trabajo final metodos

INSTITUTO POLITECNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD TICOMAN

Elementos de la integración numérica

La integral definida tiene distintas formas de aplicación matemática, de una función que no tiene una anti derivada explicita y no es fácil de resolver.

Existen algunos métodos básicos con que se puede aproximar que es:

∑i=0

n

aif ¿¿¿ .Para aproximar ∫a

b

f ( x )dx.

En este método se basa en los polinomios interpol antes.

A continuación∫a

b

f ( x )dx que recibe el nombre de cuadratura numérica y se

emplea una suma de tipo:

Presentaremos el método de la cuadratura numérica

Paso 1

Seleccionamos un conjunto de nodos tintos (x0………………………..xn)

Pn ( x )=∑i=0

n

f (x i ) Li(x)

Y su error para determinar en (a,b)

∫a

b

f ( x )dx=∫a

b

∑i=0

n

f (x i¿¿¿)Li ( x ) dx+∫a

b

∏i=0

n

(x−xi¿¿)f (n+1)(ε ( x ))

(n+a )!dx ¿¿¿¿¿

Donde ∈(x) se encuentra en (a,b) para cada xy

a i=∫a

b

Li ( x )dx paracada i=0,1………… ..n .

Por lo tanto la formula cuadratura es1 Materia: Métodos numéricos

Profesor: Magallon Diez Alfonso


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∫a

b

f (x )≈∑i=0

n

ai f (x i)

Para obtener la situación general de las fórmulas de cuadratura, se obtienen utilizando el primer y segundo grado de la LaGrange con nodos espaciados, estos nos dan la regla del trapecio y la regla de Simpson.

Para derivar la regla del trapecio para aproximar ∫a

b

f ( x )dx sean x0=a,x1=b,h=b-a

y usaremos el polinomio lineal de Lagrange.

P1 (x )=(x−x1 )

¿¿

∫a

b

f ( x )dx=∫x0

x1

¿¿¿

Dado que (x−x0)(x−x1) no cambio el signo en (x0,x1) , podemos aplicar el teorema de valor medio de las integrales al termino de error a fin de obtener para algún E en ( x0,x1):

∫x0

x1

f (ε(x))(x- {x} rsub {0} )(x- {x} rsub {1}} dx= int from {{x} rsub {0}} to {{x} rsub {1}} {(x- {x} rsub {0}} ) left (x- {x} rsub {1} right ) d ¿

¿ f ” (ε ) ¿

= -h3/6 f”(€).

Puesto que se aplica que:

2 Materia: Métodos numéricosProfesor: Magallon Diez Alfonso


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∫a

b

f ( x )dx=¿¿

Por lo que puesto que h= x1-x0.

Regla del trapecio

∫a

b

f ( x )dx=h2 [f (x0 )+ f (x1)]− h

3

12f (ξ)



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Se le llama trapecio porque f es una función con valores positivos,

aproximados ∫a

b

f ( x )dx por el área de un trapecio como en la representación

gráfica siguiente

El

termino de error de la regla del trapecio contiene f” , la regla del residuo exacto se aplica a una función cuya segunda derivada es cero y cualquier polinomio grado 1 o menos.

La regla de Simpson se obtiene al integrar en (a,b) el segundo polinomio de Lagrange con los nodos :

X0=a,x2=b y x1 = a+h, dónde h = ( b – a)/2

Como lo muestra la siguiente figura:



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Por lo tanto

∫a

b

f ( x )dx=∫x0

x2

¿¿¿

Regla de Simpson

∫x0

x2

f ( x )=h3 [ f (x0 )+4 f ( x1 )+ f (x2) ]− h

5

90f 4 (ξ ) .

Dado que el término de error contiene la cuarta derivada de f la regla de Simpson proporciona resultados exactos al aplicarla a un polinomio cualquiera de grado tres o de grado menor.



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El grado de exactitud o precisión de una fórmula de cuadratura es el entero positivo más grande n, tal que la formula sea exacta para xk , cuando

k=0,1…….n.

La integración y la suma son operaciones lineales esto es :

∫a

b

(αf ( x )+ βg ( x ) )dx=α∫a

b

f ( x )dx+ β∫a

b

g ( x )dx

∑i=0

n

(α f ( x )+βg ( x ) )dx=α∑i=0

n

f (x1) dx+β∑i=0

n

g(xi)

Para cada par de funciones integrables f y g para cada par de constantes reales a y b , significa que el grado de precisión de una fórmula de cuadratura será n si y solo si el error E(P(x)) =0 para algún polinomio P(x) de grado K=0

1,………n pero E(P(x))=0 , para un polinomio de grado n+1.

