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Universidad Diego Portales CALCULO I

1

Unidad 4

Derivadas


2

El cálculo diferencial se centra en el concepto de derivada. La

motivación original para la derivada fue el problema de definir las rectas

tangentes a las gráficas de las funciones y el cálculo de las

pendientes de dichas rectas. Sin embargo, la importancia de la

derivada se basa en su aplicación a diversos problemas.

La Derivada


3

Si una curva C tiene la ecuación y = f(x) y deseamos determinar la tangente a C en el punto P(a, f(a)) nos fijaremos en un punto cercano Q(x, f(x)), con x ≠ a, para calcular la pendiente de la recta secante PQ.

axafxfm PQ −

−=

)()(

Tangentes

A continuación aproximaremos Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si la pendiente de la recta PQ tiende a un número m, definimos la tangente t como la línea que pasa por P con pendiente m. Esto significa que la recta tangente es la posición límite de la línea secante PQ cuando Q tiende a P (fig. siguientes)


4

Definición: La línea tangente o recta tangente a la curva y = f(x) en el punto P(a, f(a)) es la línea que pasa por P cuya pendiente es

siempre que exista ese límite. ax

)a(f)x(flimmax −

−=

→


5

Sea x = a+h, entonces Asi, la pendiente de la recta tangente es

h)a(f)ha(flimm

0h

−+=

→

Ejercicio : Determine la ecuación de la recta tangente a la parábola y = 5x2 en el punto P(1, 5)

A veces es más fácil usar otra expresión para la pendiente de una línea tangente.

0h ax →⇔→


6

Ejercicio: Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 en el punto (-1, -1).

En este caso,

La recta tangente tiene ecuación

31x1xlimm

3

1x=

++

=−→

y+1 = 3(x+1)

o bien, y = 3x + 2


7

Derivadas

Los límites con forma surgen siempre al

calcular una rapidez de cambio en cualquier ciencia o rama de la ingeniería, como la rapidez de reacción en química o un costo marginal en economía. Dado que este tipo de límite se presenta con suma frecuencia, se le da un nombre y una notación especial.

Definición: Sea f función definida en un intervalo [a, b] y . La derivada de f en el punto a, representada por

f ’(a), es

siempre que este límite exista.

h)a(f)ha(flim

0h

−+→

h)a(f)ha(flim)a('f

0h

−+=

→

b) ,a(a ∈


8

La definición dada para f ’(a) tiene otra forma equivalente, a saber,

Ejercicio: Determine la derivada de la función f(x) = sen x en x = 0 y en x = a, es decir calcule

ax)a(sen)x(senlim)a´(f y

0x)0(sen)x(senlim)0´(f

ax0x −−

=−−

=→→

ax)a(f)x(flim)a('f

ax −−

=→

Por ejemplo, si f es la función f(x) = 3x2 + 1, la derivada de f en

x = 1 es: 61x

)1x)(1x(3lim1x

41x3lim)1('f1x

2

1x=

−+−

=−

−+=

→→

Y la derivada de f en x = a es:

a6ax

)ax)(ax(3limax

1a31x3lim)a('fax

22

ax=

−+−

=−

−−+=

→→


9

Interpretación de la derivada como pendientede una tangente

La recta tangente a la curva y = f(x) en P(a, f(a)) es la línea que pasa por P(a, f(a)) cuya pendiente es igual a la derivada de f en a, es decir f ’(a). Así, la interpretación geométrica de la derivada es lo que registra la figura.


10

Si existe f ’(a) entonces una ecuación de la recta tangente a lacurva y = f(x) en el punto P(a, f(a)) es la siguiente:

)ax)(a´(f)a(fy −=−

Ejercicio: En cada caso, determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto que se indica.F(x) = sen x en el punto de abscisa x = π/2.G(x) = cos x en el punto de abscisa x = π/4.H(x) = x-2 en el punto P(1, 1) y Q(-1, 1)

Ecuación de la recta tangente


11

Si en la definición de derivada f ’(a) sustituimos a por x, obtenemos

En consecuencia, podemos asociar a la función f, una nueva función f ’, llamada derivada de f, definida asi:

x f ’(x)

La derivada como una función

h)x(f)hx(flim)x('f

0h

−+=

→

(= pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x, f(x)))

cuyo dominio es el conjunto D = { x / f ’(x) existe} que puede ser subconjunto (“menor”) que el dominio de f.

La función f ’ se llama la derivada de f porque se ha “derivado” de f mediante la operación de límite.


12

Ejemplo: Si determinemos la derivada de f y definamos el dominio de f ´.

3x)x(f −=

( )

( )

3x21

3x3hx1lim

3x3hxh)3x()3hx(lim

3x3hx3x3hx.

h3x3hxlim

h3x3hxlim

h)x(f)hx(flim)x´(f

0h

0h

0h

0h

0h

−=

−+−+=

−+−+−−−+

=

−+−+−+−+−−−+

=

−−−+=

−+=

→

→

→

→

→

] [ 3, ´f Dom ∞=


13

Si empleamos la notación tradicional y = f(x) para indicar que la variable independiente es x y la dependiente es y , hay otras notaciones alternativas comunes de la derivada:

Otras notaciones para la derivada

)()()(')(' xfDxDfxfdxd

dxdf

dxdyyxf x======

Podemos reformular la definición de derivada, en notación de Leibniz, como sigue

xy

dxdy

x ∆∆

=→∆ 0

lim

Y si deseáramos indicar el valor de la derivada en un número específico a, en notación de Leibniz, anotaríamos

axax dxdy bien o

dxdy

==


14

Ejercicio: Demuestre, usando las definiciones dadas, que las derivadas de las siguientes funciones son las que se indican.

xsen f´(x) xcos)x(f

cosx f´(x) senx)x(f

e(x)' f e)x(f

3x(x)' f x)x(f

x21(x)' f x)x(f

xx

23

−=⇒=

=⇒=

=⇒=

=⇒=

=⇒=


15

Funciones diferenciables

Definición: Una función f es diferenciable en a (o derivable en a) si existe f’(a) y es diferenciable en un intervalo abierto (a,b) [analogamente en (a,∞) , (-∞,a) o (-∞,∞)] si es diferenciable en todo número del intervalo.

