GABARITO

1Matemática B

01) B

sen 150° = sen 30° = 12

cos 300° = sen 60° = 12

E = sen 300° + sen 150° = 12

+ 12

= 1

60°

30°150°

300°

02) A

cotg a = cateto adjacentecateto oposto

Teorema de Pitágoras: 132 = 52 + x2

169 = 25 + x2

169 – 25 = x2

144 = x2

x = 144 x = 12

cotg a = 125

Matemática B – Extensivo – V. 2

Exercícios

03) B

cos 3015° = cos 135° = –cos 45° = –2

23615°2880°

360°

8

númerode voltas

135

menordeterminação

Segue,m + 1

m – 2=

– 2

2

2 (m + 1) = – 2 (m – 2)

2m + 2 = – 2 m + 2 2

2m + 2 m = –2 + 2 2

(2 + 2)2 m = –2 + 2 2

m=− ++

−−

2 2 2

2 2

2 2

2 2. racionalizando

m=− +( ) −( )

−2 2 2 2 2

4 2.

m=−( ) −( )2 2 1 2 2

2

.

m = ( 2 – 1) . (2 – 2)

m = 2 2 – 2 – 2 + 2

m = 3 2 – 4

04) C

cos 150° = cos 30° = – 3

2 (x ∈ 2º Q)

sen 300° = sen 60° = – 3

2 (x ∈ 4º Q)

tgsen sen

225225225

4545

222

2

1° =°°=

°°= =

cos cos

cos 90° = 0Segue:

GABARITO

2 Matemática B

y = – 3

2 –

32

– 1 + 0

y = −( 3) − 1

05) C

cos 180° = –1

sen 210° = sen 30° = – 12

tgsen sen

135135135

4545

22

22

1° =°°=

°− °

=−

=−cos cos

(x ∈ 2º Q)

sen 45° = 2

2

Segue,

Nsen tg

sen=

°− °+ °

°( )3 180 4 210 2 135

6 452

. cos . .

.

N=−( )−

−+ −( )

3 1 41

22 1

62

2

2

. .

.

N=− + −

=−3 2 2

62

4

3

612

1

2

3

. . ⇒ N = – 3

3

N = –1Portanto, N ∈ [−2, −1]

06) C

I. Falsa. Em módulo cos 215° é maior que cos 225°, mas como ambos são negativos, então:

cos 225° > cos 215°.

cos 215°

cos 225°

215°

225°

sen

cos

II. Verdadeira. Como 512

π > π4

, temos que tg 512

π > 1.

Temos então sen 512

π < 1, sendo assim:

sen 512

π < 1 < tg 512

π

III. Verdadeira. Segundo o círculo trigonométrico a seguir, temos: sen 160° > sen 172°.

sen 172°

sen 160°

160°

172°

sen

cos

07) B

x = tg 495° = tg 135° = –tg 45° = –1

y = sen 315° = –sen 45° = –2

2

z = cos 480° = cos 120° b = –cos 60° = – 12

– 12

> –2

2 > –1 ⇒ Z > Y > X

08) D

I. Falsa. sen x = –sen(x + π)

sen

cos

x

x + �

sen x

sen (x + )�

GABARITO

3Matemática B

II. Verdadeira.

sen

cos

cos x = cos (x + 2 )�

x = x + 2�

III. Falsa.

sen

cos

cos x = cos (–x)

x

–x

09) E

a) Falsa.

sen

cos

x� – x

cos ( – x)� cos x

cos ( – x) = – cos x�

b) Falsa.

sen

cos

x

sen x = sen ( – x)�� – x

c) Falsa.

d) Falsa. Soma de arcos: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a Daí,

sen(π2

+ x) = sen + cos x + sen x . cos�2

�2

1 0

sen(π2

+ x) = 1 . cos x + 0

sen(π2

+ x) = cos x

Portanto, alternativa falsa.

e) Verdadeira. Soma de arcos: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b Sendo assim,

cos(π2

+ x) = cos . cos x – sen . sen x�2

�2

10

cos(π2

+ x) = 0 – 1 . sen x

cos(π2

+ x) = −sen x

Portanto, alternativa verdadeira.

