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UCINF Universidad de Ciencias de la Informática Escuela de Ingeniería Carrera de Ingeniería de Ejecución en Informática

Matemática II Profesor: José Daniel Munar Andrade

“Este apunte ha sido desarrollado para proveer a las clases de Matemáticas II de la Carrera de Análisis de Sistemas de un apunte base para las sesiones del Curso de Verano 2004 de la disciplina”

1. Matrices

2. Números Naturales Sumatorias, Binomio, Inducción 3. Geometría Analítica

4. Trigonometría

Semestre Verano 2004

UCINF Universidad de Ciencias de la Informática

Ing. De Ejecución en Informática

Matemática 2 Verano 2004 2 Profesor: José Daniel Munar Andrade

1. Matrices 1.1. Definiciones. Definición: una matriz sobre el cuerpo de los números reales es un ordenamiento rectangular de números denotado por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

amnaa

aaaaa

A

mm

n

................

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................

21

2221

11211

donde njmiIRaij ,....,2,1,...,2,1, ==∈ . La i - esima fila de A es ( )inii aaa ............21 con mi ≤≤1 . Mientras que la j - esima columna de A es:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mj

j

j

a

aa

.

.

.2

1

con nj ≤≤1 . si una matriz A posee m filas y n columnas, diremos que A es una matriz de orden m por n )( nm × . Si nm = , se dice que la matriz A es una matriz cuadrada de orden n y que los elementos nnaaa ,....., 2211 forman la diagonal principal de A . Y nos referimos a los elementos ija como las entrada ),( ji de la matriz A con lo cual podemos escribir:

A )( ijnm aA == × . El conjunto )(KM nm× denota el conjunto de todas las matrices de orden nm × sobre el cuerpo K( IR= o C) . si nm = )(KM n denota el conjunto de las matrices cuadradas de orden n sobre el cuerpo K .




Definición: dos matrices nmA × Y qpB × son iguales si y solamente si qnpm == , y

njmiba ijij ,...,2,1;,...,2,1, =∀=∀= . Ejemplo: observe que en cada caso los pares de matrices dados son diferentes:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

≠⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1231

001231

, ya que los ordenes son diferentes, mientras la primera

matriz posee orden 3x2 la segunda matriz posee orden 2x2.

b) BA =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −≠⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

432010

432011

, ya que los elementos 11a Y 11b son

diferentes. Ejemplo: determine cba ,, y d si existen de manera que en cada caso las igualdades sean validas.

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+2113

2122

abaa , en )(2 IRM .

b) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−

1623

1212 cdc

dcc , en )(2 IRM .

c) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−++

dbca

cbabaa

221

212 22

, en )(2 IRM .

Solución:

a) ab

aaab

aa

abaa

+=−=+

⇒

=+=−=−−=+

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+1)2(

32)1(

221

1132

2113

212 2

2

2

.

De la ecuación (1) vemos que una solución es 21 ia +−= , con lo cual ∈ba, C así la igualdad no es posible en )(2 IRM .




b) si 12)3(

2)2(31)1(

1623

121

22

=+==+−

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−

dccd

ccc

dcdcc

de (2) y (3) obtenemos que 65

=c , pero este valor no satisface la ecuación (1).

Con lo cual deducimos que no existen cba ,, y d números Reales para que la igualdad sea valida.

c)

( ) 221021

2421)3(

)2(12)1(

221

212

22

22

=

−=

=

=

⇒

==−=++

+=++

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−++

d

cb

a

dcbcba

abaa

dbca

cbabaa

.

1.2. Matrices Especiales. Definición: definimos la matriz nula o matriz cero por la matriz que posee todas sus entradas cero, la cual denotamos por 00 =×nm . Ejemplo:

a) 200000

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ . B) 430000000000000

×=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛.

Definición:(Matriz Diagonal) sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es una matriz diagonal si y solo si 0=ija para ji ≠ . Ejemplo:

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100000001

A b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0000

B c)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

4000030000200001

C

Definición: llamamos matriz identidad o unitaria de orden n a la matriz diagonal de orden n definida por




⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

1......00...

.

.

.0......10......01

nII

Definición: (Matriz Triangular Superior e Inferior) Una matriz )()( IRMaA nij ∈= se denomina matriz Triangular Superior si jiaij >∀= ,0 , analogamente diremos que )()( IRMaA nij ∈= es una matriz Triangular Inferior si jiaij <∀= ,0 . Ejemplo:

a) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

300000321

matriz triangular superior.

b)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0200000000000001

matriz triangular inferior.

1.3. Operaciones entre Matrices. Las operaciones entre matrices producen nuevas matrices a partir de las matrices dadas. Definición:(Adición) sean )()(),( IRMbBaA mnijij ×∈== definimos la suma entre A y B por:

( )ijijijijij bacbaBA +==+=+ )()()( . Observe que la suma de matrices solo esta definida entre matrices de mismo orden.




Ejemplo: sean ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=4123211

,210321

BA entonces

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=+6220232

4123211

210321

BA .

Teorema: ( )+× )(IRM mn es un grupo abeliano, es decir la suma es asociativa, conmutativa, existe elemento neutro y existe elemento inverso. Definicion: sean )()( IRMaA mnij ×∈= y IRk ∈ definimos el producto de un escalar k por la matriz A por:

)()( ijij kaakkA == .

Ejemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−420642

210321

)2( .

Definición:(Multiplicación de Matrices) sean ( ) ( )IRMaA nmij ×∈= y

( ) ( )IRMbB pnij ×∈= definimos el producto de A y B por:

( ) ( ) ( )pmijpnijnmij cbaAB

×××==

donde

∑=

=n

kkjikij bac

1 pjmi ,...,2,1.,...,2,1 == .

Ejemplo: sean ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

123452

,413121

BA entonces

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

16624

123452

413121

AB .

Observación: el producto de matrices no es conmutativo.




Ejemplo: consideremos ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000001000

,000001001

BA entonces

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=≠

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000001000

000001001

000001000

000000000

000001000

000001001

BAAB .

Definición: si A es una matriz cuadrada de orden n y ∈k N , definimos las potencias de la matriz A por

1

0

−=

=

kk

n

AAA

IA

Ejemplo: sea ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0101

A determine 3A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1301

1201

1101

1201

1101

1101

23

2

AAA

A

Definición: sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es Idempotente si AA =2 . Definición: sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es Nilpotente si existe ∈k N ,

tal que 0=kA . Definición: sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es Involutiva si nIA =2 .




Ejemplo: sean ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1011

,010000010

,0001

CBA observe que:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0001

A es Idempotente.

b) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

010000010

B es Nilpotente de orden dos ya que 02 =A .

c) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

1011

C es Involutiva.

Definición:(Matriz Traspuesta) Sea )()( IRMaA nij ∈= , definimos la traspuesta de

A por tA ( ) ( )IRMb mnij ×∈= donde

jiij ab = . Es decir la traspuesta de una matriz A se obtiene a partir de A intercambiando las filas por las columnas de A . Ejemplo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

10751150231

10127153501

1046351

1065431

t

t

AB

AA

Teorema: sean ( )IRMBA nm×∈, y IRk ∈ entonces a) ( ) AA tt = . b) ( ) tt kAkA = . c) ( ) ttt BABA +=+ d) ( ) ttt ABAB =




Definición:(Traza) sea )()( IRMaA nij ∈= definimos la traza de A por

∑=

=n

iiiaATr

1

)( .

Teorema: sean ( )IRMBA n∈, y IRk ∈ entonces a) )()( AkTrkATr = . b) )()()( BTrATrBATr +=+ . c) )()( BATrABTr = . Definición:(Matriz Simétrica) sea ( )IRMA n∈ diremos que A es Simétrica si

tAA = . Definición:(Matriz Antisimétrica) sea ( )IRMA n∈ diremos que A es Antisimétrica si AAt −= . Proposición: dada ( )IRMA n∈ existe una descomposición única de A como la suma de una matriz simétrica con una matriz antisimétrica, tal descomposición es:

876876 icaantisimetr

t

simetrica

t AAAAA22−

++

=

Ejemplo:

AAA t =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

3363662321

3363662321

, entonces A es simétrica.

AAA t −=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

063602320

063602320

, entonces A es antisimétrica.

Observación: note que si una matriz es antisimétrica los elementos de su diagonal están obligados a ser ceros.




Definición: sea ( )IRMA n∈ diremos que A es ortogonal si IAAAA tt == .

Ejemplo: sea

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

94

91

98

97

94

94

94

98

91

A es ortogonal.

Definición: sea ( )IRMA n∈ , diremos que A es Normal si AAAA tt = . Observación: note que si ( )IRMA n∈ es simétrica, antisimétrica u ortogonal entonces obviamente es normal. Sin embargo no todas las matrices normales son de los tipos de matrices ya mencionados.

Ejemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

6336

A es normal.

Teorema: sea ( )ℜ∈ 2MA una matriz normal entonces a es simétrica o bien la suma de una matriz escalar y otra antisimétrica.




Ejercicios. 1. Dadas las siguientes matrices:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

415653122

4312

312765422

182310

403212

ED

CBA

calcular si es posible:

( ) ( )tt ECAEACECAABDDADABBAABDCBCE ++++++ ,,,,,,,,, 2 2. Resolver la ecuación matricial para ( )IRMX 2∈ ; 22 BAAX t +=+ , donde:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2113

;0112

BA .

3. Si A =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2 1 10 2 22 1 0

y B =−−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 1 12 2 01 0 1

, determine la matriz X en la siguiente

ecuación matricial: [ ]AX B A Xt t t− = + . 4. Resuelva la siguiente ecuación matricial, de acuerdo a los diversos valores de

la constante a:

Xa

aaa a⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11

1 (donde X es una matriz cuadrada de orden 2).

5. Si A =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 01 0 10 1 0

, demuestre que A nA n In2 231= − −( ) ; ∀ ∈n IN . Calcule A30 .




6. Encuentre An , en función de n, si A =− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

4 2 22 2 21 1 1

.

7. Demuestre que, en general, para dos matrices A, B cuadradas del mismo

orden, se tiene que: ( )( )A B A B A B− + ≠ −2 2 . 8. Suponga que A y B son dos matrices cuadradas de orden n, invertibles y tales

que A + B también es invertible. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones matriciales, con X e Y son matrices cuadradas de orden n:

AX BX AYB A B I OAX BX AYB I A B O

+ + − − − =

+ − − + + =

2 2

2 23 3 2 3 2 2

9. Dada la matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

111111111

A deduzca una formula para nA .

10. Si ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

123410542

;5223

;312514313

;231201

;412321

EDCBA

a. Calcular si s posible: C+E; AB; 2C-3E; CB+D; AB+DD. b. Si es posible calcular: ABD; A(C+E); CB+D+E; 23A+2A.

c. A t ; (AB) t ; B t A t ; (C+E) t ; C t +E t .

11. Determinar ℜ∈wzyx ,,, tales que ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

421

63

wzyx

wx

wzyx

.

12. Sea ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

6321

A determinar una matriz B de orden 32 × con entradas distintas

tales que 0=AB .

13. Sea ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=3421

A determine )(Af donde 542)( 3 +−= xxxf .




14. Sea ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=3431

A . Determinar una matriz de orden 12× no nula, B , tal que

BAB 3= .

15. Sea ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=5125152321

A , determinar todas las matrices columnas u tales que

0=Au .

16. Determinar todas las matrices de orden dos ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

tzyx

M que conmutan con

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1011

.

17. Determinar ℜ∈tsyx ,,, si existen de tal modo que

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

tss

y

x

A31

32

32

32

sea

ortogonal.

18. Demuestre que si ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dcba

A es ortogonal entonces 122 =+ ba .

19. Determinar todas las matrices de orden dos que conmuten con ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2011

.

20. Determine ( )IRMBA 2, ∈ distintas tales que 0=AB . 21. Resolver el sistema matricial para ( )IRMYX 2, ∈

( ) INnBYAX

BAYXAtntt

nt

∈=+

=− 24

donde ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=0110

,2323

BA .




22. Encuentre tres matrices de orden dos tales que AB = AC con B ≠ C y A ≠ 0. 23. Sea A una matriz de orden n x m y c IR∈ demuestre que si cA=0 entonces

0 c = o A=0. 24. Sea A [ ]IRM n∈ . Diremos que A es Idempotente si y solo si A 2 = A. Diremos

que A es Nilpotente si y solo si existe Np ∈ tal que A p = 0. Muestre que:

a. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=

321431422

A es Idempotente.

b. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

312625311

B es Nilpotente.

25. Si A=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

121211312

demuestre que 092 23 =−− AAA pero que 0923 ≠−− IAA .

26. Diremos que una matriz A de orden n es Involutiva si A 2 = I. Demuestre que

si A es Involutiva entonces las matrices ½ ( I + A ) y ½ ( I – A ) son idempotentes y que:

( I + A )( I – A )=0




1.4. Matrices Invertibles. Definición: sea ( )IRMA n∈ , diremos que A es invertible si B∃ ( )IRM n∈ tal que

nIBAAB == y diremos que B es la inversa de A y denotaremos 1−= AB . Propiedades: sean ( )IRMBA n∈, matrices invertibles entonces: a) ( ) AA =

−− 11 . b) ( ) 111 −−− = ABAB . c) ( ) ( )tt AA 11 −−

=

Observación: sea ( )IRMA 2∈ una matriz invertible, tal que ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dcba

A entonces

es fácil comprobar que A es invertible si y solo si 0≠− bcad y su inversa es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=−

acbd

bcadA 11 .

