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5/10/2018 Tres+Momentos - slidepdf.com

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e20070083Intecintec

Teorema de los tres momentos Análisis en vigas continuas

A través de este trabajo de investigación para fines expositivos, se

resumirá con algunos ejemplos básicos, la resolución de problemas deingeniería, con la técnica matemática y el contenido teórico que respalda el

desarrollo operativo del método de los tres momentos para vigas , que nopueden ser analizadas en otros métodos, por su comportamiento

hiperestático.

Área de IngenieríaResistencia de Materiales II

Prof. Aris Ricart

Sustentantes:Miguel Bueno 98-1338Jairon Francisco 07-0034Alexander Vallejo 07-0913

Estudiantes de Ingeniería Mecánica

intec



IntroducciónEn la ingeniería se presentan problemas relacionados con el cálculo, o la simplificación del mismo conrespecto a los momentos flectores en una viga de estudio. Con la aplicación de una fórmula querelaciona los datos de la situación del problema, directamente (con una ecuación matemática), se puededeterminar a renglón seguido el comportamiento de la viga.

El problema que enfrentan los ingenieros en el cálculo de vigas que tienen más de dos apoyos, reside enla indeterminación de las variables en superioridad de las ecuaciones aportadas por la Estática y laResistencia de Materiales. Que es el caso particular que se explicará en relación con el método de lostres momentos y las vigas continuas.

A través de este trabajo de investigación para fines expositivos, se resumirá con algunos ejemplos

básicos, la resolución de problemas de ingeniería, con la técnica matemática y el contenido teórico querespalda el desarrollo operativo del método de los tres momentos para vigas , que no pueden seranalizadas en otros métodos, dada su indeterminación o su comportamiento hiperestático.

De paso se resumirán los conceptos precedidos para el análisis compresivo del método. Se estará encontacto con la definición de las fases de una viga continua, los principios de hiperestaticidad, diagramasde fuerzas y flexiones y la propia deformación analizada en vigas continuas. Buscando significados a losdatos recolectados para la formulación del trabajo, existe una relación entre la palabra flecha ydeformación de una viga. Se explica este concepto, con tal de que no se confunda su significado, así como otros.

Las gráficas que presentan a las vigas en sus condiciones de apoyo y sumisión a cargas, revelan que senecesitará previamente desarrollar bosquejos para indicar el flujo del momento, cortante y flexión sobrela viga. Estos esquemas gráficos proporcionarán datos valiosos en la operatividad del método.

La utilización de vigas continuas en la ingeniería civil es muy frecuente, por ejemplo en puentes,pórticos, forjados, carriles de ferrocarril, tuberías, etc. Lo que no le resta importancia en su estudio.

La viga continua nos dará pie a las definiciones más adelante, pero mientras, es justo que se comprendaque puede tratarse como una tipología particular de estructura reticulada de plano medio, capaz desoportar esfuerzos, principalmente de flexión y cuya característica mas importante es la de disminuir losmomentos en relación con los que se producen en vigas similares de tramos simplemente apoyados. Eso

justifica su uso, y en este caso, su estudio.

El roblema de las vi as continuas Método de los Tres Momentos INTEC Resistencia II Gru o V



Conceptualización precedente (vigas continuas)

Siempre, antes de enfrentar el análisis de algún método es recomendable valerse de los significados de

los términos que se usarán. En la tesis de la investigación, se encontró que el Método de los TresMomentos, no es el único que da soluciones a los problemas de cálculo en vigas continuas. Sin embargo,

el problema genérico parte de condición estática de la

viga.

Una viga continua puede definirse como una

estructura hiperestática formada por varias piezas

rectas alineadas, unidas entre si por nudos rígidos

apoyados, determinándose vano, o tramo, al

segmento comprendido entre dos apoyos sucesivos

de la viga. Esta tipología es apreciable en la figura 1.

En el estudio de las vigas continuas sólo consideramos

la acción de fuerzas verticales y de momentos, con lo que las reacciones en los apoyos también serán

verticales. De actuar alguna fuerza horizontal, como, por ejemplo, de frenado en puentes de carretera o

de ferrocarril, supondremos que uno de los apoyos es fijo y, por tanto, que soporta todas las acciones

horizontales. Con esta

disposición de los apoyos, los

cambios térmicos uniformes a

través del espesor de las piezas

no producen ningún tipo de

esfuerzo.

Como la viga sobre dos apoyos

simples es un sistema isostático,

en una viga de más de un tramo cada apoyo intermedio introduce un vinculo redundante y, en general,

una viga continua sobre n apoyos, constituye un sistema n-2 veces hiperestático. Por tanto, en la

resolución de una viga continua pueden tomarse como incógnitas hiperestáticas las reacciones de los

apoyos intermedios.