GABARITO

4 Matemática B

10) D

sec 13202

° =

113202

12 1320

cos. cos

=

Redução ao 1º quadrante:cos 1320° = cos 240° = – cos 60°

Logo,sec 1320

2° =

12 60

1

212

1( cos ) .− °

=− =−

Agora,

cos 53

3π

= cos 3180° = cos 180° = –1

Segue:tg (2220°)2 = tg 4 928 400° = tg 0 = 0

Portanto,sec 1320

2° − 2 . cos

533

π

+ tg(2220°)²

= –1 – 2(–1) + 0= –1 + 2= 1

11) V − F − F − F − V

Verdadeira. sen 495° = sen 135° (2º Quadrante)sen 495° = sen 45°

sen 495° = sen π4

495°360°

360°

1

númerode voltas

135

menordeterminação

Falsa. tg 87π

< 0

87

8 1807

205 7π= = ° ∈

., 3º Q

Logo, a tangente pertence ao 3º Q e é positiva, portanto alternativa falsa.

Falsa. senπ5

+ senπ5

= sen 25π

Analisando separadamente temos:

senπ5

+ senπ5

= 2senπ5

Agora,

sen 25π = sen

π π5 5+

Soma de arcos: sen 2a = 2sen a . cos a

Daí,

senπ π5 5+

= 2 sen

π5

. cos π5

≠ 2 sen π5

Falsa. A equação tg x = 1000 não tem solução.

12) E

tg (a ± b) = tg a tg btg a tg b±

±1 .

tg 160° = tg (180° – 20°) = tg tgtg tg180 20

1 180 20°− °

+ ° °.

tg 160° = 01 0−+

aa.

= –a

tg 340° = tg (360° – 340°) = tg tg

tg tg360 20

1 360 20°− °

+ ° °.

tg 340° = 01 0−+

aa.

= –a

tg 200° = tg (180° + 20°) = tg tg

tg tg180 20

1 180 20°+ °

− ° °.

tg 200° = 01 0++

aa.

= a

Logo,tg tg

tg160 340

200°+ °

° = − −a a

a = −2 a

a = –2

13) A

tg xx

m

m

sen xxxcos

coscos

= ⇒ =6

6

⇒ sen xxcos2

= 6 ⇒ sen x = cos2 x . 6

⇒ sen x = (1 – sen2 x) . 6

⇒ 6 sen2 x + sen x – 6 = 0

Seja y = sen x

6 . y2 + y – 6 = 0

a = 6b = 1

c = – 6

y=− ± − −( )1 1 4 6 6

2 6

2 . .

.

y y=− ±

⇒ =− ±1 25

2 6

1 5

2 6

y’=− +

= =1 5

2 6

4

2 6

2

6 (racionalizando)

y’ .= = =2

6

6

6

2 6

6

63

ou

GABARITO

5Matemática B

17) D

1 1cos

.cosx

tg xx

tg x−

+

Note que: (a + b) . (a – b) = a2 – b2

1 12

22

2

cos cosxtg x

xtg x

− = −

1 11

2

2

2

2

2

2

2cos cos coscoscosx

sen xx

sen xx

xx

− =−

= =

18) E

4sen a – 10sen b = 0 (÷2)sen a – 5sen b = 02sen a = 5sen b52

= sen asen b

Temos a + b = 90° ⇒ a = 90° – bEntão,a = 90° – b (soma de arcos)sen a = sen 90° . cos b – sen b . cos 90°sen a = cos bLogo:sen asen b

= 52

⇒ sen bsen a

= 25

⇒ sen b

bcos =

25

⇒ tg b = 25

Temos ainda,sen b = sen (90° – a)sen b = sen 90° . cos a – sen a . cos 90°sen b = cos aLogo,sen asen b

= 52

⇒ sen a

acos =

52

⇒

tg a = 52

19) D

I. Verdadeira. tg 180° = tg (92° + 88°) = tg tg

tg tg92 88

1 92 88°+ °

− ° °. ⇒ tg 92° + tg 88° = 0 ⇒ 0 . (1 − tg 92° . tg 88°) = 0 ⇒ tg 92° . tg 88° = 0 ⇒ tg 92° = – tg 88°

II. Falsa. Suponha que tg 178° = tg 88° tg 178° = tg 88° ⇒ tg 178° – tg 88° = 0 (dividir em ambos os lados

por: 1 + tg 178° . tg 88°)

⇒ tg tg

tg tg178 88

1 178 880

°− °+ ° °

=.

