cálculo: aplicaciones de la derivada

8/6/2019 Clculo: Aplicaciones de la derivada

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Aplicaciones de derivadas:anlisis de funciones

Como el mismo ttulo est diciendo, vamos a analizar funciones. Como sabrn, lasfunciones son modelos matemticos de alguna situacin que ocurre en la vida real. Porejemplo, si la situacin es que el sueldo de una persona vara a medida que transcurre eltiempo, entonces, esta situacin es la que uno puede modelizar con una funcin querelaciona el sueldo con la variacin del tiempo. Usamos letras para indicar a las variables,la variable independiente de este problema es el tiempo, entonces digo, le llamo S[$] alsueldo que vamos a medirlo en pesos y ser igual a una funcin que depende del tiempo

$ = ; :supongamos que tenemos los siguientes datos donde al tiempo lo medimos en meses y alsueldo lo medimos en pesos:

t (meses) S[$] (Pesos)0 150

12 200

24 180

36 300

Entonces, si uno hace un anlisis muy simple de lo que ve en esa tabla, ven que hayuna funcin donde el sueldo es la variable dependiente, comenz con un sueldo de $150,00, al ao hubo una variacin con un aumento de $ 50,00, a los 24 meses su sueldodisminuy $ 20,00 y vemos que hubo otra variacin, y, finalmente, a los tres aos hubootro aumento y fue de $ 120,00. Lo que nosotros aprenderemos es cmo se puede analizaresto de crecimiento y decrecimiento de los valores de una funcin pero usandomatemticas. Otra cosa que nosotros podemos ver es, si a esa funcin la podramosrepresentar en forma grfica, a lo mejor el grfico sera:


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Sueldo en funcin del tiempo

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

50

100

150

200

250

t

S[$]

(0,150)

(12,200)

(24,180)

(36,300)

Si uno hace una lectura del grfico ser exactamente, o debera coincidir, con lo queanticipamos mirando los valores de la tabla. Vemos, por ejemplo, esa variacin decrecimiento de los valores de la funcin de 150 a 200, vemos una disminucin del sueldode los valores del sueldo entre el mes 12 y el mes 24, y a partir del mes 24 volvemos a verun crecimiento y entonces, lo que podemos decir, mirando la tabla, lo podemos corroborarsi tenemos la grfica de la funcin. Entonces, fijmonos qu pasa si yo tomo el anlisis delo que pasa en 6 (seis)? Vamos a considerar un entorno, que es tomar un intervalo que tiene

como centro, en nuestro caso, al 6 (seis) que lo llamaremos .


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No importa el radio, tomemos simplemente un entorno con centro en 6 (seis) y

vamos a hacer la lectura si yo tomo un valor del tiempo menor a y uno mayor perosiempre dentro del entorno,

entonces, analicemos en el grfico qu nos dice el grfico con respecto a los valores del

sueldo que hay para los valores del tiempo a la izquierda de ? Ese valor que est a laizquierda de

es evidentemente menor, y si yo tomo un valor que est a la derecha,

evidentemente ahora ese valor es mayor. Entonces, eso que estoy viendo ah, es paradecirme que en hay un crecimiento en esa funcin. Por tanto, si nosotros queremos versi en un valor determinado la funcin es creciente o no, tomo un entorno y analizo lo quepasa, con la funcin, en ese entorno.

Vamos a tomar ahora otro punto de la funcin, por ejemplo 18 (dieciocho)

y

nuevamente tomamos un entorno tomando valores de la izquierda y de la derecha ycomparamos estos dos ltimos valores con el valor en 18 (dieciocho)

Si ; 6 ; 6

entonces es creciente


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El valor del sueldo en un tque se encuentra a la izquierda de es mayor que en y cuando tomamos un tque se encuentra a la derecha de es menor que en , entonces,esto es lo que debe cumplirse para decir que en la funcin es decreciente.

Ahora, qu pasa si se nos ocurre hacer el estudio en un valor de = 12? Otra vezconsideremos un entorno con centro en 12 (doce).

Si ; 18 ; 18

entonces es decreciente


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Vemos que al tomar un ttanto menor como mayor a = 12, el valor del sueldo esmenor que = 12, cuando ocurre eso decimos que en = 12 hay un mximo relativo.Decir que en = 12 hay un mximo relativo, es equivalente a decir que el valor de lafuncin en = 12 es un mximo relativo de.

Un anlisis parecido se puede hacer si observamos lo que pasa en = 24,tomando, como siempre, un entorno con centro en 24 (veinticuatro). Vamos a observar loque sucede en la funcin en un y en un .

