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ÁLGEBRA

LINEAL Ingenierías

ÁLGEBRA II LM - PM

Unidad Nº 4 Espacios Vectoriales con

Producto Interior

FCEyT - UNSE

Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lineal (Ings.) - F.C.E. y T.- UNSE

Unidad 4 1

Unidad Nº 4: ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR 1.- ESPACIO VECTORIAL REAL Definición 1

Un espacio vectorial real es un espacio vectorial definido sobre el cuerpo R de los números reales.

PRODUCTO INTERIOR

Definición 2

Sea V un espacio vectorial real y sea la función • que a cada par ordenado de vectores de V le hace corresponder un único escalar real, esto es

• : V V R× →

(u, v) u v֏ i

La función • es un producto interior si y sólo si se verifican los siguientes axiomas:

Ax.1. , ; u v V u v v u∀ ∈ =i i

Ax.2. ( ) , , ; u v w V u v w u v u w∀ ∈ + = +i i i

Ax.3. ( ) ( ) , , ; • •a R u v V au v a u v∀ ∈ ∀ ∈ =

Ax.4. ; • 0

• 0 0V

u V u u

u u u

∀ ∈ ≥ ∧

= ⇔ =

Definición 3

Se llama espacio euclídeo a todo espacio vectorial real de dimensión finita dotado de un producto interior.

Ejemplos

� En el espacio vectorial real R2 considérese la siguiente función

• : R2 × R2 → R / 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) • ( , )def

x x y y x y x y= +

La función • así definida es un producto interior en el espacio vectorial R2 ya que se satisfacen todos los axiomas de la Definición 2. Luego R2 es un espacio vectorial euclídeo.

� En el espacio vectorial real Rn (n ∈ N), es un producto interior la función

• : Rn × Rn → R definida por

1 2 1 2 1 1 2 21

( , ,..., ) • ( , ,..., ) ...def

n n n n i ii

na a a b b b a b a b a b a b

=

= + + + =∑

luego Rn es un espacio vectorial euclídeo.


Unidad 4 2

Nota

Cualquiera sea n ∈ N, el producto interior definido precedentemente se suele denominar “Producto escalar” o “Producto punto”.

Propiedades del producto interior

Proposición 1

Sea V un espacio vectorial euclídeo. Entonces

( ) ( ) , , ; • •a R u v V u av a u v∀ ∈ ∀ ∈ =

Demostración

Sean ; ,a R u v V∈ ∈ , entonces se tiene que

( ) ( ) ( )(1) (2) (3)

• • ( • ) •u av av u a v u a u v= = =

Referencias: (1) Por Ax. 1 de producto interior. (2) Por Ax. 3 de producto interior. (3) Por Ax. 1 de producto interior

Q.E.D.

Proposición 2


; 0 • • 0 0V Vu V u u∀ ∈ = =

Demostración

Sea u V∈ , entonces

(1)

0 • (0 0 ) •V V Vu u= +

(2 )

0 (0 • ) 0 • 0 •V V Vu u u+ = +

(3)

0 0 •V u=

Referencias:

(1) 0V es el neutro para la suma en V.

(2) 0 es el neutro para la suma en R y por Ax.2.

(3) Porque en el grupo (R, +) vale la ley cancelativa.

Q.E.D.

Proposición 3


, ; • • •u v V u v u u v v∀ ∈ ≤ .


Unidad 4 3

Conocida como la Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Demostración

� Si Vv 0= , se tiene que • 0u v= y • 0v v= de modo que se satisface la igualdad

• • •u v u u v v= .

� Supongamos que Vv 0≠ . Cualesquiera sean los escalares a, b ∈ R, es Vbvau ∈+ , y por

definición de producto interior

0 ( ) • ( )au bv au bv≤ + + .

Desarrollando el segundo miembro

2 20 ( • ) 2 ( • ) ( • )a u u ab u v b v v≤ + + (α)

como la desigualdad (α) vale cualesquiera sean los escalares a, b ∈ R, en particular sigue valiendo si se toma

• ( • )a v v b u v= ∧ =−

Sustituyendo estos valores de a y b en (α) y efectuando las operaciones indicadas se obtiene:

2 2 20 ( • ) ( • ) 2( • )( • ) ( • ) ( • )v v u u v v u v u v v v≤ − +

luego

2 20 ( • ) ( • ) ( • )( • )v v u u v v u v≤ − (β)

multiplicando en ambos miembros de la desigualdad ( β) por 1

v vi ya que v es no nulo, resulta

20 ( • )( • ) ( • )v v u u u v≤ − .

ahora, sumando en ambos miembros de la desigualdad 2( • )u v , se obtiene

2( • ) ( • )( • )u v v v u u≤

aplicando raíz cuadrada en ambos miembros de la desigualdad resulta,

2( • ) ( • )( • )u v v v u u≤ .

