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ACADEMIA CASTIÑEIRA Curso:2013-2014

SANTIAGO RUSIÑOL Carrera: Grados Minas-Energía

TELEFS. 91 534 16 64 - 91 533 82 01 Asignatura: Cálculo I

28040 MADRID Profesor: Elisa Escobar

TTTEEEMMMAAA 222... LLLÍÍÍMMMIIITTTEEESSS YYY CCCOOONNNTTTIIINNNUUUIIIDDDAAADDD





2. Tema 2. Límites y continuidad

222...111... FFFUUUNNNCCCIIIOOONNNEEESSS RRREEEAAALLLEEESSS

ÍNDICE

1. Definición de función.

2. Cotas y extremos de una sucesión. Sucesiones monótonas

3. Límite de una función:

- Límites laterales.

- Extensión del concepto de límite.

4. Operaciones con límites

5. Infinitésimos e infinitos:

- Infinitésimos equivalentes.

Anexo 1. Tabla de infinitésimos equivalentes

- Orden de un infinitésimos y de un infinito

6. Continuidad de una función en un punto.

7. Discontinuidad de una función en un punto:

- Tipos:

Evitable.

Inevitable de 1ª especie o salto finito

Inevitable de 2ª especie o salto infinito

8. Continuidad de una función en un intervalo.

9. Operaciones con funciones continuas

10. Teoremas de continuidad:

- Teorema de Weierstrass

- Conservación del signo de funciones continuas

- Teorema del valor medio

- Teorema de Bolzano

- Teorema de monotonía y continuidad

11. Continuidad uniforme






TEORÍA

1. LíMITE DE UNA FUNCIÓN

Sea f(x) una función definida en un entorno reducido del punto a, se define limite:

lxfaxxRRRlxfax

)(;:/)(,)(lim **

Si existe límite éste es ÚNICO.

Límites laterales:

- Límite lateral por la derecha:

dd

axlxfaxxRRRlxf )(;:/,)(lim **

- Límite lateral por la izquierda:

ii

axlxfaxxRRRlxf )(;:/,)(lim **

Extensión del concepto de límite:

MxfxxxRMRMxfxx

)(;:/)(,)(lim 0

0

MxfxxxRMRMxfxx

)(;:/)(,)(lim 0

0

LxfnxRnRRLxf

x)(:)(/)(,)(lim

LxfnxRnRRLxf

x)(:)(/)(,)(lim

KxfKKxRKKRKxfx

)(:)´(/)´(,)(lim

KxfKKxRKKRKxfx

)(:)´(/)´(,)(lim






2. OPERACIONES CON LÍMITES

Dado RLxfax

1)(lim y RLxgax

2)(lim

- Suma: 21)(lim)(lim))((lim LLxgxfxgfaxaxax

- Producto: 21)(lim)(lim))((lim LLxgxfxgfaxaxax

- Cociente: 2

1

)(lim

)(lim

)(

)(lim)(lim

L

L

xg

xf

xg

xfx

g

f

ax

ax

axax

; con Ixxg ;0)( y 02 L

- Valor Absoluto: RLxfxfaxax

1)(lim)(lim

- Logaritmos: 1log)(limlog)(loglim Lxfxf bax

bbax

; donde 0)( xf ; 01 L ; b>0.

- Exponencial: 1)(lim

)(limL

xfxf

axeee ax

- Potencias: 2

1

)(lim)(lim)(lim

Lxg

ax

xg

axLxfxf ax

3. INFINITÉSIMO E INFINITO

- Se dice que f(x) es un infinitésimo en x=a 0)(lim

xfax

.

- Se dice que g(x) es un infinito en x=a

)(lim xgax

.

Infinitésimos equivalentes

Dados las funciones f(x) y g(x) dos infinitésimos, éstos son equivalentes en x=a 1)(

)(lim xg

xf

ax

(ver Anexo 1)






Orden y Parte Principal de un infinitésimo (o de un infinito):

- Orden “n”: La comparación entre dos infinitésimos/infinitos da lugar al ORDEN de un

infinitésimo/infinito

Si se quiere hallar el orden de un infinitésimo/infinito en x=a se compara con el infinitésimo (x-a)n

o con el infinito nax )(

1

, respectivamente, donde n es el orden del infinitésimo/infinito.

