trabajo de matematica para imprimir hoy.docx

1

UNIVERSIDAD PARTICULAR “SAN JUAN BAUTISTA” INGENIERIA CIVIL II- CICLO

“AÑO DE LA DIVERSIFICACIÓN PRODUCTIVA Y FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIÓN”

UNIVERSIDAD PRIVADASAN JUAN BAUTISTA

FACULDAD DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: MATEMÁTICA I

DOCENTE:

LIC. ADRIAN TORRES HERNÁNDEZ

ALUMNA:

MARGOT HUAMANÍ HINOSTROZA

CICLO:

II

ICA – PERÚ

2015

DEDICATORIA

2


A nuestros padres:

y todos los que apoyaron este trabajo e

hicieron posible para que se pueda realizarse,

en especial a nuestro querido profesor que

con empeño nos incentivan cada día a seguir

nuestros objetivos y metas

INDICE

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………...……Pag 5

OBJETIVOS……………………………………………………………….…......Pag 7

3


FUNCIONES ………………………………………………………………….….Pag

8

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL………………………....Pag

12

REGLAS PARA DETERMINAR EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN…..…...Pag

13

FUNCIONES ESPECIALES ………………………………………………..….Pag

14

GRAFICA DE UNA FUNCION ……………………………………………..….Pag

23

EJERCICIO: OPERACIONES CON FUNCIONES………………….…........Pag

26

MAPA CONCEPTUAL……………………………………………………....... Pag

29

LIMITE DE UNA FUNCION………………………………………………...…..Pag

30

FORMAS INDETERMINADAS………………………………..……….…...….Pag

36

LIMITES INFINITOS…………………………………………………….…..….Pag

40

ASINTOTAS…………………………………………………………………...…Pag

42

EJERCICIOS RESUELTOS. …………………………………………….….…Pag

55

4


RESUMEN DEL COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO…………………..….Pag

62

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION…………………………………………..Pag

64

TIPOS DE DISCONTINUIDAD……………………………………………......Pag

71

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN INTERVALO………..………..Pag

75

EJERCICIOS RESUELTOS……………………………………………..……..Pag

77

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS…………………………………………….…Pag

84

DERIVADA DE UNA FUNCION…………………………………...……..……Pag

87

CALCULO DE DERIVADAS……………………………………………..…….Pag

88

ALGUNOS EJEMPLOS…………………………………………………………Pag

90

EJERCICIOS……………………………………………………………..……...Pag

93

GLOSARIO…………………………………………………………………..…..Pag

96

SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA……………………………………………..…..Pag

99

5


CONCLUSIONES…………………………………………………………..….Pag

101

BIBLIOGRAFÍA……………………………….……………………………..…Pag

102

ENLACES……………………………………………………………………....Pag

103

INTRODUCCIÓN

En este presente trabajo de investigación monográfico presentaremos el

tema de funciones principalmente en la cual se detal lara, el

concepto de función y estudiaremos las principales propiedades de las

funciones básicas; se recomienda a los interesados estar dispuestos a

6


habituarse a la terminología que se utiliza para describir a las funciones y

todos los ejercicios realizados serán aplicados en el programa de GeoGebra.

Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida

diaria, problemas de ingeniería, finanzas, economía, estadística, medicina,

química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde

haya que relacionar variables.

Una vez ya profundizado en el tema de funciones que es una base

fundamental para lo que queremos lograr nos abocaremos de lleno al siguiente

tema de límite y derivada.

El límite y la derivada son conceptos fundamentales del cálculo diferencial. El

límite es una definición que combina lo infinitamente pequeño y lo infinitamente

grande. Son aquellos valores que toman una función para definir hasta dónde

puede llegar en determinado punto de la gráfica, los límites pueden ser a la

derecha del valor o hacia la izquierda del valor.

La derivada de una función en un punto mide la pendiente de la tangente de la

función en dicho punto. Por medio de la derivada, se estudia el crecimiento y

decrecimiento de una función en los diferentes intervalos y dominio de sus

campos existencia. El concepto de derivada se aplica en casos donde es

necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación, por

tal motivo es una herramienta del cálculo fundamental en los estudios de física,

química, biología, economía y sociología

En el trabajo se trataron los temas: definición de límites, indeterminados,

infinitos asíntotas y continuidad y concepto de derivada.

El estudio de este contenido permitirá analizar conceptos, ecuaciones y

gráficos que ilustran relaciones entre variables y el comportamiento de

funciones.

Finalmente en este trabajo proporcionamos unos cuantos ejemplos de las

funciones, límites y derivadas más populares en la ingeniería.

7


Esperamos que este trabajo de investigación sea un gran aporte para los

lectores y las demás generaciones y que contribuya en el engrandecimiento del

saber

EL GRUPO

8


OBJETIVOS

Introducir el concepto de función, proporcionar su representación tabular y

gráfica. Saber determinar el dominio y el recorrido de una función cualquiera.

Descubrir los tipos de funciones más comúnmente utilizados y potenciar la

habilidad para reconocer una dependencia funcional a partir de la gráfica de

la función

Lograr que el alumno comprenda, interprete y analice los contenidos

básicos, los métodos de resolución más significativos y las aplicaciones

fundamentales a la administración, de los temas que exige al programa de

Matemática I de la carrera de ingeniería civil.

Aplicar los conceptos de límite y de derivada a diferentes ámbitos de las

ciencias sociales y humanas, resolviendo situaciones-problema que

muestren la interconexión de las diferentes partes de las Matemáticas y su

papel en otros campos del conocimiento.

Comprender el concepto de derivada y aplicarlo al estudio de funciones y a

situaciones reales. Ser capaz de interpretar y aplicar a situaciones

concretas la información obtenida del estudio de las funciones. Más en

concreto, ser capaz de analizar de manera detallada el comportamiento

local y global de una función y resolver problemas de tangencia.

9


FUNCIONES

Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que

asigna a cada elemento del dominio (conjunto A) uno y sólo un elemento del

recorrido (conjunto B).

x → f(x) = y

Conceptos básicos de función

El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio, se puede

representar como Df

El conjunto B se llama conjunto de llegada o codominio.

Se llaman pre imágenes a los elementos del conjunto de partida o dominio

Se llaman imágenes a los elementos del conjunto de llegada o codominio

que

están asociados a una pre imagen, mediante el criterio de función.

Se llama RECORRIDO de una función al conjunto formado por las

imágenes.

Este conjunto es un subconjunto del codominio, se puede representar

como Rec.

Para ilustrar los conceptos anteriores usaremos el siguiente diagrama

FUNCIONES.- Es el conjunto de pares ordenados ( x , y ) entre los cuales no

10


existe dos pares ordenados con el mismo primer componente, gráficamente

una función es aquella grafica en donde una recta vertical corta en un solo

punto a la función.

CLASIFICACION DE FUNCIONES:

Las funciones se clasifican en funciones: lineales, cuadráticas, cúbicas,

polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas,

trigonométricas, valor absoluto, definidas por sección, etc.

1. Dada la función f ( x )= 1

2x+1 indica su dominio y su recorrido y dibújala.Resolución:

Dom (f) = R - {-

12 }

Rec (f) = R - {0}

Tomando algunos valores:

x -2 -1 0 1 2

f(x) -1/3 -1 1 1/3 1/5

2.- Dada la función: f ( x )= 1

3x+6 indica su dominio y su recorrido y dibújala.

Resolución:

Dom (f) = R - {-2}

Rec (f) = R - {0}

Tomando algunos valores:

11


x -4 -3 -1 0 1

f(x) -1/6 -1/3 1/3 1/6 1/9

3.- Representa las siguientes funciones e indica su dominio y recorrido:

a) f ( x )={x2 , si x∈ (−∞ ,0 )

2x, si x∈ [0,2 ] b) g( x )={3, si x∈ [ -2,1 ]

2, si x∈ (1,2 )

Resolución:

a) Dom (f) =R , Rec (f) = [ 0,+∞)

b) Dom (g) =[−2,2 ), Rec (g) = {2,3}

Representa las siguientes funciones a trozos e indica su dominio y recorrido:

12


a)

f ( x )={ x−1, si x<−3-x+1, si -3≤x<03, si 0≤x<∞ b)

g( x )={ 1x

, si x<-2

3, si -2≤x<1√ x , si 1≤x

Resolución:

a) Dom (f) =R , Rec (f) = (−∞ ,−4 )∪(1,4 ]

b) Dom (g) =R , Rec (g) =

[−12

,0 )∪[1,+∞)

13


FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

DEFINICION: Una función es un conjunto de parejas ordenadas de números (x, y), en el cual no hay dos parejas ordenadas distintas que tengan el mismo primer elemento.

El conjunto de todos los valores posibles de x se denomina dominio de la función y el conjunto de todos los valores posibles de y se llama codominio, rango o imagen de la función.

De acuerdo a esta definición se deduce que a todo valor de x le debe corresponder un único valor de y.

Los números x e y se llaman variables. Puesto que para la función se asignan valores a x, y cada valor de y depende del valor de x, la variable x se denomina variable independiente y la variable y es la variable dependiente.

Para simbolizar una función se utiliza la notación: y = f(x).

Función

Algebraica Trascendentes

(+ , -, x, / , pot. rad.) Trigonométricas

Trigonométrica inversas

Logarítmicas

14


Racionales Irracionales Exponenciales

Hiperbólicas

(+, -, x, /, pot.) (+, -, x, /, pot.) rad. Hiperbólicas inversas

Enteras Fraccionarias

(+, -, x, pot.) (+, -, x, pot.) /

Funciones

Polinómicas

Función lineal: y = m x + b (recta)

Casos particulares:

Función cuadrática: y = a x2 + bx + c (parábola)

REGLAS PARA DETERMINAR EL DOMINIO DE UNA FUNCION

1º) Si la función es polinómica, el dominio es el conjunto de número reales, salvo que el mismo esté especificado en la definición de la función.

a) f(x) = 2 x2 – 3x + 5 D = R

3x – 2 si – 3 x < 1

b) f(x) = D = [- 3, 5)

x + 2 si 1 x < 5

2º) Si la función es fraccionaria el dominio es el conjunto de todos los números reales menos el conjunto de valores que anulan el denominador.

a) f(x) = 1 D = R - 2

2x - 4

15


2x – 4 = 0 2x = 4 x = 2

b) f(x) = 3 D = R - - 3, 3

x2 - 9

x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = 9 x = 3

3º) Si la función es irracional cuadrática el dominio es el conjunto de todos los números reales para los cuales el radicando es mayor o igual que cero.

a) f(x) = 3x - 6 D = [ 2, + )

3x – 6 0 3x 6 x 2 x [2, + )

b) f(x) = x2 – 4 D = (- , - 2] [ 2 , + )

x2 – 4 0 x2 4 x 4 x 2 x 2 ó x - 2 x (- , - 2] [ 2 , + )

c) f(x) = 2 D = (- 3, + )

x + 3

(Se debe tomar sólo la relación mayor que cero pues el denominador no puede ser cero)

x + 3 > 0 x > - 3 x (- 3, + )