⇒ tg (178° – 88°) = 0 ⇒ tg 90° = 0 Absurdo, pois tg 90° não existe.

y"=− −

=−

=−1 5

2 6

6

2 6

3

6 (racionalizando)

y" .=−

=−

=−3

6

6

6

3 6

6

63

(Não serve, pois − 63

 < 1.)

Para sen x = y = 63

(elevando ao quadrado)

sen2 x = 63

2

⇒ sen2 x = 6

9 = 2

3

Relação fundamental: sen2 x + cos2 x = 123

+ cos2 x = 1

cos2 x = 1 – 23

cos2 x = 13

= m

Portanto, m = 13

.

14) A

( ). ( ) . ( )

a ba a b+ −

− +

2

2 2 2

12 1

= a ab ba a b

2 2

2 2 2

2 12 1+ + −− +. ( ) . ( )

= sen x sen x x xsen x sen x x

2 2

2 2 2

2 12 1

+ + −− +

. cos cos. ( ) . ( cos )

= sen x x sen x xx

2 2

2

2 12 1

+ + −cos . cos. cos .

= 1 2 12 2

+ −sen x xx

. coscos

= 2

2 2

sen x x

x

sen xx

tg x. cos

cos cos= =

15) A

sene

θθcoss c

+ cose

θθs c

= sen

sen

θ

θ

θ

θ1 1+

cos

cos= sen2 θ + cos2 θ = 1 (relação fundamental)

16) D

(cos . )cos

x sen x tg xx

+ =

cos .cos

cos

xsen x

xx

= cos

coscos

coscoscos

xsen x

xx

x sen xxx

+=

+2 2 2

=

11

22cos

cos cossec

xx x

x= =

32

GABARITO

6 Matemática B

III. Verdadeira.

tg 80° = tg (268° – 88°) = tg tg

tg tg268 88

1 268 88°− °

+ ° °.

tg 180° = tg tg

tg tg268 88

1 268 88°− °

+ ° °. = 0 (note que tg 180° = 0

⇒ tg tg

tg tg268 88

1 268 88°− °

+ ° °. = 0

⇒ tg 268° – tg 88° = 0 . (1 + tg 268° . tg 88°) ⇒ tg 268° – tg 88° = 0 ⇒ tg 268° = tg 88°

IV. Verdadeira.

tg 360° = tg (272° + 88°) = tg tgtg tg272 88

1 272 88°+ °

− ° °. = 0

⇒ tg tgtg tg272 88

1 272 88°+ °

− ° °. = 0

⇒ tg 272° + tg 88° = 0 . (1 – tg 272° . tg 88°) ⇒ tg 272° + tg 88° = 0 ⇒ tg 272° = − tg 88°

20) A

a) Verdadeira. Seja a = sen 7 Temos que: 2π = 6,28 < 7 < 7,85

y

x

1

–1

b

�2

�3�

5

2

�2�

7

Portanto, b = sen 7 > 0.

b) Falsa. Seja a = sen 8. Temos que: 2π = 6,28 < 8 < 7,85

y

x

1

–1

a

�2

� 5

2

�2�

8

3

2

�

Portanto, a = sen 8 > 0.

c) Falsa. Seja d = sen 5 Temos que:

π2

= 1,57 < 5 = 2,23 < 3,14 = π

y

x

1

–1

d

�2

� 3

2

� 2�5

Portanto, d = cos 5 < 0

d) Falsa. Dos itens b e c, temos: sen 5 < 0 < sen 8.

Portanto, sen 5 < sen 8.