Si ; 12

; 12 en hay un mximo relativo 12 es un mximo relativo

de


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6

Y ahora observamos que, con respecto a = 24, los valores de ta su alrededor sonmayor y cuando ocurre eso decimos que en = 24 hay un mnimo relativo de la funcin,o dicho de otra forma, es un mnimo relativo de.

Osea que tambin, adems de ser creciente o decreciente una funcin, puede tener,en algunos valores de su dominio, valores que denominamos mximos de la funcin omnimos de la funcin.

Otra cosa que podemos tambin analizar de la funcin es, vamos a suponer que parael dominio de nuestra funcin tomamos un intervalo cerrado 0; 36. Entonces, si yocomienzo a ver los valores

En 0;36

0 150; 12 200; 24 180; 36 300

Es posible establecer, de todos estos valores, cul es el mnimo de todos y cul es el

mximo de todos los valores. Entonces, qu podemos decir? 0 150 es el menorvalor comparado con 12 200, 24 180 y 36 300, y el mayor valor es36 300. En esos casos, el menor valor de todos se llama mnimo absoluto y el

Si ; 24

; 24 en hay un mximo relativo

24 es un mximo relativode


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mayor valor de todos se llama mximo absoluto se ve que no coincidieron con elmnimo y mximo relativo? dio otro valor.

El mximo valor absoluto=300El mnimo valor absoluto=150

Tenamos un mximo relativo en 12 porque el anlisis que hicimos fue alrededorde un valor preciso. En cambio, yo ahora estoy tomando todo el conjunto, estoy tomandotodo el dominio de la funcin, y ah comienzo a analizar el mximo valor y el mnimo valorque son absolutos. Ahora, se dieron cuenta que para establecer el mximo absoluto y elmnimo absoluto tuvimos que analizarlo en su dominio? Eso es lo que hay que hacer, si unoquiere saber cul es el mnimo y cul es el mximo absoluto, tiene que tener en cuenta cules el dominio de la funcin. En este caso, si yo digo que la funcin est definida en este

intervalo 0;36, este es el dominio.Entonces, qu hicimos ac? vimos qu podemos analizar de una funcin ya sea siconocemos su grfico o valores. Entonces, estuvimos hablando de funcin creciente,funcin decreciente, estuvimos hablando de mximos relativos y mnimos relativos, y demximos y mnimos absolutos. Bueno, todo eso ahora, lo que vamos a aprender es a cmolocalizar de manera formal, matemticamente hablando, dnde la funcin tiene un mximo,donde la funcin tiene un mnimo, pero usando matemticas.

Supongamos que tenemos la funcin = , su dominio es Df y un punto Cperteneciente a Df.

= ,

Entonces, lo mismo que definimos anteriormente con la otra funcin del sueldovamos a definir para esta funcin.

Se acuerdan el grfico de la funcin sueldo?

Si < ; < > ; > entonces es creciente en

C.

Si < ; > > ; < entonces es decreciente enC.


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Sueldo en funcin del tiempo

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

50

100

150

200

250

t

S[$]

(0,150)

(12,200)

(24,180)

(36,300)

Hicimos el anlisis en 6 (seis) y vimos que era creciente.

Ahora, si yo en lugar de haber tomado 6 (seis) hubiera tomado 7 (siete), 8 (ocho), 9(nueve) o 6,1 (seis coma uno) todos valores de tse hubiera cumplido la misma definicin?S, osea que hay ms de un punto donde se est cumpliendo la definicin de crecimiento yentonces puedo hablar del crecimiento de una funcin en un intervalo, en el caso del grficoen qu intervalo es creciente la funcin? En los intervalos 0;12 y 24;36 y esdecreciente en el intervalo 12;24. Es decir, yo puedo decir que es creciente en unintervalo ; s y solo s es creciente para todox que pertenece al intervalo ; .


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: es creciente en ; es creciente ; De la misma forma, puedo decir que es decreciente en un intervalo ; s ysolo s es decreciente para todox que pertenece al intervalo ; .

: es decreciente en ; es decreciente ; Hasta ahora no vimos las aplicaciones de las derivadas, simplemente lo que hicimos

fue definir crecimiento y decrecimiento. Dijimos que vamos a usar a las derivadas comoaplicacin para el estudio y entonces, utilizando derivadas, aparece otra definicin que dicesi una funcin es derivable en C, y la derivada en Ces positiva, entonces, la funcin escreciente en C.

Si es derivable en Cy 0 es creciente en CDe lo contrario, aparece otra definicin que dice si una funcin es derivable en C, y

la derivada en Ces negativa, entonces, la funcin es decreciente en C.

