Prof. Jenner Huamán Callirgos

Pierre de Fermat y David Hilbert. Dos momentos en la historia de las

matemáticas, evidentemente el trabajo de los predecesores sostiene el trabajo de

quienes vienen después.

En los primeros tiempos de la aviación

invitaron al matemático alemán DavidHilbert (1862-1943) a dar una conferenciasobre el tema que él quisiera. Laconferencia creó gran expectación ya queel tema elegido fue: "La prueba del últimoteorema de Fermat". Llegó el día y Hilbertdio la conferencia. La exposición fue muybrillante pero no tuvo nada que ver con elúltimo teorema de Fermat. Cuando lepreguntaron el por qué del título contestó:"Oh, el título era solamente para el caso deque el avión se estrellara".

• ¿Cuál es el último teorema de Fermat y por qué creó tanta expectativa?

Observe la forma como se han dispuesto los números en el arreglo quemuestra la figura:

A B C D E F G

1 2 3 4

7

8

6 5

15

14 13

2021 19

12

9 10 11

16 17 18

. . . .

Si se continúa el proceso, ¿debajo de qué letra debe aparecer escritoel número 2014?

Es una parte de la aritmética que estudia las leyes, propiedades y criterios que nos sirven para determinar cuándo un número es divisible por otro.

DIVISIBILIDAD

DIVISIBILIDAD DE UN NÚMEROUn número A es divisible por otro B, si la división de A entre B esexacta.

36 9 36 es divisible por 99 es divisor de 369 divide a 36

4Ejemplo

48 6 48 es divisible por 66 es divisor de - 486 divide a - 48

8

En general:Dado los números:

Si:Entonces: A es divisible por B

B es divisor de AB divide a A

A Z

B Z (entero positivo)K Z

+

∈

∈∈

A BK

MULTIPLICIDAD DE UN NÚMEROUn número A es múltiplo de otro B, si el primero A contiene al segundo B, un número exacto y entero de veces.

Ejemplo

36 = 9 x (4)

–48 =6x (–8)

0= 11x(0)

36 es múltiplo de 9 9 es factor de 36

- 48 es múltiplo de 6 6 es factor de - 48

0 es múltiplo de 11 11 es factor de 0

En general:Dado los números:

Si:

entonces:A es múltiplo de BB es factor de A

A ZB Z (entero positivo)K Z

∈+∈

∈

A B K= ×

A=B

A es múltiplo de BA es divisible por B

B es factor de AB es divisor de A

Se lee

Notación:

Indicar que un número es divisible omúltiplo de otro lo consideramoscomo equivalente.

Todo divisor de un número es unfactor de dicho número.

Ejemplo:Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 º º20 20 51

º º20 202 10

º º20 20 204

= =

= =

= =

Luego:

El cero es múltiplo de cualquier entero positivo

Ejemplo:

( )

( )

x

x

º º0 porque 0 07 7

º º0 porque 0 011 11

= =

= =

Todo número es múltiplo de la unidad.Ejemplo:

( )

( )

x

x

º º15 porque 15 151 1

º º24 porque 24 241 1

= =

= =

Ejemplos Aplicativos

Calcule cuántos números positivos de tres cifras son:I. Múltiplos de 15.II. Múltiplos de 9 pero no de 5.III. Múltiplos de 7.IV. Múltiplos de 13 que terminan en cifra cero.

Resolución

Hasta el momento, solo hemos visto el caso cuando al realizar la división, ésta resulta exacta. Ahora veremos el caso cuando la división resulta inexacta.

Ejemplo:37 no es divisible por 5, porque al dividir 37 entre 5 la

división es inexacta, efectuándola por:

Defecto Exceso

37 57

2

37 583

Por el algoritmo de la división:

rdefecto

37=5x(7)+2rexceso

37=5x(8)- 3

Números no divisibles

Por la notación:

2+3=5

r+ r =dd e

37=5+ 2 ó 37=5 - 3

Ejemplo:

24 = 50

+ 4 24=50− 1

28 = 60

+ 4 28=60− 2

Representación del número 24 respecto al módulo 5

Representación del número 28 respecto al módulo 6

Ejemplos Aplicativos

Calcule la suma de todos los números positivos de dos cifras, tal que al dividirse entre 8 se obtiene residuos máximos.Resolución

Respuesta: 605

Calcule cuántos números positivos de tres cifras son múltiplos de 13, más 7 y además dichos números terminan en cifra 2.

Resolución

Respuesta: 7

PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD

Primer principio: De la suma o diferencia de 2 números que son múltiplosDe “n” se obtiene otro múltiplo de “n”.

+ =

↓ ↓ ↓

+ =º º º

56 35 91

7 7 7

Ejemplos:

º º º

45 18 27

9 9 9

− =

↓ ↓ ↓

− =

º º ºn n n=+

º º ºn n n=−

Segundo principio: Si a un número que es múltiplo de “n”, se le multiplicaPor cualquier otro número entero, resulta otro número múltiplo de “n” .

( )

º

º

º

20 5

3 20 5

60 5

=

× =

=

Ejemplo

º

º

Si : A n

entonces :K A nSiendo : K Z

=

× =∈

( )

º

º

º

18 9

3 18 9

972

=

× =

=

Nota: Si un número es y otro es , entonces el productode ambos es:

𝑛𝑛0

+ 𝑎𝑎 𝑛𝑛0

+ 𝑏𝑏

𝑛𝑛0

+ 𝑎𝑎.b

En general, diríamos

�𝑛𝑛º

+ 𝑎𝑎)(𝑛𝑛º

+ 𝑏𝑏)(𝑛𝑛º

+ 𝑐𝑐) = 𝑛𝑛º

+ 𝑎𝑎. 𝑏𝑏. 𝑐𝑐

Ejemplo �50

+ 3)(50

+ 2) = 50

+ 3.2

= 50

+ 6

= 50

+ 50

+ 1

= 50

+ 1

Tercer principio: Todo número entero que sea múltiplo de “n” y si eselevado a un exponente entero positivo, se obtendrá otro múltiplode “n”.

Ejemplo

º

º2

º

10 5

10 5

5100

=

==

º

º2

º

412

12 4

44 41

=

==

º

ºm

Si : A n

nA

Siendo : m Z+

=

=

∈

Debemos tener en cuenta que:

Si un número es múltiplo entre cierto módulo, es múltiplo con cada divisor del módulo.

Ejemplo:Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

º

º

º

20 1

20 2

20 4

=

=

=

Entonces:

º

º

º

20 5

20 10

20 20

=

=

=

Ejemplos Aplicativos

Calcule cuál es el residuo al dividir entre 11 si:

Resolución

𝑁𝑁 = 14.32+𝑛𝑛 + 𝑚𝑚00𝑚𝑚 + 6.3𝑛𝑛,𝑛𝑛 ∈ ℤ+

Respuesta: 0

Si un número es múltiplo de varios números, entonces es múltiplodel MCM de dichos números.

Ejemplos:

60=460=10

=MCM(4,10)=20

2x2x5=204 - 10 22 - 5 21 - 5 5 1

Si:

Se observa que 20 es el menor número múltiplo de 4 y 10.

En general:Si:

( )

º

º

º

A aº

A b Entonces : A MCM a;b;c

A c

=

= ==

Si un número al ser dividido entre varios módulos y da el mismo residuo, entonces, dicho número al ser dividido entre el MCM de dichos módulos dará el mismo residuo.

( )

º

º

ºº

N 9 3º

MCM ; ; 10N 8 3 Entonces : N 8 39

N 360 3N 10 3

= +

= + = + = += +

Si:

( )

º

º

º

N a r

ºN b r Entonces :rMCM a,b,c

N c r

= ±

= ± ±= ±

Si:

Principio de ArquímedesSi el producto de dos números enteros es múltiplo de cierto

módulo y uno de los números no es múltiplo del módulo, entonces elotro número debe ser múltiplo de dicho módulo.

Ejemplo.

º

º

7b 5

b 5

• =

⇒ =

º

º

5a 16

a 16

• =

⇒ =

º

º3x 11

1x 1• =

⇒ =

15x=1815x=18k 5x=6k 5x=6 x=6

9h = 13+1 9h = 13+1+13+13 9h = 13+279h - 27=139(h-3) =13 h-3 = 13 h = 13+3

Si un número acepta la n – ava parte entera, entonces dichonúmero será siempre múltiplo de “n”.

Ejemplo:

Si: es entero, entonces 1

N3×

ºN 3=

Un número expresado en cierta base es múltiplo de la base más la última cifra.

( )kabcdN =Sea:

Entonces:º

N K d= +

º5

º

9

ab3 5 3

xyz8 9 8

= +

= +

Ejemplo:

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON

Aplicándose los criterios de divisibilidad y permite hallar el residuode manera inmediata.

nnº

BABA +=

+

=

nºBA

−

+ Bn (si “n” es par)

- Bn (si “n” es impar)

A

A

Ejemplo

Hallar el resto de: 1512 entre 8.

Resolución

°8

°8

°81512 = (16 - 1)12 = ( - 1)12 = + 112 = + 1

Por lo tanto, el resto es: 1

Ejemplo

Hallar el residuo de dividir 37326 por 7.

Resolución

Rpta.:4

APLICACIONES

1. Halle el residuo que se obtiene al dividir (58)36 entre 9.(UNMSM-2011-II)

a) 5 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4

Resolución

Continuará…