅≠∪ 21 SS , pues ( ) 210,0 SS ∪∈

Pero, S1 ∪ S2 no es cerrado para la suma de vectores, ya que

(1, 1) ∈ S1 ∪ S2 ∧ (1, 0) ∈ S1 ∪ S2 , sin embargo (1, 1) + (1, 0) = (2, 1) ∉ S1 ∪ S2

Por lo tanto S1 ∪ S2 no es un subespacio vectorial de R2.


Unidad 2 14

COMBINACIONES LINEALES DE VECTORES

Definición 2

Sea VF un espacio vectorial y sea A un subconjunto (finito o infinito) no vacío de V.

Sean u1, u2, …, un vectores de A diferentes entre sí y α1, α2, …, αn elementos cualesquiera del

cuerpo F.

Se denomina combinación lineal de vectores del conjunto A con escalares del cuerpo F a la

expresión

∑=

=+++n

iiinn uuuu

1 2211 αααα … (1)

Es claro que al efectuar las operaciones indicadas en (1) se obtiene como resultado un vector del espacio vectorial V. Sea v tal vector, es decir

1 1 2 2 1

n

n n i ii

u u u uv=

α +α + +α = α= ∑…

Al vector v se le llama “valor de la combinación lineal”. También se dice que “v se ha obtenido por medio de la combinación lineal de vectores del conjunto A”. Si se considera una nueva selección de escalares Fn , , , 21 ∈βββ … se puede formar “otra”

combinación lineal de los vectores u1, u2, …, un , esto es

nn uuu 2211 βββ +++ … (2)

Si u es el valor de esta combinación lineal se tiene

u = nn uuu 2211 βββ +++ …

También se puede formar la siguiente combinación lineal

1 20 0 0 nu u u+ + +…

Esta combinación lineal de los vectores u1, u2, …, un se denomina “combinación lineal trivial ” la cual obviamente tiene el valor 0V

Ejemplo

Sea el espacio vectorial 2RR , y sea ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2,3 , 1,0A= ⊂ R2. Si se consideran los escalares 1,

2, -2 ∈ R, se puede formar la siguiente combinación lineal de vectores del conjunto A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 1 2 2,3 2 1,0 1, 1 4,6 2,0 3,7+ + − = + + − =

En donde (3, 7) es el valor de la combinación lineal.


Unidad 2 15

Combinaciones Lineales Idénticas

Definición 3

Dos combinaciones lineales son idénticas si tienen los mismos términos no triviales. .

Por ejemplo

1 u2 , 0 u1 + 1 u2 + 0 u3, 0 u1 + 1 u2 ,

son combinaciones lineales idénticas.

Es claro que las combinaciones lineales idénticas tienen el mismo valor.

De acuerdo a este concepto, dado un conjunto A y una combinación lineal de vectores de A 2211 nn uuu ααα +++ …

se puede suponer siempre que es una combinación lineal de todos los vectores de A, pues bastará completarla con términos triviales.

Así por ejemplo, si A = {v1, v2, v3}, la combinación lineal

a1v1+ a2v2

es una combinación lineal de todos los vectores de A, pues es idéntica a la combinación lineal

a1v1+ a2v2+ 0 v3

Observación

Aún cuando A sea un conjunto infinito, una combinación lineal no trivial de sus vectores tendrá siempre (por la forma en que fue definido el concepto) un número finito de términos no triviales.

SUBESPACIO VECTORIAL GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES

Sean VF un espacio vectorial y ∅≠∧⊂ AVA .

Se designa con A al conjunto de todos los vectores de V que se obtienen por medio de combinaciones lineales de vectores del conjunto A.

En símbolos

=∀∈∧∈=+++=∈= ∑=

niAuFauauauauavVvA iinn

n

iii ,,2,1 , , /

12211 ……

Nota El conjunto A se lee “A barra”

Proposición 4

El conjunto A es un subespacio vectorial de V.


Unidad 2 16

Demostración

1. VA⊂ , se cumple por definición de A .

2. ∅≠A , pues 0v ∈A, ya que

niAuuuu in , ,2 ,1 , , 0 0 00 21v …… =∀∈+++=

Es decir, 0v es combinación lineal de vectores del conjunto A

3. AvuAvu ∈+⇒∈,

En efecto,

∑∑==

=∧=⇒∈n

iii

n

iii ubvuauAvu

11

, con niAuFba iii , ,2 ,1 , , …=∀∈∧∈

Luego

( ) ∑∑∑∑∑=====

=+=+=+=+n

iii

n

iiii

n

iiiii

n

iii

n

iii ucubaubuaubuavu

11111

) (

Con nibac iii ,,2,1, …=∀+=

Así, u + v es una combinación lineal de vectores de A. Por lo tanto Avu ∈+

4. AuAuF ∈⇒∈∧∈ αα

Es claro que

∑=

=⇒∈n

iii uauAu

1

con 1 2 i ia F u A, i , , , n∈ ∧ ∈ ∀ = …

luego,

uα = ( ) ∑∑∑∑====

===n

iii

n

iii

n

iii

n

iii ucuauaua

1111

) ( ααα con niac ii ,,2 ,1, …=∀= α

es decir que u α es una combinación lineal de vectores del conjunto A. Por lo tanto Au∈ α .

Entonces de 1., 2., 3. y 4. se tiene que A es un subespacio vectorial de V.

Q.E.D

Definición 4

a) Al subespacio vectorial A se le denomina “subespacio vectorial generado por el conjunto A” .

b) Diremos también que “ A es un generador del subespacio vectorial A”, pues “todo vector

de A es combinación lineal de vectores del conjunto A.