Observación: si una matriz A es invertible, esta es llamada habitualmente matriz Regular o No Singular. En lo que sigue de esta sección trataremos de proporcionar las herramientas necesarias para poder determinar cuando una matriz es invertible y si lo es poder determinar su inversa, ya que para matrices de orden 2>n no es tan fácil deducir una formula para la inversa. 1.5 Determinantes La idea intuitiva de determinante de una matriz )(IRMA n∈ es la siguiente. El determinante de A denotado por )det(A o por A , es un numero que pertenece al cuerpo de los números reales. Para matrices de orden dos y tres es fácil calcular su determinante ya que este esta dado por:




a. Si bcadAAIRMdcba

A −==⇒∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= )det()(2 .

b. Si )(2

333231

232221

131211

IRMaaaaaaaaa

A ∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= . Entonces

122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaAA −−−++== .

La expresión obtenida para calcular el determinante de una matriz de orden tres es fácil recordarla por el siguiente algoritmo. Ley de Sarrus 1. Se escriben las dos primeras columnas a continuación de la matriz. 2. Se desarrollan los productos triples según los signos de las flechas del

siguiente diagrama. - - -

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+ + + Para un desarrollo mas general, primero definamos para )(IRMA n∈ la submatriz

ijM , como la matriz de orden )1()1( −×− nn que se obtiene de la matriz A al eliminar la fila i y la columna j.

Ejemplo: sea ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

124112031

A entonces observamos que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

2431

;1211

2311 MM ; etc.




Observación: note que si )(IRMA n∈ entonces podemos formar 2n submatrices de la forma ijM . Estamos en condiciones de definir recursivamente el determinante de una matriz. Definición: sea )()( IRMaA nij ∈= entonces

[ ]

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>−

==

∑=

+ 1)det()1(

)det(

1

1111

nparaMa

aAsiaA

n

jijij

ji

Ejemplo: si ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

312431021

A entonces si escogemos 1=j obtenemos que:

15166494302

23102

3143

)det()1()det(2313

221231

3332

131221

3332

232211

3

1

=+−−=+−=

+−=−= ∑=

+

aaaa

aaaaa

aaaaa

aMaAj

ijijji

Proposición: sean )(, IRMBA n∈ y IRc ∈ entonces a) )det()det( tAA = . b) Si la matriz B se obtiene a partir de la matriz A por un intercambio de filas(o

columnas) entonces

)det()det( AB −= c) Si A tiene dos filas (columnas) iguales entonces 0)det( =A . d) Si A tiene una fila(columna) nula entonces 0)det( =A .




e) Si B se obtiene a partir de la matriz A al multiplicar una fila(columna) por un escalar c entonces )det()det( AcB = .

f) Si B se obtiene a partir de la matriz A al intercambiar la fila(columna) i por la

suma de la fila(columna) i mas c veces la fila(columna) j )( ji ≠ entonces )det()det( BA = .

g) Si A es triangular superior(inferior) entonces el determinante de A es el

producto de los elementos de s diagonal, es decir nnaaaA ⋅⋅⋅⋅= 2211)det( . h) A es regular si y solo si 0)det( ≠A . i) )det()det()det( BAAB = .


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

312431021

A si aplicamos la operación elemental 12F obtenemos la

matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

312021431

B así 15)det()det( −=−= AB .

Proposición: si )(IRMA n∈ es no singular entonces )det(

1)det(A

A = .

1.6 Calculo de Inversas vía Determinantes. Definición:(Cofactor) sea )()( IRMaA nij ∈= el cofactor ijA de ija se define por:

ijji

ij MA +−= )1( , donde ijM es la submatriz ij de la matriz A .


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

217654213

A entonces vemos que




101713

1)1(

.342764

1)1(

2332

23

1221

12

−=−

−=−=

=−=−=

+

+

MA

MA

.

Definición:(Adjunta) sea )()( IRMaA nij ∈= la matriz adjunta de A denotada por

)(AAdj esta definida por

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

AAA

AAAAAA

AAdj

21

22212

12111

)( .


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

301265123

A entonces podemos calcular la matriz adjunta.

286523

)1(12513

)1(102612

)1(

20123

)1(103113

)1(63012

)1(

60165

)1(173125

)1(183026

)1(

633

532

431

523

422

321

413

312

211

=−

−=−=−=−=−

−=

−=−

−=−=−

−=−=−

−−=

−=−==−

−=−=−

−=

AAA

AAA

AAA

así la matriz adjunta es ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−=

282611017

10618)(AAdj .

Teorema: si )()( IRMaA nij ∈= es una matriz regular entonces A

AAdjA )(1 =− .




Ejercicios 1. Calcular los siguientes determinantes:

0301013143211111

.22

2222

.1)()(1)()(1)()(

.

111

...

1000010000240043

.

1122121100000111110012121

.

7625762153424121

.

23

ibaccc

bacbbaacba

hyxyxyxyxyxyx

g

xxxx

fyxyxyxyx

exxxx

d

cba

−−−−

−−

−+−−+−+

+−+

++−

+−−+

−

−−−−

−

2. Determine los valores de la constante a, de modo que el determinante de la

matriz Aa a

a aa

=−

− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 12 11 1 2 1

, sea cero.

3. Encuentre los valores de las constantes “a” y “b” , de modo que la siguiente

matriz sea invertible: Aa b a

ab a b

=−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 0 .

4. Si A =−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

6 2 22 5 0

2 0 7, resuelva la ecuación det( )A xI− =3 0 , donde x es una

variable real.




5. Verifique que a b c a b

c b c a bc a a c b

a b c+ +

+ ++ +

= + +2

22

2 3( ) .( Use Maple)

6. Exprese el determinante de la matriz A

a a bcdb b acdc c abdd d abc

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

2

2

2

2

1111

, en forma

factorizada.

7. Verifique que

aa

aa

a a

++

++

= +

2 3 4 52 3 4 52 3 4 52 3 4 5

143( ) .

8. Sea A

aa

aa a b

=

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 1 11 1 1

1 1 10

, donde a y b son números reales. Exprese el

determinante de A en forma totalmente factorizada y a partir de esto calcule el rango de la matriz A, dependiendo de los valores de las constantes a y b.

9. Encuentre la forma general de las matrices cuadradas de orden 2, tales que

det( ) det( ) det( )A B A B+ = + , donde A =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 11 1

.

10. Sea A =

−−

−− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

. Demuestre que A A AA It t= = 4 4 y a partir de ésta

relación deduzca la inversa de la matriz A.




11. Calcule A A A A n− − − −+ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +1 2 3 , en función del número natural n, si

A =−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 01 1 .

12. Calcule los siguientes determinantes, usando propiedades

2100122001210012

,

3520202114320221

−−−

−−−

−−−−

13. Calcular el determinante de

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0111101111011110

4A . Determinar los determinantes

de las matrices 32 , AA , con ceros en la diagonal y unos en las demás posiciones.¿ puede determinar el valor de nA ?

14. Sean A, B )(ℜ∈ nM tales que | A | = 5 y | 4AB | = | B −1 | calcule | B |.

15. Dada la matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

101012301

A determine los valores de k tal que 0=− kIA .

16. Determine sin son validas las siguientes igualdades

a) 0111111111

=−−−

b) 0010321301

=−−

c) 032

32

32

=zzzyyyxxx




d) 111111

1

111111 2

xzxyx

xzyx

−=−

17. Resuelva las siguientes ecuaciones

a) 00

00

=xx

xxxx

b) 0=bxbmmmxaa

c) 212310211 2

=−

−xx

1.7. Sistemas de Ecuaciones. En esta sección resolveremos sistemas de ecuaciones con las herramientas expuestas en las secciones anteriores. Consideremos los siguientes sistemas:

3333232131

3323222121

1313212111

22222121

1212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

bxaxabxaxa

=++=++=++

=+=+

(1)

observe que (1) es equivalente al sistema matricial

bAX = (2)

donde ( )IRMaA ij 2)( ∈= , ( )IRMx

xX 12

2

1

. ×∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= y ( )IRM

b

bb 12

2

1

. ×∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= y .

( )IRMaA ij 3)( ∈= , ( )IRMxxx

X 13

3

2

1

×∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= y ( )IRM

bbb

b 13

3

2

1

×∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= respectivamente.

La matriz ( )IRMaA nmij ×∈= )( se denomina matriz asociada al sistema. Observación: los sistemas dados en (1) poseen solución si y solo si las matrices asociadas al sistema es una matriz invertible.




Método de Crammer. Si un sistema de orden dos de la forma

2222121

1212111

bxaxabxaxa

=+=+

posee solución, dicha solución esta dada por:

ΔΔ

=ΔΔ

= 22

11 , xx

donde

221

1112

222

1211

2221

1211 ,,baba

abab

aaaa

=Δ=Δ=Δ

Análogamente Si un sistema de orden tres de la forma

3333232131

3323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

=++=++=++

posee solución, dicha solución esta dada por:

ΔΔ

=Δ

Δ=

ΔΔ

= 33

22

11 ,, xxx

donde

,,,,

33231

22221

11211

3

33331

23221

13111

2

33323

23222

13121

1

333231

232221

131211

baabaabaa

abaabaaba

aabaabaab

aaaaaaaaa

=Δ=Δ=Δ=Δ

Ejemplo: determine si el siguiente sistema posee solución:

342

21

21

=+=+

xxxx

Solución




23142

,11314

11112

21 ==Δ==Δ

⇒==Δ tanto lo por solucion posee sistema el

de donde se tiene que la solución esta dada por:

2,1 22

11 =

ΔΔ

==ΔΔ

= xx




Ejercicios.

1. Obtener A 1− si A=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

814312201

.

2. Encuentre las inversas de :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

14145432 522 5 632 3 42

4 1 32 11 2 132 3 1 2 11 2

,541431331

CyBA

3. Encuentre una matriz P no-singular tal que PA = B, donde:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1 12 2 1 112 1

421134432

ByA

4. Encuentre la inversa de:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4121031200210001

T

5. Determine en cada caso 1−A , si existe.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4532 0314 00230001

,001013101

,2112

CBA

6. Para las matrices ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

01 2211

1102 21

ByA

Calcule ( ) ttttttt BBAABAABAB , , , ,




A y B son matrices no singulares tales que ( ) ( ) ( ) IABABBA tttt =+− −−−− 1111 .Despeje A en términos de B. 7. Si ( )KMBA n , ∈ ¿En que caso se cumple ( ) ( )? 22 BABABA −+=−

8. Para ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=111 2 2 16 5 3

A verifique que ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=−

121 03 121 0

1A . Encuentre

( ) ( ) 11 y −− AAA tt

9. Sean ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zyx

XBA ;110101103

;100021201

, resuelva la ecuación:

3AX-I 3 X=A t BX+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

101

10. Sea A=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

335121041

. Encuentre la inversa de A si existe y resuelva el siguiente

problema:

03350204

=+−=++=−

wvuwvu

vu

11. Sea A )(2 IRM∈ tal que 02

2 =−+ AIA , demuestre que A es invertible y calcule su inversa.

12. Sea A =−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1 1 12 1 11 1 2

, determinar A 1− , si existe.




13. Si A = 6 4 04 2 01 0 3

−−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥determine todas las soluciones de los siguientes sistemas:

XAX 3= y XAX 2= . 14. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

ax y z

x y zy z

b

x y zx y z w

y z wx z w

c

x y zx y z

x y zx y z

dx y z

x y zx y z

e

y z wx z wx y wx y z

f

x y z

. . .

. . .

− − =+ + =− + =

+ − =− − + = −

− + =+ − =

− + = −+ − =

− + + =− + =

− − =+ − =− + =

− + =− + = −+ − =+ − =

+ − =

12 3 2

5 1

2 52 2 3

3 2 5 12 0

3 22 3 0

3 32 1

2 13 4 2 113 2 4 11

3 3 52 3 4

3 2 5 124 3 5 5

−+ − =

+ + =+ − =

− − + =+ + =+ + = −

− − + =

+ + + =+ − = −

− + + − =+ − =

12 2 1

32 3 1

52 9

3 3 54 7

22 3 1

2 34

x y zx y z

x y z

g

y z ux y zx z u

x y z u

h

x y z wx z w

x y z wx y z

. .

15. Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales:

ab c dp r tx y z

b

a b c de f g hp q r st u v w

. .4 7 87 5 98 9 6

1 2 32 4 53 5 6

1 0 0 00 0 4 70 2 3 00 0 0 8

1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

16. Analizar según los valores de a, b, c, d la existencia y los valores de las

soluciones de los siguientes sistemas lineales




aax y zx ay zx y az a

bdx y z ax y z b

x y z c

c

x y zx y zx y z a

x y z b

dax y z

x ay zx y az

. .

.

+ + =+ + =+ + =

− + =+ − =

− + =

− − =+ − =+ + =

+ − =

− + =− + =

− + =

00 2

2 3 33 5 04

3 13

3 3 43 2

9 7 8 0

17. Determine los valores de a de modo que el siguiente sistema posea solución:

x y zax y zx y z

− + =+ − =

+ − = −

2 10

2 3 1

18. Determine el valor de m para que el siguiente sistema tenga solución .

mx y zx my z

y mz

+ − =+ + =

+ =

02 0

0

19. Dado el sistemax y a z b

y a zx y a z

− + + =+ − =

− + − = −

( )( )( )

4 13 0

2 7 2

2

con IRba ∈, , determine condiciones

para a y b de manera que el sistema tenga solución:

20. Determine t de manera que At

=−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1 2 10 3 12 2

sea singular ¿Tiene solución el

sistema AXt

t=

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

11

.

