03. divisibilidad

8/3/2019 03. Divisibilidad

1/169

x -

-A B

C

D

A: Total independiente

B: Total dependiente

C: Ponderacin 1

D: Ponderacin 2

Donde:AxC - B

C - D

?

? =

1SECUNDARIA

ARIMTICA

NIVELSECUNDARIA DE MENORES

CICLO VI BIMESTRE II

INSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADA

VIRGEN DEGUADALUPE


2/169

I.E.. Ariosto Matellini Espinoza 1er. Bimestre Aritmtica - 2010

1ro C D Secundaria Mar*25 2010


3/169



NDICE

II BIMESTRE

Del 12 May. al 18 Julio 2007

NOMBRE DE LA GUA:

3 Teoras de Nmeros: Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . P. 7

3 Mximo Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo . . . . . . . . . . . . P. 12

3 Nmeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P. 15

Cuadro de Revisin de las Guas, Cuaderno y Extensiones:

REVISIN GUA CUADERNO EXTENSIN

FECHA

FIRMA DEL PP.FF.

Cuadro de Programacin de Prcticas Calificadas:

N DE P.C. 01 02 03 04 05 06

FECHA

NOTA

FIRMA DEL

PP.FF.


4/169




5/169



Son las condiciones que debe reunir un nmero para saber que es divisible por otro, sin necesidad deefectuar la divisin.

Un numero es divisible por 2 cuando termina en cero o en cifra par.

abcd= 2 d = {0; 2; 4; 6; 8 }

Un nmero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es mltiplo de 3.

abcd= 3 a + b + c + d = 3

Un nmero es divisible por 4, cuando sus dos ltimas cifras son ceros o forman un nmero mltiplo de 4.

abcd= 4 cd =00 cd = 4

Un nmero es divisible por 5, cuando las cifras de las unidades es cero o cinco.

abcd= 5 d = 0 d = 5

Un nmero es divisible por 7, cuando se mltiple cada cifra por los factores 1, 3, 2, - 1 -3, -2, 1, 3, 2.

De derecha a izquierda y este resultado es 0 7.

a b c d e f g = 7 1(g) + 3(f) + 2(e) 1(d) 3(c) - 2(b) + 1 (a)= 0 7

1 -2 -3 -1 2 3 1

Un nmero es divisible por 8, cuando sus tres ltimas cifras son ceros o un mltiplo de 8.

abcd = 8 bcd = 000 bcd = 8

GUA DE APRENDIZAJE DE ARITMTICA N 04

Nombre: Teora de Nmeros: Criterios de Divisibilidad.Contenidos:Esperamos que: Comprendas los diversos criterios de divisibilidad y el estudio de los

nmeros, resolviendo ejercicios.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

DIVISIBILIDAD POR 2

DIVISIBILIDAD POR 4

DIVISIBILIDAD POR 5

DIVISIBILIDAD POR 3

DIVISIBILIDAD POR 7

DIVISIBILIDAD POR 8


6/169



Un nmero es divisible por 9, cuando la suma de sus cifras da un nmero mltiplo de 9.

abcd = 9 a + b + c + d = 9

Un nmero es divisible por 11, cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de cifras de

orden par, resulten 0 11.

abcde = 11 (e + c + a) (b + d) = 0 11

Marca con una X en el casillero correspondiente con el criterio de divisibilidad, de cada nmero dado.

1. Qu cifra hay que escribir a la derecha de 153 para obtener un nmero de cuatro cifras que seadivisible por 3.

Rpta :

2. Sustituir en el nmero 23_4_5, los espacios en blanco por cifras de modo que resulte un nmerodivisible por 3.

Rpta:

3. Halla los elementos de cada conjunto:

a) A = {x N/10 e x e35 ; x es mltiplo de 5} A = {

b) B = {x N/ 4 < x< 58 ; x es mltiplo de 6} B = {

c) C = {x N/7 < x < 20 ; x es mltiplo de 2} C = {

d) D = {x N/4 < x


7/169



III. NUMEROS PRIMOS ENTRE SI O PRIMOS RELATIVOS: Son aquellos que tienen como divisor

comn a la mitad.

Ejemplo: Son primos entre si el 9 y el 20?

S, porque tiene como divisor comn a la unidad, veamos:

9 d9= {1 ; 3 ; 9 }

20 d20= {1 , 2 , 4 , 5 , 10, 20 }

IV. NUMERO DE DIVISORES: Para hallar el nmero de divisores de un nmero primeramente se

descompone cannicamente y luego se multiplica el exponente de cada factor primo aumentado en1

N = ax . by . cz ; donde: a , b y c ,son factores primos

x , y , z ,son los exponentes de los factores primos

Entonces : n de divisores = (x+1)(y+1)(z+1); N16 divisores

Ejemplo 1 : Halla los divisores de 54

Solucin:

Paso a: Factorizamos el numero 54, en sus factores primos

54 2 mitad de 54 es 27

27 3 tercia de 27 es 9



1

Paso b: 54 = 21 . 33 Entonces : Nd= (1 + 1) (3 + 1) = 2 . 4 =8

1. Di cuantos nmeros primos son :a) Menores de 10

b) Menores de 30

c) Menores de 100

2. Di cuantos nmeros compuestos son:

d) Menores de 10

e) Menores de 30

f) Menores de 100

3. De los siguientes nmeros, di cuales son primos:

a) 83 ( ) b) 97 () c) 144 ()

d) 113 () e) 229 () f) 328 ()

4. Factoriza en el producto de sus factores primos los siguientes nmeros:

a) 36 = 22. 32 l) 1230 =

b) 38 = m) 4200 =

c) 40 = n) 810 =

d) 42 = ) 2310 =

AHORA T!

Ejemplo 2: Halla el numero dedivisores del nmero 600

Solucin:

PRCTICA DE CLASE


8/169


9/169



8. Di cuantos divisores tiene cada uno de los siguientes nmeros :

a) 24 = 23 x 31

N de divisores = (3 + 1)( 1 + 1)

= 4 x 2= 8 Rpta.

VERIFICACION:

Divisores de 24 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

b) 32 N de divisores:

c) 40 N de divisores:

d) 80 N de divisores:

e) 128 N de divisores:

f) 258 N de divisores:

g) 465 N de divisores:

h) 279 N de divisores:

i) 1473 N de divisores:

j) 1755 N de divisores:

k) 2616 N de divisores:

l) 280 N de divisores:

m) 2400 N de divisores:

9. Cul es el menor numero que tenga 12 divisores?

Rpta :

10. Decir que parejas de nmeros primos son entre si o primos relativos

a) 4 y 7 () e) 26 y 35 ()

b) 11 y 16 () f) 27 y 64 ()

c) 12 y 17 () g) 73 y 45 ..()

d) 21 y 24 () h) 120 y 48 ()


Nombre: Mximo Comn Divisor.Mnimo Comn Mltiplo,Contenidos:


10/169



1. Halla el valor de x para que el nmero:N = 2 . 3x

Tenga 10 divisores.

Solucin:

1) Hallar el M.C.D de : 30 y 45Solucin:

2. El 1 al 100. Cuantos nmeros sonmltiplos de 3?Solucin:

2) Cul es el mayor nmero de nios entrelos que se puede repartir simultneamente26 y 38 caramelos de manera que sobre 2y 6 caramelos, respectivamente?

Solucin:

3. Hallar el menor valor de x para que el nmero 5315 xx sea divisible por 9.Solucin:

PRCTICA DE CLASE


11/169



1. Halla el mximo comn divisor (M.C.D.)de:a)18 y 16

b)28 y 35

c)80 y 256

d)240 ; 360 ; 480

e)135 y 245

f)272 y 288

g)144 y 504

h)950 ; 425 y 800

i) 560 y 320

j)120 ; 72 y 96

k)1200 ; 1800 y 2200l) 294 ; 98 ; 392 y 1176

2. Cul es el mayor nmero que puededividir a la vez a 612; 2040 y 8976?

3. Una madre distribuye exactamente porpartes iguales entre sus hijos: 90caramelos y 75 chocolates. Qu nmerode cada cosa corresponde a cada uno deellos?

4. Cual es la mayor longitud de una regla

con la que se puede medir exactamente 3cintas de 120 cm., 180 cm. Y 240 cm.

5. Se desea dividir dos cordeles de 60 y80m. de longitud en trozos iguales y dela mayor longitud posible Cul es lalongitud de cada trozo resultante? Encuntos trozos se divide cada cordel?

6. Se tienen que envasar 120; 144 y 200Kg. De plomo en 3 cajas de modo que losbloques de cada una tenga el mismopeso y el mayor posible Cunto pesacada pedazo de plomo? (Cunto cabe encada caja?

7. Hallar el mayor nmero de nios entrelos que se pueda repartir en partes igualS/.174 y S/. 730; sobrando S/. 6.00 yS/. 10.00 respectivamente

MINIMO COMN MLTIPLO

Definicin: El M.C.M. de varios nmeros es aquel nmero natural que cumple doscondiciones1. Es un mltiplo comn de los nmeros dados.2. Es el menor posible.

As: consideremos a los mltiplos de 6 y 8:

Mltiplos de 6 { 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 ; }

Mltiplos de 8 { 0 ; 8 ; 16 ; ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 , }

Luego : El M.C.M (6 ; 8) =

MTODO ABREVIADO PARA HALLAR EL M.C.M.

Este mtodo abreviado consiste en dividir cada uno de los nmeros por el menor divisor primoposible hasta que los cocientes sean igual que la unidad.

Ejemplo 1: Hallar el M.C.M. de 42 y 56.

42 56 2 AHORA T

21 - 28 2 Ejemplo 2: Halla el M.C.M de 60 , 70 y 72

21 - 14 2 Solucin:

21 - 7 3

7 - 7 7

1 - 1

M.C.D (42 y 56) = 23 . 3 . 7 =

24

24

24

168


12/169



1. a) Enumera los mltiplos de 3, hasta el48b) Enumera los mltiplos de 4, hasta el48c) Cules son los mltiplos comunes de

3 y 4 hasta el 48.d) Busca el M.C.M. de 3 y 4.

2. Para cada para de nmeros halla losprimeros seis mltiplos, que no seancero, de cada nmero. Luego busca elM.C.M. de los dos nmeros.

Ejemplo: Halla el M.C.M. de: 2 y 5

Solucin:

Mltiplos de 2={ 2; 4; 8; ; }

Mltiplos de 5={ 5; ; 15; 20; }

El M.C.M ( 2 y 5) =

a) 2 y 4 f) 3 y 9

b) 4 y 6 g) 7 y 11

c) 3 y 7 h) 8 y 13

d) 6 y 9 i) 3 y 12

e) 4 y 5 j) 5 y 8

3. a) Enumera los mltiplos de 3 que sonmenores de 37.b) Enumera los mltiplos de 5 que sonmenores de 37.c) Enumera los mltiplos comunes de 3y 5, menores que 37.d) Cul es el M.C.M. de 3 y 5.

4. Halla el Mnimo Comn Mltiplo(M.C.M)de:a) 8 ; 15 y 24 f) 70 : 130 y 190

b) 16 ; 42 y 56 g) 504 ; 756 y 1260

c) 42 ; 63 y 70 h) 3168; 4896 y 6048

d) 40 ; 70 y 84 i) 84; 616; 539 y 1125

e) 60 ; 81 y 90

5. Cul es el menor nmero, diferente decero, divisible a la vez por 6, 8 y 10.

6. Cules son n nmeros naturalesentre 500 y 1000 que son divisibles por36 y 84 simultneamente?

7. Tres compaas de navegacin pasanpor cierto puerto. La primera cada 8das; la segunda cada 18 das y latercera cada 21 das. Cada cuantosdas se hallarn los buques de las 3compaas simultneamente en estepuerto?

