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FUNDAMENTOS DE

MATEMÁTICA APLICADA

ANTONIO PÉREZ CARRIÓ JOSÉ ANTONIO REYES PERALES

FERNANDO GARCÍA ALONSO

Profesores Titulares de la

Escuela Politécnica Superior de la

Universidad de Alicante

Título: Fundamentos de matemática aplicada 3ª Edición Autores: © Antonio Pérez Carrió José Antonio Reyes Perales Fernando García Alonso I.S.B.N.: 978-84-8454-939-0 Depósito legal: A-920-2009 Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 63 C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright

A nuestras esposas

v

Prólogo

Las matemáticas son una herramienta para los estudiantes de las carreras técnicas, tanto conceptual como de cálculo. Conceptual porque permite comprender los desarrollos teóricos de asignaturas fundamentales, de cálculo porque ayuda a resolver los problemas que habitualmente se presentan en el ejercicio de la profesión.

Las matemáticas tienen un carácter formativo, que genera el hábito de plantear los trabajos con rigor y contribuye al desarrollo de un auténtico método científico del futuro profesional.

El objetivo fundamental que comparten las asignaturas de matemáticas en todas las carreras técnicas, tanto medias como superiores, es el de proporcionar al estudiante una formación matemática básica, que le permita acceder al estudio de cualquier disciplina de matemática aplicada, requerida en su ejercicio profesional, más adelante. Este objetivo puede ser formulado, más detalladamente, del modo siguiente:

• Familiarizar al alumno con el lenguaje y razonamientos matemáticos, situándolo en condiciones

de adquirir por sí mismo, en el futuro, los conocimientos de matemáticas que precise como instrumento de su labor técnica específica.

• Proporcionarle asimismo, métodos útiles para abordar los problemas que aparecen en las diferentes disciplinas de su titulación.

• Dotarle de un repertorio de conceptos, métodos y técnicas de análisis o cálculo adecuados a sus futuras necesidades profesionales.

Matemáticos como Joseph Louis Fourier pensaban que el objeto principal de las matemáticas era el uso público y la explicación de los fenómenos naturales. Otros como Carl Gustav Jacob Jacobi creían que un filósofo como Fourier sabía que el único objetivo de la ciencia es “ el honor del espíritu humano”. La mente versada en ciencias exactas analiza los problemas desde ambas vertientes, puesto que por un lado optimiza las estrategias en la consecución de resultados asociados al mundo científico y por otro saborea, desde el interior, los distintos aspectos de una misma estrategia avalada por el placer que conduce a lo creativo. Cada capítulo se ha elaborado incluyendo un resumen teórico, con la estructura adecuada y la extensión precisa para que el lector pueda abordar los conceptos necesarios con una fluidez que le permita entender los ejercicios resueltos y afianzar sus conocimientos mediante los ejercicios propuestos , todo ello nutrido de una gran cantidad de observaciones junto con notas históricas y curiosidades matemáticas, que hacen que esta obra no sólo sea de consulta sino que además ofrezca al lector la posibilidad de acercarse a las matemáticas desde el lado creativo, bello e incluso sorprendente de las mismas, intentando transmitir, en lo posible, la dualidad de la idea de matemática expresada por Fourier y Jacobi.

El contenido de esta obra se estructura en ocho capítulos; en los cuatro primeros se estudian los conceptos espacio vectorial, espacio euclídeo, espacio afín y espacio afín euclídeo. En los cuatro capítulos restantes se abordan las nociones de límites y continuidad de funciones, derivabilidad, la integral indefinida y la integral de Riemann y sus aplicaciones.

Los autores

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Índice Capítulo 1 ........................................................................................................................ 1 Espacios Vectoriales ....................................................................................................... 1 1.1 Introducción.......................................................................................................... 1 1.2 Estructura de espacio vectorial ............................................................................. 2 1.2.1 Definición de espacio vectorial ................................................................... 2 1.2.2 Ejemplos de espacios vectoriales ................................................................ 3 1.2.3 Propiedades inmediatas ............................................................................... 4 1.3 Sistema de vectores. Combinaciones lineales ...................................................... 4 1.3.1 Definiciones................................................................................................. 4 1.3.2 Consecuencias ............................................................................................. 5 1.4 Sistema libre y sistema ligado .............................................................................. 5 1.4.1 Definición de sistema libre y de sistema ligado .......................................... 5 1.4.2 Propiedades de los sistemas libres y ligados ............................................... 6 1.5 Subespacio vectorial ............................................................................................. 6 1.5.1 Definición de subespacio vectorial.............................................................. 6 1.6 Clausura lineal. Sistema equivalentes .................................................................. 7 1.6.1 Clausura lineal. Sistema generador ............................................................. 7 1.6.2 Sistemas equivalentes .................................................................................. 7 1.7 Operaciones con subespacios vectoriales ............................................................. 8 1.7.1 Suma e intersección de subespacios vectoriales.......................................... 8 1.7.2 Suma directa de dos subespacios vectoriales .............................................. 8 1.8 Bases y dimensión de un espacio vectorial de tipo finito..................................... 8 1.8.1 Definición de base de e.v. de tipo finito. Caracterización........................... 9 1.8.2 Propiedades relativas a las bases y a la dimensión...................................... 9 1.8.3 Cambio de base.......................................................................................... 10 Ejercicios resueltos ....................................................................................................... 11 Ejercicios propuestos.................................................................................................... 53

viii

Capítulo 2 ...................................................................................................................... 57Espacio Vectorial Euclídeo .......................................................................................... 57 2.1 Introducción........................................................................................................ 57 2.2 Espacio vectorial euclídeo.................................................................................. 58 2.2.1 Definición de producto escalar. Espacio vectorial euclídeo...................... 58 2.2.2 Consecuencias............................................................................................ 59 2.3 Matriz de Gram................................................................................................... 60 2.3.1 Determinación de un producto escalar. ..................................................... 60 2.3.2 Propiedades de la matriz de Gram ............................................................. 61 2.3.3 Matrices de Gram referidas a bases distintas............................................. 61 2.4 Espacio vectorial normado. Espacio Métrico ..................................................... 61 2.4.1 Norma de un vector. Espacio vectorial normado....................................... 61 2.4.2 Espacio métrico ......................................................................................... 62 2.4.3 Norma asociada a un producto escalar ...................................................... 62 2.4.4 Norma que proviene de un producto escalar ............................................. 63 2.4.5 Ángulo entre dos vectores ......................................................................... 64 2.5 Ortogonalidad y ortonormalidad ........................................................................ 65 2.5.1 Vectores ortogonales ................................................................................. 65

2.5.2 Sistema ortogonal de vectores ................................................................... 66 2.5.3 Sistema ortonormal de vectores................................................................. 66

2.5.4 Bases ortonormales .................................................................................... 67 2.5.5 Subespacios ortogonales............................................................................ 67 2.5.6 Subespacio ortogonal suplementario ......................................................... 68 2.6 Proyección ortogonal.......................................................................................... 69 2.6.1 Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio ........................... 69 2.6.2 Matriz proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio................ 69 2.7 Coordenadas covariantes y contravariantes........................................................ 71 Ejercicios resueltos ....................................................................................................... 73 Ejercicios propuestos....................................................................................................106 Capítulo 3 ......................................................................................................................109 Espacio Afín ..................................................................................................................109 3.1 Introducción........................................................................................................109 3.2 Espacio afín ........................................................................................................110 3.2.1 Definición de espacio afín .........................................................................110 3.2.2 Primeras propiedades.................................................................................111 3.3 Sistema de referencia afín...................................................................................111 3.3.1 Definición de sistema de referencia afín ...................................................111 3.3.2 Coordenadas de un punto ..........................................................................111 3.3.3 Cambio de sistema de referencia ...............................................................111 3.4 Subespacio afín...................................................................................................114 3.4.1 Definición de variedad lineal afín .............................................................114 3.4.2 Propiedades de los subespacios afines de ( )nA k .....................................114 3.5 Espacio afín tridimensional ................................................................................115 3.5.1 Ecuaciones del plano .................................................................................115 3.5.2 Ecuaciones de la recta................................................................................116 3.5.3 Posiciones relativas ...................................................................................118 3.5.3.1 Posición relativa de dos planos......................................................118

ix

3.5.3.2 Haz de planos ................................................................................118 3.5.3.3 Posición relativa de tres planos .....................................................119 3.5.3.4 Posición relativa de una recta y un plano ......................................120 3.5.3.5 Posición relativa de dos rectas.......................................................121Ejercicios resueltos .......................................................................................................122 Ejercicios propuestos....................................................................................................146 Capítulo 4 ......................................................................................................................149 Espacio Afín Euclídeo ..................................................................................................149 4.1 Introducción........................................................................................................149 4.2 Espacio afín euclídeo..........................................................................................150 4.3 Espacio métrico ..................................................................................................150 4.4 Espacio afín euclídeo tridimensional..................................................................150 4.4.1 Distancia entre dos puntos.........................................................................150 4.4.2 Cósenos directores de un vector ................................................................151 4.4.3 Producto vectorial y mixto ........................................................................151 4.4.4 Vector característico. Ecuación normal de un plano .................................154 4.4.5 Ángulos......................................................................................................155 4.4.6 Distancias ..................................................................................................157 4.4.7 Recta de máxima pendiente.......................................................................159 4.4.8 Planos bisectores de un diedro ..................................................................160 4.4.9 Áreas y volúmenes.....................................................................................160 Ejercicios resueltos .......................................................................................................163 Ejercicios propuestos....................................................................................................194 Capítulo 5 ......................................................................................................................197 Límites y continuidad de funciones.............................................................................197 5.1 Introducción........................................................................................................197 5.2 Nociones de topología de R ..............................................................................198 5.2.1 El cuerpo de los números reales ................................................................198 5.2.2 Clasificación de los puntos de R con respecto de un conjunto D ⊆ R . ..201 5.3 Concepto de función real de variable real ..........................................................202 5.4 Límite de una función.........................................................................................204 5.4.1 Límite finito de una función en un punto ..................................................204 5.4.2 Límite infinito de una función en un punto ...............................................205 5.4.3 Límite finito de una función en el infinito.................................................205 5.4.4 Límite infinito de una función en el infinito..............................................206 5.5 Límites laterales..................................................................................................208 5.5.1 Límites por la derecha ...............................................................................208 5.5.2 Límites por la izquierda.............................................................................208 5.6 Límite de una función por sucesiones ................................................................209 5.7 Propiedades de los límites ..................................................................................209 5.8 Infinitésimos .......................................................................................................210 5.8.1 Definición de infinitésimo.........................................................................210 5.8.2 Propiedades de los infinitésimos ...............................................................210 5.8.3 Comparación de infinitésimos ..................................................................210 5.8.4 Principales infinitésimos equivalentes ......................................................211 5.8.5 Criterios de sustitución de infinitésimos equivalentes ..............................212

x

5.9 Infinitos...............................................................................................................212 5.9.1 Definición de infinitos ...............................................................................212 5.9.2 Propiedades de los infinitos .......................................................................212

5.9.3 Comparación de infinitos ..........................................................................212 5.9.4 Infinitos equivalentes.................................................................................213

5.9.5 Órdenes de infinitud ..................................................................................213 5.9.6 Criterios de sustitución de infinitos equivalentes ......................................213 5.10 Función continua en un punto ..........................................................................213 5.11 Continuidad lateral ...........................................................................................214 5.12 Continuidad por sucesiones ..............................................................................215 5.13 Discontinuidad de una función.........................................................................215 5.14 Propiedades de las funciones continuas ...........................................................216

