triángulos - innovación empresarialinn-edu.com/calculosimbolico/mapletriangulos.pdf · alturas de...
TRANSCRIPT
CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MAPLE
Triángulos
Ricardo Villafaña Figueroa
2
Contenido
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
Definición de un triángulo a partir de tres puntos ................................................................. 3
Definición de un triángulo a partir de líneas rectas ............................................................... 5
Definición de un triángulo a partir de sus lados ..................................................................... 7
Definición de un triángulo a partir de dos de sus lados y el ángulo entre ellos .................... 8
Medianas de un triángulo y centroide ................................................................................... 9
Alturas de un triángulo ......................................................................................................... 11
Alturas de un triángulo y su ortocentro ............................................................................... 13
Bisectrices de un triángulo ................................................................................................... 15
Bisectrices de un triángulo e incentro .................................................................................. 17
Circunferencia inscrita a un triángulo .................................................................................. 20
Área y longitud de cada uno de los lados de un triángulo .................................................. 22
Circunferencia externa y tangente a uno de los lados de un triángulo ............................... 24
3
Definición de un triángulo a partir de tres puntos
Ejemplo
Definir el triángulo que tiene como vértices los tres siguientes puntos: 3, 1 , 1, 3 , 2, 1
Solución
Cargando la biblioteca de geometría:
Definiendo los puntos dados con la función point:
Definiendo el triángulo con la función triangle:
Detalle de la figura definida:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
4
Dibujando el triángulo con la función draw:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
5
Definición de un triángulo a partir de líneas rectas
Ejemplo
Definir el triángulo cuyos vért
0, , 2 0.
ices lo forman la intercepción de las siguientes rectas:
Solución
Cargar la biblioteca de geometría:
Definir las tres líneas rectas:
Dibujar las tres líneas para observar el triángulo formado:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
6
Definir el triángulo con las tres líneas dadas:
Dibujar el triángulo definido:
Ricardo Villafaña Figueroa
Detalles del triángulo:
Material desarrollado con Maple
7
Definición de un triángulo a partir de sus lados
Ejemplo
Cada uno de los lados de un triángulo mide cinco unidades. Definir el triángulo.
Solución
Cargar la biblioteca de geometría:
Definir el triángulo a partir de tres de sus lados:
Detalle de la figura obtenida:
Comprobar si es equilátero a través de la función IsEquilateral:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
8
Definición de un triángulo a partir de dos de sus lados y el ángulo entre ellos
Ejemplo
Definir el triángulo cuyos dos de sus lados miden dos y cuatro unidades respectivamente y el ángulo entre ellos de de 90 grados.
Solución
Cargar la biblioteca de geometría:
Definir el triángulo dado dos de sus lados y el ángulo entre ellos:
¿Es recto el triángulo formado? Uso de la función IsRightTriangle.
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
9
Medianas de un triángulo y centroide
Ejemplo
Los vértices de un triángulo son:
.
Encontrar la ecuación de sus medianas y su punto de intersección (centroide).
Solución
Cargando la biblioteca de geometría:
Definiendo los tres puntos dados con la función point:
Definiendo el triángulo T con los puntos dados y la función triangle:
Encontramos la mediana medA que pasa por el punto A y su ecuación correspondiente con las funciones median y Equation:
Encontramos la mediana medB que pasa por el punto B y su ecuación correspondiente
Encontramos la mediana medC que pasa por el punto C y su ecuación correspondiente:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
10
Encontramos el punto de intersección, al que llamaremos interseccion, de las tres medianas con la función centroid:
Calculamos las coordinadas de la intersección con la función coordinates:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
11
Alturas de un triángulo
Ejemplo
Los vértices de un tríangulos ABC son los siguientes: A (0,0), B (2, 1) y C (1, 3). Encuentre la ecuación de la altura que va del vértice A al lado opuesto.