FUNCIONES ESPECIALES

1.- Halle el dominio de la función: f(x)=√2x2−5 x+3

Resolución

2 x2−5x+3≥ 0

2x -3

X -1

16


2x-3= 0 ᵥ x-1 = 0

Dominio: <−∞,1] υ [3/2,+∞>

−∞ 1 3/2 +∞

2.- Halle el dominio de la función: f(x)=√ x2−x−12

x2+5 x+4

Resolución

x2−x−12 ≥ 0

x2+5x+4

(x-4) (x+3) ≥ 0

(x+4)(x+1)

x-4=0 , x+3=0 , x+4 = 0

x=4 x=-3 x=-4

x+1=0

x=-1

Dominio: < −∞,-4> υ[-3,-1> υ[4,+∞>

−∞ -4 -3 -1 4 +∞

3.- Halle el dominio de la función: f(x)=√ x2−3 x+2 +1

√3+2x−x2

f1: x2−3 x+2 ≥0

x -2

x -1

D1=<−∞,1] υ [2,+∞>

+ +I

+ +I +I

17


−∞ 1 2 +∞

f2:3+2 x−x2≥0

x2−2 x−3≤0

x -3

x +1

x=3 ,x=-1

D2 = <−1,3>

−∞ -1 3 +∞

Luego:

Df(x)= <−1,1] υ [2,+3>

−∞ -1 1 2 3 +∞

4.- Graficar las funciones

x+3 , x<0

f(x) =

√ x+2 ,x ≥0

I++

18


Resolución (tarea)

5:- f(x)= sig( x−3x+4 )

Resolución

-1 x−3x+4

, x < 0

-1 ,si xϵ<-4,3>

f(x) = 0 x−3x+4

,x = 0 f(x)= 0, si x=3, x≠-4

1, si xϵ <−∞,-4>υ<3, +∞>

1 x−3x+4

,x > o

x=3; x=-4

−∞ -4 3 +∞

1

−∞ -4 0 3 +∞

I++

19


-1

Dom=IR

Ran={-1,0,1}

6- f(x)= sig( 2 x+23 x−6 )

Resolución

-1 2 x+23x−6

, x < 0

-1 ,si xϵ<-1,2>

f(x) = 0 2 x+23x−6

,x = 0 f(x)= 0, si x=-1, x≠-2

1, si xϵ <−∞,-1>υ<2, +∞>

1 2 x+23x−6

,x > o

−∞ -1 2 +∞

1

−∞ -1 0 2 +∞

-1

I++

20


7. - f(x) =IxI + Ix-1I

Resolución

x, x≥ 0 x-1 , x≥1

IxI= Ix-1I =

-x, x< 0 -x+1 ,x<1

Si x<0

f(x)= IxI+Ix-1I→ f(x) = -x-x+1 f(x)= -2x +1, x<0

Si 0≤x<1f(x)= IxI+Ix-1I→ f(x) = x-x+1

f(x)= 1, 0 ≤ x<1

Si x≥1

f(x)= IxI+Ix-1I→ f(x) = x+x-1 f(x)= 2x -1, x≥1

-2x+1 , si x<of(x)= 1 , si 0 ≤ x<1

2x -1, si x ≥1

21


8.- f(x) =I2xI + I3x+6I

Resolución

2x, x≥ 0 3x-6 , x≥1

I2xI= I3x-6I =

-2x, x< 0 -3x+6 ,x<1

Si x<0

f(x)= I2xI+I3x-6I→ f(x) = -2x-3x+6 f(x)= -5x +6, x<0

Si 0≤x<2f(x)= I2xI+I3x-6I→ f(x) = 2x-3x+6

f(x)= -x+6 , 0 ≤ x<1

Si x≥2

f(x)= I2xI+I3x-6I→ f(x) = 2x+3x-6

22


f(x)= 5x -6, x≥1

-5x+6 , si x<of(x)= -x+6 , si 0 ≤ x<2

5x -6, si x ≥2

8.- f(x)=√3 x2+15 x−10

23


Resolución

3 x2+15 x−10≥ 0

3x -2

x 5

3x-2= 0 ᵥ x+5 = 0

X=2/3 x=-5

Dominio: <−∞,-5] υ [2/3,+∞>

−∞ -5 2/3 +∞

9- f(x)= sig( 2x+4x−3 )

Resolución

-1 2x+4x−3

, x < 0

-1 ,si xϵ<-2,3>

f(x) = 0 2x+4x−3

,x = 0 f(x)= 0, si x=-2, x≠-3

1, si xϵ <−∞,-2>υ<3, +∞>

1 2x+4x−3

,x > o

−∞ -2 3 +∞

+ +I

I++

24


1

−∞ -2 -1 0 1 2 3 +∞

-1

10 .- f(x) =I2x-2I + I3x+3I

Resolución

2x-2, x ≥ 1 3x+3 , x≥-1

I2x-2I= I3x-3I =

-2x+2, x< 1 -3x-3 , x<-1

Si x<0

. f(x) =I2x-2I + I3x+3I → f(x) = -2x+2-3x-3

f(x)= -5x -1 x<0

Si 0≤x<1 f(x)= I2x-2I + I3x+3I → f(x) = 2x-2-3x-3

f(x)= -x-5 , 0 ≤ x<1

Si x>1

f(x)= I2xI+I3x-6I→ f(x) = 2x+3x-6 f(x)= 5x +1, x≥1

-5x-1 , si x<of(x)= -x-5 , si 0 ≤ x<1

5x +1, si x >1

25


26


GRAFICA DE UNA FUNCION

Para graficar una función lo primero que se hace es determinar el dominio de la misma, se confecciona luego una tabla de valores asignando a la variable x valores dentro del dominio y obteniendo los valores de y correspondientes.

Los puntos obtenidos en esta tabla se representan en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, y uniendo los mismos se tiene la gráfica de la función.

Una vez confeccionada la gráfica se determina el codominio de la función a partir de los valores que toma la variable dependiente y.

OPERACIONES CON FUNCIONES

Dadas las dos funciones f y g:

Su suma, denotada por (f + g), es la función definida por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Su diferencia, denotada por (f – g), es la función definida por:

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

Su producto, denotado por (f*g), es la función definida por:

(f*g)(x) = f(x) * g(x)

d) Su cociente, denotado por (f/g), es la función definida por:

(f/g)(x) f(x)/g(x)

La función compuesta, denotada por (f o g), es la función definida por:

(f o g)(x) = f [g(x)]

27


EJERCICIO: OPERACIONES CON FUNCIONES

1. Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

La función f + g se define como

• (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2 x - 4 = 5 x - 3.

• (f + g)(2) = 5 · 2 - 3 = 7

• (f + g)(-3) = 5(-3) - 3 = -18

• (f + g)(1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se

suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

f(2) = 3.2 + 1 = 7(f + g)(2) = 7 + 0 = 7

g(2) = 2.2 - 4 = 0

2. Dadas las funciones f (x) = x ² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g) (x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

• (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x ² - 3 - (x + 3) = x ² - 3 - x - 3 = x ² - x - 6

• (f - g)(1/3) = (1/3) ² - 1/3 - 6 = - 56/9

• (f - g)(-2) = (-2) ² - (-2) - 6 = - 0

• (f - g)(0) = (0) ² - 0 - 6 = - 6

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por

separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

28


3. Dadas las funciones f(x) = x/2 - 3 y g(x) = 2.x + 1, definir la función f.g.

Resolución:

• (f.g)(x) = f(x).g(x) = (x/2 - 3).(2.x + 1) = x ² - 11.x/2 - 3

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por

separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

Dadas las funciones f(x) = - x - 1, y g(x) = 2 x + 3, definir f/g.

4. Calcular las imágenes de los números - 1, 2 y 3/2 mediante f/g.

Resolución:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (-x - 1)/(2.x + 3)

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -

3/2, donde la función g se anula.

• (f/g)(-1) = 0/1 = 0

• (f/g)(2) = -3/7

• (f/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las

funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos

resultados.

5. Dada la función f(x) = x ² + x - 2, calcular 3.f y f/3.

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

Resolución:

• (3.f)(x) = 3.f(x) = 3.(x ² + x - 2) = 3.x ² + 3.x - 6

• (1/3).f(x) = (1/3).(x ² + x - 2)

• (3.f)(2) = 3.2 ² + 3.2 - 6 = 12

• (3.f)(1) = 3.1 ² + 3.1 - 6 = 0

• (3.f)(0) = 3.0 ² + 3.0 - 6 = - 6

•

EJERCICIO: COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

6. Sabiendo que f(x)=x- x ² y g(x)= sen x, halla:

29


xfg a)

xgg b)

Resolución:

22a) xxsenxxgxfgxfg

xsensenxsengxggxgg b)

7. Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x ².

Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

Resolución:

• (g o f)(x) = g.[f(x)] = g.[(x + 3)] = (x + 3) ²

Rf

-- R

g

-- R

x f(x) = x + 3 g.[f(x)] = g.(x + 3) = (x + 3) ²

• La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:

(g o f)(1) = g.[f(1)] = g.(1 + 3) = g.(4) = 4 ² = 16

(g o f)(0) = g.[f(0)] = g.(0 + 3) = g.(3) = 3 ² = 9

(g o f)(-3) = g.[f(-3)] = g.(-3 + 3) = g.(0) = 0 ² = 0

8. Dadas las funciones f(x) = x ² + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:

a) (g o f) (x)

b) (f o g) (x)

c) (g o f) (1) y (f o g) (-1)

d) El original de 49 para la función g o f.

Resolución:

a) La función g o f está definida por:

Rf

-- R

g

-- R

x f(x) = x ² + 1 g.[f(x)] = g.(x ² + 1) = 3.(x ² + 1) - 2 = 3.x ² + 3 - 2 =

= 3.x ² + 1

b) La función f o g está definida por:

30


Rg

-- R

f

-- R

x g(x) = 3.x - 2 f.[g(x)] = (3.x - 2) ² + 1 = 9.x ² + 4 - 12.x + 1 =

= 9.x ² - 12.x + 5

Obsérvese que g o f ≠ f o g.

c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:

(g o f)(1) = 9.1 ² - 12.1 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2

(g o f)(-1) = 9. (-1) ² - 12. (-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26

d) El original de 49 para la función g o f será un número x, tal que

(g o f)(x) = 49.

(g o f) (x) = 3 x ² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.

3. x ² + 1 = 49 x ² = 16 x = ±4

31


MAPA CONCEPTUAL

32


33


LIMITE DE UNA FUNCION

DEFINICION:

Lim f(x) = L > 0, > 0 f(x) - L siempre que x - a x a

Propiedades:

TEOREMA 1:

Si m y b son constantes cualesquiera:

Lim (mx + b) = ma + b

x a

Demostración:

Por definición de límite. Para cualquier > 0 debemos demostrar que existe una > 0 tal que:

(mx + b) – (ma + b) < siempre que 0 < x – a <

Caso 1: m 0

Queremos encontrar una > 0 para cualquier > 0 tal que:

(mx + b) – (ma + b) < siempre que 0 < x - a <

mx + b – ma - b < siempre que 0 < x - a <

mx – ma < siempre que 0 < x - a <

m (x - a) < siempre que 0 < x - a <

mx - a< siempre que 0 < x - a <

Como m 0, resulta:

x - a< siempre que 0 < x - a <

m

Esta afirmación será válida si = / m.

Caso 2: m = 0

Si m = 0 entonces (mx + b) – (ma + b) = (0x + b) – (0a + b) = 0x + b – 0a - b= 0 para todo valor de x.

Por lo tanto tomamos como cualquier número positivo y la afirmación se cumple.

34


TEOREMA 2: El límite de una constante es igual a dicha constante.

Si c es una constante entonces para cualquier número a se tiene:

limx→a

C = c

Demostración:

Esto es una consecuencia inmediata del teorema 1 tomando m = 0 y b = c.

TEOREMA 3: El límite de la variable independiente es igual al valor al que tiende.

limx→a

x= a

Demostración:

Es una consecuencia del teorema 1 tomando m = 1 y b = 0.