¿Dónde es diferenciable lafunción f(x) = Ix - 4I?


16

Notemos que: 1)´( entonces 4 x

1)´( entonces 4 x=>−=<

xfSixfSi

14

044

)4()()4(

14

044

)4()()4(

44

´

44

´

−=−

−+−=

−−

=

=−−−=

−−=

+−

++

→→−

→→+

xxlim

xfxflimf

xxlim

xfxflimf

xx

xx

Pero no existe la derivada en x = 4. En efecto,

Luego la función derivada es:

{ }

<>

=→

→

4 x1-4 x1

)x´(f x

IR 4-IR : ´f


17

Teorema: Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.

De lo anterior, podemos afirmar que si fes continua en un punto a, no necesariamente

f es diferenciable en a.

Por lo tanto, f continua en a / f derivable en a.El siguiente teorema se refiere al reciproco.

Ejercicio: Demuestre el último teorema.

En consecuencia,

Si f no es continua a, entonces f no es derivable en a.

⇒


18

Ejercicio: Determine si existen f´(0) y g´(0) para las funciones

( )

=

≠=

0 xsi 0

0 xsi sen x)x(f x

1

( )

=

≠=

0 xsi 0

0 xsi senx)x(g x

12

Derivadas unilaterales: La derivada izquierda y la derivada derecha de f en a se definen mediante

h

)a(f)ha(flim)a('f , h

)a(f)ha(flim)a('f0h0h

−+=

−+=

+− →+

→−

Si estos límites existen.


19

Además, f´(a) existe si y sólo si existen esas derivadas unilaterales y son iguales.

Ejercicio: Considere la función

Determine a y b en IR de modo que f sea derivable en x = 1.

>+

≤+=

1 xsi b x1 xsi 3

)(2

axxf

Ejercicio: Considere la función

a) Trace la gráfica de fb) ¿Dónde es discontinua f?c) ¿Dónde no es diferenciable f?

≠∧≥

<<−≤

=

5 x 4 xsi x-5

14x0 si 5

0 xsi 0)( xxf


20

Tres funciones que no son diferenciables en (0,0)

¿Cómo se observa gráficamente

una función no diferenciable?


21

En general, si la gráfica de una función f tiene “esquinas” o “dobleces”, entonces la gráfica de f no tiene tangentes en esos puntos y f no es diferenciable allí. (Al tratar de calcular f’(a) veremos que los límites izquierdo y derecho son distintos).

Si f no es continua en a, entonces no es diferenciable en a. Así en cualquier discontinuidad (por ejemplo, en una discontinuidad de salto), f de ninguna manera será diferenciable.

∞=→

)x('flimax

Una tercera posibilidad es que la curva tenga una tangente vertical cuando x = a, esto es, que f sea continua en a y que


22

Con una calculadora graficadora o computadora se cuenta con otro modo de revisar la

diferenciabilidad

Si f es diferenciable en a , entonces, mediante la función zoom en el punto (a,f(a)) , la gráfica se endereza y aparece más y más como una recta. Pero sin importar todo lo que nos acerquemos a puntos como los de las figuras, no podremos eliminar la esquina o vértice .


23

Fórmulas de diferenciación

Si se tuviera que usar la definición de límite cada vez que se deseara calcular una derivada, sería tedioso largo y difícil para ser utilizado en las aplicaciones. Por fortuna, se han desarrollado varias reglas para hallar derivadas.

Teorema: Si f es una función constante, f(x) = c, entonces f’(x) = 0.

0h

cclim

h)x(f)hx(flim)x´(f

0h

0h

=−

=

−+=

→

→

Pendiente 0En efecto,


24

Regla de potencias: Si f(x) = xn, en donde n es un número real, entonces f ’(x) = nxn-1

Ejemplos:

( ) ( )

( )

( ) ( )x

xxdxdx

dxd

xxdxd

xdxd

xxxdxdx

dxd

xxxdxd

21

21

5132

32

66)(

2/12/1

655

3/113/23/23 2

5166

===

−==

===

==

−

−−

−−

−

Ejercicio: ¿En qué puntos de la hipérbola xy = 18 la recta tangente es paralela a la recta 2x + y = 1.


25

Suponga que c es una constante y que f ’(x) y g’(x) existen.

a) Si F(x) = c f(x), entonces F’(x) existe y F’(x) = cf’(x).

b) Si G(x) = f(x) + g(x), entonces G’(x) existe y G’(x) = f ’(x) + g’(x).

c) Si H(x) = f(x) – g(x), entonces H’(x) existe y H’(x) = f’(x) – g’(x).

En resumen, se tiene que,

a) (cf)’ = cf’ b) (f +g)’ = f’ + g’ c) (f - g)’ = f’ - g’

Álgebra de Derivadas

Con la notación de Leibniz,

dydf

dxdf)gf(

dxd c)

dydf

dxdf)gf(

dxd b)

dxdfc)cf(

dxd )a −=−+=+=


26

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

1. La derivada de un producto es el producto de las derivadas, es decir; [f(x) g(x)]´ = [f(x)]´ [g(x)]´.2. La derivada de un cuociente es el cuociente de las derivadas, es decir,

¿V o F?

