unidad 1: matrices. enunciados matrices... · 3 probar que las matrices cos cos sen sen a y cos cos...

1

Unidad 1: Matrices.

Calcula A2000

, siendo

202

020

200

A

Dada la matriz

10

21A ; a) Calcula A

2 y A

3 , b) Halla una ley

general para calcular An .

Dada la matriz

016

102

211

A , calcula, si existen las siguientes

matrices: a) Una matriz X tal que 101 AX . b) Una matriz Y

tal que

010

101YA (PAU).

Dada la matriz

000

00

00

a

a

A . Hallar An para todo numero entero

positivo n. (PAU).

Dadas las matrices:

30

12A ,

12

13B y

13

12C

comprueba las siguientes igualdades: a) CBACBA ;

b) CABACBA ; c) CBCACBA ; d) 2BA ;

e) ABBA 222

Dadas las matrices

001

100

010

A y

100

010

101

B Encontrar la

regla de calculo de las potencias sucesivas de A y de B, es decir An y

Bn.

2

Dadas las matrices

100

052

025

A y

100

0

0

cc

ba

B . Se pide: a) Encon-

trar las condiciones que deben cumplir a, b yc para que se verifique

ABBA . b) Para a = b = c = 1, calcular 10B .

(PAU Junio 2006-07).

Dadas las matrices

021

102A y

11

10

01

B y las ecuaciones

matriciales X – A = B ; Y – A·B = O y Z – B·A = O

a) Señala las planteadas correctamente. b) En su caso, calcula la

matriz X , Y ó Z. Razona la respuesta. (PAU).

Encontrar un número real 0 , y todas las matrices B de dimension

2x2 (distintas de la matriz nula), tales que

39

03

13

0BB


Expresar la matriz

2

6X como combinación lineal de

2

1A y

1

1B

Hallar todas las matrices

b

aaA

0 distintas de la matriz

00

00

tales que AA 2 . b) Para una cualquiera de las matrices A obtenidas

en el apartado anterior, calcular 102 AAAM .

(PAU Septiembre 2005-06).

Obtener, para todo numero natural n, el valor de:

nn

11

11

11

11

(PAU Modelo 2009-10).

3

Probar que las matrices

cos

cos

sen

senA y

cos

cos

sen

senB

conmutan es decir A·B = B·A . Hallar este producto. Aplicarlo para

hallar A2, A

3 y A

n , n N.

Resolver el siguiente sistema matricial

188

11025

117

8432

BA

BA

(PAU).

Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales:

416

3723 YX

272

1263YX (PAU).

Resuelve los sistemas matriciales:

a)

11

012 YX b)

24

42YX

45

31YX

212

823 XY

Sea A una matriz de dimensión 5x4, B una matriz de dimensión mxn

y C otra de dimensión 3x7. Si se sabe que se puede obtener la matriz

producto A·B·C, ¿cuál es la dimensión de la matriz B?. ¿Y la de la

matriz A·B·C?. (PAU).

Sea

111

111

111

A e I la matriz identidad de orden tres.

a) ¿Existe algún valor real, m, que verifique: (A – I ) · (A + mI) = I

? . Razona la respuesta. b) Calcula una matriz B tal que

(A – I) · B = I4 . (PAU).

4

Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad

A2 = I, siendo I la matriz identidad de orden n. Se pide: a) Expresar A

-1

en terminos de A. b) Expresar An en terminos de A e I, para cualquier

numero natural n. c) Calcular a para que A2 = I, siendo A la matriz:

aA

0

11 (PAU Septiembre 2001-02).

Sea A una matriz mxn. a) ¿Existe una matriz B tal que B·A sea una

matriz fila?. b) ¿Se puede encontrar una matriz B tal que A·B sea una

matriz fila?. Si existe, ¿que dimensión tiene?. c) Busca una matriz B

tal que 00 AB siendo

00

10

11

A (PAU).

Sea la matriz

10

1 aA : a) Para cada numero natural n, hallar A

n.

b) Calcular A22

– 12A2 + 2A. (PAU).

Sea la matriz

201

112

101

b

A , con b un parámetro real. a) ¿Para qué

valores del parámetro b el sistema de ecuaciones lineales

0

0

0

z

y

x

A

tiene solo la solución x = y = z = 0?. Justifica la respuesta.

b) Para b = - 1 resuelve, si es posible, el sistema

1

1

1

z

y

x

A (PAU).

Sea la matriz

13

01A y sea n un numero natural . Encontrar el

valor de An para cada n y hallar A

350 – A

250 . (PAU).

5

Sea I y A las matrices

10

01I

1710

2917A . Calcular, escribien-

do las operaciones necesarias: a) Las matrices A2 y A

5. b) Los números

reales y para los que se verifica AIAI 3 . (PAU).

Sean A una matriz cuadrada de orden n tal que A2 = A, I la matriz

unidad de orden n y B = 2A – I. Calcula B2.

Sean A, I y B las matrices

001

011

110

A ,

100

010

001

I y

514

123

436

B Contestar razonadamente, ¿existe algún valor de

real, tal que la igualdad BIA 2

sea cierta?. En caso afirmativo,

hallar dicho valor de . (PAU).

Sean A y B matrices diagonales de orden tres:

3

2

1

00

00

00

a

a

a

A

3

2

1

00

00

00

b

b

b

B Probar que A·B también es diagonal.

