unidad 1. integración compleja

Matemáticas

Variable compleja II

6° Semestre

Unidad 1. Integración compleja

Clave:

05143632

Universidad Abierta y a Distancia de México


Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Índice Unidad 1. Integración compleja .................................................................................................................3

Presentación de la unidad ...........................................................................................................................3

Competencia específica ...............................................................................................................................4

Logros ...........................................................................................................................................................4

1.1. Fundamentos .........................................................................................................................................4

1.1.1. Definiciones .................................................................................................................................... 5

1.1.2. Propiedades .................................................................................................................................... 8

1.2. Tipos de integrales complejas ........................................................................................................... 11

1.2.1. Integral de línea ........................................................................................................................... 11

1.2.2. Integral de contorno .................................................................................................................... 14

1.2.3. Integral de funciones elementales .............................................................................................. 17

1.3. Deformación ....................................................................................................................................... 19

1.3.1. Deformación (arcos y curvas) ..................................................................................................... 19

1.3.2. Teorema de la homotopía (deformación) .................................................................................. 22

Cierre de la unidad ................................................................................................................................... 26

Para saber más .......................................................................................................................................... 26

Fuentes de consulta ................................................................................................................................... 27



3

Unidad 1. Integración compleja

Presentación de la unidad

Dentro de las aplicaciones del análisis complejo, la integración y la teoría relacionada a ésta, se

encuentra el resolver problemas de integración de funciones holomorfas mediante las

herramientas apropiadas.

Por lo anterior, durante esta unidad se abordarán tres subtemas: Fundamentos (definiciones y

propiedades), Tipos de integrales complejas (línea, contorno y elementales) y Deformación

(aplicación del teorema de la homotopía).

El primer subtema muestra la definición y propiedades de la integral de variable compleja, para

facilitar su clasificación y la solución de problemas.

El segundo subtema corresponde a los diferentes tipos de integrales de variable compleja, se

retoman resultados de otras asignaturas (Cálculo de varias variables I y II, Variable compleja I)

que se adaptan al análisis complejo. Todo encaminado a facilitar la solución de problemas que

involucran integrales de variable compleja.

Finalmente, en el tercer subtema se estudia la teoría del análisis complejo para plantear el

teorema de la homotopía con el fin de resolver integrales complejas de arcos y curvas.

Para una mayor claridad, a lo largo de la unidad se presentan en diferente fondo de color las

definiciones, teoremas, propiedades y ejemplos.



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Competencia específica

Utilizar la definición y propiedades de la integración compleja para resolver problemas

relacionados con la integral utilizando los tipos de integrales complejas y sus teoremas.

Logros

• Aplicar las propiedades y teoremas de la integración compleja para resolver problemas

de los diferentes tipos de integrales de funciones holomorfas.

• Aplicar el teorema de la homotopía (deformación) para resolver integrales de curva y

arco de variable compleja.

1.1. Fundamentos

Se define la integral de variable compleja como una integral de línea, pero con términos

complejos porque las funciones complejas se integran sobre curvas.

A lo largo del tema, mediante los subtemas, se presentan algunos de los teoremas del análisis

complejo para resolver integrales de funciones holomorfas (línea, contorno y elementales);

además de retomarse algunos resultados para trayectorias que estudiaste durante la asignatura

de Cálculo de varias variables II.

Debes tener presente los conceptos de continuidad, límite, teoremas y propiedades para

integrales de varias variables, cambio en los límites de integración, derivadas de n-ésimo orden,

¿Qué es la integral de variable compleja?



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derivadas parciales, funciones lineales y conocimientos sólidos de geometría analítica y variable

compleja I.

A lo largo de la asignatura asumiremos que las funciones son holomorfas, es decir diferenciables

en todo punto de un subconjunto abierto 𝐴 ⊂ ℂ. También recuerda que puedes utilizar las

propiedades y teoremas aplicables a dichas funciones.

1.1.1. Definiciones

Antes de iniciar con la definición formal de integral de variable compleja, es necesario conocer

algunos resultados para comprender mejor el tema.

Cuándo nos referimos a una curva, también podemos llamarle contorno o trayectoria

Definición:

Una curva suave (Imagen A) es una función continua 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ de clase 𝐶1 tal que su

derivada es diferente de cero.

