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Álgebra y Geometría Analítica UNIDAD Nº 2: Números Complejos Año 2010

Lic. Silvia Suárez de Rodriguez - 1 - FCEyT – UNSE

UNIDAD Nº 2: NÚMEROS COMPLEJOS Introducción

La ecuación x + b = a / a, b ∈ IN con a < b no tiene solución en el conjunto de los números naturales (IN), pero sí es soluble en Z (números enteros). La solución es: x = a – b. La ecuación, también de 1° grado, a.x = b / a, b ∈ Z ∧ a ≠ 0 no tiene solución en el conjunto de números enteros, pero se puede resolver en el conjunto Q (números racionales).

La solución de esta ecuación es x =ba

La ecuación de segundo grado x2 – 2 = 0, o sea x2 = 2, no tiene solución en Q, pero sí en el conjunto IR (números reales).

Las raíces o soluciones son 2 2 −y

¿Todas las ecuaciones de 2° grado tienen solución en IR?

La ecuación x2 + 1 = 0 o bien x2 = -1 no puede resolverse en IR porque el cuadrado de un número real no es un número negativo.

Para dar solución a estos tipos de ecuaciones definiremos el conjunto de números complejos. Definición: C = {(a, b) / a ∈ IR ∧ b ∈ IR}

Es decir, definimos el conjunto de los números complejos como el conjunto de pares ordenados cuyas componentes son números reales.

Si z ∈ C ∧ z = (a, b) llamaremos componente real a la primera componente y componente imaginaria a la segunda componente y denotaremos:

R (z) = a ∧ Im (z) = b. A esta forma de expresar el número complejo z = (a, b) la llamaremos forma cartesiana.

Representación gráfica Todo número complejo se representa gráficamente en el plano de GAUSS.

Llamaremos eje real al eje X y eje imaginario al eje Y. El complejo z = (a, b) se representa con un punto del plano: a sobre el eje real y b sobre el

eje imaginario. A cada punto o a cada complejo z le asociamos un vector, que tiene como origen el origen

del sistema y como extremo el punto z.

b

a

z = (a , b)

Y

X



Los complejos (a, 0), es decir, de parte imaginaria nula quedan representados en el eje real y lo llamamos complejo real. Los complejos (0, b) es decir, de parte real nula están ubicados en el eje imaginario y lo llamamos complejo imaginario o imaginario puro. Igualdad de números complejos

Dos números complejos son iguales sí y sólo si sus componentes reales son iguales y sus componentes imaginarias son iguales:

(a, b) = (c, d) ⇔

a c

b d

=�� ∧�� =�

Operaciones con complejos en forma cartesiana Suma de números complejos

Sean (a, b), (c, d) ∈ C : (a, b) + (c, d) = (a + c , b + d) Es decir que la suma de dos números complejos es otro número complejo.

Producto de números complejos

Sean (a, b), (c, d) ∈ C : (a, b) . (c, d) = (a.c – b.d, a.d + b.c) La suma y el producto en C son leyes de composición interna. Justificar

+ : C x C →→→→ C . : C x C →→→→ C Propiedades de la suma y el producto i) Conmutativa de la suma y del producto

∀ (a, b) , (c, d) ∈ C : (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) ∧ (a, b) . (c, d) = (c, d) . (a, b)

Verificación:

Por definición de suma en C y por la conmutatividad de la suma de números reales (a, b) + (c, d) = ( a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)

Por definición de producto en C y por la conmutatividad del producto de números reales (a, b) . (c, d) = (a.c – b.d, a.d + b.c) = (c.a – d.b, d.a + c.b) = (c, d) . (a, b)

ii) Asociativa de la suma y del producto ∀ (a, b) , (c, d) , (e ,f) ∈ C : [(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)] ∧ [(a, b) . (c, d)] . (e, f) = (a, b) . [(c, d) . (e, f)] Verificación: [(a, b) + (c, d)] + (e ,f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f)