21) B

2sen2 x + 2cos2 x – 5= 2(sen2 x + cos2 x) – 5 (sen2 x + cos2 x = 1)= 2 . 1 – 5= 2 – 5 = –3

22) A

I. Verdadeira. Menor determinação.

4330°360°

360°

12

0730°720°

menordeterminação

010°

Daí, –4330° = –10 ∈ 4º Q

Sinais seno

C: crescente D: decrescente Como –4330° ∈ 4º Q, então sen (–4330°) é crescente.

GABARITO

7Matemática B

II. Verdadeira. Menor determinação: 345

= π5

∈ 1º Q.

Sinais cosseno

y

x

1

–1

�2

� 2�3

2

�

D

C C

D

C: crescente D: decrescente

Como 34

5π

∈ 1º Q, então cos 34

5π

é decrescente.

III.Falsa. Menor determinação.

1000°720°

360°

2

280

menordeterminação

Daí, Sinais tangente

y

x�2

� 2�3

2

�

Como 1000° ∈ 2º Q, então tg 1000° é negativo.

23) 06

271

sec cosseccot

x xg x

++

=+

+

=

+

27

1 1

127

coscos

cx sen x

xsen x

sen x oos. cos

cos

xsen x xsen x x

sen x+

=+( )

+( )=

sen x x

sen x x

sen x

sen x x x

cos

. cos.

cos.

cos27

27

Temos ainda:sen2 x + cos2 x = 1

12

2 + cos2 x = 1

cos2 x = 1 – 14

cos2 x = 4 14−

cos2 x = 34

(cos x > 0, pois 0 < x < π2

)

cos x = 34

⇒ cos x = 3

2Segue,

271

sec cosseccot

x xg x

++

= 27 27

32

27

32

273

2 2 9 2 3 6cos

. . .x= = = = = =

24) 54

Relação fundamental: sen2 x + cos2 x = 1

32

2

+ cos2 x = 1

34

+ cos2 x = 1

cos2 x = 1 – 34

cos2 x = 14

cos x = 12

(cos x > 0, pois 0 < x < π2

)

Segue,

tg xn x

x= = =

secos

3212

3

Logo,8 . (tg x + sen x)2

= +

=

=8 3

32

83 3

28

9 3

4

2 2

..

= 2 . 9 . 3 = 54

25) 01

Vamos aos valores:

sen 30° = 12

GABARITO

8 Matemática B

cos 120° = – cos 60° = – 12

cossec 150° =°=

°= =

1150

130

112

2sen sen

cotg 330° =°°=+ °− °

= =−cos cos330

3303030

3212

3sen sen

sec 300° = °=

°= =

1300

160

112

2cos cos

tg 60° = 3

cotg 225° =°°=− °− °

= =cos cos225

2254545

222

2

1sen sen

Segue,

( cos ) . (cossec cot )(sec . cot

sen gtg g

30 120 150 330300 60 2

°− ° °− °°+ ° 225°)

=− −

− −( )

+ +

12

12

2 3

2 3 1

.

( )

=+

+( )

+=

+( )+

=++

=

12

12

2 3

2 3

1 2 3

2 3

2 3

2 31

.

26) 12

Seja:

l = sec . cot cossec .

. . cossec

2

2

1

6x g x x tg x

sen x x−

−

�=−

1 1

61

2

2

cos.

cos.

cos

. .

xx

sen x sen xsenx

x

sen xsen x

−1

�=−

−1 1

61

1

sen x x x

sen x

. cos cos

.

�=

−

=−

−1

61

1sen x

sen x x

sen x

sen xse

. cosnn x x

sen x. cos

.6

1

−

�=−

= −

−16

61

1sen x

xx

sen xi

coscos

( )

Relação fundamental: sen2 x + cos2 x = 1

35

2 + cos2 x = 1

cos2 x = 1 – 925

cos2 x = 1625

02

x ∈

,

π

cos x = 45

Substituindo cos x = 45

e sen x = 35

em i, temos:

� � �=−⇒ = ⇒ = =

645

135

24525

242

12.