Una curva suave a pedazos (Imagen B) es una función continua a pedazos 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ

Si una curva no es suave o suave a pedazos, entonces se llamará discontinua (Imagen C).

Clase 𝐶1 significa que tiene sus primeras derivadas parciales continuas



6

Curvas simples continuas y a pedazos

Definición:

Sea 𝑓(𝑧): 𝐷𝑓 ⊂ ℂ → ℂ continua sobre 𝐷𝑓 , y la curva 𝜎: = [𝑎, 𝑏] → ℂ de clase 𝐶1. La integral de

variable compleja se define como:

∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎

= lim𝑛→∞

∑ 𝐹(𝑧𝑘)

𝑛

𝑘=1

∆𝑧𝑘

Dónde:

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

𝑧𝑘 es un punto arbitrario de la curva de la forma 𝑧𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑦𝑘

∆𝑧𝑘 = ∆𝑥𝑘 + 𝑖∆𝑦𝑘 = (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1) + 𝑖(𝑦𝑘 − 𝑦𝑘−1)

Al definir de este modo la integral, su valor dependerá de los límites de integración y de la curva

sobre la que se define la función a integrar.



7

Construcción de la definición formal de integral de variable compleja

Ahora sabes que la integración de funciones holomorfas se refiere a la suma de las longitudes

de una función, sobre una curva.

Ejemplo:

Calcula la integral de 𝑓(𝑧) = 𝑧, sobre la curva 𝑦 = 𝑥2, que inicia en el punto 𝑧0 = 0 + 𝑖0 y

termina en el punto 𝑧1 = 1 + 𝑖, utilizando la definición formal de integral de variable compleja.

Solución: Identifica los elementos que forman ∆𝑧 (punto inicial y final) y calcúlalo. Sustituye los

valores de 𝑧0, 𝑧1 en (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1) + 𝑖(𝑦𝑘 − 𝑦𝑘−1) para obtener que ∆𝑧1 = (1 − 0) + 𝑖(1 − 0) =

1 + 𝑖. Toma en cuenta que sólo estas sustituyendo valores de los puntos 𝑧0, 𝑧1 .

Selecciona un punto cualquiera (puedes tomar un punto conocido, por ejemplo 𝑧1 ) de la curva

𝑦 = 𝑥2; obtén el punto medio de dicho punto (no olvides la igualdad que te proporciona la

curva 𝑦 = 𝑥2 porque de ahí obtendrás el valor de 𝑓(𝑧1)) y evalúalo en 𝑓(𝑧), es decir:

𝑓(𝑧1) = 𝑓 (1

2+

1

4𝑖) =

1

2+

1

4𝑖, ya que 𝑓(𝑧) = 𝑧.

Ahora sustituye el valor de ∆𝑧 𝑦 𝑓(𝑧1) en ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎

= lim𝑛→∞

∑ 𝐹(𝑧𝑘)𝑛𝑘=1 ∆𝑧𝑘. En este caso debes



8

tomar un solo punto, por lo tanto

∫ 𝑧𝑑𝑧 =1+𝑖

0+𝑖0𝑓(𝑧1)∆𝑧1 = (

1

2+

1

4𝑖) (1 + 𝑖) ≈

1

4+

3

4𝑖

Recuerda que es un valor aproximado, en el siguiente subtema podrás evaluar la integral con

métodos más exactos.

Punto medio entre los puntos inicial y final

1.1.2. Propiedades

Es posible calcular la integral compleja sin utilizar la definición formal, a través del siguiente

resultado, que utiliza un cambio de variable para definir la integral.

Definición:

Una curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ es una función en el plano complejo que utiliza la

parametrización:

𝑥 = 𝑢(𝑡); 𝑦 = 𝑣(𝑡)



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Las funciones 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑣(𝑡) son continuas y describen a la función de variable compleja

𝑧 = 𝑢(𝑡) + 𝑖𝑣(𝑡) tal que 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

Proposición:

Sea 𝑓(𝑡): 𝐷𝑓 ⊂ ℂ → ℂ continua sobre 𝐷𝑓, la curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ de clase 𝐶1 y las funciones

𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡) de variable real continuas, con 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. Entonces

∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝑢(𝑡)𝑏

𝑎

𝑑𝑡 + 𝑖 ∫ 𝑣(𝑡)𝑏

𝑎

𝑑𝑡𝑏

𝑎

Ya que 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑡) + 𝑖𝑣(𝑡)

La propiedad anterior te permite calcular integrales de variable compleja con las mismas

propiedades (suma, producto y linealidad) que utilizaste con integrales de variable real.