TEOREMA 4: El límite de la suma o resta de funciones es igual a la suma o

resta de los límites de dichas funciones.

Si limx→a

f ( x )= L y

limx→a

g ( x ) = M, entonces

limx→a [ f(x) g(x) ] =

limx→a

f ( x )

limx→a

g ( x )

Es decir:

limx→a [ f(x) g(x) ] = L M

Demostración:

Demostramos este teorema utilizando el signo +.

Como limx→a

f ( x ) = L, entonces por definición de límite se tiene que para ½ >

0, existe una 1 > 0 tal que:

f(x) - L < ½ siempre que 0 < x - a< 1

y si limx→a

g ( x ) = M, entonces por definición de límite se tiene que para ½ > 0,

existe una 2 > 0 tal que:

g(x) - M < ½ siempre que 0 < x - a< 2

Queremos demostrar que:

limx→a [ f(x) + g(x) ] = L + M

35


Por definición de límite se debe demostrar que para todo > 0 existe una > 0 tal que:

[f(x) + g(x)] – (L + M) < siempre que 0 < x - a<

Es decir:

[f(x) + g(x)] – (L + M) = f(x) + g(x) – L - M

= [f(x) – L] + [g(x) - M]

f(x) - L + g(x) - M

< ½ + ½ = siempre que 0 < x - a <

TEOREMA 5: El límite de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica

de los límites de dichas funciones.

Si limx→a

f 1 ( x ) = L1,

limx→a

f 2 ( x ) = L2,..... y

limx→a

f n ( x ) = Ln, entonces

limx→a [ f1(x) f2(x) ... fn(x) ] =

limx→a

f 1 ( x )

limx→a

f 2 ( x ) ...

limx→a

f n ( x )

Es decir:

limx→a [ f1(x) f2(x) ... fn(x)] = L1 L2 ... Ln

TEOREMA 6: El límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de dichas funciones.

Si limx→a

f ( x )= L y

limx→a

g ( x )= M, entonces

limx→a [ f(x) . g(x) ] =

limx→a

f ( x ). limx→a

g ( x )

Es decir:

limx→a [ f(x) . g(x) ] = L . M

TEOREMA 7: El límite del producto de varias funciones es igual al producto de los límites de dichas funciones.

Si limx→a

f 1 ( x ) = L1,

limx→a

f 2 ( x )= L2,..... y

limx→a

f n ( x ) = Ln, entonces

limx→a [f1(x). f2(x)..... fn(x)] =

limx→a

f 1 ( x ). limx→a

f 2 ( x )......

limx→a

f n ( x )

Es decir:

limx→a [ f1(x) . f2(x) . ... . fn(x)] = L1 . L2 . ... . Ln

36


TEOREMA 8: El límite de la potencia enésima de una función es igual a la

potencia enésima del límite de la misma.

Si limx→a

f ( x ) = L y n es cualquier número positivo, entonces:

limx→a [f(x)]n =

limx→a

f ( x ) n

Es decir:

limx→a [f(x)]n = Ln

TEOREMA 9: El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los

límites de dichas funciones.

Si limx→a

f ( x )= L y

limx→a

g ( x ) = M y M 0, entonces

limx→a [ f(x) / g(x) ] =

limx→a

f ( x )

limx→a

g ( x )

Es decir:

limx→a [ f(x) / g(x) ] = L / M

TEOREMA 10: El límite de la raíz enésima de una función es igual a la raíz enésima del límite de la misma.

Si limx→a

f ( x ) = L y n es cualquier número positivo, entonces:

limx→a

n√ f ( x ) = n√ lim

x→af (x )

Es decir:

limx→a

n√ f ( x ) = n√L

37


CUESTIONARIO

I. Calcular los siguientes límites:

1.limx→ 1

x−1

√ x2+1−√2

2.limx→ 1

x3+3x−4x4+2x2−3

3.limx→ 4

( 3−√5+x1−√5−x )

4.limx→ 0

(√x+1−13√x+1−1 )

5.

limx→ 0

√ x2+ p2−p

√x2+q2−q

6.limx→ 2

( 23x−6

−2

2x2−5x+2 )

7.limx→−1

( 4 x4+9 x3+3 x2−5x−33 x4+9x3+9 x2+3 x )

8.limx→ a

( x2−(a−1 ) x−ax2−(a−2 ) x−2a )

9.limx→1

( x3−3 x+2x4−4 x+3 )

10.limx→ b

( x2−(b+1 ) x+bx3−b3 )

11.limx→ 1

( 11−x

−3

−1 x3 )

12.limx→∞

3 x2−2 x−1x3+4

13.limx→∞

x+2

√ x2−1

14.limx→∞

( x2+5x+13 x+7 )

15.limx→∞

( 8 x3+2 x+32x3+5 x2+1 )

16.limx→∞

( 3x2+3x+5

√ x4+1 )

17.limx→∞

(√x+ 3√ x+ 4√x√2x+1 )

18.limx→∞

(√x2+1+√x4√ x3+x−x )

19.limx→1

( sen (√x−1 )x−1 )

20.limx→π

( Senxx−π )

21.

limx→π

3

( 1−2 cos xπ−3 x )

22.limx→0

( Sen( x+3 π )x )

23.limx→0

(√1+Senx−√1−Senxx )

38


24.limx→ 0

( sen (a+x )−sen (a−x )x )

25.limx→∞

( 2x+12x+2 )

x

26.limx→∞

( 2x+32x+1 )

x+1

27.limx→ 0

(cos x )1x

28.limx→0

( e3 x−1Sen4 x )

29.limx→∞

( ln (2x+1 )−ln( x+2))

30.limx→ 0

(ln (a+x )−ln(a )x )

39


Operaciones con infinito

Sumas con infinito

Infinito más un número Infinito más infinito Infinito menos infinito

Productos con infinito

Infinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero

Cocientes con infinito y cero

Cero partido por un número

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinito partido por un número

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

40


FORMAS INDETERMINADAS

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda

determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como

las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada

una de las indeterminaciones (Factor común, trinomio, diferencia de

cuadrados, Ruffini, conjugada entre otras).

Se presentan en total siete formas que no tienen solución matemática llamadas

formas indeterminadas, éstas son:

0 ; ; 0. ; - ; 00 , 0 ; 1

0

Antes de comenzar a analizar estas formas indeterminadas, escribimos algunos

cocientes que se presentan frecuentemente:

+ si nº > 0

0 = 0 nº =

nº 0 - si nº < 0

FORMA 0 / 0

1º) Cuando se aplica el primer caso de factoreo:

a) limx→0 2x 3 – 3x 2 + 5x = 2.0 3 – 3 .0 2 + 5 .0 = 0

4x3 – 5x2 + 2x 4.03 – 5 02 + 2 .0 0

41


limx→0 2x 3 – 3x 2 + 5x =

limx→0 x (2x 2 – 3x + 5) =

limx→0 2x 2 – 3x + 5 = 5

4x3 – 5x2 + 2x x (4x2 – 5x +2) 4x2 – 5x + 2 2

b) limx→0 3x 4 – 4x 2 + 5x 3 = 0

5x4 - 3x 0

limx→0 3x 4 – 4x 2 + 5x 3 =

limx→0 x 2 (3x 2 – 4 + 5x) =

limx→0 x (3x 2 – 4 + 5x) = 0 = 0

5x4 - 3x x (5x3 – 3) 5x3 – 3 -3

c) limx→0 5x – 3x 2 = 0

2x2 – 3x3 0

limx→0 5x – 3x 2 =

limx→0 x (5 – 3x) =

limx→0 5 - 3x = 5 = +

2x2 – 3x3 x2 (2 – 3x) x (2 – 3x) 0

2º) Cuando se aplica el quinto caso de factoreo:

a) limx→6 x 2 - 36 = 6 2 – 36 = 0

x – 6 6 – 6 0

limx→6 x 2 - 36 =

limx→6 (x + 6)(x – 6) =

limx→6 (x + 6) = 12

x – 6 x - 6

b) limx→−3 x + 3 = 0

42


x2 - 9 0

limx→−3 x + 3 =

limx→−3 x + 3 =

limx→−3 1 = 1 = - 1

x2 - 9 (x + 3)(x – 3) x – 3 - 6 6

3º) Cuando el límite contiene raíces cuadradas:

El artificio para levantar esta indeterminación es multiplicar numerador y

denominador por la expresión conjugada de la que contiene raíz.

a)limx→−3 x + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0

x – 2 2 - 2 0

limx→2 x + 1 - 3 =

limx→2 ( x + 1 - 3 )( x + 1 + 3 ) =

limx→2 ( x + 1) 2 - ( 3 ) 2 =

x – 2 (x – 2) ( x + 1 + 3) (x – 2) ( x + 1 + 3)

= limx→2 x – 2 =

limx→2 1 = 1 .

(x – 2) ( x + 1 + 3) x + 1 + 3 2 3

b) limx→1 2x + 1 - 3 = 0

5 - x + 4 0

limx→1 2x + 1 - 3 =

limx→1 ( 2x + 1 - 3) ( 2x + 1 + 3) ( 5 + x + 4) =

5 - x + 4 ( 5 - x + 4) ( 5 + x + 4) ( 2x + 1 + 3)

43


= limx→1 ( 2x + 1) 2 - ( 3) 2 ( 5 + x + 4) =

limx→1 (2x - 2) ( 5 + x + 4) =

( 5)2 - ( x + 4)2 ( 2x + 1 + 3) (1 - x) ( 2x + 1 + 3)

= limx→1 2(x - 1) ( 5 + x + 4) =

limx→1 2 ( 5 + x + 4) = 2 2 5 = - 2 5

- (x - 1) ( 2x + 1 + 3) - ( 2x + 1 + 3) - 2 3 3

4º) Cuando se aplica Regla de Ruffini:

El artificio para levantar esta indeterminación es dividir numerador y

denominador en x menos el valor al que tiende.

a) limx→3 x 2 – 2x – 3 = 3 2 – 2. 3 – 3 = 0

2x2 – 5x – 3 2. 32 – 5. 3 – 3 0

limx→3 x 2 – 2x – 3 =

limx→3 (x 2 – 2x – 3): (x – 3) =

limx→3 x + 1 = 4

2x2 – 5x – 3 (2x2 – 5x – 3): (x – 3) 2x +1 7

1 -2 -3 2 -5 -3

3 3 3 3 6 3

1 1 0 2 1 0

b) limx→−1 x 3 – 3x – 2 = 0

x3 + x2 – x – 1 0

=limx→−1 x 3 – 3x – 2 =

limx→−1 (x 3 – 3x – 2): (x + 1) =

limx→−1x 2 – x – 2 =

limx→−1 (x 2 – x - 2): (x + 1)

x3 + x2 – x – 1 (x3 + x2 – x – 1): (x + 1) x2 – 1 (x2 – 1): (x + 1)

44


= limx→−1 x – 2 = -1 – 2 = - 3 = 3

x – 1 -1 – 1 -2 2

1 0 -3 -2 1 1 -1 -1 1

- 1 -1 1 2 -1 -1 0 1

1 -1 -2 0 1 0 -1 0 0

-1 -1 2 -1 -1 1

1 -2 0 1 -1 0

LIMITES INFINITOS

1º) Sea f una función que está definida en todo número de algún intervalo abierto

I que contenga a a, excepto posiblemente el mismo número a. A medida que x

se aproxima a a, f(x) crece sin límites, lo cual se denota por:

limx→a

f ( x ) = +

si para cualquier número N > 0, existe una > 0 tal que:

f(x) > N siempre que 0 < x – a <

2º) Sea f una función que está definida en todo número de algún intervalo abierto