Sean las matrices

3

2

1

A ,

2

2

7

B ,

100

010

000

C y

3

5

2

E .

Calcular

z

y

x

M para que verifique la ecuación (A·Bt + C)·M = E

6

Se consideran las matrices

221

111

122

A y

200

315

110

B

calcula (A + B)2 , A

2 + 2AB + B

2 y A

2 + B

2 , ¿Por qué no coinciden sus

resultados?. ¿Cuál seria la formula correcta para el cuadrado de una

suma de matrices?.


221

111

122

A e I 3x3.

Se pide: a) Hallar (A – I)2. b) Calcular A

4 haciendo uso del apartado

anterior. (PAU MODELO 2005-06)

Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que

A · At = I, donde A

t es la matriz traspuesta de A e I la matriz identi-

dad. Si A y B son dos matrices ortogonales de igual orden, analiza si

A · B es también una matriz ortogonal. (PAU).

Si una matriz cuadrada A verifica A2 + 7A = I, siendo I la matriz

unidad, calcula A-1

en funcion de A

7

Unidad 2: Determinantes

Averiguar según el valor de a el número de raíces reales que tiene la

ecuación 0

2

2

2

2

xaaa

axaa

aaxa

aaax

(PAU).

Calcula el valor de los siguientes determinantes.

1321

0120

1003

2121

A

1210

2401

2320

2031

B

Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la

identidad: 322

111

22 babbaa

baba

PAU Junio 2002-03).

Comprueba, utilizando las propiedades de los determinantes, que los

siguientes determinantes, llamados de Vandermonde, verifican:

bcacab

cba

cbaB 222

111

cdbdbcadacab

dcba

dcba

dcbaC

3333

2222

1111

Comprueba que 31

1111

1211

1121

1112

xx

x

x

8

Comprueba que la ecuación 0

64278

1694

432

1111

3

2

x

x

x tiene solo tres

soluciones sin necesidad de calcular el determinante. ¿Cuáles son?.

Comprueba sin desarrollar que 0

1

1

1

bac

acb

cba

A

Dadas las matrices

38

13A ,

10

01I a) Comprobar que

22 AA y que IAIA . b) Sea M una matriz cuadrada de

orden 2. ¿Se puede asegurar que se cumple que 22 MM ?. Razonar

la respuesta. c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden

dos, tales que: IMIM . (PAU Septiembre 2005-06).

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n vale k. Hallar

el determinante de las matrices 5A ; - A ; At y A·A

t .

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es k. ¿Qué

condición debe verificar k para que la matriz tenga inversa?. Cuánto

vale en ese caso 1A .

El determinante de una matriz cuadrada A de orden tres vale 16.

Hallar el determinante de las matrices: a) 5A ; b) – A ; c) - 6A ;

d) At ; e) A

t·A ; f) A·A

t .

El determinante

358

134

52

3

2

a

a

a

vale cero para a = 3. Comprobar que es

así sin desarrollarlo.

9

Encontrar las transformaciones de filas o columnas necesarias para

deducir: 313

111

111

111

111

aa

a

a

a

a

Halla los valores reales de a, b, c y d para que se cumplan las

igualdades a) 2

22

114

13

a

a

; b) 197

132

41

021

c

cc

c) 5

253

1

12

bb

b

; d) 18

0

012

12

dd

ddd

Hallar el determinante de la matriz

100

0cos

0cos

sen

sen

A

Justifica, sin realizar calculo alguno, que:

222333

222

111

zyx

zyxzyx

zyx

zyx

zyx

Obtén el desarrollo de los siguientes determinantes por los adjuntos

de la primera fila:

012

103

211

A

241

210

231

B

Obtén, sin calcular el valor del determinante, dos soluciones para

0

11

11

1112

x

x

10

Obtener en función de a, b y c el determinante de la matriz

1111

1111

1111

1111

c

b

aA (PAU).

Resolver la ecuación : 0

2000

1300

7510

271

a

a

a

a

Resolver la ecuación:

0

111

111

1112

22

22

xxx

xxx

xxx


Resolver las ecuaciones:

a) 0

011

111

11

011

x

x

xx

x

b) 0

11

1

11

x

xx

x

Resolver las ecuaciones siguientes:

a) 0

371

431

2112

1111

x

x b) 0

1

10

1

aa

a

aa

c) 0

32

220

512

2

k

d) 2

102

11

1

x

xx

Sabemos que el determinante de la matriz

dc

baA vale 12.

Hallar él determinante de las matrices: a) 3A , b) -2A ; c) 7A ;

d) At ; e) A·A

t ; f) A

t·A .

11

Sabiendo que 5

102

432

413

, determina sin desarrollarlos el valor de

los siguientes determinantes. a)

306

462

423

, b)

144

031

223

,

c)

103

435

418

y d)

014

344

146

Sabiendo que 6

ihg

fed

cba

, determina sin desarrollar el valor de los

siguientes determinantes. a)

ihg

fed

cba

3/3/3/

222

, b)

5/32

5/32

5/32

ggih

ddfe

aacb

c)

ifchebgda

fcebda

cba

Sabiendo que 10

ihg

fed

cba

, calcula el valor de

fed

ihg

cba

555

222

333

Sabiendo que 3306

321

, y utilizando las propiedades de los

determinantes, calcular: a) el determinante de la matriz

4

306

642

,

b)

333

102

302010

, c)

36

222

634323

(PAU Junio Especifica 2009-10).