Por propiedad de valor absoluto y como los radicandos del segundo miembro son no negativos se tiene,

• • •u v v v u u≤

o bien

• • •u v u u v v≤

Q.E.D.


Unidad 4 4

NORMA Definición 4

Sea V un espacio vectorial euclídeo, y sea la función “doble barra”

:

V R

u u

→

֏

La función es una norma si y sólo si verifica los siguientes axiomas:

Ax.1. ; 0u V u∀ ∈ ≥ ∧

0 0u uv

= ⇔ =

Ax.2. , ; a R u V au a u∀ ∈ ∀ ∈ =

Ax.3. , ; u v V u v u v∀ ∈ + ≤ + . Conocida como desigualdad triangular.

ESPACIO VECTORIAL NORMADO

Definición 5

Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial en el que se encuentra definida una norma.

Nota

Todo espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial normado, ya que la norma es inducida por el producto interior definido en V como veremos ahora.

NORMA INDUCIDA POR UN PRODUCTO INTERIOR

Proposición 4

Sea V un espacio vectorial euclídeo, la función definida por

:

•def

V R

u u u u

→

=֏

es una norma.

Demostración

En efecto,

i) ; 0u V u∀ ∈ ≥ ∧ 0 0Vu u= ⇔ =

� Cualquiera que sea u V∈ , se satisface que • 0u u≥ , en consecuencia • 0u u≥ y

como •u u u= , resulta que 0u ≥ .


Unidad 4 5

� 0Vu= ⇔ • 0u u= ⇔ • 0u u= ⇔ 0u = .

ii) , ; a R u V au a u∀ ∈ ∀ ∈ =

( ) ( )2 2

(1) (2) (3) (4) (5)• • • • au au au a u au a u u a u u a u= = = = =

Referencias:

(1) Por definición de norma de un vector ().

(2) Por Ax. 3 de producto interior.

(3) Por proposición 1.

(4) Por distributividad de la radicación respecto al producto de números reales no negativos.

(5) Por propiedad de valor absoluto de números reales y por definición de norma de un vector.

iii) , ; u v V u v u v∀ ∈ + ≤ +

En efecto,

( )

2

(1) (2)

2 2 2 2

(3) (4)

22 2

(6)(5)

( ) • ( ) • 2( • ) •

2( • ) 2 •

2

u v u v u v u u u v v v

u u v v u u v v

u u v v u v

+ = + + = + + =

= + + ≤ + + ≤

≤ + + = +

tomando el primer miembro y el último miembro de la desigualdad se tiene,

( )22

u v u v+ ≤ +

aplicando raíz cuadrada en ambos miembros, y como ambos radicandos son potencias de bases no negativas, resulta

vuvu +≤+ .

Referencias:

(1) Por definición de norma de un vector.

(2) Por la distributividad del producto interior (i ) respecto de la suma de vectores (+).

(3) Por definición de norma de un vector.

(4) Por propiedad de valor absoluto (todo número real es menor o igual que su valor absoluto).

(5) Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

(6) Por definición de trinomio cuadrado perfecto.

Q.E.D.


Unidad 4 6

Ejemplos

En el espacio vectorial euclídeo nR , con n ∈ N y donde el producto interior es el producto escalar,

si ( )1 2, , , nnu x x x R= … ∈ , entonces la norma de u está dada por :

2 2 2 21 2

1

•n

n ii

u u u x x x x=

= = + + + = ∑⋯

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA NORMA DE UN VECTOR EN EL ESPACIO EUCLÍDEO R 2

Ejemplo

En el espacio vectorial euclídeo 2R donde el producto interior considerado es el producto escalar. Si ( ) 2R∈= bau , , entonces la norma de u inducida por el producto escalar viene dada por

2 2 •u u u a b= = +

Geométricamente, es evidente que la norma del vector u es la longitud del vector u.

Nota: La longitud del vector u suele nombrarse como “ el módulo del vector u”

PARALELISMO Definición 6

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sean FVvu ∈, con VV vu 0,0 ≠≠ .