I que contenga a a, excepto posiblemente el mismo número a. A medida que x

se aproxima a a, f(x) decrece sin límites, lo cual se denota por:

limx→a

f ( x )= -

45


Si para cualquier número N < 0, existe una > 0 tal que:

f(x) < N siempre que 0 < x – a <

Ejemplos: El artificio que se utiliza es dividir numerador y denominador en la

mayor potencia de x

2x 2 - 5x limx→∞2 -

limx→∞ 5

a) limx→∞ 2x 2 – 5x =

limx→∞ x 2 x 2 = x = 2 – 0 = 2

3x2 + 7 3x 2 + 7 limx→∞3 +

limx→∞ 7 3 + 0 3

x2 x2 x2

5x - 3 limx→∞ 5 -

limx→∞ 3

b) limx→∞ 5x – 3 =

limx→∞ x 2 x 2 = x x 2 = 0 – 0 = 0 = 0

2x2 + 4 2x 2 + 4 limx→∞2 +

limx→∞ 4 2 + 0 2

x2 x2 x2

5x 2 - 3 limx→∞ 5 -

limx→∞ 3

c) limx→∞ 5x 2 – 3 =

limx→∞ x 2 x 2 = x 2 = 5 – 0 = 5 =

7x - 6 7x - 6 limx→∞ 7 -

limx→∞ 6 0 + 0 0

x2 x2 x x2

46


ASINTOTAS

DEFINICIÓN: Sea x0

un número real, +∞ ó −∞

, donde suponemos que la

curva y=f ( x )

tiene una rama infinita, entonces decimos que una recta r es una

asíntota de la curva y=f ( x )

cuando la distancia de la curva a la recta r tiende a

cero cuando x tiende a x0

, (donde x0

puede ser un número real, +∞ ó −∞

).

Teniendo en cuenta que una asíntota es, en particular, una recta, vamos a

distinguir tres tipos de asíntotas:

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

ASÍNTOTAS HORIZONTALES:

Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma

y=n. Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la

izquierda (cuando x→− ∞

) y otra por la derecha (cuando x→+∞

).

Se calculan de la siguiente forma:

Si

Límx→− ∞

f ( x )=a, entonces la recta

y=a es una asíntota horizontal (por la

izquierda) de la curva y=f ( x )

.

47


Si

Límx→ +∞

f ( x )=b, entonces la recta

y=b es una asíntota horizontal (por la derecha)

de la curva y=f ( x )

.

Para determinar la posición de la curva respecto de la asíntota se hallan los

siguientes límites:

Si Límx→±∞

[ f ( x )−n ]=0+

la curva está por encima de la asíntota y si tiende a 0−

,

estará por debajo.

Por tanto, podemos encontrarnos los siguientes casos:

1. Funciones que no tienen asíntotas horizontales.

Por ejemplo, la curva y=x3

no tiene asíntotas horizontales.

Límx→− ∞

f ( x )= Límx→− ∞

(x3 )=−∞ y

Límx→ +∞

f ( x )= Límx→ + ∞

(x3)=+ ∞

Veamos su gráfica:

2. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es sólo por un lado.

48


Como ejemplo tenemos la función f ( x )=e x

.

En este caso,

Límx→− ∞

f ( x )= Límx→− ∞

e x=e− ∞= 1e∞

=0

, por lo que la recta y=0

es una

asíntota horizontal de la función (por la izquierda)

Y,

Límx→ ∞

f ( x )= Límx→ ∞

ex=e∞=∞, por lo que, por la derecha no tenemos asíntota

horizontal.

Veamos su gráfica:

3. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es por los dos lados.

Por ejemplo, la función

f ( x )= xx−1

.

Límx→− ∞

f ( x )= Límx→− ∞

xx−1

= Límx→− ∞

xx=1

y

Límx→ ∞

f ( x )= Límx→ ∞

xx−1

= Límx→ ∞

xx=1

por lo que la recta y=1

es una asíntota horizontal de la función, tanto por la

izquierda como por la derecha.

Veamos su gráfica:

49


4. Funciones que tienen dos asíntotas horizontales distintas.

Por ejemplo, la función f ( x )=arc tg x

Límx→− ∞

f ( x )= Límx→− ∞

(arc tg x )=− π2

y

Límx→ ∞

f ( x )= Límx→ ∞

(arc tg x )= π2

Con lo que la recta

y=− π2

es una asíntota horizontal de la función (por la

izquierda) y la recta

y= π2

es una asíntota horizontal de la función (por la

derecha).

Veamos su gráfica:

50


ASÍNTOTAS VERTICALES:

Las asíntotas verticales de una función son rectas verticales de la forma x=x0

.

No hay restricciones en cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener

una función: hay funciones que no tienen asíntotas verticales, funciones que

tienen sólo una, funciones que tienen dos y hasta funciones que tienen infinitas.

Se calculan de la siguiente forma:

Definición: Decimos que la recta x=x0

es una asíntota vertical de la curva

y=f ( x ) cuando se verifica que:

Límx→ x0

−f ( x )=±∞

y/o

Límx→ x0

+f ( x )=±∞

En consecuencia, lo primero que debemos hacer cuando tengamos que calcular

las asíntotas verticales de una función es calcular su dominio.

51


Vamos a ver algunos casos interesantes que pueden darse:

1. Funciones que no tienen asíntotas verticales.

Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales (su dominio es ).

Por ejemplo, la funcióny=x3−4 x

Veamos su gráfica:

2. Funciones que tienen una asíntota vertical por los dos lados.


y= 1x−2

. Su dominio es R−{2 }

.

Límx→ 2−

f ( x )= Límx→ 2−

1x−2

=−∞

y

Límx→ 2+

f ( x )= Límx→ 2+

1x−2

=+ ∞

Por tanto, la recta x=2

es una asíntota vertical de la función.

52


Veamos su gráfica:


y= 1

x2

. Su dominio es R−{ 0 }

.

Límx→ 0−

f ( x )= Límx→ 0−

1

x2=+ ∞

y

Límx→ 0+

f ( x )=Límx→ 0+

1

x2=+ ∞


es una asíntota vertical de la función.

Veamos su gráfica:

53


3. Funciones que tienen una asíntota vertical sólo por un lado.

Por ejemplo, la función y=Ln x

. Su dominio es (0 , ∞ )

Límx→ 0−

f ( x )= Límx→ 0−

Ln x=∃

y

Límx→ 0+

f ( x )=Límx→ 0+

Ln x=−∞


es una asíntota vertical de la función

54


4. Funciones que tienen infinitas asíntotas verticales.

Hemos comentado antes que una función puede tener cualquier número de

asíntotas verticales. El caso posiblemente más curioso es el de una función que

tenga infinitas asíntotas de este tipo. El ejemplo más conocido es el de la

funciónf ( x )=tg x

.

La razón es la siguiente: Como

tg x= sen xcos x

,

Dom ( f )=R− {x∈R / cos x=0 }=R−{x∈R / x=(2 k+1 )⋅π2; k∈Z}

Veamos su gráfica:

55


ASÍNTOTAS OBLICUAS:

Las asíntotas oblicuas de una función son rectas de la forma y=m x+n

. Una

función puede tener, como máximo, dos asíntotas oblicuas distintas (una por la

izquierda y otra por la derecha). El cálculo de las mismas se realiza así:

Asíntota oblicua por la izquierda:

El valor de m

se halla resolviendo el siguiente límite:

m= Límx→ −∞

f (x )x

Si m=±∞

quiere decir que la curva no tiene asíntotas oblicuas.

Si m=0

se obtiene una asíntota horizontal, ya que las asíntotas horizontales se

pueden considerar como un caso particular de las asíntotas oblicuas.

Si m∈R

, se halla el valor de n

⇒

n= Lím

x→− ∞[ f ( x )−m x ]

Asíntota oblicua por la derecha:

El valor de m

se halla resolviendo el siguiente límite:

m= Límx→ + ∞

f ( x )x

Si m=±∞


Si m=0



Si m∈R

, se halla el valor de n

⇒

n= Lím

x→+ ∞[ f ( x )−m x ]

Podemos encontrarnos entonces los siguientes casos:

1. Funciones que no tienen asíntotas oblicuas.

56


Por ejemplo, la función y=x2

no tiene asíntotas oblicuas ni por la izquierda ni

por la derecha.

m= Límx→ −∞

f (x )x

= Límx→ − ∞

x2

x= Lím

x→ −∞x=−∞

⇒

La curva no tiene asíntota oblicua por la

izquierda.

m= Límx→ + ∞

f ( x )x

= Límx→ +∞

x2

x= Lím

x→ + ∞x =+∞

⇒

La curva no tiene asíntota oblicua por la

derecha.

Veamos su gráfica:

2. Funciones que tienen una asíntota oblicua por los dos lados.


f ( x )= x2

x−2 tiene una única asíntota oblicua, que

además lo es por los dos lados. Veamos cuál es exactamente dicha asíntota:

57


m= Límx→ + ∞

f ( x )x

= Límx→ +∞

x2

x2−2x= Lím

x→+ ∞

x2

x2=1

n= Límx→+ ∞

[ f ( x )−m x ]= Límx→ +∞

( x2

x−2− x)= Lím

x→ + ∞( x2−x2+2x

x−2 )= Límx→ + ∞( 2x

x−2 )=2

Por tanto, la recta y=x+2

es una asíntota oblicua por la derecha.

Si calculamos los límites cuando x→−∞

veríamos, igualmente, que la recta

y=x+2 es una asíntota oblicua por la izquierda.

Veamos su gráfica:

Para comprobar si la curva va por encima o por debajo de la asíntota se

resuelven los siguientes límites:

Si Límx→±∞

[ f ( x )−m x−n ]=0+

la curva va por encima de la asíntota .

58


Si Límx→±∞

[ f ( x )−m x−n ]=0−

la curva va por debajo de la asíntota .

3. Funciones que tienen una asíntota oblicua sólo por un lado.

Curioso caso, complicado de encontrar por otra parte. Un ejemplo puede ser la

función

f ( x )=x| x |x +

1x

Su gráfica es:

4. Funciones que tienen dos asíntotas oblicuas distintas.

Suelen encontrarse entre las funciones irracionales.

Por ejemplo, la función f ( x )=√ x2+1

. Esta función tiene dos asíntotas oblicuas,

a saber, la recta y=x

y la recta y=− x

.

Veamos su gráfica:

59


Casos raros:

a) La función

f ( x )= sen xx

corta infinitas veces a su asíntota tanto por un lado como

por el otro.

b) Una misma función puede tener asíntotas horizontales y oblicuas a la vez.

60


Por ejemplo, la función f ( x )=x

| x |x +

1x

(vista anteriormente).

En concreto esta función tiene los tres tipos de asíntotas.

Ejemplo: Determinar las asíntotas verticales y horizontales de la función:

f(x) = 2x + 1

x - 3

Para determinar las asíntotas verticales se busca el valor donde la función no está

definida, en este caso la función dada no está definida en x = 3, entonces para

ver si es una asíntota se calcula el límite:

limx→3+¿f (x )

¿ =

limx→3+¿f (x )

¿ 2x + 1 = 2. 3 + 1 = 7 = + por lo tanto x = 3 es una

x – 3 3 – 3 0

Asíntota vertical

Para determinar las asíntotas horizontales calculamos el límite:

limx→+∞

f ( x )=

limx→+∞

f ( x )2x + 1=

limx→+∞

f ( x )2x/x + 1/x =

limx→+∞

f ( x )2 + 1/x = 2 + 0 = 2 x

– 3 x/x- 3/x 1 – 3/x 1 – 0 1

61


Por lo tanto y = 2 es la asíntota horizontal.