5.15 Continuidad en un intervalo cerrado ................................................................217 5.16 Continuidad uniforme.......................................................................................218 Ejercicios resueltos .......................................................................................................219 Ejercicios propuestos....................................................................................................239 Capítulo 6 ......................................................................................................................243 Funciones Derivables....................................................................................................243 6.1 Introducción........................................................................................................243 6.2 Derivada de una función en un punto.................................................................244 6.2.1 Función derivable ......................................................................................244 6.2.2 Derivadas laterales.....................................................................................244

6.2.3 Interpretación Física de la derivada ...........................................................245 6.2.4 Recta tangente y normal ............................................................................245 6.3 Diferencial de una función en un punto..............................................................246 6.3.1 Interpretación geométrica de la diferencial de una función en un punto...246 6.4 Función derivada y función diferencial ..............................................................247 6.5 Cálculo de derivadas...........................................................................................247 6.5.1 Derivada de la suma, producto y cociente.................................................247 6.5.2 Derivada de la función compuesta e inversa .............................................248 6.6 Derivadas y diferenciales de orden superior.......................................................249 6.7 Teoremas relativos a las funciones derivables ...................................................249 6.8 Estudio local de una función ..............................................................................254 6.9 Aproximación local de una función....................................................................257 6.9.1 Polinomio de Taylor ..................................................................................257 6.9.2 Fórmula de Taylor .....................................................................................258 6.9.3 Fórmula de Mac-Laurin.............................................................................258 6.9.4 Aplicaciones de la aproximación local de una función .............................260 Ejercicios resueltos .......................................................................................................261 Ejercicios propuestos....................................................................................................309 Capítulo 7 ......................................................................................................................315 La Integral Definida .....................................................................................................315 7.1 Introducción........................................................................................................315 7.2 Preliminares ........................................................................................................315 7.2.1 Propiedades de las funciones circulares ....................................................316 7.2.2 Propiedades de las funciones hiperbólicas ................................................317

xi

7.2.3 Resultados algebraicos ..............................................................................318 7.3 Primitiva de una función ....................................................................................318 7.3.1 Integral indefinida......................................................................................318 7.3.2 Primitivas inmediatas ................................................................................319 7.3.3 Consecuencias de la definición..................................................................320 7.4 Propiedades de la integral indefinida..................................................................320 7.5 Métodos generales de integración ......................................................................321 7.5.1 Integración por descomposición................................................................321 7.5.2 Integración por partes ................................................................................321

7.5.3 Fórmulas de reducción...............................................................................322 7.5.4. Integración por cambio de variable o sustitución.....................................322 7.6 Integración de funciones racionales ...................................................................322 7.6.1 Raíces reales ..............................................................................................323 7.6.2 Raíces complejas simples ..........................................................................324 7.6.3 Raíces complejas múltiples .......................................................................325 7.7 Integración de funciones trigonométricas...........................................................327 7.8. Integración de funciones irracionales ................................................................328 7.8.1 Cambios elementales .................................................................................328 7.8.2 Cambios de Euler ......................................................................................329 7.8.3 Método alemán ..........................................................................................330 7.8.4 Integrales binomias....................................................................................330 Ejercicios resueltos .......................................................................................................332 Ejercicios propuestos....................................................................................................361 Capítulo 8 ......................................................................................................................365 La Integral de Riemann y sus aplicaciones ................................................................365 8.1 Introducción........................................................................................................365 8.2 Partición de un intervalo cerrado........................................................................366 8.3 Integral de Riemann ...........................................................................................367 8.4 Propiedades de la integral de Riemann...............................................................370 8.5 Teorema del Valor Medio (o de la Media) .........................................................371 8.6 Función integral..................................................................................................372 8.6.1 Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal ......................................372 8.6.2 Regla de Barrow ........................................................................................373 8.7 Técnicas fundamentales de integración..............................................................375 8.7.1 Integración por partes ................................................................................375 8.7.2 Integración por cambio de variable o sustitución......................................375 8.8 Aplicaciones geométricas del cálculo integral ...................................................375 8.8.1 Área de un recinto plano............................................................................375 8.8.1.1 Curvas en forma explícita..............................................................375

8.8.1.2 Curvas en forma paramétrica.........................................................376 8.8.1.3 Curvas en polares ..........................................................................376 8.8.2 Longitud de arco de curva .........................................................................376 8.8.2.1 Curvas en forma explícita..............................................................376 8.8.2.2 Curvas en forma paramétrica.........................................................377 8.8.2.3 Curvas en polares ..........................................................................377 8.8.3 Áreas de superficies de revolución............................................................377 8.8.4 Cálculo de volúmenes................................................................................377 8.8.4.1 Volúmenes por secciones planas ...................................................377

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8.8.4.2 Volúmenes de cuerpos de revolución............................................377 8.8.4.3 Método de los discos y del anillo ..................................................378 Ejercicios resueltos .......................................................................................................391 Ejercicios propuestos....................................................................................................459 Bibliografía....................................................................................................................465 Índice alfabético de definiciones..................................................................................467

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Capítulo 1

Espacio Vectorial

1.1 Introducción

Durante el siglo XIX, aparecieron diversas estructuras muy útiles para la

solución de problemas clásicos, llamadas estructuras ”mixtas”, constituidas por varios conjuntos ”primitivos”, cada uno de ellos dotado de una o varias estructuras, junto con unos axiomas que las relacionan entre sí. Uno de los ejemplos más antiguos es la estructura de espacio vectorial que consta de dos conjuntos ”primitivos”: un cuerpo k y un grupo abeliano ( )U ,+ , junto con otro objeto primitivo, la aplicación:

( )v vλ λ, → ⋅ llamada ”multiplicación por un escalar”, que verifica cuatro axiomas que se concretarán más adelante.

Al concepto de espacio vectorial se llega, como al de cualquier estructura algebraica, mediante la abstracción de teorías matemáticas concretas, como la de los vectores libres tridimensionales, y constituye la base para el estudio del álgebra lineal y de la geometría, empleándose de modo fructífero en otras ramas de las matemáticas.

La estructura de espacio vectorial fue definida en n por Cayley y Grassmann en 1843; siendo una de las más extendidas y útiles por ser el modelo analítico de todos los espacios vectoriales de dimensión n . El ejemplo más característico de esta estructura es el conjunto 2U = donde =k , siendo la multiplicación por un escalar, la homotecia.

La estructura se ha generalizado de muchos modos, pues en los cuatro axiomas de la ley externa, no es necesario suponer que k es un cuerpo, sino que puede sustituirse por un anillo conmutativo A con un elemento unidad, obteniéndose entonces la estructura de −A módulo, elemento central de la teoría de los números algebraicos, establecida por Dedekind en la década de 1860, y de la teoría de las funciones algebraicas concebida por Kronecker en la misma época.

Si se supone que U es un anillo (conmutativo o no), añadiendo a los cuatro axiomas uno nuevo que relaciona la multiplicación en el anillo U con la multiplicación por un escalar:

( ) ( ) ( )u v u v u vλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅ se enriquece la estructura de espacio vectorial, diciéndose entonces que se ha definido una estructura de álgebra. El conjunto de los cuaterniones de Hamilton es una −

Capítulo 1. Espacio Vectorial

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álgebra. Por otra parte, empobreciendo la estructura de espacio vectorial al sustituir k por un grupo multiplicativo G , el axioma

( )u u uλ µ λ µ+ = + deja de tener sentido y se suprime, dando lugar a lo que se llama ”grupo aditivo U con operadores en el grupo G ”. Tambien se puede eliminar cualquier estructura del conjunto U , conservando tan sólo la aplicación:

( )

G U U

u uλ λ× →

, ⋅

y los axiomas:

( ) ( )

1

u u

u u

λ µ λµ=

=

diciéndose entonces que G actúa sobre U , llamándose acción de G sobre U a la aplicación anterior.

Esta última estructura, que desde Klein (1873) se le designa también como ”geometría del grupo G ”, unifica diversas nociones geométricas que se han ido desarrollando desde principios del XIX.

1.2 Estructura de espacio vectorial 1.2.1 Definición de espacio vectorial Definición. Sea U un conjunto. Sea k un cuerpo conmutativo a cuyos elementos llamaremos escalares. Se dice que U es un espacio vectorial sobre el cuerpo k , y a sus elementos los llamaremos vectores si se dispone de las siguientes operaciones que satisfacen las siguientes propiedades:

i) U U U+ : × → es una ley de composición interna, que verifica:

• asociativa: ( ) ( )u v w u v w u v w U+ + = + + , ∀ , , ∈

• neutro: 0 / 0 0U u u u u U∃ ∈ + = + = , ∀ ∈ • simétrico: para cada ( ) / ( ) ( ) 0u U u U u u u u∈ , ∃ − ∈ + − = − + = • conmutativa: u v v u u v U+ = + , ∀ , ∈

ii) K U U⋅ : × → es una ley de composición externa, que verifica:

( )u v u v u v Uλ λ λ λ• ⋅ + = ⋅ + ⋅ , ∀ , ∈ , ∀ ∈ k ( ) u u u u Uλ µ λ µ λ µ• + ⋅ = ⋅ + ⋅ , ∀ ∈ , ∀ , ∈ k

( ) ( )u u u Uλ µ λµ λ µ• ⋅ ⋅ = ⋅ , ∀ ∈ , ∀ , ∈ k 1 u u u U• ⋅ = , ∀ ∈ siendo 1 el neutro del cuerpo para la 2ª ley

Resumen Teórico

3

1.2.2 Ejemplos de espacios vectoriales

• ( ) espacio vectorial de los números reales sobre el cuerpo de los números reales.

• ( ) espacio vectorial de los números complejos sobre el cuerpo de los números reales.

• ( ) espacio vectorial de los números complejos sobre el cuerpo de los números complejos.

• ( ) espacio vectorial de los números reales sobre el cuerpo de los números racionales.

• ( )n espacio vectorial de los conjuntos ordenados de n elementos sobre el cuerpo de los reales, con la operaciones:

( ) ( ) ( )1 1 1 1,..., ,..., ,...,n n n nu u v v u v u v+ = + + y ( ) ( )1 1,..., ,...,n nu u u uλ λ λ⋅ =

• ( ) ( )2 3, V V espacio vectorial de los vectores libres del plano y del espacio,

respectivamente, sobre el cuerpo de los reales. • ( )P espacio vectorial de los polinomios con una indeterminada y a

coeficientes reales, sobre el cuerpo de los reales, con las operaciones suma de polinomios y producto por un número real.