El vector u es paralelo al vector v si y sólo si existe un escalar no nulo c tal que u=cv.

En símbolos,

|| 0 : def

u v c F c u cv⇔ ∃ ∈ ∧ ≠ =


Unidad 4 7

Ejemplo

Sea el espacio vectorial real R2 y sean ( ) 1, 2u= − y ( ) 2,4v= − vectores de R2. Es claro que u es

paralelo al vector v pues,

{ }1 1

0 : (1, 2) ( 2,4)2 2

c∃ =− ∈ − − =− −R

Notas

1.- El paralelismo de vectores es una relación de equivalencia, es decir que es:

� Reflexiva: “todo vector es paralelo a sí mismo”

� Simétrica: “si un vector u es paralelo a otro vector v entonces el vector v es paralelo al vector u”

� Transitiva: “si un vector u es paralelo a un vector v y éste es paralelo a un vector w, entonces el vector u es paralelo al vector w”.

2.- Cuando un vector u sea paralelo a un vector v, diremos simplemente que “ u y v son paralelos”, esto se debe a que el paralelismo de vectores es una relación simétrica.

3.- Decir que “dos vectores son paralelos” equivale a decir que “uno cualquiera de ellos es combinación lineal del otro” o bien que “uno cualquiera de ellos es un múltiplo escalar del otro”

ORTOGONALIDAD

Definición 7

Sea V un espacio vectorial euclídeo y sean u, v vectores no nulos de V. Diremos que u es ortogonal a v si y sólo si el producto interior de u y v es igual a cero.

En símbolos:

• 0 def

u v u v⊥ ⇔ =

Convención

Como ; • 0 0 • 0V Vu V u u∀ ∈ = = , convenimos en que “el vector nulo V0 es ortogonal a todo

vector de V”.

Ejemplo

Sea el espacio vectorial euclídeo R2, donde el producto interior es el producto escalar. Sean los vectores ( ) ( )1, 2 , 2, 1u v= = − . Es claro que u y v son ortogonales, pues

u •v =(1, 2) • ( 2, 1) 2 2 0− =− + =

En la siguiente figura se observa que u y v son ortogonales, es decir que la medida del ángulo que

forman es 2

π


Unidad 4 8

Nota

La ortogonalidad de vectores es una relación simétrica. Por lo tanto cuando un vector u sea ortogonal a un vector v, diremos simplemente que “u y v son ortogonales”.

Definición 8

Sea V un espacio vectorial normado. Un vector u ∈ V es unitario si y sólo si la norma de u es igual a 1.

VERSOR DE UN VECTOR Definición 9

Sea V un espacio vectorial normado y sea u un vector no nulo de V . Se llama versor del vector u

al vector uu

1.

PROPIEDADES DEL VERSOR DE UN VECTOR

Sea V un espacio vectorial normado y sea u un vector no nulo de V . El versor del vector no nulo u tiene las siguientes propiedades:

i) Es unitario. En efecto,

1

1

1

1 === u

uu

uu

u

ii) Es paralelo al vector u, puesto que es una combinación lineal de éste, es decir es un múltiplo escalar del vector u.


Unidad 4 9

x

y

z

Ejemplo

Sea el espacio vectorial euclídeo R3, donde el producto interior es el producto escalar.

El vector 3 4

, , 05 5

− es el versor del vector u = (3,−4, 0 ) ∈ R3.

El vector 1 1 1

, , 3 3 3

− es el versor del vector u = (1, −1, 1) ∈ R3.

Ejemplo

Sea el espacio vectorial euclídeo Rn, con el producto escalar. Y sea la base canónica { }nE E EB ,,, 21 …= del espacio vectorial Rn, donde

1 2(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), , (0, 0, ..., 1)nE E E= = … = .

Es fácil probar que, cualquiera sea n ∈ N, la base B goza de las siguientes propiedades

i) los vectores de B son unitarios, es decir ∀ i = 1, 2, …, n ; E i = 1

ii) los vectores distintos de B son ortogonales entre sí, es decir Ei • Ej = 0, si i≠ j

Nota

A los vectores de la base canónica de Rn se les llama “versores fundamentales”.

Ejemplo

En el espacio vectorial euclídeo R3 los versores fundamentales son

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y se los suele designar con i�

, j�

y k�

respectivamente, esto es,

i�

= (1, 0, 0), j�

= (0, 1, 0) y k�

= (0, 0, 1)

Los vectores i�

, j�

y k�

constituyen un sistema muy importante de vectores unitarios, que tienen por direcciones las correspondientes a los ejes (en su dirección positiva) del sistema de coordenadas cartesianas ortogonales en el espacio tridimensional R3.


