Segunda edicinii ISBN 968-9161-17-2 en lnea ISBN 968-9161-18-0 en papel ISBN 968-9161-19-9 en CD

iiiPrologoAl iniciarseel sigloXXI, escadavezmayorlacantidadycalidaddematerial quedebendominar los estudiantes deMatematicas anivel delicenciatura,independientementedesusplanesafuturo.Estoesparticu-larmente cierto en lo que respecta al algebra.El presente libro intenta cubrir ese material agrupado en cinco captuloscorrespondientes a grupos, anillos, teora de Galois, algebra lineal y temascomplementarios. La situacion ideal para quien aspire a adquirir una solidabase algebraica, paradespues completar estudios de postgrado, es quededique un semestre a cada uno de los primeros cuatro captulos del libro,de manera que tenga tiempo de adquirir el lenguaje, digerir los metodos yresultados aqu presentados; as comodeinteractuar conlos problemasenunciados. Tambienes posible dise nar cursos parauna node algebrabasandose en este libro; tal vez omitiendo algunas secciones.El quinto captulo puede ser usado como fuente para exposiciones de losalumnos o para lecturas adicionales.Esteesunproyectoambicioso, querequieredebastantetrabajotantodel alumno como del profesor. Por otro lado, cada vez hay mas alumnos yprofesores competentes capaces de cubrir el material aqu incluido.El autor conesa su mala intencion de poner directamente en manos dealumnos destacados, ideas y retos que sus profesores de licenciatura tal vezno quieran darles.El nombre del libro, Algebra Clasica, concuerda con el criterio usado parala eleccion de los temas a tratar y de su profundidad. El mayor prerequisitopara su comprension, es el interes por el tema, junto con un curso previode algebra lineal elemental.Para esta segunda edicion, se corrigieron m ultiples errores, se agregaronejercicios al captulo 5 y se escribio una nueva demostracion del Teoremade Frobenius que clasica los anillos de division reales.Jose Antonio Vargas M.CIIDIR-Oaxaca, IPNOaxaca, Oax. MexicoNoviembre, 2009ivContenido1 Grupos 11.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Deniciones y Primeros Resultados . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Morsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Conjugacion y Automorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Acciones de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 El Grupo Simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Productos Directos y Semidirectos . . . . . . . . . . . . . . 251.9 Solubilidad y Nilpotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.10Teoremas de Sylow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.11Series de Composicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.12Generadores y Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.13Grupos Abelianos Finitamente Generados . . . . . . . . . . 411.14Ejercicios Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 Anillos 492.1 Deniciones y Primeros Resultados . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Funciones Aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3 Morsmos e Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4 Anillos Conmutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5 Localizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.6 Anillos Euclideanos, Principales y de FactorizacionUnica . 642.7 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.8 Polinomios Simetricos, Resultante y Discriminante . . . . . 792.9 Modulos y Anillos Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . 842.10Series Formales de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.11Ejercicios Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Contenido v3 CamposyTeoradeGalois 933.1 Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2 Cerradura Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3 Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.4 Separabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.5 Teora de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.6 Campos Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.7 Campos Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.8 Extensiones Ciclotomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.9 Extensiones Cclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.10Solubilidad con Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.11Constructibilidad con Regla y Compas . . . . . . . . . . . . 1443.12Grupos de Galois sobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.13Ejercicios Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514 AlgebraLineal 1534.1 Modulos Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.2 Algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.4 Matrices sobre Dominios Principales . . . . . . . . . . . . . 1774.5 Modulos sobre Dominios Principales . . . . . . . . . . . . . 