)x('g)x('f

)x(g)x(f '

=

Ejercicio: Explique qué característica tienen f y g cuando f´(x) = 0 y g´(x) = 0

Ejercicio: Derive las funciones 1xx6x3x4)x(f 235 ++−+=

xx1)x(h y 5x5xx)x(g 33/25 2 +=+++= −


27

Regla del producto: Si F(x) = f(x) g(x) y existen ambas derivadas f ’(x) y g’(x), entonces

'')'()(')()(')()('

gffgfgxfxgxgxfxF

+=+=

senxxf(x)

xcos xf(x)

xcossenx2f(x)ex5)x(f

)1x3)(2x()x(f

7/4-

5

x3

24

=

=

==

−+=

Ejercicio: Derive las funciones

Ejercicio: Demuestre la regla del producto.


28

Regla del cuociente: Si y ambas derivadas f ’(x)

y g’(x) existen, entonces existe F’(x) y se tiene

[ ]

2

'

2

''

)()(')()(')()('

gfggf

gf

xgxgxfxfxgxF

−=

−=

Ejercicio: Demuestre la regla del cuociente

xcosxh(x) ,

4xxg(x) ,

xsenxf(x)

secx y cotanx y tanx,y7/4-

2

3=

+==

===


)x(g)x(f)x(F =


29

Con las fórmulas de derivación que hemos aprendido no podemos determinar F’(x).

Observamos que F es una función compuesta .

Si hacemos y = f(u) = , donde u = g(x) = x2 + 1, podremos escribir

u

y = F(x) = f(g(x)), esto es, F = f o g .

La Regla de la cadena

¿Cómo derivamos la función?

1)( 2 += xxF


30

Regla de la cadena: Si existen a la vez las derivadas g’(x) y f’(g(x)) y si F = f o g es la función compuesta, entonces F’(x) existe y está dada por el producto

F’(x) = f ’(g(x)) g’(x)

En la notación de Leibniz, si y = f(u) y u = g(x) son dos funciones diferenciables, entonces

Sabemos cómo derivar f y g, de modo que sería conveniente contarcon una regla que nos diga cómo hallar la derivada de F = f o g en términos de las derivadas de f y g.

dxdu

dudy

dxdy

=


31

1)( 2 += xxF

12.

121

)´())(´()´(

22 +=

+=

=

xxx

x

xgxgfxF

Si entonces

( )

)x/1xcos(xx2x

x sen)xf( x2x5x

x2x)x(f

1xx)x(f )1xcos()x(f

xx5xsen)x(f )2xx3()x(f

35

3

23

3634

+++

=+++

+=

++=+=

−−=+−=



32

Regla de potencias combinada con laregla de la cadena.

Si n es cualquier número real y u = g(x) es diferenciable, entonces

o bien

( )dxdunuu

dxd nn 1−=

[ ] [ ]( ) )(')()( 1 xgxgnxgdxd nn ⋅= −

( )

)(32

)(

4)32()13(3cos)(

/12)(

xsenxxxh

xxxg

xsenxf

+=

+−+=

=Ejercicio: Derive las funciones


33

Derivadas de funciones exponenciales

La función y=ex es una función particularmente importante para modelar el crecimiento exponencial. Definimos el número e como

Este intrigante número aparece en muchos otros límites, pero el que tiene que ver con las implicaciones más interesantes para el cálculo de funciones exponenciales es el siguiente:

e)1(lim xx1

x=+

∞→

1h

1elimh

0h=

−→

( )xx11y +=

xeyx 1−

=


34

El hecho de que el límite sea 1 crea una relación admirable entre la función ex y su derivada,

x

h

0hx

hx

0h

xhx

0h

xhx

0hx

e

h1elime

h1eelim

heeelim

heelim)e(

dxd

=

−=

−=

−=

−=

→

→

→

+

→

¡La derivada de y = ex

es ella misma!

Además, si u es una función diferenciable de x,dxdue)e(

dxd uu =


35

¿Qué ocurre con una función exponencial con base distinta de e?

Sea a > 0 y a ≠ 1, podemos utilizar las propiedades de los logaritmos para escribir ax en términos de ex. La fórmula para hacer esto es:

x)ln(aalnxalnxx ae e efecto, en ;eax===

Entonces podemos determinar la derivada de ax mediante la regla de la cadena:

alnaalnea)ln (xdxd e e

dxda

dxd x(a)lnxalnxalnxx ====


36

Así, si u es una función diferenciable de x, tenemos la siguiente regla.

dxdualna)a(

dxd uu =

1xe)x(f

ex5y

senx2)x(f

3xey

e)x(f

4 xtan

xcos5x

x3

xx

x

2

+−=

+=

=

+=

=

−



37

Derivación Implícita

¿Cómo derivamos cuando y no está despejada en función de x?

023 324 =+−++ yxyxxy

Las funciones que hemos encontrado hasta ahora se pueden describir expresando una variable explícitamente en términos de otra variable; por ejemplo,

23 senxx y o 1xy =+=

o, en general, y = f(x). Sin embargo, algunas funciones se definen implícitamente por medio de una relación entre x e y; por ejemplo,

)yxcos(y x,xy6y x,25yx 23322 +−=+=+


38

En algunos casos es posible resolver una ecuación de ese tipo para y como una función (o varias funciones) explícita(s) de x. Por ejemplo, si resolvemos la primera de las ecuaciones anteriores para y, obtenemos de modo que dos funciones determinadas por dicha ecuación implícita 1 son y

. Las gráficas de f y g son los semicírculos superior e inferior del círculo centrado en el origen y con radio 5.