Unidad 4 10

Todo vector ( ) 3, ,x y z R∈ se puede expresar como

( ), , (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) x y z x y z x i y j z k= + + = + +� � �

MÉTRICA Definición 10

Sea E un conjunto no vacío. Y sea la función:

( ) ( )

:

, ,

d E E R

x y d x y

× →

֏

La función d es una métrica si y sólo si verifica los siguientes axiomas:

I. ( ) , ; , 0x y E d x y∀ ∈ ≥

II. ( ) , ; , 0 x y E d x y x y∀ ∈ = ⇔ =

III. ( ) ( ) , ; , ,x y E d x y d y x∀ ∈ =

IV. ( ) ( ) ( ) , , ; , , ,x y z E d x y d x z d y z∀ ∈ ≤ +

Definición 11

Todo conjunto no vacío E, donde está definida una métrica d se denomina Espacio Métrico y se

denota con el par (E, d) y el símbolo d(x, y) se lee “distancia de x a y”.

Notas

1.- Todo espacio vectorial normado es un espacio vectorial métrico.

2.- La función distancia es una relación simétrica por el Axioma III. Es por eso que, en vez de decir “d(x, y) es la distancia de x a y” diremos simplemente que “d(x, y) es la distancia entre x e y”.

MÉTRICA INDUCIDA POR LA NORMA

Sea V un espacio vectorial normado. Si se define:

( ) ( )

:

, ,def

d V V R

u v d u v v u

× →

= −֏

Es fácil ver que la función d cumple todos los axiomas de métrica, luego d es la métrica inducida por la norma, y d(u,v) es la distancia entre los vectores u y v.


Unidad 4 11

Ejemplo

En el espacio vectorial euclídeo nR , en donde el producto interior es el producto escalar y la norma es la inducida por el producto escalar. La métrica inducida por la norma es la función

d: R n × Rn → R definida por

( )∑=

−=−=n

iii xyuvvud

1

2),(

donde ( ) ( )1 2 1 2, , , , , , , nn nu x x x v y y y R= … = … ∈ .

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DISTANCIA EN EL ESPACIO EUCLÍDEO R2

La distancia entre u y v es la longitud del vector v – u.

Ejemplos

a) Sea el espacio vectorial euclídeo R2, donde el producto interior es el producto escalar. Sean ( )1 ,3 =u y ( )4 ,1 =v vectores de R2. Entonces la distancia del vector u al vector v se calcula

como sigue:

( ) ( ), 2, 3 4 9 13d u v v u= − = − = + = .

b) Sea el espacio vectorial euclídeo R3, donde el producto interior es el producto escalar. Sean u = (1, -2, 1) y v = (4, 2, 1) vectores de R3. Entonces la distancia del vector u al vector v es,

( ) ( ), 3, 4, 0 9 16 25 5d u v v u= − = = + = =

ÁNGULO ENTRE VECTORES

Proposición 4

Sea V un espacio vectorial euclídeo y sean u, v vectores no nulos de V. Entonces existe y es único [ ]πα ,0∈ tal que:

•

cos

u v

u vα =

Demostración

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

u v

v − u

Y

X


Unidad 4 12

, ; • u v V u v u v∀ ∈ ≤

en particular,

{ }

{ }

{ }

(1)

(2)

(3)

, 0 ; •

, 0 ; •

• , 0 ;

,

V

V

V

u v V u v u v

u v V u v u v u v

u v u vu vu v V

u v u v u v

u v V

∀ ∈ − ≤ ⇒

⇒ ∀ ∈ − − ≤ ≤ ⇒

⇒ ∀ ∈ − − ≤ ≤ ⇒

⇒ ∀ ∈ −{ }•

0 ; 1 1 V

u v

u v− ≤ ≤

llamando •

u vk

u v=

se tiene 1 1k− ≤ ≤ .

Se observa entonces que, cualesquiera sean 0 0V Vu v≠ ∧ ≠ , el número •

u vk

u v= conseguido

en base a estos vectores es un número real perteneciente al intervalo [-1, 1].

Por lo tanto, dado k ∈ [-1, 1], existe un número tal que cosR kα ∈ = α .