21. Determine a b c, , ∈ℜ tal que el sistema ax by czx cy bz

x y cz

+ + =+ + =

+ + =

3 4 53 4 6

5 7 tenga como

solución a C= ( , , )1 2 3 t




22. Resuelva el sistema:

3

2

1

65354232

bzyxbzyxbzyx

=++=++=++

donde a) 1321 === bbb

b) 5 ,3 ,1 321 =−== bbb c) 2 ,2 ,0 321 −=== bbb

23. Resuelve los siguientes sistemas.

a) 03708102051623

4321

432

4321

=+++=++=+++

xxxxxxxxxxx

b) 2312

223

=+−=++

=+−

yxzyx

yx z

c)

2 32228 2631435 52

4321

4321

4321

4321

=−++=+−+

−=−−+=+++

xxxxxxxxxxxx

xxxx

d) 2 312423

21

321

321

=+−=++−=+−

xxxxxxxx

e) 72132

21

32

31

=+=+=−

xxxxxx

f)

3 3221 232325

431

421

4321

4321

=++=++

−=+++=−−−

xxxxxx

xxxxxxxx

g) 03768102051623

4321

432

4321

=+++=++=+++

xxxxxxxxxxx

h)

3321

2321

1321

1311518169 887

xxxxxxxxxxxx

−=++−−=−−−=++

24.

3321

232

131

3344345 34

xxxxxxxxxx

=++−=+=−




2. Números Naturales 2.1 Nociones Básicas de Sumatorias Definición: Consideremos la sucesión de términos reales, denotada por na , ∈n IN. Llamaremos suma parcial o sumatoria de los n-primeros términos de na , a la expresión :

n

n

ii aaa ++=∑

=

....11

Número de términos de una sumatoria

a) n

n

ii aaa ++=∑

=

....11

la sumatoria tiene m términos.

b) ∑=

m

aiix tiene (m-a)+1 términos, es decir, el numero de términos se obtiene

mediante la operación: límite superior - límite inferior + 1. Propiedades Importantes.

a. ( ) ∑∑∑===

±=±n

ii

n

ii

n

iii baba

111.

b. ∑∑==

=n

ii

n

ii aa

11

λλ , IR∈λ .

c. nkkn

i=∑

=1, IRk ∈∀ .

d. npaaan

pii

p

ii

n

ii <∀+= ∑∑∑

+===

,111

.

e. npaaap

ii

n

ii

n

pii <∀−= ∑∑∑

−

===

,1

11.

f. ( ) 111

1 aaaa n

n

iii −=− +

=+∑ .

g. ( )2

11

+=∑

=

nnin

i

.

h. ( )( )6

1211

2 ++=∑

=

nnnin

i.

i. ( ) 2

1

3

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=∑=

nnin

i.




Ejercicios 1. Desarrolle las siguientes sumas en términos de sumatorias y calcúlelas:

a) 2222 19321 ++++ KK b) 2222 204321 −−+− KK c) 121*4010*37*24*1 ++++ KK d) 32*2010*88*55*2 ++++ KK

2. Sume los n primeros términos.

a) KK+++ 333 531 b) K+++ 9*7*55*33*1 c) n(n+1)+(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+… d) n*1+(n-1)*2+(n-2)*3+…

3. Calcule las siguientes sumatorias;

a) ∑= −

100

22 11

k k

b) ∑= +

+n

k kkk2

122 )1(

)12(

4. Calcule las sumatorias;

a) ∑= ++−

n

i iii1 )32)(12)(12(1

b) ∑= +

++n

i iiii

1

23

)1(1

c) ∑= +++

+n

i iiiii

1

2

)3)(2)(1(1

5. Calcule la suma de los n primeros paréntesis;

(1)+(3+5+7)+(9+11+13+15+17)+……




6. Calcule ∑=

+++n

kpkkkk

1

)()2)(1( L

7. Calcule la suma de los n términos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=++++ −1)12(*7*5*3

)2(6*4*2:7*5*36*4*2

5*33*2

321 kkk uucalculey

kkuSugerencia L

K

8. Calcular : S =∑= +−

n

k kk1 )12)(12(1 .

9. Calcular : S =∑= +

++n

k kkkk

14

24 1 .

10. Calcular : S =∑=

+n

k kkk

1

)1(log .

11. Calcular : S =∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

n

k kk12 2

11log .

12. Calcular : S =4*7+7*12+10*17+…+157*262. (Indicación ∑=

++=?

1

)25)(13(k

kkS ).

13. Demuestre que:

( ) ( )( )3

2111

++=+∑

=

nnniin

i.

14. Determine el valor de la expresión:

( )( )∑=

+−40

11

323i

ii .

15. Si se sabe que 150310

1

=∑=i

ia , 23059

1

=∑=i

ia y ( ) 37810

1

2 =∑=i

ia calcular el valor de

la expresión: ( )( )∑=

−−9

1

23i

ii aa .




16. Si ( )2

131

−=∑

=

nnan

ii determine:

a. ∑=

10

1iia b. 20a

17. Dado que ( ) 16;3412

1

12

1

2 == ∑∑== i

ii

i xx , determine el o los valores de la constante c

tal que:

( ) 306312

1

2 =−∑=i

ixc

18. Si ( ) ( )( ) ( ) 98;6222;233539

1

29

1

8

1

2 ==+−=− ∑∑∑=== i

ii

iii

i xxxx y 99 =x determine: i = 1 8

a. ( )∑=

8

1

2

iix .

b. ∑=

8

1iix .

c. ( )( )∑=

+9

1

2 72i

ix .

19. Si ( ) 164

1

2 =∑=i

ix ; 124

1

=∑=i

ix ; 65 =x y 86 =x , determine

a. ( )∑=

6

1

2

iix .

b. ( )∑=

−5

1

2i

ii xx .

c. ( ) ( )∑∑==

−−−4

1

26

1

2 11i

ii

i xx .




d. ( )∑=

−6

1

32i

ix

20. Calcular ∑= ++

15

12 127

2n nn

21. Calcular ∑= +

23

52

1n nn

.

22. Calcular ( )( )∑= +−

27

2 12124

n nn

23. Calcular ∑= −

30

12 142

n n.

24. Calcular ( )∑= +

−40

1 23

n nn.

25. Calcular ∑=

−+

40

1

11

1n nn

.

26. Calcular ( )∑

= ++10

122 1

12n nn

n .

27. Calcular ( )∑=

+−k

nnn

1

23 523 .

28. Calcular ( )∑=

+−k

n

nn1

3 28 .

29. Calcular ∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

k

n

nn1

2

32 .




30. Calcular ( )( )∑=

+−9

1

22 2k

kk

31. Calcular ( )( )∑=

−−9

1

33 1k

kk .

32. Calcular ( )( )∑=

++100

20

325n

kk .

33. Encuentre la suma de todos los múltiplos de 5 comprendidos entre 81 y 1566 34. Encuentre la suma de todos los números pares comprendidos entre 7 y 517 2.2 Nociones Básicas de Teorema del Binomio

Haciendo uso de las sumatorias agregaremos un nuevo concepto, este es una generalización de las fórmulas que conocimos anteriormente, tales como el cuadrado y cubo de binomio.

Previamente analizaremos dos elementos que son definiciones muy usadas en la matemática universitaria.

Definición: El factorial de un número natural n es representado por n!, y se define por:

n! = n · (n-1)·(n-2)·(n-3)·········3·2·1, ∀ n ∈ ΙN Definición: Se define 0! = 1, es necesario agregar esta definición puesto que factorial sólo se define para números naturales. Propiedades: 1) n! = n · (n - 1)! 2) (2n - 2)! = (2n - 2) · (2n -1) · (2n)! 3) (2n)! = 2n · (2n - 1) · (2n - 2) · (2n - 3) ······· 3 · 2 · 1 Observación: (m· n)! ≠ m! · n!




Definición: El coeficiente binomial esta definido por:

( ) !!!

nnmm

nm

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

con m ≥ n tenga presente el lector que este elemento, aparecerá también en el cálculo de combinatoria y probabilidades. Propiedades:

1) 10

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛m .

2) mm

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

.

3) mm

m=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1

.

4) 1=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛mm

5) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

1 km

km

km

Teorema: Binomio de Newton. Dados IRba ∈, y INn ∈ se tiene que

( ) ∑=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

n

k

kknn bakn

ba0

Observe que en el desarrollo de ( )nba + se tienen 1+n termino donde el termino ( )1+k -esimo esta dado por:

kknk ba

kn

t −+ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=1




Ejercicios

1. En el desarrollo .31

23 9

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xx Hallar:

a) El quinto término




b) El término independiente de x. 2. Encontrar el coeficiente de xn en: ( )( ) 122 11 +++− nxxx

a) El término independiente de x en: 12

2

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xx

3. Demuestre que:

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

k

n

kn

kn

k1 2

1

1

4. Encuentre el término central de .1 12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx

5. Determine la relación que debe existir entre r y n, para que los coeficientes de

los términos de lugares 3r y r+2 en el desarrollo de (1+x)2n, sean iguales.

6. Si rx ocupa un lugar en el desarrollo de n

xx

22 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + pruebe que su coeficiente

es:

!)2(31!)4(

31/)!2( ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ − rnrnn




2.3 Nociones Básicas de Progresiones. Definición: Una Progresión Aritmética (P.A) es una sucesión de expresiones, en la cual todos los términos, posteriores al primero, se obtienen, siempre sumando una misma cantidad al número anterior, esta cantidad es llamada razón de la progresión, o bien, diferencia. En otras palabras una serie de términos se encuentra en P.A si la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es un valor constante.

d = an + 1 - an Los términos en una P.A están dados por:

a1 ; a1 + d ; a1 + 2d ; a1 + 3d ; a1 + 4d ; .........; a1 + (n - 1)d . Si consideramos la suma de todos n primeros términos de una (P.A):

Sn =a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + (a1 + 3d) + (a1 + 4d) + ......... + (a1 + (n - 1)d) Observamos que esta queda representada por:

Sn = n ( 2a1 + (n - 1)d) 2

En resumen el término general y la suma de los n primeros términos está dada por:

an = a1 + (n - 1)d Sn = n ( 2a1 + (n - 1)d) 2

Definición: Una Progresión Geométrica (P.G) es una sucesión de expresiones, en la cual todos los términos, posteriores al primero, se obtienen, siempre multiplicando una misma cantidad al número anterior, esta cantidad es llamada




razón de la progresión, o bien, cuociente. En otras palabras una serie de términos se encuentra en P.G si el cuociente entre dos términos consecutivos cualesquiera es un valor constante.

r = an + 1 / an

Los términos en una P.G están dados por:

a1 ; a1 ·r ; a1 ·r2 ; a1 ·r3 ; a1 ·r4 ; .............a1 ·r (n - 1). Claramente se puede apreciar que el n-ésimo término esta dado por:

an = a1 ·r (n - 1) Si consideramos la suma de todos estos términos:

Sn = a1 + (a1 ·r) + (a1 · r2) + (a1 · r3) + (a1 · r4) +............... + (a1 · r (n - 1)) esta queda representada por:

Sn = a1 (1 - rn ) 1 - r

Definición: Se llaman medios aritméticos o geométricos entre a y b, a aquellos términos que corresponden a una P.A o P.G y que se ubican en forma ordenada entre a y b.

Observación: Si se desea insertar t medios aritméticos entre a y b, se calcula primero d, el cual está expresado por

d = (b - a ) / (t + 1)

Luego se calcula cada uno de los términos de la progresión. Cuando d > 0 la progresión es creciente, y si d < 0, la progresión es decreciente. Observación: Si se desea insertar t medios geométricos entre a y b, se calcula primero r, el cual está

expresado por:




r = 1+tab .

Las aplicaciones de las progresiones las podemos encontrar por ejemplo en el ámbito financiero, cuando aplicamos tasas de interés a un determinado monto, cuando se trata de un interés simple, estamos frente a una P.A. en la cual d corresponde al interés simple aplicado, y los períodos se relacionan con el número de términos requeridos. En el caso de un interés compuesto, la razón corresponde al interés compuesto aplicado y nuevamente los períodos se relacionan con el número de términos.

Ejercicios.

1. Suponga que 3,9/2, a, b, c, d, 12 es una progresión aritmética finita. Encuentre

los medios aritméticos a, b, c, d de 3 y 12. 2. Intercale 4 medios aritméticos entre 2 y 4.5 3. Intercale 8 medios aritméticos entre 2 y 5 4. Halle el trigésimo término de la sucesión –7, -4, -1, 2,... 5. Halle el vigésimo término de la sucesión 1.5, 3, 4.5,... 6. Halle el sexto y el séptimo términos de una sucesión que es una progresión

geométrica cuyo primer término es –2 y cuya razón es r = -1/2 7. Halle el décimo término de la sucesión 1/729, 1/243, 1/81,... 8. Halle el primer término de una progresión geométrica cuyos cuarto y quinto

términos son –8 y 32 respectivamente. 9. Sumar 17 términos de la progresión: 49,44,39,…..

