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Elasticidad de Elasticidad de Materiales SólidosMateriales Sólidos
Torsión
introducciónEn ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él.El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos: 1-Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. 2-Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.
Contenido
•Sección 1 - Deformaciones en un árbol circular
•Sección 2 - Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión
•Sección 3 - Ejes estáticamente indeterminados
•Sección 4 – Relación entre torsor, potencia y velocidad angular
•Sección 5 - Ecuaciones empleadas en barras no circulares
•Sección 6 - Resumen de ecuaciones
Deformaciones en un árbol circular
Un momento de torsión o par torsor es aquel que tiende a hacer girar un miembro respecto a su eje longitudinal.
Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes de transmisión, utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria.
Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de torsión se aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como el hule, por ejemplo.
Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se mantienen como tales, experimentando una rotación en el plano del momento. Las líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectan siempre con el mismo ángulo a los círculos transversales.
Extraeremos a continuación una porción cilíndrica y consideraremos un pequeño elemento cuadrado que se encuentre en la superficie de dicha porción. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal como se muestra.
Observemos la figura.
Si el ángulo es muy pequeño, se puede establecer:
LAA '
Donde AA’ es el arco que recorre el punto A al deformarse la barra debido a torsión, θ es el ángulo de giro (en radianes) entre dos secciones transversales separadas una longitud L, ρ es el radio de la porción cilíndrica considerada y es la deformación cortante, en radianes.
Ley de Hooke para Torsión
De forma similar al caso de esfuerzos normales, existe también una relación proporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en el rango elástico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones.
Matemáticamente, podemos expresar dicha relación como sigue:
Donde “”es el esfuerzo cortante, “” es la deformación cortante y “G” es el módulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de elasticidad (“E”) de la siguiente forma:
Siendo “” el módulo de Poisson.
G
)1(2
EG
Para realizar la deducción de una expresión que nos permita hallar la distribución de esfuerzos cortantes en una sección transversal debido a un momento torsor aplicado en ella, asumiremos lo siguiente:
- Las secciones circulares permanecen como tales.
- Las secciones transversales se mantienen planas, sin alabearse.
- Las líneas radiales permanecen rectas aún después de la deformación.
- El eje está sometido a la acción de pares torsores.
- Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material.
Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión
Si recordamos la relación de deformación establecida anteriormente:
Notaremos que para una deformación dada, los valores de “” y “L” se mantienen constates, de forma que “” varía linealmente con “”.
Podemos establecer entonces el valor máximo de la deformación “” :
Luego:
Y, finalmente:
L
Lr max
Lr
max
r
max
Recordando que la deformación se realiza en el rango elástico del material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresión y nos queda:
Aplicar la primera condición de equilibrio nos aportará una información que ya conocemos: la variación del esfuerzo cortante es lineal respecto al radio de la sección. Estudiaremos entonces que sucede con la segunda condición de equilibrio:
Sacando de la integral los términos constantes, nos queda:
r
max
dA
rT
max
dAr
T 2max
Donde la integral resultante es una propiedad de área conocida como momento polar de inercia (“J”). Podemos rescribir entonces la expresión de la forma:
Recordando que anteriormente se estableció que:
Sustituimos esto en la expresión anterior y nos queda:
Jr
T max
max
r
JT
)(21 4
142 rrJ
Para un árbol circular hueco el momento polar de inercia J es:
)(32
41
42 DDJ
Finalmente, obtenemos lo siguiente:
J
T
Nótese que, para barras de sección circular, la variación del esfuerzo cortante es lineal respecto al radio de la sección.
Por otro lado, como se estudió en el capítulo anterior, el esfuerzo cortante debe actuar también en otro plano perpendicular al de la sección transversal para conseguir el equilibrio del elemento diferencial.
De forma similar al caso de carga axial, podemos utilizar expresiones referidas a estas deformaciones para resolver casos estáticamente indeterminados.
Nos interesa entonces determinar una expresión que relacione el par torsor “T” con el ángulo de giro entre secciones transversales “”.
Ejes estáticamente indeterminados
Como observamos anteriormente, un par torsor ejercido sobre una barra produce una rotación relativa entre secciones transversales que se encuentren separadas por una longitud “L”.
Juntemos entonces las expresiones que conocemos. En primer lugar, encontramos que podemos relacionar el ángulo “” con la deformación cortante “” mediante la expresión:
En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke:
Finalmente, la ecuación que relaciona el par torsor con el esfuerzo cortante, determinada recientemente:
Lr
G
J
rT
Si sustituimos las expresiones resultantes del despeje de “” y “” en la ley de Hooke, obtendremos:
Finalmente, para barras de sección circular:
Esta ecuación resulta de gran utilidad en casos donde las condiciones de estática resultan insuficientes para determinar las cargas en distintos elementos de un sistema sometido a pares de torsión.