Y como la función coseno en el intervalo [ ]π,0 es inyectiva, como podemos ver en la gráfica


Unidad 4 13

y

x

Se puede asegurar que, dado k ∈ [-1, 1], existe un único [ ]0, tal que cos kα ∈ π α = .

Con esto, se ha probado que

{ }•

, 0 ; ! [0, ] : cos V

u vu v V

u v∀ ∈ − ∃ α ∈ π α =

Referencias:

(1) Por propiedad de valor absoluto.

(2) Multiplicando en cada miembro por 1

u v. Esto se puede hacer porque 0u v ≠ , pues u ≠0V ∧

v≠0V.

(3) Simplificando en ambos miembros

Q.E.D.

Definición 12

Se denomina “el ángulo entre los vectores u y v” al único número real •

[0, ] : cos

u v

u vα ∈ π α = .

DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN VECTORES ORTOGONALES

Sea el espacio vectorial euclídeo Rn. Sea la base canónica { }nE E EB ,,, 21 …= del espacio vectorial

Rn, donde

1 2(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), , (0, 0, ..., 1)nE E E= = … = .

Si ( )∈= naaau , , , 21 … Rn entonces el vector u se puede expresar como una única combinación

lineal de vectores de la base canónica B, en la que las coordenadas de u son sus respectivas componentes, esto es

u = a1 E1 + a2E2 + … + an En

En el caso en que


Unidad 4 14

∀ i ∈ {1, 2, …, n}; ai ≠ 0,

se verifica entonces ∀ i ≠ j; (ai Ei) • ( aj Ej) = 0

de aquí se puede decir que “todo vector ( )∈= naaau , , , 21 … Rn, (con ai ≠ 0, ∀i) se puede

descomponer como suma de vectores ortogonales entre sí”

Ejemplo

En el espacio vectorial euclídeo R3 consideremos la base canónica

B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Sea un vector no nulo u = (a1, a2, a3) ∈ R3. Expresamos a u en términos de la base canónica del siguiente modo

u = (a1, a2, a3) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) + a3 (0, 0, 1)

recordando que los versores fundamentales de la base canónica son designados por

→i = (1, 0, 0),

→j = (0, 1, 0), y

→k = (0, 0, 1)

por lo que también es usual expresar al vector u de esta otra manera

u = (a1, a2, a3) = 1 2 3 a i a j a k→ → →

+ +

y

z

u

a2 j

a1 i

a3k

x


Unidad 4 15

ÁNGULOS Y COSENOS DIRECTORES

Definición 13

Sea el espacio vectorial euclídeo Rn. Sea la base canónica { }nEEEB , , , 21 …= del espacio vectorial

Rn, donde

1 2(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), , (0, 0, ..., 1)nE E E= = … = .

Sea un vector no nulo ( )∈= naaau , , , 21 … Rn. Llamaremos ángulos directores del vector u a los

ángulos n ααα ,,, 21 … entre u y cada uno de los versores fundamentales nEEE , , , 21 …

respectivamente.

Además a los números reales cos α1, cos α2 , … , cos αn les llamaremos cosenos directores del vector u.

Buscaremos una expresión que nos permita calcular los cosenos directores de un vector no nulo de Rn en forma inmediata.

Supongamos que ( )naaau , , , 21 …= es un vector no nulo de Rn. Llamemos

1α al ángulo entre u y E1

2α al ángulo entre u y E2

…

nα al ángulo entre u y En

De acuerdo con la definición de ángulo entre dos vectores, se satisface

1 11 1 1

1

2 22 2 2

2

•cos cos

•cos cos

•cos cos

n n

n n nn

u E aa u

u E u

u E aa u

u E u

u E aa u

u E u

α = = ⇒ = α

α = = ⇒ = α

α = = ⇒ = α

⋮

Luego

1 2 1 2( , ,..., ) (cos ,cos ,...,cos )n nu a a a u= = α α α .


Unidad 4 16

Observación

Todo vector unitario de Rn tiene como componentes a sus cosenos directores. En efecto,

si el vector ( )naaau , , , 21 …= ∈ Rn es unitario, es decir 1u = entonces

1 2 1 2( , ,..., ) (cos ,cos ,...,cos )n nu a a a= = α α α

es decir que

1 1 2 2cos , cos , ... , cosn na a a= α = α = α ,

Ejemplo

En 3R se tiene ( ), ,u a b c= , sus ángulos directores son 1 2 3, , α α α .