Ejemplo:

Evalúa la integral ∫ (1 + 2𝑡𝑖)2𝑑𝑡1

0 a partir de la definición anterior.

Solución: Realiza las operaciones necesarias para simplificar la función a integrar

(1 + 2𝑡𝑖)2 = 1 − 4𝑡 + 4𝑡𝑖

Escribe nuevamente la integral con el resultado que obtuviste al realizar el paso anterior.

∫ (1 − 4𝑡 + 4𝑡𝑖)𝑑𝑡1

0.

Resuelve como integrales de variable real.



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∫ (1 − 4𝑡 + 4𝑡𝑖)𝑑𝑡1

0= 𝑅𝑒 ∫ (1 − 4𝑡)𝑑𝑡 + 𝐼𝑚 ∫ (4𝑡𝑖)𝑑𝑡 = −1 + 2𝑖

1

0

1

0.

Asume en cada uno de los siguientes enunciados que 𝑓(𝑡) es continua y holomorfa sobre

curvas tales que 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ es de clase 𝐶1.

Propiedades:

1. ∫ 𝑘𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎

𝑏

𝑎 para 𝑘 ∈ ℂ con 𝑘 constante

2. ∫ [𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)]𝑑𝑡 =𝑏

𝑎

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎

+ ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎

3. ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎= − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑎

𝑏

4. ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑐

𝑎+ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑏

𝑐, para [𝑎, 𝑐] ∪ [𝑐, 𝑏].

Ejemplo:

Sea 𝑓(−𝑡) = 𝑓(𝑡), demuestra la siguiente igualdad a partir de las propiedades anteriores,

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

−𝑎= 2 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑏

𝑎

Solución: Analiza la información que proporciona el problema, en este caso la igualdad define

una propiedad particular de la función. Ya que 𝑓(−𝑡) = 𝑓(𝑡), implica que 𝑓 es una función par.

Es preferible que elijas una de las integrales de la igualdad (derecha o izquierda), para poder

deducir la otra. Toma ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

−𝑎 y aplica las definiciones y propiedades que aprendiste de

funciones impares de variable real y las que proporciona el ejemplo.

Por hipótesis 𝑓(−𝑡) = 𝑓(𝑡) es par , ya que la función está definida [−𝑎, 𝑎], reescríbelo como:



11

[−𝑎, 𝑎] = [−𝑎, 0] ∪ [0, 𝑎].

Ahora aplica la propiedad 4 y escribe la integral ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

−𝑎= ∫ 𝑓(−𝑡)𝑑𝑡

0

−𝑎+ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑎

0,

observa que ∫ 𝑓(−𝑡)𝑑𝑡0

−𝑎= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑎

0 por ser 𝑓 par, sustituye nuevamente en la integral de la

derecha.


−𝑎

= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

0

+ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

0

Aplica las propiedades 1 y 2 para concluir la demostración.


−𝑎

= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

0

+ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

0

= 2 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

0

1.2. Tipos de integrales complejas

Ahora que hemos revisado y aprendido las definiciones y propiedades básicas para resolver

integrales complejas, estudiarás cómo aplicarlas en integrales de línea, contorno y elementales,

que es una relación con los temas revisados en la asignatura de Cálculo de varias variables II.

Los principios, leyes y teorías que se revisaron en la asignatura mencionada, se representan en

los siguientes subtemas, pero enfocados a los números complejos y dentro del plano complejo.

1.2.1. Integral de línea

La integral de línea compleja se calcula utilizando una función holomorfa sobre una curva en el

plano complejo, el procedimiento es análogo al de las integrales de línea de variable real y sus

mismas propiedades.



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Teorema:

Sean 𝑓: 𝐷𝑜𝑚𝑓 ⊂ ℂ → ℂ continua y holomorfa, la curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] → ℂ de clase 𝐶1 y 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏,

tales que

𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) + 𝑖𝑣(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))

𝑧′(𝑡) =𝑑𝑧

𝑑𝑡=

𝑑𝑢

𝑑𝑡+ 𝑖

𝑑𝑣

𝑑𝑡,

Satisfacen la igualdad que corresponde a la integral de línea con variable compleja:


= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎

El valor de la integral no se afecta si la función es continua por pedazos (trozos).