12

Sea A una matriz cuadrada de orden 3. a) Si sabemos que el

determinante de la matriz 2Aes igual a 8, ¿Cuánto vale el A .

b) Calcula para que valores de x se cumple que 82 A , siendo la

matriz

12

221

11

xx

x

x

A (PAU).

Sea la matriz

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

2

2

2

2

, calcular el valor de su

determinante en función de a. (PAU).

Sean dos matrices cuadradas de orden n, A y B. Probar, haciendo

uso de las propiedades estudiadas, que ABBA , a pesar de que en

general ABBA

Sean las matrices :

17

53A y

65

24B Hallar los determinan-

tes de las siguientes matrices. a) A ; b) B ; c) 3A ; d) 2B ;

e) A + B ; f) 3A + 2B ; g) A·B ; h) B·A ; i) At .

Se considera la función:

x

x

x

baba

xf

100

010

001

32

)(

Sí f(0) = -3 y f(1)

= f(-1), determina a y b. (PAU).

Si 3

igg

fed

cba

, calcula sin desarrollar el valor de

bac

beadcf

hgi

333

13

Si 321 ,, CCCA es una matriz cuadrada de orden 3 con columnas

321 ,, CCC , y se sabe que 4det A , se pide a) Calcular 3det A y A3det .

b) Calcular Bdet y 1det B , siendo 1213 5,,2 CCCCB la matriz cuyas

columnas son 1213 5,,2 CCCC .


Si la matriz

ihg

fed

cba

A tiene determinante n, averigua el valor del

determinante de las siguientes matrices

cba

ihg

fed

B

369

23

246

,

hihig

bcbca

efefd

C

Simplificar sin desarrollar: bcc

baa

32

32

Si A es una matriz tal que

00

002A , a) ¿Cuál es el valor del deter-

minante de A?. b) Calcular un numero k tal que:

00

00

10

01

11

432

k (PAU Septiembre 2003-04).

Sin desarrollar los determinantes comprueba que:

2

2

2

ccab

bbac

aabc

= 32

32

32

1

1

1

cc

bb

aa

14

Unidad 2 . Rangos de matrices

Considera la matriz

2

22

111

mmm

mmmA . Halla los valores de m para los

que el rango de A es menor que 3. (PAU).

Determina los valores de x para los que el rango de la matriz

111

10

03

x

x

A valga 2.

Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a:

011

2011

11

a

aa

aaa

A Razonar si A es inversible para algún valor

de a.

Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a. ¿Para que

valores de a es la A inversible?.

8602

3115

301

a

a

A

Estudiar el rango de las siguientes matrices según el valor del

correspondiente parámetro.

371

431

2112

1111

A ;

aa

a

aa

B

1

10

1

;

232

220

112

k

C

25

32

mm

mD ;

51

42

E

15

Halla el rango de la matriz:

111

0110

111

a

a

a

A según el valor del

parámetro a. (PAU).

Halla el rango de la matriz :

a

bb

aa

A

112

12

112

según los valores de

los parámetros a y b . (PAU).

Halla el rango de las siguientes matrices:

20426

10213A

1223

0412

0321

B

Halla el rango de las siguientes matrices:

a)

0447

0976

0531

A ; b)

1005

402

603

B ; c)

56

97

31

C

d)

3142

0921D

Halla el rango o característica de las siguientes matrices:

412

321A ;

111

123

321

B ;

300

210

420

C

Hallar el rango de la matriz

100

0cos

0cos

sen

sen

A

16

Hallar el rango de las siguientes matrices:

1111

1111

1111

1111

A ;

2125

3123

4211

1312

B

Sea la matriz

30

14

101

m

mA . Determine los valores de m para los

que Rango(A) < 3. ¿Puede ser rango(A) = 1 para algun valor de m?.

(PAU).

Sea r el rango de la matriz

2130

0012

3241

1101

A a) Hallar r, b) Señalar

r filas y r columnas linealmente independientes.

17

Unidad 2. Matriz inversa. Ecuaciones matriciales

Calcula la matriz X, tal que X · B + A = C siendo:

315

124A ,

230

102

030

B ,

642

531C (PAU).

Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica

X·A2 +B·A = A

2, siendo

001

010

100

A ,

002

020

200

B


Considera las matrices

100

212

111

A y

111

110

100

B , Calcula la

matriz X que verifica que X·A + B = I. (PAU).

Considera las matrices

12

1 xA y

21

10B . Halla x para que se

cumpla

126

8822 BA (PAU).

Contesta a las siguientes cuestiones: a) calcula los valores x, y, z que

verifican la siguiente ecuación matricial:

10

1

0

12

11

12

3

2

1

z

yx

b) Expresa el sistema anterior en forma matricial A·X = B .

c) Calcula la matriz inversa de A. (PAU).

Dada la ecuación matricial A · X + B = C, se pide obtener la matriz

X siendo:

100

021

011

A ,

21

10

11

B ,

11

31

10

C (PAU).

18

Dada la matriz

43

21A calcula la expresión: (A

t · A

-1)2 · A

Dada la matriz

x

xA

41

12

211

calcula para que valor de x, posee

inversa y para cuales no es inversible. Calcular A-1

. (PAU).

Dada la matriz

a

a

A

10

010

11

estudiar para que valores de a tiene

inversa y calcularla siempre que sea posible.

( PAU Junio Especifica 2009-10).

Dada la matriz

x

x

x

A

111

111

111

, obtén los valores de x para los

que posee inversa. Calcular A-1

.

Dada la matriz

102

102

112

a

a

a

A se pide: a) Determinar el rango

de A según los valores del parámetro a. b) Decir cuando la matriz A es

invertible. Calcular la inversa par a = 1.


Dada la matriz:

20

01

0

aa

aa

aa

A , se pide: a) Estudiar el rango de

la matriz A según los valores del parámetro a. b) ¿Para que valores de

a existe la matriz inversa. Obtener la matriz inversa de A para a = 1

(PAU Septiembre común 2009-10).

19

Dada la matriz

112

12

12

M a) Determinar el rango de M según

los valores del parametro . b) Determinar para que valores de exis-

te la matriz in versa de M. Calcular dicha matriz inversa para 0 .


Dada la matriz:

110

21

21

m

mm

M , se pide: a) Determinar los valores

del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible. b) Determi-

nar los valores del parámetro m para los cuales la matriz 25M es inver-

tible. c) Para m = -1 calcular, si es posible, la matriz inversa 1M de M.


Dadas las matrices:

320

210

021

A ,

310

111

211

B a) Determinar la

matriz inversa de B. b) Determinar una matriz X tal que XBA


Dadas las matrices:

215

113

001

A y

000

010

001

B . Se pide :

a) Hallar 1A . b) Hallar la matriz X, tal que: BAXA t (donde At

significa matriz traspuesta de A). (PAU Junio 2003-04).

Dadas las matrices:

11

24A ,

13

24B , obtener una matriz

cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial

BABXA . (PAU Septiembre 2008-09).

20

Determina la matriz X, sabiendo que se verifica: X · A2 + B · A = A

2

y que:

001

010

100

A y

002

020

200

B (PAU).

Estudia para que valores de m la matriz siguiente tiene inversa

mm

m

0

110

10

. En caso de ser posible, halla su inversa para m = -1 (PAU).

Estudiar para que valores del parámetro a tiene inversa cada una

de las siguientes matrices y hallar la inversa en esos casos:

a)

a

a

a

A

00

020

202

b)

3012

112

0

aa

aa

aa

B

Halla la matriz inversa de la matriz:

010

121

111

A

En la matriz del anterior, señala los cambios que ocurren en A-1

si en

la matriz A se intercambian dos de sus filas o dos de sus columnas. ¿Y

si se multiplica una de sus filas por un numero p 0?. ¿Y si se multipli-

ca por p 0 una columna?.

Halla, si existe, una matriz cuadrada A de orden 2, que cumpla las

siguientes condiciones:

a) Coincide con su traspuesta.

b) Verifica la ecuación matricial

33

33

10

11

11

11A

(PAU).

Hallar la inversa de la matriz

39

47A y comprueba sí

(A-1

)2 = (A

2)-1

.

21

Hallar las inversas de las matrices:

a)

150

013

101

A ; b)

1

111

111

111

B

Resolver la ecuación matricial A·X = B siendo:

10

21A ;

110

321B

Resolver la ecuación matricial A2·X – B = A

2 siendo:

100

020

001

A y

100

030

001

B (PAU).

Resolver la ecuación matricial B·(2A + I) = A·X·A + B siendo

10

11A ,

11

21B e

10

01I (PAU).

Resuelve la ecuación matricial A·X + C = B, siendo

01

14A ,

0112

1021B y

0301

1210C (PAU).

Sea la ecuación A·X = B con :

115

203

011

A y

3

2

1

B

Hallar A-1

y X.

Sea k un numero natural y sean las matrices

1

1

0

,

100

010

111

BA y

211C a) Calcular kA . b) Hallar la matriz X que verifica la

ecuación CBXAk . (PAU Junio 2000-01).

22

Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad

A + B = A·B. Comprobar que entonces se tiene la formula:

ABBI 11 (donde I denota la matriz identidad). b) Dada la

matriz

12

11A hallar la matriz B para la cual se verifica

BABA . (PAU Septiembre 2002-03).

Sean las matrices

3

2

1

A ,

2

2

7

B ,

100

010

000

C y

3

5

2

E .

Calcular

z

y

x

M para que verifique la ecuación (A·Bt +C)·M = E.

(PAU).

Sean las matrices

010

201

101

A ,

301

011

201

B a) Calcular A-1

. b)

Resolver la ecuación matricial A·X = B·A.

(PAU Prueba 2001-02).

Sean las matrices:

10

11A ,

38

37B . a) Hallar una matriz X tal

que BXAX 1 . b) Calcular 10A . c) Hallar todas las matrices M que

satisfacen 22 MAMAMA .


Sean las matrices:

10

02A ,

76

98B . Hallar una matriz X tal

que BXAX 1 . (PAU Junio 2006-07).

