transforma- ciones lineales...unidad nº 3: transformaciones lineales – prof. marÍ a eugenia...

UNIDAD N° 3

TRANSFORMA-CIONES

LINEALES

UNIDAD Nº 3: TRANSFORMACIONES LINEALES – PROF. MARÍ A EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________

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INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V . GONZÁLEZ” 108

TRANSFORMACIONES LINEALES

DEFINICIÓN Nº 1:

1) Si V es cualquier espacio vectorial, la transformación identidad I, definida por

( )I α α= es una transformación lineal pues si c F∈ y α,β V∈ , entonces:

( ) � � ( ) ( )por definición por definición de I de I

I cα β cα β cI α I β+ = + = +

2) La transformación nula T, definida por ( )T α 0= α V∀ ∈ es una

transformación lineal pues si c F∈ y α,β V∈ , entonces:

( ) � � ( ) ( )por definición de T por definición y porque cα β V de T

T cα β 0 c 0 0 cT α T β

+ ∈

+ = = ⋅ + = +

Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo F.

Una TRANSFORMACIÓN LINEAL de V en W es una función T : V W→ tal

que ( ) ( ) ( )T cα β cT α T β+ = + α,β V∀ ∈ y c F∀ ∈ .

Veremos cómo se determina, a partir de la definición

precedente, si una función es o no transformación lineal.


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3) Si V es un espacio vectorial, entonces la transformación definida por

( )T α 2α= α V∀ ∈ es una transformación lineal pues si c F∈ y α,β V∈ , entonces:

( ) � ( ) ( ) � ( ) ( )por definición por definición de T de T

T cα β 2 cα β 2cα 2β c 2α 2β cT α T β+ = + = + = + = +

4) Determinaremos si ( ) ( )1 2 3 1 3 2 3T x ;x ;x x x ;x 2x= + − es una transformación

lineal de 3R en 2

R .

Para ello, debemos tener en claro qué ocurre cuando aplicamos T a un vector

de 3R .

En este caso, lo que sucede es que obtenemos un vector de 2R cuya primera

componente resulta de sumar la primera componente del vector original con la

tercera y cuya segunda componente resulta de restarle a la segunda componente

del vector original el duplo de la tercera.

Así, por ejemplo si aplicamos T al vector ( )3; 4;6− obtenemos lo siguiente:

( ) ( ) ( )T 3; 4;6 3 6; 4 2 6 9; 16− = + − − ⋅ = −

Hechas estas aclaraciones, veremos si T es una transformación lineal.

Sean c ∈R , ( ) 31 2 3α x ;x ;x= ∈R y ( ) 3

1 2 3β y ;y ;y= ∈R . Debemos demostrar que

( ) ( ) ( )T cα β cT α T β+ = + .

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

( )( )( )

+ = +

= +

= + + +

= + + + + − +

= + + + + − −

=

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 3 3 2 2 3 3

1 1 3 3 2 2 3 3

T cα β T c x ;x ;x y ;y ;y

T cx ;cx ;cx y ;y ;y

T cx y ;cx y ;cx y

cx y cx y ;cx y 2 cx y

cx y cx y ;cx y 2cx 2y

c ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

+ + + − + −

= + − + + −

1 3 1 3 2 3 2 3

1 3 2 3 1 3 2 3

x x y y ;c x 2x y 2y

c x x ;c x 2x y y ;y 2y


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( ) ( )( ) ( )

= + − + + −

= +1 3 2 3 1 3 2 3 c x x ;x 2x y y ;y 2y

cT α T β

Como ( ) ( ) ( )T cα β cT α T β+ = + 3 α,β∀ ∈R y c∀ ∈R , entonces T es una

transformación lineal.

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Sea T : V W→ una transformación lineal.

1) ( ) =T 0 0

Demostración:

( ) ( ) � ( ) ( ) ( )por ser T transf.lineal

T 0 T 0 0 T 0 T 0 2T 0= + = + = ( ) ( ) ( ) 0 2T 0 T 0 T 0⇒ = − =

A partir de esta propiedad, queda claro que si T es una transformación lineal, al

valuarla en el vector 0 da por resultado 0.

Por lo tanto si se nos pide determinar si una función es o no transformación

lineal y observamos que al valuarla en 0 no da 0, entonces podemos afirmar que no

es transformación lineal.

Por ejemplo, al valuar en 0 la función n nT : →R R definida por

( ) ( )1 2 n 1 2 n 1 nT x ;x ; ;x x 1;x 2; ;x n 1;x n−= + + + − +… … , se obtiene ( ) ( )T 0;0; ;0 1;2; ;n 1;n 0= − ≠… …

lo cual nos permite afirmar que T no es una transformación lineal.

Pero, si al valuarla en cero da cero, no podemos afirmar nada, tenemos que

hacer la verificación, al igual que se hizo en los ejemplos anteriores porque podría

ser que T fuera una transformación lineal o no lo fuera.

Por ejemplo, al valuar en 0 la función 2 2T : →R R definida por

( ) ( )1

31 2 2T x ;x 2x ;x= , se obtiene ( ) ( )T 0;0 0;0= . Lo mismo ocurre al valuar en 0 la


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función 2 2T : →R R , definida por ( ) ( )11 2 2 2T x ;x 3x x ;4x= − . Sin embargo, la primera

de estas funciones no es transformación lineal mientras que la segunda sí y a esto

último lo podemos afirmar luego de hacer la demostración correspondiente usando

la definición de transformación lineal.

2) ( ) ∑ ∑

n n

i i i ii=1 i=1

T cα = cT α

Esta propiedad será demostrada por inducción.

Si n 1==== , entonces ( ) ( )1 1 1 1T c α c T α= por ser T una transformación lineal.

Hipótesis inductiva: Supongamos que i i c F, α V∀ ∈ ∈ se cumple que

( )n 1 n 1

i i i ii 1 i 1

T c α c T α− −

= =

= ∑ ∑ .

Tesis inductiva: Demostraremos que i i c F, α V∀ ∈ ∈ se cumple que

( )n n

i i i ii 1 i 1

T c α c T α= =

= ∑ ∑ .