Al resultado anterior se le llama teorema de cambio de variable porque construyen la integral

de línea tomando particiones de un subconjunto de ℂ, para después usarla como una propiedad

de las integrales de variable compleja.

Ejemplo:

Calcula la integral de línea de 𝑓(𝑧) =1

𝑧 , sobre el semicírculo superior cuyos puntos inicial y

final son 𝑧0 = 1, 𝑧1 = −1, respectivamente.

Solución:

1. Identifica los elementos que necesitas para resolver la integral:

a) La parametrización de la curva sobre la cual se encuentra nuestra función 𝑓(𝑧) y los nuevos

puntos de inicio y final de 𝜎. En este caso, es conveniente utilizar 𝜎(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡 en el intervalo 0 ≤



13

𝑡 ≤ 𝜋

b) Evalúa su composición 𝑓𝜎 y su derivada

𝑓(𝜎(𝑡)) =1

𝑒𝑖𝑡 ; 𝜎′(𝑡) = 𝑖𝑒𝑖𝑡

c) Calcula los límites de integración para la integral a resolver. Ya que 𝑧0 = 1, 𝑧1 = −1,

entonces 𝑧0 = 0, 𝑧1 = 𝜋.

2. Utiliza la fórmula ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎


𝑎 y sustituye todos los datos que tienes.

∫1

𝑒𝑖𝑡(𝑖𝑒𝑖𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑖𝑑𝑡 = 𝑖𝜋

𝜋

0

𝜋

0

Recuerda el tema parametrización de funciones de varias variables para resolver

correctamente este tipo de integrales.

Propiedades:

Sea 𝑓: 𝐷𝑜𝑚𝑓 ⊂ ℂ → ℂ continua y holomorfa, la curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] → ℂ de clase 𝐶1. Los siguientes

enunciados son verdaderos:

1. ∫ 𝑧0𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 𝑧0 ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎

= 𝑧0 ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎𝜎, donde 𝑧0 es una constante

compleja.

2. ∫ [𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧)]𝑑𝑧 =𝜎


+ ∫ 𝑔(𝑧)𝑑𝑧𝜎


𝑎+

∫ 𝑔(𝑧(𝑡))𝑔′(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎.

3. ∫ −𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎

= − ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎

= − ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑎

𝑏.

4. . ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎

= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎1

+ ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎2

= ∫ 𝑓(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡𝑐

𝑎+ ∫ 𝑔(𝑧(𝑡))𝑔′(𝑡)𝑑𝑡

𝑏

𝑐,



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donde 𝜎 = 𝜎1 ∪ 𝜎2 = [𝑎, 𝑐] ∪ [𝑐, 𝑏].

5. |∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎

| ≤ 𝑁 ∫ |𝑧′(𝑡)|𝑑𝑡𝑏

𝑎, con 𝑁 ∈ ℕ.

Recuerda que ∫ |𝑧′(𝑡)|𝑑𝑡𝑏

𝑎 es la longitud de curva de 𝑓(𝑧)

1.2.2. Integral de contorno

La integral de contorno es la integral de línea compleja, la cual ya aprendiste a calcular en el

subtema anterior. Ahora se definen los tipos de curva (parametrizaciones) que estarás

utilizando durante la presente unidad.

Definiciones:

1. Una curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ se dice simple, si ∀ 𝑐, 𝑑 ∈ [𝑎, 𝑏] con 𝑐 ≠ 𝑑, se cumple que

𝜎(𝑐) ≠ 𝜎(𝑏) con, es decir que la curva no se corta a sí misma.

2. La curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ se dice contorno cerrado simple, si 𝜎(𝑎) = 𝜎(𝑏). Es decir se

intersecta a sí misma en sus puntos extremos. Observa que 𝜎 encierra un área llamada

contorno acotado 𝐷𝜎. Cuando una curva se corta así misma en uno o varios puntos se llamarán

a dicha área contorno cerrado no simple 𝐷𝜏. La parte exterior de la curva 𝜎 se llama contorno

no acotado.