10. Sumar 19 términos de la progresión; ,.....127,

32,

43

11. Dada la P.A. –35x,….,3x, calcular el término general sabiendo que existen 17 términos, entre los extremos.

12. El tercer término de una P.A. es 18 y el séptimo es 30. Encontrar 17S 13. Encontrar el número de términos de la P.A.: 12,16,20,…..si Sn =208




14. Si f(4)=0, f(42)=-95 y f(n)=-125. Encuentre a y n. 15. Encontrar la suma de todos los números entre 100 y 1000, que sean divisibles

por 14. 16. La suma de los 50 primeros términos de una P.A. es 200 y la de los 50

siguientes 2700. Encontrar a y d.

a) Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales, se cumple que la suma de n términos de la serie: 4,12,20,28 …..es un cuadrado perfecto.

b) Encontrar 4624

c) Encontrar r si f(r)+f(r+1)= 16S

17. Calcular la suma de ,......92,

31,

21 (7 términos).

18. Interpolar tres medios geométricos entre 9/4, …….,4/9 19. Si a,b,c,d están en P.G., demostrar que 2222 )()()()( dabdaccb −=−+−+− 20. Calcular la suma de los n - términos de Sn=1+3/2+5/4+7/8+…….. 21. La suma de tres números en P.G. es 70, si los extremos son amplificados por 4

y el del medio por 5, la serie está en P.A.. Hallar los números. 22. Hallar una P.A. cuyo primer término sea la unidad y tal que los términos de

lugares 2, 10 y 34 formen una P.G. 23. Un campesino vendió al primero de sus compradores la mitad de sus

manzanas más ½ manzana; al segundo la mitad de las restantes más ½ manzana; al tercero la mitad de cuantas le quedaban más ½, etc. El sétimo comprador adquirió también la mitad de las manzanas restantes más ½, agotado con ello la mercadería. ¿Cuántas manzanas tenía el campesino?

24. Halle el primer término de una progresión aritmética cuyos quinto y sexto

términos son 3 y –4 respectivamente. 25. Halle el noveno término de una progresión aritmética cuyo primer y tercer

término son 181 y 150 respectivamente.




26. Halle el octavo término de una progresión geométrica si el segundo y el cuarto

términos son 20/9 y 80/81 respectivamente. 27. Halle una progresión aritmética cuyo primer término es 3 y la suma del

segundo y tercer término es 18. 28. Halle una sucesión geométrica cuyo segundo término es 4, y tal que

aa

4

6

254

=

29. Una pareja decide ahorrar US$10 cada mes del primer año de matrimonio,

US$25 cada mes del segundo año de matrimonio, US$40 cada mes del tercer año del matrimonio, y así sucesivamente aumentando US$15 la cantidad mensual cada año. Halle la cantidad que deberá ahorrar cada mes del año décimo.

30. En el problema anterior encuentre una fórmula para la cantidad que la pareja

deberá ahorrar cada mes del año n -ésimo. 31. Si se invierten US$2,000 a 8% de interés compuesto anual, halle la cantidad en

la cuenta después de 15 años. 32. Halle la cantidad que debe depositarse en una cuenta a 6% de interés

compuesto anual para tener US$20,000 al cabo de 15 años. 33. A qué tasa de interés anual se deberán depositar US$2,000 para tener

US$10,000 en la cuenta 20 años después. 34. ¿Cuánto tiempo se demorará en triplicarse una inversión al 10% de interés

compuesto anual? 35. Cierta población de bacterias aumenta geométricamente con un factor diario de

1.2. ¿De cuánto será su población al cabo de una semana si inicialmente era de 100?

36. Se conoce que una pareja de ratones blancos tiene al mes siguiente después

de madurar, dos crías cada mes: un macho y una hembra. Además, se demoran en madurar un mes. Un laboratorio que necesita ratones blancos para su investigación adquiere dos crías de ratones blancos, un macho y una hembra a principios de año. ¿Con cuántos pares de ratones blancos deberá




contar el mes 10 del año? Halle una fórmula de recurrencia que dé el número de pares de ratones blancos que habrá en el enésimo mes.

37. Al nacer su hija, una pareja deposita un capital de US10,000 que gana un

interés de 14% compuesto anual para regalarle el monto que habrá en la cuenta el día que se case. Si ella se casa a los 20 años de edad, ¿de cuánto fue el monto del regalo por concepto de esa cuenta?

38. Una persona recibe una herencia. Después de satisfacer ciertas necesidades,

ella quiere hacer un depósito en una cuenta que le garantice que dentro de 30 años tendrá 2 millones de dólares. Si el banco le da una tasa de interés de 12% compuesto anual, ¿cuál será el capital que deberá depositar en la cuenta?

39. Puede probarse que los términos de la sucesión { an } definidos por la fórmula

de recurrencia

a a ran n

n+ = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

12

Se aproximan cada vez más a r cuando n aumenta. Suponga que a1 =1. En cada uno de los siguientes casos halle a10 y compare con el valor correspondiente que dé su calculadora.

(a) r = 2 (b) r = 3 (c) r = 5

40. La media geométrica de dos números positivos a y b es el número m tal que a,

m y b son términos consecutivos de una progresión geométrica finita. Encuentre una fórmula para la media geométrica de a y b.

41. Si ( an ) es una progresión aritmética con a 14 = 40 y a 20 = 64, encuentre :

(a).-d

(b).-a 1

(c).-S 20 42. Sea ( an ) una progresión aritmética con d = 40 tal que S 20 = 650; halle a 1 y a 10 .




43. Suponga que a 1 =-17.5 y a n = 20 son el primero y el n -ésimo término respectivamente de una serie aritmética para la cual S n = 63.75. Halle n y d.

44. Si {a n } es una progresión con r = 1/5 tal que S5 = 4.992, encuentre el primer

término a 1 . 45. Si el primer término de una serie geométrica infinita es 4 y su suma es 5, halle

r. 46. Halle la suma de los ocho primeros términos de la progresión aritmética

b b a a, , ,.....+2

47. Halle la suma de los 20 primeros términos de la progresión geométrica

ba

ba

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

1, , ,.....

48. Un turista le saca una foto a una pirámide y observa que en su base hay 50

bloques, en la fila siguiente hay 49, en la siguiente 48, y así sucesivamente hasta que en la fila superior hay 8 bloques.¿ Cuántos bloques tendrá esa cara de la pirámide fotografiada?

49. Una pareja decide ahorrar US$10 cada mes de su primer año de matrimonio,

US$25 cada mes de su segundo año de matrimonio, y así sucesivamente aumentando US$15 la cantidad mensual cada año. ¿Cuánto habrá ahorrado al cumplir 20 años de casada?

50. En una reunión de 200 personas cada una le dio un apretón de manos a todas

las demás personas exactamente una vez ¿Cuántos apretones de manos hubo?

51. Hay una antigua leyenda cerca de las series geométricas y los tableros de

ajedrez. Cuando un rey de Persia aprendió a jugar el ajedrez quiso agradecerle al inventor del juego por ello y le prometió concederle lo que le pidiera. Este señor llamado Sessa, quiso jugarle una broma, y con aire de modestia le pidió un grano de trigo por el primer cuadro del tablero, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto y así sucesivamente. Explique en qué consiste la “broma” de Sessa.




52. Una persona ve dos anuncios de empleo para realizar el mismo trabajo durante todos los días de un mes o 30 días. Uno de ellos dice que pagará US$10,000 por el mes de trabajo y el otro dice que pagará diariamente 1c el primer día, 2c el segundo, 4c el tercero y así sucesivamente hasta el último día del mes. ¿Cuál empleo le resulta más llamativo? ¿Por qué?

53. Un automóvil que se acelera en una razón constante recorre 3 metros el primer

segundo, 8 metros el segundo, 13 metros el tercer segundo, y así sucesivamente recorre 5 metros adicionales cada segundo. Halle la distancia total que el automóvil ha recorrido después de 10 segundos.

54. Una epidemia crece tan rápido que cada día hay el doble de personas

contaminadas que había el día anterior. Si una población se contamina completamente en 19 días, si el primer día hay 2 personas contaminadas. ¿Cuántos días se demorará si el primer día hay 4 personas contaminadas?

55. Si se invierte la misma cantidad de dinero P cada año durante n años a una

tasa de interés compuesto anualmente, entonces la cantidad acumulada después del pago n está dada por

S P r P r P r Pn n= + + + + + + +− −( ) ( ) ..... ( )1 1 11 2

Demuestre que

S P rr

n

=+ −( )1 1

56. Suponga que una pareja decide depositar al comienzo de cada año US$1,000

en una cuenta de ahorros que gana un interés del 12% compuesto anual; ¿cuál será la cantidad acumulada en la cuenta después de 30 años?

57. Suponga que un gobierno inyecta 100 millones de dólares extra en la

economía. Suponga además que cada negocio o persona particular gasta el 80 % de sus ingresos y ahorra el resto, y que esto se repite indefinidamente; ¿cuál es el incremento total del gasto debido a la acción del gobierno? (a esto en economía se le llama “efecto multiplicador”).

58. Una pelota se deja caer desde una altura inicial de 100 pies. En cada salto la

pelota rebota 2/5 de su altura previa. Halle la distancia total recorrida por la pelota cuando golpea el suelo por décima vez.




59. En el problema anterior, halle la distancia total recorrida suponiendo que la pelota continúa rebotando indefinidamente las dos quintas partes de su altura previa.

60. Dado un triángulo cualquiera de perímetro P, se forma un segundo uniendo los

puntos medios de cada lado del primero, se forma un tercero uniendo los puntos medios de cada lado del segundo y así sucesivamente. Encuentre la longitud total de todos los segmentos de recta de la configuración resultante.

61. (a).- Halle una fórmula para la suma 1 + 2 + ... + n =

(b).- Halle una fórmula para la suma de los primeros n números naturales pares.

(c) Halle una fórmula para la suma de los primeros n números naturales

impares. 62. Demuestre que una fórmula alterna para la suma de una serie geométrica

S ar a arrn

k

k

n n

= =−−

−

=∑ 1

1 1

3. Geometría analítica 3.1 Generalidades y Línea Recta Consideremos el siguiente problema: Dados P(x,y) y Q(a,b) dos puntos en el plano. Determine la distancia entre P y Q. Solución:




d(P,Q)= 22 )()( byax −+− . Definición: Llamaremos línea recta al lugar geométrico de todos los puntos tales que tomando dos puntos diferentes ),(),,( 2211 yxQyxP del lugar geométrico, el valor:

21

21

xxyym

−−

=

resulta siempre constante. Tal valor se denomina pendiente de la recta. Proposición (Ecuación punto pendiente): La recta que pasa por el punto ),( baP y que posee pendiente m tiene ecuación: )( axmby −=− Observación: la pendiente m de una recta dada puede ser calculada mediante la igualdad: )(αtgm = donde α es el ángulo formado por la recta y el eje X. α Motivación: Dados dos puntos ),(),,( 2211 yxQyxP distintos ¿ como determinar la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos?( Ecuación punto punto).




Solución: sea L la recta requerida. Ya que los puntos ),(),,( 2211 yxQyxP pertenecen a la recta sabemos que

21

21

xxyym

−−

=

así podemos deducir que:

L: )( 121

211 xx

xxyyyy −

−−

=−

Con lo cual hemos resuelto nuestro problema. Ecuación Simétrica de la recta: Sean 0, ≠ba las intersecciones con los ejes X y Y respectivamente de una recta L, entonces:

1=+by

ax

se denomina la ecuación simétrica de la recta L. a b Definición: Diremos que dos rectas:

L : .nmxy += L 1 : .11 nxmy +=

1.- Son Paralelas si 1mm = y denotaremos L L 1 . 2.- Son perpendiculares si 1· 1 −=mm ,siempre y cuando las pendientes sean no nulas, y denotaremos L L1 .




Distancia de un punto a una recta Observación: Dada una recta L siempre podemos representarla en su forma general es decir: L : .0=++ CByAx donde ℜ∈CBA ,, Sean L : .0=++ CByAx y ),( 11 yxP para determinar la distancia del punto a la recta debemos calcular:

22

11),(BA

CByAxLPd

+

++=

Motivación: Dados los puntos A(a,b) y B(c,d) determinar un punto P que pertenezca al segmento AB de modo que divida al segmento en una razón dada r es decir:

r = AP : PB. Solución: Consideremos el siguiente gráfico: 2y C y P 1y A 1x x 2x 2x

de lo cual podemos concluir rxx

xx−

−=

2

1 así rrxxx

++

=1

21 . Análogamente

obtenemos rryyx

++

=1

21 .




Ejercicios

1. Hallar la ecuación de recta que pasa por el punto A(1,5) y tiene pendiente 2. 2. Hallar la ecuación de recta que pasa por el punto A(-6,-3) y forma con el eje X

un ángulo de 45°. 3. Hallar la ecuación de recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el eje

Y es –2. 4. Hallar la ecuación de recta que pasa por los puntos A(4,2) y B(-5,7). 5. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0),B(2,4),C(6,7) y D(8,0). Hallar la

ecuación de los lados. 6. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X y Y son 2 y –3

respectivamente. Hallar su ecuación. 7. Una recta pasa por los puntos A(-3,-1) y B(2,-6). Hallar su ecuación en la forma

simétrica. 8. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A(-3,2)B1,6). 9. Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los

puntos(-2,2) y (3,-4). 10. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados

determinan en la recta 5x + 3y –15=0. 11. Un triángulo posee vértices A(-2,1),B(4,7) y C(6,-3). Determinar la recta que

pasa por el vértice A y es paralelo al lado opuesto. 12. Considerando el triángulo del ejercicio 11 hallar las ecuaciones de sus lados. 13. Hallar el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0 sea paralela a la recta

4x+37+7=0. 14. Determine el valor de k para que la recta k x k y2 1 3 0+ + + =( ) sea

perpendicular a la recta 4x+3y+7=0. 15. En las ecuaciones ax+(2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0 hallar los valores de a y b

para que representen rectas que pasan por (2,-3)




16. Hallar la distancia de la recta 4x-5y+10=0 al punto P(2,-3). 17. Los vértices de un triángulo son A(-4,1)B(-3,3) y C(3,-3). Hallar la longitud de la

altura del vértice A sobre el lado BC y el área del triángulo. 18. Hallar la longitud entre las rectas 3x-4y+8=0 y x+2y+6=0. 19. Hallar la ecuación de la recta paralela a 5x+12y-10=0 y distante a cuatro

unidades de ella.(dos soluciones) 20. El costo de almacenaje de un articulo A esta definido por la función

G(x)=$0.004+$1.36 donde x es el costo unitario de A.

a. Dibujar la función G para 5<x<25.

b. Encontrar el costo de almacenaje para un articulo que cuesta $6.

c. Encontrar el valor de un articulo para el cual su costo de almacenaje es $1.8.

