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UNIDAD 2: DIVISIBILIDAD.1º ESO.

UNIDAD 2: DIVISIBILIDAD.

OBJETIVOS DIDÁCTICOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN

EJERCICIOS A REALIZAR

1. Identificar relaciones de divisibilidad entre números naturales y conocer los números primos.

1.1. Reconoce si un número es múltiplo o divisor de otro.

1, 12, 23, 34, 45 y 56

1.2. Obtiene los divisores de un número.

2, 13, 24, 35, 46 y 57

1.3. Inicia la serie de múltiplos de un número.

3, 14, 25, 36, 47 y 58

1.4. Identifica los números primos menores que 50 y justifica por qué lo son.

4, 15, 26, 37, 48 y 59

2. Conocer los criterios de divisibilidad y aplicarlos en la descomposición de un número en factores primos.

2.1. Identifica mentalmente, en un conjunto de números, los múltiplos de 2, 3, 5 y 10.

5, 16, 27, 38, 49 y 60

2.2. Descompone números en factores primos.

6, 17, 28, 39, 50 y 61

3. Conocer los conceptos de máximo común divisor (M.C.D.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números y dominar estrategias para su obtención.

3.1. Obtiene el M.C.D. y el m.c.m. de dos o más números mediante su descomposición en factores primos.

7, 18, 29, 40, 51 y 62

3.2. Obtiene mentalmente el M.C.D. o el m.c.m. de dos números en casos muy sencillos.

8, 19, 30, 41, 52 y 63

4. Aplicar los conocimientos relativos a la divisibilidad para resolver problemas.

4.1. Resuelve problemas que requieren la aplicación de los conceptos de múltiplo y de divisor.

9, 20, 31, 42, 53 y 64

4.2. Resuelve problemas en los que se requiere aplicar el concepto de máximo común divisor.

10, 21, 32, 43, 54 y 65

4.3. Resuelve problemas en los que se requiere aplicar el concepto de mínimo común múltiplo.

11, 22, 33, 44, 55 y 66

CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES• La relación de

divisibilidad.

• Múltiplos y divisores.

— Los múltiplos de un número.

— Los divisores de un número.

• Números primos y números compuestos.

— Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5 y 10.

— Descomposición

• Identificación de números emparentados por la relación de divisibilidad.

• Determinación de la existencia (o de la no existencia) de relación de divisibilidad entre dos números dados.

• Comprobación de la relación múltiplo-divisor entre dos números.

• Obtención del conjunto de divisores de un número. Emparejamiento de divisores.

• Obtención de la serie ordenada de múltiplos de un número.

• Identificación automática (memorización

• Interés por la exposición clara de informaciones y cálculos numéricos así como por los recursos que lo facilitan.

• Interés por la investigación de las propiedades y relaciones numéricas.

• Interés por la comprensión de los procesos de cálculo.

• Interés por la elaboración de estrategias personales de cálculo mental y escrito.

• Tenacidad y constancia en la

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factorial de un número.

• Máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números.

• Mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números.

de los números primos menores que 50).

• Aplicación de los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10, 25…

• Búsqueda de estrategias para averiguar si un número (menor que 1000) es primo o compuesto.

• Descomposición de un número en factores primos.

• Obtención del M.C.D. siguiendo procesos intuitivos o naturales:

— Cálculo de los divisores de cada número.

— Obtención de los divisores comunes.

— Selección del mayor divisor común.

• Aplicación del algoritmo óptimo para el cálculo del M.C.D. de dos números.

• Obtención del m.c.m. siguiendo el proceso natural:

— Explicitación de la serie ordenada de múltiplos de cada número.

— Obtención de los divisores comunes.

— Selección del menor múltiplo común.

• Aplicación del algoritmo óptimo para el cálculo del m.c.m. de dos números.

• Resolución de problemas de divisibilidad.

— Problemas de múltiplos y divisores.

— Problemas de M.C.D. y de m.c.m.

resolución de problemas.

EJERCICIOS A REALIZAR POR EL ALUMNO. Ejercicio nº 1.-¿Cuál o cuáles de estos números son múltiplos de 12? Explica por qué:a) 96 b) 58 c) 84

Ejercicio nº 2.-Calcula todos los divisores de los siguientes números:a) Divisores de 40 = b) Divisores de 33 =

Ejercicio nº 3.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 12, ______, ______, _______, _______.b) 25, ______, ______, _______, _______.c) 33, ______, ______, _______, _______.