DEMOSTRACIÓN:

( )

( ) ( )

n n 1

i i i i n ni 1 i 1

n 1

i i n ni 1

n 1

i i n ni 1

T cα T cα c α

T c α T c α por ser T transformación lineal

c T α c T α por hipótesis inductiva y por ser T transformación li

−

= =

−

=

−

=

= +

= + →

= + →

∑ ∑

∑

∑

( )n

i ii 1

neal

c T α=

=∑


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1) Determina cuáles de las siguientes funciones T son transformaciones

lineales. Justifica.

a) →2 2T :R R , ( ) ( )1 2 1 2T x ;x x 1;x= +

b) →2 2T :R R , ( ) ( )1 2 2 1T x ;x x ;x=

c) →2 2T :R R , ( ) ( )1

21 2 2T x ;x x ;x=

d) →2 2T :R R , ( ) ( )1 2 1 2T x ;x x x ;0= −

e) →2 2T :R R , ( ) ( )1 2 1 2 1 2T x ;x x 2x ;3x x= + −

f) 3 2T : →R R , ( ) ( )1 2 3 1 3 2 3T x ;x ;x x x ;x x 1= − − +

g) 3 2T : →R R , ( ) ( )1 2 3 1 3 2 3T x ;x ;x x x ;x x= − −

h) 3 3T : →R R , ( ) ( )1 2 3 2 1 3T x ;x ;x x ; x ;x= −

i) 2 2x2T : →R R , ( ) 1 21 2

1 2

x x 0T x ;x

0 x x

+ = +

j) 4 2T : →R R , ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4T x ;x ;x ;x x x x x ;0= − − +

k) 2T : →R R , ( )1 2 1 2T x ;x x x= ⋅

l) 3 3T : →R R , ( ) ( )1 2 3 1 2T x ;x ;x x 1;x 2;0= + +

m) 2 3x3T : →R R , ( )1 1

1 2 1 1 2

2 1 2

x x 0

T x ;x x x x

0 x x x

= − −

RTA: No son transformaciones lineales las de los ítems a, c, f, k y l.

Teniendo en cuenta la definición de transformación

lineal y las propiedades vistas, resuelve los siguientes

ejercicios.


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2) Determina qué condición deben cumplir las funciones lineales ( )f x ax b= +

de R en R para ser transformaciones lineales.

DEMOSTRACIÓN:

Como B es base de V, dado α V∈ , existen escalares únicos ia F∈ (con

i 1; ;n= … ) tal que 1 1 n nα a α a α= + +… .

Definimos T : V W→ de la siguiente manera:

( ) 1 1 n nT α a β a β= + +… (es decir, ( )j jT α β j 1; ;n= ∀ = … ).

De esta manera, T asocia a cada vector α V∈ un vector ( )T α W∈ pues es

combinación lineal de 1 nβ ; ; β… , vectores que pertenecen a W que es espacio

vectorial.

Hay que demostrar que T es una transformación lineal y que es única.

Sea c F∈ y β V∈ 1 1 n nβ b α b α⇒ = + +… (por ser B base ordenada de V).

Luego:

( ) ( )1 1 n n 1 1 n ncα β c a α a α b α b α+ = ⋅ + + + + +… …

TEOREMA Nº 9:

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo

F y sea { }1 nB α ; ; α= … una base ordenada de V.

Sea W un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo F y 1 nβ ; ; β…

vectores cualesquiera de W.

Entonces existe una única transformación lineal T de V en W

tal que ( )j jT α β j 1; ;n= ∀ = …


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( ) ( )

( )

1 1 1 n n n

n

j j jj 1

ca b α ca b α

ca b α=

= + + + +

= +∑

…

Por definición de T:

( ) ( ) ( )n n

j j j j j jj 1 j 1

T cα β T ca b α ca b β= =

+ = + = +

∑ ∑

Por su parte:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

= = = =

= =

= =

=

+ = + = +

= +

= +

= +

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

n n n n

j j j j j j j jj 1 j 1 j 1 j 1

n n

j j j jj 1 j 1

n n

j j j jj 1 j 1

n

j j jj 1

cT α T β cT a α T b α c a T α b T α

c a β b β

ca β b β

ca b β

Por lo tanto, ( ) ( ) ( )T cα β cT α T β+ = + α,β V∀ ∈ y c F∀ ∈ , es decir, T es

una transformación lineal.

Veamos que T es única.

Sea U : V W→ una transformación lineal tal que ( )j jU α β j 1; ;n= ∀ = … y sea

α V∈ .

( )

( )

( )

n

j jj 1

n

j jj 1

n

j jj 1

U α U a α

a U α por ser U transformación lineal

a β por definición de U

T α

=

=

=

=

= →

= →

=

∑

∑

∑


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Como ( ) ( )U α T α= α V∀ ∈ , entonces U T= , es decir, T es única.

Queda entonces demostrado que existe una única transformación lineal T de V

en W tal que ( )j jT α β j 1; ;n= ∀ = … .

Como B es base, cualquier vector ( ) 2a;b ∈R puede expresarse como

combinación lineal de 1α y 2α , es decir, existen escalares R1 2x ,x /∈

( ) 1 1 2 2a;b x α x α= + .

Buscamos el valor de 1 2x y x en función de a y de b.

( )

( ) ( )

( )

1 1 2 2

1 2

1 2 1 2

a;b x α x α

x 1;2 x 3;4

x 3x ;2x 4x

= +

= +

= + +

Armamos la matriz y la reducimos:

1

2

33 x 2a b1 3 a 1 0 2a b 21 3 a 1 3 a 21

2 4 b 0 2 2a b 10 1 a b 10 1 a b2 x a b2 2

= − +− + → → → ⇒ − − + − − = −

Por lo tanto ( ) 1 2

3 1a;b 2a b α a b α

2 2 = − + + −

Sea { }α α=1 2

B ; una base ordenada de R2 en la que

( )α =1

1;2 y ( )α =2

3;4 .

Hallaremos la transformación T que verifica que

( ) ( )α =1

T 3;2;1 y ( ) ( )α =2

T 6;5;4 .


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( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

3 1T a;b 2a b T α a b T α

2 2

3 1 2a b 3;2;1 a b 6;5;4

2 2

9 3 5 6a b; 4a 3b; 2a b 6a 3b;5a b;4a 2b

2 2 2

⇒ = − + + −

= − + + −

= − + − + − + + − − −

3 1 1 b;a b;2a b

2 2 2 = + −

Así, por ejemplo, si quiero calcular ( )T 8; 6− tengo en cuenta que a 8= y b 6= −

y reemplazo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 1T 8; 6 6 ;8 6 ;2 8 6 9;5;19

2 2 2 − = ⋅ − + ⋅ − ⋅ − − = −

1) Sea { }1 2B α ;α= una base ordenada de 2R en la que ( )1α 1;1= y ( )2α 1;0= y

sea 2 2T : →R R el operador lineal tal que ( ) ( )1T α 1; 2= − y ( ) ( )2T α 4;1= − .

Encuentra una fórmula para ( )1 2T x ;x y halla, a partir de ella, ( )T 5; 3− .