23


111

21 A y

20

0

31

B , donde es

cualquier numero real. a) Encuentra los valores de para los que A·B

es invertible. b) Determina los valores de para los que B·A es

invertible. c) Dados a y b, números reales cualesquiera, ¿puede ser el

sistema

b

a

z

y

x

A compatible determinado?. (PAU Junio 1998-99).

25

Unidad 3. Sistemas de ecuaciones

Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo

que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades

de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la edad de la

madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento

y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo

menor tendrá 42 años.


De tres números x, y ,z, sabemos lo siguiente: que el primero mas el

segundo suman 0; que el primero mas el tercer suman 1; que la suma

de los tres es 0 y, para terminar, que el primero multiplicado por un

numero k mas el doble de la suma del segundo y del tercero da 1.

a) ¿Que puede decirse del valor de k?. b) ¿Cuánto valen esos tres nú-

meros?. (PAU).

El capitán Ala Triste tiene a su cargo tres compañías: una de suizos,

otra de zuavos y una tercera de sajones. Al asaltar una fortaleza el ca-

pitán promete una recompensa de 901 escudos que se repartirán de la

siguiente forma: El soldado que primero suba junto con todos los de su

compañía recibirán un escudo y el resto de la recompensa se repartirá

a partes iguales entre las otras dos compañías. Si el primero que sube

es suizo, las otras dos compañías recibirán ½ escudo cada una; si el pri-

mero que sube es zuavo, las otras dos reciben 1/3 de escudo cada una y

si el primero que sube es sajón, las otras dos obtienen ¼ de escudo.

¿Cuántos hombres hay en cada compañía?.

El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla,

observa que esta muy aguada, por lo que decide añadirle una cierta

cantidad de vino y entonces la cantidad de agua es del 30 % del total.

Como sigue estando aguada, le añade de nuevo la misma cantidad de

vino que antes y entonces la cantidad de agua es del 20 % del total.

¿Cuantos litros de vino se añaden en cada ocasión y cuantas hay de

agua?.

26

En una autonomía existen tres hospitales dedicados a urgencias. Se

sabe que en el primer hospital se han atendido en doble de casos que en

el segundo y que en el tercero se han atendido solo la mitad que en el

segundo, Si el total de urgencias ha sido de 3003, ¿cuántas prestacio-

nes ha realizado cada hospital? Plantear el sistema y resolverlo.

En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y

1 Kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más

de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Sabiendo que el precio

del kg de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombo-

nes envasados es de 1250 euros: a) Plantea un sistema de ecuaciones

para determinar cuantas cajas se han envasado. b) Resuelve el sistema.

En una feria, un granjero vendió cada ganso, pollo y codorniz por 10,

5 y 1 € respectivamente. En total vendió 50 animales y recibió 100 €.

¿cuántos animales vendió de cada clase, si vendió la quinta parte de

pollos que de codornices?.

La liga de futbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuel-

ta. Este año, los partidos ganados valían 3 puntos, los empatados 1

punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón

de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado, los partidos ganados

valían 2 puntos y el resto igual. Con este sistema el actual campeón

habría obtenido 50 puntos. ¿Cuántos partidos gano, empato y perdió el

equipo campeón?. (PAU).

La suma de las edades en el momento actual, de un padre y sus dos

hijos es de 73 años. Dentro de 10 años, la edad del padre será el doble

de la edad del hijo menor. Hace 12 años, la edad del hijo mayor era el

doble de la edad de su hermano. Hallar la edad actual de cada uno.

27

Las edades, en años, de un niño, su padre y su abuelo verifican las

siguientes condiciones:

- La edad del padre es veces la de su hijo.

- El doble de la edad del abuelo mas la edad del niño y mas la del

padre es de 182 años.

- El doble de la edad del niño mas la del abuelo es 100.

a) Establece las edades de los tres suponiendo que = 2.

b) Para = 3, ¿que ocurre con el problema planteado?.

c) Siguiendo con = 3, ¿que ocurre si en la segunda condición la

suma es de 200 en vez de 182?. (PAU).

Luis, Juan y Oscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si te doy la

tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma canti-

dad. Calcular lo que tiene cada uno, sabiendo que entre los tres reúnen

60 €. (PAU).

Resuelve el sistema que se obtenga del siguiente enunciado: ¿Cuan-

tos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche del

40% de grasa, para obtener 20 litros de leche con el 25% de grasa?.

Si a un numero de dos cifras se le suma 18, se obtiene un numero

con las cifras intercambiadas. Sabiendo que la suma de las cifras del

numero es 16, encuentra dicho numero.

Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las

alturas de Toni y de Juan, Carlos seria igual de alto que Juan. Las

alturas de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es lo

mismo que nueve veces la altura de Carlos. Hallar las tres alturas.

Si la suma de las dos cifras de un numero es 11 y al invertir el

orden de las cifras, el nuevo numero aumenta en 27 unidades. Calcular

el numero.

28

Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se

obtiene un vino del 10% de alcohol. Si, por el contrario se mezclan 20

litros de vino blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 %

de alcohol. ¿Qué graduación tendra una mezcla de 40 litros de vino

blanco y 40 litros de tinto?.

(Llamar x a la graduación del vino blanco, y a la graduación del vino

tinto, z a la graduación de la mezcla)

Tres amigos juegan tres partidas a los chinos. Acuerdan que, si uno

pierde le dará a cada uno de los otros dos, igual cantidad de dinero que

la que tengan en ese momento. Cada uno pierde una partida y todos

acaban con 40 €. ¿Con cuanto dinero empezó a jugar cada jugador?.