225 xy −±=225)( xxf −=

225)( xxg −−=

25yx 22 =+ 2x25y −= 2x25y −−=


39

Cuando decimos que f es una función definida implícitamente por la ecuación , queremos dar a entender que la ecuaciónxyyx 633 =+

( )[ ] ( )xxfxfx 633 =+

es verdadera en el dominio de f.


40

Por fortuna, no es necesario resolver una ecuación para conocer y en términos de x con el fin de hallar la derivada de y. En lugar de ello, podemos aplicar el método de derivación implícita. Éste consiste en derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x y, a continuación, resolver la ecuación resultante para y’. Suponemos que la ecuación dada determina y implícitamente como una función diferenciable de x, de modo que puede aplicarse el método de derivación implícita.

02yx3yxxy 324 =+−++Derivando ambos lados de la igualdad respecto a x,

Ejemplo: Sea y función de x dada implícitamente por

0'yx9'yxxy2)'yy4(xy 2234 =−++++

y=f(x)


41

Agrupando los términos que tiene a y’ como factor obtenemos:4223 yxy2x9 y')1xxy4( −−−=−+

Y suponiendo que se tiene 0)1xxy4( 23 ≠−+

)1xxy4(yxy2x9'y 23

42

−+

−−−=

Ejemplo: Si x2 + y2 = 25, encontremos la derivada y la ecuación de la recta tangente a este circulo en el punto P(3, 4).

dxdy

2x + 2y y’ = 0yx

dxdy y' −==⇒

En este ejercicio se ilustra que, incluso cuando es posible resolver una ecuación de manera explícita para y en términos de x, puede ser más fácil aplicar la derivación implícita.


42

La expresión da la derivada en términos tanto de x

como de y . Esto es correcto sin importar cuál función y queda

determinada por la ecuación dada. Por ejemplo, para

tenemos . En tanto que 2x25)x(fy −==2x25

xyx

dxdy

−−=−=

para resulta2x25)x(gy −−==22 x25

x

x25

xyx

dxdy

−=

−−−=−=

yx

dxdy

−=

Ejercicio: Por derivación implícita determine dy/dx si

1xcosyycose) x(xy)cotd) xy

ycosy2cosc) xsenyysenx(x-y)cosb)

02yxy1xa) xy 3

=+=

=+=

=++++


43

Ejercicio: Considere a y como variable independiente, a x como dependiente y aplique la derivación implícita para hallar dx/dy

[ ][ ] g´(4) calcule ,12)4(g y )x(gxx12g(x) Si d)

f´(3) calcule ,1)3(f y 6)x(xff(x) xSi )c

yax)yx( )b

1yyxyxa) y

22

3

2222

4224

==+

==+

=+

+=++


44

Teorema de la función inversa

Teorema: Si f es una función inyectiva diferenciablecon función inversa g = f-1 y si f´(g(a)) ≠0, la función inversa es diferenciable en a y se tiene que

))(´(1)´(

agfag =

Al reemplazar a con el número general x en la fórmula, obtenemos

))(´(1)´(

xgfxg =

Ejercicio: Si determine g’(1).-1fg y ,xcosx2)x(f =+=


45

En esta sección usaremos la derivación implícita para hallar lasderivadas de las funciones logarítmicas en particular, de la función logarítmica natural

xy alog=xy ln=

Teorema:ax

xdxd

a ln1)(log =

Demostración: Sea ; entoncesxy alog= xa y =

Si se deriva la última ecuación implícitamente con respecto a x se obtiene

1)(ln =dxdyaa y

(1)

Derivada de funciones logarítmicas


46

axaadxdy

y ln1

ln1 ==

xx

dxd 1)(ln = (2)

Y por consiguiente,

Si en la formula (1) ponemos a = e, entonces el factor ln a del segundo miembro se convierte en ln e = 1 y obtenemos la formula para la derivada de la función logarítmica natural:

En general, si combinamos la formula (2) con la regla de la cadena obtenemos

dxdu

uu

dxd 1)(ln = [ ]

)()(')(ln

xgxgxg

dxd =


47

)xln(cos x y )e)x(lnxseny d)

)1xln()5(xcosy c)

)x2log( xsen y )b)1x(loga) y

4

23

+==

+−=

−=

+=


Ejercicio: En cada caso, determine dy/dx

1xxlogg(x)

)1xxln(2xlnx)x(f

22

3

+=

++++=


48

Podemos utilizar la derivación implícita para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Recuerde que

xy 1sen−= significa que sen y = x y 22ππ ≤≤− y

Si se deriva sen y = x implícitamente con respecto a x, se obtiene

luego1cos =dxdyy

ydxdy

cos1=

Ahora bien , ya que , de modo que0cos ≥y22ππ ≤≤− y

22 1sen1cos xyy −=−=

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas


49

Por lo tanto

21

11)(sen

xx

dxd

−=−

Ejercicioa) Demuestre que

b) Grafique y su derivada. Comente qué puede observar respecto al crecimiento de f y su derivada.

21

11)(

xxtan

dxd

+=−

xtanxf 1)( −=

Procediendo de una manera análoga se obtiene

21

11)(cos

xx

dxd

−−=−


50

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

21

11)(sen

xx

dxd

−=−

11)(csc

21

−−=−

xxx

dxd

21

11)(cos

xx

dxd

−−=−

11)(sec

21

−=−

xxx

dxd

21

11)(x

xtandxd

+=−

21

11)(cotx

xdxd

+−=−


51

Ejercicioa) Una manera de definir es decir que

y o bien Demuestre que si utiliza esta definición, entonces

x1sec−

xyxy =⇔= − secsec 1 2/0 π≤≤ y 2/3ππ ≤≤ y

11)(sec

21

−=−

xxx

dxd

b) Otra manera de definir que se emplea algunas veces, es decir que y Demuestre que si utiliza esta definición, entonces

x1sec−

xyxy =⇔= − secsec 1 0,0 ≠≤≤ yy π

11)(sec

21

−=−

xxx

dxd

Las formulas para las derivadas de csc-1x y sec-1 x dependen de las definiciones que se usen para estas funciones.