RTA: ( ) ( )1 2 1 2 1 2T x ;x 4x 5x ;x 3x= − + − ( ) ( )T 5; 3 35;14− = −

2) Sea { }1 2B α ;α= una base ordenada de 2R en la que ( )1α 2;1= − y ( )2α 1;3=

y sea 2 3T : →R R la transformación lineal tal que ( ) ( )1T α 1; 2;0= − y

( ) ( )2T α 0; 3;5= − .

Encuentra una fórmula para ( )1 2T x ;x y halla, a partir de ella, ( )T 2; 3− .

RTA: ( )1 2 1 2 1 2 1 2

3 1 3 8 5 10T x ;x x x ; x x ; x x

7 7 7 7 7 7 = − + − +

( ) 9 30 20T 2; 3 ; ;

7 7 7 − = − −

En función de lo visto en el teorema anterior, resuelve los

siguientes ejercicios.


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3) Sean 1 2α , α y 3α vectores de un espacio vectorial V y 3T : V → R una

transformación lineal para la que ( ) ( )1T α 1; 1;2= − , ( ) ( )2T α 0;3;2= y

( ) ( )3T α 3;1;2= − .

Halla ( )1 2 3T 2α 3α 4α− + .

RTA: ( ) ( )1 2 3T 2α 3α 4α 10; 7;6− + = − −

DEFINICIÓN Nº 2:

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo F y T : V W→ una


Se llama NÚCLEO DE T o ESPACIO NULO DE T al conjunto

( ){ }TN α V / T α 0= ∈ = . A la dimensión del núcleo de T se la denomina NULIDAD

DE T.

Se llama IMAGEN DE T al conjunto ( ){ }TR T α /α V= ∈ . A la dimensión de

la imagen de T de la denomina RANGO DE T.

TEOREMA Nº 10:

Si T : V W→ es una transformación lineal, entonces:

TN es un subespacio de V.

TR es un subespacio de W.

VTN

WTR

T


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DEMOSTRACIÓN:

1) Para demostrar la primera afirmación tomaremos 1 2 Tα ,α N∈ y c F∈ y

demostraremos que 1 2 Tcα α N+ ∈ . Esto nos permitirá concluir en que TN es un

subespacio de V

Sean entonces ( ) ( )1 2 T 1 2α ,α N T α 0 y T α 0∈ ⇒ = = (por definición de TN ).

Sea c F∈ .

Debemos demostrar que 1 2 Tcα α N+ ∈ , es decir, que ( )1 2T cα α 0+ = .

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 T

T cα α cT α T α por ser T una transformación lineal

c 0 0 pues α ,α N

0

+ = + →

= ⋅ + → ∈

=

Como ( )1 2T cα α 0+ = , entonces 1 2 Tcα α N+ ∈ . Por lo tanto, TN es subespacio

de V.

2) Para demostrar la segunda afirmación tomaremos 1 2 Tβ ,β R∈ y c F∈ y

demostraremos que 1 2 Tcβ β R+ ∈ . Esto nos permitirá concluir en que TR es un

subespacio de W.

Sean:

( )1 T 1 1 1β R α V / T α β∈ ⇒ ∃ ∈ =

( )2 T 2 2 2β R α V / T α β∈ ⇒ ∃ ∈ =

c F∈

Como c F∈ , 1 2α ,α V∈ y V es subespacio, entonces 1 2cα α V+ ∈ . Luego:

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2

T cα α cT α T α por ser T una transformación lineal

cβ β

+ = + →

= +

Como ( )1 2 1 2 1 2 1 2 T cα α V / T cα α cβ β cβ β R∃ + ∈ + = + ⇒ + ∈ ⇒ TR es subespa-

cio de W.


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1) Hallaremos el núcleo y la imagen de la transformación lineal 3 2T : →R R

definida por ( ) ( )1 2 3 1 3 2 3T x ;x ;x x x ;x x= − −

Buscamos el núcleo de la transformación.

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ){ }( ){ }( ){ }

( ){ }( )

R

R

R

R

R

R

3T 1 2 3 1 2 3

31 2 3 1 3 2 3

31 2 3 1 3 2 3

31 2 3 1 3 2 3

3 3 3 3

3 3

N x ;x ;x / T x ;x ;x 0;0

x ;x ;x / x x ;x x 0;0

x ;x ;x / x x 0 x x 0

x ;x ;x / x x x x

x ;x ;x / x

x 1;1;1 / x

1;1;1

= ∈ =

= ∈ − − =

= ∈ − = ∧ − =

= ∈ = ∧ =

= ∈

= ∈

=< >

De esta manera, ( ){ }TNB 1;1;1= es base de TN pues lo genera y al tener un

único vector no nulo es linealmente independiente.

Por lo tanto, nulidad de T 1= .

Buscamos la imagen de la transformación.

( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ }

= ∈ ∃ ∈ =

= ∈ ∃ ∈ − − =

2 3T 1 2 3 1 2 3

2 31 2 3 1 3 2 3

R a;b / x ;x ;x con T x ;x ;x a;b

a;b / x ;x ;x con x x ;x x a;b

R R

R R

Ahora:

En los siguientes ejemplos trataremos de hallar el núcleo y

la imagen de algunas transformaciones lineales.


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− = ⇔ = +

− = ⇔ = +

1 3 1 3

2 3 2 3

x x a x a x

x x b x b x

Tomando 3x 0= , podemos concluir en que, dado ( ) ( )2 3a;b , a;b;0∈ ∃ ∈R R /

( ) ( )T a;b;0 a;b= .

2T R∴ = R

De esta manera, ( ) ( ){ }TRB 1;0 ; 0;1= es base de TR pues sabemos que ésta es

la base canónica de 2R , que es igual a TR .

Por lo tanto, rango de T 2= .

2) Hallaremos el núcleo y la imagen de la transformación lineal 2 2x2T : →R R

definida por ( ) 1 2 21 2

2 1 2

x x xT x ;x

x x x

− = −

.

Buscamos el núcleo de la transformación.

( ) ( )

( )

( ){ }

( ){ }

( ){ }

2T 1 2 1 2

1 2 221 2

2 1 2

21 2 1 2 2

21 2 1 2

0 0N x ;x / T x ;x

0 0

x x x 0 0 x ;x /

x x x 0 0

x ;x / x x 0 x 0

x ;x / x x 0

0;0

= ∈ =

− = ∈ = −

= ∈ − = ∧ =

= ∈ = =

=

R

R

R

R

( ){ }T N 0;0∴ = , con lo cual la nulidad de T es igual a 0.


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En este caso, el núcleo de la transformación está compuesto solamente por el

vector nulo y, por tanto, no puede hablarse de una base del núcleo.