Ejercicio nº 4.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por qué?4 9 13 29 32 41

Ejercicio nº 5.-En los siguientes números:16 22 25 28 30 34 36 40 52 66 80 99- Rodea con un círculo los múltiplos de dos.- Encierra en un triángulo los múltiplos de tres.

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- Encierra en un cuadrado los múltiplos de cinco.- ¿Qué números quedan a la vez rodeados por un círculo y encerrados en

un cuadrado? ¿De que otro número son múltiplos?

Ejercicio nº 6.-Descompón en factores primos:a) 24 b) 16 c) 248

Ejercicio nº 7.-Calcula:a) m.c.m. (15, 16, 18) b) M.C.D. (30, 32, 48)

Ejercicio nº 8.-Calcula mentalmente:a) m.c.m. (12, 24) b) m.c.m. (6, 9) c) M.C.D. (12, 16) d) M.C.D. (4, 12)

Ejercicio nº 9.-¿De cuántas formas diferentes se puede dividir una clase de 24 estudiantes en equipos con el mismo número de componentes?

Ejercicio nº 10.-Un carpintero dispone de tres listones de madera de 40, 60 y 90 cm de longitud, respectivamente. Desea dividirlos en trozos iguales y de la mayor medida posible, sin que sobre madera. ¿Qué longitud deben tener esos trozos?

Ejercicio nº 11.-Beatriz visita a su abuela cada 8 días, y su hermano David, cada 14 días. Hoy han coincidido en la visita. ¿Cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas visitas habrá hecho cada uno a su abuela? Ejercicio nº 12.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:a) ¿El número 14 es divisor de 56? Explica por qué.b) ¿El número 301 es múltiplo de 31? Explica por qué.


Ejercicio nº 14.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 16, ______, ______, ______, ______.b) 20, ______, ______, ______, ______.c) 18, ______, ______, ______, ______.


Ejercicio nº 16.-Observa estos números y completa:15 18 25 30 37 40 42 45 70 75Múltiplos de 2:Múltiplos de 3:Múltiplos de 5:Múltiplos de 10:


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Ejercicio nº 19.-Calcula mentalmente:a) m.c.m. (5, 10) b) m.c.m. (6, 8)c) M.C.D. (8, 12) d) M.C.D. (10, 15)

Ejercicio nº 20.-¿De cuantas formas diferentes se puede construir un rectángulo con 36 cuadrados iguales?

Ejercicio nº 21.-En un albergue coinciden tres grupos de excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El camarero quiere organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?

Ejercicio nº 22.-Una rana corre dando saltos de 60 cm perseguida por un gato que da saltos de 90 cm. ¿Cada qué distancia coinciden las huellas del gato y las de la rana?

Ejercicio nº 23.-¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres? Explica por qué:15 20 19 33 49 12


Ejercicio nº 25.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 24, ______, ______, _______, _______.b) 19, ______, ______, _______, _______c) 15, ______, ______, _______, _______.



Ejercicio nº 28.Descompón en factores primos:a) 54 b) 26 c) 888


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Ejercicio nº 30.-Calcula mentalmente:a) m.c.m. (20, 30) b) m.c.m. (6, 8)c) M.C.D. (10, 12) d) M.C.D. (15, 20)

Ejercicio nº 31.-¿De cuántas maneras distintas se pueden envasar en botes 36 pelotas de tenis de forma que haya siempre el mismo número de pelotas de tenis en cada bote?

Ejercicio nº 32.-Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120 y 144 metros de longitud. Desea cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud posible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué longitud tendrá cada trozo?

Ejercicio nº 33.-¿Cuál es la capacidad del menor depósito posible que puede llenarse con un número exacto de bidones de 12, 16 y 18 litros, respectivamente? Ejercicio nº 34.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:a) ¿El número 48 es múltiplo de 4? Explica por qué.b) ¿El número 12 es divisor de 84? Explica por qué.


Ejercicio nº 36.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 14, ______, _______, _______, _______.b) 13, ______, _______, _______, ________.c) 7, _______, _______, _______, ________.


Ejercicio nº 38.-De entre los siguientes números, tacha los múltiplos de 2, rodea con un círculo los múltiplos de tres y subraya los múltiplos de cinco. ¿De que otro número son múltiplos los números que están a la vez tachados y subrayados?10 11 18 20 25 27 30 33 40 42




Ejercicio nº 42.-¿De cuántas formas podemos empaquetar 45 libros si debe haber el mismo número de libros en cada paquete?

