6 divisibilidad

DivisibilidadDivisibilidad

–Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza


–13 de abril de 2023 –2

D I V I S I B I L I D A D

1. Múltiplos y divisores de un número

2. Cálculo de todos los divisores de un número

3. Criterios de divisibilidad

4. Números primos y compuestos

5. Descomposición de un número en factores primos

6. Máximo común divisor de varios números

7. Mínimo común múltiplo de varios números

Index


–13 de abril de 2023 –3

Una división exacta proporciona:

54 = 6 × 954 = 6 × 9

Una multiplicación proporciona dos divisiones exactas.

54 : 6 = 954 : 6 = 9

54 : 9 = 654 : 9 = 6

18 : 3 = 6 18 : 3 = 6 18 = 3 × 618 = 3 × 6

18 : 6 = 318 : 6 = 3

Un producto.Otra división exacta.

Recuerda. Multiplicación y división


–13 de abril de 2023 –4

Observa:35 7

50 Esta división es exacta

Decimos que 7 es divisor de 35. También decimos que 35 es múltiplo de 7.

47 952

Esta división no es exacta

Así que 9 no es divisor de 47. También decimos que 47 no es múltiplo de 9.

Podemos saber si un número es divisor de otro de dos maneras:

· Dividiendo el mayor entre el menor:

· Escribiendo el segundo número como producto del primero por otro número.

7 es divisor de 56 porque la división 56 : 7 es exacta

7 es divisor de 56 porque

56 = 7 × 8

Múltiplos y divisores


–13 de abril de 2023 –5

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números naturales

Como sabes: 5 · 0 = 0 5 · 2 = 10 5 · 7 = 35 5 · 11 = 55Cada vez que multiplicas 5 por cualquier número se obtiene otronúmero que es múltiplo de 5.

Así: 21 es múltiplo de 3, pues 21 = 3 · 7. ( Y múltiplo de 7)44 es múltiplo de 11, pues 44 = 11 · 4

44 no es múltiplo de 5, pues multiplicando 5 por cualquier otro número natural no da 44

0 es múltiplo de 2, y de 7, y de 15, pues: 0 = 2 · 0 = 7 · 0 = 15 · 0 ...

0 es múltiplo de todos los números

Múltiplos de un número


–13 de abril de 2023 –6

Un número es divisor de otro cuando la división del segundopor el primero es exacta.

44 : 5 no es exacta

44 dividido entre 11 da 4 Se dice que 11 es divisor de 44

5 no es divisor de 44

Divisor y factor significa lo mismo.

Observa:

44 : 4 = 11 44 = 4 · 11 44 = 4 · 11

4 es divisor de 4444 es producto de los factores 4 y 1144 es múltiplo de 4 y de 11

(También 11 es divisor de 44)

Si un número es divisor el otro, este es múltiplo de aquel.

Divisores de un número


–13 de abril de 2023 –7

Vamos a calcular todos los divisores de 66.Dividimos 66 por todos los número menores que él. Cuando la división es exacta, obtenemos también otra división y, por tanto dos divisores.

Divisiones exactas:

66 1606 6

0

66 : 1 = 66

Divisores: 1 y 66

66 2306 3

0Divisiones exactas:

Divisores: 2 y 33

66 3206 2

0

Divisores: 3 y 2266 : 66 = 1

66 : 2 = 3366 : 33 = 2

Divisiones exactas:66 : 3 = 2266 : 22 = 3

66 4126 6

2No es exacta:4 no es divisor

66 5116 3

1No es exacta:5 no es divisor

66 6106 1

0

Divisores: 6 y 11

Divisiones exactas:66 : 6 = 1166 : 11 = 6

66 79 3

No es exacta:7 no es divisor

66 88 2

No es exacta:8 no es divisor

Nos detenemos cuando el cociente es menor o igual que el divisor.

FIN

Los divisores o factores de 66 son: D (66) = {1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}

Cálculo de los divisores de un número (I)


–13 de abril de 2023 –8

Un número puede tener varios divisores

Por ejemplo: 18 tiene por divisores a 1, 2, 3, 6, 9 y 18

Para hallar todos los divisores de un número:

Se escribe como producto de dos factores, empezando por el factor 1.Se termina cuando se repitan los factores.

Ejemplo: 45 = 1 · 45

45 = 3 · 15

1 y 45 son factores

3 y 15 son factores

45 = 5 · 9 5 y 9 son factores

45 = 9 · 5 Se repiten los factores

Los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15 y 45

Compruébalo

Los factores aparecidos son todos los divisores del número.

Cálculo de los divisores de un número (III)


–13 de abril de 2023 –9

Los criterios de divisibilidad son útiles para descomponer un número en sus factores primos.

Por la tabla de multiplicar sabes que 24 es divisible por 4, pues 24 = 4 · 6. También que 72 es divisible por 9, pues 72 = 9 · 8.

Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer, sin efectuar la división, si un número es o no divisible por otro.

¿Sabes si 29058 es divisible por 3? ¿Habría que dividir?

No es necesario, pues la suma de las cifras de 29058, 2 + 9 + 0 + 5 + 8 = 24, es múltiplo de 3

Esto es un truco, que llamamos criterio.

Criterios de divisibilidad


–13 de abril de 2023 –10

45 1405 5

0Divisores: 1 y 45

45 2205 2

1

45 3115 5

0Divisores: 3 y 15

45 4105 1

1

Para practicar hallemos todos los divisores de 45.

4 no es divisor2 no es divisor

45 590

Divisores: 5 y 9 6 no es divisor 7 no es divisor

45 673

45 763

FIN

Para calcular todos los divisores de un número:Se divide el número por todos los número menores que él, ordenadamente, de menor a mayor. Cuando la división es exacta, se obtienen dos divisores.El proceso se termina cuando el cociente es menor o igual que el divisor.

Terminamos porqueel cociente (6) es menor

que el divisor (7)

Los divisores de 45 son: D (45) = { 1, 3, 5, 9, 15, 45}

Cálculo de los divisores de un número (II)


–13 de abril de 2023 –11

Un número es divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es el número formado por la cifra de las unidades. Luego:

1708 es divisible por 2; no lo es ni por 5 ni por 10.Ejemplos:

280 es divisible por 10, y por 5, y por 2.10395 es divisible por 5.

Observa: 438 = 43 · 10 + 8

10 es divisible por 2, por 5 y por 10

Luego, 438 será divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es 8

Como 8 es divisible por 2, 438 es divisible por 2. Como 8 no es divisible por 5 ni por 10, 438 tampoco lo es.

Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par.Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.

Un número es divisible por 10 si termina en 0.

232451 no es divisible ni por 2, ni por 5 ni por 10.

Divisibilidad por 2, por 5 y por 10


–13 de abril de 2023 –12

Ejemplos:

Por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de suscifras es divisible por 3.

a) 1428 es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 1 + 4 + 2 + 8 = 15, y 15 es divisible por 3.

Por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de los valores de suscifras es divisible por 9.

Ejemplo: 5643 es divisible por 9, pues la suma de sus cifras es 5 + 6 + 4 + 3 = 18 , y 18 es divisible por 9.

Observación: Si un número es divisible por 9 también lo será por 3; lo contrario no siempre es cierto.

50067 es divisible por 9 (y por 3). 78105 es divisible por 3, pero no por 9

b) 1429 no es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 16.

Criterios de divisibilidad por 3 y por 9


–13 de abril de 2023 –13

Para saber si un número es divisible por 11:Se suman separadamente las cifras que ocupan los lugares pares y los impares en la escritura del número.Si la diferencia entre ambas sumas es múltiplo de 11, el númerodado es divisible por 11.

Ejemplo: 709181 es múltiplo de 11, pues:

709181Cifras que ocupan lugares pares: 7 + 9 + 8 = 24

Cifras que ocupan lugares impares: 0 + 1 + 1 = 2Como 22 es múltiplo de 11, el número 709181 también lo es.

Diferencia:24 - 2 = 22

La división 44968 : 11 es exacta. 44968 es múltiplo de11.

Distingamos en 44968 las cifras que ocupan lugares pares y las que ocupan lugares impares: 4 4 9 6 8

Las cifras que ocupan lugares pares suman: 4 + 6 = 10

Las cifras que ocupan lugares impares suman: 4 + 9 + 8 = 2121 – 10 = 11

Divisibilidad por 11


–13 de abril de 2023 –14

Ejemplo:

2058 Seleccionamos el último dígito del número (8) y lo multiplicamos por 2

El resultado (16) se lo restamos a la parte no utilizada del número8 x 2 = 16

205 – 16 = 189Seleccionamos el último dígito del número (9) y lo multiplicamos por 2

9 x 2 = 18

El resultado (18) se lo restamos a la parte no utilizada del número

18 – 18 = 0

Si el resultado final de las restas es 0 o múltiplo de 7;El número será divisible por 7

2058

Divisibilidad por 7


–13 de abril de 2023 –15

Problema: El número de habitantes del pueblo de Yolanda es un número muy curioso. Si se divise entre 9 el resto es 1. Si se divide entre 11 el resto es 1. Además, es el número más pequeño que cumple estas condiciones. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo de Yolanda?

1º. Tantear para comprender mejor

¿Podrían ser 901 habitantes?

2º. Pensar un problema más fácil

Si el número diera de resto 0 al dividirlo por 9 y por 11, sería múltiplo de ambos.

3º. Comprobar el resultado

100 : 9 da de resto es 1. 100 : 11 da de resto 1.

Al dividir por 9, sobra 1, 901 = 100 · 9 +1. Podría serPero al dividir por 11, sobran 10. Luego, no vale.

Y por ser el menor posible debería ser 9 · 11.Pero este no es el problema. El problema dice que da de resto 1.¿Y qué diferencia hay entre dar de resto 0 y dar de resto 1?

El número será: 9 · 11 + 1 = 100

¡Pues 1!

Resolución de problemas

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