ORDEN DE UN INIFITÉSIMO EN

x=a

PARTE PRINCIPAL DE UN INIFITÉSIMO EN x=a

Rkax

xfnax

)(

)(lim ( 0k )

?¿n

Si

0))((lim)(lim LxfRLxfaxax

Lxfx )()( es un infinitésimo en x=a→

);()()(lim xLxfRLxfax

con 0)( x para

ax

Por tanto como:

)()(

)(0

)(

)(lim xK

ax

xfK

ax

xfnnax

0)()()()( xaxaxKxf nnpara ax

PARTE PRINCIPAL

El segundo sumando es un infinitésimo de mayor orden→se

desprecia frente a la parte principal.

ORDEN DE UN INIFITÉSIMO EN

x=

PARTE PRINCIPAL DE UN INIFITÉSIMO EN x=

Rk

x

xf

n

x

1

)(lim ( 0k )

IDEM

Orden

)(1 x






?¿n

ORDEN DE UN INIFITO EN x=a PARTE PRINCIPAL DE UN INIFITO EN x=a

Rk

ax

xf

n

ax

)(

1

)(lim ( 0k )

?¿n

Si

0))((lim)(lim LxfRLxfaxax

Lxfx )()( es un infinitésimo en x=a→

);()()(lim xLxfRLxfax

con 0)( x para

ax

Por tanto como:

)(

)(

1

)(0

)(

1

)(lim xK

ax

xfK

ax

xf

nn

ax

0)()(

1

)(

1)(

x

axaxKxf

nnpara ax

PARTE PRINCIPAL

El segundo sumando es un infinito de menor orden→se

desprecia frente a la parte principal.

ORDEN DE UN INIFITO EN x= PARTE PRINCIPAL DE UN INIFITO EN x=

Rkx

xfnx

)(lim ( 0k )

?¿n

IDEM

Todo infinitésimo/infinito es EQUIVALENTE con su parte principal.

Dos infinitésimos/infinitos equivalentes tienen igual parte principal.

Orden

Orden

)(1 x

Orden






4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Sea f(x) una función, se dirá que es continua en x=a

)()(;:/),(, afxfaxxRaR . Es decir: lxfafax

)(lim)( .

Por tanto se tienen que cumplir estas 3 condiciones:

1. f(a) exista

2. )(lim xfax

exista

lxfxfxfaxaxax

)(lim)(lim)(lim

)(lim xfax

exista

3. lxfafax

)(lim)(

5. DISCONTINUDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

f(x) no es continua en x=a si no verifica alguna de las tres condiciones antes indicadas, entonces se

dice que en x=a f(x) es discontinua.

Tipos de discontinuidad:

1. Evitable:

Existe RLxfax

)(lim pero no cumple: )(afL ó

)(af no está definido en x=a

Se evita imponiendo que: )()(lim afxfax

.

2. Inevitable:

f(x) presenta discontinuidad inevitable en x=a si

)(lim xfax

no existe o es .






Hay dos tipos:

- Inevitable de 1º especie o salto finito:

2

1

)(lim

)(lim

Lxf

Lxf

ax

ax pero 21 LL salto: 21 LL

- Inevitable de 2º especie o salto finito:

No existe límite porque alguno o ambos de los límites laterales no existen.

6. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

Sea f(x) una función, se dirá que es continua en el intervalo RI es continua en todos los puntos

del intervalo.

Puede ser continua en:

- Un intervalo abierto (a,b) f(x) es continua ),( bax

- Un intervalo cerrado ba, , si se verifica:

1.- Continua en (a,b) ),();()(lim 00

baxxfxfxx

2.- Continua en a+ )()(lim afxfax

3.- Continua en a- )()(lim bfxfbx






7. OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS

Dado )(xf y )(xg continuas en RI

- Suma: ))(( xgf es continua en RI

- Producto: ))(( xgf es continua en RI

- Cociente: )(

)(lim)(

xg

xfx

g

f

ax

; con ;0)( xg Ix es continua en RI

- Valor Absoluto: )(xf es continua en RI

- Potencias: Si f>0 Ix : )(xfg

es continua en RI

- Composición de funciones: Si g(x) es continua en RI y f(x) es continua en RJ con

gfJIg )( es continua en RI .