1814.6 Similaridad de Matrices sobre Campos . . . . . . . . . . . . 1854.7 La Descomposicion de Jordan-Chevalley . . . . . . . . . . . 1934.8 Conmutatividad de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.9 Formas Bilineales y Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . 2034.10Formas Alternas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.11Formas Hermitianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.12Ejercicios Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215 TemasComplementarios 2235.1 Teorema de la Base Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2235.2 Formas Bilineales sobre Campos Finitos . . . . . . . . . . . 2265.3 La Densidad de Jacobson y sus Consecuencias . . . . . . . . 2285.4 Semisimplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.5 Algebras de Cliord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2345.6 Teoremas de Frobenius y de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . 2415.7 Ejercicios Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2445.8 Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456 Erratadelaversionanterior 246Bibliografa 249IndiceAlfabetico 251Captulo 1Grupos1.1 PreliminaresEnestaseccionenunciamosciertaspropiedadesdelosenteros Zydelosenteros modulon que se necesitaran inmediatamente.Dadosa, b Z conb ,= 0, existenq, r Z cona = bq +r de manera que0 r < [b[. Este es el algoritmoeuclideano.Un n umero entero p > 1 es primo cuando solamente es divisible por 1y por p.Todoenteropositivodistintode1puedeescribirsecomoproductodepotencias positivas de primos. Esta expresion es unica, en el sentido de quen = pa11 parr= qb11 qbss,donde p1, ..., pr son primos distintos; y q1, ..., qs tambien son primos distin-tos conai, bj> 0 para todasi, j, implica quer = s y para cada 1 i rexiste 1 j s tal quejes unico,pi = qjyai = bj.Sedicequec >0esel maximocom undivisordemyn, escritoc = m.c.d.m, n cuando c divide a m (escrito c[m), c[n y (d[m, d[n d[c).Cuandom = pa11 parryn = pb11 pbrrconai, bj 0, entoncesm.c.d.m, n = pc11 pcrr,dondeci= mn ai, bi,paratodoi.Observamosquesiempreesposibleescribir dos n umeros positivos my n en esta forma, permitiendo que algunosexponentes sean cero.Sediceques>0esel mnimocom unm ultiplodemyn,cuandom[s,n[s y (m[r, n[r s[r). Esto se escribe as:s = m.c.m.m, n.Cuandom = pa11 parryn = pb11 pbrrconai, bj 0, entoncesm.c.m.m, n = pk11 pkrr,dondeki = max ai, bi, para todoi.Por lo anterior, (m.c.d.m, n)(m.c.m.m, n) = mn.Dos enterosa yb son primosrelativos cuando m.c.d.a, b = 1.2 1. GruposLosn umerosnaturales N = 0, 1, 2, ...estanbienordenados;loquequiere decir que satisfacen la siguiente condicion:Axioma1.1Todo subconjunto no vaco de N tiene un elemento mnimo.Usandoestapropiedad,tenemoslasiguientecaracterizaciondelm.c.d.de dos n umeros:Proposicion1.2El maximo com un divisor dem yn, ambos no iguales acero, es el mnimo elemento positivo del conjunto A = am+bn [ a, b Z.Demostracion: Aes claramentenovacopues contienea0. Ademas,tambien contiene elementos positivos. Seac el mnimo de ellos, de maneraque existena, b Z tales queam+bn = c.Por el algoritmoeuclideano, existenq, rZtales que m=cq +r,satisfaciendo 0 r < c; peror = mcq = (1 qa)m+ (qb)n A.Siendoc mnimo positivo, se obtiene quer = 0, es decir, quec[m. Simi-larmente,c[n. Por ultimo,d[m, d[n d[(am+bn) = c.Pasamos ahora a denir los enteros modulon:Fijamos 0 < n Z y denimos una relacion en Z as:a b n[(a b).Es inmediato que es reexiva, esto es, quea a para todaa Z; es simetrica:a b b a; es transitiva:a b, b c a c.Esto signica que es una relaciondeequivalencia, por lo que Z esla union disjunta de las clases de equivalencia, es decir, de los conjuntosm Z [m a = a +rn [r Z, que abreviamos as:a.Es com un escribira b (mod n) cuandoa b.Denimos operaciones en el conjunto de n elementos 0, 1, ..., n 1 as:a +b = a +b, a b = ab,que estan bien denidas como es facil ver. En esta forma, este conjunto conesas operaciones son los enterosmodulon, escritos Z/nZ.Ejercicios1. Dadosa, b Z conb ,= 0, demuestre quelos n umerosq, rtales quea=bq + rcon0 r< [b[, cuyaexistenciagarantizael algoritmoeuclideano, son unicos.1.2DenicionesyPrimerosResultados 32. SeaTunsubconjuntonovaco de Ztal quesi a, b T, entonces(a + b), (a b) T. DemuestrequeTconsistedelosm ultiplosdealg un enterom.3. Demuestre que todo entero positivo se puede escribir de manera unicacomo una suma de distintas potencias no negativas de 2.1.2 DenicionesyPrimerosResultadosUn grupo G es un conjunto equipado con una operacion (aqu escrita comomultiplicacion) tal que:1. a, b G ab G.2. a(bc) = (ab)c para todosa, b, c G.Esta propiedad se llama asociatividad.3. Existe un elemento 1 G tal quea1 = 1a = a para todaa G.4. Para todaa G, existeb G tal queab = ba = 1.Esinmediatoqueelelementocuyaexistenciagarantizalacondicion3es unico, pues si 1