Nota

Es fácil probar que A ⊂ A


Unidad 2 17

x

y

O

(1, 1)

Ejemplos

a) Sea el espacio vectorial 3RR y sea A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, el subespacio generado por A es

/ z) y, (x,{ 3RA ∈= (x, y, z) = a1(1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) con a1 , a2 ∈ R}

Todo vector de A se expresa como

(x, y, z) = a1(1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) con a1 , a2 ∈ R

(x, y, z) = (a1, 0, 0) + (0, a2, 0)

(x, y, z) = (a1, a2, 0)

Como a1 y a2 representan cualquier número real entonces la condición para que (x, y, z) sea combinación lineal de vectores de A es que z = 0

es decir,

(x, y, z) ∈ A ⇔ z = 0

por lo tanto, el subespacio vectorial de R3 generado por el conjunto

A= {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} es A = {(x, y, z) ∈ R3 / z = 0}

Así, por ejemplo, el vector (5, -1, 0) es combinación lineal de los vectores de A, pues

(5, -1, 0) = 5 (1, 0, 0) + (-1) (0, 1, 0)

b) Sea el espacio 2RR y el conjunto A = {(1, 1)}. El subespacio generado por el conjunto A es

( ) ( ) ( ){ }1 ,1 ,/, 2 ayxRyxA =∈=

Es decir todo vector de A tiene la forma

( ) ( )1 ,1 , ayx = con a ∈ R

( ) ( )aayx , , =

luego, ( x, y) ∈ A ⇔ x = y

es decir ( ){ }xyRyxA =∈= /, 2

La representación geométrica de A es la recta de ecuación y = x (es la primera bisectriz). Para generar este subespacio vectorial bastó sólo un vector el (1, 1).


Unidad 2 18

Definición 5

Dado un espacio vectorial VF y un subconjunto no vacío A de V, se dice que A genera al espacio V

si y sólo si A = V, es decir que todo vector de V es combinación lineal de vectores del conjunto A.

Nota

En esta situación las siguientes expresiones son equivalentes

a) A es un generador de V

b) El espacio vectorial V es generado por el conjunto A

c) A genera a V

d) Todo vector de V se combinación lineal de vectores de A

Ejemplo Sea el espacio R2

R y el conjunto A = {(1, 1), (1,0)}. El subespacio generado por el conjunto A por definición viene dado por

( ) ( ) ( ) ( ){ }0,1 1,1 ,/, 2 βα +=∈= yxRyxA

esto es equivalente a decir que

(x, y) ∈ A ⇔ ∃ α, β∈ R : ( ) ( ) ( )0 ,1 1 ,1 , βα +=yx

Partiendo de la igualdad

( ) ( ) ( )yx ,0 ,1 1 ,1 =+ βα ,

y realizando las operaciones indicadas se tiene

( ) ( ) ( ), , 0 ,x yα α + β =

( ) ( )yx, , =+ ββα

x

y

α + β = β =

Uno de los modos de resolver este sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es

empleando el Método de Gauss (o Método de Eliminación Gaussiana)


Unidad 2 19

2 1

2

1 1

1 0

1 1 ( 1)

0 1

1 1 ( 1)

0 1

x

y

xf f

x y

yf

x y

+ −− − +

−−

Es claro que 2 º arg A rg A n incógnitas= = =

y por Teorema de Rouché-Frobenius y su Corolario, el sistema es compatible determinado. Es decir, cualesquiera sean x e y, existen y son únicos los escalares α, β ∈ R tales que

( ) ( ) ( )0 ,1 1 ,1 , βα +=yx .

Luego 2A R= , es decir A es generador del espacio R2, o bien todo vector de R2 se puede expresar como combinación lineal de vectores del conjunto A.

Observación

Todo espacio vectorial es generador de sí mismo.

Proposición 5

Sea VF un espacio vectorial y sean A y B dos subconjuntos de V no vacíos tales que A ⊂ B, entonces el subespacio generado por A está incluido en el subespacio generado por B. En símbolos,

BABA ⊂⇒⊂

Demostración

Sean A = {u1, u2, …, un} y B = {u1, u2, …, un, un+1, un+2, …, um}. Es claro que BA⊂

Probar que BA ⊂ equivale probar que BuAu ∈⇒∈ . En efecto

1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

0 0 0

n n

n n n n m

u A u a u a u a u

a u a u a u u u u u B+ +

∈ ⇒ = + + + =

= + + + + + + + ⇒ ∈

…

… …

Esto es porque u resulta una combinación lineal de los elementos de B.

ESPACIO FILA DE UNA MATRIZ

Sea una matriz M de tipo m×n con elementos en un cuerpo (F, +, ⋅).

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

⋯

⋮⋱⋮⋮

…

⋯

21

22221

11211

M ∈ m nF ×

Es claro que los vectores fila de la matriz M son vectores del espacio vectorial 1 nFF × (1)

(1) El espacio vectorial 1 n

FF × es el de las matrices con elementos en el cuerpo F y que tienen una fila y n columnas.


Unidad 2 20

[ ][ ]

[ ]

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

...............................

n

n

m m m mn

f a a a

f a a a

f a a a

== =

…

…

…

∈ 1 nF ×

Si F es el conjunto de los vectores fila de la matriz M, es claro que F es un subconjunto del espacio vectorial F1xn

F = {f1, f2, …, fm} ⊂ 1 nF ×

Definición 1 El Espacio Fila de la matriz M, denotado por Sf (M), es el subespacio vectorial generado por el

conjunto de las filas de la matriz M, es decir es el subespacio generado por el conjunto F = {f1, f2, … , fm} ⊂ 1 nF × . En símbolos,

( ) 1fS M nF ×= ≺F

En otras palabras, el Espacio Fila de la matriz M, es el conjunto de todos los vectores del

espacio F1xn que se expresan como combinación lineal de los vectores fila de la matriz M, esto es

Sf (M) = { f ∈ 1 nF × / M de fila ; ..., 2, 1, , 1

ii

m

iii fFmiff ∧∈=∀=∑

=αα }

Es decir, Sf (M) = { f ∈ 1 nF × / f = α1 f1 + α2 f2 + … + αm fm , ∀ i = 1, 2, …, m; αi ∈ F ∧ fi fila de M}

ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ

Sea una matriz M de tipo mxn con elementos en un cuerpo (F, +, ⋅).

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

⋯

⋮⋱⋮⋮

…

⋯

21

22221

11211

M ∈ m nF ×

Es claro que los vectores columnas de la matriz M son vectores del espacio vectorial 1mFF × (2)

=

=

=

mn

n

n

n

mm a

a

a

c

a

a

a

c

a

a

a

c⋮

⋯⋮⋮

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1 ,,, ∈ 1mF ×

Si denotando con C al conjunto de los vectores columnas de la matriz M, resulta que C

es un subconjunto del espacio vectorial Fmx1 (2) El espacio vectorial 1m

FF × es el de las matrices con elementos en el cuerpo F y que tienen m filas y 1 columna.