Observación

Es válido que una curva 𝜎 se recorra en sentido contrario al original, lo cual se denota como

– 𝜎. No olvides que en este caso el punto inicial de 𝜎 ahora será el punto final y viceversa.



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Contorno formado por una curva (acotado y no acotado)

Para no caer en confusiones cada que se mencione la trayectoria de una integral se mencionará

el sentido (dirección) de la misma.

Definición:

Sea 𝑓(𝑧) holomorfa, y la reparametrización de una curva simple 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ, se define

en términos de integrales complejas como:

− ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎

= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧−𝜎

Gráficamente se interpreta como se muestra a continuación:



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Reparametrización de curva cambiando el sentido de su dirección

Ejemplo:

Evalúa la integral ∫1

𝑒𝑖𝑡 (𝑖𝑒𝑖𝑡)𝑑𝑡 = 𝑖𝜋𝜋

0, invirtiendo el sentido de la curva 𝜎(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.

Solución: La función a integral es 1

𝑧 sobre el semicírculo unitario. La intención del ejemplo es

que compruebes que el valor de la integral cambia si se cambia la curva. Sea 𝜎1(𝑡) = 𝑒−𝑖𝑡 (la

parte de abajo del semicírculo unitario) reparametrización de 𝜎.

∫ 𝑒𝑖𝑡(−𝑖𝑒−𝑖𝑡)𝑑𝑡 = 𝑖 ∫ 𝑑𝑡𝜋

0

𝜋

0

= −𝑖𝜋



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1.2.3. Integral de funciones elementales

Durante la asignatura de Variable compleja I aprendiste la teoría de funciones elementales

(definición, propiedades, continuidad, límite y derivada), ahora complementarás esos

conocimientos para calcular las integrales de dichas funciones.

Así como algunas de las integrales de variable real tienen una función primitiva, las integrales

complejas bajo ciertas condiciones satisfacen un resultado análogo.

Teorema:

Sean 𝑓: 𝐷 → ℂ continua y holomorfa, la curva 𝜎:[𝑎, 𝑏] → ℂ de clase 𝐶1, tales que existe otra

función 𝐹: 𝐷′ → ℂ, continua y holomorfa tal que 𝐹′(𝑧) = 𝑓(𝑧) ∀𝑧 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓. Entonces se cumple

la siguiente igualdad:


= 𝐹(𝜎(𝑏)) − 𝐹(𝜎(𝑎)).

Demostración:

Ya que 𝐹′(𝑧) = 𝑓(𝑧) ∀𝑧 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 por hipótesis, entonces reescribimos a

𝐹′(𝑧) = 𝑢′(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣′(𝑥, 𝑦)

Por lo tanto ∫ 𝐹′(𝑧)𝑑𝑧 =𝑏

𝑎∫ 𝐹(𝜎(𝑡))

𝑏

𝑎𝜎′(𝑡)𝑑𝑡 =

= ∫ 𝑢′𝑑𝑡 + 𝑖 ∫ 𝑣′(𝑡)𝑑𝑡 = [𝑢(𝑏) + 𝑖𝑣(𝑏)] − [𝑢(𝑎) − 𝑖𝑣(𝑎)] =𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝐹(𝜎(𝑏)) − 𝐹(𝜎(𝑎))

Lo que prueba el teorema.

Observaciones:



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• También encontrarás el resultado anterior como el Teorema fundamental de integrales

de variable compleja.

• Si la curva es cerrada, entonces 𝐹(𝜎(𝑏)) − 𝐹(𝜎(𝑎)) = 0.

Ejemplo:

Encuentra una función 𝐹 para la integral ∫ 2𝑧𝑑𝑧1

0, que satisfaga la proposición anterior.

Solución:

1. Identifica 𝑓(𝑧) = 2𝑧, recordando reglas de integración en ℝ, una primitiva (antiderivada) de

∫ 2𝑧𝑑𝑧1

0 es: 𝐹(𝑥) = 𝑧2.

2. Evalúa la integral, aplicando la proposición anterior, ya que 𝑧0 = 0, 𝑧1 = 1, entonces:

∫ 2𝑧𝑑𝑧 = 𝐹(𝑧1) − 𝐹(𝑧0) = 1 − 0 = 11

0.