EJERCICIOS RESUELTOS.

Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:

a ) y= x2+1x−3

Asíntotas verticales:

Si

Límx→ x0

−f ( x )=±∞

y/o

Límx→ x0

+f ( x )=±∞

la recta x=x0

es una asíntota vertical.

Una función racional tiende a más o menos infinito cuando el denominador es

igual a cero y el numerador es distinto de cero. Por tanto, para hallar las asíntotas

verticales de una función racional lo primero que hay que hacer es hallar los

valores de x que anulan el denominador, es decir, los polos de la función.

x−3=0 ⇒ x=3

Después, se estudia el límite de la función para esos valores de x que anulan el

denominador.

Límx→ 3

x2+1x−3

=

Límx→ 3−

x2+1x−3

=100− =−∞

y

Límx→ 3+

x2+1x−3

=100+ =+ ∞



Nota: Una función racional puede tener como máximo tantas asíntotas verticales

como raíces tenga el denominador. Y, la curva no puede cortar a una asíntota

vertical.

Asíntotas horizontales:

K0

62


Si

Límx→±∞

f (x )=n entonces la recta

y=n es una asíntota horizontal.

Una función racional tiene una asíntota horizontal si el grado del numerador es

menor o igual que el grado del denominador.

Límx→ ∞

x2+1x−3

= ∞∞ = Lím

x→ ∞

x2

x= Lím

x→ ∞x =+ ∞

⇒

la curva no tiene asíntotas horizontales.

En este caso conviene estudiar

Límx→ −∞

y

Límx→ +∞

para ver la tendencia de la función

cuando x tiende a más y menos infinito (y poder así dibujar las ramas infinitas

cuando x tiende a más y menos infinito).

Límx→ −∞

x2+1x−3

= ∞∞ = Lím

x→ −∞

x2

x= Lím

x→ −∞x=−∞

Nota: Este año no lo haremos, pero, si la curva tiene una asíntota horizontal

también es conveniente estudiar el

Límx→ −∞

f ( x )y el

Límx→ +∞

f ( x )y determinar si la curva

va por encima o por debajo de la asíntota (como se explica en la teoría).

Nota: Una función racional puede tener como máximo una asíntota horizontal. Y,

la curva puede cortar a la asíntota. Pero, en general, una función cualquiera puede

tener como máximo dos asíntotas horizontales; una cuando x→+∞

y otra cuando

x→− ∞.

Asíntotas oblicuas:

Las asíntotas oblicuas son rectas de la forma: y=m x+n

donde:

m= Límx→±∞

f ( x )x

; n= Límx→±∞

[ f ( x )−m x ]

Si m=±∞


63


Si m=0



Una función racional tiene una asíntota oblicua solamente en el caso en el que el

numerador sea de un grado más que el denominador.

Nota: Una función racional puede tener como máximo una asíntota oblicua. Y, la

curva puede cortar a la asíntota. Pero, en general, una función cualquiera puede

tener como máximo dos asíntotas oblicuas, una cuando x→+∞

y otra cuando

x→− ∞.

m= Límx→ ∞

x2+1x−3x

= Límx→ ∞

x2+1x⋅( x−3 )

= Límx→ ∞

x2+1x2−3 x

= ∞∞ = Lím

x→ ∞

x2

x2=1

n=Límx→∞ [ x2+1

x−3−1⋅x ]=Lím

x→∞ [x2+1−x⋅( x−3 )x−3 ]=Lím

x→∞(x2+1−x2+3 xx−3 )=

Límx→∞ (3x+1

x−3 )=Límx→∞ (3 xx )=3

Por tanto, la recta y=x+3


64


b ) y= x2+3x2−4


Hallamos los valores de x que anulan el denominador:

x2−4=0 ⇒ x=±2

Límx→ −2−

x2+3x2−4

= 70+ =+ ∞

y

Límx→ −2+

x2+3x2−4

= 70− =−∞

y=x+3

x=3

65


Cuando me acerco a -2 por la izquierda la curva tiende a +∞

y cuando me acerco

a -2 por la derecha la curva tiende a −∞

. Por tanto, la recta x=−2

es una asíntota

vertical y hay dos ramas infinitas.

Nota: Cuando me acerco a -2 por la izquierda x toma valores cercanos a -2 por la

izquierda y la expresión x2−4

tomará un valor cercano a cero, pero positivo:

(−2 ,000 .. .. 01 )2−4=0+

Nota: Se suele dar a x el valor -3 y evaluar así el signo de x2−4

más fácilmente,

signo { (−3 )2−4 }= signo { 5 } =(+) ⇒ 0+

Estudiamos, igualmente, el comportamiento de la función en las proximidades del

punto x=2

Límx→ 2−

x2+3x2−4

= 70− =−∞

y

Límx→ 2+

x2+3x2−4

= 70+ =+ ∞

La recta x=2

es una asíntota

vertical.

Como vemos, cuando me acerco a 2 por la izquierda la curva tiene una rama

infinita (tiende a −∞

) y cuando me acerco a 2 por la derecha la curva tiene otra

rama infinita (tiende a +∞

).


Límx→ ∞

x2+3x2−4

= Límx→ ∞

x2

x2=1 ⇒

La recta y=1

es una asíntota horizontal.


No tiene. (La asíntota horizontal es un caso particular de asíntota oblicua).

66


Nota: Una función racional tiene una asíntota oblicua solamente en el caso en el

que el numerador es de un grado más que el denominador.

c ) y=3 x2+2 x+3x2+1


Hallamos los valores de x que anulan el denominador:

x2+1=0 ⇒ x=±√−1 (no tiene solución)

No existe ningún valor x0

tal que

Límx→ x0

−f ( x )=±∞

y/o

Límx→ x0

+f ( x )=±∞

por lo tanto, la curva no tiene asíntotas verticales.


67


Límx→ ∞

3 x2+2 x+3x2+1

= Límx→ ∞

3 x2

x2=3 ⇒

La recta y=3

es una asíntota horizontal.


No tiene. (La asíntota horizontal es un caso particular de asíntota oblicua).

68


Resumen del comportamiento asintótico:

Hay asíntotas verticales cuando:

Dado un valor de x concreto, x0:

∃ Lím

x→ x0+f ( x )=Lím

x→ x0−f ( x )=±∞

∃ Lím

x→ x0+f ( x )≠Lím

x→ x0−f ( x )

, y uno de los dos no es finito.

La recta de ecuación es una asíntota vertical.

Hay asíntotas horizontales cuando:

∃ Lím

x→∞f ( x )=L1 , siendo L1un valor finito .

La ecuación de la asín-

tota horizontal será , y si L1 = 0, entonces es el eje de

abscisas.

∃ Lím

x→−∞f ( x )=L2 , siendo L2unvalor finito .

La ecuación de la

asíntota horizontal será , y si L2 = 0, entonces es el eje de

abscisas.

∃Límx→∞

f ( x )= Límx→−∞

f (x )=L , finito, en este caso habría una única

asíntota horizontal común a toda la gráfica .

69


Hay asíntotas oblicuas cuando:

∃ Lím

x→±∞

f ( x )x

=L≠0, en cuyo caso:

a= Lím

x→±∞

f ( x )x

=L

∃ Lím

x→∓∞(f ( x )−ax )=b

La ecuación de la asíntota será: y=ax+b

Un modo sencillo para su cálculo en funciones racionales es:

Hacemos la división de la fracción y el cociente es la fórmula de

la asíntota.

Ejemplo:

Esquemáticamente: (Para funciones racionales)

a) Una función tiene tantas asíntotas verticales como raíces reales distintas

tenga el denominador y que no pertenezcan al numerador.

b) Una función tiene una asíntota horizontal si el grado del numerador es

menor o igual que el del denominador.

c) Una función tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es uno

más que el del denominador.

70


CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea f : A⊆R→R

y sea x0∈ A

Decimos que f

es continua en un punto x0

si se verifican las 3 condiciones siguientes:

i)

∃ límx→ x0

f ( x )

(que la función tenga límite en el punto x0

), esto implica que existan los límites laterales y que sean iguales.

ii) ∃ f ( x0 )

, (que la función esté definida en el punto x0

).

iii)

límx→ x 0

f ( x )= f ( x0 )

(que el valor del límite coincida con el valor que toma la

función en el punto x0

).

71


Si no se verifica alguna de estas 3 condiciones decimos que la función no es

continua en el punto x0

, o bien, que la función tiene una discontinuidad en el

punto x0

.

Si nos fijamos en la tercera condición, aplicando la definición de límite, podemos

establecer que:

f es continua enx0

sí, y solo si ∀ ε>0 ∃ δ>0 / | x−x0|<δ y x∈ A : |f ( x )−f ( x0 )|<ε

Damos, a continuación, otra definición alternativa de continuidad de una función

en un punto:

Sea f : A⊆R→R

y sea x0∈ A

f es continua enx0

sí, y solo si,

límh→ 0

f ( x0+h)=f ( x0)

Si llamamos x=x0+h

nos queda la siguiente definición de continuidad de una función en un punto:

f es continua enx0

sí, y solo si,

límx→ x0

f ( x )= f ( x0)

Es esencial cuando la función no tiene límite, en este caso dicha función no se puede hacer continua.

1º) f(x) = 2x2 - 3x + 3 en x = 1

a) f(1) = 2 . 12 – 3. 1 + 3 = 2 – 3 + 3 = 2

b) limx→1

f ( x )=

limx→1 (2x2 – 3x + 3) = 2. 12 – 3. 1 + 3 = 2 – 3 + 3 = 2

c) f(1) = limx→1

f ( x )

2 = 2

Luego, como se cumplen las tres condiciones, la función dada es continua en x = 1.

72


2º) 2x + 1 si x 2

f(x) = en x = 2

3x – 1 si x = 2

a) f (2) = 3. 2 – 1 = 6 – 1 = 5

b) limx→2

f ( x )= lím

limx→2 (2x + 1) = 2. 2 + 1 = 5

c) f(2) =limx→2

f ( x )

5 = 5

Luego la función dada es continua en x = 2

3º) x + 1 si x < 3

f(x) = en x = 3

2x – 2 si x 3

a) f (3) = 2. 3 – 2 = 6 – 2 = 4

b)limx→3

f ( x ) = 4

Siempre que la función está definida para valores menores, menores o iguales,

mayores, mayores o iguales se deben tomar los límites laterales, es decir:

limx→3+¿ f (x )

¿=

limx→3+¿

¿ (2x – 2) = 2 . 3 – 2 = 4

limx→3−¿ f ( x )

¿=

limx→3−¿

¿ (x + 1) = 3 + 1 = 4

Como lím f(x) lim

x→3+¿ f (x )¿ =

limx→3−¿ f ( x )

¿ = 4 entonces

limx→3

f ( x )= 4

Si los límites laterales son distintos se dice que la función dada no tiene límite

c) f(3) = limx→3

f ( x )

73


4 = 4

Luego la función dada es continua en x = 3.

4º) x + 3 si x 1

f(x) = en x = 1

2x + 1 si x = 1

a) f(1) = 2 . 1 + 1 = 3

b)limx→1

f ( x )=

limx→1 (x + 3) = 1 + 3 = 4

c) f(1) limx→1

f ( x )

3 4

Luego f(x) es discontinua en x = 1. Como el límite existe entonces la

discontinuidad es removible y la función redefinida por:

x + 3 si x 1

f(x) =

4 si x = 1

es continua en x = 1.