Buscamos la imagen de la transformación.

( ) ( )

( )

( )

= ∈ ∃ ∈ =

− = ∈ ∃ ∈ = −

= ∈ ∃ ∈ − = = ∧ = =

2x2 2T 1 2 1 2

1 2 22x2 21 2

2 1 2

2x2 21 2 1 2 2

a b a bR / x ;x con T x ;x

c d c d

x x xa b a b / x ;x con

x x xc d c d

a b / x ;x con x x a d x b c

c d

R R

R R

R R

= ∈

= + ∈

= + ∈

=< >

a b / a,b

b a

a 0 0 b / a,b

0 a b 0

1 0 0 1 a b / a,b

0 1 1 0

1 0 0 1 ;

0 1 1 0

R

R

R

De esta manera, TR

1 0 0 1B ;

0 1 1 0

=

es base de TR pues genera TR y sus

elementos son linealmente independientes. Demostramos esto tomando 1 2c ,c ∈R /

1 2

1 0 0 1 0 0c c

0 1 1 0 0 0

+ =

.

Pero entonces, 1 2

2 1

c c 0 0

c c 0 0

=

, con lo cual 1 2c c 0= = .

Por lo tanto, rango de T 2= .


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a) ( ) ( )1 2 2 1T x ;x x ;x=

b) ( ) ( )1 2 1 2T x ;x x x ;0= −

c) ( ) ( )1 2 1 2 1 2T x ;x x 2x ;3x x= + −

d) 3 2T : →R R , ( ) ( )1 2 3 1 3 2 3T x ;x ;x x x ;x x= − −

e) 3 3T : →R R , ( ) ( )1 2 3 2 1 3T x ;x ;x x ; x ;x= −

f) 2 2x2T : →R R , ( ) 1 21 2

1 2

x x 0T x ;x

0 x x

+ = +

g) 4 2T : →R R , ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4T x ;x ;x ;x x x x x ;0= − − +

h) 2 3x3T : →R R , ( )1 1

1 2 1 1 2

2 1 2

x x 0

T x ;x x x x

0 x x x

= − −

RTA: a) ( ){ }T TN 0;0 dimN 0= ⇒ = 2T TR dimR 2= ⇒ =R

b) ( )T TN 1;1 dimN 1=< >⇒ = ( )T TR 1;0 dimR 1=< >⇒ =

c) ( ){ }T TN 0;0 dimN 0= ⇒ = 2T TR dimR 2= ⇒ =R

d) ( )T TN 1;1;1 dimN 1=< >⇒ = ( ) ( )T TR 1;0;0 ; 0;1;0 dimR 2=< >⇒ =

e) ( ){ }T TN 0;0;0 dimN 0= ⇒ = 3T TR dimR 3= ⇒ =R

f) ( )T TN 1; 1 dimN 1=< − >⇒ = T T

1 0R dimR 1

0 1

=< >⇒ =

g) ( ) ( ) ( )T TN 1;1;0;0 ; 1;0;1;0 ; 1;0;0;1 dimN 3=< − >⇒ = ( )T TR 1;0 dimR 1=< >⇒ =

h) ( ){ }T TN 0;0 dimN 0= ⇒ = T T

1 1 0 0 0 0

R 1 1 0 ; 0 0 1 dimR 2

0 0 1 0 1 1

=< − >⇒ = −

En los siguientes casos, para las transformaciones lineales T,

encuentra T TN , R , nulidad de T y rango de T.


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DEMOSTRACIÓN:

Sean:

n dim V=

{ }N 1 kB α , ,α= … base de TN ( )( )i T α 0 i 1; ;k∴ = ∀ = … .

Como TN es subespacio de V y NB es base de TN , entonces (teorema nº 6)

existen { }k 1 n 1 k k 1 nα ; ;α V /B α ; ;α ;α ; ;α+ +∈ =… … … es base de V.

Sea ( ) ( ){ }R k 1 nB T α ; ;T α+= … .

Demostraremos que RB es base de TR .

( )∗ Por ser B base de V, n

1 n i ii 1

α V, c , ,c F /α c α=

∀ ∈ ∃ ∈ =∑…

Luego:

( ){ }

( )

( )�

( )

( )

T

n

i i i ii 1

n

i i i ii 1

k n

i i i i i ii 1 i k 1

0

n

i i i ii k 1

R T α / α V

T c α / c F, α B

c T α / c F, α B por ser T transformación lineal

c T α c T α / c F, α B

c T α / c F, α B donde c

=

=

= = +=

= +

= ∈

= ∈ ∈

= ∈ ∈ →

= + ∈ ∈

= ∈ ∈ →

∑

∑

∑ ∑

∑ ( )n

i ii k 1

R

R

T α es combinación lineal de

elementos de B

B

= +

= ⟨ ⟩

∑

TEOREMA Nº 11:

Sean V y W F - espacios vectoriales y T : V W→ una


Si V es de dimensión finita, entonces T TdimV dimN dimR= + .


_________________________________________________________________________________


Por lo tanto, RB genera TR .

( )∗∗ Sean ( )n

k 1 n i ii k 1

c , ,c F / 0 c T α+= +

∈ = ∑… .

Deberemos demostrar que ic 0 i k 1; ;n = ∀ = + … , con lo cual quedará probado

que RB es linealmente independiente.

( ) �

n n n

i i i i i i Ti k 1 i k 1 i k 1 por ser T

transf.lineal

0 c T α T c α c α N= + = + = +

= = ⇒ ∈

∑ ∑ ∑

Como NB es base de TN , existen 1 kb , ,b F∈… / n k

i i j ji k 1 j 1

c α b α= + =

=∑ ∑ .

Así:

( )k n

j j i ij 1 i k 1

0 b α c α= = +

= + −∑ ∑

Como B es base de V, es linealmente independiente, con lo cual,

jb 0 j 1; ;k = ∀ = … y ic 0 i k 1; ;n= ∀ = + … .

Por lo tanto, RB es linealmente independiente.

Por ( )∗ y ( )∗∗ , resulta que RB es base de TR .

T TdimN dimR k n k n dim V∴ + = + − = =

ÁLGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

A continuación veremos teoremas referidos a la suma de transformaciones

lineales, al producto entre un escalar y una transformación lineal y a la composición

entre transformaciones lineales.


_________________________________________________________________________________


DEMOSTRACIÓN:

1) Se debe demostrar que la función T U+ es una transformación lineal.

Sean c F∈ , α,β V∈ .