Como alternativa a diferentes métodos para resolver vigas continuas se eliminan los enlaces entre los

diversos tramos y se eligen como incógnitas hiperestáticas los momentos flectores sobre los apoyosintermedios. Eso equivale a suprimir la continuidad de los tramos y considerar la viga como una sucesión

de vigas biapoyadas isostáticas que interaccionan entre sí a través de momentos de extremidad de valor

desconocido al momento del cálculo.

El problema de las vigas continuas | Método de los Tres Momentos | INTEC | Resistencia II | Grupo V

Recordando que una estructura hiperestática es

aquella que necesita más elementos de los necesarios

para mantenerse estable; la supresión de uno de ellos

no conduce al colapso, pero modifica sus condiciones

de funcionamiento estático. También llamada

estructura estáticamente indeterminada. Y que estas

condiciones se reflejan en el cálculo, puesto que la

cantidad de variable supera la cantidad de ecuaciones

proporcionadas para la solución de los estados de

esfuerzos sobre ellas.

Figura 1 Viga continua. Se observa que los nudos intermedios sonrígidos, lo cual implica la continuidad de los giros y los momentosflectores a uno y otro lado de cada apoyo.



Ecuación de los tres momentos

En el diseño de elementos mecánicos se cuenta con piezas y elementos que se pueden analizar como

vigas que tienen más de dos apoyos, entre estos se pueden mencionar las tuberías, algunas armaduras yalgunos marcos. La determinación de las reacciones en los apoyos no se pueden establecer mediante laestática, por lo que se denominan hiperestáticos, como ya se mencionó, se recurre a la mecánica demateriales para su análisis.

Buscando determinar la ecuación que se utilizará para el desarrollo del método, se toma en cuenta quese tiene una viga continua infinita con diferentes tipos de cargas en cada uno de los extremos y se tomade la misma, en el hipotético caso, dos tramos, los cuales tienen longitud L1 y L2, como se observa en la

figura 2.

Figura 2 Separación de dos tramos de unaviga continua infinita y desarrollo de los

diagramas de cortante DFV y DFM.

Separando por tramos la viga yhaciendo la similitud estática de lascargas en las secciones de corte,construimos los diagramas decortante y momento, señalando lasáreas y centroides de las figurascompuestas en la siguiente forma:

Al dividir la estructura por tramos, es

decir, entre cada apoyo, un corte, segeneran momentos compensados designos contrarios. Los ángulos degiro son señalados con relación a lapendiente de la deformación, en ladivisión de los tramos. Al realizar elcorte sobre los extremos infinitos, segeneran momentos que también sonseñalados sobre ambos tramos.

En estas razones se puedeestablecer:

Si se toma porseparado

cada uno de estos tramos y se observa que las cargas externas producen undiagrama de momentos pero tambien aparecen momentos hiperestáticos alseparar cada tramode la viga. Los dos tramos tienen un punto común en el cuálse ubica el apoyo No. 2, y en cual se sabe que .




El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a cero. También se observa que cada uno de de lostramos es afectado por las cargas y los momentos. Tomando en consideración el teorema de areamomentos, la contribución de las cargas externas del tramo 1 a es la siguiente:

Podemos expresar el ángulo como una contribución de los momentos hiperestáticos

En el tramo dos, igualmente está expresado como sigue:

Igualando con la ecuación determinada antes donde

, tenemos:

Donde:

M1, M2, M3 : Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3.L1, L2 : Longitudes de los tramos 1 y 2.A1, A2 : Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los tramos 1 y 2.a1 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al apoyo 1.b2 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al apoyo 3.

Consideraciones del métodoSi se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cadapar de tramos consecutivos.

http://www.lamolina.edu.pe/FACULTAD/AGRICOLA/dma/software/vigas/vigas_archivos/image068.gif






Tramo 1-2: M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0



Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Si tenemos unempotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtualen el que todos los valores sean iguales a cero. Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremoseguirá valiendo cero.

El método por pasos Separar la viga en tramos tomándolos de dos en dos.

Superponer las cargas en cada tramo sin violar los principios de la estática. Calculando yubicando las reacciones de los apoyos.

Construir diagrama de cortante y momento flector, calculando y ubicando áreas y susrespectivos centroides.

Aplicar la ecuación de los Tres Momentos en los tramos, de dos en dos. Obteniendo un sistemade ecuación de dos ecuaciones y dos incógnitas por cada tramo. Sustituir y resolver.Considerando las condiciones de borde, donde los momentos son cero.