(a, b) + [(c, d) + (e, f )] = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f) De la misma manera se verifica la asociativa del producto. iii) Existencia del elemento neutro ∃ (x, y) ∈ C : ∀ (a, b) ∈ C – {(0,0)} : (a, b) + (x, y) = (x, y) + (a, b) = (a, b)

(a, b) + (x, y) = (a, b) Por definición de suma y por igualdad de complejos

(a + x, b + y) = (a, b) � 0

0

a x a x

b y b y

+ = � =�� + = � =�

Luego el elemento neutro para la suma es (x, y) = (0, 0) ∃ (x, y) ∈ C : ∀ (a, b) ≠ (0,0) : (a, b) . (x, y) = (x, y) . (a, b) = (a, b)

(a, b) . (x, y) = (a, b) por definición de la multiplicación en C y por igualdad de complejos

(a.x – b.y, a.y + b.x) = (a, b) � ax by a

ay bx b

− =�� + =�

O bien ax by a

bx ay b

− =�� + =�

Resolviendo el sistema

x = 2 2

2 2 1

a b

b a a ba b a bb a

−+= =

− +, y = 2 2 2 2 0

a a

b b ab aba b a b

−= =+ +

Luego el elemento neutro del producto es (x, y) = (1,0)

iv) Existencia de inverso

∀ (a, b) ∈ C: ∃ (a’,b’) ∈ C/ (a, b) + (a’, b’) = (a’, b’) + (a, b) = (0, 0)

(a, b) + (a’, b’) = (0, 0) por definición de suma en C y por igualdad de complejos

(a + a’, b + b’) = (0,0) � ' 0 '

' 0 '

a a a a

b b b b

+ = � = −�� + = � = −�

Luego el inverso de (a, b) es (-a, -b) (también llamado inverso aditivo u opuesto)

∀ (a, b) ∈ C – {(0,0)} : ∃ (a’,b’) ∈ C / (a, b) . (a’,b’) = (1,0) Por definición de la multiplicación y por igualdad de complejos

(a. a’ – b.b’, a.b’ + b.a’) = (1, 0) � ' ' 1

' ' 0

aa bb

ba ab

− =�� + =�

Resolviendo el sistema



2222

0

1

0

1

bab

ab

bab

a

bba

a

ab

baa

b

a+

−=−

=′+

=−

−

=′

Luego el inverso del producto también llamado inverso multiplicativo o recíproco es:

(a’, b’) = 2 2 2 2,a b

a b a b−� �

� + + �

v) Distributiva ∀ (a, b) , (c, d) , (e, f) ∈ C : (a, b) . [(c, d) + (e, f)] = (a, b) . (c, d) + (a, b) . (e, f) ∧ [(c, d) + (e, f)] . (a, b) = (c, d) . (a, b) + (e ,f) . (a, b)

Los Números Complejos, por verificar éstas propiedades respecto de la suma y de la multiplicación, tienen una estructura algebraica llamada CUERPO. El cuerpo de los Números Complejos que denotamos con la terna (C, + , . )

El conjunto de los Números Reales por verificar las mismas propiedades también constituye un Cuerpo, el Cuerpo de Números Reales que denotamos con la terna ( IR, + , . ). Resta y Cociente de números complejos

(a, b) – (c, d) = ( a, b) + (-c, -d) = (a – c, b – d) Por definición de resta y por el inverso aditivo

Si (c, d) ≠ (0, 0), (a, b) : (c, d) = 2 2 2 2( , ). ,c d

a bc d c d

−� �� + + �

Por definición de producto y por el inverso multiplicativo Realiza las siguientes operaciones:

a) (1,2). (0,-2) + (0,3) = b) [(1,1). (1,-2)] : (-2,1) = c) (1,3). (0, ½) + (-2, ½) = d) (3,-1) + (0, 2 ). (-1,1) =

e) (1,1). [(0,1) - (1, 2)(1,3)

−] =

Definición del conjunto C0 y su identificación con IR.