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

T U cα β T cα β U cα β por definición de T U

cT α T β cU α U β por ser T y U transf.lineales

c T α U α T β U β

c T U α T U β por definició

+ + = + + + → +

= + + + →

= + + +

= + + + → n de T U+

Por lo tanto, T U+ es una transformación lineal.

2) Se debe demostrar que la función cT es una transformación lineal.

Sean a F∈ , α,β V∈ .

( )( ) ( )

( ) ( )

cT aα β c T aα β por definición de cT

c aT α T β por ser T transf.lineal

+ = + →

= + →

TEOREMA Nº 12:

Sean V y W F - espacios vectoriales.

Sean T : V W→ y U : V W→ transformaciones lineales.

Entonces:

1)La función T U : V W+ → definida por ( )( ) ( ) ( )T U α T α U α+ = +

es una transformación lineal.

2) Si c F∈ , la función cT : V W→ definida por ( )( ) ( )cT α cT α=

es una transformación lineal.


_________________________________________________________________________________


( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

caT α cT β

a cT α cT β

a cT α cT β

= +

= +

= +

Por lo tanto, cT es una transformación lineal.

NOTACIÓN:

Sean V y W F – espacios vectoriales.

Se denota por L(V;W) al conjunto de todas las transformaciones lineales de V

en W, es decir, ( ) { }L V;W T : V W / T es una transformación lineal= → .

Sean c F∈ , ( )T, U L V,W∈ .

De acuerdo con el teorema nº 12, ítem 2, ( )cT L V,W∈ .

Como ( )cT L V,W∈ y ( )U L V,W∈ , entonces, también por el teorema nº 12,

ítem 1, L(V;W) es un subespacio del espacio de todas las funciones de V en W.

Sin demostración.

Observación.

TEOREMA Nº 13:

Sean V y W F - espacios vectoriales de dimensión n y m

respectivamente.

Entonces, ( )dimL V;W m n= ⋅


_________________________________________________________________________________


DEMOSTRACIÓN:

Sean c F∈ , α,β V∈ .

Se debe demostrar que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )S T cα β c S T α S T β+ = +� � � .

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

S T cα β S T cα β

S cT α T β por ser T transf.lineal

cS T α S T β por ser S transf.lineal

c S T α S T β

+ = +

= + →

= + →

= +

�

� �

Por lo tanto, ( )S T L V;Z∈� , es decir, es una transformación lineal de V en Z.

Sean 3 3T : →R R y 3 3U : →R R definidas de la siguiente forma:

( ) ( )

( ) ( )

1 2 3 1 3 2 3 1 2 3

1 2 3 2 3 1 2

T x ;x ;x x 2x ;3x x ;4x x x

U x ;x ;x 0;x 2x ;x 3x

= − + + −

= − +

Entonces:

En el siguiente ejemplo veremos cómo sumar y componer

dos transformaciones lineales.

TEOREMA Nº 14:

Sean V, W y Z F - espacios vectoriales, ( )T L V;W∈ y

( )S L W;Z∈ ( )T SV W Z→ → , entonces ( )S T L V;Z∈�


_________________________________________________________________________________


( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2

1 3 2 3 2 3 1 2 3 1 2

1 3 2 3

T U x ;x ;x T x ;x ;x U x ;x ;x

x 2x ;3x x ;4x x x 0;x 2x ;x 3x

x 2x 0;3x x x 2x ;4x x x x 3x

x 2x ;4x x

+ = +

= − + + − + − +

= − + + + − + − + +

= − −( )1 2 3;5x 4x x+ −

( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

1 2 3 1 2 3

2 3 1 2

1 2 2 3 1 2 2 3 1 2

1 2 2 3 1 2 2 3 1 2

T U x ;x ;x T U x ;x ;x

T 0;x 2x ;x 3x

0 2 x 3x ;3 x 2x x 3x ;4 0 x 2x x 3x

0 2x 6x ;3x 6x x 3x ;0 x 2x x 3x

=

= − +

= − + − + + ⋅ + − − +

= − − − + + + − − −

�

( )1 2 1 2 3 1 2 3 2x 6x ;x 6x 6x ; x 2x 2x= − − + − − − −

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

1 2 3 1 2 3

1 3 2 3 1 2 3

2 3 1 2 3 1 3 2 3

2 3 1 2 3 1 3 2 3

U T x ;x ;x U T x ;x ;x

U x 2x ;3x x ;4x x x

0;3x x 2 4x x x ;x 2x 3 3x x

0;3x x 8x 2x 2x ;x 2x 9x 3x

=

= − + + −

= + − + − − + +

= + − − + − + +

�

( )1 2 3 1 2 3 0; 8x x 3x ;x 9x x= − + + + +

1) Sean ( ) ( )1 2 2 1T x ;x x ;x= y ( ) ( )1 2 1U x ;x x ;0= .

Encuentra 2 2U T, UT, TU, T y U+ .

RTA: ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1U T x ;x x x ;x+ = + ( ) ( ) ( )1 2 2UT x ;x x ;0= ( ) ( ) ( )1 2 1TU x ;x 0;x=

( ) ( ) ( )21 2 1 2 1 2T x ;x x ;x I x ;x= = ( ) ( ) ( )2

1 2 1 1 2U x ;x x ;0 U x ;x= =

Resuelve los siguientes ejercicios.


_________________________________________________________________________________


2) Sean: ( ) ( )

( )

2x21 1

2x2 2x2 T2 2

T : , T A tr A

T : , T A A

→ = → =

R R

R R

a) Hallar ( )( )1 2T T A� para a b

Ac d

=

.

b) ¿Es posible obtener ( )( )2 1T T A� ?

RTA: a) ( ) ( )1 2T T A a d= +� b) No

3) Sea T el operador lineal sobre 3R definido por:

( ) ( )1 2 3 1 1 2 1 2 3T x ;x ;x 3x ;x x ;2x x x= − + +

Demuestra que ( ) ( )2T I T 3I 0− − =�

DEFINICIÓN Nº 3:

DEMOSTRACIÓN:

Si V es un F - espacio vectorial, un OPERADOR LINEAL sobre V es una

transformación lineal de V en V, es decir, una ( )T L V;V∈ .

LEMA Nº 2 :

Sea V un F – espacio vectorial; T, 1T , 2T operadores lineales

sobre V y c F∈ . Entonces:

1) IT TI T= =

2) ( )1 2 1 2T T T T T T T+ = + ( )1 2 1 2T T T T T T T+ = +

3) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2c T T cT T T cT= =


_________________________________________________________________________________


Sea α V∈ .