• ( )F espacio vectorial de las funciones reales de variable real, sobre el cuerpo de los reales, con las operaciones:

( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + y ( ) ( ) ( )f x f xλ λ⋅ =

• ( )S espacio vectorial de las sucesiones de números reales, sobre el cuerpo de

los reales, con las operaciones { } { } { }n n n na b a b+ = + y { } { }n na aλ λ⋅ = . • ( )m nM × espacio vectorial de las matrices de orden mxn sobre el cuerpo de los

reales, con las operaciones suma de matrices y producto por un número real. Nota: En 1833, William Rowan Hamilton presentó un extenso e importante artículo en la Irish Academy, en el que dio las reglas para operar los números complejos, tratándolos como pares ordena dos de números reales. La multiplicación de complejos la interpretó como una operación en la que intervenía un giro en el plano, e intentó extender la idea a tres dimensiones , pasando de los números complejos ordinarios a+bi a ternas de números ordenados a+bi+cj. Parece que tardó diez años en conseguirlo y que el 16 de octubre del año de 1843, cuando paseaba por el puente de Brougham en su ciudad natal Dublín, le llegó la inspiración y pensó que sus dificultades desaparecerían si utilizaba cuádruplas a+bi+cj+dk en lugar de ternas, y abandonaba la propiedad conmutativa de la multiplicación. En una piedra de dicho puente grabó la inscripción “i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1” y así hicieron su aparición los famosos cuaterniones o hipercomplejos de Hamilton, precursores de lo que


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hoy en día se conoce como vectores. El descubrimiento de Hamilton supuso una ruptura con la tradición porque abandonaba la ley conmutativa del producto. En 1844 Grassmann publicaba en Alemania unas ideas parecidas, se trataba de un cálculo muy general con vectores de cualquier número de dimensiones e introdujo las definiciones de subespacio, generadores, dimensión, operaciones con subespacios y fórmulas de cambio de base. Los cuaterniones a+bi+cj+dk se utilizaron en la exploración del espacio físico, pero eran demasiado complicados para entenderlos y aplicarlos fácilmente, ya que se manejaba al mismo tiempo su parte escalar a y su parte vectorial bi+cj+dk. El físico americano Josiah Willar Gibbs se percató de que muchos problemas podían resolverse mejor considerando la parte vectorial por separado, exponiendo sus ideas en el Vector Analysis de 1881, iniciando así el análisis vectorial.

En 1888, Giuseppe Peano presentó una definición axiomática, explicando el trabajo de Grassmann. Sin embargo, fue A. Weyl quien en 1918 dio la definición axiomática y abstracta de espacio vectorial en su Space-Time-Matter, como una introducción a la teoría general de la relatividad de Einstein.

El interés por concretar distintos aspectos de la realidad física, hizo progresar el análisis vectorial durante la segunda mitad del siglo XIX. Entre los físicos-matemáticos que contribuyeron a ese desarrollo, además de J.W. Gibss, merecen citarse G. G. Stokes, J. C. Maxwell, O. Heaviside y H. A. Lorentz que introdujeron los conceptos de flujo, divergencia, rotacional, etc.

La difusión del cálculo vectorial a lo largo del siglo XX, se ha debido al amplio campo de sus aplicaciones y al desarrollo del cálculo tensorial. 1.2.3 Propiedades inmediatas U espacio vectorial sobre el cuerpo k . u v U λ µ∀ , ∈ , ∀ , ∈ k , se verifica:

1. 0 0u⋅ = 2. 0 0λ ⋅ = 3. 0 0uλ λ⋅ = ⇒ = ó 0u = 4. ( ) ( )u u uλ λ λ− ⋅ = ⋅ − = − ⋅

5. 0

u u

u

λ µλ µ

⋅ = ⋅ ⇒ =≠

6. 0

u v u vλ λλ

⋅ = ⋅ ⇒ =≠

1.3 Sistema de vectores. Combinaciones lineales 1.3.1 Definiciones Definición. Sea U un espacio vectorial sobre el cuerpo k . Llamaremos sistema (o familia) de vectores de U a ( )1 2, ,..., p

pS u u u U= ∈ .

Observación: Notemos que algunos de esos iu pueden ser iguales, y lo expresaremos como una

−p tupla para indicar que el orden en que se colocan los vectores es esencial para trabajar con

Resumen Teórico

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coordenadas de vectores; aunque muchas veces, por licencias del lenguaje, expresemos el sistema de

vectores S del modo siguiente { }1 2, ,..., pS u u u=

Definición. Se llama combinación lineal de los vectores de S a cualquier vector:

1 1 2 2 1 2p p pv u u u dondeλ λ λ λ λ λ= ⋅ + ⋅ + ....+ ⋅ , , ,..., ∈ .k

Se dice entonces que el vector v depende linealmente de los vectores del sistema.

También se dice que el vector v se puede expresar como combinación lineal de los vectores del sistema S , si existen p escalares 1 2 pλ λ λ, ,..., ∈ k , llamados coeficiente de la c.l., tales que:

1 1 2 2 p pv u u uλ λ λ= ⋅ + ⋅ + ....+ ⋅ 1.3.2 Consecuencias 1.- El vector nulo es combinación lineal de cualquier sistema. 2.- Todo vector es combinación lineal de sí mismo, y en general, de cualquier sistema que lo contiene. 3.- Si un vector u es c.l. de un sistema S, cuyos vectores son a su vez c.l. de otro sistema S’, entonces u es c.l de los vectores de S’.

1.4 Sistema libre y sistema ligado

El concepto de dependencia lineal tiene su origen geométrico en el estudio de los vectores libres con la misma dirección en el plano y los vectores coplanarios en el espacio. Sea U un espacio vectorial sobre el cuerpo k . 1.4.1 Definición de sistema ligado y de sistema libre Definición. Un sistema de vectores

( )1 2, ,..., pS u u u=

se dice ligado, o de vectores linealmente dependientes, si el vector 0 puede obtenerse mediante una combinación lineal de los elementos de S , en la que no todos sus escalares son nulos; esto es:

1 2p

pλ λ λ

∃ , , , ∈ k con algún 0iλ ≠ tal que 1 1 2 2 0p pu u uλ λ λ⋅ + ⋅ + ....+ ⋅ =


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Definición. Un sistema de vectores ( )1 2, ,..., pS u u u= se dice libre, o de vectores

linealmente independientes, si no es ligado, esto es:

1 1 2 2 1 20 0p p pu u uλ λ λ λ λ λ⋅ + ⋅ + ....+ ⋅ = ⇒ = = = =

1.4.2 Propiedades de los sistemas libres y ligados

1. Si ( )0u S u≠ ⇒ = es libre.

2. Todo sistema que contenga al vector 0 , es ligado. 3. Si a un sistema ligado se le añade al menos un vector, el nuevo sistema es ligado. 4. Si S es un sistema libre entonces cualquier subsistema de S es libre. 5. La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea ligado es que al menos uno de sus vectores sea combinación lineal del resto. 6. Si al añadir a un sistema libre S un vector u , se obtiene un sistema ligado, entonces u es combinación lineal única de los vectores de S .

Nota: Los conceptos de sistema libre o ligado se generalizan sin dificultad al caso no finito. Una familia cualquiera de vectores se dice ligada si algún subsistema finito lo es, y se dice libre, si no es ligada, es decir, si toda subfamilia finita es libre.

1.5 Subespacio vectorial 1.5.1 Definición de subespacio vectorial Definición. Un subconjunto H de un espacio vectorial U sobre un cuerpo k , se dice que es un subespacio vectorial de U cuando H es, con las mismas operaciones definidas en U restringidas a H , espacio vectorial sobre k . Teorema de caracterización. Sea U espacio vectorial sobre el cuerpo k , y H U H⊆ , ≠ ∅. , entonces,

H es subespacio vectorial de U

u v H u v H

u H u Hλ λ

∀ , ∈ : + ∈⇔ ∀ ∈ , ∀ ∈ : ⋅ ∈ k

Observación: Estas dos condiciones son equivalentes a:

u v H u v Hλ µ λ µ∀ , ∈ , ∀ , ∈ : ⋅ + ⋅ ∈k

Resumen Teórico

7

Nota: A los subespacios { }0 y U se les llama subespacios impropios de U , reservándose el término

de propios, para el resto de los posibles subespacios de U .

1.6 Clausura lineal. Sistemas equivalentes

1.6.1 Clausura lineal. Sistema generador Teorema. El conjunto de todas las combinaciones lineales del sistema

( )1 2, ,..., pS u u u= es un subespacio vectorial de U .

Definición. El subespacio anterior se representa por ( )L S o mediante < >S y se llama clausura o envoltura lineal del sistema S . También se dice que < >S está engendrado por el sistema S , o que éste es un sistema generador de < >S . Observación: Cuando < >=S U=1 2 pu ,u ,...,u se dice que S es un sistema generador del

espacio vectorial U . Y como S es un sistema generador de orden finito entonces se dice que el espacio vectorial U es de tipo finito.

Proposición. La 1 2, ,..., pS u u u< >= es el menor subespacio vectorial que contiene

al sistema ( )1 2, ,..., pu u u .

Nota: Los conceptos anteriores se pueden ampliar al caso de una familia o sistema ( )i i Iu

∈

cualquiera, finita o no. Parece natural comenzar por la siguiente definición: Se llama clausura lineal

de una familia ( )i i Iu

∈ al menor subespacio vectorial que la contiene. Se puede probar que dicha

clausura es el conjunto de las combinaciones lineales de cada subfamilia finita de ( )i i Iu

∈

1.6.2 Sistemas equivalentes Definición. Dos sistemas de vectores S y 'S de U , se dicen equivalentes, si engendran el mismo subespacio vectorial. Teorema. Dos sistemas de vectores S y 'S de U , son equivalentes si y sólo si

'S S⊆< > y 'S S⊆< > . Nota: Las principales formas para obtener un sistema equivalente a uno dado son:

• Cambio en el orden de los vectores del sistema. • Multiplicación de un vector del sistema por un escalar distinto de 0. • Añadir al sistema, nuevos vectores combinación lineal de los existentes. • Sumar a un vector del sistema, otro del mismo multiplicado por un escalar.


8

1.7 Operaciones con subespacios vectoriales

1.7.1 Suma e intersección de subespacios vectoriales

Sea U un espacio vectorial sobre el cuerpo k . Sean 1H y 2H subespacios vectoriales de U . Definición. Se define la intersección de los subespacios 1H y 2H del modo siguiente:

1 2 1 2/ H H u U u H y u H

∩ = ∈ ∈ ∈

Proposición. La intersección de subespacios vectoriales de U , es un subespacio vectorial de U . Siendo el subespacio vectorial más amplio, contenido en ellos. Nota: En el caso de que { }1 2 0H H∩ = , los subespacios se dicen disjuntos.

Observación: Es importante resaltar, que en general la unión de dos subespacios vectoriales, no es subespacio vectorial de U . Para ello bastará considerar en 2 ( ) los subespacios

{ }1 ( 0) /H x x= , ∈ y { }2 (0 ) /H y y= , ∈ . Definición. Se define la suma de los subespacios 1H y 2H del modo siguiente:

1 2 1 2 1 1 2 2/ con H H u U u u u u H y u H

+ = ∈ = + , ∈ ∈

Proposición. La suma de un número finito de subespacios vectoriales de U , es un subespacio vectorial de U . Siendo el subespacio vectorial menos amplio que los contiene. 1.7.2 Suma directa de dos subespacios vectoriales Definición. Dados dos subespacios vectoriales de U , 1H y 2H , se dice que la suma

1 2H H+ es directa, y se nota 1 2H H⊕ , si todo vector de dicha suma puede expresarse de manera única como suma de vectores de los subespacios sumandos. En este caso se dice que los subespacios sumandos son independientes. Teorema. (Caracterización de suma directa de dos subespacios vectoriales) La suma

1 2H H+ es directa si y sólo si, { }1 2 0H H∩ =

Definición. Dos subespacios 1H y 2H de U se dicen suplementarios (respecto de U ) si 1 2U H H= ⊕ .