Ejercicio

Determine los ángulos directores del vector u = (1, 0, -1) perteneciente al espacio euclídeo R3

Proposición 5

Sea el espacio vectorial nR con el producto escalar y sean 1 2, , , nα α … α ángulos directores de un

vector no nulo ( )naaau , , , 21 …= . Entonces se verifica que

∑=

=n

ii

1

2 1cos α

Demostración

Si ( )naaau , , , 21 …= , y 1 2, , , nα α … α sus ángulos directores, entonces

x

y

z

v

b

a

c


Unidad 4 17

2 2 2 21 2cos cos cos ... cos

1i n

n

iα = α + α + + α∑

=.

por el resultado anterior

11

22

cos

cos

cos nn

a

u

a

u

a

u

α =

α =

α =

⋮

Se tiene entonces

2 2 2 22 22 1 21 2

2 2 2 21

...cos ...

nn n

ii

a a a aa a

u u u u=

+ + +α = + + + =∑

Por definición de norma

2

22

1cos

n

ii

u

u=

α =∑

luego

2

1cos 1

n

ii=

α =∑ .

Q.E.D.

La relación Pitagórica como caso particular de la proposición 5

En 2R , sea ( )21, a av = . Y sean 21,αα sus ángulos directores, entonces según la proposición 5:

2 21 2cos cos 1α + α = . 1


Unidad 4 18

pero cualquiera sea 2Rv∈ , si los ángulos directores son complementarios, es decir si

1 2 2

πα + α =

se verifica

12

21

sencos

sencos

αααα

==

y remplazando en 1, se tiene

1cossen 12

12 =+ αα

1cossen 22

22 =+ αα

Comprobamos con esto, que de la propiedad ∑=

=n

ii

1

2 1cos α , se puede deducir la conocida Identidad

Pitagórica

1cossen 22 =+ αα .

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO VECTOR

Definición 14

Sea V un espacio vectorial euclídeo, y sean u y v dos vectores de V con v no nulo. La proyección de u sobre v se define como el vector

2

•proy

def

v

u vu v

v=

Propiedades

I. vuproyv || .

II. uproyv tiene el mismo sentido de v si • 0u v> .

III. uproyv tiene sentido contario de v si • 0u v< .

y

x


Unidad 4 19

IV. uproyv es el vector nulo si • 0u v= , es decir si vu ⊥ .

V. w u proy uv

= − es ortogonal a v.

Ejercicio demuestre la Propiedad V precedente.

Vizualización del concepto

Sea el espacio vectorial euclídeo 2R y sean u y v dos vectores no nulos de 2R

Ejercicio

Determine la proyección del vector u = (2, 3) sobre el vector v = (1, 1) de R2 y grafique.

CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES

Definición 15

Sea V un espacio vectorial euclídeo y sea S V S⊂ ∧ ≠∅ .

Diremos que S es un conjunto ortogonal de vectores si y sólo si sus vectores son mutuamente ortogonales. En símbolos,

es ortogonal • 0S i j u ui j

⇔ ≠ ⇒ = ,

Ejercicio

Verifique que el conjunto S = {(-1,1), (1, 1)} es un conjunto ortogonal de R2 con el producto escalar.

y

x


Unidad 4 20

CONJUNTO ORTONORMAL DE VECTORES

Definición 16

Sea V un espacio vectorial euclídeo y sea S V S⊂ ∧ ≠∅ .

Diremos que S es un conjunto ortonormal de vectores si y sólo si sus vectores son mutuamente ortogonales y unitarios.

En símbolos

• 0 es ortonormal

1, 2, , : 1i j

i

i j u uS

i n u

≠ ⇒ =⇔∀ = … =

Ejemplo

La base canónica del espacio vectorial euclídeo 3( ,•)R , es un conjunto ortonormal.

COMPLEMENTO ORTOGONAL

Definición 17

Sea V un espacio vectorial euclídeo y sea S un subespacio vectorial de V. Llamaremos complemento ortogonal de S al conjunto:

{ }/ • 0, S v V v u u S⊥ = ∈ = ∈

Propiedades

El complemento ortogonal es un subespacio vectorial de V. En símbolos

VS ≺⊥ .

Es decir

I. S V⊥ ⊂

II. S⊥ ≠∅

III. 1 2 1 2,v v S v v S⊥ ⊥∈ ⇒ + ∈

IV. , a F v S a v S⊥ ⊥∈ ∈ ⇒ ∈

La demostración queda para el estudiante.