1) ( )( )�

( ) ( )( )� ( ) ( ) ( )

( )�

( )IT α I T α T α T I α TI α∗∗∗ ∗∗∗

= = = =

Por ( )∗ , ( )∗∗ y ( )∗∗∗ , se tiene que IT TI T= =

2) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2T T T α T T T α + = +

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

1 2

1 2

1 2

1 2

T T α T α por teorema nº 12, ítem 1)

T T α T T α por ser T transf.lineal

T T α T T α

T T T T α po

= + →

= + →

= +

= + → ( )r teorema nº 12, ítem 1) ∗

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

T T T α T T T α

T T α T T α por teorema nº 12, ítem 1)

T T α T T α

T T T T α por teorema nº 12, ítem 1)

+ = +

= + →

= +

= + → ∗∗

Por ( )∗ y ( )∗∗ se tiene que ( )1 2 1 2T T T T T T T+ = + y que

( )1 2 1 2T T T T T T T+ = + .

3) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2c T T α c T T α por teorema nº 12, ítem 2 = →

( )( )( )

( )( )

( ) ( )

1 2

1 2 1

1 2

1 2

c T T α

T cT α por ser T lineal

T cT α por teorema nº 12, ítem 2)

T cT α

=

= →

= →

=


_________________________________________________________________________________


( ) ( )1 2 1 2 c T T T cT∴ = ( )∗

Por otra parte:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )

1 2 1 2

1 2 1

1 2 2

cT T α cT T α

T cT α por ser T lineal

T T cα por ser T lineal

=

= →

= →

( )( )

( )( )1 2

1 2 1 2

T T cα

c T T α por ser T T lineal (teorema nº 14)

=

= →

( ) ( )1 2 1 2 cT T c T T∴ = ( )∗∗

Por lo probado en ( )∗ y ( )∗∗ , se tiene que ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2c T T cT T T cT= = .

DEFINICIÓN Nº 4:

El siguiente teorema nos indica que la función inversa de una transformación

lineal es también una transformación líneal.

Una FUNCIÓN T : V W→ se dice INVERSIBLE si existe una función

S : W V→ tal que S T : V V→� es la identidad y T S : W W→� es la

identidad.

Si T es inversible, su inversa S es única y se denota por 1T− .

Más aún, decimos que T es inversible si y sólo si es inyectiva y

sobreyectiva a la vez.

T es INYECTIVA ⇔ ( ) ( )T α T β α β α,β V= ⇒ = ∀ ∈ .

T es SOBREYECTIVA ⇔ ( )Im T W= ⇔ ( ) w W v V / T v w∀ ∈ ∃ ∈ = .


_________________________________________________________________________________


DEMOSTRACIÓN:

Sean c F∈ , α,β W∈ .

Para probar que ( )1T L W;V− ∈ , se debe demostrar que

( ) ( ) ( )1 1 1T cα β cT α T β− − −+ = + .

Como α W∈ y T es sobreyectiva, ( )1 1 α V / T α α∃ ∈ = ⇒

( ) ( )( ) ( )1 11 1T α T T α α − −= = ∗ por ser T inversible.

Como β W∈ y T es sobreyectiva, ( )1 1 β V / T β β∃ ∈ = ⇒

( ) ( )( )1 11 1T β T T β β− −= = ( )∗∗ por ser T inversible.

Luego:

( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

1 11 1

11 1

11 1

1 1

1 1

1 1

T cα β T cT α T β

T T cα β por ser T transf.lineal

T T cα β

I cα β por ser T inversible

cα β

cT α T β por y

− −

−

−

− −

+ = +

= + →

= +

= + →

= +

= + → ∗ ( ) ∗∗

Como ( ) ( ) ( )1 1 1T cα β cT α T β− − −+ = + , entonces ( )1T L W;V− ∈ .

DEFINICIÓN Nº 5:

TEOREMA Nº 15:

Sea ( )T L V;W∈ . Si T es inversible, entonces ( )1T L W;V− ∈ .

Se dice que una TRANSFORMACIÓN LINEAL T es NO SINGULAR si

( )T α 0= implica α 0= , es decir si { }TN 0= ..


_________________________________________________________________________________


DEMOSTRACIÓN:

Sea T inyectiva.

Sea ( )α V / T α 0∈ = .

Por la propiedad 1 sabemos que ( )T 0 0= , entonces, por ser T inyectiva, α 0= .

Por lo tanto, T es no singular.

Supongamos que T es no singular.

Sean α,β V∈ / ( ) ( )T α T β= .

Luego:

( ) ( ) � ( ) �T lineal T no singular

T α T β 0 T α β 0 α β 0 α β− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

Como ( ) ( )T α T β α β α,β V= ⇒ = ∀ ∈ , T es inyectiva.

Dada T:

calculamos T

N .

Si ≠T

N 0 , entonces T no es no singular y por tanto, no

es inyectiva, con lo cual NO ES INVERSIBLE.

TEOREMA Nº 16:

Sea ( )T L V;W∈ .

T es inyectiva si y sólo si T es no singular (es decir

( )T α 0 implica α 0 α V= = ∀ ∈ ).

⇒

⇐

Luego de demostrar el teorema precedente, podemos

establecer algunas conclusiones que nos permitirán analizar

si una transformación lineal →T : V W es o no inversible.


_________________________________________________________________________________


Si =T

N 0 , entonces T es no singular y por tanto, es

inyectiva.

calculamos T

R .

Si =T

R W , entonces T es sobreyectiva.

Si ≠T

R W , entonces T no es sobreyectiva y por tanto,

NO ES INVERSIBLE.

Si T es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, entonces es inversible.

Podemos resumir lo anterior en el siguiente cuadro, siempre considerando

que ( )∈T L V;W .

T

T

0 T NO ES INVERSIBLE N

0 T es inyectivaT

W T es sobreyectiva R

W T NO ES INVERSIBLE

≠ →≠ →≠ →≠ → = →= →= →= → = →= →= →= → ≠ →≠ →≠ →≠ →

DEMOSTRACIÓN:

Sea T no singular y sea { }1 kL α ; ;α= … un subconjunto LI de V.

TEOREMA Nº 17:

Sean V y W espacios vectoriales y ( )T L V;W∈ .

Entonces, T es no singular si y sólo si T aplica cada

subconjunto linealmente independiente de V en un subconjunto linealmente

independiente de W .

⇒

T ES INVERSIBLE


_________________________________________________________________________________


Debemos demostrar que ( ) ( ){ }1 kT α ; ;T α… es un subconjunto LI de W. De esta

manera quedará probado que siendo T no singular, aplica cada subconjunto LI de V

en otro LI de W.

Sean 1 kc , ,c F∈… y sea ( ) �

k k

i i i ii 1 i 1propiedad

2

0 c T α T c α= =

= =

∑ ∑ .