Unidad 2 21

C = { c1, c2, …, cn} ⊂ 1mF ×

Definición 2

El Espacio Columna de la matriz M, denotado por Sc (M), es el subespacio vectorial generado por el conjunto de las columnas de la matriz M, es decir es el subespacio generado por el conjunto

C = { c1, c2, … , cn} ⊂ Fmx1. En símbolos,

( ) 1cS M mC F ×= ≺ .

En otras palabras, el Espacio Columna de la matriz M, es el conjunto de todos los vectores del espacio Fmx1 que se expresan como combinación lineal de los vectores columnas de la matriz M

Sc (M) ={c ∈ 1mF × / M de columna ; , ... 2, 1, , 1

c jj

n

jjj cFnjc ∧∈=∀=∑

=αα }.

Esto es,

Sf (M) ={c ∈ 1mF × / c =α1 c1 + α2 c2 +…+ αn cn , ∀ j =1, 2, …, n; αj ∈ F ∧ cj columna de M}.

INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES

Definición 1

Sea VF un espacio vectorial y sea ∅≠∧⊂ AVA

El conjunto A es linealmente independiente si y sólo si el único modo de obtener el vector nulo como combinación lineal de vectores de A es a través de la combinación lineal trivial.

En símbolos,

A es linealmente independiente 1

0 1, 2, , ; 0n

i i v ii

defa u i n a…

=

⇔ = ⇒ ∀ = = ∑

Ejemplos

a. En el espacio vectorial 3RR , el conjunto A = {(1, 2, -5)} es linealmente independiente. En efecto,

se toma una combinación lineal de valor (0, 0, 0) del único vector de A

a (1, 2, -5) = (0, 0, 0)

operando se tiene

(a, 2a, -5a) = (0, 0, 0)

Por igualdad de ternas ordenadas, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo (SELH)

0

2 0

5 0

a

a

a

= =− =


Unidad 2 22

Este sistema tiene tres ecuaciones lineales con una incógnita. Es evidente que se trata de un sistema compatible determinado, en el cual la única solución es a = 0 (solución trivial). Luego el conjunto A es linealmente independiente.

b. En el espacio vectorial 2RR , el conjunto A = {(1, 2), (1, 1)} es linealmente independiente.

Procediendo de manera análoga al ejemplo precedente se tiene

α (1, 2) + β (1, 1) = (0, 0)

(α, 2α) + (β, β) = (0, 0)

(α + β, 2α + β) = (0, 0)

+ 0

2 0

α β= α+ β=

Aquí se tiene un sistema homogéneo (SELH) de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y se sabe que todo SELH es compatible, es decir tiene al menos la solución trivial. Resta averiguar si es determinado o indeterminado. Resolviendo el sistema por el método de eliminación gaussiana,

2 1( 2)f f+ −

2( 1) f−

Es evidente que 2 ºarg A rg A n incógnitas= = = ,

y según el Teorema de Rouché-Frobenius y su Corolario, el SELH es compatible determinado, luego la única solución es la trivial, esto es

α = 0 ∧ β = 0.

Luego por definición, el conjunto A es linealmente independiente.

c. En el espacio vectorial R2R, el conjunto D = {(1, 2), (2, 4)} no es linealmente independiente.

En efecto, procediendo de manera análoga al ejemplo precedente, se toma una combinación lineal de vectores del conjunto A que tenga valor cero vector,

1 2

1 1 0

0

1 0

1 1

− 0

0

1 0

1 1

0

0


Unidad 2 23

operando

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )0 ,042 ,2

0 ,04 ,2 2 ,

0 ,04 ,2 2 ,1

=++

=+

=+

βαβα

ββαα

βα

e igualando se obtiene el SELH siguiente

=+=+

0 4 2

0 2

βαβα

Se toma la matriz ampliada del sistema y se determina el rango de la matriz de coeficientes

incógnitasnArg º21 =≠=

Se trata de un SELH compatible indeterminado cuyo conjunto solución es

So= ( ){ }2, / 2Rα β ∈ α =− β

De modo que existen infinitas soluciones no triviales de la forma ( )2 , − β β , como por ejemplo

α = 2 y β = -1, por lo que el vector nulo se puede escribir como una combinación no trivial de los vectores de D

2 (1, 2) + (-1) (2, 4) = (0, 0)

y como existe al menos una combinación lineal no trivial de vectores de D de valor 0V se tiene que el conjunto no es linealmente independiente.

Definición 2

Sea VF un espacio vectorial y sea ∅≠∧⊂ AVA .

El conjunto A es linealmente dependiente si y sólo si existe una combinación lineal no trivial de valor 0v.

En símbolos,

A es linealmente dependiente def⇔ { }

1

1, 2, , : 0 0n

i i i vi

i n a a u=

∃ ∈ ≠ ∧ = ∑…

Observación: A es linealmente dependiente si y sólo si A no es linealmente independiente

42

21

0

0

00

21

0

0


Unidad 2 24

Ejemplo

El conjunto D del ejemplo c. precedente, es linealmente dependiente.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS LINEALMENTE DEPENDIENT ES

Sea VF un espacio vectorial y ∅≠∧⊂ AVA

Proposición 1

Si el vector nulo pertenece al conjunto A, entonces A es linealmente dependiente

Demostración

Sin perder generalidad, se puede suponer que u1 = 0V ∈ A, entonces la siguiente combinación lineal de vectores de A

1 1 2 0 0 0n Va u u u+ + + =… , con a1 ≠ 0 ∧ ∀ i = 1, 2, …, n, ui ∈ A

es una combinación lineal no trivial de valor 0V. Luego A es Linealmente dependiente.

Q.E.D.

Ejemplos

a. En el espacio vectorial 3RR , el conjunto A = {(1, 2, -5), (1,-1, 4), (0, 0, 0)} es linealmente

dependiente.

b. En el espacio vectorial 2 3RR × , el conjunto A =

−

000

000 ,

030

121 es

linealmente dependiente

Proposición 2

El conjunto A es linealmente dependiente si y sólo si existe un vector de A que es combinación lineal de los restantes vectores de A.