1.8 Bases y dimensión de un espacio vectorial de tipo finito

En el supuesto de ser el sistema ( )1 2, ,..., nS u u u= generador del espacio vectorial, dicho

sistema no será único, sino que podrán encontrarse, en general otros sistemas generadores de U . De entre los distintos sistemas generadores de un espacio de tipo

Resumen Teórico

9

finito son particularmente útiles aquellos que están formados por vectores linealmente independientes. 1.8.1 Definición de base de un e.v. de tipo finito. Caracterización Definición. Se llama base de un espacio vectorial U a cualquier sistema generador de U que sea además libre. Teorema. (Caracterización de una base en un espacio vectorial de tipo finito) Un sistema de vectores ( )1 2, ,..., nS u u u= es una base de U si, y sólo si cualquier vector

u U∈ puede expresarse de forma única como combinación lineal de los vectores del sistema. Definición. Supuesto que el espacio vectorial U admite una base ( )1 2, ,..., nB u u u= , se

llaman coordenadas de un vector x U∈ , respecto de la base B , a los únicos escalares ( )1

nnx x,..., ∈ k para los que se verifica 1 1 n nx x u x u= + ...+ .

Observación 1: Los vectores 1 1, , n nx u x u... se llaman componentes del vector x respecto a la base B . Observación 2: La base más sencilla del espacio vectorial ( )n es :

( )n 1 2 nC = e (1,0,0,...,0),e (0,1,0,...,0),...,e (0,0,0,...,1) .

Pues cualquier vector de ( )n , ( )1, , nu u u= ... tiene por coordenadas en esa base ( )1, , nu u... . A

esta base se le llama base canónica de ( )n

Teorema. (Teorema de existencia de bases) Todo espacio vectorial { }0U ≠ de tipo

finito, posee al menos una base. Teorema. (Teorema de la dimensión) En un espacio vectorial { }0U ≠ de tipo finito

todas las bases tienen el mismo número de vectores. De los dos teoremas anteriores, se deduce que a todo espacio vectorial { }0U ≠ de tipo

finito, se le puede asociar de forma única el número de vectores de cualquier base, teniendo sentido la definición siguiente. Definición. Se llama dimensión de un espacio vectorial { }0U ≠ de tipo finito al

cardinal de cualquier base del espacio. Si la dimensión de U es n, el espacio vectorial se denotará por nU .

Observación 3: El espacio vectorial { }0U = de tipo finito, no tiene ninguna base, se conviene

en decir que tiene dimensión cero.

1.8.2 Propiedades relativas a las bases y dimensión

1. Si nU es un espacio vectorial y ( )1 2, ,..., , pu u u p n< es un sistema libre de U


10

siempre es posible encontrar unos vectores 1,...,p nu u U+ ∈ tales que el sistema

( )1 2 1, ,..., ,...,p p nu u u u u+, sea una base de U .

2. Si U tiene dimensión n , todo sistema de más de n vectores de U es linealmente dependiente.

3. Si un espacio vectorial U es de dimensión n , todo sistema generador de U tiene, al menos, n vectores.

4. Si H es un subespacio propio del espacio vectorial de tipo finito U , entonces dim( ) dim( )H U< .

5. Si dim( )U n= , un sistema ( )1 2, ,..., nB u u u= es una base de U si y sólo si, se

cumple una cualquiera de las condiciones: i) B es un sistema libre. ii) B es un sistema generador.

Observación: Si U es un espacio vectorial de tipo finito, todos sus subespacios vectoriales son también de tipo finito, y en consecuencia, tiene perfecto sentido hablar de bases y dimensiones de tales subespacios. Teorema: (Fórmula de Grassmann) Si 1H y 2H subespacios vectoriales de U , entonces: 1 2 1 2 1 2dim( ) dim dim dim( )H H H H H H+ = + − ∩ en particular: 1 2 1 2dim( ) dim dimH H H H⊕ = +

1.8.3 Cambio de base

Sea U un espacio vectorial sobre el cuerpo k , de dimensión n . Todo vector x U∈ queda unívocamente determinado si se conocen sus coordenadas respecto a una cierta base de U . Ahora bien, si se elige una base distinta en U las coordenadas del vector x respecto a la nueva base serán diferentes de las anteriores. Como quiera que, con relativa frecuencia, es necesario realizar cambios de base en los espacios vectoriales, surge la necesidad de analizar qué relación guardan las coordenadas de un vector respecto de una y otra base; este problema podrá, evidentemente, resolverse cuando sea conocida la interdependencia entre las dos bases. Sean ( )1 2, ,..., nB u u u= y ( )1 2' ', ' ,..., 'nB u u u= bases de U tales que:

1' con 1 2

n

j ij ii

u a u j n=

= = , ,...,∑

Sea x U∈ con coordenadas 1( ),..., nx x en la base B y 1( ' ' )nx x,..., en la base 'B . Entonces:

11 11 12 1

221 222 2

1 2

′ ′ ′

=

n

n

n nnn n n

a a ax xa a ax x

a a ax x

Resumen Teórico

11

o bien de manera más compacta: 'X PX= donde:

• X matriz columna de las coordenadas del vector en la base B • 'X matriz columna de las coordenadas del vector en la base 'B • P matriz cuadrada de orden n , que llamaremos de cambio de base, y que tiene

por columnas las coordenadas de los vectores de la base 'B respecto de la base B .

Si el cambio de base es tal que la relación que obtenemos es 'X QX= , entonces 1−= .Q P La matriz P se puede expresar también de la forma [ ]' :B B indicando el

sentido del cambio de base (de 'B a B ). Observación: En el caso de ( )nk k cuando el cambio de base es hacia la base canónica entonces la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la base B’ respecto de la base canónica.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Estudie si 2 tiene estructura de espacio vectorial sobre con las siguientes operaciones, analizando sólo los axiomas relativos a la ley externa:

a) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1(x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) , λ(x , y ) = (λy ,λx ) , ∈λ . b) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1(x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) , λ(x , y ) = (λx , y ) , ∈λ . c) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1(x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) , λ(x , y ) = (λx ,λ) , ∈λ . ,

SOLUCIÓN: En primer lugar veamos que 2 con la suma definida, tiene estructura de grupo abeliano o conmutativo: Para ello debemos comprobar que 2( ),+ cumple las propiedades siguientes: i) Ley de composición interna: Si 1 1( )x y, ∈ 2 y 2 2( )x y, ∈ 2 , entonces 1 2 1 2( )x x y y+ , + ∈ 2 pues la suma de números reales es otro número real. ii) Propiedad asociativa:

1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3

( ) [( ) ( )] ( ) [ ] ( ( ) ( ))(( ) ( ) ) ( ) ( ) [( ) ( )] ( )

x y x y x y x y x x y y x x x y y yx x x y y y x x y y x y x y x y x y

, + , + , = , + + , + = + + , + + == + + , + + = + , + + , = , + , + ,


12

iii) Existencia de elemento neutro:

∀ 2( )x y, ∈ ∃! 2 0( ) ( ) ( ) ( )

0x a x a

a b x y a b x yy b y b

+ = = , ∈ : , + , = , ⇒ ⇒ + = =

.

Es decir que el par (0,0) es el elemento neutro. iv) Existencia de elemento simétrico para cada elemento de 2 :

∀ 2( )x y, ∈ ∃! 2 0( ) ( ) ( ) (0 0)

0x a a x

a b x y a by b b y

+ = = − , ∈ : , + , = , ⇒ ⇒ + = = −

.

Con lo que el elemento simétrico de ( ),x y es ( )− ,−x y . v) Propiedad conmutativa:

( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1( ) ( ) , , ( ) ( )x y x y x x y y x x y y x y x y, + , = + + = + + = , + , . En segundo lugar sabemos que ( ), ,+ × con las operaciones suma y producto de números reales tiene estructura de cuerpo conmutativo. En tercer lugar veamos si 2( ),+ tiene estructura de espacio vectorial sobre con la ley externa definida en cada uno de los casos: a) La ley externa viene dada por: 1 1 1 1( ) ( )x y y xλ λ λ λ⋅ , = , , ∈ . NOTA 1: Se utilizará el punto para simbolizar el producto de la ley externa . Para el producto entre reales deberíamos utilizar el aspa, pero para simplificar las expresiones no pondremos ningún símbolo cuando multipliquemos estos últimos. Comprobemos si verifica los 4 axiomas: i) Distributividad respecto de la suma de vectores: ∀ λ ∈ , ∀ 2

1 1 2 2( ) ( )u x y v x y= , , = , ∈ , se verifica que ( )u v u vλ λ λ⋅ + = ⋅ + ⋅ .

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) [( ) ( )] ( )( ( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

u v x y x y x x y yy y x x y y x x

y x y x x y x y u v

λ λ λλ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λ

⋅ + = ⋅ , + , = ⋅ + , + == + , + = + , + =

= , + , = ⋅ , + ⋅ , = ⋅ + ⋅ .

ii) Distributividad respecto de la suma de escalares:

Ejercicios resueltos

13

∀ λ µ, ∈ , ∀ 2( )u x y= , ∈ , se verifica que ( ) u u uλ µ λ µ+ ⋅ = ⋅ + ⋅ . En efecto:

( ) ( ) ( , ) (( ) , ( ) ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

u x y y x y y x x

y x y x x y x y u u

λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µλ λ µ µ λ µ λ µ+ ⋅ = + ⋅ = + + = + + =

= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

iii) Asociatividad de escalares: ∀ λ µ, ∈ , ∀ 2( )u x y= , ∈ , se verifica que ( ) ( )u uλ µ λµ⋅ ⋅ = ⋅ .

( )( ) ( ( , )) ( , ) ( , )) ( ) ( , )u x y y x x y y x uλ µ λ µ λ µ µ λµ λµ λµ λ µ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = = ⋅ ≠ ⋅ Por lo tanto falla este axioma. Al fallar un axioma no hace falta seguir comprobando el resto pues ya no es un espacio vectorial, no obstante comprobemos que también falla el axioma 4. iv) Invarianza de vectores multiplicados por el neutro de escalares para la 2ª operación del cuerpo de escalares:

∀ 2( , )u x y= ∈ : 1 u u⋅ = .

Es obvio que no se cumple pues : 1 1 ( , ) ( , )u x y y x u⋅ = ⋅ = ≠ . En definitiva 2 no es un espacio vectorial. sobre b) La ley externa, en esta ocasión, es: 1 1 1 1( ) ( )x y x yλ λ λ, = , , ∈ . Estudiemos los axiomas: i) Distributividad respecto de la suma de vectores: ∀ λ ∈ , ∀ 2

1 1 2 2( ) ( )u x y v x y= , , = , ∈ , se verifica que ( )u v u vλ λ λ⋅ + = ⋅ + ⋅ En efecto:

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) [( ) ( )] ( )( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

u v x y x y x x y yx x y y x x y y

x y x y x y x y u v

λ λ λλ λ λλ λ λ λ λ λ

⋅ + = ⋅ , + , = ⋅ + , + == + , + = + , + =

= , + , = ⋅ , + ⋅ , = ⋅ + ⋅ .


14

ii) Distributividad respecto de la suma de escalares: ∀ λ µ, ∈ , ∀ 2( )u x y= , ∈ , se verifica que ( ) u u uλ µ λ µ+ ⋅ = ⋅ + ⋅ .

( ) ( ) ( , ) (( ) , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , 2 )

u x y x y x x y

u u x y x y x y x y x x y

λ µ λ µ λ µ λ µλ µ λ µ λ µ λ µ

+ ⋅ = + ⋅ = + = +

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = +

de donde:

( ) u u uλ µ λ µ+ ⋅ ≠ ⋅ + ⋅ luego no se cumple y por tanto 2 no es un espacio vectorial sobre NOTA 2: Puede comprobar el lector que los axiomas (iii) e (iv) se cumplen. c) Sea ahora la siguiente ley externa:

1 1 1( ) ( )x y xλ λ λ λ, = , , ∈ . Comprobemos si se cumplen los axiomas: i) Distributividad respecto de la suma de vectores: ∀ λ ∈ , ∀ 2

1 1 2 2( ) ( )u x y v x y= , , = , ∈ , se verifica que ( )u v u vλ λ λ⋅ + = ⋅ + ⋅ .

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

( ) [( ) ( )] ( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )

u v x y x y x x y y x x x x

u v x y x y x x x x

λ λ λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

⋅ + = ⋅ , + , = ⋅ + , + = + , = + ,

⋅ + ⋅ = ⋅ , + ⋅ , = , + , = + ,

con lo que:

( )u v u vλ λ λ⋅ + ≠ ⋅ + ⋅ por tanto 2 no es un espacio vectorial. sobre NOTA 3: Puede comprobar el lector que el axioma (ii) se cumple, mientras que el (iii) y el (iv) fallan.

≈≈≈≈≈≈≈ 2. Analice si el conjunto de los números reales tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los racionales. SOLUCIÓN:

El conjunto de los números reales, , tiene estructura de cuerpo conmutativo para las operaciones suma y producto de números reales y por lo tanto tiene estructura


15

de grupo abeliano para la suma, lo que permite la posibilidad, como conjunto de vectores, de tener estructura de e.v.

Por otro lado, el conjunto de los números racionales, , también tiene estructura de cuerpo conmutativo para las mismas operaciones. Esta situación es la adecuada, como cuerpo de escalares, para que sea el dominio de operadores del futuro espacio vectorial.

Sólo falta comprobar que la ley externa “el producto de un racional por un real es igual a un real” cumple los 4 axiomas establecidos para constituir la estructura de e.v.

i) Distributividad respecto de la suma de vectores: ∀ λ ∈ , ∀ x y, ∈ , se verifica que ( )x y x yλ λ λ⋅ + = ⋅ + ⋅ . En efecto pues es cuerpo y se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma (todo racional es real) ii) Distributividad respecto de la suma de escalares: ∀ λ µ, ∈ , ∀ x ∈ , se verifica que ( ) x x xλ µ λ µ+ ⋅ = ⋅ + ⋅ . En efecto por la misma explicación que en el axioma anterior. iii) Asociatividad de escalares: ∀ λ µ, ∈ , ∀ x ∈ , se verifica que ( ) ( )x xλ µ λµ⋅ ⋅ = ⋅ . En efecto se cumple pues el producto de reales es asociativo. iv) Invarianza de vectores multiplicados por el neutro de escalares para la 2ª operación:

∀ x ∈ : 1 x x⋅ = .

En efecto, pues el neutro para el producto de reales es el mismo que el del producto de racionales. Por lo tanto es un espacio vectorial sobre . NOTA: Es claro que es un e.v. sobre , y de hecho el espacio vectorial sobre hereda en cierta forma su estructura.

Los dos primeros axiomas son iguales en el e.v. ( ), el tercero corresponde como ya hemos dicho a la propiedad asociativa del producto de números reales y el cuarto a la existencia de neutro para dicho producto.

≈≈≈≈≈≈≈

3. Consideremos el espacio vectorial 3( ) . Averigüe cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales, probándolo en caso afirmativo o mediante un contraejemplo en caso negativo:


16

a) ∈ 3A = {(x, y,z) : x + y - z = 0} b) ∈ 3B = {(x, y,z) : x - z = 2} c) ∈ 3C = {(x, y,z) : sinz = 0} d) ∈ ≥3D = {(x, y,z) : z y} e) ∈ 3E = {(x, y,z) : xyz = 0} f) ∈ 3 2 2 2F = {(x, y,z) : x y z = -1}+ +

SOLUCIÓN:

Se podría analizar su estructura y determinar como en ejercicios anteriores si dichos subconjuntos tienen estructura de e.v. lo que , en caso afirmativo, nos conduciría a la prueba efectiva de que son subespacios vectoriales y en caso negativo , de que no lo son.

Pero resulta mucho más práctico y sencillo utilizar el teorema de caracterización de subespacios vectoriales, siendo H U∅ ≠ ⊆ :

H es subespacio vectorial de U ⇔ u v H u v Hλ µ λ µ∀ , ∈ , ∀ , ∈ : ⋅ + ⋅ ∈k

lo que se puede descomponer de la siguiente forma:

H es subespacio vectorial de U ⇔

u v H u v H

u H u Hλ λ

∀ , ∈ : + ∈∀ ∈ , ∀ ∈ : ⋅ ∈ k

Pasemos pues a estudiar los distintos casos: a) { } 3( , , ) / 0 ( )A x y z x y z= + − = ⊆ , además A ≠ ∅ pues (0,0,0) A∈

Sean 1 1 1( , , )u x y z y 2 2 2( , , )v x y z elementos de A 1 1 1

2 2 2

0(1)

0x y zx y z

+ − = ⇒ + − =

i) Veamos que u v+ ∈ A

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 (1)

( , , ) ( , , ) ( , , );( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0u v x y z x y z x x y y z zx x y y z z x y z x y z+ = + = + + +

+ + + − + = + − + + − = + =

por lo que:

u v A+ ∈ ii) Comprobemos que uλ ⋅ ∈ A con λ ∈ En efecto,


17

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1)

( , , ) ( , , ) ( ) 0 0u x y z x y z x y z x y z u Aλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ⋅ = ⋅ = → + − = + − = = → ⋅ ∈

Luego A sí es subespacio vectorial de 3( ) . b) { } 3( , , ) / 2 ( )B x y z x z= − = ⊆ y además B ≠ ∅ pues, por ejemplo, (1,6, 1) B− ∈ Sin embargo, en este caso no tenemos estructura de espacio vectorial pues (0,0,0) B∉ c) { } 3( , , ) / sin 0 ( )C x y z z= = ⊆ y C ≠ ∅ pues (0,0,0) C∈ . Por otro lado:

Como (0,0, ) Cπ ∈ pero 1 (0,0, )2

Cπ ∉ pues sin 1 02π = ≠

, C no es s.e.v de 3( ) .

d) { } 3( , , ) / ( )D x y z z y= ≥ ⊆ y D ≠ ∅ pues (0,0,0) D∈ . De la misma forma que en el caso anterior, como (0, , )e Dπ ∈ pues 0eπ − > y dado que ( 1)(0, , ) (0, , )e e Dπ π− = − − ∉ ya que ( ) 0e eπ π− − − = − < , entonces D no es un subespacio vectorial de 3( ) e) { } 3( , , ) / 0 ( )E x y z xyz= = ⊆ y E ≠ ∅ pues (0,0,0) E∈ Sean (1,0,0) E∈ y (0,1,1) E∈ y sin embargo (1,0,0) (0,1,1) (1,1,1) E+ = ∉ pues

1 0xyz = ≠ . Por lo tanto E no es un subespacio vectorial de 3( ) f) { }2 2 2 3( , , ) / 1 ( )F x y z x y z= + + =− ⊆ pero F = ∅ pues ∃ 3( , , ) ( )x y z ∈ de

forma que 2 2 2 1x y z+ + = − . Por lo tanto E no es un subespacio vectorial de 3( ) .

≈≈≈≈≈≈≈ 4. Consideremos el espacio vectorial F [ ] de las funciones reales de variable real. Averigüe cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales:

a) C = conjunto de funciones continuas en . b) P = conjunto de funciones pares. c) T = {f ∈ F [ ] / f(x) = 1, ∀ x∈ } d) I = {f ∈ F [ ] / f(a) = f(b), con a, b∈ y a ≠ b fijos} e) D = {f ∈ F [ ] / f es derivable en y f ´(0) = k ≠ 0, k fijo }

f) G= {f ∈ F [ ] / f es continua en [0,1] e ∫1

0f(x)dx = 0 }


18

SOLUCIÓN: Todos los conjuntos del ejercicio están incluidos en F [ ] y son no vacíos pues contienen al menos una función real de variable real. La función nula pertenece a todos los conjuntos excepto a T y a D . a) Dado la suma de funciones continuas sigue siendo una función continua y que el producto de un número real por una función continua es también una función continua queda claro que C es un subespacio vectorial de F [ ] . b) El conjunto de las funciones pares es el conjunto { }/ ( ) ( )f f x f x= − Utilizando el teorema de caracterización de s.e.v., dados ,f g P∈ : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f g x f x g x f x g x f g x f g Pα β α β α β α β α β+ = + = − + − = + − ⇒ + ∈ Luego P es s.e.v. de F [ ] c) Puesto que la suma de dos funciones que valen constantemente 1 es la función que vale constantemente 2, queda claro que T no es s.e.v. de F [ ] .

También se podía haber razonado que la función idénticamente nula no pertenece a T por lo que no puede ser un s.e.v. d) Razonando como en el apartado b) sean ,f g I∈ , entonces:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f g a f a g a f b g b f g b f g Iα β α β α β α β α β+ = + = + = + ⇒ + ∈ y por lo tanto I es s.e.v. de F [ ] e) Puesto que la función idénticamente nula tiene derivada nula en cualquier punto es obvio que no pertenece a D, con lo que D no es s.e.v. de F [ ] f) Consideremos ,f g G∈ y apliquemos el teorema de caracterización:

( )1 1 1 1

0 0 0 0( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 ( )

f g x dx f x g x dx f x dx g x dx

f g G

α β α β α β

α β α β

+ = + = + =

= + = ⇒ + ∈∫ ∫ ∫ ∫

luego G es s.e.v. de F [ ]

≈≈≈≈≈≈≈


19

5. Consideremos los vectores u =(1,1,2) y v =(1,2,1) del espacio vectorial 3( ) . Se pide:

a. Halle una relación entre a, b y c tal que el vector w (a,b,c) sea combinación lineal de u y v .

b. Utilizando el resultado anterior escriba, si es posible, los vectores (2,10,-4) y (3,-1,2) como combinación lineal de u y v .

c. Estudie para qué valores de k es (2,-k,1) combinación lineal de u y v . SOLUCIÓN: a) Para poder expresar el vector ( , , )w a b c como combinación lineal de u y v , es necesario encontrar dos números reales α y β tales que :

w u vα β= + es decir,

( , , ) (1,1,2) (1,2,1) 22

aa b c b

c

α βα β α β

α β

= += + ⇒ = + = +

La existencia de α y β está supeditada a la compatibilidad del sistema , es decir ,

1 1 y ( ) ( *) 1 2 0 3 0

2 1

aexisten rango M rango M b c b a

cα β ⇔ = ⇔ = ⇔ + − =

donde M es la matriz del sistema y M* es la ampliada. También se podía haber buscado la relación resolviendo un subsistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

( , ) (2 , )2

aa b b a

bα β

α βα β

= + → = − − = +

y sustituyendo en la tercera ecuación 2(2 ) ( ) 3 3c a b b a c a b a b c→ = − + − → = − → = + b) En primer lugar hay que comprobar si los vectores pueden expresarse como combinación lineal de u y v , por lo que bastará con verificar si sus coordenadas cumplen la relación 3a b c= + . Veamos: El vector (2,10, 4)− la cumple y por lo tanto ( , ) (2 , ) ( 6,8)a b b aα β = − − = − luego :


