Cálculo Simbólico

(MathCad)

Ricardo Villafaña Figueroa

Contenido

Introducción al Cálculo SimbólicoIntroducción al Cálculo SimbólicoCálculos Algebraicos

Representación simbólica o algebraica de expresiones matemáticasSuma y resta algebraicaMultiplicación y división algebraicaMultiplicación y división algebraicaExpansión algebraicaFactorización de números enterosFactorización de expresiones algebraicasCálculos en modo simbólico y en modo numérico

2

Contenido

Cálculos SimbólicosCálculos SimbólicosSolución de ecuacionesCálculo de límitesCálculo de derivadasCálculo de integralesCálculo de sumatoriasCálculo de productos

Solución gráfica de ecuaciones

3

Cálculo Simbólico

El cálculo simbólico reproduce desdeuna computadora los conceptos, lasreglas y las notaciones utilizadas enreglas y las notaciones utilizadas enel álgebra tradicional.

4

CÁLCULOS ALGEBRAICOSCÁLCULOS ALGEBRAICOS BÁSICOS

Representación simbólica o algebraica de expresiones matemáticasexpresiones matemáticas

En un lenguaje de cálculo simbólico se utilizan los g jmismos símbolos que en el álgebra tradicional.

3 x 2 y− 1+ x2 y2+ 25+(1) (3)

x 1+( )2

1( ) 1( )(2) (4) 2x 3y+ 16

x 1+( ) x 1−( )

6

Suma y resta algebraicay g

El los siguientes ejemplos se muestra la solución g j psimbólica dada a la suma y resta de expresiones algebraicas.

(1) 12x 3x+ 7x− 8 x⋅→

(2) 3a 2 b⋅+( ) a b−( )− 2 a⋅ 3 b⋅+→

2a

3a

+2b

−5b

+5a

3b

+→(3)

7

Multiplicación y división algebraicap y g

Ejemplos de multiplicación, manejo de exponentes j p p , j py simplificación de cocientes

3 x 2+( ) 3 x⋅ 6+→ 32

c⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3c2⋅

278

c5⋅→(1) (3)

x 1+( )2

1( ) 1( )x 1+( )

1( )→(2) (4)5 a2 10+( ) 5 a2⋅ 50+→x 1−( ) x 1+( ) x 1−( )

8

EXPANSIÓNEXPANSIÓN

Expansión algebraicap g

Ejemplos de multiplicación algebraica utilizando j p p gtécnicas de expansión simbólica.

3a 2a b+( )⋅ expand 6 a2⋅ 3 a b⋅⋅+→(1)

(2) a b+( ) a c+( ) expand a2 a c⋅+ a b⋅+ b c⋅+→

(3) 3aa b+( )

a2⋅ expand

3 a⋅ 3 b⋅+a

→

10

a

Expansión algebraicap g

Los siguientes ejemplos muestran el uso de las reglas g j p gde expansión algebraica aplicadas a binomios

x y+( )2 expand x2 2 x⋅ y⋅+ y2+→(1)

x y+( )3 expand x3 3 x2⋅ y⋅+ 3 x⋅ y2

⋅+ y3+→(2)

x y+( )4 expand x4 4 x3 y⋅⋅+ 6 x2 y2⋅⋅+ 4 x y3⋅⋅+ y4+→(3)

11

FACTORIZACIÓNFACTORIZACIÓN

Factorización de números enteros

Los siguientes ejemplos muestran la factorizaciónLos siguientes ejemplos muestran la factorización de números enteros

125 factor 53→(1)

130 factor 2 5 13⋅⋅→(2)

150 factor 2 3 52⋅⋅→(3)

13

Factorización de expresiones algebraicasp g

Ejemplos de factorización de polinomiosEjemplos de factorización de polinomios

3 3 6 2 f 3 2 2( )(1) 3a3 6a2− factor 3 a2 a 2−( )⋅⋅→

5 4 3 2 4 3 2( )

(1)

x5 x4− x3+ x2− x+ factor x x4 x3− x2 x−+ 1+( )⋅→(2)

1 2 1(3) 13

a2 26

a3⋅+ factor13

a2 1 a+( )⋅⋅→

14

Factorización de expresiones algebraicasp g

Factorización de diferencia de cuadradosFactorización de diferencia de cuadrados

2 2 f ( ) ( )(1) x2 y2− factor x y+( ) x y−( )⋅→

2 2

(1)