Ya vimos que el complejo (a, 0), es decir de parte imaginaria nula se llama complejo real, ahora definimos el conjunto de estos números y lo denotaremos con:

C0 = {(a, b) / b = 0} Si efectuamos la suma y el producto de los elementos de este conjunto tenemos que: (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) (a, 0) + (c, 0) � a + c (a, 0) . (c, 0) = (a . c, 0) (a, 0) . (c, 0) � a . c



Es decir, los complejos de parte imaginaria nula se comportan respecto de las operaciones de suma y producto como los números reales a y c que son sus componentes reales. O sea, para efectuar las operaciones de suma y multiplicación con números complejos de componente imaginaria nula, se efectúan las correspondientes operaciones con los números reales que son sus respectivas componentes reales.

Es decir que existe una correspondencia uno a uno entre los elementos del conjunto C0 y el conjunto IR.

(a, 0) → a y a → (a,0) Esto nos dice que C0 y IR se pueden identificar porque tienen la “misma forma”. En

Álgebra se dice que dichos conjuntos son Isomorfos. Por ello Identificamos los números del conjunto C0 con IR poniendo: (a, 0) = a y como C0 C C (C0 es un subconjunto C ), podemos interpretar IR C C Teniendo en cuenta que 1 = (1, 0) y 0 = (0, 0) podemos probar que el complejo (0,1) es solución de la ecuación: x2 + 1 = 0 Reemplazando en la ecuación, tenemos: (0, 1). (0, 1) + (1, 0) = (0, 0)

� (0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0) + (1,0) = (0, 0)

� (-1, 0) + (1, 0) = (0, 0) Como también se puede probar que el complejo (0, -1) es solución de dicha ecuación. Es decir: (0,-1). (0,-1) + (1,0) = (0,0) Verificar

NOTA: El complejo (0,1) es un elemento importante dentro del conjunto C, se llama “unidad imaginaria” y se denota con i.

(0, 1) = i Potencias sucesivas del complejo i.

i1 = i i2 = i.i = (0, 1) . (0, 1) = (0.0-1.1,0.1+1.0) = (-1, 0) = -1 i3 = i2.i = (-1) . i = -i i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1 i5 = i4 . i = 1 . i = i …………………..

Observemos que: i5 = i, es decir a partir de ésta potencia se repiten periódicamente los cuatro números i, -1, -i, 1.

Podemos probar que: i6 = i2, i7 = i3, i8 = i4

En general si el exponente de i es n ∈ IN, al efectuar la división n por 4 (porque son 4 los resultados posibles) tendremos que: in = ir Donde n es el exponente y r es el resto de Ej.: i38 = i2 y como i2 = -1 entonces i38 = -1

n 4 r = p



Forma binómica de un número complejo

Sea Z = (a, b). Por definición de suma resulta que: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) . (0, 1) = a + b.i

Luego

(a, b) = a + b.i

Esto indica que un número complejo admite más de una representación: (a, b) se llama forma cartesiana del complejo, a + b.i se llama forma binómica del complejo.

Ejemplos:

1) Representa en forma binómica los complejos:

i) (x, y) iii) (2,0) ii) (-x, -y) iv) (3, -1) 2) Representa en forma cartesiana los complejos: i) 1 – 2i iii) 3i + 1 ii) 3i iv) i

Sea el complejo Z = (x, y), llamaremos conjugado de Z y denotaremos con Z al complejo (x, -y). 3) Expresa en forma binómica el conjugado de: i) 1+i iv) 2i ii) 3 v) (0,1) iii) -1-i vi) (1,0)

Operaciones en forma binómica

Sean Z1 = a + bi y Z2 = c + di

• Z1 + Z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

• Z1 - Z2 = (a + bi) - (c + di) = (a + bi) + (-c - di) = (a - c) + (b - d)i

• Z1 . Z2 = (a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi2

Como i2 = -1 y separando las componentes real e imaginaria:

• Z1 . Z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i

• Z12 = (a + bi)2 = a2 + 2abi + (bi)2 = a2 + 2abi – b2 = (a2 – b2) + 2abi



Cociente de números complejos

A continuación enunciaremos dos propiedades que nos posibilita definir el cociente de dos números complejos de manera sencilla.

