LA DERIVADA

-Paco Calvo Moreno 1º C

ÍNDICE

1.- Historia de la derivada.

2.- Concepto de derivada.

3.- Derivada de una función.

4.- Teoremas de derivadas

5.- Introducción geométrica a las derivadas.

6.- Fórmulas de derivación.

7.- Derivación de operación de funciones

8.- Derivación de composición de funciones.

9.- Continuidad de una función.

10.-Discontinuidad de una función

íNDICE

HISTORIA DE LA DERIVADA

Los problemas típicos que dieron origen

al Cálculo infinitesimalCálculo infinitesimal, comenzaron a

plantearse en la época de la Grecia clásica

(siglo III a.csiglo III a.c), pero no se encontraron

métodos sistemáticos de resolución hasta

veinte siglos después (en el siglo XVIIsiglo XVII por

obra de Newton y Leibniz).

HISTORIA DE LA DERIVADAHISTORIA DE LA DERIVADA

Existen dos conceptos de tipo geométrico que dieron origen a las derivadasderivadas :

El problema de la tangente a una curvaproblema de la tangente a una curva

El problema de los extremos: máximos y problema de los extremos: máximos y

mínimosmínimos

En su conjunto dieron origen a lo que se conoce como cálculo cálculo

diferencialdiferencial.

La derivada es uno de los conceptos más uno de los conceptos más importantes en importantes en matemáticasmatemáticas:

es el resultado de un límitees el resultado de un límite y y

representa la pendiente de la recta representa la pendiente de la recta tangentetangente a la gráfica de la función en un punto.

La definición de derivada es la siguiente:

No se puede olvidar que podría no existir tal límite y ser la función, por tanto, no derivable en ese punto.

CONCEPTO DE DERIVADA

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Dada una función para hallar su derivada podemos hacerlo de dos formasde dos formas:

mediante el límite anterior.el límite anterior.

mediante la tabla de derivadasla tabla de derivadas.

DERIVADA DE UN FUNCIÓN

1.-1.- Si una función nono es continua es continua en un puntoen un punto,

entonces no es derivable en ese puntono es derivable en ese punto. Pero si la si la

función es continua en ese puntofunción es continua en ese punto puede o no ser puede o no ser

derivable.derivable.

2.-2.- Si un función es continua en un punto y Si un función es continua en un punto y

ese punto es anguloso o de distinta curvaturaese punto es anguloso o de distinta curvatura

entonces nono es derivable en ese punto. es derivable en ese punto.

TEOREMAS DE DERIVADAS

INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS

Supongamos que tenemos una función y la llamamos f(x). La La derivada de f(x) es otra derivada de f(x) es otra

función que llamaremosfunción que llamaremos f ’(x).f ’(x).

F ’(x)F ’(x) representa la pendientependiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x .

La pendienteLa pendiente es la inclinación de la línea recta es la inclinación de la línea recta

que pasa justo por encima del punto x y que es que pasa justo por encima del punto x y que es

tangente a la gráfica de f(x)tangente a la gráfica de f(x)

INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS.

F ’(x)F ’(x) representa la pendientependiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x

Si aplicamos lo antes expuesto, al identificar dos al identificar dos

puntos muy cercanos en la gráfica y unirlos mediante puntos muy cercanos en la gráfica y unirlos mediante

una línea recta, la pendiente queda visualizadauna línea recta, la pendiente queda visualizada.

Cuanto más cercanos sean los dos puntosCuanto más cercanos sean los dos puntos que se

unen por medio de la recta, la recta se la recta se pareceparece más a más a

una recta tangente a la gráfica y su pendiente se una recta tangente a la gráfica y su pendiente se

parece más a la pendiente de una recta tangenteparece más a la pendiente de una recta tangente.

INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADASDERIVADAS

hemos de relacionar la pendiente con la rapidezrelacionar la pendiente con la rapidez, de

manera que la pendiente coincide con la rapidez la pendiente coincide con la rapidez

con que aumenta el valor de la función en cada con que aumenta el valor de la función en cada

puntopunto

si la pendiente en un punto es muy grandesi la pendiente en un punto es muy grande,

entonces el valor de la funciónla función en ese punto

crece muy deprisacrece muy deprisa;

si es pequeñasi es pequeña, entonces el valor de la la

función crece despaciofunción crece despacio en ese punto.

INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS

Según lo anterior, tanto la pendiente de la recta tanto la pendiente de la recta

tangentetangente como la rapidez de crecimiento en un la rapidez de crecimiento en un

punto de una funciónpunto de una función está dado por f ’(x).está dado por f ’(x).

Pero, no todas las funciones poseen derivadano todas las funciones poseen derivada,

situación que geométricamente geométricamente se explica porque se explica porque

no se puede definir la pendiente a una recta no se puede definir la pendiente a una recta

tangente en una función que no es continuatangente en una función que no es continua.. Incluso hay funciones donde cualquier recta que

pase por uno de sus puntos interseca en una infinidad

de puntos muy cercanos y por tanto no hay recta

tangente.

INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS (II)

Las funciones que poseen derivada se llaman diferenciables.

Conocer la derivada de una función diferenciableConocer la derivada de una función diferenciable

es es generalmente sencillo sencillo utilizando las técnicas utilizando las técnicas

de de derivación desarrolladas por Leibniz y derivación desarrolladas por Leibniz y

NewtonNewton

permiten conocer las derivadas de muchas permiten conocer las derivadas de muchas

de las de las funciones de interés frecuente, o bien, funciones de interés frecuente, o bien,

simplificar el simplificar el trabajotrabajo para encontrar derivadas

menos comunes.

INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS (II)DERIVADAS (II)

FÓRMULAS DE DERIVACIÓNFÓRMULAS DE DERIVACIÓN

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( II )FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( II )

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( III )FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( III )

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( IV )FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ( IV )

                                                               

                                                               

DERIVACIÓN DE OPERACIÓN DE FUNCIONESDERIVACIÓN DE OPERACIÓN DE FUNCIONES

DERIVACIÓN DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Se dice que una función f(x) es continua en un una función f(x) es continua en un

punto x = apunto x = a , si y sólo sisi y sólo si ,se cumplen las

tres condiciones siguientestres condiciones siguientes:

1.1. Que el punto x = a tenga imagen

2.2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3.3. Que la imagen del punto coincida con el

límite de la función en el

punto.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

EJEMPLO DE EJEMPLO DE FUNCIÓN CONTINUAFUNCIÓN CONTINUA..

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNDISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Una función discontinuafunción discontinua es aquella que no aquella que no

puede puede dibujarse de un solo trazo. dibujarse de un solo trazo.

Es decir, existen puntos donde de una pequeña existen puntos donde de una pequeña

variación de la variable independiente variación de la variable independiente

produce produce un salto en los valores de la variable un salto en los valores de la variable

dependientedependiente. Estos puntos reciben el

nombre de puntos de puntos de

discontinuidad de la función.discontinuidad de la función.

EJEMPLO DE UNA EJEMPLO DE UNA

FUNCIÓN FUNCIÓN

DISCONTINUADISCONTINUA