Demostración

⇒) La condición es necesaria

“Si A es linealmente dependiente entonces existe un vector de A que es combinación lineal de los restantes vectores”

En efecto, por hipótesis A es linealmente dependiente, entonces por Definición 2 existe una combinación lineal no trivial de vectores de A de valor 0V, es decir

{ } y 0 que tal , ,2 ,1 ≠∈∃ janj …

V11112211 0 =+++++++ ++−− nnjjjjjj uauauauauaua …… , donde uj ∈ A, ∀ j = 1, 2, …, n


Unidad 2 25

luego nnjjjjjj uauauauauaua 11112211 −−−−−−−= ++−− ……

Como aj ≠ 0, existe 1

ja, entonces pre-multiplicando por

1

ja en ambos miembros de la igualdad

precedente se tiene

( )1 1 2 2 1 1 1 1

1 1 j j j j j j n n

j j

a u a u a u a u a u a ua a − − + += − − − − − − −… …

operando

nj

nj

j

jj

j

j

jjj u

a

au

a

au

a

au

a

au

a

au 1

11

12

21

1 −−−−−−−= ++

−−

…… (α)

Sea jinia

ab

j

ii ≠=∀−= ; , ,2 ,1 , …

al reemplazar en (α), se tiene que

nnjjjjj ubububububu 11112211 ++++++= ++−− ……

luego uj es una combinación lineal de los restantes vectores de A.

⇐) La condición es suficiente

“Si existe un vector de A que es combinación lineal de los restantes vectores de A, entonces A es linealmente dependiente”

Sea uj ∈ A tal que, uj es combinación lineal de los restantes vectores de A. Esto es,

∑≠=

=n

jii

iij ubu1

es decir

nnjjjjj ubububububu 11112211 ++++++= ++−− ……

sumando en ambos miembros (- uj ) = (-1) uj

jnnjjjj uububububub )1( 0 11112211v −+++++++= ++−− ……

reordenando los términos

v 1 1 2 2 1 1 1 1( 1) 0 j j j j j n nb u b u b u u b u b u− − + +−= + + + + + + +… …

Esta es una combinación lineal no trivial (uno de los escalares es 1− ) de vectores de A de valor 0V. En consecuencia, el conjunto A es linealmente dependiente.

Q.E.D.

Proposición 3


Unidad 2 26

Sea A un subconjunto no vacío del espacio vectorial V y tal que A ≠ {0V}. El conjunto A es linealmente dependiente si y sólo si existe un subconjunto propio de A que genera el mismo subespacio que genera A.

En símbolos

es linealmente dependienteA ' ' : 'A A A A A A⇔ ∃ ⊂ ∧ ≠ =

Demostración

⇒) La condición es necesaria

A es linealmente dependiente AAAAAA =≠∧⊂∃⇒ ':''

Por hipótesis A es linealmente dependiente y A ≠ {0V}, entonces por Proposición 2

1:

nu A u a uj j i ii

i j

∃ ∈ = ∑=≠

(β)

con ai ∈ F ∧ ui ∈ A, ∀ i = 1, 2, …, n.

Sea A′ = A – {uj} entonces, es claro que existe A′ ⊂ A ∧ A′ ≠ A

Ahora se debe probar que

AA ='

que por definición de igualdad de conjuntos equivale a demostrar que AA ⊂' ∧ 'AA ⊂

a) Como AA ⊂' , se sigue que AA ⊂' , ( por Proposición 5 de subespacios vectoriales)

b) Se debe probar que 'AA ⊂

Sea Au ∈ , entonces u es una combinación lineal de vectores del conjunto A. Es decir,

nnjjjjjj ububububububu 11112211 +++++++= ++−− ……

Pero como uj es una combinación lineal de los restantes vectores de A por (β), entonces

1 1 2 2 1 1 1 11

j j j j j n n

nu b u b u b u b a u b u b ui ii

i j− − + += + + + + + + +∑

=≠

… …

Operando se tiene

1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) j j j j j j j n n j j n nu b u b u b u b a u a u a u a u a u b u b u− − − − + + + += + +…+ + + +…+ + +…+ + +…+

y aplicando axiomas de la estructura de espacio vectorial y agrupando convenientemente se llega a la expresión

1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j j j j j n j n nu b b a u b b a u b b a u b b a u b b a u − − − + + += + + + +…+ + + + +…+ +

Luego u es una combinación lineal de vectores del conjunto A′, esto significa que u ∈ 'A .

⇐) La condición es suficiente


Unidad 2 27

AAAAAAA ⇒=≠∧⊂∃ ':'' es linealmente dependiente

Supóngase que existe A′ subconjunto propio de A tal que AA =' . Entonces

''' AvAvAAvAA jjj ∉∧∈⇒−∈∃⇒∅≠−

además como vj ∈ A, entonces vj ∈ A y como por hipótesis 'AA = resulta que

vj ∈ 'A

Por lo tanto vj es una combinación lineal de los vectores de A′. Pero los vectores de A′ son vectores de A pues AA ⊂' , por lo tanto vj es combinación lineal de los vectores de A, excepto él mismo. Y como vj ∈ A existe un vector de A que es combinación lineal de los restantes vectores de A, entonces por Proposición 2 el conjunto A es linealmente dependiente.

Proposición 4

Todo conjunto que contiene a un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.

En símbolos,

' ' A A A es linealmente dependiente Aes linealmente dependiente⊂ ∧ ⇒

Demostración

Sea AA ⊂' y 'A linealmente dependiente. Entonces existe una combinación lineal de vectores de 'A no trivial de valor 0V. Pero toda combinación de vectores de 'A es combinación de vectores de

A, pues AA ⊂' . Luego A es linealmente dependiente.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIE NTES

Se puede enunciar las propiedades referidas a conjuntos linealmente independientes tomando los contra-recíprocos de los condicionales de las propiedades de los conjuntos linealmente dependientes.

Proposición 1’

Si el conjunto A es linealmente independiente, entonces el vector nulo no pertenece al conjunto A.

Proposición 2’

El conjunto A es linealmente independiente si y sólo si ningún vector de A es combinación lineal de los restantes vectores de A.

Proposición 3’

El conjunto A es linealmente independiente si y sólo si ningún subconjunto propio de A genera el mismo subespacio que el que genera A.