27) E

B (0 , –y)Note que ΔACO ≡ ΔEBO(caso ALA0). Então, AC BO≡ .Assim, no ΔEBO temos:

sen

cos

C

E

O

A

B

Teorema de Pitágoras: 123

22

2= + y

1 = 49

+ y2

GABARITO

9Matemática B

1 – 49

= y2

y2 = 59

⇒ y = 59

53

=

Portanto, a coordenada do ponto B é dada por:

B 05

3;−

28) B

Observe o círculo trigonométrico.

sen

cos

sen 89°

cos 89°

89°

45°

Note que, para 45° < θ < 90° temos sen θ > cos θ. Já a tangente é crescente no 1º Q e sabemos que tg 45° = 1, então tg 89° > 1.

Como seno e cosseno são limitados em –1 < θ < 1, portanto cos θ < sen θ < tg θ.

29) Errata. Resposta: A.

No ΔOBP, temos:

tgPBPO

tgPB

PB PB tgα α α= ⇒ = = ⇒ =1

Relação Métrica no ΔOBC:

OP PB PC( ) = ( ) ( )2.

12 = tg α . PC

PC = 1

tg α = cotg α

Portanto:BC PB PC= +

BC = tg α + cotg α

30) 31

01. Verdadeira. sen 337° = sen (247°+ 90°) Soma de arcos

sen 247° . cos 90° + sen 90° . cos 247°

0 1

= sen 247° . 0 + 1 . cos 247° = 0 + cos 247° = cos 247°

02. Verdadeira. sen a tg a a

a g a a. . cossec

cos . cot . sec

= =

sen asen a

a sen a

aa

sen a a

sen aaa

sen a

.cos

.

cos .cos

.cos

coscos

1

1

= = =sen a

asen a

asen a

atg a

cos.

cos cos

2

22

04. Verdadeira. cos x > 12

cos x

1>

1

2

2cos x > 1

2 > 1

cos x 2 > sec x

08. Verdadeira. cos x − sen x > 0 cos x > sen x

Como x ∈ 32

2π π,

, ou seja, x ∈ 4º Q, então:

cos x > 0 e sen x < 0. Portanto, sen x < cos x.

16. Verdadeira.

sen 22

x+

π = sen 2 . con + sen . cos 2x� �

2

�2

0 1

= sen 2x . 0 + 1 . cos 2x = 0 + cos 2x = cos 2x

31) E

1º cos 2° = sen 88°cos 4° = sen 86°

cos 46° = sen 44°

ângulos complementares

2º cos2 2° = cos2 178° = cos2 182° = cos 378° cos2 4° = cos2 176° = cos2 184° = cos2 376°

cos2 88° = cos2 92° = cos2 268° = cos2 272°

GABARITO

10 Matemática B

Conclui-se que:

cos² 0° + cos² 2° + cos² 4° + ... + cos² 358° + cos² 360°= cos² 0° + cos² 90° + cos² 180° + cos² 270° + cos² 360° + 4(cos² 2° + cos² 4° + cos² 6° + ... + cos² 88°)

= 3 + 4[sen² 2° + cos² 2° + sen² 4° + cos² 4° + ... + sen² 44° + cos² 44°)= 3 + 4 . 22= 91

32) B

f(x) = sen 32

x−

π

Temos: m = 3.

Logo, P = 2 23

π πm=

P = 23π

rad

33) D

g(x) = 3 − 5 . cos(2x)

Temos: a = 3 b = 5Então,Im(g) = [a – b, a + b] = [3 - 5, 3 + 5]Im = [−2; 8]

34) Errata: gabarito 18.

01. Incorreta. Note que cos x é limitado em –1 < cos x < 1, para todo x ∈ R. Então, –1 < 2k – 4 < 1 –1 + 4 < 2k < 1 + 4 3 < 2k < 5

32

< k < 52

Portanto, {K∈R; 32

< k < 52

}

02. Correta. Pois 10

não existe.

04. Incorreta. O valor mínimo é o menor valor da ima-gem, como a = 2 e b = 5, então o valor mínimo é dado por:

a – b = 2 – 5 = – 3.

08. Incorreta. Temos, m = 45

.