20

(2,10, 4) 6(1,1,2) 8(1,2,1)− = − + El vector (3, 1,2)− no verifica la relación 3a b c= + luego no puede expresarse como combinación lineal de u y v c) Para determinar el valor que debe tener k para que (2, ,1)k− pueda escribirse como combinación lineal de u y v basta exigir que sus coordenadas verifiquen la relación 3a b c= + y entonces:

6 1 5k k= − + → = −

NOTA: Para determinar la relación 3a = b + c también podíamos haber procedido por Gauss. En efecto:

∼ ∼1 1 a 1 1 a 1 1 a1 2 b 0 1 b - a 0 1 b - a2 1 c 0 -1 c - 2a 0 0 c + b - 3a

≈≈≈≈≈≈≈

6. Determine si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes:

A = {(2,4,-3),(0,1,1),(0,1,-1)} en el e.v. 3 ( ) 2B = {1 - x,1 + x,1 - x } en el e.v. P2 [ ]

xC = {1, senx, e } en el e.v. F[ ] donde : P2 [ ] es el e.v. de los polinomios, de grado menor o igual que dos, con una indeterminada en x y a coeficientes reales. F [ ] es el e.v. de las funciones reales de variable real. NOTA 1: Se entiende que los espacios vectoriales anteriores lo son con las operaciones habituales suma y producto por un escalar. SOLUCIÓN: Un sistema de vectores es linealmente independiente si toda combinación lineal nula de los mismos implica que los coeficientes de la combinación lineal son todos nulos. a) Dado que:


21

2 0(2, 4, 3) (0,1,1) (0,1, 1) (0,0,0) 4 0 ( , , ) (0,0,0)

3 0

αα β γ α β γ α β γ

α β γ

= − + + − = → + + = → = − + − =

el sistema A es libre o de vectores linealmente independiente. b) De la misma forma:

2 2

2 2

(1 ) (1 ) (1 ) 0 1 0 0( )1 ( ) ( ) 0 1 0 0

00 ( , , ) (0,0,0)

0

x x x x xx x x x

α β γα β γ α β γ

α β γα β α β γγ

− + + + − = ⋅ + ⋅ + ⋅ →→ + + + − + + − = ⋅ + ⋅ + ⋅ →

+ + = − + = → = − =

el sistema B es por tanto libre. NOTA 2: El sistema homogéneo obtenido surge por comparación de dos polinomios del mismo grado. Dos polinomios del mismo grado son iguales si sus coeficientes son iguales. c) Sea la combinación lineal nula siguiente:

2

0 0

1 sin 0, 0 ( , , ) (0,0,0)2

0

x

x

x e x x e

x e

π

π

α γπα β γ α β γ α β γ

π α γ

= → + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∀ ∈ → = → + + = → =

= → + =

por tanto el sistema C es libre NOTA 3: Habitualmente cuando el sistema es de funciones se prueba la independencia lineal dando valores a la variable independiente para obtener el sistema lineal homogéneo de ecuaciones que nos permita discernir sobre la naturaleza del sistema de vectores. NOTA 4: El espacio vectorial de las funciones reales de variable real tiene dimensión infinita.

≈≈≈≈≈≈≈ 7. Dados los vectores (4,-5,7), (3,-3,4), (1,1,-2) y (2,-1,1) de 3 ( ) , halle un sistema mínimo de generadores del subespacio al que pertenecen. Estudie si dicho subespacio es el mismo que el generado por (1,-2,3) y (3,0,-1). SOLUCIÓN:

En primer lugar nombraremos los vectores:

1 2 3 4(1 1 2) (2 1 1) (4 5 7) (3 3 4)u u u u= , ,− , = ,− , , = ,− , , = ,− , ,


22

y analizaremos las relaciones entre ellos:

1 1 1

2 2 1 2 1

3 3 1 3 1 2 1

4 4 1

1 1 2 1 1 2 1 1 2

2 1 1 0 3 5 2 0 3 5 2

4 5 7 0 9 15 4 0 0 0 4 3( 2 )

3 3 4 0 6 10 3 0 0 0

u u u

u u u u u

u u u u u u u

u u u u

− − −

− − − − −

− − − − − −

− − −

∼ ∼

4 1 2 13 2( 2 )u u u

− − −

.

las operaciones realizadas son operaciones elementales, el sistema de vectores resultante y los intermedios son equivalentes al sistema ( )1 2 3 4u u u u, , ,

Por consiguiente,

(1 1 2) (0 3 5) (1 1 2) (2 1 1) (4 5 7) (3 3 4), ,− , ,− , = , ,− , ,− , , ,− , , ,− , , siendo un sistema mínimo de generadores { }(1 1 2) (0 3 5), ,− , ,− , existiendo las siguientes relaciones de dependencia lineal entre vectores:

3 1 2 1 1 2

4 1 2 1 1 2

4 3( 2 ) 2 3

3 2( 2 ) 2

u u u u u u

u u u u u u

= + − = − + ,

= + − = − + .

Seguidamente estudiaremos si dicho subespacio es el mismo que el generado por los vectores (1 2 3),− , y (3 0 1), ,− . Para ello veremos si:

(1 1 2) (1 2 3) (3 0 1) (0 3 5) (1 2 3) (3 0 1), ,− ∈ ,− , , , ,− , ,− , ∈ ,− , , , ,− , y

(1 2 3) (1 1 2) (0 3 5) (3 0 1) (1 1 2) (0 3 5),− , ∈ , ,− , ,− , , , ,− ∈ , ,− , ,− , . Para estudiar si (1 1 2) (1 2 3) (3 0 1), ,− ∈ ,− , , , ,− hacemos ceros del siguiente modo:

1 2 3 1 2 3 1 2 33 0 1 0 6 10 0 6 101 1 2 0 3 5 0 0 0

− − − − − − . − −

∼ ∼

Luego (1 1 2) (1 2 3) (3 0 1), ,− ∈ ,− , , , ,− . Veamos ahora si (0 3 5) (1 2 3) (3 0 1),− , ∈ ,− , , , ,− :


23

1 2 3 1 2 3 1 2 33 0 1 0 6 10 0 6 100 3 5 0 3 5 0 0 0

− − − − − − . − −

∼ ∼

Luego (0 3 5) (1 2 3) (3 0 1),− , ∈ ,− , , , ,− . Podemos concluir que

(1 1 2) (0 3 5) (1 2 3) (3 0 1), ,− , ,− , ⊆ ,− , , , ,− . Análogamente puede comprobarse que

(1 2 3) (3 0 1) (1 1 2) (0 3 5),− , , , ,− ⊆ , ,− , ,− , . y de ambas inclusiones se concluye que:

(1 1 2) (0 3 5) (1 2 3) (3 0 1), ,− , ,− , = ,− , , , ,− .

≈≈≈≈≈≈≈ 8. Dado el espacio vectorial de los números reales sobre el cuerpo de los racionales, se considera el siguiente subconjunto:

H = {a 2 +b 3 +c 5 / a, b, c ∈ } Pruebe que H es un subespacio vectorial de ( ) con las operaciones inducidas. Halle además una base y la dimensión de dicho s.e.v. SOLUCIÓN: En primer lugar H ⊂ y además H ≠ ∅ pues 0 0 2 0 3 0 5 H= + + ∈ Procederemos mediante la caracterización de s.e.v. Sean 2 3 5 y ' 2 ' 3 ' 5 y ,a b c H a b c H α β+ + ∈ + + ∈ ∈ , entonces:

( ) ( )2 3 5 ' 2 ' 3 ' 5

( ') 2 ( ') 3 ( ') 5

a b c a b c

a a b b c c H

α β

α β α β α β

+ + + + + =

= + + + + + ∈

pues ( ')( ')( ')

a ab bc c

α βα βα β

+ ∈ + ∈ + ∈

por lo que H es s.e.v. de ( ).


24

Por otro lado de forma evidente el sistema:

{ }1 2 0 3 0 5,0 2 1 3 0 5,0 2 0 3 1 5+ + + + + +

es linealmente independiente y además es generador de H , por lo que dimH = 3. NOTA: Se puede probar siguiendo los pasos de este ejercicio que el conjunto:

∈ ∑

k

i i i ii=1

J = a p / p primos distintos y a , i = 1,...,k

es un subespacio vectorial de ( ) cuya dimensión es k

≈≈≈≈≈≈≈ 9. Estudie si el sistema de vectores 2 2S = {1 - x, x + x + 1, 2x - 1} es base del espacio vectorial P2 [ ] de los polinomios de grado menor o igual que dos con indeterminada en x y a coeficientes reales. SOLUCIÓN: Analizaremos en primer lugar si es generador. En ese caso, todo polinomio de 2[ ]P x deberá poder expresarse como combinación lineal de los vectores del sistema:

2 2 20 1 2 1 2 3(1 ) ( 1) (2 1)α α α+ + = − + + + + − .a a x a x x x x x

Agrupando términos, tenemos

2 20 1 2 1 2 3 1 2 2 3( ) ( ) ( 2 )α α α α α α α+ + = + − + − + + + ,a a x a x x x

de donde

1 2 3 0

2 11

3 22 2

aaa

α α αα α

α α

+ − =− + =

+ =

que podemos resolver mediante el método de Gauss:

0 0 0 0

1 0 1 2 2

2 2 0 1 0 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 2 1 0 1 2 0 1 20 1 2 0 1 2 0 2 1 0 0 5 2

a a a aa a a a aa a a a a a a

− − − −− − +

− + − + −∼ ∼ ∼


25

Se trata de un sistema compatible, con solución única, y por tanto, el sistema es generador. Como la dimensión de 2[ ]P x es 3 , deben ser además libres, y por tanto S es base. No obstante, estudiaremos la dependencia lineal de los vectores. Para ello, planteamos el sistema

2 21 2 3(1 ) ( 1) (2 1) 0α α α− + + + + − = ,x x x x

de donde

22 3 1 2 1 2 3( 2 ) ( ) ( ) 0α α α α α α α+ + − + + + − = ,x x

llegando al sistema

2 3

1 2

1 2 3

2 000

α αα α

α α α

+ =− + = + − =

que podemos resolver mediante el método de Gauss:

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 01 1 1 0 0 2 1 0 0 1 2 0 0 1 2 00 1 2 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 0 5 0

− − − − − − , − −

∼ ∼ ∼

de modo que 1 2 3 0α α α= = = y el sistema de vectores es libre. NOTA: También se puede estudiar la dependencia o independencia lineal considerando a0=a1=a2=0 en el sistema original y como la solución de éste es :

0 1 21

0 1 22

0 1 23

2a - 3a + aα =

52a + 2a + a

α =5

-a - a + 2aα =

5

resulta al sustituir que 1 2 3α = α = α = 0

≈≈≈≈≈≈≈ 10. En el espacio vectorial 4 ( ) consideramos el conjunto de vectores:

.S = {(1,1,1,2),(1,-1,2,3),(1,3,0,1),(2,2,2,4)}


26

Determine unas ecuaciones implícitas de S , y el valor de k para que el vector (-1,3,k,-4) pertenezca a S . SOLUCIÓN: En primer lugar veremos si podemos simplificar el problema estudiando la dependencia lineal de los vectores

1 2 3 4(1 1 1 2) (1 1 2 3) (1 3 0 1) (2 2 2 4)u u u u= , , , , = ,− , , , = , , , , = , , , . Haciendo ceros,

1 1 1

2 2 1 2 1

3 3 1 3 1 2 1

4 4 1 4

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2

1 1 2 3 0 2 1 1 0 2 1 1

1 3 0 1 0 2 1 1 0 0 0 0 ( )

2 2 2 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0

u u u

u u u u u

u u u u u u u

u u u u

− − − − −

− − − − + −

−

∼ ∼

12u

−

Se trata de un sistema ligado de vectores, existiendo las relaciones

4 1 3 1 22 2u u u u u= , = − . Así pues,

(1 1 1 2) (1 1 2 3) (1 3 0 1) (2 2 2 4) (1 1 1 2) (0 2 1 1), , , , ,− , , , , , , , , , , = , , , , ,− , , . Unas ecuaciones paramétricas son de obtención directa: { (1 1 1 2) (0 2 1 1) } {( 2 2 ) }S λ µ λ µ λ λ µ λ µ λ µ λ µ= , , , + ,− , , : , ∈ = , − , + , + : , ∈ .