satisface la condicion 3, se tiene que1 = 11

= 1

.Este elemento es la identidad deG.En vista de esta observacion, la condicion 4 tiene sentido; y ademas, dadoa, se tiene que el elementob de esa condicion es unico, pues si c tambienla satisface, entoncesab = ac = 1 b(ab) = b(ac) (ba)b = (ba)c b = c.En esta situacion, se escribeb = a1y se dice queb es el inverso dea.Es claro que (a1)1= a y que (ab)1= b1a1para todosa, b G.Cuando C es un conjunto nito, (C) denota el n umero de elementos deCy se llama el orden deC.Se dice que un grupo G es abeliano cuando ab = ba para todos a, b G.Ejemplos. Como ejemplos de grupos tenemos los siguientes, para los quejamos nuestra notacion.1. Los n umeros enteros Z ante la suma.2. Los n umeros racionales ante la suma.3. Los n umeros reales 1 ante la suma.4 1. Grupos4. Los n umeros complejos C ante la suma.5. Losenterosmodulonantelasuma, Z/nZ. Cuandoeliminamoslamultiplicaciondeesteconjunto, escribimosZnydecimosqueeselgrupocclico de ordenn.6. Dado un conjunto arbitrarioX, la coleccion de todas las biyeccionesf: X Xforma un grupo ante la operacion de composicion de fun-ciones, el grupo simetrico SX. En caso de que (X) = n, escribimosSn. Los elementos de estos grupos se llam an permutaciones.7. El conjunto de todas las matrices nn con coecientes en , resp. en1 o en C y determinante ,= 0 forma un grupo ante la multiplicacion dematrices, el grupo general lineal GLn(), resp. GLn(1) o GLn(C).8. El conjunto de todas las matrices nn con coecientes en , resp. en1 o en C y determinante 1 forma un grupo ante la multiplicacion dematrices, el grupo especial lineal SLn(), resp. SLn(1) o SLn(C).9. Por otra parte, los n umeros naturales N no son un grupo ni ante lasuma ni ante la multiplicacion.Dados ungrupo Gyunsubconjunto HG, sediceque Hes unsubgrupodeGcuandoHesungrupoantelamismaoperaciondeG.Esto lo escribimos as:H< G.Ejemplo.SLn< GLnsobre cualquier campo como , 1 o C.Para subconjuntos arbitrariosA, B G, denimos los conjuntosA1= a1[a A yAB = ab [a A, b B.Proposicion1.3Si ,= H G, entonces las siguientes condiciones sonequivalentes:a)H< G.b)HH Hy H1 H.c)HH1 H.Demostracion:a) b) yb) c) son claras. Veamos quec) a):Comoexisteh H, setieneque1=hh1Hyqueporlotantoa H a1=1a1H. Finalmente, tenemosquea, b H ab=a(b1)1 H.Observacion. Si Hesnito, entonceslacondicionH1Hdeb)esredundante, es decir, HH H H1 H, pues dado h H se tiene quehH H y tambien (hH) = (H) hH = H. Por tanto existe k H conhk =h, as k = 1 y tambien existej Hconhj= 1; peroh1=j Hen ese caso.Teorema1.4(Lagrange)Si GesungruponitoyHesunsubgrupo,entonces (H) [ (G).1.2DenicionesyPrimerosResultados 5Demostracion: Toda clase lateral derecha xH de H tiene (H) elemen-tos. Si xh1 = yh2 xHyH con h1, h2 H, entonces y1x = h2h11 H,por lo quexH=y(y1x)H=yH. Se ve entonces que las clases lateralesdistintas son disjuntas. Si hayn de ellas, se tiene quen((H)) = (G).El ndicedeHenG, escrito[G: H] esel n umerodeclaseslateralesdeHenG. CuandoG es nito, [G : H] = (G)/ (H), ver el Ejercicio 2,pagina 8.Si Hi es una coleccion de subgrupos deG parai I, entonces clara-mente (