Recuerda que las funciones elementales son funciones que se forman usando las propiedades

de las funciones complejas (suma, producto, cociente etc. de funciones) en la unidad dos

podrás integrar funciones compuestas (composición de funciones elementales holomorfas) con

la ayuda del teorema de Cauchy-Goursat.

Ejemplos:

1. Encuentra el valor de la integral de la función f(z) = eitdt, de tal forma que sus puntos inicial

y final son z0 = 0, z1 =π

4.

Solución: En este caso ya no es necesario encontrar una parametrización de la curva, porque

nos la proporciona implícitamente el ejercicio, pero es importante que reescribas la función



19

para facilitar el cálculo de la integral.

Reescribe la función 𝑓(𝑧) = 𝑒𝑖𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑡 y sustituye en la integral para resolverla.

∫ (cost + isent )dt = ∫ costdt

π4

0

+ ∫ isentdt

π4

0

= sent|0

π4 + i(−cost)|

0

π4

π4

0

=1

2(√2 + i(2 − √2))

2. Cuál es el valor de la integral de la función 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)−1, cuya parametrización está

definida como 𝜎(𝑡) = 𝑟𝑒2𝑖𝜋𝑡 + 𝑎, con 𝑡 ∈ [0, 𝑛], 𝑛 ∈ ℕ.

Solución: El ejercicio te proporciona la parametrización, los puntos inicial y final z0 = 0, z1 = n.

Sustituye los datos y resuelve como si fuera una integral de línea compleja.

f(σ(t)) = ((re2iπt + a) − a)−1 = (re2iπt)−1

σ′(t) = 2iπt(re2iπt)

∫ (re2iπt)−1[2iπt(re2iπt)]dt = ∫ idz = 2iπnn

0

n

0

1.3. Deformación

La deformación es un resultado previo al teorema de Cauchy-Goursat, se utiliza para el estudio

de funciones que no son holomorfas en algún punto de su dominio. Un ejemplo conocido es la

función 1

𝑧 , que no es holomorfa en 𝑧 = 0. A estos puntos donde una función deja de ser

holomorfa se les llama singularidades, las cuales pueden ser “cubiertas” al ir transformando una

parametrización dada en otra que facilite el cálculo de la integral.

1.3.1. Deformación (arcos y curvas)



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En el subtema 1.2.1. Integral de línea revisaste la definición de la integral de línea compleja

sobre una curva, ahora bien, en esta sección se definirán las herramientas necesarias para la

solución de casos específicos sobre curvas.

Definiciones:

1. Un arco simple es una función 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ, de clase 𝐶1 tal que 𝜎 es continuo sobre el

dominio.

2. Para la función continua 𝑓: 𝐷𝑜𝑚𝑓 ⊂ ℂ → ℂ holomorfa, y la curva 𝜎: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℂ de

clase 𝐶1; ∃ 𝑁 ∈ ℕ tal que ∀ 𝑧 ∈ 𝜎, se satisface la siguiente igualdad:

|𝑓(𝑧)| ≤ 𝑁

Bajo las condiciones anteriores la siguiente igualdad es verdadera.

|∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎

| ≤ 𝑁 ∫ |𝜎(𝑡)|𝑑𝑡𝑏

𝑎, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

La integral de la izquierda es la longitud de curva que estudiaste en la asignatura de Cálculo de

varias variables II.

La siguiente proposición es un resultado que te permitirá reparametrizar curvas.

Proposición:

Sean 𝛾: [𝑐, 𝑑] ⊂ ℝ → ℂ y 𝜎: [𝑐, 𝑑] ⊂ ℝ → ℂ de clase 𝐶1, 𝑓 función holomorfa sobre un

conjunto abierto tal que 𝐼𝑚𝑔(𝜎) = 𝛾 , entonces se satisface:

∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝛾𝜎



21

Demostración:

Por hipótesis sabes que 𝜎 es de clase 𝐶1, es conveniente que escribas la integral



𝑎

Sea 𝑠 = 𝜏(𝑡), tal que 𝑠 = 𝑎′ cuando 𝑡 = 𝑎, 𝑦 𝑠 = 𝑏′ cuando 𝑡 = 𝑏. Aplica la regla de la cadena

a 𝜎 para obtener:

∫ 𝑓(𝜎(𝑡))𝜎′(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎

= ∫ 𝑓(𝛾(𝜏(𝑡)))𝜏′(𝑡)𝑑𝜏

𝑑𝑡𝑑𝑡

𝑏

𝑎

= ∫ 𝑓(𝛾(𝑠))𝛾′(𝑠)𝑑𝑠𝑏

𝑎

Y con esto se prueba la proposición.