Si es derivable en Cy < 0 es decreciente en CEstos son teoremas que tienen sus demostraciones que no las vamos a desarrollar.

Lo importante es ver cmo yo utilizo de herramientas a las derivadas para decidir si unafuncin es creciente o no. Lo que vamos a hacer ahora es tomar un ejemplo completo y

vamos a analizar si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes aplicandoderivadas.

a) = 3 + 1

f(x)=(3x+1)^(2/3)

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

x

y


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Qu hay que a hacer entonces? Vamos a derivar porque justamente el signo de laderivada es la que nos va a decir si la funcin crece o decrece. La derivada, entonces, nosda

= 23 3 + 1 3 = 23 + 1

Primero, antes de analizar ciegamente, siempre conviene saber cul es el dominio dela funcin dada porque esto ayuda mucho a saber dnde voy a hacer el anlisis.

= Entonces, con este dominio, es posible que la funcin sea creciente en todo su

dominio, decreciente en todo su dominio o que haya algunos intervalos donde la funcincrece y otros donde la funcin decrece. Nosotros ya tenemos la expresin de la derivada yla vamos a utilizar para definir si la funcin es creciente o decreciente. En primer lugar, lavamos a obligar a que sea mayor a cero.

> 02

3 + 1 > 0

Qu tiene que suceder para que esta derivada sea mayor a cero? El denominadortendr que ser mayor a cero.

3 + 1 > 0 > 0

13

> 13

Por tanto, todos los elementos del dominio que cumplan con esa condicin hacenque la funcin sea creciente.


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f(x)=(3x+1)^(2/3)

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

x

y

Obliguemos a que la derivada sea negativa.

02

3 + 1 < 0

Qu tiene que suceder para que esta derivada sea menor a cero? El denominador

tendr que ser menor a cero.

3 + 1 < 0 < 0

13

< 13

Por tanto, todos los elementos del dominio que cumplan con esa condicin hacenque la funcin sea decreciente.


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f(x)=x^(1/3)

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Cul es el dominio de la funcin?

= Hallemos su derivada.

= 1

3

Qu hacemos si yo quiero ver si la funcin es creciente o decreciente? Tomamos laexpresin de la derivada y vemos qu signo tiene para los diferentes valores de x. Ahorahace falta plantear las dos condiciones para saber si la funcin es creciente o decrecienteen este ejemplo? No, porquex est elevado al cuadrado. No analizaremos la derivada en 0(cero) porque en ese punto no es derivable, pero si tomamos cualquier valor dex distinto de

0 (cero), vamos a ver que la funcin siempre es creciente. Por tanto, puedo decir que es creciente para todos los elementos de su dominio, es decir para cualquier nmero real.

Con este ejemplo podemos ver cmo, dependiendo de la funcin, uno tiene queanticiparse ante lo que est sucediendo.

Otra cosa que nos permite analizar la derivada de una funcin es a lo que llamamoslos puntos crticos de la funcin.

Puntos crticos

es creciente


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Los puntos crticos son puntos del dominio de la funcin donde pueden tenermnimos o mximos relativos o absolutos.

Si yo tengo una funcin

= y tomo un punto que pertenezca al dominio

, yo tendr en Cun punto crtico s y solo s la derivada ah es igual a 0 (cero) o sino existe.

Sea = y ; en Chay P.C. = 0 Podemos agregar un poco ms a esto. Tambin si la funcin est definida en un

intervalo cerrado ; , los extremos tambin son puntos crticos.

Si est definida en ; ; a y b son P.C.Entonces, con esto estamos dando la definicin.Lo que vamos a hacer ahora es tomar los ejemplos anteriores y analizar cules son,

si tienen, los puntos crticos de las funciones.

a) = 3 + 1

f(x)=(3x+1)^(2/3)

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

x

y

= 23 + 1

Qu hacemos? Con la derivada vemos qu condicin se cumple para ver si hay, o

no, puntos crticos. Puede esta derivada = ser igual a cero? Nunca, porque elnumerador es una constante distinta de cero, por tanto la primera condicin no se cumple.


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= 23 + 1 0

Se cumple la segunda condicin? en qu punto no est definida la derivada? En

= , por tanto ah hay un punto crtico.

= es P.C. de

f(x)=(3x+1)^(2/3)

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

x

y

b) = = 13

Nuevamente, puede sta derivada ser igual a cero? No, entonces busquemos en qupunto la derivada no est definida.

3 0 0

Entonces, esta funcin tiene un punto crtico en = 0.