Tres personas A, B y C van a hacer un regalo a un amigo común. El

regalo les cuesta 86 euros. Como no todos disponen del mismo dinero,

deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan

B y C juntos, y por cada 2 euros que paga B, C paga 3 euros. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar

cuanto paga cada uno de ellos. b) Resuelve el sistema planteado por el

método de Gauss.

Tres personas A, B y C deciden repartirse 8600 pts, de la siguiente

forma: A recibe el triple de lo que reciban B y C juntos y además por

cada 2 pts que reciba B, el C recibe 3 pts. Se pide: a) Plantear el siste-

ma de ecuaciones que permita determinar cuanto recibe cada uno.

b) Resolver el sistema.

Un almacenista dispone de tres tipos de cafés: el A, a 9,80 € / kg; el B,

a 8,75 € / kg, y el C, a 9,50 € / kg. Desea hacer una mezcla con los tres

tipos de café para suministrar un pedido de 1050 kg a un precio de

9,40 € / kg. ¿Cuántos kg de cada tipo de café debe mezclar sabiendo

que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y

del segundo juntos?. (PAU Junio 1997-98).

29

Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de pata-

tas, manzanas y naranjas a un precio de 1, 1,20 y 1,50 euros por kg res-

pectivamente. El importe total de la compra fue de 11,60 euros. Si el

peso total de la misma es de 9 kg y, además, compró 1 kg más de na-

ranjas que de manzanas: a) Plantea un sistema de ecuaciones para de-

terminar la cantidad adquirida de cada producto, b) resuelve el siste-

ma.

Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en

llano marcha a 80 km/h. Para ir de la ciudad A ala B tarda 2 horas y

30 minutos y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cuál es la

longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan en-

tren sí 192 km?.

Un cajero automático contiene 95 billetes de 100, 200 y 500 € y un

total de 20000 €. Si el número de billetes de 100 es el doble que el nú-

mero de billetes de 200, averiguar cuantos billetes hay de cada tipo.


Un coleccionista decide regalar un montón de sellos. A cada persona

con la que se encuentra le da la mitad de los sellos que llevaba mas

uno, y se encuentra exactamente a 6 personas. Si al final regala todos

los sellos, ¿Cuántos sellos tenis el coleccionista?. (PAU).

Un estudiante hizo un examen que constaba de tres preguntas y ob-

tuvo un 8 de calificación. En la segunda pregunta saco 2 puntos más

que en la primera y en la tercera obtuvo 1 punto más que en la según-

da. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de

Gauss.

30

Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A, 10

billetes a destinos nacionales, 10 billetes a destinos extranjeros euro-

peos comunitarios y 10 billetes a destinos internacionales no comuni-

tarios, cobrando por todo ello 12000 €. A una segunda agencia B le

vende 10 billetes a destinos nacionales, y 20 a internacionales no comu-

nitarios, y cobra 13000 €. A una tercera agencia C le vende 10 billetes a

destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos comunitarios,

cobrando 7000 €. Se pide: a) Hallar el precio de cada billete. b) Por ra-

zones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20 por ciento

el precio de todos los billetes nacionales. Hallar en que porcentaje debe

incrementar el precio de todos los billetes extranjeros comunitarios,

manteniendo constante el precio de todos los billetes internacionales no

comunitarios, para mantener constantes sus ingresos totales por las

ventas a las tres agencias. (PAU)

Un vinatero posee tres tipos de vino con precios por litro de 3, 4 y 7

euros, respectivamente. ¿Cómo debería mezclarlos para obtener un

litro de vino cuyo precio fuese 5 euros el litro, teniendo en cuenta que

debe emplear doble cantidad del vino de 4 euros por litro que del vino

que solo cuesta 3 euros el litro?.

Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares

y libras. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264000

€. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del

valor del dinero en dólares y que el valor del dinero en libras sea la dé-

cima parte del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es

igual a 1,5 euros y que un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar

la cantidad de euros, dólares y libras que la empresa ha de tener dispo-

nible.

Una persona va al supermercado y compra una docena de huevos,

una bolsa de patatas y una botella de aceite. El día siguiente compra

una botella de huevos y dos botellas de aceite. Vuelve a la tienda y com-

pra una bolsa de patatas y otra docena de huevos. El primer día pago 6

€, al día siguiente se gasto 6,5 € y en la tercera ocasión pago 3,5 €.

Calcula, si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite.

31

Una refinería compra petróleo a dos países A y B. Comprando 500

barriles al país A y 15500 barriles al país B, resulta un precio medio de

19´875 dólares el barril. Comprando 1000 barriles al país A y 1000 al

país B, el precio medio es de 18 dólares el barril. ¿Cuanto cuesta el ba-

rril de crudo de cada país?.

33

UNIDAD 3: Estudio general de sistemas de ecuacio-

nes lineales.

Averigua si es posible escribir un sistema lineal homogéneo (sus tér-

minos independientes son nulos) de dos ecuaciones con dos incógnitas

que sea: a) compatible y determinado; b) compatible e indetermina-

do; c) incompatible. Razona la respuesta en cada caso y pon un ejem-

plo cuando la respuesta sea afirmativa.