21. Si el costo de ventas es Q(x)=x/3 +1 y la ganancia por venta es R(x)= x/2 +4

determinar la función utilidad. 22. Un articulo que cuesta $9 se vende en $12 y otro que cuesta $99 se vende en

$142 si estos dos ejemplos representan la política general de precios.

a. Determinar una función que represente el precio de venta en términos del costo.

b. Encontrar el costo de un articulo que se vende en $80.

c. Encontrar el precio de venta de un articulo que cuesta $35.

d. Representar la función gráficamente.

23. El flete aéreo de una libra de mercadería cuesta $55 transportándola 800 millas

y $100 transportándola 2000 millas. Determine

a. Una función lineal que determine el costo de transporte aéreo si los datos corresponden a la política usual de costos.

b. El costo de transportar 1.5 libras por 1500 millas.




24. Determine la Ecuación General y principal de la Recta que pasa por los

siguientes pares de puntos:

a) (3,-2) ; (8,5) c) (-1,3) ; (7,-4)

b) (-10,-2) ; (9,0) d) (2,1) ; (4,-8)

25. Encuentre el valor de k � IR tal que la recta -3(k + 6)y + 5x + 9 = 0 sea

Paralela a : Perpendicular a : 3x + 6y + 7 = 4x - 3 4x - 2y = 0

4x - y = 5y + 8x 3x - 5y + 8 = 4y - 2x + 3

-5x = 7 2( x + 5y) - 15 = 3x + 8y - 23

7y = 9 4x = 2

26. Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a 5x + 7y - 4 = 0 y

que pasa por el punto de intersección de las rectas 4x + 6y -9 = 0 ; 5y + 8x + 3 = 0

27. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas 7y + x - 3 = 0 ; x + 3y + 10 = 0 y -2x + 6y + 8 = 0 ; 3x + y + 15 = 0

28. Encuentre la distancia de los siguientes puntos a la recta: - 4y + 5x - 9 = 0

a) (-1 , 4) b) (0, 3) c) (1 , -1) d) (-6 , 5)

29. Determine la distancia entre las rectas 4x + 5y - 8 = 0 y 16x + 20y - 2 =

0 30. Una empresa fabrica un producto de tal forma que si fabrica 20 unidades el

costo es de 515 dólares y si fabricara 16 el costo sería de 512 dólares. Determine una función lineal que represente el costo y determine. ¿Cuál es el




costo si se produjeran 120 artículos?. ¿Cuántos artículos se produjeron si el costo fue 24 dólares?

31. Un artículo que cuesta $ 90 se vende en $ 120 y otro que cuesta $ 990 se

vende en $1.420. Si estos dos artículos representan la política general de precios.

a) Encuentre una función lineal que represente el precio de venta en

términos del costo. b) Determine el costo de un artículo que se vende en $ 450.

32. Una empresa vende un producto al precio unitario de $ 10. Si la función de costo total correspondiente está definida por C (x) = 5x + 100, determine a partir de que número de unidades vendidas la empresa sufrirá pérdidas

33. Una empresa elabora un producto que se vende a un precio de $ 150 por

unidad. El costo variable por unidad se estima en $130 y los costos fijos en $ 250.000.

a) Determine el nivel de producción en equilibrio. b) ¿ A partir de qué número de unidades vendidas la empresa comienza a

recibir utilidades? c) ¿ Cuál será la utilidad, si la demanda es de 12.000 unidades?

34. Demuestre que el triángulo de vértices (0,0), (2,2) y ( , )1 3 1 3− + , es

equilátero. Dibuje el triángulo en un sistema coordenado. Demuestre que los puntos de coordenadas (7,5), (2,3) y (6,-7), son los vértices de

un triángulo rectángulo. Encuentre su área y perímetro. 35. Determine el valor del número real positivo “a”, de manera que el triángulo de

vértices (0,0), (1,0) y (0.5,a), sea equilátero. Encuentre las coordenadas del punto del plano que está a la misma distancia de

cada uno de los puntos de coordenadas (1,7), (8,6) y (7,-1). Haga una gráfica de la situación.

36. Dado el triángulo de vértices (0,-1), (2,3) y (8,5);




a) Determine las ecuaciones de las rectas que contienen a las transversales.

b) Determine las ecuaciones de las rectas que contienen a las medianas. c) Encuentre el área de dicho triángulo.

Encuentre las coordenadas de los puntos que dividen al segmento de recta con

extremos (1,7) y (6,-3), en tres partes iguales. 37. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,2) y por el punto

medio del segmento de recta de extremos (3,4) y (1,0). 38. Determine el valor de número real “c”, de modo que la recta de ecuación

( ) ( )c x c y c+ + − + − =1 1 2 1 0 , sea:

a) Paralela a la recta de ecuación 2 1 0x y− + = b) Perpendicular a la recta de ecuación 2 1 0x y− + =

39. En cada caso, encuentre condiciones sobre los números reales “a” y “b”, de

manera que las rectas ax b y+ − − =( )2 23 0 y ( )a x by− + + =1 15 0 :

a) Contengan al punto (2,-3) b) Sean paralelas c) Sean perpendiculares

40. Las tres rectas que se dan a continuación, definen un triángulo ABC:

− + + =x y2 4 0 , x y− − =1 0 y − + − =x y3 3 0 . Determine:

a) El perímetro del triángulo ABC b) El área del triángulo ABC c) La ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC

41. Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de

coordenadas (4,-2) y están a 2 unidades de distancia del origen.




42. Los costos fijos que cobra mensualmente una empresa de agua potable, a los usuarios, son de $ 1.800. Adicionalmente la empresa cobra $300 por cada metro cúbico consumido (costo variable). Encuentre una fórmula que exprese el gasto total mensual de un usuario del servicio, en función de los metros cúbicos de agua consumidos. Grafique ésta función y determine el gasto de un usuario que consumió 21,5 metros cúbicos de agua, en un cierto mes.

43. Una empresa adquiere una máquina por un valor de US$ 20.000, que se

deprecia linealmente hasta que su valor de venta es de US$ 1.000 después de 10 años. Exprese el valor de la máquina en función de su edad. Grafique ésta función y calcule el valor de la máquina cuando ésta tiene cuatro años de uso.

44. La empresa de arriendo de autos “A” cobra 80 centavos de dólar por cada

kilómetro recorrido, más una cantidad fija de 30 dólares, por el arriendo de un cierto tipo de automóvil. La empresa “B” cobra 60 centavos de dólar por cada kilómetro recorrido, más una cantidad fija de 40 dólares, por el arriendo del mismo tipo de automóvil. ¿Cuál empresa es más conveniente para un usuario del servicio, dependiendo del kilometraje recorrido. Grafique la situación planteada.

3.2 La Parábola

Definición: Una Parábola es el lugar geométrico de u punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, es siempre igual a la distancia de un punto fijo que no pertenece a la recta. El punto fijo se denomina foco y la recta fija se denomina directriz de la parábola. Designaremos por F y d el foco y la directriz de la parábola la recta J que pasa por el foco y es perpendicular a L se denomina eje focal de la parábola. El punto medio del segmento AF se denomina vértice de la parábola y lo denotaremos por V. d J A V F




Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal uno de los ejes coordenados: 1.- Eje focal igual al eje X .42 pxy = F=(0, p ) d: px −= . 2.- Eje Igual al eje Y

pyx 42 = F=( p ,0) d: py −=




Observe que en muchos casos puede ocurrir que el vértice de la parábola no coincida con el origen, en ese caso ¿como determinamos la ecuación de la parábola?. Motivados por el problema anterior determinaremos las ecuaciones de las parábolas con ejes focales paralelos a uno de los ejes coordenados. Proposición: La ecuación de la parábola con vértice V=( ),kh es : 1.- si el eje focal es paralelo al eje X tenemos que la ecuación es:

phxd

kphF

hxpky

−=

+=

−=−

:

),(

)(4)( 2

2.- si el eje focal es paralelo al eje Y tenemos que la ecuación es:

phyd

pkhF

kyphx

−=

+=

−=−

:

),(

)(4)( 2

Proposición: Una ecuación de segundo grado en las variables yx, que no posea términos yx·· puede escribirse de la siguiente manera: 022 =++++ FEyDxCyAx (1) Si 0,0 ≠= CA y 0≠D la ecuación (1) representa una parábola con eje focal paralelo al eje Y. Si 0=E la ecuación (1) representa dos rectas paralelas al eje Y coincidentes o no ó ningún lugar geométrico.




Si 0,0 ≠= CA y 0≠D la ecuación (1) representa una parábola con eje focal paralelo al eje X. Si 0=D la ecuación (1) representa dos rectas paralelas al eje Y coincidentes o no ó ningún lugar geométrico. Ejemplo: Determinar la parábola que pasa por los puntos A(3/2,2); B(0,5) y C(-6,-7).

Ejercicios 1. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar la gráfica de la parábola,

ecuación de la directriz, el foco, la longitud del lado recto. a.- 0122 =+ yx d.- 0122 =− yx f.- 02 =+ xx b.- 052 =− xy e.- 052 =− xy g.- 02 =− xy 2. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco (3,0). 3. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz y-5=0. 4. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-4,3) y foco (-1,3). Hallar además

la ecuación de su eje y directriz. 5. La directriz de una parábola es la recta y-1=0 y su foco es el punto (4,-3).

Determinar la gráfica de la parábola y todos sus elementos. 6. En cada uno de los siguientes ejercicios determine todos los elementos de los

lugares geométricos dados por las siguientes ecuaciones a.- 7120484 2 =−− yxy c.- 01672249 2 =+++ yxx e.- 742 =+ xy b.- 15912484 2 =++ xyx d.- 019242 =−++ yxy f.- 136122 =−+ yxx 7. Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0,0),(8,-4) y (3,1), y

con eje paralelo al eje X.




8. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (4,-1), eje la recta y+1=0 y que

pasa por el punto (3,-3). 9. Dadas las siguientes ecuaciones, identifique aquellas que corresponden a una

parábola y determine las coordenadas del vértice y del foco, y la ecuación de la directriz. Grafique:

a) y y x2 8 6 4 0+ − + = b) 3 9 5 2 02x x y− − − = c) x y y2 24 8 0+ − = d) y y x2 4 6 8 0− + − = e) x y y− + =8 02 f) 01222 =−+− xyx g) 036842 =+−+ xyy h) 010242 =+−− yxx i) 020622 =−−+ xyy

10. Hallar la ecuación de las siguientes parábolas:

a) Foco (3 , 0) directriz x + 3 = 0 b) Foco (0 , 6) , directriz el eje X c) Vértice el origen, eje el de coordenadas X y que pase por el punto (-3, 6)

11. Encuentre la ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento con extremos

(3,5) y (3,-3). 12. Encuentre la ecuación de la parábola de vértice (0,3) y foco (4,3). 13. Diga a qué altura del suelo se encuentra el punto de un arco parabólico de 18

metros de altura y 24 metros de base, situado a una distancia de 8 metros del centro del arco.

13. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de

parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y están separados por 500 metros, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 metros sobre la calzada del puente. Tomando como eje X la horizontal que define el puente, y como eje Y el de simetría de la parábola, encuentre la ecuación de ésta. Calcule la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente.




3.3 La Elipse Definición: Una Elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueven en el plano de tal manera que la suma de las distancias a dos puntos fijos dados en el plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos dados. A B 1V 1F 1F 2V A’ B’ Los puntos fijos se denominan focos y los denotaremos por 1F y 2F . La recta L que pasa por los focos se denomina eje focal. El eje focal corta a la elipse en dos puntos 21 ,VV llamados vértices, la porción del eje focal comprendida entre los vértices se denomina eje mayor. El punto medio del eje focal se denomina centro y lo denotaremos por C. La Recta 'L que pasa por C y que es perpendicular a L se denomina eje normal, el eje normal corta a la elipse en dos puntos A y A’; el segmento AA’ se denomina eje menor. Un segmento como BB’ que une dos puntos de la elipse se denomina cuerda. Una cuerda que pasa por uno de los focos se denomina cuerda focal. Una cuerda focal perpendicular a L se denomina lado recto Proposición: Ecuación de la Elipse que posee centro en (0,0) y eje focal uno de los ejes coordenados 1.- Eje focal el eje X

xa

yb

2

2

2

2 1+ = a b> .

Focos: F c F c1 20 0= = −( , ); ( , ). donde c a b= −2 2

1F 2F




Vértices: V=(-a,0) ; V’=(a,0). Longitud del Lado Recto: 2b/a. Excentricidad: e=c/a. 2.- Eje focal el eje Y

xb

ya

2

2

2

2 1+ = a b> .

Focos: F c F c1 20 0= = −( , ); ( , ). donde c a b= −2 2 Vértices: V=(0,-a) ; V’=(0,a). Longitud del Lado Recto: 2b/a. Excentricidad: e=c/a. Ejemplo: Una Elipse tiene centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje Y. Si uno de sus focos es el punto (0,3) y la excentricidad es igual a 0,5. Hallar las coordenadas del otro foco las longitudes del eje mayor y menor, la longitud del lado recto y la ecuación de la elipse Ecuación general de la Elipse: L a ecuación de la Elipse de centro (h,k) y eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados. 1.- Eje focal paralelo al eje X

( ) ( )x ha

y kb

−+

−=

2

2

2

2 1 a b> .

Focos: F h c k F h c k1 2= + = −( , ); ( , ). donde c a b= −2 2 Vértices: V=(h-a,k) ; V’=(h+a,k). Longitud del Lado Recto: 2b 2 /a. Excentricidad: e=c/a. 2.- Eje focal paralelo al eje Y




( ) ( )x hb

y ka

−+

−=

2

2

2

2 1 a b> .

Focos: F h k c F h k c1 2= − = +( , ); ( , ). donde c a b= −2 2 Vértices: V=(h,k-a) ; V’=(h,k+a). Longitud del Lado Recto: 2b 2 /a. Excentricidad: e=c/a. Ejemplo: Los vértices de una elipse tienen coordenadas (-3,7) y (-3,1) y la longitud de cada lado recto es 2. Determine todos los elementos de la elipse y su gráfica.




Ejercicios 1. En cada uno de los siguientes casos trace y discuta los lugares geométricos: a.- 3649 22 =+ yx c.- 4002516 22 =+ yx b.- 3694 22 =+ yx d.- 63 22 =+ yx 2. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0) y (-4,0) y

cuyos focos son (3,0) y (-3,0). 3. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son (2,0) y (-2,0) y su excentricidad

es igual a 2/3. 4. Hallar la ecuación de la elipse que satisface cada caso: a.- posee focos (3,8) y (3,2) y longitud de eje mayor 10. b.- posee vértices (-3,-1) y (5,-1) y excentricidad ¾. c.- posee vértices (2,6) y (2,-2) y longitud de lado recto 2. 5. En cada uno de los casos siguientes discuta y grafique el lugar geométrico: a.- 0211664 22 =++−+ yxyx b.- 037183294 22 =+−++ yxyx

c.- 010940104 22 =+−−+ yxyx d.- 032849 22 =−−+ yyx

6. Encuentre la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas: 1.- vértices )2,8(+ y focos )2,5(+ 2.-vertices )2,5(+ y longitud del eje menor 3. 3.- centro en el origen y que pasa por los puntos (2,3) y (6,1). 7. El arco de un puente es semieliptico, con eje mayor horizontal. La base del

arco tiene 30 mts de largo y su parte mas alta con respecto al suelo mide 10 mts. Determine la altura del arco a 6 mts de la base.




8. Un cuadrado, cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados esta inscrito

en una elipse 12

2

2

2

=+by

ax . Exprese el área A del cuadrado en términos de a y

.b 9. Dadas las siguientes ecuaciones, identifique aquellas que corresponden a una

elipse y determine las coordenadas del centro, de los focos y de los vértices, las longitudes de los semiejes y la excentricidad. Grafique:

a) x y x y2 24 6 32 0+ − + = b) 3 9 5 2 02x x y− − − = c) x y y2 24 8 0+ − = d) y y x2 4 6 8 0− + − = e) 9 4 362 2x y+ = f) x y x2 2 2 1 0− + − = g) 576169 22 =+ yx h) 524 22 =+ yx i) 0144724894 22 =++−+ yxyx j) 221548095 22 −=+−+ yxyx k) 3866 22 =+−+ yxyx l) 01915018259 22 =−−++ yxyx 10. En cada una de las siguientes elipses determine las coordenadas de los

vértices , focos, y centro, determine además la longitud de los ejes y su excentricidad

a) 1144169

22

=+yx

b) 1128

22

=+yx

c) 225x² + 289y² = 65025 11. Hallar las ecuaciones de las siguientes elipses de manera que satisfagan las

condiciones que se indican:

a) Focos (± 4 , 0) ; vértices (± 5 , 0) b) Focos (0 , ± 8) , vértices (0 , ± 17) d) Focos (0 , ± 6) , semieje menor igual a 8 e) Focos (± 5 , 0) , excentricidad igual a 5/8

12. La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentra en uno de los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse vale 1 485 108, ⋅ kilómetros y que la excentricidad es, aproximadamente, 1/62; determine la máxima y la mínima distancias de la Tierra al Sol.




3.4 La Hipérbola Definición: Una Hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos en el plano, llamados focos, es siempre constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. Los focos están designados por F y F’. La recta l que pasa por los focos se denomina eje focal. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos V, V’ denominados vértices. El segmento VV’ se denomina eje transverso. El punto medio del eje transverso se denomina centro. La recta l’ que pasa por el centro y es perpendicular a l se denomina eje normal. El segmento AA’ se denomina eje conjugado. La cuerda focal LL’ que es perpendicular al eje focal se denomina lado recto. Proposición: La ecuación de la hipérbola de centro en el origen y eje focal coincidente con uno de los ejes coordenados es: 1.- Eje focal el eje X.

xa

yb

2

2

2

2 1− =




Focos: F c F c1 20 0= − =( , ); ( , ). donde c a b= +2 2 Vértices: V=(-a,0) ; V’=(a,0). Excentricidad: e=c/a. 1.- Eje focal el eje Y.

ya

xb

2

2

2

2 1− =

Focos: F c F c1 20 0= − =( , ); ( , ). donde c a b= +2 2 Vértices: V=(0,-a) ; V’=(0,a). Excentricidad: e=c/a. Ejemplo: Los vértices de una hipérbola son los puntos V(0,3) y V’(0,-3) y sus focos son F(0,5) y F’(0,-5). Determine la ecuación de la hipérbola y todos sus elementos.

Definición: Las rectas y bxa

= y y bxa

=− son las asintotas de la hipérbola.

Proposición: La ecuación de la hipérbola con centro en el punto (h,k) y eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados es: 1.- Eje focal paralelo al eje X

( ) ( )x ha

y kb

−−

−=

2

2

2

2 1

Focos: F h c k F h c k1 2= − = +( , ); ( , ). donde c a b= +2 2 Vértices: V=(h-a,k) ; V’=(h+a,k). Excentricidad: e=c/a.




2.- Eje focal paralelo al eje Y

( ) ( )y ka

x hb

−−

−=

2

2

2

2 1

Focos: F h k c F h k c1 2= − = +( , ); ( , ). donde c a b= +2 2 Vértices: V=(h,k-a) ; V’=(h,k+a). Excentricidad: e=c/a. Ejemplo: Discutir el lugar geométrico de ecuación: 9 4 54 8 113 02 2x y x y− − + + = . 3.5 La Circunferencia Definición: La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia de un punto dado fijo. Tal punto se denomina centro y la distancia se denomina radio. Proposición: Ecuación general de la circunferencia de centro en el punto (h,k) y radio r




4. Trigonometría

4.1 Medida de ángulos La manera más común de medir los ángulos es en grados, pero también se usa la medida llamada radianes. Sea ACB un ángulo central de un círculo de radio uno: A B

La medida en radianes α del ángulo ACB se define como la longitud del arco circular AB. Dado que la de una circunferencia es 2π y una revolución completa de un círculo es 360º, la relación entre grados y radianes es la siguiente:

2π radianes = 360º 4.2 Funciones trigonométricas Ciertas funciones que poseen un patrón determinado son llamadas periódicas, es decir, los valores de la función se repiten cada cierto número constante de unidades. Definición: Si una función f tiene la propiedad de que f(x+p) = f(x) para todo x de su dominio, siendo p una constante, entonces de dice que f es periódica. El menor número positivo p ( si es que lo hay), para que f(x+p) = f(x) para todo x, es el período de la función. Un ejemplo de funciones periódicas, son las funciones trigonométricas, a diferencia de las otras funciones estudiadas poseen algunos elementos que la distinguen. Estas funciones en su gráfica corresponden a curvas sinusoidales, y como tales es preciso estudiar su amplitud y período. La Función seno: Los valores de la función seno se incrementan hasta alcanzar

un máximo de 1 en 2π , después descienden hasta 0 en π , continúan decreciendo

hasta –1 en 2

3π , y después se incrementan a 0 en π2 .

1 α C




Amplitud de la Función Seno: La amplitud de una función periódica es la mitad de la diferencia entre sus valores máximos y mínimos. Siempre es positiva. Sea la función f (x) = A·sen (Bx + C) + D; cada uno de estos coeficientes A,B,C,D, indican una modificación a la gráfica de la curva sen (x). Coeficiente A: indica la amplitud de la onda de la curva (amplitud de la onda es la distancia entre el punto más alto de la curva y el eje horizontal) la amplitud de la curva será: | A | Ejemplo: 1) f (x) = sen (x) , tiene amplitud 1

2) f (x) = 21 sen (x) , tiene amplitud

21

3) f (x) = -2 sen (x) , tiene amplitud 2 Coeficiente B: indica la periodicidad de la onda de la curva (periodicidad de la onda es el largo de la onda, es decir medido sobre el eje X es lo que demora en dar una vuelta completa) el período de la curva será ( 2π / B) Ejemplo : 1) f (x) = sen (x) , tiene período 2π . 2) f (x) = sen (2x) , tiene período π .

3) f (x) = sen (x/2) , tiene período 4π . Coeficiente C: indica un desplazamiento de la curva horizontalmente. Si C > 0 la curva se desplaza C unidades hacia la izquierda, si C < 0 la curva se desplaza C unidades hacia la derecha. Coeficiente D: indica un desplazamiento de la curva verticalmente. Si D > 0 la curva se desplaza hacia arriba D unidades, si D < 0 la curva se desplaza D unidades hacia abajo.




4.3 Dominio de las funciones trigonométricas: Las funciones seno y coseno tienen como dominio todos los números reales, es decir, siempre existe sen (x) y cos (x) para cualquier valor de x. ( x ∈ IR) En cambio la función tangente tiene como dominio todos los números reales menos aquellos en los cuales la tangente se indefine. Tales puntos son:

Zkk ∈+ con,2

ππ .

Gráficos de funciones trigonométricas




La trigonometría se ocupa esencialmente del estudio de la relación entre los lados y ángulos del triángulo. Estas relaciones se definen en un triángulo rectángulo. Sea el triángulo ABC rectángulo en C:




C A

B

b

ac

α

β

a y b son llamados catetos y c hipotenusa. Definición:

Seno de α

( )

( )casen

HipotenusaánguloalopuestoCatetosen

=

=

α

αα

Coseno de α

( )

( )cb

HipotenusaánguloaladyacenteCateto

=

=

α

αα

cos

cos

Tangente de α:

( )

( )batg

ánguloaladyacenteCatetoánguloalopuestoCatetotg

=

=

α

ααα

Cotangente de α:

( )

( )abg

ánguloalopuestoCatetoánguloaladyacenteCatetog

=

=

α

ααα

cot

cot

Secante de α:

( )

( )bc

ánguloalopuestoCatetoHipotenusa

=

=

α

αα

sec

sec

Cosecante de α:

( )

( )acec

ánguloaladyacenteCatetoHipotenusaec

=

=

α

αα

cos

cos

Haciendo uso de las definiciones dadas anteriormente podemos establecer las siguientes relaciones:

( ) ( )( ) ( )αααα

gsentg

cot1

cos== ( ) ( )

( ) ( )αααα

tan1coscot ==

seng

( ) ( )αα

cos1sec = ( ) ( )α

αsen

ec 1cos =




Ejemplo: Considere el siguiente triángulo y determine el valor de todas las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para los ángulos α y β.

C A

B

4

35

α

β

Considerando los datos proporcionados por el triángulo se tiene que:

senα = 3 cosα = 4 ; tgα = 3 5 5 4

senβ = 4 ; cosβ = 3 ; tgβ = 4 5 5 3 4.4 Cálculo de las funciones trigonométricas para algunos ángulos notables Caso uno: Para un ángulo α= 45º Para obtener en un triángulo rectángulo que uno de sus ángulos mida 45º, obligatoriamente el otro ángulo agudo también debe medir 45º, es decir estamos frente a un triángulo rectángulo isósceles (equivalente a la mitad de un cuadrado). Figura 1

C A

B

45

45

a

a

C A

B

45

45

a

aa √ 2

Figura 1 Figura 2

Por el teorema de Pitágoras, podemos calcular el valor de la hipotenusa AB, lo cual arrojará el valor de 2a , por lo tanto se completa nuestro triángulo a la figura 2. Aplicando la definición de nuestras funciones trigonométricas, obtenemos que: α= 45º




( ) ( )

( ) 145tg

22

21

245cos

22

21

245sen

0

00

==

======

aa

aa

aa

Caso dos: Para un ángulo α= 30º En este caso para obtener un triángulo rectángulo en el cual uno de sus ángulos agudos mida 30º, obliga a que el segundo ángulo agudo mida 60º, y este tipo de triángulo equivale a la mitad de un triángulo equilátero.