0 = 0 es P.C. de


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f(x)=x^(1/3)

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Vayamos con otro ejercicio.

c) = 9 2 Cul es su dominio natural? Todos los reales , veamos cules son sus puntos

crticos.

= 2 2Fijmonos que la derivada es una funcin polinmica y est definido su dominio en

todos los reales , por tanto no va a haber puntos crticos donde la derivada no estdefinida. Igualemos la derivada a cero para ver cul es el punto crtico.

= 02 2 = 0

= 1

1 = 0 = 1 es P.C. ded) = 9 2

En este ejercicio tomamos la misma funcin, = 9 2 , pero definida enel intervalo 2;1. Entonces, cuando se dice as, hay que entender que cambia el dominio,ya no estoy trabajando con el dominio natural de la funcin, tengo un subconjunto que es elintervalo 2;1 y es cerrado.

Cules son los puntos crticos? = 1 porque1 = 0, y = 1 y = 2porque son los extremos del intervalo.


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Extremos relativos(mximo; mnimo)

Cuando hablamos de los extremos nos estamos refiriendo a los mximos y mnimosde una funcin. Supongamos que tenemos una funcin cualquiera y presenta unarepresentacin grfica de este tipo:

Entonces podemos decir que en algn punto de su dominio tendr un mximo valor.

Entonces, supongamos que sea un valor particular del dominio


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Y hacemos valer la definicin siguiente: si para todox del entorno con centro en C

es menor que, significa que en = hay un mximo relativo.

; en = hay un mximo relativoDe lo contrario, supongamos que tenemos una funcin cuya representacin grfica

es:


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Y tomamos un entorno con centro en C,

Vemos que para todox que pertenece al entorno las imgenes de la funcin, ,son mayor que. Cuando ocurre esto decimos que en = hay un mnimo relativo de

.

; en = hay un mnimo relativo deCmo hallar los mximos y mnimos relativos usando las derivadas de las

funciones? Vamos a ver diversos mtodos, que se llaman mtodos analticos, porquejustamente sacamos la conclusin del anlisis que hacemos. En primer lugar, hay queconocer lo que dice un teorema que se llama teorema de Fermat

Teorema de Fermat

Este teorema dice que si una funcin tiene en un punto Cun extremo relativo,entonces ese punto es un punto crtico de la funcin. Este teorema nos est dando, entonces,una pista, la pista es que hay una relacin entre puntos crticos y extremos relativos. Ahora,


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fjense, el enunciado dice si esto ocurre, entonces en matemticas es como unaconstruccin que lleva a una implicacin. Es bueno ir aprendiendo a que si yo a esta frase ladoy vuelta, estara diciendo el enunciado de la siguiente forma si en un punto una funcin

tiene un punto crtico, entonces la funcin en ese punto tiene un extremo. Lo queacabamos de hacer es enunciar el teorema recproco del teorema de Fermat, pero esteteorema no siempre es verdadero. Es decir, asegurar que en un punto Chay un punto crticono significa asegurar que en ese punto Chay un extremo relativo, en cambio, asegurar queen un punto Chay un extremo relativo s significa asegurar que en ese punto Chay unpunto crtico. Bueno, basndonos en este teorema de Fermat, vamos a buscar la manera deresponder la pregunta que habamos hecho cmo hallar los mximos y mnimos relativosusando las derivadas de las funciones?

Los mtodos se suelen llamar criterios, entonces vamos a ver los criterios paradeterminar los extremos relativos de una funcin usando derivadas:

1 Criterio: Signo de en un entorno de CVamos a tomar otra vez un entorno con centro en C.

; Si yo escribo de esa forma estoy hablando de los valores del intervalo que

estn a la izquierda de C. Cuando analizamos la derivada primera, vamos a analizarlos valores de la izquierda de C, entonces vamos a suponer que la derivada de la funcinpara losx que estn a la izquierda de C, en todos los casos, nos dan signo positivo. Por otra

parte, six

est a la derecha deC

, veo que las derivadas son todas de signo negativo.

; ; 0 > ; < 0Si ocurren estas dos condiciones, vamos a decir que el valor de la funcin en Ces

un mximo relativo. Por qu se da esto? Bueno, analicemos lo siguiente, se acuerdan conqu estaba asociado el signo de la derivada de una funcin? Con el crecimiento odecrecimiento, entonces, yo digo ac est C:

a la izquierda de C, si ocurre lo que dijimos, es creciente.


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Y a la derecha de C, si la derivada es negativa, entonces la funcin decrece.

Entonces, no queda otra que en C, que es el punto donde se produce el cambio decrecimiento a decrecimiento, decir que es el mximo relativo de la funcin. Por tanto, yopuedo decidir si hay un mximo tomando un entorno y viendo que se cumpla la condicinque acabamos de plantear.