Como T es no singular y k k

i i i i ii 1 i 1

T c α 0 c α 0 c 0 i 1; ;k = =

= ⇒ = ⇒ = ∀ = ∑ ∑ … por

ser L LI.

Como ( )k

i ii 1

0 c T α=

=∑ y ( ) ( ){ }i 1 kc 0 i 1; ;k T α ; ;T α= ∀ = ⇒… … es LI.

Supongamos que T aplica un subconjunto LI de V en un subconjunto LI de

W.( )∗

Sea { }1 nB α ; ;α= … una base de V.

Sea α V∈ / ( )T α 0= (para ver que T es no singular deberemos demostrar que

α 0= ).

Como α V∈ y B es base, entonces existen 1 nc , ,c F∈… / n

i ii 1

α c α=

=∑ .

Luego:

( ) � ( )n n


2

0 T α T c α c T α= =

= = = ∑ ∑

Como B es base, es LI, entonces, por ( )∗ , ( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… es LI.

Ahora:

( )n

i ii 1

0 c T α=

=∑ con ( )iT α 0 i 1; ;n≠ ∀ = … (pues si ( )iT α fuese 0 para algún i,

( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… no sería LI, sería LD), entonces ic 0 i 1; ;n= ∀ = ⇒…

n n

i i ii 1 i 1

α c α 0 α 0= =

= = ⋅ =∑ ∑

⇐


_________________________________________________________________________________


Como ( )T α 0= implica α 0= , entonces T es no singular.

1) Sea 2 2T : →R R definida por ( ) ( )1 2 1 2 1T x ;x x x ;x= + .

Para determinar si T es inversible deberemos establecer si es inyectiva (o no

singular) y sobreyectiva.

Sea ( ) ( ) 1 221 2

1

x x 0α x ;x / T α 0

x 0

+ == ∈ = ⇒ =

R

Luego, 1 2x x 0= = .

Por lo tanto, ( )T α 0= implica α 0= , entonces T es no singular (o sea,

inyectiva).

Esto nos permite determinar que el único vector que integra el núcleo de T es el

( )0;0 .

Sea ( ) 21 2β y ;y= ∈R .

Para demostrar que T es sobreyectiva deberemos encontrar un

( ) 21 2α x ;x /= ∈R ( ) T α β= (las coordenadas de α estarán en función de las de β

que es el vector conocido).

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1

1 2 1 1 2

1 2

T α β

T x ;x y ;y

x x yx x ;x y ;y

x y

=

=

+ =+ = ⇒ =

En los siguientes ejemplos analizaremos si algunas

transformaciones lineales son o no inversibles.


_________________________________________________________________________________


Luego: sabemos que 1 2x y= , entonces reemplazando a 1x en la primera

ecuación del sistema tenemos que 2 2 1y x y+ = , con lo cual 2 1 2x y y= − .

Por lo tanto, dado ( ) 21 2β y ;y= ∈R , ( ) ( )2

2 1 2 α y ;y y / T α β∃ = − ∈ =R , entonces

T es sobreyectiva.

Esto nos permite concluir en que la imagen de T es 2R .

Como T es inyectiva y sobreyectiva, entonces T es inversible y

( ) ( )11 2 2 1 2T y ;y y ;y y− = − .

2) En este caso, analizaremos los dos ejemplos vistos anteriormente para

determinar si las transformaciones son o no inversibles.

Ejemplo 1) 3 2T : →R R definida por ( ) ( )1 2 3 1 3 2 3T x ;x ;x x x ;x x= − − .

En este caso, habíamos determinado que ( )1 2 3 1 2 3T x ;x ;x 0 x x x= ⇔ = = , con lo

cual podemos concluir en que T no es no singular.

Esto nos dice que T no es inyectiva y, por lo tanto, no es inversible.

Ejemplo 2) 2 2x2T : →R R definida por ( ) 1 2 21 2

2 1 2

x x xT x ;x

x x x

− = −

.

En este caso, ( )1 2 1 2T x ;x 0 x x 0= ⇔ = = , es decir, T es no singular y, por tanto,

T es inyectiva (teorema nº 16).

Pero, al buscar la imagen de la transformación, vimos que esta imagen no era

2x2R sino sólo una parte de 2x2

R : T

a bR / a,b

b a

= ∈

R .

Por lo tanto, la transformación no es sobreyectiva, con lo cual no es inversible.


_________________________________________________________________________________


DEMOSTRACIÓN:

T es inversible, entonces es inyectiva, lo cual implica que es no singular

(teorema nº 16).

En este caso consideraremos que T es no singular.

Sea { }1 nB α ; ;α= … una base de V y, por tanto, un conjunto LI de V.

Entonces, de acuerdo con el teorema nº 17, ( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… es un conjunto LI

de W.

Como dim V dim W n= = y ( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… es LI, entonces ( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α…

es base de W (pues es un conjunto LI de W que tiene tantos elementos como la

dimensión de W).

Por lo tanto, dado β W∈ , existen 1 nc , ,c F∈… / ( )n

i ii 1

β c T α=

=∑ .

TEOREMA Nº 18:

Sean V y W F - espacios vectoriales tal que dimV dimW= y

sea ( )T L V;W∈ . Entonces son equivalentes:

1) T es inversible.

2) T es no singular.

3) T es sobreyectiva.

4) T manda una base de V en una de W.

5) Existe una base de V tal que T de esta base es base de W.

El siguiente teorema establece equivalencias sólo

aplicables a transformaciones lineales definidas de un

espacio vectorial en otro (no necesariamente iguales),

ambos con la misma dimensión

1 2⇒

2 3⇒


_________________________________________________________________________________


Luego, por la propiedad nº 2 se tiene que ( )n

i ii 1

β T c α T α=

= = ∑ con α V∈ .

Por lo tanto, dado β W∈ , ∃ α V∈ / ( )T α β= , entonces T es sobreyectiva.

Sea T sobreyectiva.

Sea { }1 nB α ; ;α= … base de V.

Se debe demostrar que, siendo T sobreyectiva, ( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… es base de

W. Para ello probaremos que ( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… genera W (es decir, que todo vector

de W puede escribirse como combinación lineal de los elementos de

( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… ).

Sea β W∈ .

Como T es sobreyectiva, ∃ α V∈ / ( )T α β= .

Como B es base de V y α V∈ , existen 1 nc , ,c F∈… / n

i ii 1

α c α=

=∑ .

Así, ( ) � ( )n n


2

β T α T c α c T α= =

= = = ∑ ∑ , con lo cual, β es combinación lineal

de ( ) ( )1 nT α ; ;T α… . Entonces ( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… genera W, es decir, tengo n dimW=

elementos que generan W.