5º) f(x) = x 2 – 4 en x = 2

x - 2

a) f(2) = 2 2 – 4 = 0 no existe

2 – 2 0

Luego la función dada es discontinua en x = 2. Para determinar el tipo de

discontinuidad buscamos el límite de la función:

74


b) limx→2

f ( x ) = lím

limx→2 x 2 – 4 =

limx→2 (x + 2) (x – 2) =

limx→2 (x + 2) = 4

x – 2 x – 2

Como el límite existe, la discontinuidad es removible y la función redefinida por:

x 2 - 4 si x 2

f(x) = x – 2

4 si x = 2

es continua en x = 2.

6º) x + 1 si x 2

f(x) = en x = 2

2x + 3 si x > 2

a) f(2) = 2 + 1 = 3

b) limx→2

f ( x ) = no existe

lim

x→2+¿ f ( x )¿ =

limx→2+¿

¿ (2x + 3) = 2 . 2 + 3 = 7

limx→2−¿ f ( x )

¿ =

limx→2−¿

¿ (x + 1) = 2 + 1 =

Como lim

x→2+¿ f ( x )¿ lím f(x)

limx→2−¿ f ( x )

¿ entonces

limx→2

f ( x )no existe

Luego la función dada es discontinua esencial en x = 2.

7º) f(x) = 1 en x = -1

x + 1

a) f(- 1) = 1 = 1 = no existe

- 1 + 1 0

75


Luego la función es discontinua en x = - 1. Para determinar el tipo de

discontinuidad, calculamos el límite de la función:

b) limx→−1

f ( x ) =

limx→−1 1 = 1 = no existe

x + 1 0

Luego, como no existe el límite, la función es discontinua esencial en x = - 1.

8º) Dada la función f ( x )=¿ {2 x−1 si x<−1¿ ¿¿¿

Estudia la continuidad de la función en el punto x=−1

Como en el punto x=−1

cambia la expresión analítica de la función, estudiamos

los límites laterales:

Límx→− 1−

f ( x )= Límx→− 1−

(2x−1 )=−3 ¿}¿¿ ⇒¿ Como

Límx→− 1−

f ( x )≠ Límx→− 1+

f ( x )

∃ Límx→ − 1

f ( x ) ⇒

⇒ f no es continua en el punto

x=−1

(ya que no se cumple la condición )

.

76


Continuidad lateral:

Sea f : A⊆R→R

y sea x0∈ A

f es continua por la izquierda en el punto

x0 si, y solo si,

límx→ x0

−f (x )=f ( x0)

De igual manera, f

es continua por la derecha en el punto x0

si, y solo si, límx→ x0

+f (x )= f ( x0 )

.

x0

f ( x0)

77


Evidentemente para que una función sea continua en un punto tiene que ser

continua por la derecha y por la izquierda en dicho punto.

x0

f ( x0).

78


TIPOS DE DISCONTINUIDAD

1) Discontinuidad evitable:

Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0

cuando el límite

de la función en ese punto existe y es finito pero no coincide con el valor que toma

la función en ese punto, o bien la función no está definida en ese punto.

Vemos ambas situaciones gráficamente:

Caso 1.

∃ límx→ x0

f ( x )

y es finito. ∃ f ( x0 )

, (la función esté definida en el punto x0

).

Pero,

límx→ x 0

f ( x )≠f ( x0 )

Límx→1

f (x )=2≠f (1)=3

79


Esta función tiene una discontinuidad evitable en el punto x=1

Caso 2.

∃ límx→ x0

f ( x )

y es finito.

∃ f ( x0 ), (la función no está definida en el punto

x0).

NOTA: Este tipo de discontinuidad se dice evitable porque se puede evitar

redefiniendo nuevamente la función, haciendo que el valor que tome la función en

el punto x0

coincida con el valor del límite de la función en ese punto.

2) Discontinuidad de salto (o de primera especie):

a) Con salto finito

Decimos que una función tiene una discontinuidad de salto (o de primera especie),

con salto finito, en un punto x0

cuando existen los límites laterales en ese punto y

80


son finitos pero no coinciden. Se llama salto a la diferencia, en valor absoluto,

entre los límites laterales.

Límx→2−

f ( x )=−1≠Límx→ 2+

f ( x )=1

b) Con salto infinito.

Decimos que una función tiene una discontinuidad de salto (o de primera especie),

con salto infinito, en un punto x0

cuando uno de los límites laterales sea finito y el

otro infinito, o bien, cuando ambos límites laterales sean infinitos.

Este tipo de discontinuidad viene marcada por la existencia de una asíntota vertical.

81


Límx→2−

f ( x )=−∞ y Límx→2+

f ( x )=+∞

3) Discontinuidad esencial (o de segunda especie):

Decimos que una función tiene una discontinuidad esencial (o de segunda

especie) en un punto x0

cuando uno o los dos límites laterales no existen.

Por ejemplo:

La función

f ( x )=sen πx

tiene una discontinuidad esencial en el punto x=0

82


CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN INTERVALO:

Se dice que una función y = f(x) es continua en un intervalo, si es continua en

cada punto perteneciente a ese intervalo

OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS

Si f y g son dos funciones continuas en los puntos de abscisa x = a, entonces:

a) f + g es continua en x = a

b) f - g es continua en x = a

c) f . g es continua en x = a

d) f / g es continua en x = a, suponiendo que g(a) 0

Demostración:

Demostramos la parte a)

83


Como f y g son dos funciones continuas en x = a, entonces por definición de continuidad se cumple que:

f(a) = limx→a

f ( x ) y g(a) =

limx→a

g ( x )

Por propiedades de límite se cumple que:

limx→a [f(x) + g(x)] =

limx→a

f ( x ) +

limx→a

g ( x )

= f(a) + g(a)

Por lo tanto se cumple la definición de continuidad para la función f + g.

CONTINUIDAD DE LA FUNCION COMPUESTA

Si limx→a

g ( x ) = b y si la función f es continua en b,

limx→a

( f g ) (x)= f(b)

O equivalentemente,

limx→a

( f g ) (x)= = f[

limx→a

g ( x )]

CONTINUIDAD A IZQUIERDA Y A DERECHA

1º) Una función y = f(x) es continua a la derecha de un punto de abscisa x = a si

se verifican las siguientes condiciones:

a) La función está definida en x = a, es decir, f(a) existe

b) La función tiene límite cuando x tiende a a por la derecha, es decir limx→a+

f (x )

existe

c) Los dos valores anteriores son iguales, es decir, f(a) = limx→a+

f (x )

84


2º) Una función y = f(x) es continua a la izquierda de un punto de abscisa x = a si

se verifican las siguientes condiciones:

a) La función está definida en x = a, es decir, f(a) existe

b) La función tiene límite cuando x tiende a a por la izquierda, es decir lim

x→a−¿ f ( x )¿

existe

c) Los dos valores anteriores son iguales, es decir, f(a) = limx→a−

f (x )

Se dice entonces que una función es continua en un punto de abscisa x = a, si

es continua por derecha y es continua por izquierda de ese punto.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Estudia la continuidad de la siguiente función en el punto x=−1

f ( x )=¿ {−x+1 si x≤−1 ¿ ¿¿¿

Para que una función f

sea continua en un punto x0

se tienen que verificar las 3 condiciones siguientes:

i)

∃ límx→ x0

f ( x )

(que la función tenga límite en el punto x0

), esto implica que existan los límites laterales y que sean iguales.

ii) ∃ f ( x0 )

, (que la función esté definida en el punto x0

).

85


iii)

límx→ x 0

f ( x )= f ( x0 )

(que el valor del límite coincida con el valor que toma la

función en el punto x0

).

Como en el punto x=−1

cambia la expresión analítica de la función, estudiamos

los límites laterales:

Límx→− 1−

f ( x )= Límx→− 1−

(−x+1 )=− (−1 )+1=2

Límx→− 1+

f ( x )= Límx→− 1+

(x2+x )= (−1 )2+(−1 )=1−1=0

Como

Límx→− 1−

f ( x )≠ Límx→− 1+

f ( x )

∃ Límx→ − 1

f ( x ) ⇒

f

no es continua en el punto

x=−1 (ya que no se cumple la condición i)

86


2. Estudia la continuidad de la siguiente función en el punto x=2

f ( x )=¿ {x2−1 si x≤2 ¿¿¿¿

Como en el punto x=2

cambia la expresión analítica de la función, tenemos que

estudiar los límites laterales:

Límx→ 2−

f ( x )= Límx→ 2−

(x2−1 )=3

Límx→ 2+

f ( x )= Límx→ 2+

(2 x−1 )=3

Como

Límx→ 2−

f ( x )= Límx→ 2+

f ( x )

∃ Límx→ 2

f (x )=f (2) ⇒ f

es continua en el punto x=2

87


3. Dada la función

f ( x )= x2+2 xx2−4

determina los puntos de discontinuidad y clasifícalos.

Una función racional esta definida ∀ x∈ℜ

excepto para aquellos valores de x

para los cuales se anula el denominador.

Por tanto, hallamos los valores de x para los cuales se anula el denominador:

x2−4=0 ⇒ x2=4 ⇒ x=±√4=±2

∃ f (2 ) y ∃ f (−2 ) (la función no está definida en los puntos

x=2 y x=−2, por

tanto no es continua en dichos puntos.

Para clasificar los puntos de discontinuidad tenemos que ver como se comporta la función en las proximidades de esos puntos. Esa información me la da el estudio del límite.

.

88


En x=−2

Límx→−2 ( x2+2 x

x2−4 )= 00

= Límx→−2

x⋅(x+2 )( x+2 )⋅( x−2 )

= Límx→−2

x( x−2 )

=−2−4

=12

Nota: También podíamos haber resuelto el límite aplicando la regla de L'Hôpital.

Como ∃ lím

x→−2

f ( x )

y es finito, y ∃ f (−2)

(la función no está definida en el punto x=−2

), se concluye que la función tiene una discontinuidad evitable en el punto x=−2

.

En x=2

Límx→ 2 ( x2+2 x

x2−4 )= K0

(estudiamos los límites laterales)

Límx→ 2−

( x2+2 xx2−4 )= 8

0−=−∞

y

Límx→ 2+

( x2+2 xx2−4 )= 8

0+ =+ ∞

Con lo que la función tiene una discontinuidad de salto (con salto infinito) en el

punto x=2

, ya que ambos límites laterales son infinitos.

89


4. Estudia la continuidad de la siguiente función, y redefínela, si es posible, de forma que sea continua en todo R.

f ( x )=¿ {x2−4x+2

si x≠−2 ¿¿¿¿

f (−2 )=3

Vemos el valor que toma la función en las proximidades del punto x=−2

Límx→−2

( x2−4x+2 )= 0

0= Lím

x→ −2

( x+2 )⋅( x−2 )( x+2 )

= Límx→−2

( x−2 )=−4

Como

Límx→−2

( x2−4x+2 )=−4≠f (−2 )=3

⇒ la función tiene una discontinuidad evitable

en el punto x=−2

.

o

90


Este tipo de discontinuidad se puede salvar asignando a f (−2 )

el valor del límite

de la función cuando x tiende hacia -2, es decir asignando a f (−2 )

el valor -4.

Redefinimos la función, de manera que sea continua en todo R.

f ( x )=¿ {x2−4x+2

si x≠−2 ¿¿¿¿

5.- Determina el valor del parámetro k

para que la siguiente función sea continua

en todo ℜ .

(Justifica la respuesta).

o

.

91


f ( x )=¿ {x2−1 si x≤−1 ¿ ¿¿¿

Representa gráficamente la función para el valor de k

que has obtenido.