De la misma forma, cmo puedo ver si hay un mnimo relativo? Cuando tome unx

de la izquierda,

y vea que es negativa.

Y que al tomar valores dex que estn a la derecha de C, la derivada sea positiva.

Entonces, si ocurre eso, es un mnimo relativo.; ; 0 > ; > 0

Esto tambin puede significarse, geomtricamente, que cuando la funcin crece esporque la pendiente de la recta tangente es positiva,


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cuando la funcin decrece es porque la pendiente de la recta tangente es negativa


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y cuando estamos en un extremo es porque la pendiente de la recta tangente es 0 (cero).

2 Criterio: Signo de en = Qu vamos a hacer? Vamos a analizar el signo de la derivada segunda de la

funcin pero en = . Entonces, si la derivada de la funcin en Ces igual a 0(cero), y cuando volvemos a derivar, es decir, , la derivada es positiva, entonces, en = hay un mnimo relativo. En cambio, si la derivada de la funcin en Ces igual a 0(cero), y cuando volvemos a derivar, es decir, , la derivada es negativa, entonces, en = hay un mximo relativo.

Si = 0 y > 0 en = hay un mnimo relativo.Si = 0 y < 0 en = hay un mximo relativo.

Bueno, esto tambin tiene su demostracin formal, porque es un teorema, peronosotros en lugar de hacer la demostracin vamos a, ms vale, analizarlo utilizando lo quesabemos. Entonces, vamos a tomar esta ltima < 0 cmo es la funcin si yoestoy diciendo que su derivada es negativa? A ver, si yo tengo un funcin , cuandoderivo esa funcin obtengo otra funcin, si analizo lo que pasa en un punto y esaderivada es negativa, qu decamos de la funcin? que decrece. Entonces, ahora, lapregunta es la misma cmo es la funcin si yo estoy diciendo que su derivada esnegativa? entonces es decreciente.

Como < 0 es decrecienteSi hacemos el grfico de la derivada y tomamos el valor de Cpor lo que dice el

teorema, = 0 y entonces, cuando voy a dibujar el grfico de la derivada, la derivada


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tiene su raz en C. Si la funcin es decreciente, entonces el grfico va a tener que tener unaforma como esta:

Pero el grfico que hicimos ac de quin es? de , entonces fjense que laderivada a la izquierda de Ctiene imgenes que son positivas y a la derecha son negativaspor qu? porque a la izquierda sus imgenes estn por arriba del eje y a la derecha susimgenes estn por debajo del eje, por tanto, su derivada est pasando de positiva anegativa alrededor de Cse est cumpliendo alguna definicin que dimos antes? cul? elprimer criterio:

; ; 0 > ; < 0Eso significa que hay un mximo relativo, eso dice el teorema.

Ejercicio 5

Decidir qu criterio conviene para localizar los extremos relativos en los ejemplos1), 2) y 3).

Ejemplo 1

= 3 + 1

= 23 + 1


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f'(x)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Entonces, ahora, si analizo el dominio de ,

= 13

en qu punto no existe? en = , por tanto ac tenemos un punto crtico.

13Si una funcin no est definida en un punto, su derivada va a estar definida?

Tampoco, porque ese punto ya no pertenece al dominio y entonces tenemos que no va a

existir .

13

13

Por lo tanto, ahora viene la respuesta, no es conveniente utilizar el segundo criterioporque no existe. Y entonces, con el primer criterio, llegamos a que

13 ; < 13 ; < 0 >

13 ; > 0

Y con el primer criterio decimos que hay un mnimo relativo en = .


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Ejemplo 2

=

= 13

f'(x)

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

= 0Cul es el punto crtico de la funcin? = 0 porque es donde la derivada no

existe y eso significa que la derivada segunda tampoco va a existir. Entonces,descartamos el segundo criterio y de nuevo tomamos un entorno con centro en 0 (cero) ycon el primer criterio:

0; < 0 > 0 > 0; > 0Y la conclusin que sacamos es que en = 0 no hay extremos.

Ejemplo 3

= 9 2


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f(x)

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

10x

y

= 2 2 =

f'(x)

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

x

y

En este caso cul es el punto crtico? = 1 que es donde = 0, cul es suderivada?

= 2


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Digamos que es ms conveniente el segundo criterio porque es fcil sacar laderivada segunda de la funcin. Y como vemos que para cualquier valor de x la derivada

segunda va a ser negativa, decimos que en

= 1hay un mximo relativo.

cálculo: aplicaciones de la derivada

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