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Ejercicio nº 43.-Un granjero ha recogido de sus gallinas 30 huevos morenos y 48 huevos blancos. Quiere envasarlos en recipientes con la mayor capacidad posible y con el mismo número de huevos (sin mezclar los blancos con los morenos). ¿Cuántos huevos debe poner en cada recipiente?

Ejercicio nº 44.-Un cometa es visible desde la tierra cada 16 años, y otro, cada 24 años. El último año que fueron visibles conjuntamente fue en 1968. ¿En qué año volverán a coincidir?

Ejercicio nº 45.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:a) ¿El número 8 es divisor de 30? Explica por qué.b) ¿El número 155 es múltiplo de 31? Explica por qué.


Ejercicio nº 47.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 12, ______, _______, _______, _______.b) 9, _______, _______, _______, _______.c) 25, ______, _______, _______, _______.


Ejercicio nº 49.-En los siguientes números:6 12 15 18 20 24 36 44 50 66 70 75- Rodea con un círculo los múltiplos de dos.- Encierra en un triángulo los múltiplos de tres.- Encierra en un cuadrado los múltiplos de cinco.- ¿Qué números quedan a la vez rodeados por un círculo y encerrados en

un cuadrado? ¿De que otro número son múltiplos?


Ejercicio nº 51.-Calcula: a) m.c.m. (30, 60, 90) b) M.C.D. (8, 16, 24)


Ejercicio nº 53.-¿Se puede llenar un número exacto de garrafas de 15 litros con un bidón que contiene 170 litros? ¿Y con un bidón de 180 litros?

Ejercicio nº 54.-El dependiente de una papelería tiene que organizar en botes 36 bolígrafos rojos, 60 bolígrafos azules y 48 bolígrafos negros, de forma que en cada bote haya el mayor número de bolígrafos posible y

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todos tengan el mismo número sin mezclar los colores. ¿Cuántos pondrá en cada bote?

Ejercicio nº 55.-Un cine tiene un número de asientos comprendido entre 200 y 250. Sabemos que el número de entradas vendidas para completar el aforo es múltiplo de 4, de 6 y de 10. ¿Cuántos asientos tiene el cine?

Ejercicio nº 56.-¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres? Explica por qué:15 20 19 33 49 12


Ejercicio nº 58.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 14, ______, _______, _______, _______.b) 13, ______, _______, _______, ________.c) 7, _______, _______, _______, ________.


Ejercicio nº 60.-De entre los siguientes números, tacha los múltiplos de 2, rodea con un círculo los múltiplos de tres y subraya los múltiplos de cinco. ¿De que otro número son múltiplos los números que están a la vez tachados y subrayados?10 11 18 20 25 27 30 33 40 42




Ejercicio nº 64.-¿De cuantas formas diferentes se puede construir un rectángulo con 36 cuadrados iguales?

Ejercicio nº 65.-En un albergue coinciden tres grupos de excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El camarero quiere organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?Ejercicio nº 66.-¿Cuál es la capacidad del menor depósito posible que puede llenarse con un número exacto de bidones de 12, 16 y 18 litros, respectivamente?

EJERCICIOS RESUELTOS.

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Ejercicio nº 1.-¿Cuál o cuáles de estos números son múltiplos de 12? Explica por qué:a) 96 b) 58 c) 84Solución:

a) 96 Sí, porque el cociente es exacto: 96 : 12 = 8.b) 58 No, porque el cociente no es exacto: 58 : 12 = 4,8.c) 84 Sí, porque el cociente es exacto: 84 : 12 = 7.

Ejercicio nº 2.-Calcula todos los divisores de los siguientes números:a) Divisores de 40 = b) Divisores de 33 =Solución:

a) Divisores de 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40b) Divisores de 33 = 1, 3, 11, 33

Ejercicio nº 3.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 12, ______, ______, _______, _______.b) 25, ______, ______, _______, _______.c) 33, ______, ______, _______, _______.Solución:

a) 12, 24, 36, 48, 60.b) 25, 50, 75, 100, 125.c) 33, 66, 99, 132, 165.

Ejercicio nº 4.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por qué?4 9 13 29 32 41Solución:

4 9 13 29 32 4113, 29 y 41, porque solo son divisibles por sí mismos y por la unidad.


un cuadrado? ¿De que otro número son múltiplos?Solución:

El 30, 40 y 80. Son múltiplos también de 10.