52

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas

Supongamos que x e y se definen en forma de funciones continuas de una tercera variable t, llamadas parámetro, mediante las ecuaciones

x = f(t) e y = g(t)que se denominan ecuaciones paramétricas. Cada valor de t determina un punto (x, y), que podemos graficar en un plano de coordenadas. Al variar t, el punto (x, y) = (f(t), g(t)) cambia de posición y describe una curva C. Si interpretamos a t como el tiempo y a (x, y) = (f(t), g(t)) como la posición de una partícula en el momento t, podemos imaginar que la partícula se mueve a lo largo de la curva C.


53

Ejercicio: Trace e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas,

a) x = t2 - 2t , y = t + 1b) x = sen t, y = sen2t

Ejemplo: ¿Qué curva representan las ecuaciones paramétricasx = cost, y = sent, 0≤ t ≤2 π?

En este caso, podemos suprimir t porque

1sencosx 2222 =+=+ tty

Así, el punto (x, y) se mueve en el círculo unitario x2+ y2=1. Cuando t aumenta de 0 a 2π, el punto (x, y) = (cost, sent) recorre una vez el círculo en dirección contraria a la de las manecillas del reloj.

t = π/2

t = 0


54

Hemos visto que algunas curvas, definidas por las ecuaciones paramétricas x = f(t), y = g(t), se pueden expresar también en la forma y = F(x) por eliminación del parámetro. Si sustituimos x = f(t), y = g(t) en la ecuación y = F(x), llegamos a g(t) = F(f(t)), con lo cual, si g, F y f son diferenciables, la regla de la cadena establece que,

)t('f)x('F)t('f))t(f('F)t('g ==

(t)'f(t)'g (x)'F =

Si podemos despejar F’(t) y resulta, 0f´(t) ≠

Ejercicio: Determine dy/dx si a) x = t3 + t2 + 1, y = 1 – t2.b) x = t + 2cos t, y = sen 2t.


55

En la ecuación se puede apreciar que la curva tiene una tangente horizontal cuando siempre que y que

posee tangente vertical cuando siempre que

En vista de que la pendiente de la tangente a la curva y = F(x) en (x, F(x)) es F’(x), la ecuación anterior permite determinar tangentes a curvas paramétricas sin tener que eliminar el parámetro. Con la notación de Leibniz podemos reformular la ecuación anterior de la siguiente manera:

0≠=dtdxi s

dtdxdtdy

dxdy

0 0 ≠=dtdx

dtdy

0dtdy 0

dtdx

≠=


56

Ejercicio: Deduzca una ecuación de la tangente a la curva en el punto que corresponde al valor citado del parámetro.

t ;tcosttsent, yx d) 1t ;te y,tlnx )c

1t ;1t3t, yt1b) x

0t ; ttt, yta) x

t

23

22

π======

=+−=−=

=−=+=

Ejercicio: Una curva C está definida por las ecuaciones paramétricas .

a) Demuestre que C tiene dos tangentes en el punto (3,0) y determine sus ecuaciones.

b) Encuentre los puntos en C donde la tangente es horizontal o vertical.

c) Trace la curva.

t3ty , t x 32 −==


57

Si f es una función diferenciable, su derivada f´ también es una función, así que f´ puede tener una derivada por derecho propio.Dicha derivada se representa como (f ’)’ = f’’. Esta nueva función f´ se llama segunda derivada de f o derivada de segundo orden de f, por serlo de la derivada de f. Por lo tanto,

== )x(fdxd

dxd))x('f(

dxd)x(''f

Por ejemplo, si 678 x56 )x(''f y x8)x('f ,x)x(f ===

Notación: Si y = f(x), la segunda derivada de f se denota indistintamente con

)x(fD ,)x(fD ,dx

yd ,dxdy

dxd , )x('' f , ''y 2

x2

2

2

Derivadas de orden superior


58

Ejemplos:Si y = 2x4 , entonces y’ = 8x3, y’’ = 24x2, y’’’ = 48x, y(4) = 48,

…….. y(n) = 0, para n > 4.Si y = sen x, entonces y’ = cos x, y’’ = -sen x, y’’’ = -cos x,

y(4) = sen x, etc.Si y = ex, y(n) = ex , para todo n en IN.

En general, la derivada n-ésima de la función f o derivada de orden n de f es la derivada de la derivada de orden n-1 de f y se denota indistintamente con

)x(fD ,)x(fD ,dx

yd , )x(f , y nx

nn

n(n))n(


59

Ejemplo: Si f(x)= determinemos f(n)(x)x1

4

33

22

1

x123)x('''fx2x)1)(2()x(''f

x1x)x('f

xx1)x(f

−

−

−

−

⋅⋅⋅−=

=−−=

−=−=

==

)1n(n)n(

66)5(

5)4(

x12)2n)(1n(n)1()x(f

x!5x12345)x(f

x1234)x(f

+−

−

−

⋅⋅⋅⋅⋅−−−=

⋅⋅

−=⋅⋅⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅⋅=

Recuerde quennn )1(321! −⋅⋅⋅⋅⋅=

( ) ( )1n

nn

x!n1)x(f

+−

=⇒


60

Segunda derivada en funciones dadas por ecuaciones paramétricas

dtdx

dxdy

dtd

dxdy

dxd

dxyd

=

=2

2

Ejercicio:a) Determine dy/dx y d2y/d x2 para la cicloide cuyas

ecuaciones son x = r(t – sen t), y = r(1 – cos t).b) Encuentre la pendiente y la ecuación de la recta tangente

a esta cicloide en el punto en que θ= π/3c) ¿En qué puntos esta tangente es horizontal? ¿Cuándo es

vertical?