Proposición 4’

Todo subconjunto no vacío de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.


Unidad 2 28

RANGO DE UNA MATRIZ

Definición3

El rango de una matriz M ∈ m nF × es el mayor número de vectores filas (o columnas) linealmente independientes que tiene la matriz M.

Notación

El rango de la matriz M se denota con rg M.

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Definición 4

Sea VF un espacio vectorial y sea B un subconjunto no vacío y ordenado de V. El conjunto B es una base del espacio vectorial V si y sólo si,

i) B es Linealmente Independiente

ii) B es Generador del espacio vectorial V

Notas

• Consideraremos en adelante sólo espacios vectoriales que tienen bases finitas.

• Remarcamos que el orden en que están dados los elementos de toda base es una cuestión muy importante, este hecho podremos observarlo más adelante.

Ejemplo

Sea el espacio vectorial nRR y considérese el conjunto ordenado E = {E1, E2,…, En} donde Ei

representa a la n-upla cuya i-ésima componente es 1 y las restantes son 0. Esto es

( ) ( ) ( ){ }1,0, ,0 , 0,1, ,0 , , 0,0, ,1E = … … … …

El conjunto E es una base del espacio vectorial nRR , en efecto

i) E es linealmente independiente

Sean a1, a2, …, an ∈ R tales que a1E1 + a2E2+ …+anEn = (0, 0, …, 0)

Es decir,

a1(1, 0, …, 0) + a2 (0, 1, …, 0) + …+an (0, 0, …, 1) = (0, 0, …, 0)

(a1, 0, …, 0) + (0, a2, …, 0) + …+ (0, 0, …, an ) = (0, 0, …, 0)

(a1, a2, …, an ) = (0, 0, …, 0)

Por igualdad de n-uplas ordenadas de números reales resulta

a1= 0 ∧ a2 = 0 ∧, …, ∧ an = 0


Unidad 2 29

ii) E es Generador del espacio vectorial nRR

Sea (x1, x2, …, xn ) ∈ nRR si existen escalares b1, b2, …, bn ∈ R tales que

(x1, x2, …, xn ) = b1(1, 0, …, 0) + b2 (0, 1, …, 0) + …+bn (0, 0, …, 1) entonces debe ocurrir que

b1= x1 , b2 = x2 , …, bn = xn

De i) y ii) se sigue que es una base del espacio vectorial nRR .

Nota

A la base E se le denomina base canónica, observemos que tiene n elementos. En particular,

� si n = 1, la base canónica del espacio vectorial RR es ( ){ }1B = ;

� si n = 2, la base canónica del espacio vectorial 2RR es ( ) ( ){ }1,0 , 0,1B = ;

� si n = 3, la base canónica del espacio vectorial 3RR es ( ) ( ) ( ){ }1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1B = .

Ejercicios

1) Pruebe que en el espacio vectorial m nRR × de las matrices reales de tipo m n× , una base es el

conjunto ordenado con mn elementos dado por

1 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0, , ,

0 0 0 0 0 0 0 0 1

B

… … … … … … = … … …

⋯⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

Nota: Esta base es la base canónica del espacio vectorial m nRR ×

En particular la base canónica del espacio vectorial 2 2RR × es

1 0 0 1 0 0 0 0

, , ,0 0 0 0 1 0 0 1

B

=

2) Pruebe que en el espacio vectorial [ ]n xRP de los polinomios con coeficientes reales en la

variable x de grado menor o igual que n (en donde se incluye el polinomio nulo el cual no tiene grado asignado), una base es el conjunto ordenado con n + 1 elementos dado por

{ }21, , , , nB x x x= …

Nota: Esta base es la base canónica del espacio vectorial [ ]n xRP

En particular en 3 [ ]xRP , el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales en la variable x de

grado menor o igual que 3 (en donde se incluye el polinomio nulo), la base canónica es


Unidad 2 30

{ }2 31, , ,B x x x= .

Proposición 5

Sea VF un espacio vectorial. Si B es una base de V, entonces todo vector del espacio vectorial V se escribe de modo único como combinación lineal de vectores de la base dada B.

Demostración

Sea { }nuuuB ,...,, 21= base de V. Se probará que

v ∈V ⇒ ∃! Fn ∈ααα ,,, 21 … : nnuuuv ααα +++= ⋯2211 ,

Por ser { }nuuuB ,...,, 21= generador del espacio vectorial V se tiene:

1 2 1 1 2 2, , , :n n nv V F v u u uα α α α α α∈ ⇒ ∃ ∈ = + + +⋯ ⋯ 1

se debe probar que los escalares Fn ∈ααα ,,, 21 … son únicos.

para ello supóngase que,

1 2 1 1 2 2, , , : n n nF u u uvβ β β β β β∈ + + +∃ =… ⋯ 2

Restando 2-1 miembro a miembro:

( ) ( )21 1 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

0

0

V n n n n

V n n n n

u u u u u u

u u u u u u

β β β α α α

β β β α α α

= + + + − + + + =

= + + + − − − − =

⋯ ⋯

⋯ ⋯

1 1 1 2 2 20 ( ) ( ) ( )V n n nu u uβ α β α β α= − + − + + −⋯

Como B es linealmente independiente y ésta es una combinación lineal de vectores de B de valor 0v entonces esta combinación lineal debe ser la trivial, es decir los escalares deben ser simultáneamente cero

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

0n n n n

β α β αβ α β α

β α β α

=

=

− = ⇒

− = ⇒

− = ⇒ =⋮

Luego, los escalares son únicos. Q.E.D.

Definición 5

A los únicos escalares Fn ∈ααα ,,, 21 … , que permiten escribir al vector v∈V como

combinación lineal de vectores de una base { }1 2 , , , nB u u u= … , se les denomina coordenadas del

vector v con respecto a la base B de V y se denota con,


Unidad 2 31

[ ]1

2

B

n

v

α α = α

⋮

Es claro que los escalares Fn ∈ααα ,,, 21 … caracterizan al vector v∈V, en el sentido de que son

los únicos posibles que permiten expresarlo en términos de los vectores de la base dada B.