4x2 y2− factor 2 x⋅ y−( ) 2 x⋅ y+( )⋅→(2)

( ) ( )(3) 14

m4⋅ n6− factor14

m2 2 n3⋅−( ) m2 2 n3⋅+( )⋅⋅→

15

Factorización de expresiones algebraicasp g

Factorización de trinomios cuadrados perfectosFactorización de trinomios cuadrados perfectos

2 2 2(1) x2 2x y⋅+ y2+ factor x y+( )2→

2 2

(1)

9 6x− x2+ factor x 3−( )2→(2)

(3) a2 4 a b⋅⋅+ 4 b2⋅+ factor a 2 b⋅+( )2→

16

Factorización de expresiones algebraicasp g

Factorización de trinomios de la forma: x2 b x⋅+ c+Factorización de trinomios de la forma: x b x+ c+

2(1) x2 7x+ 10+ factor x 5+( ) x 2+( )⋅→

2

(1)

x2 5x− 6+ factor x 2−( ) x 3−( )⋅→(2)

(3) a2 5 a⋅+ a b⋅+ 5 b⋅+ factor a b+( ) a 5+( )⋅→

17

Cálculos en modo simbólico y en modo numériconumérico

Los lenguajes computacionales de cálculo simbólico g j ptambién pueden desarrollar soluciones de cálculo numérico

2 17

+ 2.1428571429=Cálculo numérico:(1)

2 1+

15→Cálculo simbólico:(2) 7 7Cálculo simbólico:(2)

18

Cálculos en modo simbólico y en modo numériconumérico

Para el cálculo de factorial de 30 tenemos los siguientes gresultados:

32

Cálculo numérico(1)

30! 2.653 1032

×=

30! 265252859812191058636308480000000→

Cálculo simbólico:(2)

19

30! 265252859812191058636308480000000→

SOLUCIÓN DE ECUACIONESSOLUCIÓN DE ECUACIONES

Solución de Ecuaciones

Ejemplos en la solución de ecuaciones de primer grado.Ejemplos en la solución de ecuaciones de primer grado.

Resolver la ecuación Solución

6 x⋅ 7− 2 x⋅ 1+ 6 x⋅ 7− 2 x⋅ 1+ solve x, 2→(1)

5 5 3 5 5 3

Resolver la ecuación Solución

xx 1+

58

+5

2 x 1+( )⋅34

+x

x 1+58

+5

2 x 1+( )⋅34

+ solve x, 3→(2)

21

Solución de Ecuaciones

Ejemplos en la solución de ecuaciones de segundo grado.Ejemplos en la solución de ecuaciones de segundo grado.

Resolver la ecuación Solución

x2 7 x⋅− 10+ 0 x2 7 x⋅− 10+ 0 solve x,2

5⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→(1)

Resolver la ecuación Solución

1⎛⎜

⎞⎟

3x2 7x− 2+ 0 3x2 7x− 2+ solve x, 3

2

⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

→(2)

22

Solución de Sistemas de Ecuaciones

Ejemplos en la solución de un sistema de ecuacionesj p

2 3 16⎛ ⎞2x 3y+ 16

3x 7y− 1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

solve x, y, 5 2( )→(1)

x y− 3z− 10

x y− 2z+ 5⎛⎜⎜

⎞⎟⎟ solve x, y, z, 7 0 1−( )→(2) y

x y+ z+ 6

⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

, y, , ( )(2)

23

CÁLCULO DE LÍMITESCÁLCULO DE LÍMITES

Cálculo de Límites

Ejemplos de cálculos de límites básicosj p

2 2 1( )li 19(1)

x2 x−li 3

3x2x2 1+( )lim

→19→(1)

1x

x xx 1−

lim→

3→

x2 4

(2)

2x

x 4−x 2−

lim→

4→(3)

25

Cálculo de Límites

Cálculos de límites por la izquierda y por la derechaCá cu os de tes po a qu e da y po a de ec a

1f x( )

1

1 x2−:=

1xf x( )lim

+→∞−→

f x( )lim ∞→

(1)

1xf x( )lim

−→∞→

(2)