NORMALIZACIÓN DE UN CONJUNTO ORTOGONAL

Sea { }nu u uS ,,, 21 …= un conjunto ortogonal de vectores no nulos. Entonces el conjunto

1 21 2

1 1 1, , , n

n

u u uu u u

…


Unidad 4 21

Es un conjunto ortogonal y sus vectores son unitarios por ser versores de los vectores de S; luego es un conjunto ortonormal.

Proposición 6 Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente.

Demostración

Sea S V S⊂ ∧ ≠∅ , y S es un conjunto ortogonal de vectores no nulos.

Supongamos

)(con 01

SuFaua iiV

n

iii ∈∧∈=∑

=

es decir

1 1 2 2 0n n Va u a u a u+ + …+ =

� Operando con el producto interior en ambos miembros con 1

u

1 1 2 2 1 1( ) • 0 • n n Va u a u a u u u+ + …+ = ⇒

1 1 1 2 2 1 1(1)

( ) • ( ) • ( ) • 0 n na u u a u u a u u⇒ + + …+ = ⇒

� �1 1 1 2 2 1 1(2)

0 0

( • ) ( • ) ( • ) 0n na u u a u u a u u= =

⇒ + + …+ = ⇒

�1 1 1 1

(3)0

0

( • ) 0 0V

a u u a≠

≠

⇒ = ⇒ =

��

Referencias:

(1) Por Ax.2 de producto interior.



� Operando con el producto interior en ambos miembros con 2u

� �

�

1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 2 2 2(1)

1 1 2 2 2 2 2(2)

2 2 2 2(3)

( ) • 0 •

( ) • ( ) • ( ) • 0

( • ) ( • ) ( • ) 0

0 0

( • ) 0 0

0

0

n n V

n n

n n

V

a u a u a u u u

a u u a u u a u u

a u u a u u a u u

a u u a

+ + …+ = ⇒

⇒ + + …+ = ⇒

⇒ + + …+ = ⇒

= =

⇒ = ⇒ =

≠

≠��


Unidad 4 22

Referencias:




Se procede de manera análoga hasta llegar al último vector un

� Operando con el producto interior en ambos miembros con nu

�

�

2

1 1 2 2

1 2 2(1)

1 1 2(2)

(3)

( ) • 0 •

( ) • ( ) • ( ) • 0 1

( • ) ( • ) ( • ) 0

0 0 ( • ) 0 0

0

0

n

n

n n n V n

n n n n

n n n n

n n n n

V

a u a u a u u u

a u u a u u a u u

a u u a u u a u u

a u u a

+ + …+ = ⇒

⇒ + + …+ = ⇒

⇒ + + …+ = ⇒

= =

⇒ = ⇒ =

≠

≠

��

��

Por lo tanto el conjunto S es linealmente independiente.

Referencias: (1) Por Ax.2 de producto interior. (2) Por Ax.3 de producto interior. (3) Por Ax.4 de producto interior. Q.E.D.

Otra forma de realizar la demostración es la siguiente

Sea

1 21 2 ... 0i i n n Va u a u a u a u+ + …+ + + =

En forma general operando con el producto interior en ambos miembros con iu , 1,..., ;i n∀ =

tenemos

1 1 2 2

1 1 2 2(1)

1,..., ; ( ... ) • 0 •

1,..., ; ( ) • ( ) • ( ) • ... ( ) • 0

i i n n i V i

i i i i i n n i

i n a u a u a u a u u u

i n a u u a u u a u u a u u

∀ = + + …+ + + = ⇒

⇒ ∀ = + + …+ + + = ⇒

1 1 2 2(2)

1,..., ; ( • ) ( • ) ( • ) ... ( • ) 0 i i i i i n n ii n a u u a u u a u u a u u⇒∀ = + + …+ + + = ⇒

�(3) 1,..., ; ( • ) 0

0

0

i i i

V

i n a u u⇒ ∀ = =

≠

≠��

luego


Unidad 4 23

0; 1,...,ia i n= ∀ = .

en consecuencia el conjunto S es linealmente independiente.

Referencias:

(1) Por Ax.2 de producto interior. (2) Por Ax.3 de producto interior. (3) Por Ax.4 de producto interior.

Q.E.D.

ORTONORMALIZACIÓN DE UNA BASE

Teorema

Todo espacio vectorial real V{ }V0 ≠ con producto interior y de dimensión finita n (con n 2 ≥ ),

admite una base ortonormal.