Ejemplo 1

En el espacio vectorial 2 ,RR considere el conjunto ( ) ( ){ }1,0 , 0,1B = .

a) Muestre que B es una base de 2 ,RR

b) Determine las coordenadas de cualquier vector de2 ,RR con respecto a la base B.

a) Resolución

i) B es generador de V. En efecto,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2, , , : , 1, 0 0,1

, 0 0, ,

, ,

x y R R x y

x y

x y

x

y

α β α βα β

α βα

β

∈ ∃ ∈ = +

+ =

=

= =

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas α y β. Es evidente que

2 ºarg A rg A n incógnitas= = =

por lo tanto el sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado, luego existen y son únicos los escalares que permiten escribir a todo vector del espacio vectorial 2 ,RR como

combinación lineal de vectores del conjunto B. En esta situación los escalares coinciden con las propias componentes de todo vector (x, y).

ii) B es LI

Para ello tomaremos una combinación lineal de valor (0, 0) de vectores del conjunto B.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1,0 0,1 0,0

,0 0, 0,0

, 0,0

0

0

α βα β

α βα

β

+ =

+ =

=

= =

Es claro que la única solución de este sistema es la trivial, por lo tanto el conjunto B es linealmente independiente.


Unidad 2 32

Luego por i) y ii) B es una base del espacio vectorial 2RR . Es más B es la base canónica de

2RR

b) Resolución

El vector de coordenadas de todo vector ( ) 2, Ryx ∈ respecto de la base B viene dado por

( ), B

xx y

y

=

Por ejemplo,

( ) 11,5

5B

=

Ejemplo 2

En el espacio vectorial 2 ,RR considere el conjunto ( ) ( ){ }1,1 , 1,0A = .

a) Muestre que A es una base de 2 ,RR

b) Determine las coordenadas del vector de cualquier vector de 2 ,RR respecto a la base A.

a) Resolución

i) A es generador de V. En efecto,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2, , , : , 1,1 1, 0

, , 0 ,

, ,

(1) =

x y R R x y

x y

x y

x

y

α β α βα α β

α β αα βα

∈ ∃ ∈ = +

+ =

+ =

+ =

ii) A es linealmente independiente

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1,1 1, 0 0, 0

, , 0 0, 0

, 0, 0

0 (2)

= 0

α βα α β

α β αα βα

+ =

+ =

+ =

+ =

(1) y (2) son dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen la misma matriz de coeficientes, luego es posible aplicar el método de Gauss-Jordan a la matriz ampliada con la columna de términos independientes del sistema (1) y con la columna de términos independientes del sistema (2) de la siguiente manera

01

11

y

x

00

f2+ (-1)f1


Unidad 2 33

1 1

0 1−

xy x−

00

(-1)f2

1 1

0 1

xx - y

00

1 0

0 1

y

x - y 00

f1+(-1)f2

Si se analizan las matrices reducidas de las matrices ampliadas de cada sistema se observa, en ambos casos, que

2 ºarg A rg A n incógnitas= = = (*)

i) (*) significa que el sistema (1) es compatible ,x y R∀ ∈ , es decir que

cualesquiera sean x, y ∈ R, ( ) ( ) ( ), : , 1,1 1,0R x y∃ ∈ = +α β α β , luego A es generador de R2.

ii) (*) significa que el sistema (2) es compatible determinado, es decir que la única solución es la trivial, luego A es L.I.

Por i) y ii) A es una base de2RR .

b) El vector de coordenadas de todo vector ( ) 2,x y ∈ R respecto de la base A viene dado por,

( ),A

x yα

= β .

y reformulando el sistema (1)

x

x y

α =β = −

se obtiene

Por ejemplo,

( ) 51,5

4A

= −

Observaciones

1. Si la base es la canónica, las coordenadas de todo vector son las componentes del vector.

2. Como podemos observar en los dos ejemplos precedentes, en un mismo espacio vectorial las coordenadas de un mismo vector respecto de una base varían si cambiamos de base.

( ),A

yx y

x y

= −


Unidad 2 34

No resulta evidente que dado un espacio vectorial cualquiera, éste posea una base. Ahora veremos que en realidad es posible determinar por lo menos una base.

Teorema de Existencia de bases

Todo espacio vectorial { }VV 0≠ admite al menos una base.

Demostración

Sea 1 2{ , , , }rG u u u= ⋯ un generador de V, entonces siempre existe un subconjunto de G

que es linealmente independiente.

En efecto, dado que { }0VV ≠ , entonces el conjunto G debe tener por lo menos un elemento

Vju 0≠ (pues de otro modo generaría sólo a { }0V). Por lo tanto, G contiene al menos al conjunto

}{ ju que es linealmente independiente.

Sea ahora B el conjunto que tiene el mayor número posible de vectores de G y que es linealmente independiente. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que

1 2{ , , , }nB u u u= ⋯ (α)

Nota

Siempre es posible determinar al conjunto B ordenando convenientemente los elementos del conjunto G.

Es fácil ver que vectores restantes de G, es decir los vectores 1 2, , ,n n ru u u+ + ⋯ son

combinaciones lineales de los vectores del conjunto B.

Pues si por ejemplo 1+nu , no fuera combinación lineal de los vectores de B, entonces el conjunto

},,,,{}{ 1211 ++ =∪ nnn uuuuuB ⋯

es linealmente independiente en virtud de la Proposición 2́ de Independencia lineal; y entonces el conjunto B no tiene el mayor número de vectores linealmente independientes de G, lo que resulta una contradicción.

Por tanto

1

1, ..., ; n

k i ii

k n r u b u=

∀ = + = ∑ (β)

pero entonces todo vector del espacio vectorial es combinación lineal de elementos de B. En efecto, por ser G generador de V se tiene

Vv∈ ⇒ 1 2 1 1 2 2 1 1, , , / ... ...r n n n n r ra a a F v a u a u a u a u a u+ +∃ ∈ = + + + + + +⋯ .

Pero en virtud de (β), es

∑∑==

+ ++++++=n

iiir

n

iiinnn ucaubauauauav

1112211 ...... .

es decir

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2... ( ... ) ... ( ... )n n n n n r n nv a u a u a u a b u b u b u a c u c u c u+= + + + + + + + + + + + +


Unidad 2 35

Es evidente que v es combinación lineal de nuuu ,,, 21 ⋯ , con lo cual probamos que B es un

generador de V.