8. TEOREMAS DE CONTINUIDAD

1. Dado )(xf y )(xg continuas en RI

- ))(( xgf es continua en RI

- ))(( xgf es continua en RI

- )(

)(lim)(

xg

xfx

g

f

ax

; con ;0)( xg Ix es continua en RI

2. Son continuas para Rx las funciones: Polinómicas

Seno y coseno

Exponenciales: 0; aa x

3. Si f(x) es continua en ba, f(x) es acotada en ba,






4. Si y=g(x) es continua en x=x0 y z=f(y) es continua en y=y0 con )( 00 xgy ))(())(( xgfxgf

continua en x=x0.

Teorema de Weierstrass:

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él, al menos una vez, sus

extremos superior e inferior.

Conservación del signo de funciones continuas:

Si f(x) es continua en x=a y 0)(af I aaxaa ,/, se verifica que f(x) tiene el

mismo signo que f(a).

Teorema del valor medio:

Si f(x) es continua en ba, y f(a)=A y f(b)=B CcfbacBAC )(/,,

Teorema del Bolzano:

Si f(x) es continua en ba,

Y 0)(/, cfbac Existe al menos uno pueden existir más)

Sigf(a) Sigf(b)

Teorema de monotonía y continuidad:

F(x) es continua en RI y estrictamente monótona (creciente o decreciente) la función inversa f-1

(x) es continua y estrictamente monótona en f(I).






9. CONTINUIDAD UNIFORME

f(X) es uniformemente continua )()(;:,/)(, 2112121 xfxfxxIxxRR .

Si f(x) es uniformemente continua en ),( ba Es continua en ),( ba

Si f(x) es uniformemente continua en ba, Es continua en ba, .






ANEXO. 1. TABLA DE EQUIVALENCIAS DE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES

Funciones reales: y = f(x)

0)( xf 1)( xf

Sen f(x) ~ f(x) L f(x) ~ f(x) - 1

Tg f(x) ~ f(x) Log f(x) ~ f(x) - 1

Arcsen f(x) ~ f(x)

Arctg f(x) ~ f(x)

1- cos f(x) ~ 2

)( 2xf

)(xf

L(1+ f(x)) ~ f(x) L

)(

1

)(

11

xfxf

Log (1+ f(x)) ~ f(x) L

)()( )(

1

)(

11

xfxf xfxf

af(x) – 1 ~ La. f(x) Arctg

)(

1

xf ~

)(

1

xf

ef(x) – 1 ~ f(x) a0 xn+a1xn-1+…+an ~ a0xn

f(x)f(x) – 1 ~ f(x).Lf(x) Logp(a0xh+..+an) ~ h. logpx

(1+ f(x))p-1 ~ p. f(x)

Pn(x) ~ término de menor

grado






EJERCICIOS DEL TEMA 2. FUNCIÓN-LÍMITES-CONTINUIDAD

Límites de funciones

1. (Examen). Concepto de límite de una función en un punto.

2. Aplicando la definición, demostrar que 4lim 2

2

x

x

3. Hallar los límites de las siguientes funciones:

a) (Examen). 133

1lim

231

xxx

x

x

b) (Enero 2011).

)2)(1(

3

2lim

2 xx

x

x

x

x

c) (Examen).

x

x

x x

xx

13

33

23

2

1

2lim

.

d) (Examen).

12

1

123

cos1

lim5

30

xtg

x senx

x.

e) (Examen). arcsenxx

xLx

X 1)1(

)1()13(lim

32

2

0

f) 20 )2(cos

2limxsenx

xxarctg

x

g) (Examen). xgxx

cos1cotlim0

h) 2sec

11lim

x

xxtg






i) (Examen).

xg

x xx

x2cot1

20 2

2lim

.

j) (Examen).

2

2

2

6cos

1

2

21lim x

x

x x

x

.

4. EJERCICIO PROPUESTO. Hallar los límites de las siguientes funciones:

a) xx

xx

x 2

62lim

2

2

2

b) (Examen).

1

2

24

5

93

1lim

3 xxxx

c) arcsenxx

xLam

x

X 1)1(

)1()1(lim

2

2

0

.

d) (Examen) x

x

x x

x

75

5

2

1lim

.

e) ax

senasenx

ax

lim .

f) (Examen). xg

xx

2cot

0coslim

.

g) 30

limx

senxtgx

x

h)

7

31

3

1

lim

2

2

x

xL

x

xsen

x.

i)

2

0

2

)1(lim

xtg

xx

j) xsenx

tgx

x cos

1lim

4






k) (Examen). gxecxx

cotcoslim0

.

l) senx

xx

1

0coslim

Infinitésimos

5. (Examen). Concepto de infinitésimos equivalentes e infinitos.