8. Una canasta est llena de huevos,contiene un nmero exacto de docenasy tambin de decenas. Cuntos

huevos contiene, sabiendo que elnmero est comprendido entre 300 y400?

9. Dos ciclistas dan vueltas en una pista.El primero cada 48 segundos, elsegundo cada 64 segundos, si salen juntos. Al cabo de cuanto tiempopasaron por el punto de partida?Cuntas vueltas habr dado cada uno.

10. Halla la menor cantidad de soles quehay que repartirse entre 5, 6, 9 y 13nios de tal manera que en cada caso

sobren S/. 4.00.11. Cul es la menor cantidad de dinero

que necesito para comprar un nmeroexacto de camisas cuyo costos son de :S/. 30.00, 45.00 y de 50.00, si deseoque en cada caso sobren S/. 5.00 paramis pasajes.

12. Una puerta se abre cada 20 segundos,otra cada 12 y una tercera cada 30segundos, si se abren simultneamentea las 12 del da. A que hora volvernabrirse simultneamente?

FECHA DE

REVISIN / /2008 OBSERVACIONES

Firma del

Profesor

Firma del PP.FF. o

Apoderado

PRCTICA DOMICILIARIA

10

10

10


13/169



1. Hallar el producto del M.C.D y M.C.M de12 y 9

Solucin:

Rpta:

2. Resuelva la siguiente ecuacin:2x 6 = 5 + x -4

Solucin:

Rpta:

3. Cuntos divisores tiene 20?D20 = {

Rpta: .

4. Si: = a +1

= a + 2

= a2 + 3

Halla:

Rpta: .


Nombre: Nmeros enteros.Contenidos:Esperamos que: Comprendas la importancia del estudio del conjunto de los

nmeros enteros y resuelvas satisfactoriamente los ejerciciossobre las operaciones de nmeros enteros.

EVENTO N 1

a

a

a

3


14/169



1. Efecta: -6 + 9 8 4 + 2 =

2. Efecta: 14 - ? A20)295(7 - 3 =

3. Efecta: - 2 - ? A_ a261410 =

4. Efecta: (-3)(+4)(-6) =

5. Efecta: (+12) z (-6) =

Es el conjunto N no siempre es posible la operacin de sustraccin, as por ejemplo.

13 9 = 4 ; pero: 9 13 no tiene solucin en N. Esta dificultad se resuelve ampliando N

a otro conjunto llamado

Conjunto de los Nmeros Enteros que lo representamos porZ.

Z = {, -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; +}

En el conjunto Z, podemos distinguir los siguientes subconjuntos:

ENTEROS POSITIVOS : Z+={+1; +2; +3; +4; +5; +6;}

ENTEROS NEGATIVOS : Z-={;-6; -5; -4; -3; -2; -1 }

ENTEROS SIN EL CERO :Z

*={,

-3; -2; -1; +1; +2; +3}

RECTA NUMERICA EN Z

.. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ......

VALOR ABSOLUTO DE NUMEROS ENTEROS: El valor absoluto del nmero entero a se

denota por: a , se lee: El valor absoluto de a o mdulo de a

y El valor absoluto de a expresar en la recta numrica, la distancia siempre positiva de a

al origen 0

En general:

a) El valor absoluto de un nmero entero positivo, es el mismo nmero.b) El valor absoluto de un nmero entero negativo, es el mismo nmeroc) El valor absoluto de cero, es cero.

Ejemplos:

1) 6 =6 2) 7 =7 3) 0 =0

EVENTO N 2

CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS

IMPORTANTE:

El cero no es positivo


15/169



P R A C T I C A N D O:

a) 18 = b) 13 c) 15

d) 123 = e) 5 - 3 f) 3 + 5

NMEROS ENTEROS OPUESTOS: Dos nmeros enteros son opuestos o simtricos cuandotienen el mismo valor absoluto pero diferentes signos. Ejemplo:

a) El opuesto de -3 es +3 b) El opuesto de +24 es c) El opuesto de -57 es d) +63 es opuesto de ..

COMPARACIN DE NMEROS ENTEROS: Al comparar dos nmeros enteros en la rectanumrica, tenemos en cuenta lo siguiente:

y Es mayor el que esta la derecha del otro.y Es menor el que esta a la izquierda del otro.

Ejemplos:

a) (+5) est a la derecha de (+2)

b) (-3) est a la izquierda de (+1)

c) (-5) est a la .. de (-1)

d) (+8) est a la . de (-4)

MXIMO COMN DIVISOR:

Definicin: El M.C.D. de varios nmeros naturales es otro nmero natural que cumple doscondiciones:1. Es el divisor comn de los nmeros dados.2. Es el mayor posible.

As : Consideremos los divisores de 30 y 45.

D30= { 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; ; 30 }

D45= { 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; ; 45 }

El M.C.D es 15 M.C.D (30 ; 45) = 15

METODO ABREVIADO PARA HALLAR EL M.C.D.

Para hallar el M.C.D. de varios nmeros, puede emplearse el mtodo abreviado que consisteen dividir todos los nmeros por el menor factor primo hasta que los cocientes sean primosentre si. El producto de los diversos factores primos empleados ser el M.C.D.

Ejemplo 1: Hallar el M.C.D.

de 60 y 90

Solucin: 60 90 2

30 - 45 3

10 - 15 5

2 - 3

M.C.D (60 ; 90) = 2.3.5 = 30

AHORA T

Ejemplo 2: Halla el M.C.D

de: 12 , 30 , 42

Solucin:

Ejemplo 3: Halla el M.C.D.

de: 640 ; 480 y 360

Solucin:

+5 > +3

-3 > +1

15

15

OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS


16/169



ADICION DE NMEROS ENTEROS

Para interpretar mejor la adicin de nmeros enteros, te presento la siguiente situacin

problemtica:

A) Carlos juega a las cartas y despus de dos juegos obtiene el siguiente resultado:

y En el primer juego gana 8 soles : +8

y En el segundo juego gana 10 soles: Entonces gana en total :

P R A C T I C A N D O :

a) (+9) + (+8) = +17 d) (+3) + (+19) + (+13) =b) (+13) + (+10) = e) (+7) + (+5) + (+11) + (+5) =c) (+2) + (+5) + (+12) = f) (+8) + (+4) + (+6) + (+16) =

B) Jorge tambin juega a las cartas y obtiene lo siguiente:

y En el primer juego pierde 4 soles : -4.y En el segundo juego pierde 7 soles:.

Entonces pierde en total:

P R A C T I C A N D O :

a) (-6) + (-13) = -19 d) (-5) + (-8) + (-12) =b) (-8) + (-7) = e) (-12) + (-3) + (-7) + (-9) =c) (-5) + (-6) + (-3) = f) (-1) + (-9) + (-14) + (-5) =

C) Pedro despus de jugar a las cartas obtiene el siguiente resultado:

y En el primer juego gana 18 soles :y En el segundo juego pierde 6 soles:.

Entonces gana:

D) Ricardo tambin despus de dos juegos obtiene:

y En el primer juego gana 5 soles :y En el segundo juego pierde 9 soles:.

Entonces pierde: ..


a) (+7) + (-5) = +2 d) (+31) + (-30) =

b) (-11) + (+3) = e) (-8) + (+16) =

c) (-15) + (+30) = f) (+3) + (-17) =

Por lo tanto la suma de dos o ms nmeros enteros es otro nmero entero

.cuyo resultado se obtiene sumando los valores absolutos de dichos nmeros.

Por lo tanto la suma de dos o ms nmeros enteros negativos es otro nmero entero

negativo cuyo resultado se obtiene sumando los valores absolutos.

Por lo tanto la suma de dos nmeros enteros de diferentes signos, tiene el signo del quetiene mayor valor absoluto cuyo resultado es igual a la diferencia de sus valores absolutos de

dichos nmeros.

ATENCIN:

Ganancia : +

Prdida : -


17/169



SUSTRACCIN DE NUMEROS ENTEROS

Es una operacin que hace corresponder a cada para de nmeros enteros, otro nmero entero

llamado diferencia

La diferencia de dos nmeros enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del

sustraendo.

Ejemplo 5 :a) (-8) (+2) = (-8) + (-2) = -10 b) (-7) (-13) = (-7) + (+13) = (+6)

OPUESTO OPUESTO


a) (+5) - (+2) = f) (+13) - (-15) =

b) (-3 ) - (+1) = g) (-45) - (-10) =

c) (-14) - (-7) = h) (-4) - (+4) =

d) (+7) - (-12) = i) (+30) - (-6) =

e) (-2) - (-2) = j) (-50) - (+60) =

OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIN Y SUSTRACCIN

Ejemplos:

a) (-3) (+7) + (-8) (-4) b) (+5) (+4) (-9) + (+5) (-6)

Solucin: Solucin:

Transformamos las sustracciones en adiciones

(-3) + (-7) + (8) + (+4)

-3 7 8 + 4

SIMPLIFICACIN DE DOBLE SIGNO

Signos iguales : +

Signos diferentes : -

a) (-5) + (-3) (+4) + (+6) (-7) b) (+8) (+9) (-6) + (-11) + (+3)

Solucin: Solucin:

Simplificando signos:

- 5 - 3 - 4 + 6 + 7

-12 + 13

ELIMINACIN DE SIGNOS DE COLECCIN

Signo + delante del parntesis :Cada nmero con su mismo signo. As: + (+ 4 3 8 + 5) = + 4 3 8 + 5

Signo - delante del parntesis :Cada nmero se cambia de signo. As: - ( + 4 3 8 + 5) = - 4 + 3 + 8 5

-14

+1


18/169


19/169



Completa:

a) -8 est a la izquierda de -2, entonces -8 -2

b) -5 est a la.. de -1, entonces -5.-1

c) -9 est a la. de -7, entonces -9 -7

d) +1 est a la.. de +6, entonces +1 +6

e) +3 est a la.. de +11, entonces +3 +11

f) +11 est a la.. de +7, entonces +11 +7

g) -1 est a la de -9, entonces -1 -9

h) -17 est a la de -2, entonces -17 -2

i) +53 est a la de -4, entonces +53 -4

j) -472 est a la de +144, entonces -472 +144

k) -125 est a la.. de +1873, entonces -125 +1873

l) +321 est a la..... de 0, entonces +321 0m) 0 est a la. de -1581, entonces 0 -1581

n) 0 est a la. de -324, entonces 0 +324

o) +1573 est a la. de -3245, entonces +1573 -3245

p) +273 est a la. de 137, entonces +273 137

q) -1789 est a la. de +142, entonces -1789 +142

r) -324 est a la. de 0, entonces -324 0

s) -17 est a la de -3489, entonces -17 -3489

t) -4 est a la .. de -80, entonces -4 -80

A) Completa la siguiente tabla, que muestra el rendimiento de 10 equipos al finalizar un campeonato.