Independencia de trayectoria de curvas homotópicas

Ejemplo:



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Calcula la integral ∫1

𝑧𝑑𝑧

𝑖

1 sobre la curva 𝑥4 + 𝑦4 − 1 = 0 en la parte positiva del plano 𝑥𝑦.

Solución: Al realizar la sustitución de la curva en 𝑓, la integral a resolver se dificulta.

∫ ∫𝑑𝑥𝑑𝑦

√𝑥4 − 14

+ 𝑖(√𝑦4 − 14

)

1

0

1

0

Grafica la curva para identificar qué curva puedes utilizar para facilitar el cálculo de la integral.

En este caso, es conveniente que la curva sea |𝑧| = 1 con 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2, 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔𝑧. Aplica el

cambio de variable 𝜎(𝜃) = 𝑒𝑖𝜃 y sustituye en la integral original.

∫1

𝑒𝑖𝜃

𝜋2

0

(𝑖𝑒𝑖𝜃)𝑑𝜃 = ∫ 𝑖𝑑𝜃

𝜋2

0

=𝑖𝜋

2

1.3.2. Teorema de la homotopía (deformación)

La homotopía se refiere a la deformación sin romper, cómo transformar una curva en otra a

través del teorema que nos compete, para facilitar el cálculo de la función a integrar.

Definición:



23

Una curva cerrada simple sobre una región 𝐴 ⊂ ℂ se dice homotópica, si puede deformarse

continuamente hasta formar una nueva curva, de tal manera que sea continua en 𝐴 ⊂ ℂ.

Otra forma de definir una curva homotópica, es la existencia de una función 𝑔: [0,1]𝑋[0,1] → ℂ

que satisface las siguientes condiciones:

1. 𝑔(0, 𝑡) = 𝜎0 con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

2. 𝑔(1, 𝑡) = 𝜎1 con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

3. 𝑔(𝑠, 0) = 𝑧0 con 0 ≤ 𝑠 ≤ 1; 𝑧0, 𝑧1 ∈ ℂ

4. 𝑔(𝑠, 1) = 𝑧1 con 0 ≤ 𝑠 ≤ 1

Ejemplo:

Sean 𝜎0 = 𝑡(1 + 𝑖), 𝜎1 = 𝑡(1 + 𝑖𝑡), verifica que 𝜎0 es homotópica, si 𝑔(𝑠, 𝑡) = 𝑡 + 𝑖𝑡1+𝑠.

Sustituye los datos que te proporciona el ejemplo

1. 𝑔(0, 𝑡) = 𝑡 + 𝑖𝑡 = 𝜎0 con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

2. 𝑔(1, 𝑡) = 𝑡 + 𝑖𝑡2 = 𝜎1 con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

3. 𝑔(𝑠, 0) = 0 = 𝑧0 con 0 ≤ 𝑠 ≤ 1; 0, 1 + 𝑖 ∈ ℂ

4. 𝑔(𝑠, 1) = 1 + 𝑖 = 𝑧1 con 0 ≤ 𝑠 ≤ 1

Ya que satisface la definición, por lo tanto 𝜎0 es homotópica.

Para demostrar el teorema de la homotopía, es necesario plantear el siguiente resultado.

Teorema:

Para 𝑓(𝑧) función holomorfa, cuya derivada es continua sobre 𝜎 (sobre y en el interior de su

contorno) curva cerrada simple, se cumple la siguiente igualdad:

∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0𝜎



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Demostración:

Sea 𝑓(𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣, entonces por la linealidad de la integral

∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫ (𝑢𝑑𝑥 − 𝑣𝑑𝑦)𝜎

+ 𝑖 ∫(𝑢𝑑𝑦 + 𝑣𝑑𝑥)

𝜎𝜎

Aplicamos el teorema de Green a las integrales de la derecha para obtener:


= ∬ [− (𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦)]