Ejercicio nº 6.-Descompón en factores primos:a) 24 b) 16 c) 248Solución:

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Ejercicio nº 7.-Calcula:a) m.c.m. (15, 16, 18) b) M.C.D. (30, 32, 48)Solución:

a) 15 = 3 516 = 24 m.c.m. (15, 16, 18) = 24 32 5 = 72018 = 2 32

b) 30 = 2 3 532 = 25 M.C.D. (30, 32, 48) = 248 = 24 3

Ejercicio nº 8.-Calcula mentalmente:a) m.c.m. (12, 24) b) m.c.m. (6, 9) c) M.C.D. (12, 16) d) M.C.D. (4, 12)Solución:

a) m.c.m. (12, 24) = 24 b) m.c.m. (6, 9) = 18c) M.C.D. (12, 16) = 4 d) M.C.D. (4, 12) = 4

Ejercicio nº 9.-¿De cuántas formas diferentes se puede dividir una clase de 24 estudiantes en equipos con el mismo número de componentes?Solución:

Ejercicio nº 10.-Un carpintero dispone de tres listones de madera de 40, 60 y 90 cm de longitud, respectivamente. Desea dividirlos en trozos iguales y de la mayor medida posible, sin que sobre madera. ¿Qué longitud deben tener esos trozos?Solución:

M.C.D. (40, 60, 90) = 2 5 = 10 cm debe medir cada listón.

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Ejercicio nº 11.-Beatriz visita a su abuela cada 8 días, y su hermano David, cada 14 días. Hoy han coincidido en la visita. ¿Cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas visitas habrá hecho cada uno a su abuela?Solución:

m.c.m. (8, 14) = 23 7 = 56 Volverán a coincidir dentro de 56 días.56 : 8 = 7 visitas habrá hecho Beatriz.56 : 14 = 4 visitas habrá hecho David.

Ejercicio nº 12.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:a) ¿El número 14 es divisor de 56? Explica por qué.b) ¿El número 301 es múltiplo de 31? Explica por qué.Solución:

a) Sí; decimos que 14 es divisor de 56 porque su cociente es exacto:56 : 14 = 4.b) No; decimos que 301 no es múltiplo de 31 porque su cociente no es

exacto: 301 : 31 = 9,7.


a) Divisores de 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30b) Divisores de 15 = 1, 3, 5, 15

Ejercicio nº 14.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 16, ______, ______, ______, ______.b) 20, ______, ______, ______, ______.c) 18, ______, ______, ______, ______.Solución:

a) 16, 32, 48, 64, 80. b) 20, 40, 60, 80, 100. c) 18, 36, 54, 72, 90.


3 6 23 32 37 413, 23 y 41, porque solo son divisibles por sí mismos y por la unidad.


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Solución:Múltiplos de 2: 18, 30, 40, 42 y 70 Múltiplos de 3: 15, 18, 30, 42, 45 y 75Múltiplos de 5: 15, 25, 30, 40, 45, 70 y 75Múltiplos de 10: 30, 40 y 70


Solución:


a) 2 = 23 = 3 m.c.m. (2, 3, 5) = 2 3 5 = 305 = 5

b) 15 = 3 530 = 2 3 5 M.C.D. (15, 30 , 45) = 3 5 = 1545 = 32 5

Ejercicio nº 19.-Calcula mentalmente:a) m.c.m. (5, 10) b) m.c.m. (6, 8)c) M.C.D. (8, 12) d) M.C.D. (10, 15)Solución:


Ejercicio nº 20.-¿De cuantas formas diferentes se puede construir un rectángulo con 36 cuadrados iguales?Solución:

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Ejercicio nº 21.-En un albergue coinciden tres grupos de excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El camarero quiere organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?Solución:

M.C.D. (40, 56, 72) = 23 = 8 comensales en cada mesa.

Ejercicio nº 22.-Una rana corre dando saltos de 60 cm perseguida por un gato que da saltos de 90 cm. ¿Cada qué distancia coinciden las huellas del gato y las de la rana?Solución:

m.c.m. (60, 90) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180 cm. Coinciden cada 180 cm.

Ejercicio nº 23.-¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres? Explica por qué:15 20 19 33 49 12Solución:

Son múltiplos de tres los números 12, 15 y 33, porque el cociente es exacto:

12 : 3 = 4 15 : 3 = 5 33 : 3 = 11


a) Divisores de 46 = 1, 2, 23, 46b) Divisores de 34 = 1, 2, 17, 34

Ejercicio nº 25.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 24, ______, ______, _______, _______.b) 19, ______, ______, _______, _______c) 15, ______, ______, _______, _______.Solución:

a) 24, 48, 72, 96, 120.b) 19, 38, 57, 76, 95.c) 15, 30, 45, 60, 75.