6. (Examen). Comparar en x 0 los siguientes infinitésimos xsenx 2,cos1 .

7. Indicar el orden de los infinitésimos siguientes:

a) f(x)= x3-4x2+5x-2, infinitésimo en x=1.

b) (Examen). xsenxxf 2

2

1cos1 , infinitésimo en x=0.

Continuidad de funciones

8. Estudiar la continuidad de las funciones siguientes:

a) (Enero 2011) Determinar si la función f(x)=

xe

1

1

2

es continua en x=0.

b) (Examen)

10

112

x

xx

xLx

xf en x = 1.

9. (E.C.-012-013). Estudiar el dominio y analizar la continuidad de la función

9

5ln)(

2

x

xxf .

10. Analizar la continuidad de la función, 33 xx .






11. EJERCICIO PROPUESTO. Estudiar la continuidad de las funciones siguientes:

a) (Examen). 13

1

x

xxf en x=0.

b) (Examen). Estudiar la continuidad de la función

1

21

1

x

x

e

exf en el punto x=0.

c) (Examen). En x = 0 xe

xf1

2

1

.

d) Determinar si la función f(x)= 1

1

21

xe

es continua en x=0.

e) (Examen). Estudiar la continuidad de 53

4

2

2

x

xxf . Si hay discontinuidades indicar su

tipo.

f) (Examen). Analizar la continuidad de la función, 33 xx .






222...222... SSSUUUCCCEEESSSIIIOOONNNEEESSS

ÍNDICE

1. Sucesión de números reales.

2. Cotas y extremos de una sucesión. Sucesiones monótonas

3. Límite de una sucesión infinita de números reales

- Extensión del concepto de límite. Límite infinito

4. Carácter de una sucesión.

5. Operaciones de límites de sucesiones convergentes.

Anexo 2. Operaciones de límites infinitos.

6. Infinitésimos e infinitos. Infinitésimos e infinitos equivalentes.

Anexo 1. Tabla de infinitésimos equivalente






TEORÍA DE SUCESIONES

1. SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES

Es toda aplicación f definida: nanfn

RNf

)(

:

Es un conjunto de números reales, repetidos o no, numerables mediante índices pertenecientes al

conjunto de N que en general siguen una determinada ley.

2. COTAS Y EXTREMOS DE UNA SUCESIÓN. SUCESIONES MONÓTONAS

COTAS Y EXTREMOS

- Cota inferior de nx a todo nxmNnRm :/

- Cota superior de nx a todo nxMNnRM :/

- Extremo inferior de nx Es el mayor valor de todas sus cotas inferiores

- Extremo superior de nx Es el menor valor de todas sus cotas superiores

SUCESIONES ACOTADAS Y MONÓTONAS

- Sucesión acotada superiormente: Una sucesión nx se dice que está acotada

superiormente algún NnKxRK n ;/ donde K: Cotas superiores

- Sucesión acotada inferiormente: Una sucesión nx se dice que está acotada

inferiormente si: algún NnkxRk n ;/ donde k: Cotas superiores

- Sucesión acotada: Una sucesión nx se dice que está acotada si lo está superior e

inferiormente.

- Sucesión monótona creciente: Una sucesión nx es monótona creciente cuando

1 nn xx al menos a partir de un determinado valor de n en adelante.






- Sucesión monótona decreciente: Una sucesión nx es monótona decreciente

cuando 1 nn xx al menos a partir de un determinado valor de n en adelante.

- Sucesión oscilante: Cuando no es monótona, es decir, ni crece ni decrece.

3. LÍMITE DE SUCESIÓN INFINITA DE NÚMEROS REALES

kapnNpRRkx nn

n:)(/)(,lim

De existir límite éste es único.