EQUIPO 1 FECHA 2 FECHA RESULTADO FINALREPRESENTACION

NUMERICA

A 9pg 10pg 19pg (+9) + (+10) = +19

B 7pg 12pg

C 5pg 10ppD 13pp 21pp

E 14pg 7pp

F 19pg 7pp

G 2pg 21pp

H 15pg 32pp

I 8pp 10pg

J 12pp 18pg

ACTIVIDAD N 3

pg = puntos ganados (+) pp = partidos perdidos (-)


20/169



B) Halla los resultados de las siguientes sumas:

1. (+3) + (+8) = 11. (+85) + (-145) =2. (+7) + (+2) = 12. (+58) + (-285) =3. (-10) + (-20) = 13. (-36) + (-144) =4. (-3) + (-14) = 14. (-48) + (+501) =5. (+40) + (-10) = 15. (+348) + (+216) =6. (+18) + (-12) = 16. (-256) + (-824) =7. (-50) + (+10) = 17. (-1273) + (-41) =8. (-80) + (+50) = 18. (+2536) + (-1786) =9. (-25) + (+75) = 19. (+8341) + (+190) =10.(-45) + (+100) = 20. (-3843) + (+1535) =

C) Efecta en tu cuaderno:

1. (+47) + 0 = 11. (+42) + (+50) + (-75) =

2. (-42) + 0 = 12. (+126) + (+114) + (-106)=

3. 0 + (+8) = 13. (-420) + (-100) + (+84) + (+150) =

4. 0 + (-37 = 14. (-372) + (-189) + (+420) + (560) =

5. (+7) + (+8) + (+42) = 15. (-105) + (-420) + (+156) + (+224) =

6. (+72) + (+80) + (+50) = 16. (+700) + (-150) + (+800) + (-1200) =

7. (-54) + (-10) + (-1) = 17. (+40) + (-35) + (+151) + (-1) + (-8) =

8. (-72) + (-5) + (-6) = 18. (+6) + (-156) + (-80) + (+400) =

9. (-44) + (-85) + (-44) = 19. (-54) + (-42) + (-2) + (+16) + (+2) =

10.(+875) + (+156) + (+79) = 20. (+420) + (-600) + (-800) + (-1000) =

D) Investiga y escribe en tu cuaderno las propiedades de la adicin de Nmeros Enteros, luegocompleta el siguiente cuadro:

E) Realiza las siguientes sustracciones sumando al minuendo el opuesto del sustraendo:

1. (+9) - (+7) = (+9) + (-7) = +2 11. (-350) - (-150) =2. (+13) - (+2) = 12. (-420) - (+180) =3. (+8) - (-3) = 13. (-170) - (+10) =4. (+15) - (-20) = 14. (-8) - (+144) =5. (-45) - (+30) = 15. (-175) - (-145) =6. (-42) - (+18) = 16. (+108) - (-120)=7. (-75) - (-80) = 17. (-980) - (-1420)=8. (+90) - (+100) = 18. (+1420) - (-1080) =

EXPRESION CONENTEROS

PropiedadAplicada EXPRESION CON ENTEROS

PropiedadAplicada

(+4) + (-2)=(-2) + (+4) [(+1) + (-6)] + (+2)=(+1) + [(-6) + (+2)]

(+7) + (-9) = -2 (+8) + 0 = +8

(-5) + 0 = -5 (+9) + (-9) = 0(-2) + (+2) = 0 (-10) + (-2) + (-5)=(-12) + (-5)

(+12) + 0 = +12 (-52) + (+52) = 0

(-7) + (-1)=(-1) + (-7) (-132) + 0 = -132

(+15) + (-15) = 0 (-30) + (+8) = (+8) + (-30)

0 + (-25) = -25 [(+8) + (-10)] + (+6)=(+8) + [(-10)+(+6)]

(-1) + (+1) = 0 (-1) + (+1) = 0

(-8) + (+7)=(+7) + (-

8)

0 + (-4) = -4


21/169


22/169



a) (-5).(-2) = +(5.-2) = +10

b) (-9) (-3) = +(9.3 ) = +27

RESUMIENDO:

B. MULTIPLICACIN DE TRES O MAS NMEROS ENTEROS: El clculo se realiza con la

siguiente regla:

y El valor absoluto del producto se obtiene multiplicando los valores absolutos de losfactores:

y El producto es positivo si el nmero de factores negativos es PAR, y es negativo si elnmero es IMPAR.

Realiza las siguientes multiplicaciones:

1) (+3).(+5) = 11) (-5)(+7) = 21) (-572)(45) =

2) (+7 (+1)=

12) (+40)(+7)=

22) 472(-3)=

3) (+8) (-1) = 13) (-1)(-1) = 23) 8(-128) =

4) (+10)(-2) = 14 (-105)(-8)= 24) 13(-13) =

5) (-5)(-4) = 15 (+240)(-12)= 25) -5(-4) =

6) (-7)(-4) = 16 (-324(+16) = 26) -6(-8) =

7) (-9)(+8) = 17) (-1645)(-1) = 27) -14(3) =

8) (-1)(+78) = 18) (5)(-3) = 28) -9(-8) =

9) (+43)(-2) = 19) (9)(-10) = 29) -140(-13)=

10) (+12)(-12)= 20) (-160)(3)= 30) 256(-8) =

Completa: Efecta:

a b a . b a + b

+7 -2 -14 +5

-4 -5

-1 +5

+7 +4

Si los dos factores tienen

Igual Signo Distinto Signo

El Producto es Positivo El Producto es Negativo

( + ). ( + ) = +

( - ). ( - ) = +

( + ). ( - ) = -

( - ). ( + ) = -

Ejemplos:

( +7). ( +3) = +21

Ejemplos:

( +5). ( -3) = -15

ACTIVIDAD N 2

ACTIVIDAD N 1

1) (-2) (-3) (-1) (-5) =

2) (+3) (-2) (+5) (-3) (-1) =

3) (-1) (-7) (+3) (-10) =

4) 4 (-5) (2) (3) (-8) (-1) =

5) -3 (-2) (5) (7) (-1) =

6) -2 (-3) (-2) (-1) (-4) (-5) =


23/169


24/169



Ejemplo: S: 3 + 7 = 10 ; multiplicamos los dos miembros x4

(3 + 7 ) . 4 = 10 . 4

3 . 4 + 7 . 4 = 10 . 4

7. Propiedad Cancelativa

Si en los dos miembros de una igualdad existe un mismo factor diferente de cero, puedesuprimirse dicho factor.Ejemplo: 1. S: 6 . 13 = 13 . x 2. S: 7 . y = -21

7 . y = -3 . 7

En cada una de las expresiones que siguen identifica la propiedad de la multiplicacin en elconjunto de los nmeros enteros:a) (-3) . (-6) = (-6) . (-3) ; por propiedad:

b) 5 . [(-3) + (-8)] = 5 . (-3) + 5 . (-8) ; por propiedad: c) [(-4) + (7)]. 1 = [(-4) + (7)] ; por propiedad:

d) (-11). (-9) = +99 ; por propiedad:.

e) [(-7)- (-4)]. (9. 0) = 0 ; por propiedad:

C. OPERACIONES COMBINADAS: En las operaciones donde interviene adicin, sustraccin

y multiplicacin los clculos se realizan en el siguiente orden:

1. Se efectan las operaciones indicadas dentro de los smbolos de coleccin, de adentrohacia fuera.

2. Se efectan los productos.3. se efectan las adiciones y sustracciones.

Ejemplos: AHORA T

1. -5 + 3 x 8 (4 1 x 5) 2. -12 [ -6 6 . 10 . (-2 3)]

= -5 + 24 - (4 - 5) Solucin:

= 19 - ( -1 )

= 19 + 1

= Rpta. Rpta.

1) -5 + 4 x 8 11. 85 4{-3 + 7[-5 + 4 (2 1 x 3)]}2) 6 2 x 5 12. -3 + 2x5 4x8 + (-6).(-1)4 (-1 3x2)3) 32 40 x 5 + 128 13. {14 10[32 + 6.(-5) 4]-16}x(-1) + 794) (8 3). 4 1 14. 70 70[2 2. (5 5 x 4)- 3 + 3 x 2]5) (-13 + 6). (-3) + 4. (-1) 15. 6. (-5 4)- 8. [4 (2 x 3 5) + 1]6) 15. (-2 + 3 x 4) 6 + 8 x 2 16. [14.(-3)+7. (-2x8 + 10)+1]- (-3).(5 4)7) -13 16 + 29. (-2) 17. 1 2{-4+5[38. (16)+4 3x2]- 5 x 3}

Si: a = b a . c = b . c

40 = 40

6 = xy = -3

20

ACTIVIDAD

ACTIVIDAD


25/169



8) 7. (-3) + (-2). (-15) 3 x 8 + 1 18. -5.(-14+2x7)-15[4 8 x (5 4x4 ) 1]9) -15. (-4) + 2 [-3 x 2 + (6 2 x 8)] 19. [-5 x (48x3 + 1 5)+ 3.(-2)]- 4x3 + 910) -3. [-5 + 2. (-3 + 6 x 8)] + 1 20. 1 {-4. [-2.(-8 + 5x2) -3 -4x2]- 5 + 6x3}

DIVISIN DE NMEROS ENTEROS: La divisin nos permite encontrar un nmero enterollamado COCIENTE, conociendo dos nmeros enteros llamados DIVIDENDO y DIVISORrespectivamente.

} Pero : d { 0

Regla de los Signos:

( + ) : ( + ) = +

( - ) : ( - ) = +

( + ) : ( - ) = -

( - ) : ( + ) = -

Hallar el cociente de las siguientes divisiones:

1) 396 : 36 11. (-7200) : (-15)

2) 792 : (-18) 12. 29890 : 2135

3) -144 : 36 13. (-4 + 3). (-1) + [3 - (-8): (+2)] + (-9) : (+3)

4) 483 : (-23) 14. [(-7 + 5 2)(-2) + 4] : (+6) (-10+3) : (+7)

5) -1445 : 17 15. [-8 + (-7+4)(-2)] : [(-9) : (-3) 1]

6) (-256) : (-16) 16. (-9 + 6 + 5)(-4) + [7 (-8) : (+2) -5] (-3)

7) 120 : (-24) 17. [10 5. (-2)]:(+5) + (-4 + 6).(+3)+ 8 : (-2)8) (-4674) : (-38) 18. [(11 4):(-7)+ 8]. (+2)- 27: (+3)

9) (-972) : 27 19. {3 +[2(-4)+(8- 6): (-2)]. 3- 1}

10) 1968 : 123 20. -2 +{(-5). 4-[2 + (-7 + 4).(-1)]+ (-10): (+5)}

Halla el valor de A, que se deduce de las siguientes igualdades:

a) 10 A + 5 A = 75 e) (5 A 7) : 7 = 4 i) 4 A 56 = 16 2 A

b) 8 A = 90 + 3 A f) 25 + 8 A = 3 A + 60 J) A : 7 = 90 2 A

c) 5 (A 5 ) = 75 g) 5. (A 6) = 30 k) (5 A 8) : 4 = 3

d) (A + 9) : 5 = 16 h) 2. (5 A 9) = 42 l) 6 A + 18 = 3 A + 72

POTENCIACIN DE NMEROS ENTEROS:

Es una operacin en la que dada la base a un exponente n, hallamos la potencia P.

El exponente n indica la cantidad de veces que se repite la

base a como factor, es decir:

D : d = q

Dividendo Divisor Cociente

ACTIVIDAD

ACTIVIDAD

an = P

an= a. a. a. a. a. a a

n veces

Potencias de 10:

101= 10

102= 100

103= 1000

104= 10000 , etc.


26/169



Regla de Signos:

( +a )PAR = +

( +a )IMPAR= +

( -a )PAR = +

( -a )IMPAR= -PROPIEDADES DE LA POTENCIACIN

Todo nmero entero elevado a un exponente negativo ser igual a la inversa de dicho nmero

entero elevado al mismo exponente pero positivo.

As: a) ( -5)-2= 1/( -5)2= 1/ 2 b) 6-3= 1/63= 1/216

ACTIVIDAD N 1

Escribe el nmero que representa la potencia siguiente:

a) 64= d) 37= g) (-17)2= j) (-32)2=b) (-12)3= e) (-2)8= h) (-26)3= k) (-5)4=

c) (-7)2= f) +46= i) (125)2= e) (-4)5 =

ACTIVIDAD N 2

Abrevia los productos siguientes escribindolos como potencia:

a) 3 x 3 x 3 x 3 = d) a. a. a. a. a. =

b) 15 x 15 x 15 = e) n2. n2. n2. n2. =

c) (-4) (-4) (-4) = f) (-5) (-5) (-5) (-5) (-5) =

Aplicando propiedades de las potencias halla el resultado de:

a) 32 x 33= e) 3-4= i) (3/4)-3=

b) (-2)4 . (-2)2= f) 4-3= j) (23)4=

c) 76 : 74 = g) 6-2= k) [(-3)2]5=

Producto de Potencias de igual Base am . an= am + n

Cociente de Potencias de igual Base am : an= am-n

Potencia de un Producto ( a . b)n= an . bn

Potencia de un Cociente ( a/b)n= an/bn

Potencia de Potencia (am

)n

= am . n

Exponente Cero a0= 1 ; si a { 0

IMPORTANTE:

am/an= am - n

ACTIVIDAD N 3


27/169



d) (-3 x 6)2 = h) (5/2)-2= l) 163 : 16 =

Simplifica:

a)34

47

.

.

yx

yxd)

476

698

.9.8

.9.8

x

x

b)276

498

..

..

cba

cbae)

245

6437

...10

...10

ymz

zym

c)742

844

9.7.6

9.7.6f)

7436

5458

...3

...3

cab

cba

I. Simplifica:

a)65

65

23

46

x

xc)

43

34

514

720

x

xe)

4

444

64

4216 xx

b)2

22

36

918 xd)

43

43

34

612

x

xf)

83

43

34

932

x

x

II. REDUCE

a)2/1

927 c)

3/112532

e)

33

33

510

1020

b)2/11681

d)44

44

36612

f)

3/18161625

RADICACIN DE NMEROS ENTEROS

La radicacin es la operacin inversa de la potenciacin

Consiste en encontrar un nmero llamado RAIZ, de manera que al elevarlo al INDICE del

radical, obtenemos la cantidad SUBRADICAL o RADICANDO.

Donde: Regla de los Signos

r Raz PAR a = + -

a Radicando IMPAR a = +

n ndice IMPAR a = -

ACTIVIDAD N 4

ACTIVIDAD N 5

n

a = r rn= a


28/169



Operador Radical PAR a = en Z no existe

PROPIEDADES DE LA APLICACIN EN Z

Hallar las siguientes races:

1) 3 8 7) 641627 43 13) 25164 xx

2) 5 1 8) 4925463 2 x 14) 49936 xx

3) 3 27 9) (8 3 + 7) 535 12732 15) 4981x

4) 5 32 10) 94x 16) 3616x

5) 144 11) 2516x 17) 98164 xx

6) 9 12) 49100x 18) 4910064 xx

Efecta:

1) 7 + (-3). (-4)+ (-2)3(6) 11) 316 : (-2)3 (-7)2. (-4)+ (-9). (-2)3

2) 16 : 8 x 8 (-6)2 : (-9) 12) (-50) : (-25) + 3 48 . (-6)2+ (-3)4. (-2)

3) 9 x 6 : 3 + (-5)2 (-2)2 13) 3 8:64

4) (-20) : (4) + (-6)2 (-7) 14) 3 64

5) (-1). (-9)2- (-3)4. (-2) + 3. (-7) 15) 3 65

6) (-8). (5) : (-10)+ 52. (-4) 16) 3 64125x

7) (-70) : (-14). (-6) + (-2)6(-4)2 17) 5 105

8) 144 . (-4)3: 32 - 121 . (-3)4 : 27 18) 3 63 1011227

9) 43 . (-2)3- 62. (-3)-2 + 2-1. (-4) 19) 35 27100016:2561 x

10) (-11). (-2)3 (-7)2.(-4) + (-9). (-2)3 20) 36 12564:100

FECHA DEREVISIN

/ /2008 OBSERVACIONES

Firma del

Raz de un Producton

ab =n

a .n

b

Raz de un Cocienten

ba : =n

a :n

b

Raiz de Razm n

a =mn

a

Raz de una Potencian ma = n

m

a

PRCTICA DE CLASE



29/169



ProfesorFirma del PP.FF. oApoderado

1975-2008


VIRGEN DEGUADALUPE

NIVEL

SECUNDARIA DE MENORES


1SECUNDARIA


30/169




31/169



II BIMESTRE

Del 12 de Mayo 2007 al 18 de Julio 2008

Ecuaciones de Primer Grado: Historia. Definicin. Forma General.Solucin. Conjunto solucin. Resolucin de ejercicios. Ejemplos P. 35

Prctica de Clase. Prctica Domiciliaria..

Problemas sobre ecuaciones de Primer Grado con una variable.. P. 40 Qu es una situacin? .

Situaciones traducidas al lenguaje matemtico. . Prctica de Clase. Prctica Domiciliaria. ..

I N D I C E

1 Unidad

2 Unidad


32/169




33/169



_

xQ

miembroSegundo

xP

miembroPrimer

2397x !

1975-2008

GUA DE APRENDIZAJE DE LGEBRA N 05

TEMA: ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

CONTENIDO: Ecuaciones de Primer grado con una variable.

ECUACIONES

Los nmeros gobiernan el Universo

En la msica se estudi los distintos tonos producidos por las cuerdas de un instrumento

musical como el violn y descubrieron que el sonido variaba con la longitud de la cuerda, de ah

que expresaran los intervalos de la escala musical en trminos de razones numricas

correspondientes a las longitudes de la cuerda del instrumento.

Los pitagricos crean tambin que el movimiento de los planetas se poda reducir a relaciones

numricas y que los cuerpos que se movan en el espacio producan sonidos que variaban

proporcionalmente a la distancia de la tierra. Todos esos sonidos se concentraban para crear

una msica sublime, la msica de las esferas inaudible para nosotros porque somos como el

herrero y sus ayudantes, que han dejado de or los ruidos que permanentemente los rodean ya

que no los pueden contrastar con el silencio.

En las obras de Alkuwarizmi, se explican con precisin los procedimientos de resolucin de

las ecuaciones con la introduccin del principio de la reduccin de los trminos semejantes y el

traslado de un miembro a otro de los trminos cambindoles de signo, aplicndose tambin enla demostracin del Teorema de Pitgoras. Por lo tanto, el procedimiento de resolucin

consiste en transformar la ecuacin en otras equivalentes y de forma ms sencilla. Estas

transformaciones, a las cuales Alkuwarizmi llama en rabe al-giabr dieron origen a la

palabra lgebra que pese a haber nacido como ciencia de las ecuaciones hoy ha alcanzado

dimensiones mucho ms amplias.

ECUACIN: Se define como la igualdad de dos expresiones matemticas: P(x) = Q (x),

donde:

P(x) se denomina Primer miembro y Q(x) Segundo miembro; de variable x.

Ejemplo:

Esta ecuacin se verifica cuando x toma el valor de 2, es decir se convierte en una igualdad

verdadera, caso contrario nunca se verifica.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO


34/169



] ] ]0bxa

eCoeficientIncgnitaeCoeficient

!

a

b-xb-ax !!

FORMA GENERAL DE UNA ECUACIN: Se denomina ecuacin general de incgnita x y se

representa de la siguiente forma: P(x) = 0.

SOLUCIN DE UNA ECUACIN: Dada la ecuacin P(x) = 0, se define como solucin al valor

que toma la incgnita, de tal modo que al reemplazar, este valor, en la ecuacin original,

convierte a esta ecuacin en una igualdad verdadera.

Ejemplo: 3x + 5 = 11; para: x = 2,

reemplazamos: 3(2) + 5 = 11

11 = 11 p Verdadero

Luego: x = 2 es la solucin de la ecuacin.

CONJUNTO SOLUCIN DE UNA ECUACIN: Se define el conjunto solucin (c. s.) de una

ecuacin como aquel conjunto que est formado por la unin de todos los valores que

verifican una ecuacin.

Del ejemplo anterior, se tiene: c. s. = {2}

RESOLUCIN DE UNA ECUACIN: Resolver una ecuacin significa encontrar su conjuntosolucin o en todo caso demostrar que la ecuacin no se cumple con ningn valor.

CLASIFICACIN DE ECUACIONES: Las ecuaciones se clasifican de acuerdo al grado,

coeficientes, incgnitas, estructura y por sus soluciones que en forma general nos permite

saber de qu ecuacin se trata. En esta oportunidad, trataremos solamente de las ecuaciones

de Primer Grado con una variable en sus distintas formas, tanto en ejercicios como en

problemas.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

Toda ecuacin de primer grado con una

incgnita tiene la siguiente forma:

Despejando la incgnita x, se tendr:

El valor de x (raz o solucin), depende de

los valores de a y de b; veamos:

1 Si: a { 0 y b { 0 p x = -b / a

(la ecuacin es determinada y el valor de

x es nico).

2 Si: a { 0 y b = 0 p x = 0

(la ecuacin es determinada y la raz es

nula).

3 Si: a = 0 y b { 0 p

(la ecuacin es incompatible o absurda,

no tiene solucin).

4 Si: a = 0 y b = 0 p

(la ecuacin es indeterminada).

Pasos sugeridos para resolver una ecuacin lineal o de primer grado con una incgnita o variable:

1Se suprimen los signos de coleccin, si los hubiera.

2Se efecta la reduccin de trminos semejantes en cada miembro.

3Se realiza la transposicin de trminos (las incgnitas en el primer miembro y las dems en

el segundo miembro).

4 Se vuelve a reducir trminos semejantes.


35/169



2433-x3

1

3

1!

5333-x3

1

3

1

3

1!

-

273-x3

1

3

1!

813-x3

1

!

84x3

1!

833-x3

1

3

1

3

1!

-

10

3x3

5

x

2

1-x !

72-x4

36x

3

2!

5 Se despeja la incgnita.

6 Se verifica la ecuacin.

Ejemplo 01: Halla el valor de x en:

3x 2(x +7) = 4(6 x) +12

1 3x 2x 14 = 24 4x + 12

2 x 14 = 36 4x3 x + 4x = 36 + 14

4 5x = 50

5 x = 10

6 3(10) - 2(10 + 7) = 4(6 - 10) + 12

30 - 2( 17 ) = 4(-4) + 12

30 - 34 = - 16 + 12

- 4 = - 4

Por lo tanto la ecuacin es verdadera

Ejemplo 02: Halla el valor de x, en:

1

2

3

4

5

6 x = 252

Ejemplo 03: Resuelve la siguiente ecuacin:

1 Hallamos el M. C. M. de 2; 5 y 10.

Entonces: el M. C. M. (2; 5; 10) = 10.

2 5(x 1) 2 x = 30 (x + 3)

3 5x 5 2x = 30 x 3

4 3x 5 = 27 x

5 3x + x = 27 + 56 4x = 32

7 x = 8

Ejemplo 04: Determina el valor de x en:

Ahora, Intntalo t!

1

2

3

4

5

6

Comprobacin:

PRCTICA DE CLASE

I. Halla el valor de x en cada una de las siguientes ecuaciones:

01) 3x + 7 = 16a) 6 b) 7 c) 8d) 45 e) 3

02) 4x 13 = 2x + 9a) 10 b) 11 c)12d) 9 e) 8

03) 5x + 7 = 2x + 22a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2

04) 7x 25 = 29 + xa) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 4

05) 18 5x = 30 7x


36/169



? A 9-5x-x83x-5x-3x !

3x865x4x56x--x30 !

6-3x-118x6x43x5 !

3x2x-6x10-x15 !

3x3812x-x !

22 2-x322x !

355x3x4x5x !

52-x3x 22 !

196

23x13!

6

16x4

9

26-x7 !

1611

842x!

312-x32

47)-x(9 !

3-x71-x52-x2 !

1-2x35-x22-x43x !

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

06) 8x 4 + 3x = 7x + x + 14

a) 8 b)5 c) 7d) 5 e) 6

07) x (2x + 1) = 8 (3x + 3)a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6

08) x + 3(x 4) = 8a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2

09) 7x + ( 5x 12) = 44 2xa) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 6

10) 34 (23 7x) = 2(9x 5) 1a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11) 4x (-3x + 5) = - 4(5 2x) + 45 a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

12) 3x + 32 7(9 3x) = 5(-x + 7) 10a) 4 b) 5 c) 3d) 2 e)6

13)

a) 5 b) 6 c) 7d) 4 e) 3

14)

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

15)

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

16)

a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) 29

17)

a) 5 b) 5/2 c) 2d) 2/5 e) 3/2

18)a) 1 b) -1 c)0d) -1/2 e) 1/2

19)a) 1 b) 0 c) 1d) 2 e) 7

20)

a) 30 b) 25 c) 35d) 40 e) 20

21)a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 8

22) (X 1)2

+ 5X = 10 + X2

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 8


01) Determina el valor de x, si:

a) 1 b) 2 c) 3d) 3 e) 1/2

02) Halla el valor de x, en:

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 1/2

03) Halla el valor de x, si:

a) 1/2 b) 3/2 c) 5d) -1/2 e) -9/2

04) Determina el valor de x, en:

a) -3 b) -3/7 c) -4/7d) 1/3 e) -3

05) Halla el valor de x, si:

a) 4 b) 8 c) -6

d) -3/5 e) -1

06. Halla el valor de x, si:

a) 1 b) 3 c) -4d) 2/3 e) 1/5

07) Halla el valor de x, si: ? A ? A3x23x-x309x-6-3x-16x !

a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3d) 3/4 e)6

2x3x23x73x256x-x15 !


37/169



FECHA DE

REVISIN

FIRMA DEL

PROFESOR

FIRMA DEL

PP.FF

2008 OBSERVACIONES

08) Determina el valor de x, si:

_ a? A 3x6-5x-3x5-x ! a) 1 b) 3 c) 4

d) -2 e) 1/5

09) Halla el valor de x, en: _ a 0x95-7x-x8215x-9x !

a) 3 b) -3 c) 2/3d) 2/5 e) -1/4

10) Halla el valor de x, si: ? A ? A3x44x32532x-5x-71 !

a) 2 b) 3 c) 5d) 8 e)-7

11) Halla el valor de x, si: ? A_ a 5294x523x--6x15--8x3 !

a) -2/3 b) -5 c) -6d) 4 e) 15

12) Determina el valor de x, en:5x-13-4x12x-98x !

a) 22/3 b) 11/3 c) 11/2d) 3 e) -8

13) Halla el valor de x:320x21-16x !

a) 0 b) -6 c) 6d) 12 e) -3/2

14) Halla el valor de x, si:4x-155x3x19 !

a) -3 b) -2/3 c) 3/2d) 2 e) 3

15) Determina el valor de x, si:812x6xx416 !

a) 4/5 b) 5 c) 4

d) -5/4 e) -4

16) Determina el valor de x + 8, si:13-8x1510x-x4 !

a) 2 b) 8 c) 4d) 10 e) 1

17) Halla el valor de x + 5, si:6x-1215x4-6x-7x !

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

18) Determina: x 23, si:6x3x37x2x !

a) 3 b) -20 c) 20d) 23 e) N.A.

19) Halla: 2x + 7, si:

131x564-x3 ! a) 1 b) -1 c) 7d) 9 e) -7

20) Determina el valor de: 7x + 37, si: 3x25x512x41x3 !

a) 4 b) 8 c) 32d) 37 e) 65

21) Halla: 8x2 19, en:x

2

1

2

x1 !

a) 1 b) -1 c) 11

d) -11 e) 27

22) Halla: 9 20x, si:6

2

x

3

x5 !

a) 6/5 b) -6/5 c) 33d) -33 e)24

23) Determina: 23 8x3, en:

2

x

5

4

5

2x

4

3!

a) 1 b) -1 c) 24d) -24 e) N. A.

24) Halla: -27x3 + 500, en:

2

1x1

3

2

2

1-x!

a) 12 b) -12 c) 8d) 64 e) N. A.

25) Halla: 2x + 3x + 5x, si:

5

x

3

1

2

1

5

1

3

x

2

x!

a) 1 b) 2 c) 3d) 8 e) 10


38/169



1975-2008

GUA DE APRENDIZAJE DE LGEBRA N 06

TEMA: PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

CONTENIDO: Problemas sobre Ecuaciones de Primer grado con una

variable.

PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

En nuestra vida diaria se nos presenta una serie de situaciones que pueden ser traducidas allenguaje matemtico. Dichas situaciones lo llamaremos PROBLEMAS.

PROBLEMA es una proposicin donde se

pide calcular ciertas cantidades llamadas

incgnitas o variables, empleando lasrelaciones que se nos proporciona entre estas

y otras cantidades conocidas a las que

llamamos datos.

Una relacin entre incgnitas y datos nos

lleva a formar una ecuacin, en la presente

unidad estudiaremos solamente la ecuacin

de lineal o de primer grado.

En todo PROBLEMA podemos distinguir los

siguientes pasos para su resolucin:

1 Lectura del enunciado.

2 Identificacin de datos e incgnitas.

3 Identificacin de una relacin (ecuacin)

entre datos e incgnitas.

4 Resolucin de la ecuacin.

5 Verificacin de los resultados obtenidos.

6 Interpretacin de los resultados.

SITUACIONES TRADUCIDAS AL

LENGUAJE MATEMTICO

1) La edad de Juan, aumentada en 10 aos.

Edad de Juan : x

aumentada : +

en 10 aos : 10

@ x + 10.

2) La edad de Ana, ms 9, es igual a 30.

Edad de Ana : x

ms : +

9 : 9

igual : =

a 30 : 30

@ x + 9 = 30

3) Un nmero disminuido en 3 es igual a 45. Un nmero : x

disminuido : -

en 3 . 3

igual a 45 : 45

@ x 3 = 45

4) El triple de un nmero, disminuido en 5.

El triple : 3

de un nmero : x

disminuido : -

en 5 : 5

5) El quntuplo de un nmero, incrementado

en un cuarto es igual a 72.

El quntuplo : 5

de un nmero : x


39/169



incrementado : +

en un cuarto : 1/4

es igual : =

a 72 : 72

@ 5x + 1/4 = 72

6) El permetro de un cuadrado es igual a 72

El cuadrado tiene cuatro lados iguales.

Lado del cuadrado : x

Permetro del cuadrado: 4x

es igual : =

a 72 : 72

@ 4x = 72

7) El largo de un rectngulo excede al ancho

en 17 m.

Medida del ancho : x Medida del largo : x + 17

8) El numerador de una fraccin excede en 9

al denominador.

Denominador : x

Numerador : x + 9

9) Dividir 160 en dos partes.

Primera parte : x Segunda parte : 160 x

10) La edad de Antonio excede en 20 a la

edad de Pedro.

Edad de Pedro : x

Edad de Antonio : 20 + x

11) Lo que me falta para obtener 500 soles.

Lo que tengo : x

Lo que me falta : 500 x

12) Tres nmeros enteros consecutivos.

Nmero menor : x

Nmero intermedio : x + 1 Nmero mayor : x + 2

13) Tres nmeros pares consecutivos.

Nmero par menor : 2x

Nmero par intermedio: 2x + 2

Nmero par mayor : 2x + 4

14) Tres nmeros impares consecutivos.

Nmero impar menor: 2x + 1

Nmero impar intermedio: 2x + 3 Nmero impar mayor: 2x + 5

Ahora, completa cada una de las siguientes proposiciones!

15) El doble de un nmero, aumentado en 1.

Sea el nmero :

Doble del nmero :

Aumentado en 1 :

@

16) El doble de, un nmero aumentado en 1.

El doble de :

Sea el nmero :

Aumentado en 1 :

@

17) Dos nmeros que suman 57.

Primer nmero :

Segundo nmero :

18) Dos nmeros que se diferencian en 14.

Primer nmero :

Segundo nmero :

19) Ha transcurrido del da la tercera parte

que falta transcurrir.

Ha transcurrido :

Tercera parte :

Falta transcurrir :


40/169



@

20)Una cantidad es tal que su triple,

aumentado en 4 equivale al doble de

dicha cantidad aumentada en 6. Halla el

quntuple de dicha cantidad.

Sea la cantidad : x

Triple de la cantidad : 3x Aumentada en 4 : + 4

Equivale : =

Doble de : 2

Cantidad aumentada en 6: x + 6

@ 3x + 4 = 2(x + 6)3x + 4 = 2(x + 6)

3x + 4 = 2x + 12

3x 2x = 12 4

x = 8

@ El quntuple de la cantidad es:

5 (8) =40.

21) En un examen parcial de lgebra de 20

preguntas, un estudiante contesta todas

ellas obteniendo 40 puntos. Si una

pregunta bien contestada vale 4 puntos y

una incorrecta vale (-1), Cuntas

preguntas contest correctamente?

Pregunta bien contestada : x

Pregunta mal contestada : 20 x

4 ptos. pregunta bien cont. : 4x

-1 pto. pregunta mal cont. :-1(20x)@ Si la suma de ambos puntajes

obtenidos es 40, se tiene que:4x + -1(20 + x) = 40

4x 20 + x = 40

5x = 40 + 20

5x = 60

x = 12

El estudiante contest correctamente

12 preguntas.

22) Federico tiene 58 nuevos soles entre

monedas de 5 soles y 1 sol. Si el nmero

de monedas es 18, indica la cantidad de

monedas de 5 soles.

Monedas de 5 soles : x

Monedas de 1 sol : 18 x

Valor total de 5 soles: 5x

Valor total de 1 sol : 1(18 x)

@ Si la cantidad de dinero es de 58

nuevos soles, se tiene que:

5x + 1(18 x) = 58

5x + 18 x = 58

4x = 58 18

4x = 40

x = 10

La cantidad de monedas de cinco

nuevos soles es 10.

23) Un nio tiene un cierto nmero de

caramelos. En cada hora se come la mitad

de lo que tiene, ms medio caramelo. Si

luego de tres horas se le acab, cuntos

tena al inicio?

Nmero de caramelos: x

Come 1ra. Hora : 1/2 x + 1/2

Queda de 1ra. Hora : 1/2 x 1/2

Come 2da. Hora : 1/2 (1/2 x

1/2) + 1/2 = 1/4 x + 1/4

Queda 2da. Hora : (x 3)/4

Come 3ra. Hora : 1/2 (x 3)/4

+ 1/2 = (x + 1)/8

Queda 3ra. Hora :(x 7)/8

@ Si al cabo de tres horas se acab loscaramelos, se tiene que:

(x 7)/8 = 0


41/169



x 7 = 0

x = 7

La cantidad de caramelos que tena al

principio fue de 7 unidades.