Y como además B es linealmente independiente, por (α), entonces B es una base de V.

Q.E.D.

Observaciones

1. Con el teorema precedente se muestra que “todo generador de un espacio vectorial { }v0V ≠contiene a una base”. Notemos que la idea subyacente es que, dado un generador del espacio, pueden ir eliminándose de él los vectores “redundantes” que posea hasta quedar con un conjunto linealmente independiente que siga generando al espacio V.

2. No debemos perder de vista que un espacio vectorial puede tener más de una base. Por ejemplo

bases del espacio vectorial 2RR son los conjuntos ordenados {(1, 1), (1, 0)}, {(1, 0), (0, 1)}, {(2, 0),

(0, 2)}, etc.

Ejemplo

El conjunto ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1, 0 , 2,1 , 1, 2G = es un generador del espacio vectorial R2R y G

contiene al conjunto {(1,1),(1,0)} que es linealmente independiente y también es generador del espacio vectorial R2

R , es decir es una base del espacio vectorial R2R.

Teorema

Sea VF un espacio vectorial. Si el conjunto X es linealmente independiente y G es un generador de

V, tales que GX ⊂ , entonces existe B base de V tal que GBX ⊂⊂ .

Idea de la demostración

Consiste en ir “agregando” al conjunto X vectores v´, v´´, etc., de G – X de tal modo que los

sucesivos conjuntos que se obtengan { } { }' , ', '' , etc.X v X v v∪ ∪ sean también linealmente

independiente hasta lograr un conjunto B que sea linealmente independiente y además que genere al espacio V.

G

G es generador de V

X es L.I.

Nota

De acuerdo con el enunciado por este teorema, podemos concluir también que todo conjunto linealmente independiente puede ser ampliado a una base del espacio. En otras palabras, dado un conjunto linealmente independiente, existe una base que lo contiene.

G * * * B * *

X

X

B es L.I. y gen de V

v’ v’’ v’’’ X … * * *

* *


Unidad 2 36

Ejemplo

En el espacio vectorial 3RR , consideremos los siguientes conjuntos

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }1, 0, 0 , 1, 0, 0 , 0,1, 0 , 0, 0,1 , 1,1,1X G= =

Es claro que X es linealmente independiente y G es un generador del espacio vectorial V y además GX ⊂

A partir de ( ){ }0,0,1=X agregando un vector de G – X conseguimos

( ) ( ){ }1, 0, 0 , 0,1, 0Y = , este conjunto es linealmente independiente pero no genera 3RR .

Agregamos a Y otro vector de G – Y, y obtenemos

( ) ( ) ( ){ }1,0,0,0,1,0,0,0,1=B , este conjunto es linealmente independiente y genera el

espacio 3RR , por lo tanto es una base de 3

RR . Además verifica la condición GBX ⊂⊂ que indica

el teorema.

Proposición 6 (Sin demostración)

Sea VF un espacio vectorial. Si X es un subconjunto linealmente independiente de V y G generador de V, entonces el número de elementos de X es menor o igual que el número de elementos de G.

En símbolos,

X linealmente independiente ∧ G generador de V ⇒ # #X G≤ .

Proposición 7

Toda base de un espacio vectorial VF tiene el mismo número de elementos.

Demostración

Sean B1 y B2 bases de VF, entonces

Por ser B1 linealmente independiente y B2 generador de V, es

2#1# BB ≤ (α)

Por ser B2linealmente independiente y B1 generador de V, es

1#2# BB ≤ (β)

Luego de (α) y (β) se tiene

2#1# BB =

Q.E.D.

Ejemplos

En el espacio vectorial nRR toda base tiene n elementos.

En el espacio vectorial m nRR × toda base tiene mn elementos.


Unidad 2 37

En el espacio vectorial [ ]n xRP toda base tiene n+1 elementos.

En el espacio vectorial RC toda base tiene dos elementos.

DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL

Dado que toda base de un espacio vectorial tiene el mismo número de elementos podemos considerar a este número como una propiedad del espacio.

Definición 6

La dimensión de un espacio vectorial VF , a la que denotaremos con dim V, es el número de elementos de una base cualquiera de V.

Definición 7

La dimensión del espacio vectorial V = {0v} es 0. Esto es dim {0v} = 0.

Nota

En virtud de la Definición 6, si una base cualquiera de un espacio vectorial VF tiene n elementos, entonces la dimensión de V es n, esto es

dim V = n

Ejemplos

� dim 1RR =

� dim 2 2RR =

� dim 3 3RR =

� dim nRR n=

� dim m nRR mn× =

� dim [ ] 1nR xP n= +

� dim ( )3 6sim = , dimensión el espacio de matrices simétricas de orden 3.

� dim ( )3 6TS = , dimensión del espacio de matrices triangular superior de orden 3.

� dim ( )3 3Diag = , dimensión del espacio de matrices diagonales de orden 3.

Observaciones

Si V un espacio vectorial de dimensión finita n, entonces:

1- Todo generador de V tiene al menos n elementos (pues todo generador contiene una base). Por lo tanto una base tiene al menor la menor cantidad de vectores que genera el espacio vectorial V.


Unidad 2 38

2- Todo conjunto linealmente independiente en V tiene a lo sumo n vectores (pues todo conjunto linealmente independiente puede ampliarse a una base). Por lo tanto toda base de V tiene la mayor cantidad de vectores linealmente independientes.

El siguiente enunciado establece una relación entre las dimensiones de un espacio vectorial VF y un subespacio vectorial cualquiera del mismo.

Teorema

Sea VF un espacio vectorial de dimensión finita n. Si S es un subespacio vectorial de V, entonces

i) dim S ≤ dim V = n

ii) Si dim S = n, entonces S = V

Demostración

i) En efecto,

Si S = {0v} es claro que dim S = 0 ≤ n

Supongamos entonces que S ≠ {0v} y sea X una base de S.