Solución
Cargando la biblioteca de geometría:
Definiendo el triangulo ABC a partir de los puntos dados:
Definiendo la altura que se desprende del vértice A:
Definiendo la ecuación de la altura:
Detalles de los objetos geométricos definidos:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
12
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
13
Alturas de un triángulo y su ortocentro
Ejemplo
El ortocentro de un triángulo está formado por la intercepción de sus tres alturas. Encontrar el ortocentro del triángulo formado por los puntos A (‐2, 0), B (1, 3) y C (3, ‐1).
Solución
Cargando la biblioteca de geometría:
Definiendo los puntos que formarán el triángulo;
Definiendo el triángulo:
Obteniendo el ortocentro con la función orthocenter:
Obteniendo las coordenadas del ortocentro:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
14
Dibujando el triángulo y el ortocentro:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
15
Bisectrices de un triángulo
Ejemplo
Dado el triángulo ABC definido por los puntos A (0, O), B (0, 3), C (3, 0), encontrar la bisectriz del vértice A.
Solución
Cargar la biblioteca de geometría:
Definir el triángulo ABC:
Encontrar la bisectriz del ángulo formado por el vértice A:
Detalles del triángulo ABC:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
16
Detalles de la bisectriz:
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
17
Bisectrices de un triángulo e incentro
Ejemplo
El incentro es punto donde se cruzan las bisectrices de un triángulo. Dado un triángulo de vértices A (0, 0), B (2, 3) y C (4, 0), encuentre las ecuaciones de cada uno de los lados del triángulo, las ecuaciones de cada una de sus bisectrices y el punto de intercepción de sus bisectrices (incentro).
Solución
Cargando la biblioteca de geometría:
Definiendo el triángulo ABC:
Definiendo las ecuaciones de cada uno de los lados del triángulo.
Lado AB:
Lado AC:
Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple
18
Lado BC:
Definiendo cada una de las bisectrices del triángulo y sus respectivas ecuaciones.
Bisectriz A:
Bisectriz B:
Bisectriz C:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
19
Cargando el paquete de gráficas que permite dibujar ecuaciones implícitas:
Dibujando cada uno de los elementos del triángulo:
El incentro queda en el punto:
Valor aproximado del valor de y:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
20
Circunferencia inscrita a un triángulo
Ejemplo
Dado un triángulo de vértices A (0, 0), B (2, 3) y C (4, 0), encuentre la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo, las coordenadas de su centro y su radio. Dibuje el triángulo y la circunferencia encontrada.
Solución
Cargando la biblioteca de geometría:
Definiendo el triángulo ABC:
Definiendo el incentro:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
21
Detalle del incentro encontrado:
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively
Dibujando el triángulo y la circunferencia inscrita:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
22
Área y longitud de cada uno de los lados de un triángulo
Ejemplo
Las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC son las siguientes: A (0, 0), B (‐2, 4), C(4, ‐2).
a) Dibujar el triángulo.
b) Calcular su área y la longitud de cada uno de sus lados.
Solución
Cargando la biblioteca de geometría:
a) Definiendo los puntos dados con la función point:
Definiendo el triángulo con la función triangle:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
23
Dibujando el triángulo:
b) Calculando la longitud de los lados con la función sides:
Calculando el área del triángulo con la función area:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
24
Circunferencia externa y tangente a uno de los lados de un triángulo Ejemplo Un triángulo está formado por los vértices A (‐2, 1), B (2, 1) y C (0, 4). Encontrar las ecuaciones de las circunferencias externas a cada uno de sus lados. Graficar el triángulo y las circunferencias.
Solución
En un triángulo ABC, una circunferencia k tangente a un lado c del triángulo y tangente a las extensiones de los lados a y b es conocida como circunferencia externa. La circunferencia forma su centro con las intersecciones de las bisectrices externas de los vértices A y B.
Cargar el paquete geometría:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
25
Definir los tres vértices del triángulo:
Definir el triángulo T sobre el que se calcularán las ecuaciones:
Utilizar el comando excircle para el cálculo de las tres circunferencias externas:
Detalles de cada una de las circunferencias encontradas:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
26
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
27
Dibujo del triángulo y las circunferencias:
Cálculo y dibujo de cada una de las ecuaciones de los lados del triángulo:
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
28
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
29
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
Solución dada con Geogebra a la circunferencia 3: