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CAPÍTULO 5

FÓRMULAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE

5.1 FÓRMULA DE LA RAÍZ CUADRADA

Antes de practicar las fórmulas (7) y (8) del producto y del cociente, conviene deduciruna fórmula para la raíz cuadrada, en virtud de que en muchas funciones aparece la necesidad dederivarlas.

Si , para derivarla debe hacerse primero y entonces emplear la fór-y u= 1 2/y u=mula de la potencia un. Haciéndolo se llega a que

1 2/y u=1 121

2dy duudx dx

−

=

n - 1

n ududx

Fórmulas del producto y del cociente

76

La derivada de una raíz cuadrada es la derivada del subradical (loque está adentro del radical) entre dos veces el radical original.

121

2dy duudx dx

−=

12

1

2

dy dudx dx

u=

2

dudy dxdx u

=

Por ejemplo, si , su derivada se puede obtener rápidamente emplean-2 3 7y x x= − +

do la fórmula anterior, colocando en el numerador la derivada de x2 - 3x + 7 (la derivada del sub-radical), o sea 2x - 3, y en el denominador dos veces el radical original, esto es

2

2 32 3 7

dy xdx x x

−=

− +

Debe tenerse cuidado de que esta fórmula solamente puede emplearse para raíces cuadra-das, no para raíces cúbicas o de otro orden.


77

5.2 FÓRMULA DEL PRODUCTO

(7) fórmula del productod dv duuv u vdx dx dx

= +

en donde u representa a uno de los factores y v representa al otro factor.

Ejemplo 1: Hallar la derivada de ( )( )2 3 25 11 7 9y x x x x= + − − −

Solución: Empleando la fórmula (7) del producto, en donde u representa el primer factor y v repre-senta el segundo factor, o sea

u = x2 + 5x ! 11v = x3 ! 7x2 ! 9

entonces empleando dicha fórmula:

dy dv duu vdx dx dx

= +

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 25 11 7 9 7 9 5 11dy d dx x x x x x x xdx dx dx

= + − − − + − − + −

u v dvdx

dudx

( )( ) ( )( )2 2 3 25 11 3 14 7 9 2 5dy x x x x x x xdx

= + − − + − − +


78

Ejemplo 2: Calcular la derivada de ( )2 5 9 5 4y x x x= − − +

Solución: En este caso los dos factores son

u = x 2 - 5x - 9

( )1/ 25 4 5 4v x x= + = +

Empleando la fórmula (7), página 77, del producto, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 22 25 9 5 4 5 4 5 9dy d dx x x x x xdx dx dx

= − − + + + − −

u vdvdx

dudx

Para derivar (5x + 4)1/2 debe emplearse la fórmula (6) de un de la potencia, página 69:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1/ 22 2

15 9 5 4 5 4 5 4 2 52

dy dx x x x x xdx dx

−⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + + + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 22 15 9 5 4 5 5 4 2 52

dy x x x x xdx

−⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( )

( ) ( )2

1/ 21/ 2

5 5 95 4 2 5

2 5 4

x xdy x xdx x

− −= + + −

+

o bien


79

( )( )

25 5 92 5 5 4

2 5 4

x xdy x xdx x

− −= + − +

+

Ejemplo 3: Hallar la derivada de ( ) ( )8 527 3 9 3y x x= − −

Solución: En este caso los dos factores son

u = (7x2 - 3)8

v = (9 - 3x)5

Empleando la fórmula (7), página 77, del producto, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )8 85 52 27 3 9 3 9 3 7 3dy d dx x x xdx dx dx

= − − + − −

u vdvdx

dudx

Para calcular las derivadas de (9 - 3x)5 y de (7x2 - 3)8 debe emplearse en ambas la fórmula(6) de un

de la potencia de la página 69:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 74 52 2 27 3 5 9 3 9 3 9 3 8 7 3 7 3dy d dx x x x x xdx dx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 74 52 27 3 5 9 3 3 9 3 8 7 3 14dy x x x x xdx

⎡ ⎤⎡ ⎤= − − − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


80

( ) ( ) ( ) ( )8 74 52 215 7 3 9 3 112 9 3 7 3dy x x x x xdx

= − − − + − −

5.3 FÓRMULA DEL COCIENTE

(8) fórmula del cociente2

du dvv ud u dx dxdx v v

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

en donde u representa al numerador y v representa al denominador.