Por ser X linealmente independiente en S es también un subconjunto linealmente independiente de V; por lo que tiene a lo sumo n vectores, por lo tanto:

dim S = # X ≤ dim V= n

luego

dim S ≤ dim V = n

ii) Si S es tal que, dim S =dim V = n , entonces toda base X de S, tiene n elementos. Por lo tanto X es también base de V, ya que al ser X un subconjunto linealmente independiente de V que tiene n elementos, genera al espacio V.

i) Es claro que, si X no genera el espacio V, por ser X linealmente independiente existe B base de V tal que BX ⊂ ∧ X ≠ B y de acuerdo con esto existe una base de V con más de n vectores, lo que contradice la hipótesis dim V= n. Por lo tanto X es generador de V (es decir

VX = ), pero X es también generador de S ( SX = ) de lo que se deduce que S = V.

Q.E.D.

Ejemplo

En el espacio vectorial VF =2RR consideremos al conjunto S = {(x, y) ∈ R2 / y = x}.

Se sabe que dim 2RR = 2 y que S es un subespacio vectorial de R2 generado por el conjunto

{(1, 1)} y que es obviamente linealmente independiente. Por lo tanto {(1, 1)} es una base de S y de allí que

dim S = 1 < dim 2RR = 2

Geométricamente, el subespacio vectorial S puede representarse por una recta que contiene al origen del sistema de coordenadas


Unidad 2 39

DIMENSIÓN DE LOS ESPACIOS FILA Y COLUMNA DE UNA MATRIZ

Sea la matriz m nFM F ×∈

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

⋯

⋮⋱⋮⋮

…

⋯

21

22221

11211

M ∈ m nFF ×

Los vectores columnas de la matriz M son vectores del espacio vectorial 1mFF ×

=

=

=

mn

n

n

n

mm a

a

a

c

a

a

a

c

a

a

a

c⋮

⋯⋮⋮

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1 ,,, ∈ 1mFF ×

Denotando con C al conjunto de los vectores columnas de la matriz M, resulta que C es un

subconjunto del espacio vectorial 1mF ×

C = {c1, c2, …, cn} ⊂ 1mF ×

Y por lo tanto el Espacio Columna de la matriz M, es el subespacio vectorial de 1mFF × ,

generado por el conjunto C de las columnas de la matriz M.

En otras palabras el Espacio Columna de la matriz M, es el subespacio vectorial de 1mFF × ,

formado por todas las combinaciones lineales de vectores del conjunto C = {c1, c2, … , cn}.

Simbólicamente

( ) 1 1

1cS M / , 1,2,.., ;

nm m

j j j jj

C c F c c j n F c C Fβ β× ×

=

= = ∈ = ∀ = ∈ ∧ ∈

∑ ≺

Es claro entonces que

( ) 1mCd im S M d im F m×≤ =

y

S

x


Unidad 2 40

Es decir, la dimensión del Espacio columna de la matriz M es menor o igual que el número de filas de la matriz.

Por otro lado, los vectores fila de la matriz M son vectores del espacio vectorial1 nFF ×

[ ][ ]

[ ]

=

==

mnmmm

n

n

aaaf

aaaf

aaaf

...............................

21

222212

112111

…

…

…

∈ 1 nF ×

Si F es el conjunto de los vectores fila de la matriz M, es claro que F es un subconjunto del espacio vectorial F1xn

F = {f1, f2, …, fm} ⊂ F1xn

Y por lo tanto el Espacio Fila de la matriz M, es el subespacio vectorial de 1 nFF × generado por

el conjunto de las filas de la matriz M.

En otras palabras, el Espacio Fila de la matriz M, es el subespacio vectorial de 1 nFF × formado

por todas las combinaciones lineales de vectores fila del conjunto F = {f1, f2, … , fm}

En símbolos,

( ) 1 1

1fS M / , 1, 2, ..., ;

mxn n

i i i ii

f F f f i m F f Fα α ×

=

= = ∈ = ∀ = ∈ ∧ ∈ =

∑F F

Es claro entonces que

( ) 1 nFdim S M dimF n×≤ = .

Es decir, la dimensión del Espacio fila de la matriz M es menor o igual que el número de columnas de M.

RANGO DE UNA MATRIZ

Definción 8

Se llama rango columna de la matriz M a la dimensión del espacio columna de M.

( )C Crg M dimS M m= ≤

Definición 9

Se llama rango fila de la matriz M a la dimensión del espacio fila de M.

( )F Frg M dimS M n= ≤

Definición 10


Unidad 2 41

El rango de una matriz M, al que denotaremos con rg M, es igual al rango columna y al rango fila de M.

C Frg M rg M rg M= =

Observación

Si nmRM ×∈ , entonces el rango de la matriz M es menor o igual que el más chico de los números m y n. Esto es

( ),rg M min m n≤

Ejemplos

� Si ( ) 4,84 ≤∈ × MrgRM .

� Si ( ) 1,51 ≤∈ × MrgRM .

� Si ( ) 2,26 ≤∈ × MrgRM .

� Si ( ) 1,16 ≤∈ × MrgRM .

Notas

1. La matriz nula tiene rango cero.

2. El hecho de que las dimensiones de dos espacios sean iguales no significa que los espacios sean iguales.

DIMENSIÓN DE LA SUMA

Teorema (sin demostración)

Sea VF un espacio vectorial. Si S1 y S2 son subespacios vectoriales de V, entonces

1 2 1 2 1 2d im ( ) d im d im d im ( )S S S S S S+ = + − ∩

Observación

Si { }1 2 v0S S∩ = entonces 1 2 1 2dim( ) dim dimS S S S+ = +

Proposición 8 (sin demostración)

Sea VF un espacio vectorial y sean S1 y S2 dos espacios vectoriales de V. Si B1 es base de S1 y B2 es base de S2 entonces

1 2B B∪ es un generador de 1 2S S+ .

Observación


Unidad 2 42

En la Proposición 8, si bien 1 2B B∪ es un generador de 1 2S S+ esto no implica necesariamente que

21BB ∪ sea linealmente independiente. Es decir que 1 2B B∪ puede o no ser linealmente independiente.

Proposición 9 (sin demostración)

Sea VF un espacio vectorial y sean S1 y S2 dos espacios vectoriales de V. Si B es base de 1 2S S∩ y

se amplía hasta conseguir una base B1 de S1 y una base B2 de S2, entonces 1 2B B∪ es una base de

21SS + .

unidad 3 - algebra-lineal.webs.comalgebra-lineal.webs.com/unidad3.pdf · Álgebra lineal...

Documents