Então:

P = 2πm

P = 245

245

2 5

4

52

π π π π= = =. rad

16. Correta. Temos a = 0 b = 1 Então: Im = [a – b, a + b] = [0 – 1, 0 + 1] = [−1, 1].

35) E

Temos:a = 900 b = 800número mínimo: a – b = 900 − 800 = 100 clientesnúmero máximo: a + b = 900 + 800 = 1700 clientes

Portanto, a diferença entre o número máximo de clientes com o número mínimo é:1700 – 100 = 1600 clientes

36) D

Temos: a = 200 b = 120Custo máximo: a + b = 200 + 120 = 320Custo mínimo: a – b = 200 – 120 = 80

37) Errata: Gabarito 56

01. Incorreta. f(x) = 3cos (2x) f(0) = 3cos (2 . 0)

f (0) = 3 . cos 01

f(0) = 3 . 1 = 3

02. Incorreta. Temos: m = 2

Então, P = 2πm

= 22π = 2

2

π = π rad.

04. Incorreta. Temos: a = 0 b = 3 Então, o valor máximo é a + b = 0 + 3 = 0.

08. Correta. |f(x)| = |3cos (2x)| = 3|cos 2x| Como –1 < cos 2x < 1 (prop de módulo: |x| ≤ 1 ⇒ –1 < x < 1) |cos 2x| < 1

GABARITO

11Matemática B

Portanto, o maior valor que |cos 2x| pode assumir é 1. Assim,

|f(x)| ≤ 3|cos 2x| ≤ 3 . 1 ≤ 3

16. Correta. Soma de arcos: cos 2x = cos2 x – sen2 x (cos2 x = 1 – sen2 x) cos 2x = 1 – sen2 x – sen2 x cos 2x = 1 – 2sen2 x Segue,

f(x) = 3cos 2x = f(x) = 3 − 6sen² x

32. Correta. f(–x) = 3cos (–2x) Como cos x é par, temos cos x = cos (–x). Então: f(–x) = 3cos (2x)

38) A

Im = [–1, 5]Como Im = [a – b, a + b], então

A B i

A B ii

− =−+ =

1

5

( )

( )

Fazendo (i) + (ii), temos:2A = 4A = 2

Substituindo a = 2 em (ii), temos:B = 5 – AB = 5 – 2 = 3

Portanto, A . B = 2 – 3 = 6

39) A

Im = [–2, 2] P = 2π Como

Im = [a – b, a + b] e P = 2πm

,

temos: [a – b, a + b] = [–2, 2]

a b i

a b ii

− =−+ =

2

2

( )

( )

Somando (i) e (ii), teremos: 2a = 0 a = 0

Substituindo a = 0 em (ii), vem:b = 2 – ab = 2 – 0b = 2

De P = 2πm

, vem:

22

π πm=

11

m= ⇒ m = 1

Portanto, y = 2sen x

40) 3 ≤ k ≤ 9

2 – 3cos x = k – 4–3cos x = k – 4 – 2–3cos x = k – 6 . (–1)3cos x = 6 – k

cos = 6

3−k

Como –1 ≤ cos x ≤ 1, temos:

–1 ≤ 6

3−k

≤ 1

–1 . 3 ≤ 6 – k ≤ 3 . 1–3 ≤ 6 – k ≤ 3–3 – 6 ≤ – k ≤ 3 – 6–9 ≤ – k ≤ – 6 . (–1)9 ≥ k ≥ 3

41) D

Vamos calcular k.Im = [–2, 2] = [a – b, a + b]

Então:a b

a b

b a i

a b ii

− =− −+ =

⇒− =+ =

2 1

2

2

2

.( ) ( )

( )

Fazendo (i) + (ii), temos:2b = 4b = 2

Agora, calcularemos t:

P = 2πt

= 4π

1t = 2

t = 12

Portanto, k – t = 2 – 12

= 32

42) E

Como a Im = [–2, 8] = [2k – p, 2k + p], então2 2 1

2 8

2 2

2 8

k p

k p

p k i

p k ii

− =− −+ =

⇒− =+ =

.( ) ( )

( )

Somando (i) e (ii), temos:2p = 10

GABARITO

12 Matemática B

p = 102

⇒ p = 5

Logo, o período é dado por:

p = 2πp

= 25π

rad

43) C

Temos que,Im = [–7, 7] = [a – k, a + k]