Averigüe si el siguiente sistema

0

0342

023

mzyx

zyx

zyx

puede ser compatible

indeterminado para algún valor de m. ¿Es incompatible para algún

valor de m?

Clasifica y resuelve el siguiente sistema:

322336

6

5

422

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

Considera el sistema: 3243

1

zyx

zyx a) Añade una ecuación lineal

al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea incompatible.

b) Si añadimos al sistema dado la ecuación mx + y – z = -1, determina

para que valores del parámetro m el sistema resultante es compatible

indeterminado y resuélvelo. (PAU).

Considerar el siguiente sistema de ecuaciones, en el que a es un

parametro real:

1

4

4

zyx

aazayx

aazyax

Se pide a) Discutir el sistema. b)

Resolver el sistema para a = 1. (PAU Modelo 2004-05).

34

Dadas las ecuaciones 4232

523

zyx

zyx a) Añade una ecuación para

que el sistema sea incompatible. b) Añade una ecuación para que el

sistema sea compatible determinado. Justifica en cada caso el procedi-

miento seguido para añadir la ecuación. (PAU).

Dado el sistema 432

523

zyx

zyx a) Añade una ecuación lineal de

manera que el sistema resultante sea incompatible. b) Añade una

ecuación lineal de manera que el sistema resultante sea compatible

indeterminado. Resuelve el sistema. (PAU).

Dado el sistema 3

122

zyx

zyx a) ¿Cómo ha de ser la ecuación que

debe de añadirse para que sea incompatible?. b) ¿Cómo es la ecua-

ción que debe de añadirse para que resulte compatible indetermina-

do?. Resuelve el sistema. (PAU).

Dado el sistema 12

12

zyx

yx , a) escribir una tercera ecuación de la

forma cbyax (distinta de las dos anteriores) de manera que el siste-

ma de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compati-

ble. b) Dado el sistema 12

122

zyx

zyx , escribir una tercera ecuación de

la forma 1 zyx (distinta de los dos anteriores) de manera que el

sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas resultante sea compatible

indeterminado. (PAU Junio 03-04).

Dado el sistema:

acybz

bazcx

cbxay

si a,b y c son no nulos, el sistema tiene

solución única. Halla dicha solución. (PAU).

35

Dado el sistema:

0

01

0421

zayx

zyax

zyxa

a) Estudiar la compatibilidad

según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema anterior

cuando sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2003-04).

Dado el sistema

23

42

2

yx

yx

yx

se pide: a) Discutir el sistema según los

valores del parámetro . b) Resolver el sistema cuando sea posible.


Dado el sistema:

5

4

2

zyx

zyx

zx

se pide: a) Discutirlo para los

distintos valores del parámetro . b) Resolverlo cuando el sistema sea

compatible indeterminado. c) Resolverlo para 2 .


Dado el sistema

02

02

02

zyx

zyx

zyx

se pide: a) Obtener los valores del

parámetro para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de:

x = y = z = 0. b) Resolver el sistema para 5


Dado el sistema de ecuaciones: 532

332

zyx

zyx Se pide: a) Calcular a y

b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma

ax+ y + bz = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el

sistema original. b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que

la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4.


36

Dado el sistema de ecuaciones

65

232

22

azyx

zyx

zyx

Se pide: a) Discutirlo

según los valores del parámetro a. b) Resolverlo cuando tenga infinitas

soluciones. (PAU Junio 2000-01).

Dado el sistema de ecuaciones:

2

22

zx

zax

azayx

se pide: a) Discutirlo

según los valores del parámetro a. b) Resolverlo en el caso a = 0.

(PAU Junio General 2009-10).

Dado el sistema de ecuaciones lineales

121

121

kzyxk

kzykx

zykx

a) Discu-

tirlo según los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo cuando

tenga infinitas soluciones.

(PAU. Septiembre 2006-07).

Dado el sistema de ecuaciones lineales 431232

112

2

mzmyxm

mzmymx

mmzyx

a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro m . b) Resolver-

lo cuando tenga infinitas soluciones.


Dado el sistema de ecuaciones

14

232

32

zkykx

zyx

kzyx

a) Discutirlo según los

distintos valores de k. b) Resolverlo cuando sea compatible indetermi-

nado. (PAU Modelo 2005-06).

Dado el sistema de ecuaciones: 22

2

2 1

kzkkyx

kkzkyx

zkkyx

a) Discutirlo según

los distintos valores de k. b) Resolverlo para k = -1


37

Dado el sistema de ecuaciones:

kyx

kyx

yx

53

232

3

a) Discutirlo según los

distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo en los casos en que sea

posible. (PAU Modelo 2008-09).

Dado el sistema homogéneo

01

0

0

yxk

zykx

zkyx

Averiguar para que

valores de k tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. Resolverlo en

tales casos. (PAU. Junio 2005-06).

Determina, según los valores del parámetro , cuando tiene solución

el sistema: 2

2

2

2

11

zyx

zyx

zyx

Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. (PAU).

Discute el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro

a.

1

2

zyax

azayx

aazyx

Resuélvelo en los casos de compatibilidad. (PAU).

Discute el sistema de ecuaciones lineales 11

21

22

zbbyx

bbzybx

zyx

según los

valores de b. (PAU).