Las reglas de trapecio y de Simpson son ejemplos de una clase de métodos denominados fórmulas de Newton-Cotes



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La fórmula cerrada de ( n+1) puntos de Newton-Cortes utiliza los nodos

xi =x0 +ih, para i=0,1……………..n donde x0=a,xn=b y h=(b-a)/n.

A esta fórmula se le denomina cerrada, porque los extremos del intervalo cerrado (a, b) se incluyen como nodos.

Toma la forma de

∫a

b

f ( x )dx=∑i=0

n

ai f (x i )

Donde

a i=∫x0

xn

Lidx=∫x0

xn

∏j=0

n (x−xj)(xi−xj)

dx

Como se muestra en la figura



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n=0 regla del punto medio

∫x−1

x1

f (x )dx=2hf (x0 )+ h3

3f (ξ) donde {x} rsub {-1} <ξ< {x} rsub {1} ¿

N=1

∫x−1

x2

f (x ) dx=3h2 [ f (x0 )+f (x1)]+ 3h3

4f (ξ) donde {x} rsub {-1} <ξ< {x} rsub {2

N=2

∫x−1

x2

f (x ) dx=4 h3

¿

N=3

∫x−1

x4

f (x )dx=5h24 [11 f (x0 )+f (x1 )+f (x2 )+11 f (x3 ) ]+ 95

144f 5 f (4 ) (ξ )

Donde x-1<ξ<x4



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Ejercicios por regla de trapecio

Ejercicio # 1



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Aproximar el área, bajo la curva de la función dada en el intervalo a=500 b=1800

X0=500 X1=1800

F(x0)=9 f(X1)=23

h= X1- X0 = 1800-500= 1300

h2=1300

2=9123=20800

Ejercicio # 2


Puntos x F(x)

0

1

2

3

4

5

500

900

1400

1800

2000

2200

9

12.4

18.7

23

25.1

27.2


UNIDAD TICOMAN El cuerpo de revolución que se muestra, se obtiene al girar la curva dada por

2)2/(1 xy , 20 x , entorno al eje x. Calcule el volumen utilizando la regla extendida del trapecio con 128 y 64 32, 16, 8, 4, 2,N . El valor exacto es I=11.7286, u2.Evalué el error para cada N.

Dónde:

22

2x1πf(x)

4221f(2)

1.25625211f(1)

1)20(1f(0)

12022hN

22

22

22

Ejercicio # 3



UNIDAD TICOMAN Donde n representa el número de divisiones en las cuales hemos fraccionado el intervalo xo, xn. Gráficamente, esto sería igual a:

Intervalo en partes fraccionarias.El valor de h en la ecuación anterior, se puede obtener fácilmente a partir de la ecuación:

Ejercicios:

Dados los pares de valores, calcular la integral

x f(x)

0 100.1 6.840.3 40.5 4.20.7 5.510.95 5.771.2 1.0



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Descripción del intervalo en partes fraccionarias.Como se observa en la figura anterior, para aplicar al regla del Trapecio, necesitamos tener intervalos iguales h. Sin embargo los datos que nos dan no se encuentran todos ellos a intervalos iguales. Por lo tanto para aplicar la regla del trapecio, primero identificamos cuales tramos de la gráfica tienen intervalos iguales, y después realizamos integrales separadas para cada tramo, con la ecuación apropiada de la regla del trapecio en cada caso. Finalmente sumamos los resultados obtenidos para cada integral. Empezamos con la primera parte, la integral de 0 a 0.1.

Ahora hagamos la segunda integral: (Regla del Trapecio)

n = número de divisiones o de trapecios=3



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Ahora hagamos la tercera integral (Regla del trapecio compuesto)

n = número de divisiones o de trapecios=2



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Ejercicio de la Regla de Simpson

Ejercicio # 1



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Intervalo (a,b)