Daí, vem:a k

a k

k a i

k a ii

− =− −+ =

⇒− =+ =

7 1

7

7

7

.( ) ( )

( )

Fazendo (i) + (ii), teremos:2k = 14k = 7

Temos ainda:

P = 2πp

= 7π

= 2 7π π

p=

= PP rad

217

27

= ⇒ =

Portanto, kp = 7 2

72. =

44) B

O valor máximo para y = a sen(bx) será quando sen(bx) atribuir valor máximo, ou seja, sen (bx) = 1. Então o valor máximo é dado por:a sen(bx) = a . 1 = 3a = 3Temos ainda,

P = 2πb

= π

⇒ 2πb

= π (b > 0)

⇒ 2b

= 1

⇒ b = 2

45) A

Im = [0, 2] = [a – b, a + b]Daí vem:

a b i

a b ii

− =+ =

0

2

( )

( )

Somando (i) e (ii), temos:2a = 2a = 1

Substituindo a = 1 em a + b = 2, temos:b = 2 – ab = 2 – 1b = 1

Temos ainda:

P =2πm

= π

⇒ 21

21

mm

= ⇒ =

⇒ m = 2

Portanto, y = 1 + 1 . sen 2xy = 1 + sen 2x

46) A

Temos que:

P =2πm

e m = 4, então:

P = 24

2

4

π π⇒ =P

P = π2

Sabemos que a amplitude é dada pela constante b.Como b = 10, então a amplitude é 10 cm.

47) E

Im = [–2, 2] = [B – A, B + A]. Então:B A

B A

A B i

A B ii

− =− −+ =

⇒− =+ =

2 1

2

2

2

.( ) ( )

( )

Fazendo (i) + (ii), temos:2A = 4A = 2

Logo, f(x) = 2sen (2x)

Portanto, a curva intersecta o eixo x em 5 pontos.

GABARITO

13Matemática B

48) B

Apogeu:O satélite está no apogeu quando cos (0,06 t) = 1, então:

VA(t) = 58651 0 15 1

5865115+

=, . ,

= 5100 km

Perigeu: O satélite está no perigeu quando cos (0,06t) = –1

Então:

Vp(t) = 58651 0 15 1

58650 85+ −( )

=, . ,

= 6900

Portanto,S = rA(t) + rP(t) = 5100 + 6900 = 1200 km

49) B

Os valores de 20 decibéis e 40 decibéis e a amplitude da oscilação sonora, ou seja, o valor mínimo e máximo:Daí, vem:Im = [a – b, a + b] = [20, 40]

a b i

a b ii

− =+ =

20

40

( )

( )

Fazendo (i) + (ii), temos:2a = 60a = 30

Substituindo a = 30 em a + b = 40, temos:b = 40 – ab = 40 – 30b = 10

Portanto, a equação que melhor representa é dada por:

30 + 10cos π6

t

50) B

θ 32

=

π10

cos 4

3

3

2

2

π.

θ 32

=

π10

cos 2π

θ 32

=

π10

. 1 = π

10

51) B

52) C

Período

m = π6

P

P = 2πm

= 2

6

2

6

2 6ππ

ππ

ππ

= =. . = 12 h

Valor máximoMáximo: a + b = 24 + 3 = 27 °CHorário em que ocorreu essa temperatura:

Acelera quando cos π πt6 3+

= 1.

Ou seja,π π πt6 3

2+ =

t t6

13

22

62+ = ⇒

+=

t + 2 = 2 . 6t + 2 = 12t = 10 h

Logo, levou 10 h para alcançar o valor máximo. Como a medição começou às 5 h da manhã, o horário que ocorreu a temperatura máxima é:10 + 5 = 15 h.

