Examen. 2ª evaluación 4/03/2008

jlmat.es Matemáticas II. [1]

Opción AOpción AOpción AOpción A

Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Obtener el valor del siguiente límite:

( )2 2

0

50

ln 1 4x

x

t t dtlim

x→

+∫

Aplicación del teorema fundamental del cálculo integral: “Si ( )f x es continua en [ ],a b entonces la función

( ) ( )x

aA x f t dt= ∫ es derivable en [ ],a b y ( ) ( )A x f x′ = para todo [ ],x a b∈ ”

Como es una indeterminación del tipo 0

0, estamos en las condiciones del teorema de L´Hôpital

( ) ( ) ( )( )

( )

2 2 2 2 22

0

5 4 2 20 0 0 0 0

8ln 1 4 ln 1 4 ln 1 4 81 4

5 5 10 10 51 4

ˆ

4x

x x x x x

xt t dt x x x

xlim lim lim lim limx x x x x

indica que aplicamos la regla de L Hopital

→ → → → →

+ + + += = =+

′

∫≙ ≙

≙

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Calcula las integrales indefinidas:

a)

2

3 2

5

2

xdx

x x x

+− +∫

Es una integral racional, factorizamos el denominador y separamos en fracciones simples

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

2 22

2 2 2 2

22

2 2

1 1 25

11 1 1 1

1 5

2 0 4

5 6

5 5 4 6 1 15 4 6 1

1 11

65ln 4ln 1

11

A x Bx x Cx A B x A B C x Ax A B C

x xx x x x x x x

A B A

A B C B

A C

xxdx dx dx dx dx dx x dx

x x x xx xc

xxx

−

− + − + + + − − + ++ = + + = =−− − − −

+ = = − − + = ⇒ = − = =

+ −= + + = − + − =− −− −

− − − +−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Examen. 2ª evaluación

jlmat.es

b) 3x

sen xdx

e∫ 3 ( )xe sen x dx aplicamos la integración por partes−= ⋅ ⋅∫3 3 3 /u sen x du cos x dx dv e dx v e dx e= ⇒

( )

3

3 3 3 3 3 3 3 *

* 3 3 3 3 3

3 3 3 3 9 3 10

x x x x x

x x

x x x x x

u cos x du sen x dx dv e dx v e dx e

e sen x dx e sen x e cos x dx e sen x e cos x dx

e sen x e cos x e sen x dx

e sen x dx e sen x e cos x e sen x dx e sen x dx

− − − − −

− − −

− − − −

= − − − = − + =

= − + − −

= −

= ⇒ = − =

−

∫

∫

∫

∫ ∫

( 3 3 33

10

x

x e sen x cos xe sen x dx c

−− − +

= +∫ Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Calcular el área del recinto limitado por las curvas

Representamos las funciones para visualizar el área pedida

Calculamos los puntos de corte entre las curvas

3 ( )e sen x dx aplicamos la integración por partes= ⋅ ⋅

3 3 3 / x x xu sen x du cos x dx dv e dx v e dx e− − −⇒ = = ⇒ = = −∫

( )3 3 3 3 3 3 3 *

* 3 3 3 3 3

3 3 3 3 9 3 10

3 3 /

3

x x x x x

x x

x

x x x x

u cos x du sen x dx dv e dx v e dx e

e sen x dx e sen x e cos x dx e sen x e cos x dx

e sen x e cos x e sen x dx

e sen x dx e sen x e cos x e sen x dx e sen x dx

−

− − − − −

− − −

− − − − −

−

= − − − = − + =

= − + − − ⇒

= − = ⇒ =

⇒

−

−

=

∫

∫

∫ ∫

∫)3 3 3e sen x cos x

x dx c= +

= − −∫

(Puntuación máxima: 2 puntos)

Calcular el área del recinto limitado por las curvas 2 3 10y x x= − − , 2 4y x= −