Solución:

En (−∞ ,−1 )

es una función polinómica (parábola), por tanto es continua en este intervalo.

En (−1 , ∞ )

es una línea recta de pendiente k

, por tanto también es continua en este intervalo.

El único problema de continuidad se presenta en el punto x=−1

, donde cambia la expresión analítica de la función.

Para que f

sea continua en el punto x=−1

se tiene que cumplir que:

Límx→− 1−

f ( x )= Límx→− 1+

f ( x )

Límx→− 1−

f (x )= Límx→− 1−

(x2−1 )=0 ¿}¿¿¿ ⇒

0=−k+1 ⇒ k=1

92


LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

De manera General los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un

límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar

ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas

operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar,

multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

93


En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando

un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe

aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas

operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número,

factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

Los siguientes límites son considerados como CASOS NOTABLES

1)Limx→0

senxx

=1

2)Limx→0

xsenx

=1

3)Limx→0

senx=0

4)Limx→0

senKxKx

=1

5)Limx→0

cos x=1

6)Limx→0

1−cos xx

=0

7)Limx→0

1−cos x

x2=1

2

8)Limx→0

tan xx

=1

9)Limx→0

xtan x

=1

10)Limx→0

tan KxKx

=1

Algunas IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS más usadas son:

Identidades Básicas

senx= 1cos ecx

cos x= 1sec x

tan x= 1cot anx

tan x= senxcos x

cot anx=cos xsenx

Identidades Fundamentales de la Trigonometría

sen2x+cos2x=1 1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x

94


Identidades de la suma de ángulos

sen(xy)=senx cosycosx seny cos ( x± y )=cosxcosy∓senxseny

sen2 x=1−cos2 x2

cos2 x=1+cos2x2

Identidades de ángulos Doble

sen2x=2senxcosx cos2x=cos2x-sen2x

Identidades de ángulos medio

sen( x /2)=±√ 1−cos x2

cos ( x /2)=±√ 1+cos x2

A continuación algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular.

1.

limx→0

sen2 x3 x

= sen03(0 )

=00

limx→0

sen2 x3 x

=13

limx→0

sen2 xx

=13

2 limx→ 0

sen2 x2x

=23

2.

limx→0

1−cos xtan x−senx

=limx→0

1−cos xsenxcos x

−senx=limx→0

(1−cos x ) cos xsenx−senx cos x

=limx→0

(1−cos x ) cos xsenx (1−cos x )

=

limx→0

cos xsenx

=cos0sen 0

=10=∞

3.

limx→0

tan2 x1−cos x

=tan201−cos 0

= 0(1−1)

=00

limx→0

tan2 x1−cos x

=limx→0

(senxcos x )2

1−cos x=limx→ 0

sen2 x(1−cos x )cos2 x

=limx→ 0

1−cos2 x(1−cos x ) cos2 x

=

limx→0

(1−cos x ) (1+cos x )(1−cos x )cos2 x

=limx→0

(1+cos x )cos2 x

=(1+cos0 )cos2 0

=1+112

=2

95


4.

limx→π

2

cos xcot anx

=cos

π2

cot anπ2

=00

limx→π

2

cos xcos xsenx

= limx→π

2

cos xsenxcos x

= limx→ π

2

senx=sen π2=1

5.

limx→π

4

1− tan x2(1− tan2 x )

=1−tan

π4

2(1−tan2 π4)= 1−1

2(1−1)=0

0

limx→0

1−cos xtan x−senx

=limx→0

1−cos xsenxcos x

−senx=limx→0

(1−cos x ) cos xsenx−senx cos x

=limx→0

(1−cos x ) cos xsenx (1−cos x )

=

limx→0

cos xsenx

=cos0sen 0

=10=∞

6.

limx→0

tan2 x1−cos x

=tan201−cos 0

= 0(1−1)

=00

limx→0

tan2 x1−cos x

=limx→0

(senxcos x )2

1−cos x=limx→ 0

sen2 x(1−cos x )cos2 x

=limx→ 0

1−cos2 x(1−cos x ) cos2 x

¿ limx→0

(1−cos x ) (1+cos x )(1−cos x )cos2 x

=limx→0

(1+cos x )cos2x

=(1+cos0 )cos2 0

=1+112

=2

DERIVADA DE UNA FUNCION

96


Dada la función y = f(x) su derivada, simbolizada por y’ se define como:

y’ = lím y = lím f(x + x) – f(x)

x 0 x x 0 x

Donde x es el incremento de la variable independiente y y es el

incremento de la función.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

La derivada de una función en un punto se interpreta geométricamente como la

pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

97


CALCULO DE DERIVADAS

REGLAS BASICAS:

Derivada de una constante: y=k⇒ y '=0

Derivada de y=x : y=x⇒ y '=1

Derivada de la suma (resta): y=f ( x )±g ( x )⇒ y '=f '( x )±g ' ( x )

Derivada del producto: y=f ( x )⋅g (x )⇒ y '=f '⋅g+ f⋅g '

Derivada del cociente: y=

f (x )g( x )

⇒ y '= f '⋅g−f⋅g 'g2

DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:

Potencias: y=xn⇒ y '=n⋅xn−1

y= [ f ( x )]n⇒ y '=n⋅[ f ( x ) ]n−1⋅f '( x )

Raíz cuadrada:y=√x⇒ y '= 1

2√x

y=√ f ( x )⇒ y '= 12√ f ( x )

⋅f ' ( x )

Inversa:y=1

x⇒ y '=−1

x2

y= 1f ( x )

⇒ y '= −1

[ f ( x )]2⋅f ' ( x )=

− f ' ( x )

[ f ( x )]2

Exponenciales: y=ex⇒ y '=ex

y=e f (x )⇒ y '=e f (x )⋅f ' ( x )y=ax⇒ y '=ax⋅Lay=af ( x )⇒ y '=a f ( x )⋅f '( x )⋅La

Logaritmos: y=Lx⇒ y '= 1

x

98


y=L [ f ( x )]⇒ y '= 1f ( x )

⋅f ' ( x )=f ' ( x )f ( x )

y=loga x⇒ y '=1x⋅ 1La

y=loga f ( x )⇒ y '= 1f ( x )

⋅ 1La

⋅f ' ( x )=f ' (x )f (x )

⋅ 1La

Funciones trigonométricas:

y=senx⇒ y '=cos xy=cos x⇒ y '=−senxy=tgx⇒ y '=sec2 xy=sen f ( x )⇒ y '=cos f ( x )⋅f '( x )y=cos f (x )⇒ y '=−sen f (x )⋅f ' (x )y=tg f ( x )⇒ y '=sec2 f ( x )⋅f ' ( x )

Inversas de las funciones trigonométricas:

y=arcsenx⇒ y '= 1

√1−x2

y=arccos x⇒ y '= −1

√1−x2

y=arctgx⇒ y '= 1

1+x2

y=arcsenf ( x )⇒ y '= 1

√1−[ f ( x )]2⋅f ' ( x )=

f ' ( x )

√1−[ f (x )]2

y=arccos f ( x )⇒ y '= −1

√1−[ f ( x )]2⋅f ' ( x )=

−f ' ( x )

√1−[ f (x )]2

y=arctgf ( x )⇒ y '= 1

1+[ f ( x )]2⋅f ' ( x )=

f ' (x )

1+ [ f ( x ) ]2

99


ALGUNOS EJEMPLOS

1. y=3⋅senx+√x− 1

x3+ex+√5

La derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las

derivadas, luego basta con derivar cada término. Aquí, hay que tener en cuenta:

a) 3⋅senx es una constante (3) por una función, luego su derivada será la

constante, 3, por la derivada de senx , que es cos x . En consecuencia, la

derivada de 3⋅senx es 3⋅cos x .

b)

1

x3=x−3

, luego para derivar

1

x3basta con aplicar la derivada de una

potencia; así, obtenemos que la derivada de

1

x3 es

(−3)⋅x−4=−3

x4.

c) Las derivadas de √ x y de exvienen en la lista.

d) √5 es una constante (es un número, no depende de ) luego su derivada,

según la primera regla básica, es 0. En consecuencia, la derivada pedida es

y '=3cos x+ 12√x

+ 3

x 4+ex

2. y=ex⋅cos x+

3√ x⋅senx2

Para derivar ex⋅cos x , aplicamos la derivada del producto (la cuarta regla básica),

tomando f ( x )=ex , g (x )=cos x . Para derivar

3√x⋅senx2 , observamos que

3√x⋅senx2

=12⋅3√x⋅senx

, es decir, se trata de una constante (1/2) por una función (el

producto de 3√ x y senx ). En consecuencia, su derivada será la constante (1/2) por

la derivada de ese producto; para calcular esta última derivada, aplicamos una vez

100


más la derivada del producto tomando f ( x )=3√ x y g( x )=senx . Aquí debemos

observar que f ( x )=3√ x=x1/3

, luego para derivar f ( x ) aplicaremos la regla de la

potencia, es decir,

f ' ( x )=1/3⋅x−2 /3= 1

3⋅3√ x2

. Reuniendo todo esto, tenemos que la derivada de la función original es:

y '=ex cos x−ex senx+ 12⋅( senx3⋅

3√x2+ 3√ x⋅cos x)

3. y= x

arctgx

Para derivar esta función, aplicamos la derivada del cociente (quinta regla básica)

tomando f ( x )=x , g( x )=arctg x . En consecuencia, obtenemos:

y '=1⋅arctgx−x⋅ 1

1+x2

(arctgx )2=

arctgx1

− x1+x2

(arctgx )2=

(1+x2) arctgx−x1+x2

(arctgx )2=

(1+x2)arctgx−x(1+x2 ) (arctgx )2

Observemos que en el numerador hemos tenido que operar (restar) dos

fracciones, reduciendo previamente a común denominador.

4. y=arcsen√x

Se trata de derivar y=arcsenf ( x ), donde f ( x )=√ x . En consecuencia, aplicamos la regla:

y '= 1/2√x√1−(√x )2

= 12√x⋅√1−x

= 12√x⋅(1−x )

101


Observemos que √ x⋅√1−x=√ x⋅(1−x ) por tratarse de un producto de radicales del mismo índice.

5. y=L (arctg x3 )

Se trata de derivar y=Lf ( x ), donde f ( x )=arctg x3. En consecuencia, aplicamos

la regla, y representamos por (arctg x3 ) ' la derivada de arctg x3. Por tanto:

y '=(arctg x3) 'arctg x3

Ahora, para calcular la derivada de arctg x3, aplicamos la regla del arco tangente

(la última de “inversas de funciones trigonométricas”), es decir

y=arctgf ( x )⇒ y '= 1

1+[ f ( x )]2⋅f ' ( x )=

f ' (x )

1+ [ f ( x ) ]2

donde ahora f ( x )=x3. En consecuencia,

(arctg x3 ) '= 3x2

1+(x3 )2= 3x2

1+x6

Finalmente, la derivada de la función pedida es:

y '=

3 x2

1+x6

arctg x3= 3 x2

(1+ x6 )arctg x3

(Observación: arctg x3≠(arctg x )3 ; en el primer caso el arco tangente se aplica al

resultado de elevar x al cubo, y en el segundo, al valor del arco tangente de x )

102


EJERCICIOS

1.- Deriva las siguientes funciones:

a) y=x3 (2x−1)5

Resolución:

y=x3 (2x−1)5

y '=3 x2(2 x−1)5+5(2 x−1)4 .2 . x3=3 x2(2 x−1)5+10 x3 (2 x−1)4

b) y= 2 x+1

2 x−1

Resolución:

y= 2 x+12 x−1

y '=2(2x−1)−2(2 x+1)

(2x−1)2=4 x−2−4 x−2

(2x−1 )2= −4(2x−1 )2

c) y= 2

x3+x=2( x3+x )−1

Resolución:

y= 2

x3+x=2( x3+x )−1

y '=−2( x3+ x )−2(3 x2+1 )=−2(3x2+1)( x3+ x )2

2.- Halla las derivadas de las funciones siguientes:

103


f ( x )=L( 4 x+1 ) , y g( x )=cos(3 x+1)2 h( x )=senx cos 2x

Resolución:

f ( x )=L( 4 x+1 )

f '( x )= 44 x+1

g( x )=cos(3 x+1)2

g' ( x )=−sen (3 x+1)2 . [(3 x+1)2 ]'=−sen (3 x+1 )2 .2(3 x+1) . 3=−6 (3x+1 )sen(3 x+1)2

h( x )=senx cos 2x

h' ( x )=cos xcos 2x+(−sen2 x . 2)senx=cos x cos2x−2 sen2 xsenx

104


Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.