Discute el sistema de ecuaciones

262

242

062

azayx

zayx

zyax

según los valores

del parametro a. b) Resuelve el sistema de ecuaciones anterior para

a = 2. (PAU Junio 1998-99).

38

Discute, en función de a, el sistema 1

ayx

aayax (PAU).

Discute y resuelve por Cramer los siguientes sistemas:

a) 35

632

ba

ba b)

yxz

yx

zyx

2310

193

23353

c)

332

323

62

zyx

zyx

zyx

d)

066

0335

074

01133

rqp

rqp

rp

rqp

Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k y

resolverlo en el caso de que sea compatible indeterminado:

23

1

`

kzyx

zkyx

kzkx

Discutir el siguiente sistema. Hallar, si existe, su solución cuando

a = 0.

0

011

11

2

2

2

zax

zaya

azyax

Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones

aazyx

zyx

azyx

33

1 en función del parámetro a (PAU).

Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los

valores del parámetro . Resolverlo, si es posible, para = 0.

133

32

zyx

zyx

Discutir razonadamente, en función del parámetro k, el siguiente

sistema:

12

2

kkzyx

kzykx

kzkyx


39

Discutir según los valores del parámetro real el sistema:

1

1

3

zyx

zyx

zyx

y resolver el sistema anterior en el caso 2


Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del

parámetro : 2

1

zyx

zyx

zyx

Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del

parámetro a:

03

22

1

zyx

zyx

zyax

Encuentra el valor del parámetro a, a , para los cuales el

sistema:

azyx

zyax

zyx

5356

2

4232

es compatible, y, en caso afirmativo,

resuélvelo. (PAU).

Encuentra la relación entre las soluciones obtenidas y la matriz

inversa de la matriz de los coeficientes

11

32 (PAU).

Estudie, según los valores del parametro a, el sistema de ecuaciones

lineales siguiente:

azyx

aazyx

aayax

32

(PAU).

Hallar para que valores de es incompatible el sistema:

zx

zyx

zx

33

21

40

Obtén los valores x, y, z que verifiquen la siguiente ecuación matri-

cial:

0

0

1

10

12

11

1

2

1

z

yx

Resolver el sistema de ecuaciones 532

03

zyx

zyx . Hallar la solución

del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a

cada una de las tres incógnitas sea igual a 4.

(PAU. Septiembre 2006-07).

Resolver el siguiente sistema:

022

86242

432

432

zx

vzyx

vzyx

vzyx


Resuelve el sistema de ecuaciones 22

132

zyx

zyx. Hallar dos

constantes y de manera que al añadir al sistema anterior una

tercera ecuación: zyx5 , el sistema resultante sea compatible

indeterminado. (PAU Junio 2004-05).

Resuelve los siguientes sistemas:

a)

13

11

16

zy

zx

zyx

b)

723

1154

12332

zyx

zyx

zyx

c)

453

432

1123

zyx

zyx

zyx

d)

362

1732

42

zyx

zyx

zyx

e)

1274

62

032

zyx

zyx

zyx

f)

043

02

0

zyx

zyx

zyx

g)

082

043

02

zyx

zyx

zyx

h)

0

0232

0

zyx

zyx

zyx

41

Resuelve los siguientes sistemas:

a)

23

062

01

yx

yx

yx

b) 2

5

xy

yx c)

153

32

342

zyx

zyx

zyx

d) 4325

17325

zyx

tzyx

e)

0434

0322

0232

zyx

zyx

zyx

f)

743

53

1059

zx

zy

yx

g)

5573

1

335

13

zyx

zyx

zyx

zyx

Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:

a)

023

02

0

zyx

yx

zyx

b)

0987

0654

032

zyx

zyx

zyx

Resuelve los sistemas de ecuaciones:

0

132

yx

yx y

1

032

yx

yx

Resuelve, utilizando un método algebraico, el siguiente sistema de

ecuaciones:

524

42

3

zyx

zyx

zyx

Sea el sistema de ecuaciones:

022

02

02

tyx

tzy

zyx

Hallar los valores de

para los que el rango de la matriz de coeficientes del sistema es 2.

Resolverlo si = 0

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del

parametro real a:

654

2

43

zyx

zayx

azyx

Se pide: a) Discutir el sistema según

los diferentes valores del parametro a. b) Resolver el sistema en el caso

en que tenga infinitas soluciones. (PAU Modelo 2003-04).

42

Se considera el sistema de ecuaciones:

1

1

1

11

11

11

111

z

y

x

a) Discu-

tirlo según los valores del parámetro real . b) Resolverlo para 3 .

c) Resolverlo para 1 . (PAU. Junio 2000-01).


915

02

332

zymx

zyx

zmyx

se pide:

a) Discutir el sistema según los valores de m. b) Resolver el sistema

para el caso m = 0. (PAU Junio Especifica 2009-10).


1

2

312

zmyx

zymx

zymxm

Se pide:

a) Resolverlo para m = 1. b) Discutirlo para los distintos valores de m.



2

52

9343

zyx

zymx

zyx

Se pide:

a) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga solución

única. b) Resolverlo para m = 1. (PAU Septiembre 2002-03).

unidad 1: matrices. enunciados matrices... · 3 probar que las matrices cos cos sen sen a y cos cos...

Documents