Ejercicio: Determine d2y/dx2 si a) x = e-t, y = t e2t. b) x = 1 + t2, y = t ln(t)


61

En lo que sigue, mostraremos

algunas aplicacionesde la derivada


62

Ejemplo (crecimiento de población): Durante el período de 10 años de 1980 a 1990 , se encontró que la población de cierto país estaba dada por la fórmula P(t) = 1 + 0,03 t + 0,001 t2, donde P está en millones y t es el tiempo medido en años desde el inicio de 1980. Calcule la tasa de crecimiento instantánea al inicio de 1985.

Solución: Queremos la tasa de crecimiento en t = 5. Esto significa resolver el siguiente límite:

h)]25(001,0)5(03,01[)h5(001,0)h5(03,01lim

h)5(P)h5(Plim

2

0h0h

++−++++=

−+→→

04,0h

h 001,0h 04,0lim2

0h=

+=

→

Así, al inicio de 1985, la población de la ciudad estaba creciendo a una tasa de 0,04 millones anualmente, es decir, 40.000 personas por año.


63

Solución: a) El cambio total es el tamaño del tumor en el sexto mes, es

decir, S(6) = 26 = 128 mm3.b) La razón de cambio en los primeros 6 meses es:

3mm 2,255

212816

)1()6(=

−=

−− SS

Ejemplo (medicina): El tamaño de un tumor maligno en milímetros cúbicos, está dado por la función S(t) = 2t , donde t es el número de meses desde que el tumor fue descubierto.a) ¿Cuál es el cambio total del tamaño durante los primeros 6 meses?b) ¿Cuál es la razón de cambio del tamaño del tumor durante los primeros 6 meses?c) ¿Cuál es la razón de cambio a la cual el tumor está creciendo en t = 6?


64

La razón de cambio es de 25,2 mm3 por mes, por lo que aumenta 25,2 mm3 cada mes.c) Aquí se debe calcular la derivada de S(t) en t = 6, es decir,

t)6(S)6t(Slim)t('S

0t

−+=

→

Para resolver este límite tomamos valores de t muy cercanos a cero y utilizamos una calculadora para obtener el resultado

Entonces podemos decir que S’(6) ≈ 44,36. Por lo tanto, la razón de cambio del tamaño del tumor en t = 6 es 44,36 mm3 .

t 0,1 0,01 0,001 0,0001

t

t 66 22 −+

45,935 44,515 44,377 44,363


65

Ejemplo (costo): La siguiente gráfica muestra el costo y = f(x) de manufacturar x kilogramos de un químico:

a) ¿Dónde es mayor la razón de cambio promedio entre x = 1 y x = 3 , o bien, entre x = 3 y x = 5?

b) ¿Dónde es mayor la razón de cambio instantánea, en x = 1 o en x = 3? Explique.


66

375,02

175,113

)1()3(≈

−=

−− yy

La razón de cambio cuando x pasa de 3 a 5 es

25,02

75,125,235

)3()5(=

−=

−− yy

Comparando estos valores vemos que la razón de cambio es mayor cuando x pasa de 1 a 3.

Solución:a) Observando la gráfica, la razón de cambio cuando x pasa

de 0 a 3 es:


67

b) Para resolver esto trazamos las rectas tangentes en los puntos (1,1) y (3,1,75).

(1,1)(3, 1,75)

Aquí se observa que es mayor la pendiente de la recta que pasa por el punto (1, 1) que la que pasa por el punto (3, 1,75), es decir, la razón de cambio instantánea es mayor en x = 1.


68

Interpretación de la derivada como rapidez(razón) de cambio

La derivada como razón de cambio pueden representar cantidades como, por ejemplo, la tasa a la cual crece la población, la velocidad de un objeto en movimiento, el costo marginal para un fabricante. Velocidad media e instantáneaUn automóvil se mueve a lo largo de una carretera recta y D(t) es su desplazamiento desde el punto de partida después de t horas. Suponer que debe calcularse la velocidad del automóvil en un momento determinado t.Primero, registrar la posición del automóvil en el momento t y de nuevo, en algún momento posterior, t + ∆t. Es decir determinar D(t) y D(t + ∆t). Luego calcular la velocidad media del automóvil entre los tiempos t y t + ∆t como sigue:


69

Velocidad media = t

tDttD∆

−∆+= )()( tiempoelen cambiodistancia laen cambio

0

0

Distancia

Tiempo

D(t) D(t+ ∆t)

t t+ ∆t

∆t

)()( tDttD −∆+


70

Puesto que la velocidad del automóvil puede fluctuar durante el intervalo de tiempo de t a t + ∆t , es poco probable que la velocidad media sea igual a la velocidad instantánea (la velocidad que muestra el velocímetro) en el momento t. Sin embargo, si ∆t es pequeño, la posibilidad de cambios significativos en la velocidad es pequeña, y la velocidad media puede ser una aproximación bastante cercana a la velocidad instantánea . En efecto, la velocidad instantánea en el momento t puede encontrarse dejando que ∆t se aproxime a cero en la expresión de la velocidad media. Así,

t)t(D)tt(Dlim

0t ∆−∆+

→∆

En consecuencia, la velocidad instantánea (o razón de cambio de la distancia) es igual a la derivada del desplazamiento D(t).