L
rG
J
rT
GJ
LT
Observemos el caso mostrado en la figura.
En ella se presentan dos barras solidarias, de sección transversal circular, empotradas en sus extremos y sometidas a un par torsor “T” en su unión.
La condición de equilibrio que puede establecerse es la siguiente:
0 TTT CA
Notemos que tenemos una ecuación y dos incógnitas (“TA” y “TC”). Un segunda relación se obtiene de las deformaciones debido a los pares torsores. Para poder establecer esta relación, es necesario primero definir los pares torsores al que están sometidos los segmentos “AB” y “BC”.
En primer lugar, estudiemos el tramo AB.
El torsor aplicado sobre este segmento se define realizando un corte en la estructura justo antes del punto donde se aplica el siguiente torsor. Queda entonces:
0 ABA TT
Luego, aplicamos un procedimiento similar para el siguiente tramo. Al realizar un corte justo antes del punto de aplicación del siguiente torsor, obtenemos:
0 BCA TTT
ABA TT
ABC TTT
La condición de deformación que debe cumplirse es la siguiente:
Donde “B/A” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “A” y “B/C” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “C”. Nótese que deben ser iguales; entonces:
Sustituyendo “TAB” y “TBC”, obtenemos la segunda ecuación que necesitamos para resolver el sistema:
CB
AB
BCBC
BCBC
ABAB
ABAB
GJ
LT
GJ
LT
BCBC
BCA
ABAB
ABA
GJ
LTT
GJ
LT
)()(
Relación entre torsor, potencia y velocidad angular
Como se mencionó al principio de este capítulo, el interés principal de estudiar el fenómeno de torsión sobre barras circulares reside en que éstas se usan ampliamente como ejes para comunicar potencia, bien sea en conjunto con poleas y correas ó con engranajes.
El trabajo mecánico desarrollado por fuerzas F actuando tangencialmente a los elementos dl del árbol circular de diámetro D=2r es:
FDdrdFFdldW )2()(2
La potencia mecánica P se define como:
dtdW
P
Entonces de la relación anterior tenemos:
T
dtd
FDdtdW
P
De donde: TP T= par torsor = velocidad angular
En el diseño de estos sistemas, emplearemos dos relaciones principalmente.
La primera, es la expresión matemática que indica la potencia que comunica un eje ó una polea:
Donde P es la potencia transmitida, “” es la velocidad angular y “T” el torsor al que está sometido el eje, la polea ó el engranaje.
También se utilizará la relación de transmisión (“m”), que se define como la proporción de velocidad ó torque que existe entre el sistema conductor y el conducido:
La relación de transmisión siempre debe ser mayor que la unidad. Como la mayoría de los sistemas de transmisión son reductores (es decir, reducen la velocidad y aumentan el torque), se ha expresado de la forma mostrada. En caso contrario, deben invertirse los términos.
TP
conductor
conducido
conducido
conductor
T
Tm
La polea de la figura se une al eje en el que va montada por medio de una chaveta de 1x1x6 cm. El eje tiene un diámetro de 5 cm y la polea transmite una potencia de 15 HP, girando a 120 rpm. Hallar el esfuerzo de cortadura en la chaveta
wattHPwatt
HPP 5,11032)15,735
(15
sradsrev
radrev/56,12)
60min1
)(12(
min1120
SOLUCIÓN:
La potencia y la velocidad angular la debemos expresar en unidades que nos permitan simplificaciones
El momento torsor es: NmsradsNmP
T 38,878/56,12/5,11032
Debido a que el sistema está en equilibrio:
NmNm
rT
FFrT 6,35117025,094,877
Esta fuerza actuando sobre la sección recta de la chaveta el valor del esfuerzo en esta sección
La sección recta de la chaveta tiene un área de:
242 1066)6(1 mxcmcmcmA
Luego el esfuerzo será:
MPamxN
SF
5,58106
5,3511724
MPa5,58
EJEMPLO:
Para el eje cilíndrico hueco que se muestra en la figura:
a)Cual es el mayor torque que puede aplicársele si el esfuerzo cortante no debe pasar de 120 MPa.b)Cual es el valor mínimo correspondiente del esfuerzo cortante?
SOLUCIÓN:
a) comoJTr
JT max
De donde:extr
JT
rJ
T)()( max
maxmax
m
mmPaxT
030,0
)040.0()060,0(32)10120( 446
max
kNmT 08,4max
b) El esfuerzo cortante mínimo lo podemos deducir del gráfico siguiente:
max2
1min
1
min
2
max rr
rr
)120(03,002,0
min MPamm
MPa80min
EJEMPLO:
El eje vertical AD está unido a una base fija en D y sometido a los torques indicados. Un hueco de 44 mm de diámetro ha sido perforado en la porción CD del eje. Sabiendo que todo el eje está hecho de acero con G = 80 GPa, determine el ángulo de torsión en el extremo A.