1. f ( x )=log2(x4−4 x2¿)¿ Respuesta:4 x3−8 x

x4−4 x2 log2e

2. f ( x )=ln (2 x2¿−x )¿

3. f ( x )=tan (ln x2)

4. f ( x )=ln (sen x )+ ln¿¿¿

5. f ( x )=ln ( tan23 x ) Respuesta: 6 sec2 3 xtan 3 x

6. f ( x )=arc cos (ln x2)

7. 10. f ( x )=√1+ ln3 x Respuesta: 1

2x √1+ ln 3x

8. f ( x )=ex2+3x−8

105


9. 6.f ( x )=ecos x3

Respuesta: −3 x2 sen x3 ecosx3

GLOSARIO

1. Álgebra: Es una rama de la matemática que emplea números, letras y

signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra

entidad matemática.

2. Cartesiano: Es el plano que está formado por dos rectas numéricas, una

horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. Tiene como finalidad

describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus

coordenadas o pares ordenados.

3. Cociente: Es el resultado que se obtiene al dividir una cantidad por otra, y

que expresa cuantas veces está contenido el divisor en el dividendo.

4. Constante: Una constante es una cantidad que tiene un valor fijo en un

determinado cálculo, proceso o ecuación. Esto quiere decir que la

constante es un valor permanente que no puede modificarse.

5. Continuidad: Una función continua es aquella para la cual intuitivamente,

para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los

valores de la función. Si la función no es continua se dice que es

discontinua.

6. Cosecante: Es la razón trigonométrica inversa del seno.

7. Coseno: En trigonometría el coseno de un ángulo en un triángulo

rectángulo, e define como la razón entre el cateto adyacente a ese ángulo y

la hipotenusa.

8. Cotangente: Es la razón trigonométrica inversa de la tangente.

106


9. Derivada: La derivada de una función es una medida de la rapidez con la

que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable

independiente.

10.Diferencial: Se refiere a un cambio en la linearización de una función.

11.Dominio: El dominio de una función es el conjunto de existencia de ella

misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. El

conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta.

12.Exponencial: Es la función donde e es el número de Euler. Esta función

tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la

particularidad de que su derivada es la misma función.

13.Exponente: Se refiere al número de veces que se debe multiplicar por sí

misma la base de una potencia.

14.Factorización: La factorización de un polinomio es el mecanismo que

permite expresar a ese polinomio como el producto de dos o más

polinomios.

15.Función: Es una asociación que se establece entre los elementos de un

conjunto A y los de un conjunto B, de manera que: a cada elemento del

conjunto A se le asocia un solo elemento del conjunto B

16. Indeterminación: Se refiere a que la aplicación de las propiedades de los

límites no son válidas, sin embargo no significa que el límite no exista o no

se pueda determinar.

17. Infinito: Cantidad sin límite, la misma puede ser numerable o no

numerable. Es un signo en forma de ocho tendido que sirve para expresar

un valor mayor que cualquier cantidad asignable.

18. Integral: La integral es la operación inversa respecto de la derivada. La

integral calcula el área debajo de una curva.

19.Intervalo: Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos

entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo. Es un

conjunto comprendido entre dos valores.

107


20.Límite: El límite describe la tendencia de una sucesión o una función, a

medida que los parámetros de esa función se acercan a determinado valor.

21.Logaritmo: El logaritmo de un número en una base determinada, es el

exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.

22.Ordenada: Segunda componente del par ordenado (x,y) que determinan un

punto del plano en un sistema de coordenadas cartesianas.

23.Parábola: Se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano

que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.

24.Pi: Número irracional que corresponde a la razón entre la longitud de la

circunferencia y su diámetro.

25.Polinomio: expresión algebraica compuesta de dos o más términos

llamados monomios unidos por los signos más o menos.

26.Producto: Es el resultado que se obtiene de multiplicar dos o más

cantidades.

27.Q: Símbolo con el que se representa el conjunto de los números racionales.

28.Raíz: Cantidad que ha de multiplicarse por sí misma una o más veces para

obtener un número determinado.

29.Rango: Es el conjunto de todos los valores de salida de una función.

30.Reales: Es el conjunto de números resultante de la unión de los racionales

con los irracionales.

31.Secante: Es la razón trigonométrica inversa del coseno.

32.Seno: En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo, se

define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

33.Subconjunto: Conjunto que forma parte de otro conjunto dado.

34.Suma: Consiste en añadir dos números o más para obtener una cantidad

total.

35.Tangente: En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo

rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente.

36.Teorema: Se llama Teorema a toda afirmación matemática importante que

es demostrada de manera rigurosa, irrefutable. Un teorema es una

108


afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal.

Demostrar teoremas es un asunto central en la matemática.

37.Variable: Una variable es la expresión simbólica representativa de un

elemento no especificado, cuyo valor puede ser modificado.

SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA :

Signos de OPERACIONES:

Operaciones Símbolos ¿Cómo se lee?Adición a + b “a más b”Sustracción a - b “a menos b”Multiplicación a.b “a por b”División a : b “a dividido por b”Potenciación an “a elevado a n”

”enésima potencia de a”Radicación “raíz enésima de a”

Logaritmación a

“logarítmo de a en base b”

Factorial n ! “ ene factorial”Porcentaje a% “a por ciento”

Signos de Relaciones:

Relaciones Símbolos ¿Cómo se lee?Igualdad a = b “ a es igual a b”Desigualdad a b “a es distinto de b”Desigualdad a > b “a es mayor que b”Desigualdad a < b “a es menor que b”Desigualdad o igualdad

a ≥ b “a es mayor o igual que b”

Desigualdad o igualdad

a ≤ b “a es menor o igual que b”

109


Congruencia a b (módulo n) “a es congruente con b módulo n”

Letras Griegas:

¿Cómo se lee” Letras

Minúsculas griegas \alpha, \beta, \gamma, \delta,

\epsilon, \zeta, \eta, \theta,

\iota, \kappa, \lambda, \mu,

\nu, \xi, \pi, \rho,

\sigma, \tau, \upsilon, \phi,

\chi, \psi, \omega.

Mayúsculas griegas \Gamma, \Delta, \Theta, \Lambda,

\Xi, \Pi, \Sigma, \Upsilon,

\Phi, \Psi, \Omega.

110


CONCLUSIONES

Hemos introducido el concepto de función real de variable real y,

posteriormente, hemos proporcionado las definiciones de dominio y recorrido

de una función. Tanto la representación tabular (en forma de tabla de valores)

como la gráfica han sido introducidas haciendo hincapié en la segunda que se

utiliza de forma común en todos los ejemplos aplicando en el pequeño

programa de GeoGebra.

La importancia que tiene al estudiar derivados y límites, nos permite conocer

cómo se ejecuta todos sus pasos; es decir que es de buena importancia

resaltar que este tema lo estudiábamos cursando la etapa

de educación básica, para este entonces hay personas que tienen años sin

estudiar, y como seres humanos debemos repasar y practicar

la matemática para un mejor futuro.

Una de las propiedades más útiles que existe para la derivación de funciones

es que la derivada de una función exponencial es la función exponencial en sí

multiplicada por la derivada de sus exponentes.

La derivada es uno de los conceptos más importantes en matemáticas. La

derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta

tangente a la gráfica de la función en un punto.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida

que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de

valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto

http://www.monografias.com/Matematicas/index.shtml

http://www.monografias.com/Educacion/index.shtml

111


punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en

dicho punto.

Se concluye este trabajo dejando claro la importancia de los temas

plasmados en nuestro trabajo de investigación aportando grandemente a la

lógica macetica en el pensamiento de los estudiantes de matemáticas I de la

carrera de ingeniería civil.

BIBLIOGRAFÍA

1. J. M. Ortega (1990): “Introducción al Análisis Matemático”, Manuales de la

Universidad Autónoma de Barcelona, Bellaterra.

2. V.A. Kudryasvtsev and B.P. Demidovich (1981): “A brief course of Higher

Mathematics”, Mir Publishers, Moscú, p. 79-107.

3. T.A. Apostol (1981): “Calculus: Cálculo con funciones de una variable, con una

introducción al álgebra lineal”, Reverté, Barcelona, p. 162-165.

4. M. R. Spiegel (1970): “Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas”, Serie de

Compendios Schaum, McGraw-Hill, Mexico, p. 11-20, 23-25, 26-31.

5. R. Calm, N. Coll, y M.R. Estela (1992): “Problemas de cálculo”, Micromar,

Barcelona, p. 66-106. [6] R. Courant and F. John (1976): “Introducción al

Cálculo y al Análisis Matemático”, Limusa, México, p. 41-78.

6. F. Udina (2000): “Las funciones de una variable”, Ediuoc, Barcelona, p. 7-49.

7. B. Demidovich (1978): “Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático”,

Paraninfo, Madrid, p. 7- 19.

8. M.R. Estela, E. Cuello y A.Carmona (2000): “Cálculo: Problemas y soluciones”,

Edicions UPC, Barcelona, p. 33-46. [10] T.M. Apostol (1979): “Análisis

Matemático”, Reverté, Barcelona, p. 41-45.

9. . Eduardo Espinoza ramos : “Análisis Matemático I”, pag.226-240

10. Eduardo Espinoza ramos : “Análisis Matemático I”, pag.356-398

112


11. Eduardo Espinoza ramos : “Análisis Matemático I”, pag.524-549

ENLACES

1. http://www.satd.uma.es/a_valverde/aula-calculo/calculo.html Excelente aula

virtual con apuntes muy completos de funciones escalares y vectoriales (C5).

2. http://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/cie_mat_calculo/apuntes.html El capítulo

1 de esta serie de apuntes contiene una parte dedicada a las funciones reales

de variable real y a sus propiedades.

3. http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml Monografía sobre

funciones reales de variable real.

4. http://www.ciudadfutura.com/matematicas/analisis/f_real_1var.html Resumen

conciso de las propiedades de las funciones reales de variable real.

5. http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/ Apuntes sobre

funciones. [W6] http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/problemas/

Problemas y ejercicios sobre funciones.

6. http://www.planetmath.org/encyclopedia/Function.html Página web de

PlanetMath.org dedicada a la definición de función, describe el dominio y el

recorrido.

7. http://www.lafacu.com/apuntes/matematica/deri_limi/default.htm Apuntes de

cálculo con funciones.

113


8. http://www.lafacu.com/apuntes/matematica/calculo_1/default.htm Excelente

resumen de cálculo (límites, derivación, integración, etc) con funciones.

trabajo de matematica para imprimir hoy.docx

Documents