Con el valor de los momentos calculados, sustituir en las ecuaciones de fuerza, calculando lasfuerzas en los tramos con los valores encontrados para obtener las reacciones reales de losapoyos. (Opcional)

Construir el diagrama de momento y cortante total de la estructura (Opcional)

Este método fue idealizado por:

Benoit Paul Émile Clapeyron (26 de febrero, 1799 - 28 de enero, 1864) fue

un ingeniero y físico francés, padre (entre otros) de la teoría

termodinámica. Nacido en París, Clapeyron estudió en la École

polytechnique y la École des Mines, antes de mudarse a San Petesburgo en

1820 para enseñar en la École des Travaux Publics. Tras la Revolución de

1830 volvió a París, donde supervisó la construcción de la primera vía de

ferrocarril de Francia, que comunicaba París con Versalles y Saint-Germain-

en-Laye.



20KN

Ejercicios de Aplicación

1)

Construyendo el esquema de análisis del problema:

En el siguiente paso construimos el diagrama de cortante y momento, superponiendo las cargas ydividiendo la estructura en tramos. El primer tramo contiene la carga puntal de la primera columna decontención con su magnitud respectiva. El segundo tramo asume el peso del camión como cargadistribuida entre el punto 2 y 3. El tercer tramo asume el peso de dos columnas en cargas puntualmenteaplicadas y concluye con una articulación.


Encuentre los momentos hiperestáticos en la estructura de supervisión de equilibrio para

camiones que se muestra en la figura articulado en 1, y simplemente apoyado en 2, 3 y 4.Considere el peso de las columnas de contención de acero galvanizado como cargas puntualesen las distancias céntricas correspondientes. Asuma el peso del camión como carga distribuidade 4kN/m sobre la plataforma del puente entre el punto 2 y 3.

10kN 10kN 4kN/m 20kN

2m

4m

6m

6m



DIAGRAMAS DE ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR DE LA ESTRUCTURA

Analizando el primer tramo de 1 a 2, se construye nuestra primera ecuación:

Analizando el segundo tramo de 2 a 3, se construye la segunda ecuación:

20KN



Con el valor de los momentos calculados, sustituimos en las ecuaciones de fuerza, calculando las fuerzas en lostramos con los valores encontrados para obtener las reacciones reales de los apoyos.



20KN

Construyendo el diagrama de momento total con las reacciones totales ya calculadas.



2)

En la siguiente viga vamos a analizar los momentos que se generan en los apoyos,mediante el método de los tres momentos.



3) Determinar los momentos hiperestáticos que se generan en los apoyos, usar la ecuación de los

tres momentos y realizar los diagramas correspondientes.



Conclusión

En la parte final de la investigación se alinean los aspectos generales del tema de vigas continuas y laoferta de solución que brinda el método matemático, para problemas de aplicación en ingeniería. Seresumirá brevemente en conclusiones puntuales los conocimientos concretos adquiridos,conjuntamente, al análisis del mismo con respecto a los sistemas de cálculo de momentos flectores,conocidos previamente.

Comprendiendo el método, podríamos decir, que se trata de una ecuación que relaciona a las vigas y losmomentos sobre los apoyos con un comportamiento matemático creciente, que a su vez no es limitadopor la forma hiperestática de la estructura. Resulta beneficioso un método que nos proporcione

soluciones en problemas de vigas indeterminadas, o continuas, como suele suceder en la ingeniería. Porlo regular en grandes estructuras del campo de estudio mecánico y la propia construcción civil, unmétodo que exprese el comportamiento conteniendo a las cargas y los momentos, relacionándose almismo tiempo con los diagramas que reflejan los esfuerzos de corte máximos , y los momentosflectores, le agrega fidelidad a los resultados.

Eso es lo que difiere con respecto a los demás métodos. El teorema de los tres momentos, ajusta portramos de ecuaciones conocidas a los esquemas de análisis que contienen la situación de la estructurade estudio. Cada paso es fidedigno y no requiere de cálculos avanzados de derivadas o integracionesmúltiples. El comportamiento es creciente, una función relacionada a la expansión de una línea, dondepor lo conocido en resistencia de materiales, el momento afectado sobre una viga guarda relación con

su centroide, su área de sección y la distancia desde el punto de referencia.

Es menester reconocer, que en el intento de presentar un ejercicio de aplicación donde se demostrasela utilidad de la ecuación de los tres momentos idealizada por Clapeyron, nos dirigimos al caso prácticode un puente, con ciertas condiciones de carga sobre la plataforma. El problema lejanamente puede serconsiderado como complicado. Hemos querido presentarlo de esa forma, para darle la versatilidad alcampo real de los problemas ingenieriles ligado a la continuidad y la indeterminación de las vigas deanálisis.

En comparación con otros métodos conocidos, para la resolución de cargas vigas determinadas, aunqueno esté al mismo nivel de cálculo, el asunto indeterminado se corrige con una ecuación que notrasciende fronteras algebraicas. Las funciones están ordenadas en grados con respecto a los sistemasque dan solución no más de dos sustituciones. Eso, sencillamente es útil y aprovechable.


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