SOLUCIÓN:
En el eje se diferencian tres porciones AB, BC y CD, cada una de sección uniforme y con torque interno constante, además el sistema está en equilibrio, luego:Podemos hacer un corte entre A y B, entonces:
NmTTNm ABAB 2500250 Haciendo un corte entre B y C se tiene de modo similar
NmTTNmNm BCBC 225002000250
No hay torque aplicado en C entonces : NmTT BCCD 2250
El ángulo de torsión en A será:
)(1
CD
CDCD
BC
BCBC
AB
ABAB
i
ii
JLT
JLT
JLT
GGJLT
4444 )044,0()06,0(32
)6,0)(2250(
)06,0(32
)2,0)(2250(
)03,0(32
)4,0)(250(801
m
mNm
m
mNm
m
mNmGPaA
º22,2)2
º360(0388,0
radradA
º22,2A
Diseño de ejes de transmisión
El diseño de ejes de transmisión consiste básicamente en determinar el diámetro y material más apropiados para el mismo, tomando en cuenta principalmente tres factores:
- Que las deformaciones ocasionadas por torsión sean aceptables según los requerimientos del diseño.
- Que los esfuerzos producidos en el eje no sobrepasen los esfuerzos admitidos en el diseño, según el factor de seguridad con el que se esté trabajando.
- Que diámetro del eje no exceda demasiado el tamaño necesario, pues esto influye en los costos de producción, en la geometría del diseño, en el peso muerto del sistema, etc.
En la figura se muestra un sistema conducido, donde un conjunto correa-polea transmiten potencia a una máquina a través de un eje.
La correa, debido a la tensión a la que debe estar, ejerce una fuerza vertical (Fv) sobre la polea y a su vez sobre el eje, además de ejercer el torque para producir movimiento en la máquina.
En este caso, como la polea se encuentra en voladizo, no es difícil determinar que la sección crítica es aquella adyacente al apoyo, en B. Note que la fuerza vertical producirá adicionalmente un momento flector sobre esta sección.
Al trasladar las cargas a la sección transversal crítica, observaremos que sobre ella se encuentran aplicados una fuerza cortante Fv, un momento torsor T, y un momento flector M.
Tenemos entonces tres posibles puntos críticos:
- El punto A, donde se generan (+) debido al momento flector y debido al torsor;
- El punto A’, donde se generan (-) debido al momento flector y debido al torsor;
- el punto B’, donde se concentran los debido al momento torsor y debido a la fuerza cortante.
Ecuaciones empleadas en barras no circulares
En algunas estructuras, podemos encontrarnos que existe un par torsor aplicado sobre una viga de sección transversal no circular.
La deducción de las ecuaciones que describen la distribución de esfuerzos cortantes debido a torsión en estas barras no es sencilla. Nuestro interés radica principalmente en conocer expresiones que permitan relacionar las características geométricas de la barra y el torque ejercido sobre ella, con el esfuerzo cortante máximo que se produce y su respectiva deformación.
Estas expresiones podemos hallarlas tabuladas; presentamos a continuación algunos ejemplos.
Sección elíptica
2max
2
ba
T
33
22
ba
ba
G
T
L
Sección triangular equilátera
3max
20
a
T
43
80
aG
T
L
Sección cuadrada
3max
8077,4
a
T
4
1124,7
aG
T
L
Resumen de ecuaciones
Ley de Hooke para torsión:
: Esfuerzo cortanteG: Módulo de Rigidez: Deformación angular unitariaE: Módulo de elasticidad del material: Relación de Poisson del material
G
)1(2
EG
Esfuerzo cortante en barras de sección circular debido a momento torsor
: Esfuerzo cortante en el punto de interés de la sección transversal: distancia medida desde el centro hasta el punto de interésJ: Momento polar de inercia de la sección transversal
J
T
Ángulo de giro en barras circulares sometidas amomento torsor
: Ángulo de giro de una sección “B” respecto a una sección “A”T: Par torsor al que está sometido la barra circularJ: Momento polar de inercia de la sección transversalG: Módulo de rigidez del materialLAB: Longitud de la barra entre las secciones “A” y “B”
GJ
LT ABAB
/
Relaciones entre par torsor, potencia y velocidad angular
: velocidad angular (radianes por unidad de tiempo)T: Par torsor al que está sometido la barra circularP: Potenciam: relación de transmisión
TP
conductor
conducido
conducido
conductor
T
Tm