Demostración

Sabemos que todo espacio vectorial V { }V0 ≠ admite al menos una base, por lo tanto podemos

tomar una base cualquiera de V.

Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base de V.

A partir de esta base construiremos vectores w1, w2, . . . , wn empleando el conocido Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt, del siguiente modo:

1 1 w v=

2 12 2 12

1

v ww v w

w= −

i

13 3 23 3 1 22 2

1 2

• v w v w

w v w ww w

= − −i

.

.

.

1 2 11 2 12 2

2 11

• • • ...

2n n n n

n n n

n

v w v w v ww v w w w

w ww

−−

−

= − − − −

Es decir

, ... 2, 1, i ; n =∀ -1

2 1

•

ii j

i i jj

j

v ww v w

w=

= − ∑ (α)

Sea C el conjunto formado por esos vectores, esto es

C = {w1, w2, . . . , wn}.


Unidad 4 24

Probaremos que el conjunto C es un conjunto ortogonal de vectores no nulos.

En efecto, todos los vectores de C son no nulos, es decir

1, 2, . . . , ;i n ∀ = wi ≠ 0v. (β)

Esto es así ya que por el contrario, si existe { 1, 2, . . . , }i n∈ tal que wi = 0v, entonces

reemplazando en (α) y luego despejando vi se tiene

es decir, vi es combinación lineal de los anteriores vectores v1, v2, . . . , vi-1 de la base dada B , y esto es una contradicción, ya que ningún vector de B puede ser combinación lineal de los restantes, puesto que B es linealmente independiente. Luego la proposición (β) resulta es verdadera.

Ahora, probaremos que cada vector de C es ortogonal a los anteriores vectores. Es decir, probaremos que es verdadera la siguiente proposición:

∀ m ∈ N ∧ m ≥ 2 ; wm es ortogonal a wj con j = 1, 2, … , m-1 (δ)

Para ello emplearemos el Principio de Inducción Matemática.

i) Si m = 2, entonces

w2 i w1 = 2 12 12

1

v wv w

w

−

i i w1 =

2

2 11 1 12

1

( ) ( )

v wv w w w

w−

ii i = 0

es decir la proposición (δ) es verdadera para m = 2

ii) Demostraremos ahora que: si la proposición (δ) es verdadera para m = k, entonces la proposición (δ) es verdadera para m = k +1.

Supongamos que wk es ortogonal a wj, con j = 1, 2, … , k-1, esto es lo mismo que decir

wk � wj = 0 , ∀ j = 1, 2, … , k-1

Tenemos que probar que wk+1 es ortogonal a wj con j = 1, 2, … , k

-1

1

2

ii j

i jj

j

v wv w

w=

= ∑i


Unidad 4 25

11 1 2

1

11 1 2

1

• • (1)

• ( ) ( • ) (2)

kk h

k j k h jh

h

kk h

k j k j h jh

h

v ww w v w w

w

v ww w v w w w

w

++ +

=

++ +

=

= − ∑

= − ∑

i

ii

11 1 2

1 1 1

• • ( • ) ( • ) (3)

• ( • ) ( • ) (

k jk j k j j j

j

k j k j k j

v ww w v w w w

w

w w v w v w

+

+ +

+ + +

= −

= −

1

4)

• 0k jw w+ =

Referencias

(1) Teniendo en cuanta la construcción de los vectores dada en (α)

(2) Por la distributividad del producto interior respecto a la resta de vectores

Por la distributividad del producto interior respecto a la suma finita de vectores

Por axioma de producto interior

(3) Como j y h son tales que 1 ≤ j ≤ k ∧ 1 ≤ h ≤ k, entonces por hipótesis inductiva se tiene que ( • )h jw w = 0 si h ≠ j. Además ( • )h jw w ≠ 0 si h = j

ya que todos los vectores los vectores son no nulos.

(4) Por definición de norma de un vector

Por lo tanto, hemos probado que C = {w1, w2, . . . , wn} es un conjunto ortogonal de vectores no nulos.

Ahora bien, teniendo en cuenta que “Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente” resulta que C es linealmente independiente, además C tiene n vectores del espacio V (con dim V = n) por lo tanto C es una base ortogonal de V.

Finalmente, si se normaliza la base ortogonal C , es decir si se toma el versor de cada vector de C se obtiene el conjunto

1 21 2

1 1 1 , , . .. , n

n

w w ww w w

el cuál es una base ortonormal de V.

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