Extensión del concepto de límite a sucesiones divergentes:

kxkpnNkpRkx nnn

:)(/)(,lim *

Ó

kxkpnNkpRkx nnn

:)(/)(,lim *

4. CARÁCTER DE UNA SUCESIÓN

Dado el

OSCILANTE

DIVERGENTE

ECONVERGENTRk

annlim

Toda sucesión infinita, monótona (creciente/decreciente) y acotada tiene límite, siendo éste el

extremo superior/inferior (si es creciente/decreciente)

Toda sucesión creciente y acotada superiormente es CONVERGENTE

Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es CONVERGENTE






5. OPERACIONES DE LÍMITES DE SUCESIONES CONVERGENTES

Dado 1lim kxnn

y 2lim kynn

- Suma: 21)(lim kkyx nnn

- Producto: 21)(lim kkyx nnn

- Cociente: 2

1limk

k

y

x

n

n

n

; con 0ny y 02 k

- Valor Absoluto: 1lim kxnn

- Logaritmos: 1loglimlogloglim kxx ann

anan

; donde 0nx ; 01 k ; a>0.

- Exponencial: 1lim

limk

xx

neee

nnn

- Potencias: 2

1

limlimlim

ky

nn

y

nn

kxx nn

n

6. INFINITÉSIMOS E INFINITOS

- Se dice que xn es un infinitésimo 0lim

nn

x

Dados las sucesiones nx e ny dos infinitésimos, éstos son equivalentes 1lim

n

n

n y

x

(ver Anexo 1)

- Se dice que xn es un infinito

nn

xlim .

Dados las sucesiones nx e ny dos infinitos, éstos son equivalentes 1lim

n

n

n y

x

n : nnbanncnn !log ; con a>0; b>0 y c>1.






ANEXO 1. TABLA DE EQUIVALENCIAS DE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES

0nx 1nx

)( nxsen ~ nx )ln( nx ~ )1( nx

)( nxtg ~ nx

)( nxarcsen ~ nx

)( nxarctg ~ nx

)cos(1 nx ~ 2

2nx

)1ln( nx ~ nx

nx a0 xn+a1xn-1+…+an ~ a0xn

)1log( nx ~ nx Logp(xh+..+an) ~ h. logpx

1nxa ~ naxln

1nxe ~ nx

1)1( p

nx ~ npx

Pn(x) ~ término de menor

grado






ANEXO 2. OPERACIONES CON LÍMITES INFINITOS

Suma: L

L

L

L

Indeterminaciones: ;

Producto: L*

)(* L

L*

)(*)( L

*

)(*)(

*)(

Indeterminaciones: *0 ; 0*

Cociente:

0

k

0

0

k

0

0

k

0

0

k

Indeterminaciones: ;0

0

Cociente: ny

nn

x

lim 00 , 0 , 1 , 1 todas ellas Indeterminaciones.

0






EJERCICIOS DEL TEMA 2. SUCESIONES

12. (Examen). Definir el concepto de carácter de una sucesión.

13. (Examen). Definición de límite de sucesión.

14. Dada la sucesión na con an= n

n 43 , se pide:

a) ¿Es acotada?. Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo. ¿ Es monótona?.

b) Demostrar que su límite es 3.

c) ¿A partir de qué término de la sucesión, la diferencia entre los términos de la misma y el límite,

en valor absoluto, es menor que 0,5?.

15. Dada la sucesión na con an= 43

12

2

n

n, se pide:

a) Comprobar si es acotada y monótona, y demostrar que su límite es 1/3.

b) ¿A partir de qué término de la sucesión, la diferencia entre los términos de la misma y el límite,

en valor absoluto, es menor que 0,001?.

16. EJERCICIO PROPUESTO. Calcular el límite de las siguientes sucesiones:

a) 12

243lim

2

2

nn

nn

n

b) nnn 1

1lim .

c) (E.C. 012-013). Para qué valores de a y b se verifica:

32

12

2lim

42

32lim

n

n

an

n n

bn

n

n

d)

12

2 13

51lim

n

n n

n.






e) (Examen)n

n

n n

n

13

5

2

1lim

.

f) (Julio 2012)

nnn

n n

n

32

52

12lim

g) (Examen)

ntgn

asenn

n

n 1

2

1cos11

lim22

1

.

a) (Enero 2011)

n

n

n

nsen

nLn

n

4

1cos

1cos1

1111

lim2

.

h) (Examen).

32

1coslim

n

n n.

i)

n

n

ntg

ntg

11

11

lim .

j) 3 3 12

12lim

nn

n

ntg

n

tteemmma aa 2 22.. lllÍÍÍmmmiiittteeesss c yyy o...

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