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5 12 13 15 19 475, 13, 19 y 47, porque solo son divisibles por sí mismos y por la unidad.

Ejercicio nº 27.-Observa estos números y completa:12 14 21 25 36 40 42 45 70 75Múltiplos de 2:Múltiplos de 3:Múltiplos de 5:Múltiplos de 10:Solución:

Múltiplos de 2: 12, 14, 36, 40, 42, 70.Múltiplos de 3: 12, 21, 36, 42, 45, 75.Múltiplos de 5: 25, 40, 45, 70, 75.Múltiplos de 10: 40, 70.

Ejercicio nº 28.Descompón en factores primos:a) 54 b) 26 c) 888Solución:


a) 12 = 22 324 = 23 3 m.c.m. (12, 24, 36) = 23 32 = 7236 = 22 32

b) 60 = 22 3 572 = 23 32 M.C.D. (60, 72, 84) = 22 3 = 1284 = 22 3 7

Ejercicio nº 30.-Calcula mentalmente:

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a) m.c.m. (20, 30) b) m.c.m. (6, 8)c) M.C.D. (10, 12) d) M.C.D. (15, 20)Solución:

a) m.c.m. (20, 30) = 60b) m.c.m. (6, 8) = 24c) M.C.D. (10, 12) = 2d) M.C.D. (15, 20) = 5

Ejercicio nº 31.-¿De cuántas maneras distintas se pueden envasar en botes 36 pelotas de tenis de forma que haya siempre el mismo número de pelotas de tenis en cada bote?Solución:

Ejercicio nº 32.-Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120 y 144 metros de longitud. Desea cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud posible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué longitud tendrá cada trozo?Solución:

M.C.D. (96, 120, 144) = 23 3 = 24 cm debe medir cada trozo.

Ejercicio nº 33.-¿Cuál es la capacidad del menor depósito posible que puede llenarse con un número exacto de bidones de 12, 16 y 18 litros, respectivamente?Solución:

m.c.m. (12, 16, 18) = 24 32 = 16 9 = 144 litros es la capacidad del depósito.

Ejercicio nº 34.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:a) ¿El número 48 es múltiplo de 4? Explica por qué.b) ¿El número 12 es divisor de 84? Explica por qué.Solución:

a) Sí; decimos que 48 es múltiplo de 4 porque su cociente es exacto48 : 4 = 12.

b) Sí; decimos que 12 es divisor de 84 porque su cociente es exacto:84 : 12 = 4.

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a) Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24b) Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Ejercicio nº 36.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 14, ______, _______, _______, _______.b) 13, ______, _______, _______, ________.c) 7, _______, _______, _______, ________.Solución:

a) 14, 28, 42, 56, 70. b) 13, 36, 39, 52, 65. c) 7, 14, 21, 28, 35.

Ejercicio nº 37.-¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por qué?2 7 10 12 37 43Solución: 2 7 10 12 37 43

2, 7, 37 y 43, porque solo son divisibles por sí mismos y por la unidad.

Ejercicio nº 38.-De entre los siguientes números, tacha los múltiplos de 2, rodea con un círculo los múltiplos de tres y subraya los múltiplos de cinco. ¿De que otro número son múltiplos los números que están a la vez tachados y subrayados?10 11 18 20 25 27 30 33 40 42Solución:

Los números que están a la vez tachados y subrayados son múltiplos también de 10.



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Solución:a) 20 = 22 5

24 = 23 3 m.c.m. (20, 24, 36) = 23 32 5 = 36036 = 22 32

b) 48 = 24 372 = 23 32 M.C.D. (48, 72, 84) = 22 3 = 1284 = 22 3 7



Ejercicio nº 42.-¿De cuántas formas podemos empaquetar 45 libros si debe haber el mismo número de libros en cada paquete?Solución:

Ejercicio nº 43.-Un granjero ha recogido de sus gallinas 30 huevos morenos y 48 huevos blancos. Quiere envasarlos en recipientes con la mayor capacidad posible y con el mismo número de huevos (sin mezclar los blancos con los morenos). ¿Cuántos huevos debe poner en cada recipiente?Solución:

M.C.D. (30, 80) = 2 5 = 10 huevos en cada envase.

Ejercicio nº 44.-Un cometa es visible desde la tierra cada 16 años, y otro, cada 24 años. El último año que fueron visibles conjuntamente fue en 1968. ¿En qué año volverán a coincidir?Solución:

m.c.m. (16, 24) = 24 3 = 48 Coinciden cada 48 años. Volverán a coincidir en el año

2016.