Un vector ( )1 2 3 4, , ,x x x x S∈ si ,λ µ∃ tal que ( )1 2 3 4, , , (1 1 1 2) (0 2 1 1)x x x x λ µ= , , , + ,− , , , es decir, que el siguiente sistema tenga solución en λ y µ :

1

2

3

4

2

2

λλ µλ µλ µ

=− =+ =+ =

xxxx

de donde se consiguen unas ecuaciones implícitas del subespacio NOTA 1: Unas ecuaciones implícitas de un subespacio vectorial se obtienen eliminando los parámetros en las ecuaciones paramétricas. Dependiendo de la forma en que eliminemos los parámetros obtendremos unas u otras ecuaciones que en todo caso serán equivalentes. En ocasiones en las ec. paramétricas hay una o varias que no tienen parámetros por lo que respetando la relación:


27

Dimensión del e.v. = dimensión del s.e.v. + número de ecuaciones implícitas independientes

podemos obtener directamente unas ecuaciones cartesianas.

También podemos proceder por Gauss exigiendo la compatibilidad del sistema de forma que unas ecuaciones implícitas serán las correspondientes a las filas de ceros de la matriz del sistema. Utilizando el método de Gauss:

11 1 1

3 12 2 1 3 1

1 3 43 3 1 4 1

1 2 34 4 1 2 1

1 01 0 1 0 1 00 11 2 0 2 0 10 01 1 0 1 0 1 20 0 3 22 1 0 1 2 0 2

xx x xx xx x x x x

x x xx x x x xx x xx x x x x

−− − − −− − +− −

− + +− − −

∼ ∼ ∼

.

obligamos a que este sistema tenga solución.

Luego unas ecuaciones cartesianas o implícitas son:

1 3 4 1 2 30 3 2 0− − + = , − + + = .x x x x x x En la segunda parte del ejercicio se pide el valor del parámetro k para que el vector

( 1 3 4)u k− , , ,− pertenezca a S . Empleando la forma implícita de las ecuaciones,

vemos que el vector ( 1 3 4)u k− , , ,− deberá satisfacer las restricciones

1 2 3 1 3 43 2 0 0− + + = , + − = ,x x x x x x de modo que obtenemos las ecuaciones

3 3 2 0 1 4 0+ + = , − + + = ,k k de donde 3= −k . NOTA 2: Podrían darse tres situaciones más:

1) Que de cada ecuación implícita obtuviéramos un valor distinto de k en cuyo caso no existe ningún valor real de k para el que ∈u S

2) Que k sólo intervenga en una ecuación, de la que deducimos un valor, mientras que la otra ecuación, o es verificada por el resto de coordenadas de u , en cuyo caso el valor de k obtenido es válido, o no es verificada con lo que no existe ningún valor real de k para el que

∈u S . 3) Que k no intervenga en ninguna ecuación o el resto de coordenadas verifiquen ambas

ecuaciones implícitas, en cuyo caso ∈u S para cualquier valor real de k, o alguna

ecuación no es verificada y por tanto no existe ningún valor real de k para el que ∈u S Utilizando la forma paramétrica, plantearíamos el sistema


28

12 3

2 4

λλ µλ µλ µ

= − − = + = + = −

k

De las dos primeras ecuaciones resulta 1λ = − y 2µ = − , y sustituyendo en la tercera ecuación obtenemos 3= −k , comprobando previamente que verifica la cuarta ecuación.

≈≈≈≈≈≈≈ 11. En el espacio vectorial ( )4 , se consideran los siguientes s.e.v.:

( )∈ .4

F = (1,1,0,-1) ,(0,1,1,0) ,(1,0,1,0) ,

G = {(x, y,z,t) : x -t = 0}

Halle una base de: F, G, F∩ G y F + G. ¿Es F ∪ G un subespacio vectorial de ( )4 ? SOLUCIÓN: Base de F . Los vectores dados en la definición de F generan F , pero queda averiguar si son o no linealmente independientes. Esto se puede saber haciendo ceros, de modo que directamente veamos cuál podemos eliminar si existe alguna relación de dependencia lineal entre ellos:

1 1 1

2 2 2

3 3 1 3 1 2

1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 2 1

u u u

u u u

u u u u u u

− − −

− − − +

∼ ∼

Una vez finalizado el “proceso de hacer ceros” se observa que los tres vectores son linealmente independientes, luego engendrarán un subespacio vectorial de dimensión 3 igual al de partida (al haber efectuado operaciones elementales), por lo que los tres vectores dados constituyen un sistema libre y forman una base de F . Y así, podemos escribir

{ }(1 1 0 1) (0 1 1 0) (1 0 1 0)FB = , , ,− , , , , , , , , .

Base de G . El subespacio G viene dado mediante unas ecuaciones implícitas. Podemos obtener la base del subespacio directamente a partir de la forma paramétrica: {( ) }G α λ µ α α λ µ= , , , : , , ∈ .R De este modo, todo vector de G es de la forma


29

1 2 3 4( ) (1 0 0 1) (0 1 0 0) (0 0 1 0)α λ µ, , , = , , , + , , , + , , , ,x x x x

y (1 0 0 1) (0 1 0 0) (0 0 1 0)= , , , , , , , , , , , .G Como los vectores que generan G son libres, entonces una base de G vendrá dada por { }(1 0 0 1) (0 1 0 0) (0 0 1 0)GB = , , , , , , , , , , , . NOTA: El sistema generador de un s.e.v. que se obtiene a partir de unas ecuaciones implícitas del mismo, mediante este procedimiento, siempre es linealmente independiente.

Base de +F G . Recordemos que { / }F G u v u F v G+ = + ∈ , ∈ , y se obtiene

(1 1 0 1) (0 1 1 0) (1 0 1 0) (1 0 0 1) (0 1 0 0) (0 0 1 0)F G+ = , , ,− , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Estudiaremos las relaciones de dependencia entre estos 6 vectores para determinar una base. Para ello, operamos haciendo ceros en la forma habitual, reordenando antes los vectores a conveniencia,

1 2 3(1 0 0 1) (0 1 0 0) (0 0 1 0)u u u= , , , , = , , , , = , , , ,

4 5 6(1 0 1 0) (1 1 0 1) (0 1 1 0)u u u= , , , , = , , ,− , = , , , .

1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 01 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 01 1 0 1 0 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 20 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

− − − − − − −

∼ ∼ ∼ ∼0 0 1

0 0 0 00 0 0 0

De este modo, tenemos que

4(1 0 0 1) (0 1 0 0) (0 0 1 0) (0 0 0 1)F G+ = , , , , , , , , , , , , , , , = . Podemos dar como base de +F G por ejemplo la base canónica. Base de ∩F G . Recordemos que


30

4{ ( ) / }F G u u F y u G∩ = ∈ ∈ ∈ . Para la obtención de la intersección conviene expresar tanto F como G en forma implícita, aunque es posible también resolverlo en paramétricas: Vamos a obtener unas ecuaciones implícitas de F : Puesto que

{ }4

(1 1 0 1) (0 1 1 0) (1 0 1 0)

( , , , ) ( ) /( , , , ) (1 1 0 1) (0 1 1 0) (1 0 1 0); , ,

F

x y z t x y z t a b c a b c

= , , ,− , , , , , , , , =

= ∈ = , , ,− + , , , + , , , ∈

llegamos al sistema:

a c xa b yb c z

a t

+ = + = + = − =

y resolviendo por Gauss o de una forma alternativa (sabido que sólo tiene una ecuación implícita) sumando las dos primeras ecuaciones , restando la tercera y sumando el doble de la cuarta se llega a la siguiente ecuación cartesiana o implícita:

2 0x y z t+ − + =

Por consiguiente:

{ } { }

4 42 0 3 0( ) / ( ) /

( , ,3 , ) / , (1,0,3,1) (0,1,1,0) / , (1,0,3,1), (0,1,1,0)

x y z t x y zF G x y z t x y z t

x t x t

x y x y x x y x y x y

+ − + = + − = ∩ = , , , ∈ = , , , ∈ = = =

= + ∈ = + ∈ =

luego una base de ∩F G es:

{(1 0 3 1) (0 1 1 0)}F GB ∩ = , , , , , , , . Finalmente, la unión de s.e.v. no es en general un s.e.v. lo que queda patente en este ejercicio. Recordemos que F G∪ es el conjunto de vectores de 4 ( ) que pertenecen a F o pertenecen a G o pertenecen a ambos. Sean (1, 1,4,2) y (2, 1,3,2)F G− ∈ − ∈ , tales que (1, 1,4,2) y (2, 1,3,2)G F− ∉ − ∉ y además

(3, 2,7,4)(1, 1,4,2) (2, 1,3,2) (3, 2,7,4)

(3, 2,7,4)FG

− ∉− + − = − → − ∉


31

con lo que F G∪ no es s.e.v. de 4 ( )

≈≈≈≈≈≈≈ 12. En el espacio vectorial 3( ) se consideran los subespacios:

U = (1,0,1)V = (1,0,0) ,(0,1,1)W = (1,0,0) ,(0,0,1)

a) Estudie si U y V son subespacios suplementarios. b) Haga lo mismo para U y W, y para V y W. c) Exprese, si es posible, el vector (2,1,2) como suma de un vector de U y

otro de V. Razone si es única tal descomposición. d) Realice la misma operación para el caso del vector (3,0,3) respecto de la

suma de un vector de U y otro de W. SOLUCIÓN: a) Estudiaremos si U y V son suplementarios. Esto ocurrirá si 3U V+ = y además {0}U V∩ = .

(1 0 1) (1 0 0) (0 1 1) (1 0 1) (1 0 0) (0 1 1)+ = , , + , , , , , = , , , , , , , , .U V Como los vectores son linealmente independientes 3U V+ = , y dado que:

dim( ) dim( ) dim dim+ + ∩ = + ,U V U V U V se llega a que :

dim( ) 0∩ = ,U V y por lo tanto, {(0 0 0)}∩ = , ,U V y la suma es directa. De este modo, 3 U V= ⊕ , es decir, U y V son subespacios suplementarios. b) Veamos ahora si lo son U y W : (1 0 1) (1 0 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 0 1)+ = , , + , , , , , = , , , , , ,U W pues (1 0 1) (1 0 0) (0 0 1), , = , , + , , . Por lo tanto no son espacios suplementarios.