𝜎

𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑖 ∬ [𝜕𝑢

𝜕𝑥−

𝜕𝑣

𝜕𝑦]

𝜎

𝑑𝑥𝑑𝑦

Ya que 𝑓 es holomorfa y con 𝑓′ continua, implica que satisface las condiciones del teorema de

Cauchy-Riemann, por lo tanto:

𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 0 y

𝜕𝑢

𝜕𝑥−

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

Al sustituir en la integral anterior se tiene la igualdad:

∬ [− (𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦)]

𝜎𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑖 ∬ [

𝜕𝑢

𝜕𝑥−

𝜕𝑣

𝜕𝑦]

𝜎𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 = ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧

𝜎.

Algunos autores como J. E. Marsden (1996) nombran al teorema anterior Versión simple del

Teorema de Cauchy.

Teorema de la homotopía (deformación):

Si 𝑓(𝑧) es holomorfa sobre dos curvas cerradas simples homotópicas 𝜎1, 𝜎2, entonces las

integrales de línea de 𝑓 alrededor de dichas curvas tienen el mismo valor, siempre que una de

las curvas se obtenga por deformaciones continuas de la otra sin pasar por alguna singularidad

de 𝑓.

∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎1

= ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎2



25

Demostración:

Sean 𝜎 = 𝜎0 + �̃� y 𝜎 = 𝜎1 + 𝜎0 − �̃� − 𝜎0 por hipótesis dichas curvas son homotópicas, y en

particular holomorfas en el interior del 𝐷𝑜𝑚𝑓, por lo tanto satisfacen las condiciones del

teorema anterior.

∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎1+𝜎0−�̃�−𝜎0

= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎1

+ ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎0

− ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧�̃�

− ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎0

= 0

Es decir:

∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝜎

= ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧�̃�

Para demostrar el teorema anterior se necesitan aplicar resultados que involucran el teorema

de Cauchy-Goursat.

Ejemplo:

Sea 𝑓(𝑧) =1

𝑧 y la curva 𝜎 cerrada simple (no es un círculo), con 0 ∈ 𝜎.

Solución: El valor de la integral de 𝑓 es 2𝑖𝜋.

Por el teorema de la homotopía es posible encontrar otra curva �̃� = |𝑧| = 𝑎 > 0 tal que �̃� está

en el interior de 𝜎. Al realizar el cambio de variable el círculo (�̃�(𝑡) = 𝑎𝑒𝑖𝑡) de radio 𝑎 con

centro en el origen, se tiene que:

∫1

𝑧

2𝜋

0

𝑑𝑧 = 2𝑖𝜋

La siguiente imagen te proporcionará una mejor idea de las curvas.



26

Recuerda 𝑓(𝑧) =1

𝑧 es holomorfa, si su dominio no contiene al cero.

En la siguiente unidad retomarás estos resultados para resolver problemas específicos por

medio del a fórmula de Cauchy.

Cierre de la unidad

Has concluido la primera unidad de la asignatura. A lo largo de ésta se abordaron cálculos de

integrales de variable compleja, a través del uso de teoremas y propiedades. Ahora sabes que

estas integrales tienen aplicación en la ingeniería, la física y otras ramas del conocimiento.

Es aconsejable que revises nuevamente la unidad en caso de que lo que se acaba de mencionar

no te sea familiar, o no los recuerdes; de no ser éste tu caso, has concluido la unidad, por lo que

puedes ingresar a la Unidad 2. Análisis complejo, en la que se revisarán los cálculos de integrales

a partir del teorema de Cauchy-Goursat y sus diferentes aplicaciones, en diferentes contextos.

Para saber más

Para comprobar los resultados de los ejemplos y ejercicios presentados durante la unidad, te

propongo utilizar el programa Wolfram. Puedes acceder a ella desde el siguiente link

http://www.wolframalpha.com

http://www.wolframalpha.com/



27

Fuentes de consulta

• Marsden J. E.& Hoffman M. J. (1996) “Análisis básico de Variable Compleja”. México

Editorial Trillas.

• Lang, S.. (1999). Complex Analysis.(4a Edición) New York. Editorial Springer

• Churchill, R. V. (1996). Variable Compleja y sus aplicaciones. (México), Editorial Trillas

unidad 1. integración compleja

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