26

CÁLCULO DE DERIVADASCÁLCULO DE DERIVADAS

Cálculo de derivadas

Ejemplos de cálculo de derivadas

x5 3x4+ x3+ 10+( )d 5 x4⋅ 12 x3⋅+ 3 x2⋅+→(1)

Ejemplos de cálculo de derivadas

xx 3x+ x+ 10+( )

d5 x 12 x+ 3 x+→

x3 3x2−d 3 x2⋅ 6 x⋅− x3 3 x2⋅−

( )

xx 3x−

x2 x−

dd

3 x⋅ 6 x⋅−

x2 x−

x 3 x⋅−

x2 x−( )22 x⋅ 1−( )⋅−→(2)

3 x2⋅ 6 x⋅−2

x3 3 x2⋅−

( )22 x⋅ 1−( )⋅− simplify

x2 2 x⋅− 3+2

→

Simplificando el resultado obtenido

28

x2 x− x2 x−( )2 x 1−( )2

CÁLCULO DE INTEGRALESCÁLCULO DE INTEGRALES

Cálculo de integrales indefinidasg

Ejemplos de cálculos de integrales indefinidas

2⌠⎮ 1 3

Ejemplos de cálculos de integrales indefinidas

(1) xx2⎮⎮⌡

d13

x3⋅→

⌠

(1)

xx2 5+( )2⌠⎮⎮⌡

d15

x5⋅103

x3⋅+ 25 x⋅+→(2)

xex⌠⎮⎮⌡

d ex→(3)

30

Cálculo de integrales definidasg

Ejemplos de cálculos de integrales definidasEjemplos de cálculos de integrales definidas

(1)3

2⌠⎮(1)

0xx2⌠

⎮⌡

d 9→

(2)1−

1

xx2 1+( )2⌠⎮⌡

d5615

→

(3)0

1xex⌠

⎮⌡

d e 1−→

31

0

CÁLCULO DE SUMATORIASCÁLCULO DE SUMATORIAS

Cálculo de sumatorias

Sumatoria simbólica de los primeros cinco números naturales.

1

5

i

ni∑=

n1 n2+ n3+ n4+ n5+→

1i

Sumatoria simbólica del inverso de los primeros cinco

51ni∑ 1

n1

1n2

+1n3

+1n4

+1n5

+→números naturales:.

1ini∑

=n1 n2 n3 n4 n5

Sumatoria numérica de los5

∑Sumatoria numérica de los primeros cinco números naturales 1x

x∑=

15→

33

CÁLCULO DE PRODUCTOSCÁLCULO DE PRODUCTOS

Cálculo de productosp

5Producto simbólico de los primeros cinco números naturales: 1

5

i

ni∏=

n1 n2 n3 n4 n5⋅⋅⋅⋅→

Producto simbólico del inverso de los primeros cinco números

51ni∏ 1

n1 n2 n3 n4 n5⋅⋅⋅⋅→

naturales:

Producto numérico de los

1i =

5i∏ 120Producto numérico de los

primeros cinco números naturales: 1i

i∏=

120→

35

SOLUCIÓN GRÁFICA DESOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES

Solución gráfica de ecuacionesg

Encontrar la solución de la siguiente función por el métodoEncontrar la solución de la siguiente función por el método

gráfico: f x( ) 4x 8+:=

16

24

El comando solve da la

f x( ) solve x, 2−→8

16

f x( )

El comando solve da la siguiente solución:

4 2 0 2 4

8

37x

Solución gráfica de ecuacionesg

Encontrar la solución de la siguiente función por el métodoEncontrar la solución de la siguiente función por el método

gráfico: f x( ) x2 x− 2−:=

Utilizando el comando solve::

2 1 0 1 2f x( ) f x( ) solve x,

1−

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→2⎝ ⎠

38x

Solución gráfica de un sistema de ecuacionesecuaciones

Encontrar la solución gráfica para el siguiente par de ecuacionesEncontrar la solución gráfica para el siguiente par de ecuaciones

simultáneas:

x y− 1 11

x y+ 56.5

f1 x( )

2 5

2f1 x( )

f2 x( )Representación funcional del par de ecuaciones:

6 3 0 3 67

2.5

f1 x( ) 5 x−:=

f2 x( ) x 1−:=

39

x