32

Tampoco son suplementarios V y W , dado que tienen un vector en común, y por tanto no pueden ser independientes. c) Como 3 U V= ⊕ , todo vector de 3 se puede expresar de forma única como suma de un vector de U más otro de V, y en particular el vector (2,1, 2) . En efecto tomemos u U∈ y v V∈ , tales que:

(1 0 1) (1 0 0) (0 1 1)α λ µ= , , , = , , + , , .u v Así,

( 0 ) ( ) ( ) (2 1 2)α α λ µ µ α λ µ α µ+ = , , + , , = + , , + = , , ,u v a continuación resolvemos el sistema siguiente:

212

α λµ

α µ

+ = = + =

La solución del sistema es ( 1)α λ µ= = = , de modo que

(2 1 2) (1 0 1) (1 1 1), , = , , + , , , d) Como U y W no son suplementarios, veamos si se puede expresar el vector (3 0 3), , como suma de un vector de U y otro de W : (3 0 3) (1,0,1) (1 0 0) (0 0 1)

U W

λ µ δ∈ ∈

, , = + , , + , , ,

que nos conduce a un sistema compatible indeterminado con un grado de libertad, cuyas soluciones son

3 ttt

λµδ

= −==

por tanto , sí que se puede obtener el vector (3 0 3), , como suma de un vector de U y otro de W de más de una forma, por ejemplo:

0 (3 0 3) 3(1,0,1) 0(1 0 0) 0(0 0 1)

1 (3 0 3) 2(1,0,1) 1(1 0 0) 1(0 0 1)U W

U W

t

t∈ ∈

∈ ∈

= → , , = + , , + , , ,

= → , , = + , , + , ,

≈≈≈≈≈≈≈


33

13. Pruebe que toda función real de variable real puede escribirse de forma única como suma de una función par más una función impar. SOLUCIÓN: Sean El conjunto de las funciones pares, [ ]{ }/ ( ) ( )P f F f x f x= ∈ − = y, El conjunto de las funciones impares [ ]{ }/ ( ) ( )I f F f x f x= ∈ − = − . Para probar el enunciado basta probar que P I F⊕ = 1º.- Veamos que { } { }0 0P I f∩ = = donde 0f es la función idénticamente nula:

Sea

( ) ( ): : ( ) ( ) : 2 ( ) 0

( ) ( )f x f x

f P I x x f x f x x f xf x f x

− =∈ ∩ → ∀ ∈ → ∀ ∈ = − → ∀ ∈ = − = −

por lo tanto:

si 0 entonces : ( ) 0 por consiguiente f P I x f x f f∈ ∩ ∀ ∈ = = como se quería demostrar. 2º.- Probemos que P I F+ = Para ello tomaremos una función [ ]f F∈ e intentaremos determinar dos funciones g P∈ y h I∈ , tales que:

f g h= + En efecto supongamos que existen tales funciones y comprobaremos que quedan perfectamente determinadas: Como g es par y h es impar se tiene que:

( ) ( ) ( ),f x g x h x x= + ∀ ∈ y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),f x g x h x g x h x x− = − + − = − ∀ ∈ y resolviendo el sistema obtenemos:

( )

( )

1( ) ( ) ( ) ,21( ) ( ) ( ) ,2

g x f x f x x

h x f x f x x

= + − ∀ ∈

= − − ∀ ∈


34

resulta claro que f g h= + y que g es par y h es impar, como se quería demostrar.

≈≈≈≈≈≈≈ 14. Sea C[a, b] el e.v. de las funciones continuas en el intervalo [a, b] con 0 <a < b. Consideramos ahora los siguientes subespacios vectoriales de C[a, b]: H = { f ∈ C[a, b] tal que f es constante }

J = {f ∈ C[a, b] tal que ∫b

af(x)dx = 0 }

Pruebe que H ⊕ J = C[a, b] SOLUCIÓN: En primer lugar veamos que H y J son subespacios vectoriales independientes de C[a, b] analizando su intersección. En efecto:

[ ]{ }[ ]{ }[ ]{ }[ ]{ } { }

b

a

0

, / ( ) e ( ) 0,

, / ( ) y ( ) 0,

, / ( ) y 0,

, / ( ) 0,

H J f C a b f x k f x dx x

f C a b f x k k b a x

f C a b f x k k x

f C a b f x x f

∩ = ∈ = ∈ = ∀ ∈ =

= ∈ = ∈ − = ∀ ∈ =

= ∈ = ∈ = ∀ ∈ =

= ∈ = ∀ ∈ =

∫

Por otro lado, sea f una función continua en [a,b] , veamos que podemos determinar dos funciones h H∈ y j J∈ , tales que:

f h j= + En efecto: Sea ( )h x k= ∈ , entonces supongamos que ( ) ( ) ( ),f x h x j x x= + ∀ ∈ , con

( ) 0b

aj x dx =∫ .

Como f es una función continua en [a,b] tiene sentido el número real ( )b

af x dx∫ , por lo

que:

( ) ( ( )) ( ) ( ) 0 ( )b b b b

a a a af x dx k j x dx kdx j x dx k b a k b a= + = + = − + = −∫ ∫ ∫ ∫

de donde


35

1 1( ) ( ) ( ) ,b b

a ak f x dx h x f x dx x

b a b a= → = ∀ ∈

− −∫ ∫

luego

1( ) ( ) ( )b

aj x f x f x dx

b a= −

− ∫

como queríamos demostrar.

≈≈≈≈≈≈≈ 15. Calcule, según los valores reales de α , β y γ , el rango del siguiente sistema de vectores de 3 ( ) :

S = {(1,-1,0),(2,1,α),(3,0,β),(1,γ,1)} . SOLUCIÓN: El rango de un sistema de vectores es el número de vectores libres del sistema. Procedemos haciendo ceros,

1 1 01 1 0 1 1 00 32 1 0 30 03 0 0 3

( 1)1 1 0 1 1 0 0 13

αα αβ αβ β

α γγ γ

− − − . − + + −

∼ ∼

De este modo, si α β≠ , y γ∀ ∈ , tenemos que rg 3=S . Por otro lado, si α β= , se presentan dos posibles situaciones:

( 1) 3 0α γ− + + ≠ : En este caso, rg 3=S . ( 1) 3 0α γ− + + = : En este caso, rg 2=S .

≈≈≈≈≈≈≈ 16. Consideremos el e.v. de los polinomios P2 [ ] y en él el polinomio:

p(x) = x2-2x + 1 Pruebe que el sistema B = {p(x), p’ (x), p’’ (x)} es una base de P2 [ ] y halle las coordenadas del vector q(x) = x2 + 2x + 3 respecto de B.


36

SOLUCIÓN: Resolveremos el ejercicio de forma general, es decir, consideremos el polinomio:

20 1 2( )p x a a x a x= + +

Vamos a probar que 3

0 1 2( , , )a a a∀ ∈ se verifica que el sistema:

{ }( ), '( ), ''( )B p x p x p x= es una base de [ ]2P . Sea pues, el sistema { }2

0 1 2 1 2 2, 2 , 2B a a x a x a a x a= + + +

Veamos que B es libre y generador de [ ]2P • B es sistema generador de [ ]2P , o sea, [ ]2P B= Sea [ ]2

0 1 2 2( )q x b b x b x P= + + ∈ entonces 3( , , )α β γ∃ ∈ de forma que:

( ) ( ) ( )20 1 2 1 2 2( ) 2 2q x a a x a x a a x aα β γ= ⋅ + + + ⋅ + + ⋅

de donde:

( ) ( ) ( )2 20 1 2 0 1 2 1 2 22 2b b x b x a a x a x a a x aα β γ+ + = ⋅ + + + ⋅ + + ⋅

y reorganizando coeficientes en el segundo miembro:

( ) ( ) ( )2 20 1 2 0 1 2 1 2 22 2 , b b x b x a a a a a x a x xα β γ α β α+ + = + + + + + ∀ ∈

Puesto que dos polinomios son iguales para cualquier valor real de su indeterminada si los respectivos coeficientes son iguales se llega al siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

0 0 1 2

1 1 2

2 2

22

b a a ab a ab a

α β γα βα

= + += +=

(1)

y al expresarlo matricialmente:

0 1 2 0

1 2 1

2 2

22 0

0 0

a a a ba a ba b


37

por Gauss sabemos que es un sistema no homogéneo compatible determinado, o expresándolo de otra forma, 3

0 1 2( , , )a a a∀ ∈ existe una única terna 3( , , )α β γ ∈ de forma que ( )q x se expresa como combinación lineal de los vectores de B. Como consecuencia B es sistema generador de [ ]2P . • B es un sistema libre o linealmente independiente: Para probar que es L.I. basta con tomar ( )q x como el polinomio idénticamente nulo y así el sistema anterior se convierte en el sistema homogéneo asociado al anterior que es compatible determinado. En estas condiciones la única solución es ( , , ) (0,0,0)α β γ = . Por lo tanto B es linealmente independiente. Como consecuencia para el caso particular en que 2( ) 1 2p x x x= − + el sistema:

{ }21 2 , 2 2 ,2B x x x= − + − + es base de [ ]2P . Las coordenadas del vector [ ]2

2( ) 3 2q x x x P= + + ∈ respecto de B se obtienen resolviendo el sistema (1) :

3 ( 2) 22 ( 2) 21

α β γα βα

= + − += − +=

que es claramente de Gauss y del que trivialmente se desprende que ( , , ) (1,2,3)α β γ = que son las coordenadas de ( )q x respecto de la base B. NOTA: La base B también puede expresarse de forma simplificada:

( ) ( ){ }2B = x - 1 ,2 x - 1 ,2

Entonces, si podemos expresar q(x) en potencias de ( )x - 1 , la deducción de las coordenadas también será obvia. Puesto que

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2q(x) = x - 1 + 4 x - 1 + 6 = x - 1 + 2 2 x - 1 + 3 2

es claro que las coordenadas de q(x) respecto de B son (1,2,3)

≈≈≈≈≈≈≈


38

17. Dado el espacio vectorial 5 ( ) halle:

a) Una base que contenga el vector u (1,-1,3,2,4) b) Una base que contenga los vectores u y v (1,0,-1,2,1) c) Una base que contenga los vectores u , v y w (2,-2,1,-1,3)

SOLUCIÓN: La resolución de este ejercicio se basa en el teorema de la base incompleta (propiedad 1 del apartado 1.8.2). a) Dado que la dimensión de 5 ( ) es 5 podemos elegir 4 vectores de la base canónica

{ }1 2 3 4 5(1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1)C e e e e e= que junto

con el vector u constituyan una base de 5 ( ) . En efecto, de un modo trivial se tiene que:

rango

1 1 3 2 40 1 0 0 0

50 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

− =

por lo que el sistema { }1 2 3 4 5, , , ,B u e e e e= es una base de 5 ( ) .

b) En este caso buscamos un sistema de cinco vectores L.I. que contenga los vectores u y v . Se trata de seguir un procedimiento análogo al anterior tomando, convenientemente, de la base canónica aquellos vectores que junto con los dos dados constituyan un sistema de rango 5.

1 1 3 2 4 1 1 3 2 41 0 1 2 1 0 1 4 0 30 0 1 0 0 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1

− − − − −

∼ luego rango de

1 1 3 2 41 0 1 2 1

50 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

− − =

y entonces el sistema { }2 3 4 5, , , ,B u v e e e= es una base de 5 ( ) .

c) Siguiendo la metodología precedente se llega a:

fundamentos de matemática aplicada - · pdf file5.8.5 criterios de sustitución...

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