Velocidad instantánea =


71

Ejercicio: El desplazamiento de un objeto que se mueve en línea recta en el tiempo t está dado por s(t)= t3 - 6t2 + 9t + 5. Hallar la

a) velocidad del objeto y analizar su movimiento entre los tiempos t= 0 y t = 4.

b) distancia total recorrida por el objeto entre los tiempos t=0 y t=4.c) aceleración del objeto y determinar cuándo está aumentando o

disminuyendo su velocidad ente los tiempos t = 0 y t = 4.

Movimiento rectilíneo:Un objeto que se mueve en línea recta con desplazamiento s(t) tiene velocidad v(t)=ds/dt y aceleración a(t)=dv/dt cuando existan estas derivadas. El objeto está avanzando cuando v(t)>0, retrocediendo cuando v(t) < 0, y está estacionario cuando v(t) = 0. Está aumentando su velocidad cuando a(t) > 0 y disminuyendo su velocidad cuando a(t) < 0.


72

Razón de cambio media e instantáneaLos conceptos vistos pueden ampliarse a situaciones más generales. Supóngase que y es una función de x, o sea y = f(x). Si x cambia a x + ∆x, la variable y cambia en una cantidad ∆y = f(x+ ∆x) - f(x). La razón de cambio media resultante, de y con respecto a x, es el cuociente de la diferencia

x)x(f)xx(f

xen Cambio yen Cambio

∆−∆+

=Razón de cambio media =

A medida que ∆x se aproxima a cero, la razón de cambio media se acerca a lo que se denomina razón de cambio instantánea de y con respecto a x.

x)x(f)xx(flim

xylim

0x0x ∆−∆+

=∆∆

→∆→∆Razón de cambio instantánea =


73

Razón de cambio instantáneaSi y = f(x), la razón de cambio instantánea de y con respecto a x está dada por la derivada de f, es decir,

dxdy)x´(f cambio de Razón ==

Ejercicio: Un fabricante estima que cuando se produzcan y se vendan x unidades de cierto artículo, el ingreso será R(x)= 0.5x2 + 3x - 2 miles de dólares. ¿A qué razón cambia el ingreso respecto al nivel de producción x cuando se producen 3 unidades? ¿Está aumentando o disminuyendo el ingreso?


74

Ejercicios - Razón de Cambio1) Una bola de nieve se derrite talque su area de superficie

disminuye a razón de 1 cm2/min. Hallar la razón en que disminuye el diámetro cuando el radio es de 5 cm .

2) Al medio día un barco A está a 150 km al oeste de otro barco B.

El barco A navega a 35 km/hr hacia el este y el barco B lo hace a 25 km/hr hacia el norte. ¿ Con qué rapidez está cambiando la distancia entre los barcos a las 4:00 PM ?

3) Se deja caer arena en un montículo de forma cónica a una tasa de 10 m3/min. Si la altura del montículo siempre es el doble del radio de la base, ¿ a qué tasa se incrementa la altura cuando ésta es de 8 m ?


75

4) Un reflector en el piso alumbra un muro a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de altura camina del reflector hacia el muro a una velocidad de 1.6 m/seg, ¿con qué velocidad disminuye la altura de su sombra en el edificio cuando está a 4 m de la pared?

5) Esta semana en una fábrica se produjeron 50 unidades de un artículo determinado y la cantidad producida aumenta a una tasa de 2 unidades por semana. Si C(x) dólares es el costo total por producir x unid y C(x) = 0.08x3 – x2 + 10x + 48, determine la tasa actual a la que el costo de producción crece.

6) Una escalera de 10 pies de longitud descansa en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pie/seg, ¿con qué velocidad cambia el ángulo formado entre la parte superior de la escalera y el muro cuando ese ángulo mide 45 grados?


76

7) Un cable de 100 pie de largo y 4 pulgadas de diámetro está sumergido en el mar. Debido a la corrosión, el área de la superficie del cable disminuye a razón 750 pulg2/año. Encuentre la rapidez con la que decrece el diámetro, despreciando la corrosión en los extremos del cable. (Observación: 1 pie = 12 pulgadas).

8) Cierta cantidad de aceite fluye hacia el interior de un depósitoque tiene forma de cono invertido a una tasa de 3 m3/min. Si el depósito tiene un radio de 2,5 m en su parte superior y una altura de 10 m, ¿qué tan rápido varía el nivel de aceite cuando este ha alcanzado 8 m de profundidad?

9) Un hombre de 6 pies de estatura camina hacia un edificio auna razón de 5 pies por segundo, si en el piso se encuentra una lámpara a 50 pies del edificio ¿qué tan rápido se acorta la sombra del hombre proyectada en el edificio cuando él está a 30 pies de éste?


77

Sea y = f(x), donde f es función diferenciable. La diferencial(dx) es una variable independiente, esto es, se le puede asignar el valor de cualquier número real. La diferencial (dy) se define, entonces, en términos de dx mediante la ecuación:

dy = f ’(x)dx

¿ Cómo se puede interpretar el significado geométrico de las diferenciales ?

Diferenciales


78

)(,(y ))(,( xxfxxQxfxP ∆+∆+Sean puntos de la gráfica de f

y sea dx = . El cambio correspondiente en y es x∆

)()( xfxxfy −∆+=∆


79

1. Las diferenciales dx y dy son variables; pero dx es una variable independiente, mientras que dy es una variable dependiente, porque depende de los valores de x y de dx. Si se asigna un valor específico a dx y x representa cierto número específico en el dominio de f, el valor numérico de dyqueda determinado.