Por lo tanto ( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… es base de W.

Queda entonces demostrado que T manda una base de V en una de W.

Trivial.

Sea { }1 nB α ; ;α= … base de V tal que ( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… es base de W.

Debemos demostrar que T es inversible, es decir, no singular y sobreyectiva.

Sea ( )α V / T α 0∈ = (queremos probar que α 0= ).

3 4⇒

4 5⇒

5 1⇒


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Como α V∈ y B es base de V, existen 1 nc , ,c F∈… / n

i ii 1

α c α=

=∑ .

( ) � ( )n n

i i i i ii 1 i 1propiedad

2

0 T α T c α c T α c 0 i 1; ;n= =

= = = ⇒ = ∀ = ∑ ∑ … pues

( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… es LI n

i ii 1

α c α 0=

⇒ = =∑ .

Como ( )T α 0= implica α 0= , entonces T es no singular.

Sea β W∈ .

Como ( ) ( ){ }1 nT α ; ;T α… es base de W, existen 1 na , ,a F∈… / ( )n

i ii 1

β a T α=

=∑

� ( )n

i ii 1propiedad

2

β T aα T α=

⇒ = =

∑ con α V∈ ,

n

i ii 1

α aα=

=∑ .

Por lo tanto, dado β W∈ , ∃ α V∈ / ( )T α β= , entonces T es sobreyectiva.

Como T es no singular y sobreyectiva, T es biyectiva.

1) Sea 3 3T : →R R , ( ) ( )1 2 3 3 2 1T x ;x ;x x ;x ;x=

Como 3V W dim V dim W 3= = ⇒ = =R . Por lo tanto podemos aplicar el

teorema anterior. Bastará entonces con verificar si T es no singular. Si así fuera,

quedará demostrado que es inversible.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 3 2 1 3 2 1 1 2 3T x ;x ;x x ;x ;x 0;0;0 x x x 0 x ;x ;x 0;0;0= = ⇔ = = = ⇔ =

Por lo tanto, T es no singular, y entonces, T es inversible.

En los siguientes ejemplos determinaremos si los

operadores lineales son o no inversibles.


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¿Cómo hacemos para calcular, entonces, la inversa de T?

Sea ( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 2 3 3 2 1 3 2a;b;c / T x ;x ;x a;b;c x ;x ;x a;b;c x a; x b;∈ = ⇒ = ⇒ = =R

1 x c= .

De esta manera:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1T c;b;a a;b;c T T c;b;a T a;b;c c;b;a T a;b;c− − −= ⇒ = ⇒ =

Así, ( ) ( )1T a;b;c c;b;a− = , con lo cual 1T− resulta ser igual a T (pues tanto T

como su inversa, aplicadas a un vector cualesquiera, intercambian las coordenadas

del mismo).

2) Sea 2x2 2x2T : →R R , a b a 0

Tc d 0 d

=

Nuevamente, 2x2V W dimV dim W 4= = ⇒ = =R . Por lo tanto podemos aplicar

el teorema anterior. Bastará entonces con verificar si T es no singular. Si así fuera,

quedará demostrado que es inversible.

a b a 0 0 0T a d 0

c d 0 d 0 0

= = ⇔ = =

a b 0 0 T

c d 0 0

∴ =

no implica a b 0 0

c d 0 0

=

.

Como T es singular, entonces T no es inversible.

Haremos los siguientes ejercicios a modo de repaso

final. Para cada una de las transformaciones lineales,

determina núcleo, imagen y una base de cada uno de ellos.

Indica si son inyectivas, sobreyectivas e inversibles.

En caso de serlo, mostrar su inversa.


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a) ( ) ( )2 2T : , T x;y y;x→ =R R

b) ( ) ( )2 2T : , T x;y 0;2x 3y→ = +R R

c) ( ) ( )2 3T : , T x;y x;y;x y→ = +R R

d) ( ) ( )2 3T : , T x;y x y;y x;2x 2y→ = − − −R R

e) ( ) ( )2 2T : , T x;y x y;x y→ = + −R R

f) ( ) ( )4 2T : , T x;y;z;w x z;y w→ = + +R R

g) ( ) ( )3 31 2 3 1 1 2 1 2 3T : , T x ;x ;x 3x ;x x ;2x x x→ = − + +R R

h) ( ) ( ) ( )222 2 0 1 2 0 1 2T : P P , T a a x a x a a x 1 a x 1→ + + = + + + +

i) 2x2 2x2 a b d bT : , T

c d c a

− → = −

R R

j) 2x2 a b a 0T : , T

c d 0 d

→ =

R R

k) ( ) ( )n n1 2 n 1 2 n 1T : , T x ;x ; ;x 0;x ;x ; ;x −→ =… …R R

l) ( ) ( )n n1 2 n n n 1 2 1T : , T x ;x ; ;x x ;x ; ;x ;x−→ =… …R R

RTA:

ÍTEM NÚCLEO IMAGEN INYEC

-TIVA

SOBREYEC

-TIVA INVERSIBLE

a ( ){ }0;0 2R SI SI

SI

( ) ( )1T x;y y;x− =

b 3

;12

< − >

( )0;1< > NO NO NO

c ( ){ }0;0 ( ) ( )1;0;1 ; 0;1;1< >

SI NO NO

d ( )1;1< > ( )1; 1;2< − > NO NO NO

e ( ){ }0;0 2R SI SI

SI

( )1 1 1 1 1T x;y x y; x y

2 2 2 2− = + −

f ( ) ( )1;0;1;0 ; 0; 1;0;1< − − >

2R NO SI NO


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g ( ){ }0;0;0 3R SI SI

SI

( )11 2 3 1 1 2 1 2 3

1 1T x ;x ;x x ; x x ; x x x

3 3− = − − + +

h { }0 2P SI SI ( ) ( ) ( )1 2 20 1 2 0 1 2 1 2 2T a a x a x a a a a 2a x a x− + + = − + + − +

i 0 0

0 0

2x2R SI SI

SI

a b d bT

c d c a

− = −

j 0 1 0 0

;0 0 1 0

< >

1 0 0 0

;0 0 0 1

< >

NO NO NO

k ( )0; ;0;1< >…

( )( )

( )

0;1;0; ;0 ;

0;0;1;0; ;0 ; ;

0;0; ;0;1

<

>

…

… …

…

NO NO NO

l ( ){ }0; ;0… nR SI SI ( ) ( )-1

1 2 n n 1 2 n 1T x ;x ; ;x x ;x ;x ; ;x −=… …

transforma- ciones lineales...unidad nº 3: transformaciones lineales – prof. marÍ a eugenia...

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