1)h=1800−5002

=650

X0=500

X1=X0+h=500+650= 1150

X2= 1800

X0= 9f (x1 )=f (1150 )=16.08

F(X2)=23

A1=680/3(9+4(16.08)+23) = 20869.33

2) h= 5-0/2 = 2.5

X0= 0

X1= 0+2.5= 2.5

X2= 5

A2= 2.5 / 3 ( 2+3(0) +4 ( 2+3(2.5) + 2 +3 (5)= 47.5

3) h= 4 –(-2) / 2= 3

X0 = -2 , X1= -2+3=1, X2=4

A3=33

¿


http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/file.php/229/Modulo_5/Imagenes/func2.gif&imgrefurl=http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=24529&usg=__ikxwC_vYKTbVy27rPe_rPR5g4kQ=&h=220&w=506&sz=15&hl=es&start=7&zoom=1&tbnid=GS7r7qTgMYVmpM:&tbnh=57&tbnw=131&ei=kdniTcX9F7HTiAKB-aS7Bg&prev=/search?q=regla+de+simpson&hl=es&biw=1440&bih=775&gbv=2&tbm=isch&itbs=1


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4) h=π2−0

2=π

4 ,X0=0, X1=0+ π

4=π

4= π

2

A4=π /4

3 [sin 0+4sin π4

+sin π2 ]=1.0023

Ejercicio #2



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Ejercicio# 3

Calcular

f(x)=xe2x



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Método de Runge-Kutta.

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación:

yi + 1 = yi + φ(xi,yi,h)h

Donde φ(xi,yi,h) es conocida como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo.


http://es.wikipedia.org/wiki/M._W._Kutta

http://es.wikipedia.org/wiki/M._W._Kutta

http://es.wikipedia.org/wiki/C._Runge

http://es.wikipedia.org/wiki/1900

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial


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Donde las a son constantes y las k son:

k1 = f (xi,yi)

k2 = f(xi + p1h,yi + q11k1h)

k3 = f(xi + p2h,yi + q21k1h + q22k2h)

Observe que las k son relaciones de recurrencia, esto es, k1 aparece en la ecuación para k2, la cual aparece en la ecuación para k3, etc.

Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación. Existen varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento como la especificada por n.

n = 1, es el método de Euler. Una vez se elige n, se evalúan las a, p y q al igualar la función incremento a los términos en la serie de Taylor

Métodos de Runge-Kutta

Métodos de Runge-Kutta Los Runge-Kutta no es sólo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matematicos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

Métodos de Runge-Kutta de segundo orden

La versión de segundo orden de la ecuación yi + 1 = yi + φ(xi,yi,h)h es

yi + 1 = yi + (a1k1 + a2k2)h

donde


http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler


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k1 = f(xi,yi)k2 = f(xi + pih,yi + q11k1h)

Los valores de a1, a2, p1 y q11 son evaluados al igualar el término de segundo orden de la ecuación dada con la expansión de la serie de Taylor. Se desarrollan tres ecuaciones para evaluar cuatro constantes desconocidas. Las tres ecuaciones son:

a1 + a2 = 1a2p1 = 1 / 2a2q11 = 1 / 2

Como se tienen tres ecuaciones con cuatro incógnitas se tiene que suponer el valor de una de ellas. Suponiendo que se especificó un valor para a2, se puede resolver de manera simultánea el sistema de ecuaciones obtenido:

a1 = 1 − a2

Como se puede elegir un número infinito de valores para a2, hay un número infinito de métodos Runge-Kutta de segundo orden.

Cada versión podría dar exactamente los mismos resultados si la solución de la EDO fuera cuadrática, lineal o una constante.

a2 = 1 / 2: Método de Heun con un solo corrector, donde:

donde

k1 = f(xi,yi)



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k2 = f(xi + h,yi + k1h)

a2 = 1: Método del punto medio.

yi + 1 = yi + k2h

donde

k1 = f(xi,yi)

a2 = 2 / 3: Método de Ralston.

donde

k1 = f(xi,yi)

Métodos de Runge-Kutta de tercer orden

Para n = 3 el resultado son seis ecuaciones con ocho incógnitas, por lo tanto se deben suponer dos valores con antelación para poder desarrollar el sistema de ecuaciones. Una versión ampliamente usada es:

donde



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k1 = f(xi,yi)

k3 = f(xi + h,yi − k1h + 2k2h)

El método de Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.

Definamos un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) mas el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:

k1 es la pendiente al principio del intervalo;



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k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar

el valor de y en el punto usando el método de Euler

k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y

k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3

Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de O(h5), mientras que el error total acumulado tiene el orden O(h4).

Ejercicios

Utilizar el método de Runge-Kutta con el problema siguiente para calcular la solución proximada en x = 0.2 y x =0.4:

h = 0.2:



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Utilizar el método de Runge-Kutta con el problema siguiente para calcular la solución aproximada en x = 0.1 y x =0.2:

h = 0.1



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2531.1012 Kyy



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