Representamos las funciones para visualizar el área pedida

Calculamos los puntos de corte entre las curvas

2

23 103 10 2 4

2 4

y x xx x x

y x

= − −⇒ − − = − = −

( ) ( ) (6 62 2

1 1

63 2

1

2 4 3 10 5 6

5 216 1

343

80 1 56 36 6

3 2 3 2 3 2

1 5

3 660

2

A x x x dx x x dx

x xx

− −

−

= − − − − = − + + =

− − = + + == + + − + − =

= − − =

∫ ∫

4/03/2008

Matemáticas II. [2]

3 ( )

x x xu sen x du cos x dx dv e dx v e dx e− − −= = −∫

)3 3 3 3 3 3 3 *

xu cos x du sen x dx dv e dx v e dx e−−=

3 3 3x xe sen x e cos x− −= − −

2 4= − .

13 10 2 4

6

x

x

= −⇒ =

( )6 62 2

1 12 4 3 10 5 6

80 1 56 36 6

3 2 3 2 3 2

A x x x dx x x dx= − − − − = − + + =

= + + == + + − + − =

∫ ∫

Examen. 2ª evaluación

jlmat.es

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Determina el área comprendida entre la curvas

representando para ello las funciones dadas.

La función ( )f x tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas, así mismo es

simétrica puesto que ( ) ( )f x f x− = −

( ) ( )2 22

4 4

2 1 21x x

xlim lim

x xx→∞ →∞

− −++

≙

en los puntos 1

3x = y

1

3x = − . Derivamos otra vez

un mínimo ya que 1

03

f ′′ >

, del mismo modo en

0 , 1 , 1x x x= = = − , hay 3 puntos de inflexión.

El área pedida será igual a 2A , para calcularla debemos encontrar los puntos de corte de las dos funciones.

( ) ( )2 22 2 2

22

41 4 1 4 0 1 2 1

1

xx x x x x x x x

x

−− = ⇒ + =+

( )1 1 1

20 0 02

4 1 1

1

x xA x dx x dx x x dx

x

− − = − − = − + + = − + = + ∫ ∫ ∫

Entonces el área pedida es 2 1A =

(Puntuación máxima: 3 puntos)

Determina el área comprendida entre la curvas ( )( )22

4

1

xf x

x

−=+

y ( )g x x= −

representando para ello las funciones dadas.

tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas, así mismo es

)f x f x , tiene una asíntota horizontal en la recta 0y = puesto que

02 1 2x x

= . Derivando obtenemos que ( )( )

2

32

12 4

1

xf x

x

−′ =+

1

3Derivamos otra vez ( )

( )3

42

48 48

1

x xf x

x

−′′ =+

y deducimos que en

, del mismo modo en 1

3x = − hay un máximo; además como

, hay 3 puntos de inflexión.

, para calcularla debemos encontrar los puntos de corte de las dos funciones.

( )2 22 2 2

2

0

1 4 1 4 0 1 2 1

1 2

x

x x x x x x x x

x

= ⇒ + − = ⇒ + = ⇒ = ±

+ = −

( ) ( )1

21 1 1 2

2

20 0 00

4 1 12 1 2 2

2 21

x xA x dx x dx x x dx

x

− − −= − − = − + + = − + = + ∫ ∫ ∫

4/03/2008

Matemáticas II. [3]

g x x= − . Dibuja la situación

tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas, así mismo es

0 puesto que

32

12 4−, vemos que ( ) 0f x′ =

y deducimos que en 1

3x = hay

hay un máximo; además como ( ) 0f x′′ = en

, para calcularla debemos encontrar los puntos de corte de las dos funciones.

1 4 1 4 0 1 2 1

1 2

x x x x x x x x = ±

)

1

2

0

4 1 1

2 2x

= − − = − + + = − + =

Examen. 2ª evaluación

jlmat.es

Opción BOpción BOpción BOpción B Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos) Determina el área del recinto plano limitado por las gráficas de las

2 21 , 3y x y x= − = − , y x= +

( ) ( )

( )

1 12 2 22 2

2

1 12 2 22 2

2

1 13 2 3 2 3 22 2

2

3 3 3 1 3 3

6 2 6

6 2 63 2 3 2 3

A x x dx x x dx x x dx

x x dx x x dx x x dx

x x x x x xx x x

−

−

−

−

−

−

= + − − + + − − + + − − =

= − + + + + + + − + + =

= − + + + + + + − + + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

(Puntuación máxima: 2 puntos)

Determina el área del recinto plano limitado por las gráficas de las tres funciones

3= + .

Representamos las funciones para tener una idea clara de la región de la

que debemos calcular el área.

Calculamos los puntos de corte entre las curvas:

2

2 2 2

2

13 1 2 4

3

y xx x x x

y x

= −⇒ − = − ⇒ =

= −

2 2

2

33 3 6 0

3

y xx x x x

y x

= +⇒ − = + ⇒ − − = = −

entonces el área pedida es:

) ( ) ( ) (

( ) ( )

1 1 32 2 22 2

1 12 2

1 1 32 2 22 2

1 12 2

1 1 33 2 3 2 3 22 2

1 12 2

3 3 3 1 3 3

6 2 6

6 2 612

3 2 3 2 3 2

A x x dx x x dx x x dx

x x dx x x dx x x dx

x x x x x xx x x

−

−

−

= + − − + + − − + + − − =

= − + + + + + + − + + =

= − + + + + + + − + + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

4/03/2008

Matemáticas II. [4]

tres funciones siguientes:

Representamos las funciones para tener una idea clara de la región de la

Calculamos los puntos de corte entre las curvas:

13 1 2 4

2x x x x= ⇒ = ±

33 3 6 0

2

xx x x x

x

=− − = ⇒ = −

) ( )2 2 23 3 3 1 3 3

125 22 2

6

A x x dx x x dx x x dx = + − − + + − − + + − − =

= − + + + + + + − + + =

−

Examen. 2ª evaluación

jlmat.es

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Sea la función ( ) 3xf x x e= ⋅ . Esboza la gráfica de la curva

para que el área limitada por la curva

La función ( )f x tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas,

y tampoco tiene asíntotas verticales ni oblicuas, sin embargo

( )3

3 33 3

x

x xx x x

xlim x e lim lim

e e e− − ∞→−∞ →−∞ →−∞⋅ = = = =

− − −∞≙

Derivamos e igualamos a cero para buscar los extremos de la función

( ) ( )3 3 3 33 3 1 ; 0 3 1 0 3 1 0x x x xf x e x e f x e x f x e x x x′ ′ ′= + ⋅ ⇒ = + =

( ) ( )3 3 33 3 1 3 3 3 2 ; 0 .x x xf x e x e f x e x f en x hay un mínimo′′ ′′ ′′= + + ⇒

( ) ( )

( )

30 3 3 2 0 3 2 0 .

0 3 1 0 ; , , .

xf x e x x x hay un punto de inflexión

f x x x en f x crece y en decrece

′′ = ⇒ + = ⇒

′ > ⇒ + > ⇒ > − − ∞ −∞ −

Igualando la integral definida al valor del área obtenemos p

( ) (3 33 1 3 11 1

9 9 9 9

p pe p e p− −+ = ⇒

(Puntuación máxima: 3 puntos)

. Esboza la gráfica de la curva ( )y f x= y calcula

para que el área limitada por la curva y el eje de abscisas ente 0x = y x p=

tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas,

y tampoco tiene asíntotas verticales ni oblicuas, sin embargo 0y = es asíntota horizontal cuando

3 3

1 1 10

3 3x xe e e− − ∞⋅ = = = =− − −∞

Derivamos e igualamos a cero para buscar los extremos de la función

( ) ( ) ( )3 3 3 33 3 1 ; 0 3 1 0 3 1 0x x x xf x e x e f x e x f x e x x x′ ′ ′= + = ⇒ + = ⇒

( ) ( )3 3 3 1 13 3 1 3 3 3 2 ; 0 .

3 3

x x xf x e x e f x e x f en x hay un mínimo ′′ ′′ ′′= + > ⇒ =

( )

( )

20 3 3 2 0 3 2 0 .

3

1 1 10 3 1 0 ; , , .

3 3 3

f x e x x x hay un punto de inflexión

f x x x en f x crece y en decrece

⇒ + = ⇒ = −

> − − ∞ −∞ −

1

9A = , pero también A x e dx= ⋅

Aplicamos la fórmula de integración por partes para calcular

una primitiva de ( )f x

3

3 3 3 3

3

3

3 3 3 3 3 9

x

x

x x x x x

u x du dx

x e dx

e e e xe ex

dv e dx v

dx x e dx

⋅ = == ⇒ =

= ⇒

= ⋅ − = ⋅ − = −

∫

∫ ∫

( )3 3

3

00

3 1 3 1

9 9 9

px p

px e x e p

x e dx − −

⋅ = = − −

∫

Igualando la integral definida al valor del área obtenemos p

)3 1 3 10 3 1 0

1

39pp

− −= ⇒ − = ⇒ =

4/03/2008

Matemáticas II. [5]

y calcula un número 0p >

x p sea 1

9.

tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas, no es simétrica

es asíntota horizontal cuando x → −∞

( ) 13 3 1 ; 0 3 1 0 3 1 0

3f x e x e f x e x f x e x x x⇒ + = ⇒ = −

1 13 3 1 3 3 3 2 ; 0 .

3 3f x e x e f x e x f en x hay un mínimo=

0 3 3 2 0 3 2 0 .

1 1 10 3 1 0 ; , , .

3 3 3

f x e x x x hay un punto de inflexión

f x x x en f x crece y en decrece > − − ∞ −∞ −

3

0

pxA x e dx= ⋅∫

Aplicamos la fórmula de integración por partes para calcular

3 3 3 33

3

3

3

1

3 3 3 3 3 9

x

x x x x xx

u x du dx

e

e e e xe e

dv e dx v

dx x e dx

⋅ = ==

=

= ⋅ − = ⋅ − = −

∫ ∫

( )3 3

0

3 1 3 1 1

9 9 9

px pe x e p − − ⋅ = = − −

Examen. 2ª evaluación 4/03/2008

jlmat.es Matemáticas II. [6]

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)

De la función ( )f x se sabe que pasa por el origen de coordenadas y que su derivada es la función

( ) 1

1 xf x

e′ =

+. Encontrar la expresión de ( )f x .

( )f x será una primitiva de ( )f x′ y además cumple que ( )0 0f = .

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 111

11 1 1

1 1 1 1 1ln ln 1 ln ln 1 ln 1

1 1 1 1

ln 1 , 0 0 0 ln 2 0 ln

1

2

x x x

x

x

x

x

x dt dtcambio e t e dx dt dx dx

e t

A B BA t Bt A B t AA B

At t

dtdx dt dt t t e e x e

e t t

f x x

t t t

t t t t

f x x e c pero f c c

t t t

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

+ = ⇒ = −+ + + + = + = =

= ⋅ = = − = − + = − + = − ++ + + +

= − + + = ⇒ − + = ⇒ =

⇒ =+ + + +

=

−⇒

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )ln 1 ln 2xe+ +

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos) Calcula las integrales:

( )1 2

2 5 2

1ln

25) 2

25

sen sen xd

xa dx

cos xx

cos xcos x c−

−= = +

−∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

22 2

2 2

22 2

3

2

2

2

2

2

2

3 8 2 2 3 1 2 12 3 *

4

0 243 8 4

344 4 4

4 8 2

11 1 1 1 12*

4 4 4

4 4

3 8)

4

411 2

4

4

A M MA M x Nx Ax A Mx N Ax A Mx Nx

Nx xx x x x x x

A A

dx d

x x xdx dx dx

x dx ar

dx dx

ctgxx

x x x x x

x

xb dx

x x x x

− − += = +

+ = ⇒ =+ +

= − +

+− + + + + = + = = ⇒ =

++ +

++ + + = − ⇒ = −

= = =+ ++

+−

+ +

∫ ∫ ∫

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

3

3 32ln ln

4 2

84

2

4

xx

xdx

xx arc

x

gx

t c

− + + + +=

−+

∫