30

60

Como conocemos la relación de lados y altura de un triángulo equilátero, tenemos:

30

60

2a 2a

a a

h h = a√ 3

Por lo tanto conocemos la relación de los lados de nuestro triángulo:

30

60

2a

a

√ 3a

y finalmente tenemos:




( )

( )

( )33

31

330

23

2330cos

21

230

0

0

0

===

==

==

aatg

aa

aasen

( )

( )

( ) 3360

21

260cos

23

2360

0

0

0

==

==

==

aatg

aa

aasen

Resumiendo, tenemos el siguiente cuadro: Cuadro Nº 1

Función/ ángulo 30º 45º 60º Sen(α)

21

22

23

Cos(α) 23

22 2

1

Tg(α) 33

1 3

En este momento podría surgir la siguiente pregunta de manera natural: ¿ Sólo a los ángulos agudos le podemos aplicar estas funciones? Según la definición que hemos dado a través de un triángulo rectángulo, la respuesta es si. Pero entonces recurriremos a otro método para esos casos, y ahora tendremos una generalización de estas definiciones. 4.5 CIRCULO GONIOMETRICO Es un círculo de radio 1 con centro en el origen:




αX

Y

-1 1

1

-1

Al formar un ángulo α cualquiera con respecto al eje horizontal positivo, las proyecciones del radio (en ese punto donde se forma el ángulo α), sobre el eje X e Y se obtienen los valores de coseno y seno de a respectivamente.

αX

Y

-1 1

1

-1

cos

sen α

α

Esto nos muestra claramente los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de medida 0º; 90º; 180º ; 270º ; 360º, para ello basta ver las coordenadas de esos puntos:

0º

90º




X

Y

-1 (1, 0)

1

-1

X

Y

-1 1

(0 , 1)

-1

180º

X

Y

(-1, 0) 1

1

-1

270º

X

Y

-1 1

1

(0 , -1)

360º

X

Y

-1 (1, 0)

1

-1




La primera coordenada representa coseno y la segunda seno, por lo tanto tenemos que:

sen (0º) = 0 = sen (360º) sen (90º) = 1 sen (180º) = 0 sen (270º) = -1

cos (0º) = 1 = cos (360º) cos (90º)= 0 cos (180º) = -1 cos (270º) = 0

Podemos ahora completar el cuadro Nº 2: Función /

ángulo 0 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º

sen (α) 0 21

22

23

1 0 -1 0

cos (α) 1

23

22 2

1 0 -1 0 1

tg (α) 0

33

1 3 ∞ 0 -∞ 0

4.6 Formulas de Adición: Ya hemos conocido el valor de las funciones trigonométricas para distintos valores del ángulo. Pero ahora nuevamente nos podemos interrogar ¿Cómo podemos calcular el valor de seno y coseno si el ángulo midiera 15º, 75º ó 120º ? Para ello introduciremos seis fórmulas llamadas fórmulas de adición las cuales nos resolverán el problema:

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )αββαβα coscos sensensen +=+

2 ( ) ( ) ( ) ( ) (ββαβα coscos sensensen +=−

3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )βαβαβα sensen−=+ coscoscos

4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )βαβαβα sensen+=− coscoscos

5 6




( ) ( ) ( )( ) ( )βα

φαβαtgtgtgtgtg

−+

=+1

( ) ( ) ( )( ) ( )βα

φαβαtgtgtgtgtg

+−

=−1

Ejemplo: ¿Cuál es el valor de sen(15º)? Buscamos la manera de escribir 15º como suma o resta de ángulos con valores conocidos 15º = 45º - 30º por lo tanto: sen(15º) = sen (45º - 30º) usando la fórmula número 2 se tiene: sen (45º - 30º) = sen(45º)·cos(30º) – sen(30º)·cos(45º)=

4

2642

46

22

21

23

22 −

=−=−

Podemos concluir de las fórmulas de adición las siguientes 3 fórmulas: 1) sen ( 2α ) = 2sen(α)·cos(α)

2) cos ( 2α ) = cos² (α)- sen²(α)

3) tg ( 2α ) = 2 tg(α) 1 - tg²(α)

Ejemplo:

sen (60º) = sen (2 · 30º) = 2sen 30º · cos 30º 23

23

212 =⋅⋅=

4.7 Identidades Trigonométricas. Una identidad trigonométrica es una igualdad, válida siempre, independiente del valor del ángulo, es decir sea cual sea el valor de α, la igualdad siempre será verdadera. Las identidades siempre deben ser demostradas, aunque, no siempre será lo que nos pidan realizar, muchas veces tendremos que utilizar algunas de ellas. Las identidades más utilizadas son:

1) sen²(α) + cos²(α)= 1

2) 1 + tg²(α) = sec²(α)

3) 1 + cotg²(α)= cosec²(α)

4) sen²(α)= 1 – cos( 2α) 2




5) cos²(α)= 1 + cos(2α) 2

Ejemplo: Demuestre que: ααα

α cosec cotg cos 1

sen=+

+

En este caso desarrollaremos el lado izquierdo de la igualdad, pues allí aparecen más elementos para trabajar y la función cotangente la llevaremos a términos de seno y coseno.

( )

( ) ( )

αα

ααα

ααααα

ααααα

αα

ααα

αα

ecsen

sensensen

sensensensen

cos1cos1

cos1cos1

coscoscos1

coscossencos

cos 1 cotg

cos 1

22

22

==

++

=+

++=

+++

=++

=++

Observación: En general es conveniente trabajar las identidades en términos de seno y coseno y escoger el lado de la igualdad que traiga mayor información, “aunque parezca más complicada, ojo sólo parece”.




Ejercicios

1. Demostrar los siguientes identidades:

a) ααα

αα cosc 2

1 sen tg

1 - sec tg

=+

+

b) ( ) ( ) 7 cotg tg sec cos c cose sen 2222 ++=+++ αααααα

c) αααα

ααα cotg cos - sen sen - 1

cos - cos sen 222 =

+

d) ( ) ( ) αααααα c cose sec cotg tg cos sen +=++ e) ( ) ( ) ( )2 22 c cose sec cotg 1 tg 1 ααα α +=+++

f) ααα

α cosec cotg cos 1

sen=+

+

g) ( ) ( ) ααααααα tg3 - cos 2 tg2 - sec tg sec 2 cos =+

h) 2

2

2

cotg 1 tg- 1

cotg 1 tg 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

+α

αα

α

i) ( ) ( ) αααα cotg 10 - cosec 3 1 - cotg 3 3 - cot 2=g

j) ( )ααααα

αα cosec cotg cos 2

sec - 1sen 1 -

sec 1sen - 1 2+=

++

k) ααα

ααα

α tg sec sen

1 cos : c cose cos

1 sen =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

l) αααα cotg cosec

cos - 1 cos 1

+=+

α

αα

ααα

sec14 cotg 4 -

sec 11 - sec -

cos - 1 cos 1 2

+=

++

2. Demostrar las siguientes identidades:




a) α

βαβ

βα cotg

tg cotg - cot

tgtg=

g

b) ( ) cosec - cosec sen sen sen cos - cos sen 22222222 αβαβαβα =

c) ββ

αβα

ααβ

αα tg sec

tg - cos cos

sen - cotg - cot

cotg - tg+

=g

3. Demuestre que: 1 sec - 2

cos cosec - 2

sen cos sen =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ααπααπαα

4. Si b

sen a cos θθ

= demuestre que: a 2cosec

b 2sec

=+θθ

a

5. Determinar si son validas las siguientes igualdades:

a) 21 ) - (30ºsen ) (30ºsen - ) - (30º cos ) (30º cos =++ αααα

b) αααπ

sen - 1sen 1

2

4 tg 2 +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

c) ααπαπ 2sen - 4

sen - - 4

cos 22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

d) ( ) ( )23 - 120 sen º120 sen sen 222 =+++ ααα

e) 2 2

cos - 2

sen 2

cos 2

sen2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

αααα

f) ( )αα

- 45º cotg 2sen - 1

2x cos=

g) 1 cos 8 - cos 8 4 cos 24 += θθθ




h) θθπ

θπ

2 cosec -

4 tg- 1

- 4

tg 1

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

i) 0 3

2 cos - 3

2 cos cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ θπθπθ

j) 0 2 -

32sen -

32 sen

4

cos - - 4

cos=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θπθπ

θπθπ

k) θθθ tg 2 cotg - 2 cos =ec l) ( ) ( ) αααα 3 tg- 120º tg 60º tg tg =++

6. Si 2

tg4 2

tg αβ= demuestre que:

αααβ cos 3 - 5

sen 3 2 - tg =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

7. Reduzca y calcule cuando corresponda:

xsenxjecsen

i

sentgsensensenhseng

senfecgsen

e

tgdectg

c

ecgecbsen

tga

55

33

44

2

22

cos.cos1

11

1.

cos.cos.

cos.)cos(cot

.

65cot

43.cos

11sec.

coscotcos.1

cos.

−−+

++

−

+−

−−−

−−+

−

−−−

−−

−−+

+−

+

αα

αααααααα

ααααα

ππαα

α

ααα

ααα

8. Determine si las siguientes igualdades son identidades:

a) )(cos)sec()cot()( αααα ectg =+




b) 1)(cos2)(21 22 −=− ααsen

c) )sec()()()cos( αααα =+ sentg

d) 1)(2)cot()()cot()( 2 −=

+− α

αααα sen

tgtg

e) )(1)(1)()(cos 2

222

αααα

tgtgsen

+−

=−

f) )(cos1)(cos

11)(2)( 42

24 αα

αα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

ecsensen

g) 2

2

2

)(cot1)(1

)(cot1)(1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

++

αα

αα

gtg

gtg

h) )()(cos)()(cos)(

)cos())(cos)(sec()cos()(1

33

22

ααααα

ααααα sen

sensen

ecsen

=+−

⋅−

−

i) )()()cos(1)((cot)1))(sec((cos αααααα sentggec −=−−−

j) 222 ))cos(1()()1)(sec( ααα −=−− tg

k) )cos()(

)(cos)(21)(cot1

)(cot)(1

)( 22

2

3

2

3

αααα

αα

αα

sensen

gg

tgtg −

=+

++

9. Si )(cos)sec(1),(cot ααα eca

aentoncesga =+=

1))(cos23)((cos))(23)(( 2424 =−+− αααα sensen

0)sec(11)()(sec

)(11)sec()(cot 22 =

+−

⋅++

−⋅

ααα

ααα sen

seng

10. Demuestre las siguientes identidades




a. xxxx seccossentg =+ .

b. xxxx tgsec

sen1sen1

−=+− .

c. xx

xx

xx

tg1cos2

tg1sec

sectg1

−=

++

+ .

d. yygy

yy

y cossencot1

sentg1

cos+=

−+

+.

e. ( )yxyxyx

tgtg1tgtgtg

−+

=+ .

f. ( ) ( ) ( )xxx

xx 2cos4

cos3cos

sen3sen

=+ .

11. Si ymx sensen = . Demuestre que ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2tg

11

2tg yx

mmyx .

12. Elimine el ángulo x de las ecuaciones:

a. bx =αcoscos . b. cx =αsensen .

13. Demuestre:

( )( )

xxxx

xx

cossencos21cos21

tg1tg +−

=− .

01

2cos

1secsentg

sen2

tg=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xec

xxx

xxc

π

π

.

14. Verificar las siguientes igualdades:

a. ( ) ( ) 1120cos120sen 22 =+x . b. ( ) ( ) ( )120sen12cos240cos 22 −= .

c. ( ) ( )( )120cos12160 +=sn .




d. 1

23sen

2cos

3sen

6cos

45tg

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ππ

πππ

.

e. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

34cos1

34sen

32tg

π

ππ .

4.8 Ecuaciones Trigonometricas.

Una ecuación trigonométrica es aquella en la cual las incógnitas se encuentran en el argumento de la función trigonométrica. Para resolver una ecuación trigonométrica se deben aplicar algunas identidades (no siempre) para lograr expresar toda la ecuación en términos de una sola función (seno o coseno). Ejemplo 1: sen(x) - 1 = 0, Despejamos la función seno, entonces sen(x) = 1, debemos determinar para que valores del ángulo x, sen(x) es igual a uno, podemos recurrir al cuadro Nº 2 y verificar que el valor de x debe ser 90º (o bien π/2), pero son infinitas las soluciones de una ecuación trigonométrica, esto porque las funciones de este tipo son periódicas, esto quiere decir que comienza a repetir sus valores, si a cada ángulo le sumamos 360º (o bien 2π) obtendremos los mismos valores para el seno (y también para coseno), por lo tanto la solución de la ecuación sen(x) = 1 es: x = π + 2kπ ; k∈ Z, de esta forma nos aseguramos de obtener todas las posibles soluciones. Ejemplo 2: cos² (x) – sen(x) - 1 = 0 x ∈ [0, 2π]. Si reemplazamos cos²(x) por 1 - sen²(x), se obtiene: 1 - sen²(x) – sen(x) - 1 = 0 sen²(x) – sen(x) = 0, Factorizando por sen(x) se tiene: sen(x)[sen(x)-1]=0, por lo tanto sen(x) = 0 ó sen(x) = -1, recurriendo al cuadro Nº 2 (si es necesario) podemos concluir que los valores para el ángulo x, es: x = 0 ó x = π ó x = 2π ó x =3π/2.