Ejemplo 4: Hallar la derivada de 6 78 9

xyx+

=−

Solución: Cuando la función a derivar es una fracción, debe emplearse la fórmula (8) del cociente, endonde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso:

u = 6x + 7v = 8x - 9

Recordando la fórmula (8) del cociente y sustituyendo después:

2


−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

8 9 6 7 6 7 8 9

8 9

d dx x x xdy dx dxdx x

− + − + −=

−


81

( )( ) ( )( )( )2

8 9 6 6 7 8

8 9

x xdydx x

− − +=

−

En este caso, aunque no es indispensable, conviene realizar las multiplicaciones indicadas enel numerador, pues así habrá reducción de términos:

( )2

48 54 48 568 9

dy x xdx x

− − −=

−

( )2

1108 9

dydx x

−=

−

Ejemplo 5: Derivar ( )425 7 9

9 1

x xy

x

− −=

−

Solución: Cuando la función a derivar es una fracción, debe emplearse la fórmula (8) del cociente, endonde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso:

u = (5x2 - 7x - 9)4

v = 9x - 1

Recordando la fórmula (8) del cociente y sustituyendo después:

2


−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠


82

( ) ( ) ( ) ( )

( )

4 42 2

2

9 1 5 7 9 5 7 9 9 1

9 1

d dx x x x x xdy dx dxdx x

− − − − − − −=

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 42 2 2

2

9 1 4 5 7 9 5 7 9 5 7 9 9

9 1

dx x x x x x xdy dxdx x

⎡ ⎤− − − − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦=−

( ) ( ) ( ) ( )( )

3 42 2

2

9 1 4 5 7 9 20 7 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdydx x

⎡ ⎤− − − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦=−

Y ordenando conforme a las reglas de escritura para cada término: Primero se escribe el sig-no; después el coeficiente numérico; a continuación los factores monomios (letras solas) enorden alfabético; luego los factores polinomios y en seguida los radicales:

( ) ( ) ( ) ( )( )

3 42 2

2

4 9 1 5 7 9 20 7 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdydx x

− − − − − − −=

−

Ejemplo 6: Calcular la derivada del ejemplo anterior utilizando la fórmula del producto.

Solución: La función original que tiene la forma de un cociente puede escri-( )445 7 9

9 1

x xy

x

− −=

−

birse como para que adquiera la forma de un producto. De( ) ( )4 145 7 9 9 1y x x x −= − − −

esta forma, u = (5x4 - 7x - 9)4 y v = (9x - 1)- 1


83

Entonces, recordando la fórmula del producto:

d dv duuv u vdx dx dx

= +

Sustituyendo:

( ) ( ) ( ) ( )4 41 14 45 7 9 9 1 9 1 5 7 9dy d dx x x x x xdx dx dx

− −= − − − + − − −

u + vdvdx

dudx

( ) ( ) ( )4 245 7 9 1 9 1 9 1dy dx x x xdx dx

−⎡ ⎤= − − − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )31 4 49 1 4 5 7 9 5 7 9dx x x x xdx

− ⎡ ⎤+ − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )4 245 7 9 1 9 1 9dy x x xdx

−⎡ ⎤= − − − − +⎣ ⎦

( ) ( ) ( )31 4 39 1 4 5 7 9 20 7x x x x− ⎡ ⎤+ − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

Finalmente ordenando de acuerdo con las reglas de escritura:

( )( )

( ) ( )4 34 4 3

2

9 5 7 9 4 5 7 9 20 7

9 19 1

x x x x xdydx xx

− − − − −= − +

−−


84

Para verificar que es el mismo resultado que el obtenido en el ejemplo anterior cuando sederivó con la fórmula del cociente, debe efectuarse la suma de fracciones de este últimoresultado sacando común denominador:

( ) ( ) ( ) ( )( )

4 34 4 3

2

9 5 7 9 9 1 4 5 7 9 20 7

9 1

x x x x x xdydx x

⎡ ⎤− − − + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦=−

( ) ( )( ) ( )

( )

3 44 3 4

2

4 5 7 9 20 7 9 1 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdydx x

− − − − − − −=

−


85

EJERCICIO 11 (Áreas 1, 2 y 3)

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1) 2)( )( )2 26 11 9 5 13 21y x x x x= + − − + ( )( )3 4 27 3 5 11y x x x x= − + − +

3) 4)( )( )5 4 27 7 4 4 17y x x x x= + − + ( )( )6 3 36 2 8 9 7y x x x x x= − + +

5) 6)( )( )2 26 18 19 5y x x x x= − − + −7 5 33 2 2 9

8 7 11 19x x x xy

⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

7) 8)( )7 23 6 6 4 11y x x x= − + − ( )52 24 2 7y x x x= + −

9) 10)5 4 7y x x= + ( )72 3 233 2 3 6 9y x x x x= + − −

11) 12)( ) ( )116 5 5 8y x x= − − ( ) ( )5 42 271 1y x x= − +

13) 14)( )87 595 5 3y x x= − ( ) ( )75 24 7 5 8y x x x= + − +

15) 16)5

7 11xyx x+

=−

5 115 11

xyx−

=+

17) 18)2

3

95

xyx x−

=+ 57 6

xyx

=−

19) 20)43 7x xy

x+ −

= 2

11

xyx+

=+

21) 22)( )8

66 7

xyx

=−

( )4

2

2 35x

yx+

=


86

23) 24)( )53 2

3

7

11

x xy

x

−=

( )

2

7

62 9

x xyx

+=

+

25) 26)1

xyx

=− 2

2xyx x

=+

27) 28)7

3 2 1xyx

=+

( )( )

42

32

7 9

7 9

x xy

x x

− +=

+ −

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