Sean Z1, Z2 ∈ C / Z2 � 0 : 111 2

2

ZZ Z

Z−= ⋅

Propiedades

i) ∀ Z1, Z2 ∈ C / Z1 � 0 , Z2 � 0 : 1 1 11 2 1 2( ) = Z Z Z Z− − −⋅ ⋅

ii) ∀ Z1 , Z2 , Z3 ∈ C / Z2 � 0 , Z3 � 0 : 1 31

2 2 3

.

.Z ZZ

Z Z Z=

i) Sabemos que todo número complejo no nulo tiene recíproco

Z1 � 0 � ∃ Z1 -1 : Z1 . Z1

-1 = Z1 -1 Z1 = 1

Z2 � 0 � ∃ Z2 -1 : Z2. Z2

-1 = Z2 -1 Z2 = 1

Z1 . Z2 � 0 pues Z1 y Z2 son no nulos, luego existe 11 2( )Z Z −⋅

Probar que 11 2( )Z Z −⋅ = 1 1

1 2Z Z− −⋅ , significa mostrar que: 1 11 2Z Z− −⋅ es el inverso de

Z1 . Z2. Calculamos:

(Z1 . Z2) . ( 1 11 2Z Z− −⋅ ) = (Z1

-1 Z1 ) . (Z2 -1 Z2) = 1 . 1 = 1

ii) Z2 � 0 � ∃ Z2 -1 ; Z3 � 0 � ∃ Z3

-1

1 3

2 3

.

.Z ZZ Z

= ( 1 3.Z Z ) . ( 2 3.Z Z )-1

= ( 1 3. Z Z ) . ( 1 12 3Z Z− −⋅ )

= ( Z1 . Z2-1 ) . (Z3 . Z3

-1)

= ( Z1 . Z2-1 ) . 1

= Z1 . Z2-1 = 1

2

ZZ

Esta propiedad permite calcular el cociente de la siguiente manea:

Sean Z1 , Z2 ∈ C / Z2 � 0 22

21

2

1

.

.

ZZ

ZZZZ

=

Si realizamos el cociente en forma binómica, tal que:

Si Z1 = a + bi, Z2 = c + di � 0

1

2

ZZ

= 1 2

2 2

.

.Z ZZ Z

=2

2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )a bi c di ac adi bdi ac bd bc ad i ac bd bc adi

c di c di c d c d c d c d+ − − − + + − + −⋅ = = = ++ − + + + +



Forma polar de un número complejo

Recordemos que a cada número complejo Z = (a, b) le asociamos un vector con origen en el origen del plano complejo (ó plano de Gauss) y cuyo extremo es el punto determinado por el par ordenado correspondiente.

A la medida o longitud del vector lo llamaremos módulo del complejo Z, y es un número real no negativo. Lo denotamos con ρρρρ o bien � Z �.

A la medida del ángulo que forma el semi-eje positivo OX

��con el vector, medida en

radianes, llamaremos ARGUMENTO del complejo Z. Denotamos: arg (Z) = ϕ

Llamaremos forma polar del complejo Z = (a, b) al par (ρ/ϕ); ρ y ϕ se llaman componentes polares del complejo Z.

Dado un complejo en forma cartesiana o binómico: z = (a, b) = a + bi se puede expresar en coordenadas polares, donde ( )ϕρ / se obtiene:

En forma inmediata podemos expresar a todo número complejo en la forma trigonométrica. Despejando a y b en las dos igualdades últimas:

cos ; a b senρ φ ρ φ= =

Por lo que: Z = (a, b) = a + bi = cos i senρ ϕ ρ ϕ+ Luego:

Z = ( )ϕϕρ senicos + Forma Trigonométrica

Antes de definir igualdad de complejos expresados en forma polar veamos cuando dos

argumentos son congruentes: dos argumentos son congruentes si y sólo si difieren en un número entero de giros. En forma simbólica:

ϕ1 ≡ ϕ2 ⇔ ϕ1 - ϕ2 = 2kπ con k ∈ Z O bien:

ϕ1 ≡ ϕ2 ⇔ ϕ1 = ϕ2 - 2kπ con k ∈ Z

2 2

cos

a b

a

bsen

ρ

ϕρ

ϕρ

= +

=

=



Igualdad de complejos expresados en forma polar

Dos números complejos expresados en forma polar son iguales sí y sólo si sus módulos son iguales y sus argumentos son congruentes.

( ) ( )1 2

1 1 2 2

1 2

/ /2k k

ρ ρρ φ ρ φ

φ φ π

=��= ⇔ ∧�� = + ∀ ∈� �

En consecuencia, no es posible establecer entre los puntos del plano y los pares (ρ/ϕ) una

correspondencia biunívoca. Cada punto del plano admite una infinidad de representaciones polares.

El punto de coordenadas polares (ρ/ϕ) = (ρ/ϕ + 2kπ) con k � Z Ejemplo

....2

7/12

3/1....

...2

13/12

9/12

5/12

/1

=�

��

� −=�

��

� −=

=�

��

�=�

��

�=�

��

�=�

��

�

ππ

ππππ

Operaciones de números complejos en forma polar Multiplicación

El producto de dos complejos en forma polar tiene por modulo el producto de los módulos, y por argumento la suma de los argumentos. Sean )seni(coszy)seni(cosz ϕϕρϕϕρ ′+′′=′+= Entonces

[ ][ ])(seni)(cos

)sencoscossen(i)sensencos(cos)seni(cos)seni(coszz

ϕϕϕϕρρϕϕϕϕϕϕϕϕρρ

ϕϕϕϕρρ

′++′+′=′+′+′−′′=

=′+′+′=′

Cociente

El cociente de dos complejos en forma polar, siendo el segundo distinto de cero, tiene por modulo el cociente de los módulos, y por argumento la diferencia de los argumentos.

Sean )seni(coszy)seni(cosz ϕϕρϕϕρ ′+′′=′+= � 0

[ ]

,, = (cos )

(cos ) (cos ' ') (cos )

(cos ) cos ( ' ) ( ' )

zw z z w Si w R i sen

zi sen i sen R i sen

i sen R i sen

φ φ

ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ φ φρ ϕ ϕ ρ ϕ φ ϕ φ

= � = +

′+ = + + �

′� + = + + + �



Por igualdad de complejos

[cos( ) ( ) zz

ρρ

= − + −′ ′

Potenciación de exponente natural

La potencia n-sima de un complejo en forma polar tiene por modulo la potencia n-sima de su modulo, y por argumento el producto de su argumento por n, con n � N.

)nsenin(cosz)seni(cosz nn ϕϕρϕϕρ +=�+=

Lo demostramos por inducción completa

)1seni.1(cos

)seni(coszz1n)11

1

ϕϕρϕϕρ

+=

=+==�=°

[ ]ϕϕρϕϕρ )1h(seni)1hcos(z)hsenih(cosz)2 1h1hhh +++=�+=° ++

En efecto, por definición de potencia e hipótesis inductiva se tiene

[ ]ϕϕρϕϕρϕϕρ

)1h(seni)1hcos(

)seni(cos)hsenih(coszzz1h

hh1h

+++=

=++==+

+

Luego es verdadera ∀ n � N.

La formula )nsenin(cosz nn ϕϕρ += se llama de Moivre.

Radicación en C

El complejo w es raíz n-sima de z sí y sólo si z w n= .

Teorema. Todo complejo no nulo admite n raíces n-simas distintas dadas por

�

��

� +++=n

k2isen

nk2

cosw nk

πϕπϕρ donde k = 0, 1, 2,…, n-1

Demostración

Sean )isen(cosz ϕϕρ += y )isen(cosRw φφ +=

2 con k

0

R

R si

ρ ρ ϕ φ φ κπρ ϕ φ φ κρ

′ ′= ∧ + = + ∈

′= ∧ = − =′

��



Por definición de raíz, debe ser: zw n =

Es decir: (cos ) (cos )nR n i sen n isenϕ ϕ ρ φ φ+ = +

Por igualdad de complejos

Rn = ρ y n φ = ϕ + 2kπ con k ∈ Z

Luego n

k2yR n

πϕφρ +== / k ∈ Z

Se obtiene la fórmula

�

��

� +++=+n

k2isen

nk2

cos)isen(cos nnπϕπϕρϕϕρ

Todas las raíces de Z tienen el mismo módulo, y difieren en el argumento que es

2

kc o n k

n nφ π+ ∈ �

De los infinitos valores enteros de k es suficiente considerar 0, 1, 2, …, n-1 para obtener las n raíces

distintas.