iI Hi) < G. Mientras que dado un subconjuntoA G, se tieneque la interseccion de todas las Htales que A H< G es un subgrupo deG, escrito A) y llamado el subgrupogeneradoporA.Se dice que un grupoG es cclico cuando existe un elementoa G talqueG = a). Es claro queZn es cclico y de ordenn. Usando la asociativi-dad, tambien es claro que todo grupo cclico es abeliano.Corolario1.5Si Gesungruponitodeordenn,entoncesan= 1paratodaa G.Demostracion: Dado1 ,=a G, seaH= a). ClaramentesevequeH= 1, a, a2, ..., am1, donde mes el mnimoenteropositivotal queam= 1. As, (H) = m,m[n por el Teorema de Lagrange yan= 1.Denimos el orden de un elemento a G como el orden de a), escrito(a).Lafuncion : N NdeEulerquedadenidapor(1) = 1yparan>1por(n)=n umerodeenterospositivosmenoresquenyprimosrelativos an. Por ejemplo, sip es primo,(pm) = pmpm1.Corolario1.6(Euler) Sia yn son primos relativos, conn positivo, en-toncesa(n) 1 (mod n).Demostracion: Observemos primero que si a y n son enteros primos rela-tivos, entonces a+kn y n tambien lo son, para todo k Z. De manera quetiene sentido considerar a los elementos de Z/nZ = 0, 1, ..., n 1 que sonprimos con respecto an. Este conjuntoHforma un grupo multiplicativodeorden(n),puesHH HyentoncesH1H(vealaObservacionprevia). Como a pertenece a este grupo, se tiene que a(n) 1 (mod n).Corolario1.7(Fermat) Sip es un n umero primo ya es un entero, en-toncesap a (mod p).Demostracion: Como (p) = p1, se tiene que ap1 1 (mod p) siemprequep [ a. En todo caso,ap a (mod p).Corolario1.8Sia > 1, n 1 son enteros, entoncesn [(an1).6 1. GruposDemostracion: Sea G el grupo multiplicativo de los enteros (mod an1)primosconrespectoaan 1. Entonces (G)=(an 1). Esclaroquea G y que (a) = n, por lo quen [(an1).SiA, B, Cson conjuntos nitos, es facil ver que(A B) = (A) +(B) (A B),(A B C) = (A) +(B) +(C) (A B) (B C) (A C)+ (A B C).Esto se generaliza como sigue.Proposicion1.9(Principiodeinclusionyexclusion)Si A1, ..., Anson conjuntos nitos, entonces(_iAi) =

i(Ai)

i