Ejercicio nº 45.-Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:a) ¿El número 8 es divisor de 30? Explica por qué.b) ¿El número 155 es múltiplo de 31? Explica por qué.

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Solución:a) No; porque el cociente no es exacto: 30 : 8 = 3,75.b) Sí; porque el cociente es exacto: 115 : 31 = 5.


a) Divisores de 60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60b) Divisores de 48 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Ejercicio nº 47.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 12, ______, _______, _______, _______.b) 9, _______, _______, _______, _______.c) 25, ______, _______, _______, _______.Solución:

a) 12, 24, 36, 48, 60. b) 9, 18, 27, 36, 45. c) 25, 50, 75, 100, 125.




un cuadrado? ¿De que otro número son múltiplos?Solución:

El 20, 50 y 70. Son múltiplos también de 10.


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a) 30 = 2 3 560 = 22 3 5 m.c.m. (30, 60, 90) = 22 32 5 = 18090 = 2 32 5

b) 8 = 23

16 = 24 M.C.D. (8, 16, 24) = 23 = 824 = 23 3



Ejercicio nº 53.-¿Se puede llenar un número exacto de garrafas de 15 litros con un bidón que contiene 170 litros? ¿Y con un bidón de 180 litros?Solución:

170 : 15 = 11,3 No se puede porque el cociente no es exacto.180 : 15 = 12 Con 180 litros se llenan, exactamente, 12 bidones de 15 litros.

Ejercicio nº 54.-El dependiente de una papelería tiene que organizar en botes 36 bolígrafos rojos, 60 bolígrafos azules y 48 bolígrafos negros, de forma que en cada bote haya el mayor número de bolígrafos posible y todos tengan el mismo número sin mezclar los colores. ¿Cuántos pondrá en cada bote?Solución:

M.C.D. (36, 48, 60) = 22 3 = 12 bolígrafos en cada bote.

Ejercicio nº 55.-Un cine tiene un número de asientos comprendido entre 200 y 250. Sabemos que el número de entradas vendidas para completar el aforo es múltiplo de 4, de 6 y de 10. ¿Cuántos asientos tiene el cine?Solución:

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m.c.m. (4, 6, 10) = 22 3 5 = 60Como el número de asientos está comprendido entre 200 y 250, buscamos un múltiplo de 60 que cumpla esa condición:60 1 = 6060 2 = 12060 3 = 18060 4 = 240 El cine tiene 240 asientos.60 5 = 300

Ejercicio nº 56.-¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres? Explica por qué:15 20 19 33 49 12Solución:

Son múltiplos de tres los números 12, 15 y 33, porque el cociente es exacto:

12 : 3 = 4 15 : 3 = 5 33 : 3 = 11


a) Divisores de 46 = 1, 2, 23, 46 b) Divisores de 34 = 1, 2, 17, 34

Ejercicio nº 58.-Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:a) 14, ______, _______, _______, _______.b) 13, ______, _______, _______, ________.c) 7, _______, _______, _______, ________.Solución:

a) 14, 28, 42, 56, 70. b) 13, 36, 39, 52, 65. c) 7, 14, 21, 28, 35.



Ejercicio nº 60.-De entre los siguientes números, tacha los múltiplos de 2, rodea con un círculo los múltiplos de tres y subraya los múltiplos de cinco. ¿De que otro número son múltiplos los números que están a la vez tachados y subrayados?10 11 18 20 25 27 30 33 40 42Solución:

Los números que están a la vez tachados y subrayados son múltiplos también de 10.


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Solución:


a) 30 = 2 3 560 = 22 3 5 m.c.m. (30, 60, 90) = 22 32 5 = 18090 = 2 32 5

b) 8 = 23

16 = 24 M.C.D. (8, 16, 24) = 23 = 824 = 23 3



Ejercicio nº 64.-¿De cuantas formas diferentes se puede construir un rectángulo con 36 cuadrados iguales?Solución:

Ejercicio nº 65.-En un albergue coinciden tres grupos de excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El camarero quiere organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?Solución:

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M.C.D. (40, 56, 72) = 23 = 8 comensales en cada mesa.

Ejercicio nº 66.-¿Cuál es la capacidad del menor depósito posible que puede llenarse con un número exacto de bidones de 12, 16 y 18 litros, respectivamente?Solución:

m.c.m. (12, 16, 18) = 24 32 = 16 9 = 144 litros es la capacidad del depósito.

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