RAICES ARGUMENTOS

w0

w1

w2

w3

…. …………….

wn-1

nϕ

n2

nπϕ +

n2

.2n

πϕ +

n2

.3n

πϕ +

n2

).1n(n

πϕ −+

Si k = n entonces la correspondiente raíz Wn tiene argumento:

πϕπϕ2

nn2

nn

+=+ Que es congruente con nϕ

y se vuelve a obtener w0.

En general Wj+n = Wj , por lo que sólo existen n raíces distintas.

NOTA:



Las n raíces n-simas, distintas de un complejo no nulo, se identifican con los vértices de un

polígono regular de n lados inscripto en la circunferencia de radio nR ρ= .

Ejemplo

i) 3 1 Entonces z = 1 + 0i � ρ = 1 ∧ ϕ = 0

� 3k2

isen3k2

cos3

k20isen

3k20

cos1)0isen0(cos1 33ππππ +=

�

��

� +++=+

23

21

34

3

4 cos

23

21

32

3

2 cos

10 0 cos

2

1

0

iseniw

iseniw

seniw

−−=+=

+−=+=

=+=

ππ

ππ



Exponencial Compleja

Antes de definir el logaritmo de un número complejo presentaremos la siguiente fórmula

que se demuestra en los cursos de análisis, conocida como fórmula de EULER

ei� = cos � + i sen �

Si multiplicamos ambos miembros de esta igualdad por ρ obtenemos otra manera de

expresar el número complejo:

ρρρρ ei� = ρρρρ cos � + i sen �

Z = ρρρρ ei� se llama FORMA EXPONENCIAL del número complejo

Operaciones en forma exponencial

Si a las fórmulas relativas al producto, cociente, potenciación y raíz, obtenidas en la forma polar,

las expresamos en su forma exponencial obtenemos las siguientes:

( )

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1

2 22

2

1 2

1 2 1 2

11 2

2

( )

( )

)

)

)

) con k =0,1,2,..., n-1

nn n

i kn nn

i i

i i i

ii

i

i in

Sean y

i

ii

iii z

iv z

z e z e

z z e e e

z e ez e

e e

eφ π

φ φ

φ φ φ φ

φφ φ

φ

φ φ

ρ

ρ

ρ

ρ ρρ ρ ρ

ρ ρρρ

ρ+

+

−

= =

⋅ = ⋅ = ⋅

= =

= =

=

Logaritmación en C

Sea z � 0. Por definición ln z = w si y sólo si ew = z

Para determinar los complejos w que satisfacen w = ln z, proponemos la forma exponencial

para el complejo z y la forma binómica para w, es decir

y iz e w u ivφρ= = +

Hay que determinar u y v ∈ IR tales que:

u i v e ie φρ+ =



.. u i v ie e eφρ=

πϕρ k2ve u +=∧=

ln 2u v kρ φ π= ∧ = +

Resulta )k2(ilnzln πϕρ ++= con k ∈∈∈∈ Z

Fórmula que permite obtener los infinitos logaritmos de un complejo no nulo.

Como la componente real del ln Z es independiente de k, todos los logaritmos corresponden a

puntos de la paralela del eje imaginario que pasan por (ln ρ, 0)

Valor principal del ln z es el que se obtiene para k = 0, o sea,

V.p. ln z = ln ρ + i ϕ

Ejemplo: z = -2

z = -2 + 0.i � ρ = 2 ∧ ϕ = π

Luego

ln z = ln (-2) = ln 2 + i(π+2 k π) = ln 2 + (1+2k) πi

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