Geometría Analítica

Presentado a: Adriana Acosta

Por: Daniela Londoño Manuela Alzate

Grado: 10-D

Desarrollar Habilidades y Competencias

Pensamiento Genético - analítico

Estudio de la geometría analítica

Secciones Cónicas

Rectas Elementos de

Geometría Analítica

Aplicar los elementos de la geometría analítica en situaciones de la vida

practica

• Mapa Conceptual

La Recta Una Recta es el lugar geométrico de todos los puntos que cumplen una ecuación de la forma Y=Mx + BEjemplo Los puntos que satisfacen la ecuación Y=2x + 1 forman un recta. Para graficar un recta se requiere conocer por lo menos dos puntos de ella. Los puntos se pueden calcular asignando valores a una de las variables y obteniendo valores para la otra

Ejemplo Encontrar dos puntos de la recta determinada por la ecuación Y=2x + 1 Si X=1 entonces Y=2(1)+1, Y=3 El punto (1,3) pertenece a la recta

Si Y=2 entonces 2=2x+1, X=1/2 El punto (1/2, 2) pertenece a la recta

(1,3)(1/2, 2)

Los interceptos de una recta con los ejes Y y XSe pueden hallar obteniendo los puntos tales que X=0 y los puntos que Y=0EjemploSi X=0 entonces Y=2(0)+1 El intercepto con el eje Y es (0,1)Si Y=0 entonces 0=2x+3 entonces X=-3/2 El intercepto con el eje X es (3/2,0)

0,1

-1/3,0

Pendiente de la rectaEl grado de una inclinación de una recta se determina por el ángulo que forma la recta con el eje positivo de las X La pendiente de una recta corresponde a la tangente del ángulo de inclinación de la recta

θ

Pendiente = Tanθ M=Tanθ

30°

Pendiente = Tan25° M=Tan 3/3

Para determinar la pendiente de una recta se requiere conocer dos puntos de ella. La pendientes se puede calcular como el cociente entre la diferencia de las coordenadas y la diferencia de abscisas Pendiente: M= Y₂ - Y₁ X₂ - X₁

Ejemplo Hallar la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos (3,2) y (5,6)

La pendiente de la recta es M= Y₂ - Y₁ 6 - 2 = 4 X₂ - X₁ 5 – 3 2

= = 2

3,2

5,6

Si la pendiente de una recta es positiva la recta se inclina a la derecha y si es negativa la recta se inclina a la izquierdaUna recta horizontal tiene pendiente Una recta vertical no tiene pendiente

M=PositivaM=Negativa

M=0

M=∞Pendiente indeterminada

La Ecuación de la recta

Para establecer la ecuación de la recta se necesita conocer por lo menos un punto de la recta y el valor de la pendienteSi se conoce los puntos ( X◦ ,Y◦) de la recta y el valor M de la pendiente, la ecuación de la recta se puede encontrar mediante la ecuaciónY-Y◦=M(X-X◦) o despejando y tenemos Y=m(X-X◦)=Y◦

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto(1,4) y tiene pendiente m=3Se reemplazan el punto y la pendiente dadas en la ecuación Y-Y◦=m(x-x°)Y-4=3(x-1)Y-4=3X-3Y=3X+1

(1,4)

La ecuación de la recta que pasa por (1,4) y tiene pendiente M=3 es : y=3x+1)En la ecuación y=Mx+b,m representa la pendiente de la recta y b corresponde al corte de la recta con el eje Y Ejemplo:En la recta dada por la ecuación y=-2x+4, el valor de la pendiente es m=-2 y el corte con el eje y es 4

4

M=-2

Ejercicios • Actividad 1

° actividad 2

Circunferencia

Una circunferencia es el lugar geométrico conformado por todo los puntos que se encuentran a una misma distancia y de un punto fijo llamado centro toda circunferencia puede determinar mediante una ecuación de la forma (x-h)₂ + (y-k)₂=r₂ donde y corresponde al radio y (h.k) es el centro de la circunferencia

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia con el centro en el punto (1,3) y cuyo radio es 2Reemplazando el centro (1,3) R=2 en la ecuación

(x=h)₂ + (y-k)₂=r₂ se tiene (x=1)₂ + (4-3)=2₂

La ecuación de la circunferencia es (x-1)₂ + (4-3)₂=4

(1,3)

R=2

Si en la ecuación canónica de La circunferencia se desarrollo rSe reducen la expresiones se obtiene La ecuación general de la circunferencia Que corresponde a una expresión de la forma x₂+y₂+Cx+Dy+E=DEjemplo: Hallar la ecuación general de la circunferencia cuya expresión canónica es: (x-3)₂ + (4-1)₂=4 X₂-6x+9+4₂-2₄+1=4x₂+4₂-6x-2₄+10=4 Desarrollando lo binomios cuadrados ordenando términos y reduciendo las constantes

(2,1)

(4,5)

La ecuación general de la circunferencia es: x₂+y₂-6x-24+6=0A partir de la ecuación general se pueden establecer los elementos de la circunferencia dada trasformada en su ecuación canónica

Ejemplo: Hallar la ecuación canónica de la circunferencia cuya ecuación general es:x₂+y₂+4x+6y+4=0

1. Se agrupan los términos en x y los términos en Y (x₂+4x)+(y₂+64)+4= 0

2.Se completan los trinomios cuadrados (x₂+4x+2₂)+(y₂+64+3₂)+4-2₂-3₂=0

3. Se factorizan las expresiones y se reducen los términos independientes (x+2)₂ (1+3)₂=9 La ecuación canónica es (x+2)₂+(4+3)₂=9