Ejercicios: 1. Hallar todos los ángulos entre 0º y 360º que satisfacen las siguientes

ecuaciones:

a) 23 xcos = R: 30º , 330º

b) 1- x tg = R: 135º , 315º c) 5 x cos 2 - x sen 8 2 = R: 60º , 300º , 136,6º y 221,4º d) 11 x sec - x tg5 22 = R: 60º , 240º , 120º y 300º

e) 2

3 x cosec x sen =+ R: 4

3 , 4

ππ

f) 25 x sec x cos =+ R: 60º , 300º

g) xcosec x cotg - x tg = R: 3

5 , 3

ππ

h) sen x 2 x tg 1 x sen x tg 2 +=+ R: 30º , 45º, 150º y 225º i) ( ) ( ) x tg xcossen x 2 1 x tg- 1 +=+ R: 0 ,

4 7y

4 3 , πππ

j) 2 + sec x - 2 sen x = tg x R: 3

4 , 3

2 ππ

k) 1 x sen x cos 2 23 =+ R: 3

5y 3

, 2

3 , 2

ππππ

2. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas, para x ∈ [0,2π]

a. 03sen2 =+x b. 01tg3 =+x

c. 01sen4 2 =−x

d. 1cos2 2 =x

e. 1sensen2 2 =+ xx

f. 1cos3cos2 2 −=+ xx




g. 3cos2cos2 =+ xx

h. 32 2 =− senxxsen

i. 4sen7sen2 2 =+ xx

j. 02sen5sen2 2 =+− xx

k. 2tg x + 3 = 0

l. 4 sen(x) – 1 = 0

m. 6cos(2x) + 5 cos(x) + 1 = 0

n. sen(2x) + sen(x) – 1 = 0

o. sen(2x) · cos(x) - cos(x) = 0

p. tg(x) · sen(x) – tg(x) = 0

q. 2sen(x) · cos(x) + sen(x) = 0

r. sen(2x) · sen(x) – cos(x) = 0

s. sen(2x) · cos(x) – sen(x) = 0

t. sen(2x) + 2sen(x) · cos(x) = 0

u. cos(2x) · sen(x) + sen(x) = 0

v. cos(2x) · cos(x) + sen(2x) · sen(x) = 1

w. sen(2x) + 2sen(x) – cos(x) –1 = 0

x. sen(2x) + sen(x) + 2cos(x) + 1 = 0

y. sec2x = 4 tg2xjklj

4.9 Problemas de Aplicaciones




1. Mirando hacia el sur desde la parte superior de un acantilado, los ángulos de depresión de una roca y de una baya se observa que son de 45º y 60º. Si se sabe que estos objetos están separados 110 m, hállese la altura del acantilado. R: 260,26 m

2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 7m más que uno de los catetos

y 14m más que el otro, determine sen α ; sen β; tg α; y el valor de cada lado (α y β son los ángulos agudos)

3. Un hombre observa la cumbre de una montaña con un ángulo de elevación de

45º, en seguida avanza 50 metros y observa la cumbre con un ángulo de 60º de elevación. ¿Cuál es la altura de la montaña?

4. La altura de un triángulo divide al lado correspondiente en 2 segmentos que

miden 12 y 6 cm. Si la altura mide 6 cm. Entonces la medida de sus ángulos es.

5. Desde la cumbre de un cerro se observa una persona con un ángulo de

depresión de 72º. ¿cuál es la altura del cerro , sabiendo que la persona se encuentra a 1.000 metros del pié del cerro? (tg 72º = 2,125)

6. Se tienen dos grandes edificios, donde uno de ellos tiene 30m más de altura

que el otro. Un observador ubicado a 100m de distancia de la más baja (en línea recta a ambas), observa que sus cúspides se encuentran en una línea recta cuya inclinación respecto a la horizontal es de 27º. Si tg 27º = 0,51, las alturas aproximadas de ambos edificios es .

7. Determine la altura a la que se encuentra un volantín si el ángulo que forma el

hilo con la base del piso es de 30º y el hilo desplegado tiene una longitud de 20 m.

8. Un globo es inflado con gas helio y se ata al piso con un cordel que tiene

longitud x. Si cuando el ángulo de elevación es 60º el cordel proyecta sobre el suelo una sombra de 12m, ¿Cuál es el largo del cordel y a qué altura se encuentra el globo?

9. Desde la cumbre de un cerro se observa una persona con un ángulo de

depresión de 72º. ¿cuál es la altura del cerro , sabiendo que la persona se encuentra a 1.000 metros del pié del cerro? (tg 72º = 2,125)

10. Se tienen dos grandes edificios, donde uno de ellos tiene 30m más de altura

que el otro. Un observador ubicado a 100m de distancia de la más baja (en línea recta a ambas), observa que sus cúspides se encuentran en una línea




recta cuya inclinación respecto a la horizontal es de 27º. Si tg 27º = 0,51, ¿Cuál es la altura aproximada de ambos edificios?

11. Una escalera de 50 m de largo se deja descansar contra un muro vertical. El

pie de la escalera está a 14 m de la base del muro. Si el extremo superior de la escalera se desliza 8 m , entonces, determine cuánto se correrá el pie de la escalera.

12. Dos postes de 3 y 7 m de altura, están separados 15 m. Determine la altura de

la intersección de las rectas que unen las cúspides de cada uno con la base del poste contrario.

13. Una colina mide 420 m de altura. Se encuentra que el ángulo de elevación a la

cima vista desde un punto R en el suelo es de 30º. Determine la distancia desde R al pie de la colina.

14. Una escalera de 13,5 m de longitud llega hasta la parte superior de un muro. Si

la escalera forma un ángulo de 60º con el muro. Hallar la altura de éste y la distancia a él desde el pie de la escalera.

15. Un asta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio; a 12

m de distancia, los ángulos de elevación de la punta del asta y de la parte superior del edificio son de 60º y 30º respectivamente. Hallar la longitud del asta.

16. Desde la cúspide de un monumento de 30 m de altura, los ángulos de

depresión de dos objetos, que están sobre el terreno en la dirección Oeste del monumento son de 45º y 30º respectivamente. Hallar la distancia que los separa.

17. Mirando hacia el sur desde la parte superior de un acantilado, los ángulos de

depresión de una roca y una boya se observa que son de 45º y 60º. Si se sabe que estos objetos están separados 110 m hallar la altura del acantilado.

18. Desde lo alto de un acantilado de 1.500 m de altura los ángulos de depresión

de dos embarcaciones que están situadas al sur del observador son de 25º y 85º respectivamente. Hallar las distancias entre estas embarcaciones.

19. Una torre está al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano

horizontal es de 9º. Desde un punto de la colina 12 m más arriba la torre subtiende un ángulo de 54º. Hallar la altura de la torre.

20. Dos astas de bandera se levantan verticalmente sobre un plano horizontal. A y

B son dos puntos sobre la recta que une los pies de las astas y están entre




ellos. Los ángulos de elevación de los extremos superiores de las astas vistos desde A son 30º y 60º y vistos desde B son 60º y 45º. Si la longitud de AB es de 9 m hallar las longitudes de las astas y la distancia que los separa.

21. Dos chimeneas AB y CD tienen la misma altura. Una persona que está entre

ellas en la recta AC que une sus bases observa que la elevación de la más cercana es de 60º. Después de caminar 24 m en una dirección perpendicular a AC observa que las elevaciones son de 45º a la más cercana y 30º a la otra. Hallar la altura de las chimeneas y la distancia que las separa.

22. Determinar la altura de un árbol si el ángulo de elevación de su extremo

superior crece de 20º a 40º, cuando un observador avanza 75 cm, hacia el pie del árbol.

23. Un cuadro de 5 pies de longitud cuelga de una pared de modo que la arista

inferior del cuadro esta a cuatro pies del piso. Un observador cuyos ojos están a cinco pies sobre el piso mira hacia el cuadro desde un punto situado a x pies de la pared. Demuestre que el ángulo β subtendido por el cuadro en el ojo del

observador esta dado por: 4

5tg 2 −=

xxβ .

24. Desde una distancia de 300 metros a la base de una chimenea, el ángulo de

elevación a la cúspide de ella es 30º, determine la altura de la chimenea. 25. Determinar la distancia de un observador a la cúspide de una iglesia que tiene

132 yardas de alto, sabiendo que el ángulo de elevación es de 41º18’. 26. Una bandera esta atada a un mástil de 10 pies de altura. Los ángulos de

elevación al punto superior e inferior de la bandera son de 60º y 30º, respectivamente. Determinar el ancho de la bandera.

27. Cada uno de los lados de un rombo miden 12,22 cms y cada ángulo 42º5’.

Determinar la longitud de sus diagonales. 28. En un edificio se construye una escalera cuyos peldaños tienen 26cm de ancho

y 14 cm de alto ¿qué inclinación tiene la escalera con respecto a la horizontal? 29. Un hombre de 1.70 metros de altura y ubicado a 25 metros de un árbol observa

el punto mas alto de este árbol con un ángulo de elevación de 36º. Calcular la altura del árbol.

30. Se necesita conocer la diferencia entre las alturas de dos chimeneas que están

a 30. Metros de distancia. Para ello un observador se ubica entre ellas a 10




metros de la mas baja. Los ángulos de elevación son 35º con la MENOR Y 51º con la mayor.

31. Un árbol ha sido roto por el viento de manera que el tronco forma con la tierra

un triángulo rectángulo. La parte superior del árbol forma un ángulo de 35º con el piso y la distancia medida sobre el piso, desde el tronco hasta la cúspide del árbol es de 5 metros. Hallar la altura del árbol antes de quebrarse.

32. Para determinar la distancia desde una posición B a una posición enemiga A,

se han medido una base BC y los ángulos ABC y BCA. Si dichas medidas son 1006 metros, 44º y 70º respectivamente; hallar AB.

33. Dos boyas están separadas por una distancia de 64,2 metros y un bote esta a

74,1 metros de la mas cercana. El ángulo que forman las dos visuales del bote a las boyas es de 27º18’. Determinar la distancia que hay entre el bote y la boya mas lejana.

34. Un paralelogramo tiene lados de longitud 30cm y 70 cm y uno de sus ángulos

es 65º. Calcular la longitud de cada diagonal. 35. Un pose vertical de 40 pies de altura se encuentra en la ladera de una colina

que forma un ángulo de 17º con la horizontal. Determinar la longitud de la mínima del cable necesario para unir la parte superior del poste con u punto directamente debajo de la colina a 72 pies de la base del este.




Ejercicios

1. Expresar en radianes los siguientes ángulos: 105º , 45º , 135º , 150º , 225º , 450º , 720,6º , -55º.

2. Expresar en grados los siguientes ángulos: 4

, 457 ππ , 0.5201, 2.6178, 1,

250, 77.

3. En cada caso dibuje el ángulo en un sistema de coordenadas y determine los valores de cada función trigonométrica:

a) 225º b) 45º c) 135º

d) 5π /4 e)12π /3 f) -450º

4. Determine el valor de las seis funciones trigonométricas del ángulo α si su

lado terminal contiene al punto:

a) (-1,2) b) (4,7) c) (-0.5,-0.3)

5. Determine el valor de todas las funciones trigonométricas del ángulo α si:

a) cos(α ) = -1/7 y α esta en el tercer cuadrante.

b) sen(α ) = 2/3 y α esta en el segundo cuadrante.

c) cot(α ) = -5 y α esta en el cuarto cuadrante.

d) sec(α ) = 15 y sen(α )<0.

e) cosec(α ) = -7 y tg(α )<0.

f) tg(α ) = 1/9 y sec(α )<0.

6. Si 0,5 tg =α , hallar α sec y α cosec siendo 90º º0 << α .

R: 5 , 25

7. Si 4

15 cot =g Hallar el valor de αααα

sen 3-cos6 cos 7 sen5 + R:

78125




8. Si AD se traza perpendicular a BC, base de un triángulo equilátero y BC =

2, hállese AD. Después de la figura demuestre que:

413 30º cotg 60º cos 22 =+ .

9. Hállese el valor numérico de:

4

sec 81

6 cotg

21-

3 sen -

4 tg3 2222 ππππ

+ y también determine x de la

ecuación º - α (º - α g ( α α x º - α - α)ec ( 90sen90cotcos90cos = R: 1 ; α tg

10. Si 22 q - ppq 2 =αTg . Hállese α cos y α cosec . R:

pqpp

2q p ;

q - q - 22

22

22 +

11. Si tg(α) + sec(α) = 2, demuestre que:

a) 30º cos - 130º cos 1

60º cotg - 160º cotg 1

2+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

b)

6 cos

3 cos

3 cos -

6 cos

3

cotg - 3

tg2 2

22

22

ππ

ππππ

=

12. Si 0,6 sen =α determine el valor de ( )α 270º sen + R: 0,8 ±

13. Si παπα 2

y 0.6 sen <<= , encuentre los valores de: 2

- ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ παsen y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ - απec

23cos . R: 0,8 ; 1,25

14. Exprese en la forma más simple:

( )

( )( )

( )αα

αα

αα

30ºsen cos

cot 30º tg -

180º sensen

++

++ g

R: 3




15. Si ,32 - tg 180º º90 =∧<< αα demuestre que:

( ) ( )

( ) ( ) 132 -

- 360º cotg - 270º tg - 180º cos - - 90º sen

=+ αα

αα

16. Si a 25º tg = , encontrar el valor de: 335º tg 245º tg115º tg- 205º tg

+ R: 2

2

a - a1 +a

17. Si α y β son ángulos agudos de un triángulo rectángulo y cos(α ) = 3/5.

Calcular )cot()(

)2cos(3)2(βα

βα+−

tgsen .

18. Si tg(25º)=a calcule x en: 2x + x tg(155º)tg(115º) = tg (155º) – tg (115º).

19. Determine los valores de ecxxxxx cos,sec,tg,cos,sen y gxcot , bajo las

siguientes condiciones:

a. 2

0135sen π

<<= xx .

b. 2

354cos ππ <<−= xx

c. ππ<<−= xx

231tg .

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