PRACTICA DE CLASE

01) Determina dos nmeros de modo quesu suma sea 20 y su producto sea el

triple del cuadrado del menor. Dacomo respuesta la diferencia entredichos nmeros.a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

02) En este momento las edades de treshermanos, de mayor a menor, suman30 aos. Sabiendo que se diferencianen 2 aos entre s, qu edad tiene elmayor?a) 8 a b) 10 a c) 12ad) 14 a e) 16 a

03) Las edades de Pedro, Juan y Diegosuman 93, la edad de Juan es 5/6 laedad de Pedro y la de Diego es elcudruplo de la edad de Juan.Determina la edad de Pedro.a) 40 a b) 60 a c) 15 ad) 18 a e) 24 a

04) Hace 5 aos la edad de una jovenmadre era el cudruplo de la edad desu hijo. Dentro de 5 aos ser el doble.Calcula la edad actual del hijo.a) 25 a b) 10 a c) 15 ad) 18 a e) 20 a

05) Dos cajas rectangulares tienen elmismo volumen. Las dimensiones deuna caja son: 12; 16 y x. Lasdimensiones de la otra son: 16; 20 yx 2. Halla el valor de x.a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

06) Despus de adquirir 9 libros deRazonamiento Matemtico del mismoprecio me sobran 60 soles y paracomprar 3 libros ms me faltaran 15

soles. De qu suma dispona?a) S/. 275 b) S/. 258 c)S/. 285d) S/. 528 e)S/. 385

07) El producto de dos nmeros es 108. Sila suma de dichos nmeros excede asu diferencia en 24, halla el residuoque resulta de dividir ambos nmeros.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

08) Si de un nmero se resta 10, elresultado es igual a los del nmero.

Cul es el nmero?a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 80

09) Lus tiene 4 aos ms que Mara yadems, la mitad de la edad de Arturo.Si la suma de las tres edades es 56,cul es la edad de Mara?a) 15 a b) 11 a c) 20 ad) 30 a e) 13 a

10) Se ha vendido la quinta parte, latercera parte y la cuarta parte de unapieza de tela. Quedando an 26

metros. Cuntos metros se hanvendido?a) 96 b) 49 c) 94d) 120 e) 70

11) La cifra de las decenas de un nmerode dos cifras es el cudruplo de lascifras de las unidades. Si se invierte elorden de las cifras se tiene un nmeroque tiene 54 unidades menos que elnmero primitivo. Calcula la suma delas cifras de dicho nmero.a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

12) Por cada problema bien resuelto, unalumno recibe 4 soles y por cadaequivocado l devuelve 3 soles.Despus de haber hecho 10problemas, el alumno cuenta con 19soles. Cuntos problemas ha resueltobien?a) 3 b) 5 c) 7d) 6 e) 4

13) El nmero de cuadernos que tengo esel doble de los libros; si compro 7

cuadernos y 1 libro ms, tendr eltriple de cuadernos que libros.Cuntos libros tengo?a) 8 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

14) Qu nmero hay que restarle a losdos trminos de la fraccin 3/9 paraque el valor de ella sea 1/2?a) 3 b) 2 c) -3d) -4 e) 6


42/169



15) Qu nmero hay que restarle alnumerador de la fraccin 7/15 paraque su valor sea 1/3?a) 3 b) 2 c) -2d) 4 e) -5

16) El exceso del triple de un nmerosobre 42 equivale al exceso de 286sobre el nmero. Cul es el nmero?a) 76 b) 120 c) 38d) 82 e) 98

17) Halla un nmero cuyo doble,aumentado en 18 da el exceso de su

triple sobre 20.a) 38 b) 42 c) 96d) 108 e) N. A.

18) De la figura adjunta: Su permetro es64 u. Halla su rea. (CD = DG).

a) 129 u2b) 219 u2

c) 192 u2d) 186 u2e) N. A.

19) Halla dos nmeros consecutivos talesque los 4/5 del mayor equivale almenor disminuido en 4. Da comorespuesta la suma de los nmeros.a) 47 b) 48 c) 49d) 50 e) 51

20) Dos nmeros estn en la razn 4:3, lamitad del mayor excede a la terceraparte del menor en 5. Halla el mayor.a) 2 b) 12 c) 20d) 36 e) 40

21) Un nmero es tal que multiplicado por2, por 3 y por 5 da tres nmeros cuyoproducto es 15360. Halla el nmero.a) 8 b) 7 c) 6d) 5 e) 3

22) Halla tres nmeros consecutivos talesque si el menor se divide entre 4, el

mediano entre 5 y el mayor entre 2, lasuma de los cocientes sea 24. Da comorespuesta el mediano.a) 24 b) 25 c) 26d) 28 e) 30

23) La suma de tres nmeros es 72. Elsegundo es un quinto del tercero y elprimero excede al tercero en 6. Halla elmenor.a) 7 b) 30 c) 6d) 36 e) 30

24) Del grfico, determina el valor de x.

a) x = 10 b) x2 +1 = 82c) x = 16 d) x es primoe) x es par

25) El largo de un terreno rectangularexcede en 25 m, al doble de su ancho

y se necesitan 650 de malla dealambre para cercarlo. Halla el largodel terreno.a) 220 m b) 225 m c) 230 md) 280 e) 320

PRACTICA DOMICILIARIA

01) La suma de los dgitos de un nmerode dos cifras es 14. Al invertir el ordende los dgitos se obtiene un nmeroque es 36 unidades menos. Determina

la diferencia entre los dgitos de dichonmeroa) 6 b) 4 c) 5d) 3 e) 7

02) Gast 4 soles, luego 3/4 del resto;quedndome todava la quinta parte delo que tena al principio. Cuntotena?a) S/. 10 b) S/. 16 c) S/. 20d) S/. 24 e) S/. 30

03) Dividir 98 en dos partes tales quedividiendo la mayor entre la menor elcociente sea 5 y el residuo 8. Halla laparte menor.

a) 83 b) 62 c) 54d) 25 e) 1504) Las edades de un padre y su hijo son

42 y 12 aos respectivamente. Hacecuntos aos la edad del hijo era lacuarta parte de la edad del padre?a) 4 b) 3 c) 2d) 6 e) 5

05) Dentro de 5 aos tendr el doble deaos de lo que tena hace 4 aos. Hallami edad actual.


43/169



a) 12 a b) 13 a c) 14 ad) 15 a e) 18 a

06) Halla un nmero cuyo quntuplodisminuido en 7 es igual a su tripleaumentado en 3.

a) 15 b) 25 c) 22d) 5 e) 8

07) La suma de la tercera parte y la cuartaparte de un nmero es igual a sumitad, ms 2. Qu nmero es?

a) 12 b) 16 c) 20d) 24 e) 28

08) Un padre tiene 39 aos. El hijo mayor7 aos y el menor 5 aos, hacecuntos aos la edad del padre era 6veces la suma de las edades de susdos hijos?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

09) Repartir 100 soles entre 4 personas demodo que la segunda reciba 5 solesms que la primera, la tercera elcudruplo de la primera y la cuarta 5soles menos que la tercera. Cuntorecibe la segunda?

a) S/. 10 b) S/. 35 c) S /.15d) S/. 40 e) S/. 20

10) Dos nmeros estn entre s como 6 esa 4; si se disminuye a cada uno deellos en 3, la relacin de ellos es de 4 a2. Qu nmero son siendo ladiferencia de ellos 3?a) 3 y 2 b) 9 y 6 c) 8 y 5d) 5 y 2 e) 12 y 9

11) En un corral hay aves y conejos;contando las patas son 80 en total ycontando las cabezas son 35. Segn

esto cuntos conejos hay en el corral?a) 20 b) 30 c) 5 d) 8 e) 23

12) La edad que tena hace 7 aos es a laque tendr dentro de 7 aos como 2/3es a 3. Qu edad tendr dentro de 14aos?a) 23 a b) 25 a c) 24 ad) 32 a e) 35 a

13) En el saln A hay 2 nios ms que enel saln B. Dos nios pasan del A al B,resultando ahora el A con la mitad denios que hay en el B. Cuntos nios

haba al comienzo en el saln A?a) 12 b) 10 c) 8d) 6 e) 4

14) Si la tercera parte de los varones queasistieron a una fiesta estn bailando ylas mujeres que estn sentadas excedeen 10 a los varones que estnbailando. Cuntos varones hay en lafiesta si en total asistieron 110personas?a) 10 b) 40 c) 30

d) 50 e) 60

15) De la figura adjunta: ABCD, es un

trapecio issceles, cuyo permetro esde 72 u. Halla su rea.

a) 128 u2 b) 236 u2 c) 520 u2d) 252 u2 e) N. A.

16) Un nmero es tal que el doble de lasuma de su quinta parte, ms sutercera parte, ms su duplo equivale a15200. Cul es el nmero?a) 6000 b) 12000 c) 18000d) 24000 e) 3000

17) A una fiesta asistieron 20 personas.Mara bail con siete muchachos. Olgacon ocho, Ana con nueve y as hastallegar a Luisa, que bail con todosellos. Cuntos muchachos haba en lafiesta?a) 13 b) 11 c) 7 d) 9 e) 10

18) La edad de Pedro dentro de 30 aosser el quntuplo de la edad que tuvohace 10 aos. Dentro de 10 aos,cunto tendr?a) 10 a b) 20 a c) 30 ad) 40 a e) N. A.

19) En un corral hay cuyes y gallinas; si eldoble del nmero de ojos es 20 menosque el doble del nmero de patas(extremidades). Cuntos conejos hay?a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

20) Una sala tiene doble largo que ancho.Si el largo se aumenta en 6 m y elancho se disminuye en 4 m lasuperficie de la sala no vara. Halla elrea de la sala.a) 288 m2 b) 296 m2 c) 320 m2d) 460 m2 e) N. A.

21) La diferencia de dos nmeros es 36. Siel mayor se disminuye en 12 se tieneel cudruple del menor. Halla elproducto de los nmeros dados.


44/169


45/169



1975-2008


VIRGEN DEGUADALUPE

NIVEL



1GradoSECUNDARIA


46/169




47/169



II BIMESTRE


El ngulo: Definicin. Bisectriz. Clasificacin. SistemaSexagesimal.. .. P. 51

El ngulo entre rectas: Rectas secantes, paralelas yperpendiculares p. 58

ngulo entre dos rectas y unasecante.........................

ngulos de lados paralelos yperpendiculares..

I N D I C E

1 Unidad

2 Unidad


48/169




49/169



r1

'60

ANGULO

Es una figura geomtrica formada por dos rayos que tiene el mismo origen.

A dichos rayos se les denomina lados y al origen comn vrtice del ngulo.

SISTEMA DE MEDIDAS SEXAGESIMALES

Es el sistema de medidas ms utilizado en el mundo para las aplicaciones de ingeniera,

topografa y navegacin.

En este sistema definimos al ngulo como la ensima parte de 360, es decir: n/360.

La unidad de medida es el Grado Sexagesimal ().

EQUIVALENCIAS:

1 < > 60

1 < > 60

1 < > 3600

Ejemplo 01: Un ngulo mide 80, expresar dicha medida en grados, minutos y segundos.

80 = 79 + 1

80 = 79 + 60

80 = 79 + 59 + 1

80 = 79 + 59 + 60

Rpta. 80 = 795960

.

Ejemplo 02: Un ngulo mide 56,125, expresar dicha medida en grados, minutos y segundos.

56,25 = 56 + 0,125

56,25 = 56 + 0,1251

56,25 = 56 + 0,125

56,25 = 56 + 7,5

56,25 = 56 + 7 + 0,5

1975-2008

GUIA DE APRENDIZAJE DE GEOMETRA N 04

Tema: ngulos I

Contenido:

y Definicin de nguloy Sistema Sexagesimal.


50/169



'1

"60

"60

'1

'60

1r

56,25 = 56 + 7 + 0,51

56,25 = 56 + 7 + 0,5

56,25 = 56 + 7 + 30

Rpta. 56 7 30

Ejemplo 03: Convertir 374648 a grados sexagesimales.

374648 = 37 46 48.1

374648 = 37 46 48.

374648 = 37 46 0,8

374648 = 37 46,8.1

374648 = 37 46,8.

374648 = 37 0,78

374648 = 37,78CLASIFICACIN DE ANGULOS

a) Segn sus medidas:

ngulo Agudo: Es aquel ngulo cuyamedida es mayor que 0 y menor que 90.

Angulo Recto: Es aquel ngulo cuya

medida es igual a 90

Angulo Obtuso: Es aquel ngulo cuyamedida es mayo que 90 y menor que180.

ngulo Llano: Es aquel ngulo que mide180.

Angulo de una vuelta: Es aquel nguloque mide 360.

b) Segn la posicin de sus lados:

ngulos Adyacentes: Son dos ngulosque tienen el mismo vrtice y adems

estn situados a distinto lado de un ladocomn.

ngulos Consecutivos: Se denominanas a dos o ms ngulos que sonadyacentes con su inmediato.


51/169



vecesn""

90CCCCCCC..... EE r! EE ! vecesn""

SSSSS...SS

rrr

40

278

|50

175

150...... SSSCCSSCCCCCCSSSSS

vecesveces

ngulos Opuestos por el Vrtice: Sondos ngulos que tienen el mismo vrtice yadems los lados de uno de ellos son lasprolongaciones de los lados del otro ensentido contrario.

c) Segn la suma de sus medidas.ngulos Complementarios: Son dosngulos cuya suma de sus medidas esigual a 90.

ngulos Suplementarios: Son dosngulos cuya suma de sus medidas esigual a 180.

BISECTRIZ DE UN NGULO

Es aquel rayo ubicado en la regin interior del ngulo cuyo origen es el vrtice de dicho

ngulo y que forma con sus lados, ngulos de igual medida.

TEOREMAS IMPORTANTES

Si: C = complemento y S = suplemento, entonces, se cumple que:

1 Cuando n es impar 2 Cuando n es par:

Ejemplos:

1) Halla el complemento del complemento delcomplemento de 65.

Resolucin:Sea: Complemento = C, entonces:

CCC (65) = CC (25) = C (65) =25

2) Halla el suplemento del suplemento delsuplemento de 78.

Resolucin:Sea: Suplemento = S, entonces:

SSSS (78) = SSS (102)= SS (78)

= S (102) =78

3) Calcula:

Resolucin:De acuerdo a las frmulas aprendidas:

a) (175 veces S-impar) 180 - 150=30b) (278 veces C- par) 90 - 50 =40c) SSSCCSSC40 = SSSCCSS (50)

= SSSCC (50)= SSS (50)=130.

d) Finalmente, se obtiene:30 + 40 + 130=200.

EE!

vecesn""

CCCCCC...CC

vecesn""

-180SSS...SSSSS EE

r!


52/169



4) Halla el valor de x en la siguientegrfica:

Resolucin:

Por ser un ngulo de una vuelta, se tiene:

x + 2x + x + 30 + 100 + 110 = 360

4x = 360 - 240 = 120

x = 30

01. Transformar las siguientes medidas dengulos a grados sexagesimales.

1. 545736 7. 931162. 954259 8. 3929183. 536 9. 27432254. 1463534 10. 16736285. 622842 11. 14659476. 572515 12. 2903850

02. Transformar las siguientes medidas dengulos a grados, minutos y segundosexagesimales.

1. 26,345 7. 45,6002. 55,2 8. (26,53/2)3. 189,25 9. 158, 584. 54, 30 10. 169,2115. 175,325 11. 585,186. 365,0185 12. 12, 525

03. Calcular:

1. La medida del complemento de 63

2. La medida del suplemento de 147

3. El complemento del suplemento de158

4. El suplemento del complemento de26

5. El C2

1S 100 (el complemento de la

mitad del suplemento de 100)

6. 18C2 (La raz cuadrada del dobledel complemento)

7. SE - CE + 10

8.r725

1503

C

S

9. SC (4x)

04. Resolver:

a) Qu ngulo gira el minutero de unreloj en 36 minutos?

b) Qu ngulo genera el minutero deun reloj en 18 minutos?

c) Qu ngulo genera el minutero deun reloj en72 minutos?

d) La mitad de un ngulo es igual acinco veces la medida de sucomplemento. Cunto mide elngulo?

e) Uno de los ngulos formados por dosrectas que se cortan mide 3636Cunto mide el ngulo?

f) Cul es el suplemento de un ngulocuyo complemento es el cudrupledel ngulo?

g) La diferencia de dos nguloscomplementarios es de 6426,determina el valor del ngulo mayor.

h) Halla el complemento del suplementode un ngulo de 12524.

i) Cunto mide el ngulo que mide

igual que su complemento? j) Si a uno de dos ngulos

suplementarios se le disminuye 10para agregarle al otro, este ltimongulo resulta ser 5 veces lo quequeda del primero. Cunto midecada ngulo?

k) Dos ngulos complementarios sonentre si como 8 y 12. Cunto midelos ngulos?

05. Calcular el valor de E en:E + CE + CCE CCCE + CCCCE= 215a) 20 b) 15 c) 40d) 30 e) N.A.

06. La diferencia de las medidas de loscomplementos de dos ngulos es 40 y lasuma de las medidas de sussuplementos es 260. Hallar la medidadel menor.a) 20 b) 30 c) 35d) 40 e) 70

PRACTICA DE CLASE


53/169



07. El doble de la medida del suplemento deldoble de la medida del complemento deun ngulo es igual a 38 averiguar lamedida del complemento de la mitad dela medida del suplemento de dichongulo.a) 6 b) 5 c) 4d) 10 e) N.A.

08. Las medidas de dos ngulos son como2:3 y las medidas de sus complementosson como 6:7. Calcular la relacin queexiste entre las medidas de sussuplementos.a) 2:3 b) 6:7 c) 3:4d) 10:13 e) 15:16

09. La suma de las medidas de los

complementos de tres ngulos es 140.Hallar el suplemento de la suma de susmedidas.a) 50 b) 40 c) 45d) 35 e) 30

10. La diferencia de un ngulo y susuplemento es igual al triple de sucomplemento. Hallar el ngulo.a) 30 b) 70 c) 90d) 60 e) 30

11. Cunto valdr un ngulo si el doble de

su complemento es igual alcomplemento de su mitad?a) 10 b) 20 c) 30d) 60 e) 80

12. Si el complemento y el suplemento delsuplemento del complemento de unngulo mide 20. Hallar el suplementodel complemento del complemento delsuplemento de dicho ngulo.a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

13. Si a un ngulo s ele resta su

complemento, el nuevo ngulo es igual ala cuarta parte del suplemento deloriginal. Hallar el suplemento del ngulooriginal.a) 75 b) 45 c) 120d) 30 e) 60

14. La suma del complemento de un nguloms el suplemento de otro ngulo es200. Hallar el suplemento del ngulo dela suma de ambos.a) 40 b) 70 c) 60d) 140 e) 50

15. La suma de las inversas de las medidasde dos ngulos complementarios es1/20. Hallar el mayor de los ngulos.a) 60 b) 30 c) 75d) 75 e) 15

16. Se tienen los ngulos consecutivos AO B

y BO C de manera que la suma de los

ngulos A OB y AOC es 80.

Calcular el ngulo AOM, siendo MO

bisectriz del ngulo BOC.a) 0 b) 20 c) 40d) 60 e) 80

17. La suma de las medidas de dos nguloses 80 y el complemento de la medidadel primer ngulo es el doble de lamedida del segundo ngulo.

Calcular la diferencia de las medidas dedicho ngulos.

a) 30 b) 60 c) 45d) 80 e) 85

18. Si la relacin del complemento de unngulo E entre el suplemento de unngulo F es igual a la relacin delsuplemento de E entre el complementode F, Halla la suma de dichos ngulos.a) 60 b) 90 c) 180d) 270 e) 360

19. En las siguiente relacin, hallar F:

17)(s........sss.sssveces9005288

!F

a) 17 b) 73 c) 163d) 117 e) 180

20. El complemento de un ngulo es igual alos 2/5 del suplemento del mismongulo. Cul es su valor?a) 15 b) 60 c) 30d) 150 e) 90

21. Cunto mide el ngulo que equivale alos 5/3 de su complemento?a) 5615 b) 25 c) 4030d) 33 e) 4825

22. La suma del complemento ms elsuplemento de la medida de ciertongulo es igual a 130. Calcular lamedida de dicho ngulo.a) 50 b) 60 c) 70d) 80 e) 90

23. Calcular la medida de un ngulosabiendo que su complemento es a susuplemento como 1 es a 10.a) 60 b) 50 c) 40d) 80 e) 90


54/169



24. Si C = complemento. Calcular x en:

Cx + CC2x + CCC3x= 160

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) N.A.

25. Calcula la medida de un ngulo sabiendoque el doble del complemento de lamitad del suplemento del triple delcomplemento de la mitad de dichongulo es igual a 150.a) 40 b) 60 c) 80d) 100 e) 140

01. Encontrar la mitad de la tercera partedel complemento del suplemento de unngulo que mide 96.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

02. Si a un ngulo se le resta sucomplemento es igual a la cuarta partede su suplemento; calcular dicho ngulo.

a) 80 b) 45 c) 15d) 60 e) N.A.

03. La suma del complemento de un nguloE con el suplemento de un ngulodoble es igual a 3/2 del complemento deun ngulo F y E - F= 24. Calcularel complemento del ngulo E.a) 36 b) 18 c) 24d) 45 e) 38

04. Calcular la medida de un ngulo,sabiendo que su complemento es a susuplemento como 1 es a 10.

a) 80 b) 75 c) 70d) 95 e) 69

05. El doble de la medida de un ngulo esigual al triple de la media de sucomplemento. Hallar la medida delngulo.a) 54 b) 36 c) 44d) 27 e) 58

06. Si a la medida de un ngulo se le restados grados ms que a la tercera parte desu complemento, resulta un cuarto delsuplemento del ngulo, disminuido en un

grado. Cunto mide dicho ngulo?a) 48 b) 49 c) 50d) 47 e) N.A.

07. La tercera parte de la mitad delsuplemento de la medida de un nguloexcede de 2 a los 3/5 del complementode la medida del mismo ngulo.a) 60 b) 30 c) 10d) 120 e) 45

08. La diferencia entre el suplemento y elcomplemento del ngulo E, es igual a 6veces el ngulo E. Hallar dicho ngulo.a) 30 b) 90 c) 60d) 15 e) N.A.

09. Si a un ngulo se le resta sucomplemento es igual a la cuarta partede su suplemento. Hallar dicho ngulo.

a) 80 b) 45 c) 15d) 60 e) 7510. De que ngulo se debe restar su

complemento para obtener 10.a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 70

11. Si el suplemento del suplemento delsuplemento de la medida de un ngulose la aade el complemento delcomplemento del complemento del doblede la medida de dicho ngulo, se obtieneel triple de la medida del ngulomencionado. Calcular dicho ngulo.

a) 60 b) 45 c) 30d) 55 e) 50

12. Calcular la medida de un ngulo,sabiendo que su complemento es a susuplemento como 1 es a 10.a) 80 b) 75 c) 70d) 95 e) 69

13. Encontrar la mitad de la tercera parte delcomplemento del suplemento de unngulo que mide 96.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

14. Si a un ngulo se le resta sucomplemento es igual a la cuarta partede su suplemento; calcular dicho ngulo.a) 80 b) 45 c) 15d) 60 e) N.A.

15. El doble de la medida de un ngulo esigual al triple de la media de sucomplemento. La medida del ngulo es:a) 54 b) 36 c) 44d) 27 e) 58



55/169



18. La diferencia entre el suplemento y elcomplemento de E es igual al sxtuplode E. Calcula el suplemento delcomplemento de E.a) 106 b) 105 c) 110d) 130 e) 140

19. La diferencia entre el suplemento de un

ngulo y el cudruplo de su

complemento es el doble de sucomplemento. Halla el ngulo.a) 72 b) 42 c) 32d) 52 e) 62

20. La diferencia de los ngulos consecutivosAOB y BOC es 30. Halla la medida delngulo que forma la bisectriz del nguloAOC con el lado OB.

a) 5 b) 15 c) 18d) 20 e) 2521. Calcula el mayor de tres ngulos que

estn en la relacin de 3; 5 y 7,sabiendo que el complemento de lasuma de dichos ngulos es 15.a) 5 b) 15 c) 25d) 35 e) 40

22. Si a uno de los ngulos adyacentessuplementarios se le disminuye 20 paraagregrselo al otro, ste resulta ser 8veces lo que queda del primero. Halla elsuplemento del menor.a) 40 b) 140 c) 50d) 130 e) N.A.