53) B

C(t) = 4

4 = 3 + 2senπt6

1 = 2sen πt6

sen πt6

= 12

Logo, πt6

= π6 6

16

66

⇒ = ⇒ =t

t ⇒ t = 1 h

54) C

O instante em que a profundidade é máxima ocorre

quando cosπt6

= –1, ou seja,

π πt6=

t6

= 1 ⇒ t = 6

GABARITO

14 Matemática B

55) A

Para meio segundo logo após ter iniciado o movimento,

temos t = 12

s

Daí, vem:

S 12

= 10 +

14

sen 1012

π .

s12

= 10 + sen (5 )�14

0

S 12

= 10 +

14

. 0 ⇒ s 12

= 10 + 0

S 12

= 10

A posição em relação à posição de repouso (t = 0).

S(0) = 10 + 14

sen (10π . 0)

S(0) = 10 + 14

sen 0

S(0) = 10 + 0 ⇒ S(0) = 10

Portanto, o afastamento da partícula em relação à posição de repouso, em cm, é:

S 12

– S(0) = 10 – 10 = 0

56) A

P/ t = 0

A(0) = 1,6 – 1,4sen π6

0.

A(0) = 1,6 − 1,4 . 0A(0) = 1,6

P/ t = 3

A(3) = 1,6 – 1,4sen π6

3.

A(3) = 1,6 – 1,4sen π2

A(3) = 1,6 – 1,4A(3) = 0,2

Portanto, o gráfico que representa a função A(t) é da alternativa a.

57) D

Período

P = 2πm

m = 2 25

π πP

m⇒ =

Imagem:Im = [a – b, a + b] = [–0,6, 0,6]

Então,a b i

a b ii

− =−+ =

0 6

0 6

, ( )

, ( )

Somando (i) + (ii), temos:2a = 0a = 0

Substituindo a = 0 em (ii), teremos:b = 0,6 – ab = 0,6 – 0b = 0,6

Portanto, a função que melhor descreve o gráfico é:

V(t) = 0,6 sen 25π

t

58) V − V − F − V − V

Vamos resolver as alternativas na ordem de cima para baixo.

• Verdadeira. Às 6 horas da manhã temos t = 0.

T(0) = 26 + 5cos π π12

043

. +

T(0) = 26 + 5cos 43π

T(0) = 26 + 5 . −

12

T(0) = 26 – 2,5 T(0) = 23,5 °C.

• Verdadeira. Período

m = π

12 P =

2πm

P h= = = =2

12

2

12

212

24π

ππ

π ππ

• Falsa. O valor máximo é dado por: a + b = 26 + 5 = 31 °C.

• Verdadeira. π π πt12

43

2+ =

t12

243

= −

t

1223

=

t = 122

3. = 4 . 2 = 8 h

Portanto, o horário que a temperatura atingiu o valor máximo é dado por: 8 + 6 = 14 h.

• Verdadeira. Para t = 0

π π π

120

43

43

240. + = = °

GABARITO

15Matemática B

Para t = 8 π π π

128

43

23

43

63

2 360. + = + = = = °

Daí, temos que o intervalo [0, 8] equivale [240°, 360°], que pertence ao 3º e 4º quadrante.

Como no 3º e 4º quadrante a função cosseno é crescente, logo T(t) é crescente em [0, 8].

59) 14

01. Incorreta. Lembre que π ≅ 3,14. Então,

9,42 = 3π < 10 < 72π = 10,99

Logo, 10 ∈ 372

π π,

.

Como 372

π π,

∈ 3º Q,

então 10 ∈3º Q. Portanto, f(10) < 0.

02. Correta. Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = 2x e g(x) = cos x para todo x ∈ R.

x

1

–1

–2�

3

2

�–�

�2

�2

�3

2

�2�

y

Portanto, há uma infinidade de pontos em que os gráficos dessas funções se interceptam.

04. Correta. No triângulo OMP, temos:

x

�

1

P

M O

cos π6

= 1x

1

x=

3

2

3 . x = 2

x = 2

3 Portanto, a coordenada do ponto P é:

2

30,

.

08. Correta. cos 36° + cos 72° + cos 108° + cos 144° = = cos 36° + cos 72° – cos 36° – cos 72° = 0

16. Incorreta. 20 – 3 (2x + 15) < 0 20 − 6x – 45 < 0 − 6x – 25 < 0 (–1) 6x + 25 < 0 6x < –25

x < −25

6