2. Si dx ≠ 0, podemos dividir ambos lados de la ecuación

dy = f ’(x)dx,

)x(' fdxdy

=

Observaciones

entre dx para obtener


80

La pendiente de la tangente PR es la derivada f ’(x). Así la distancia dirigida de S a R es f ’(x)dx = dy; por lo tanto dy representa lo que sube o baja la recta tangente y , cuanto sube o baja la curva y = f(x) cuando x varía en la cantidad dx.

xy

xdxdy

∆∆

→∆= lim

0se tiene

dxdy

xy≈

∆∆ cuando es pequeño

Si se escoge dx = , entonces la expresión anterior se transforma en y dy. Esto significa que si es pequeño, entonces la variación real en y es aproximadamente igual al diferencial dy.

∆ ≈ x∆

Como

y∆

x∆

x∆


81

La aproximación dy puede emplearse en el cálculo aproximado de valores de funciones.

Suponga que f(a) es un número conocido y un valor aproximado a encontrar para f(a + ) donde es pequeño. Entonces,

y∆ ≈

yafxaf ∆+=∆+ )()(

Y así se obtiene

dyafxaf +≈∆+ )()(

x∆ x∆


82

Ejercicios

1) Hallar dy si

2) Aplicar diferenciales para encontrar el valor aproximado de (1.97)6 y

3) El radio de un disco circular es de 24 cm con un error máximo de medición de 0.2 cm. Estimar el error máximo en el cálculo de su área y Hallar el error relativo.

322+−

=x

xy

43 02.102.1 +


83

Sean (a, b) un intervalo abierto de números reales que contiene

a c y f, g funciones definidas y derivables en (a, b) excepto

posiblemente en c.

Si g’(x) ≠ 0, para x ≠ c y tiene la forma indeterminada

en x = c, entonces

)(')('

lim)()(

lim xgxf

cxxgxf

cx →=

→

siempre que exista o en su caso sea +∞ o -∞ )(')('

lim xgxf

cx →

Formas indeterminadas y Regla de L’Hopital

)x(g)x(f

∞∞ o

00


84

xxx

x 312)cos(

lim0

−+

→)2cos(12

lim0 x

xexe

x −−−+

→

Ejercicios: Use la Regla de L’Hopital para calcular:

2

)cos()cos(lim

2 xnxmx

x

−

→ )sec(1)tan(4 lim

2xx

x+−

→π

2

3xe x

limx∞→ 50

limx

xexex

−+

→

Observación: Si es de la forma y

no existe, no podemos afirmar que no existe . Por

ejemplo analice .

)x(g)x(flim

px→

x)x/1cos(xlim

2

0x→

00

)x('g)x('flim

px→

)x(g)x(flim

px→

a) b)

c) d)

e) f)


85

Si y entonces

es de la forma indeterminada . Dicho producto se expresa

en forma equivalente con el cuociente:

0)x(flimpx

=→

)- bien (o )x(glimpx

∞∞=→

∞⋅0

g1fgf =⋅

f1ggf =⋅

Ejercicio: Calcule los siguientes límites

Productos Indeterminados

)x(g)x(flimpx→

y por tanto en una forma indeterminada ∞∞ o

00

)xln(xlim )a 2

0x +→

xsecxlim )c0x +→

)xsec()x2(lim )b2x

π−π→

2x3x

exlim )d −

∞→


86

Si y entonces

es de la forma indeterminada . Para verificar la

existencia de dicho límite se debe tratar de convertir la

diferencia en un cuociente y transformarlo a la forma

∞=→

)x(flimpx

∞=→

)x(glimpx

[ ])x(g)x(flimpx

−→

∞∞ -

00 o

∞∞

Diferencias Indeterminadas

−

→ xcsc

x1lim )b

0x

−

−→ x1

1e1lim )a x0x

( )2-20x

x-xcsclim )c→

−−++

∞→xx1xxlim )d 22

x



87

±∞==

=∞=∞

==

→→

∞

→→

→→

)(limy 1)(lim para 1 3)

0)(limy )(lim para 2)

0)(limy 0)(lim para 0 )1

px

px

0

px

0

xgxf

xgxf

xgxf

px

px

px

A partir de la expresión surgen variadas formas

indeterminadas tales como:

Para estudiar estas formas es conveniente escribir

y tomar el logaritmo natural a ambos lados , obteniéndose:

)(ln)()(lnln )( xfxgxfy xg ==

Lxg

Ly

pxpxpx

exf

eeyLy

=

===

→

→→→

)(

px

ln

)(limdecir es

limlim entonces , ln lim Si

Potencias Indeterminadas)x(g

px)x(flim

→

)x(g)x(fy =


88

Considere , donde dicho

límite es de la forma .

Si se sabe que la potencia 1a equivale al valor 1, para todo a perteneciente a los reales, entonces ,

¿Se puede deducir que el valor de tal límite es 1?

21

)( 0

lim xxxex

−→ ∞1

Utilice calculadora para visualizar el problema, y luego resuelva analíticamente para comprobar sus conclusiones.


89

Ejemplo: ( ) x

xx 2

1

031lim +

→

Este límite es de la forma indeterminada 1∞ , luego escribimos,

( ) xxy 21

31+=

Esta última expresión tiene la forma indeterminada en x = 0. Por la Regla de L’Hopital,

23

2)31/(3lim

2)31ln(limlnlim

000=

+=

+=

→→→

xx

xyxxx

xxx

xy

2)31ln()31ln(

21ln +

=+=

Por lo tanto,

( ) 23

0

21

0lim31lim eyxx

xx

==+→→

00


90

32xx

0x x

x1elim )3

2

−−−

→ x26lim )4

xx

0x

−→

−

−→ 1x

1)xln(

1lim )51x

( ) y1yy

yelim )6 +∞→

x

2x x5

x31lim )7

++

∞→

1x2

x 5x23x2lim 8)

+

∞→

+−


bx

x xa1lim 2)

+

∞→

)xtan(

0x)xsen(lim 1)

+→

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