23. Halla el menor de dos ngulos conociendoque uno de ellos excede en 10 alcomplemento del segundo y adems elsegundo ngulo es igual a la mitad delsuplemento del primer ngulo.

a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) N.A.

24. Un ngulo mide los 2/5 de un ngulollano y otro ngulo mide los 5/9 de unngulo recto. Calcula el suplemento de lasuma de las medidas de dichos ngulos.a) 29 b) 32 c) 58d) 72 e) 96

25. Cuatro rayos forman en torno a un puntoy en un mismo plano, cuatro nguloscuyas medidas son proporcionales a losnmeros 1; 2; 3 y 4. Determina elngulo formado por las bisectrices de losdos ngulos menores.a) 27 b) 36 c) 48d) 54 e) 72

FECHA DE


Firma delProfesor

Firma del PP.FF. o

Apoderado


56/169



NGULOS ENTRE RECTASRectas Paralelas Rectas Secantes Rectas Perpendiculares

Dos o ms rectasson paralelas si notienen ningn puntocomn.

Dos o ms rectas son secantes sitienen un punto en comn entreellas, pueden ser oblicuas operpendiculares

Dos rectas son secantes yperpendiculares cuando suinterseccin forma un ngulo recto(90).

NGULOS ENTRE DOS RECTAS Y UNA SECANTEDados dos rectas: L1 y L2, intersecadas por una recta L3:

Se generan los siguientes ngulos:

Correspondientes Alternos ConjugadosLa medida de estosngulos son iguales.

1 = 5

2 = 6

4 = 8

3 = 7

Los ngulos que se encuentrandentro de las paralelas sedenominan alternosinternos y losque estn fuera alternosexternos. Se caracterizan porquetienen igual medida

- alternos internos:3 = 54 = 6

- alternos externos:1 = 72 = 8

La suma de dos ngulosconjugados miden 180. Los queestn dentro de las paralelas sonconjugados internos y los queestn fuera de ella conjugadosexternos

- Conjugados internos:3 + 6 = 4 + 5 = 180

- Conjugados externos:1 + 8 = 2 + 7 = 180

NGULOS PARALELOS Y PERPENDICULARES1 ngulos de lados paralelos

Caso 01 Caso 02 Caso 03

1975-2008

GUIA DE APRENDIZAJE DE GEOMETRA N 05

Tema: ngulos II

Contenido:y ngulo entre rectas.y ngulo entre dos rectas y una secante.y ngulos de lados paralelos y perpendiculares Clasificacin de ngulos.


57/169



NGULOS PARALELOS Y PERPENDICULARES2 ngulos de lados perpendiculares

Caso 01 Caso 02 Caso 03

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

01. Calcula el valor de: U, si: L1 // L2.

02. Si: L1 // L2, calcula el valor de x.

03. En la grfica, L1 // L2, calcula x.

04. Calcula el valor de x, si: L1 // L2.

05. Halla: F, si: L1 // L2.

PRACTICA DE CLASE


58/169



06. Calcula x, si: L1 // L2.07. Se tiene los ngulos consecutivos AOB yBOC que se diferencian en 38. Calcula

la medida del ngulo formado por labisectriz del ngulo AOC y el rayo OB.

08. Se tiene los ngulos consecutivos AOB,BOC y COD. Siendo: 2(AOB) = 3(COD);AOD = 92 y BOD = 76. Halla lamedida del ngulo BOC.

09. Halla BOZ, si: AOB BOC = 30

10. Si: L1 // L2, calcula: x/y.

11. Calcula el valor de x, si: L1 // L2.

12. Calcula U, si: L1 // L2.

13. En la grfica L1 // L2, halla x.

14. Halla: x + y + z, si: L1 // L2.

15. Halla x, si: U - E= 20 y L1 // L2.

16. Halla x, si: L1 // L2.

17. Halla el valor de E, si: L1 // L2.

18. Si: L1 // L2, calcula el complemento deU.


59/169



19. Si: L1 // L2, halla el valor de x.

20. Halla el menor ngulo que forman L3 y L4,si: L1 // L2.

01. Segn el grfico, calcula x, si: L1 // L2.

a) 100 b) 120 c) 80d) 90 e) 100

02. Segn el grfico, calcula el valor de x,si: L1 // L2.

a) 110 b) 120 c) 130d) 140 e) 150

03. En la figura, L1 // L2, calcula x.

a) 36 b) 40 c) 52d) 56 e) 38

04. En la figura, L1 // L2, calcula x.

a) 118 b) 105 c) 120d) 124 e) 127

05. En la figura, L1 // L2 // L3, calcula x.

a) 45 b) 50 c) 48d) 24 e) 40

06. Calcula x, si:L1 // L2.

a) 60 b) 70 c) 80d) 50 e) 65

07. En la figura, L1 // L2 // L3, calcula: x - y.



60/169


61/169



17. En la figura, calcular x. Si L1 // L2

L1

L2

3

E

EF

F

xw

wx

a) 36 b) 40 c) 50d) 20 e) N. A.

18. Segn el grfico, L1 // L2. Calcular elvalor de x:

L1

L2

EEU

x

U

130

a) 10 b) 15 c) 20

d) 30 e) N. A.

19. Si L1 // L2. Hallar xL1

L2

2x

3x

x a) 15 b) 18 c) 12

d) 20 e) 3020. Si L1 // L2. Hallar x.

Si a + b + c + d = 140.

L1

L2

b

a

x

c

d

a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 70

21. Hallar el ngulo en la figura, si L1 // L2.

L

L

1

2

E

x

3x/2

a) 144 b) 154 c) 134d) 136 e) 146

22. Si 'YY//'XX .Hallar F - E.

E

X

F

X'100100

Y Y'38

a) 72 b) 32 c) 10d) -32 e) -10

23. En la figura, DE;EF//AB es perpendicular

a AC y E y F son entre s como 2 es a 7.Hallar F - E.

E

A

F

B

C

D

E F a) 100 b) 80 c) 0d) 60 e) 40

24. En la figura 'YY//'XX . Hallar

x .

X X'

Y Y'

E

E

x

30

30 a) 30 b) 60 c) 90d) 120 e) 150

25. En la figura mostrada 'YY//'XX .Determinar: E + F.

X X'

Y Y'

E

35

F

120

150


62/169



a) 175 b) 185 c) 65d) 155 e) 95


63/169



FECHA DE


Firma del

Profesor

Firma del PP.FF. o

Apoderado


64/169



x -

-A B

C

D

A: Total independiente

B: Total dependiente

C: Ponderacin 1

D: Ponderacin 2

Donde:AxC - B

C - D

?

? =

1SECUNDARIA

R. MATEMTICO

NIVEL




VIRGEN DEGUADALUPE


65/169




66/169



II B I M E S T R E


GUA N 01: 4 operaciones ... P. 69

Operaciones inversas.

GUA N 02: 4 operaciones P. 75

Ley de la falsa suposicinGUA N 03: 4 operaciones P. 80

Diferencia unitaria y total.

GUA N 04: 4 operaciones P. 85

Regla conjunta.REVISIN G U A S CUADERNO EXTENSIN

FECHA

FIRMA DEL

PP.FF

APODERADO

N DE

P.C.

01 02 03 04 05 06

FECHA

NOTA

FIRMA

DEL PP.FF

I N D I C E

CAPITULO 03

CAPITULO 01

CAPITULO 02


67/169




68/169



GUIA DE APRENDIZAJE DE RAZONAMIENTO MATEMTICO N 5

Tema: cuatro operaciones fundamentales.

Contenido: Operaciones inversas.

MTODO: OPERACIONES INVERSAS(CANGREJO)

Aplicaciones directas preliminares:

PRACTICA DE CLASE

Bloque I:

1. Hallar el valor de la incgnita (?)

a) 12 b) 16 c) 14d) 10 e) 8

2. Hallar el valor de la incgnita(?):

a) 12 b) 14 c) 9d) 8 e) 10


a) 5 b) 6 c) 8d) 0 e) 12


a) 26 b) 14 c) 20d) 24 e) 8


a) 36 b) 46 c) 53d) 77 e) 63

6. Un nmero es aumentado en 4, el resultado semultiplica por 3; al resultado se le disminuye 2 ypor ltimo, a este nuevo resultado, se le extraela raz cuadrada obtenindose 8. Hallar elnmero.a) 18 b) 22 c) 66d) 16 e) 4

7. Se triplica un nmero; el resultado seincrementa en 4; el resultado se disminuye en15; se eleva al cuadrado la diferencia obtenidaresultando 100. Hallar el nmero.a) 12 b) 15 c) 7d) 17 e) 9

8. Un nmero se aumenta en 20; el resultado sedivide entre 3, el cociente obtenido aumenta en3; al resultado se le extrae la raz cuadrada, elresultado se multiplica por 15 y luego alproducto obtenido se le divide entre 25resultando 3. Hallar el nmero.

a) 2 b) 42 c) 56d) 81 e) 46

9. La edad de Magaly se cuadruplica, el resultadose incrementa en 4, luego se extrae la razcuadrada, sta raz se disminuye en 2, luego ladiferencia se eleva al cuadrado y por ltimo elresultado se divide entre 3 obtenindose 12 decociente. Hallar la edad de Magaly dentro de 8aos.a) 15 b) 18 c) 23d) 21 e) 27

10. Ricardo le dice a Teresa: "Si a la cantidad dedinero que tengo le agregas 20 soles, a eseresultado lo multiplicas por 6. Luego le quitas 24soles, posteriormente le sacas la raz cuadraday por ltimo lo divides entre 3, obtendrs 8soles". Indicar la cantidad inicial que tenaRicardo.a) 90 b) 80 c) 70d) 60 e) 50

11. Con un nmero se hacen las siguientesoperaciones; primero se multiplica por 5 alproducto se le suma 60, a dicha suma se ledivide entre 10, al cociente se le extrae la razcuadrada para finalmente restarle 4. Si luego derealizar las operaciones indicadas se obtiene 2.Cul es el nmero?a) 6 b) 60 c) 80d) 300 e) 150

12. Juan se puso a jugar con el dinero que llevaba,logra duplicarlo e inmedia-tamente gasta $10dlares; con lo que le queda juega por segundavez, triplica su dinero y gasta 30 dlares; juegapor tercera vez, pierde la mitad gasta 80dlares y se retira con 10 dlares. Cunto tenaen forma inicial?a) $40 b) $80 c) $20d) $30 e) $10

13. Cada da, de un reservorio de agua, se consumela mitad del contenido ms 20 litros; si despusde 3 das consecutivos quedan 10 litros en elreservorio. Cuntos litros de agua seconsumieron?a) 350 lts. b) 360 c) 370d) 200 e) 400


69/169



14. De un recipiente lleno de agua, se extrae 2litros, luego se derrama la mitad del lquido,enseguida se le adiciona 4 litros finalmente seconsume la mitad del agua, quedando 8 litros enel recipiente. Hallar la capacidad del recipiente.a) 18L b) 26 c) 24d) 30 e) 16

15. Anglica le da 6 soles a Bruno; luego ste le da

12 soles a Anglica. Si ahora ella tiene 42 sol

03. divisibilidad

Documents